Chương 4: Bài toán vận tải là gì, cách giải bài toán vận tải bằng phương pháp góc tây bắc, Hoàn thiện lời giải bằng phương pháp thế vị (Giải bài toán vận tải, hàm mục tiêu, ràng buộc, cách giải thông qua ví dụ). 1. Trình bày về bài toán vận tải. Lập bài toán vận tải Bản chất của bài toán vận tải là tìm phương án tối ưu để vận tải hàng hóa từ một số nơi phát đến một số nơi nhận. Chỉ tiêu tối ưu ở đây thường là cực tiểu chi phí tổng về vận tải. Bài toán có thể mô tả như sau: có m địa điểm phát , với các lượng hàng hoá tương ứng a 1 , a 2 ,. . ., a m và n địa điểm nhận, với nhu cầu tương ứng b 1 , b 2 , . . ., b n . Cần xác định phương án vận tải sao cho tổng chi phí là cực tiểu, khi biết giá thành cước phí đơn vị C ij vận tải trên đoạn đường từ nơi phát i đến nơi nhận j. Ký hiệu x ij là số lượng hàng cần vận tải từ nơi phát i đến nơi nhận j, khi đó điều kiện của b ài toán vận tải được mô tả trong bảng. Nơi nhận Nơi phát B1 B2 … Bn Dung lượng ai c11 c12 c1n A1 X11 X12 X1n a1 c21 c22 C2n A2 X21 X22 X2n .a1 … cm1 cm2 Cmn Am Xm1 Xm2 Xmn .am Dung lượng bi n j j m i i ba 11 Bài toán vận tải được phát biểu dưới dạng toán học như sau: - Xác định các giá trị x ij : i = 1, 2, , m ; j = 1, 2, , n sao cho: f(X) = m i n j ijij xC 1 1 min với các ràng buộc: njbx miax jij m i iij n j , ,2,1; , ,2,1; 1 1 a m b 1 b 2 b n a 1 X 11 X 12 X 1n X mn X m1 X m2 Mô tả bài toán và : xij ≥ 0 (i = 1,2, , m ; j = 1, 2, , n ) - Ngoài ra trong trường hợp đơn giản thường giả thiết là tổng dung lượng hàng phát đi cân bằng với tổng dung lượng nơi nhận, nghĩa là: n j j m i i ba 11 2. Phương pháp góc tây bắc 4.3.2.Xác định phương án cơ bản ban đầu * Phương pháp góc tây bắc xác định giá trị (m+n -1) ẩn cơ bản của phương án ban đầu. - Xuất phát từ góc bên trái trên cùng (x11) ta điền các giá trị của ẩn cơ bản và đi dần xuống góc phải dưới cùng, đồng thời luôn luôn thoả mãn các ràng buộc ở mục trên. Nơi nhậnNơi phát B1 B2 B3 Dung lượng ai 5 3 2 A1 150 50 0 200 2 4 6 A2 0 200 100 300 Dung lượng bi 150 250 100 500 Có hai nơi phát A1, A2 với các lượng hàng tương ứng a1 = 200; a2 = 300 và 3 nơi nhận với nhu cầu tương ứng b1 = 150; b2 = 250; b3 = 100. Cước phí vận tải cij được ghi ở góc phải phía tr ên trong t ừng ngăn ở bảng. Xuất phát từ góc tây bắc ta có x11 = 150 (vì b1<a1) như vậy x21 = 0, ở ngăn A1B2 sẽ nhận giá trị (a1 - 150) = 50 v.v Ti ếp tục đi xuống góc đông nam và có giá trị của (m+n-1) ẩn cơ bản, ở đây: m+n-1 = 4 Vậy phương án cơ bản ban đầu là : x11 = 150 ; x12 =50 ; x22 = 200 ; x23 = 100. Khi đó: F1(X) = 150.5 + 50.3 + 200.4 + 100.6 = 2300. Rõ ràng phương án cơ bản ban đầu ở đây chưa đạt min f(X) cần tìm cách giảm giá trị f(x) 3. Hoàn thiện lời giải bằng phương pháp thế vị. Sau khi đã có giá trị của (m+n-1) ẩn cơ bản của phương án ban đầu, cần t ìm phương pháp để hoàn thiện lời giải dẫn với phương án ứng với giá trị min f(x). Sau đây sử dụng một trong những phương pháp thường dùng là phương pháp thế vị (c òn gọi là phương pháp phân ph ối cải biên). N ội dung phương pháp thế vị gồm những bước sau: 1.Xác định giá trị thế vị 2.Chỉ tiêu tối ưu theo phương pháp thế vị 3. Nguyên tắc vòng kín hoàn thiện lời giải 1. Xác định giá trị thế vị Ứng với mỗi hàng (nơi phát A1, A2, ,Am) có thế vị 1, 2, , m và mỗi cột (nơi nhận B1, B2, Bn ) có thế vị 1, 2, , n. Như vậy với mỗi phương án của bài toán vận tải ta có một hệthống (m+n) thế vị 1, 2, , m, 1, 2, , n. Giá tr ị của i, j được xác định như sau: i + j = cij (*); i = 1, 2, , m; j = 1, 2, , n ta c ần xác định (m+n) giá trị thế vị, nhưng ở mỗi phương án chỉ có (m+n-1) giá trị cij để tạo thành (m+n-1) phương trình dạng (*) vì v ậy một thế vị phải cho giá trị tuỳ ý. Thường cho 1 = 0 và xác định 2, , mvà 1, 2, , n theo (*). Thí d ụ ở phương án cơ bản ban đầu theo phương pháp góc tây bắc giá trị các thế vị được xác định nhờ hệ phương trình : 1 + 1 = 5; 1 + 2 = 3; 2 + 2 = 4; 2 + 3 = 6 v ới 1 = 0 ta có: 1 = 5; 2 = 3; 2 = 1; 3 = 5 Nơi nhậnNơi phát B1 B2 B3 Dung lượng α ai 5 3 2 A1 150 50 0 200 0 2 4 6 A2 0 200 100 300 1 Dung lượng bi 150 250 100 500 β 5 3 5 2. Chỉ tiêu tối ưu theo phương pháp thế vị: Định lí : Phương án X = xij của bài toán vận tải là tối ưu khi các giá trị thế vị i, j thoả mãn điều kiện sau: i + j = cij ở ngăn có xij > 0 i + j cij ở ngăn có xij = 0 3. Nguyên tắc vòng kín hoàn thiện lời giải 4.3.3. Hoàn thiện lời giải bằng phương pháp thế vị Vậy phương án là tối ưu ,hàm mục tiêu f(x) có giá trị F3(X) = 1400 Sơ đồ khối và một số chú ý Trong thực tế nhiều bài toán không có điều kiện đẳng thức như trên mà có: n j j m i i ba 11 hoặc: n j j m i i ba 11 Trong trường hợp đó có thể dựa vào các lượng vận tải xij phụ ứng với các cước phí phụ ứng với cước phí cij =0 để trở về điều kiện cân bằng dung lượng phát và nhận. Thành lập bài toán vận tải. Xác định ij = ( i + j)-cij ứng với các ngăn xij = 0 ij ≤0? Có Tính F(X), In giá trị Dừng Không Chọn ngăn (AiBj); Có max ij Lập vòng kín +. . . - ; Xác định xij mới xij mới ? Không Bài toán vô nghiệm Không Lập phương án mới Xác định thế vị i : i= 1, 2, ,m ; j : j = 1, 2, ,n . hệ phương trình : 1 + 1 = 5; 1 + 2 = 3; 2 + 2 = 4; 2 + 3 = 6 v ới 1 = 0 ta có: 1 = 5; 2 = 3; 2 = 1; 3 = 5 Nơi nhậnNơi phát B1 B2 B3 Dung lượng α ai 5 3 2 A1 150 50 0 200 0 2 4. mỗi hàng (nơi phát A1, A2, ,Am) có thế vị 1, 2, , m và mỗi cột (nơi nhận B1, B2, Bn ) có thế vị 1, 2, , n. Như vậy với mỗi phương án của bài toán vận tải ta có một hệ thống (m+n) thế. đường từ nơi phát i đến nơi nhận j. Ký hiệu x ij là số lượng hàng cần vận tải từ nơi phát i đến nơi nhận j, khi đó điều kiện của b ài toán vận tải được mô tả trong bảng. Nơi nhận Nơi phát B1 B2