Báo cáo môn Đại số tuyến tính Đề tài thuật toán floyd warshall tìm Đường Đi ngắn nhất

Tuy nhiên, ba thuật toán trên đều chỉ có thể tìm được đường đi ngắn nhất từ một đỉnh nguồn nhất định đến các đỉnh khác và do đó, trong một số trường hợp cụ thể cần chỉ ra đường đi ngắn n

1

ĐẠI H C QU C GIA TP H CHÍ MINH Ọ Ố Ồ

TRƯỜ NG Đ I H C BÁCH KHOA TP.HCM Ạ Ọ

KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG

🙞 ···☼··· 🙞

BÁO CÁO MÔN ĐẠ I S TUY N TÍNH Ố Ế

Đề tài: Thuật toán Floyd Warshall tìm đường đi ngắn nhất -

Giảng viên hướng dẫn: ThS Nguyễn Hữu Hiệp

Lớp: L11

Nhóm: 8

Thành ph H Chí Minh, tháng ố ồ 12, năm 2023

2

Danh sách thành viên

1 2311905 Nguyễn Gia Long

2 2311816 Châu Trần Vĩnh Lâm

3 2311985 Ngô Quí Luân

4 2311966 Trần Công Lộc

5 2311948 Lê Hữu Lộc

6 2311999 Âu Hoàng Lực

7 2311922 Phạm Cao Minh Long

3

M C LỤ ỤC

LỜI M Ở ĐẦ 4 U

I.GI I THI U CHUNG Ớ Ệ 5

1 L ch s lý thuyị ử ết đồ thị 5 :

2 Sơ lược về thuật toán Floyd Warshall: 5

II CƠ SỞ LÝ THUY ẾT: 6

1.Đồ Thị: 6

2 Đồ thị vô hướng và có hướng 6

3 Ma trận kề c ủa đồ thị: 7

4 Ma tr n trậ ọ ng s của đồ thị: 8 ố III THU T TOÁN FLOYD WARSHALL Ậ 10

1 Ý tưởng và cách gi ải: 10

2 Giải thuật toán trong C++: 11

IV ĐỒ THỊ MÔ TẢ BÀI TOÁN THỰC T , NG D NG THU T TOÁN Ế Ứ Ụ Ậ FLOYD-WARSHALL ĐỂ TÌM ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT: 13

1 Bài toán th c t ự ế và đồ thị: 13

2 S d ng thuử ụ ật toán Floyd Warshall để tìm đường đi ngắ n nhất 13

V SỬ D NG PH N M M L Ụ Ầ Ề ẬP TRÌNH TÌM ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT GIỮA CÁC ĐỊA ĐIỂM TRONG BÀI TOÁN TH C T Ự Ế 16

VI TỔNG Ế 20 K T: VII TÀI LIỆU THAM KH O: Ả 20

4

LỜI M Ở ĐẦU

Đại số tuyến tính là môn học đại cương có tầm quan trọng đối với sinh viên các ngành kh i khoa h c-k ố ọ ỹ thuật-công ngh nói chung Dệ o đó, việc dành cho môn h c này ọ

m t khộ ối lượng thời gian nhất định và th c hàự nh là điều t t yấ ếu để giúp sinh viên có

được n n tề ảng toán h c v ng ch c làm tiọ ữ ắ ền đề để ọ ốt các môn trong chương trình h c t đào tạo

S phát tri n c a b môn ự ể ủ ộ Đạ ối s tuyến tính đã đem đến nhiều ứng d ng trong ụ nghiên c u khoa h c và tứ ọ ừ đó con ngườ ấy đó để áp dụng vào thực tếi l nh m hiểu biết ằ sâu hơn về các nguyên lý, b n ch t c a nhả ấ ủ ững s v t, hiự ậ ện tượng trong đời sống hằng ngày và đưa ra những giải pháp tối ưu nhằm giải quyết các vấn đề nói trên

Khi nhắc đến thuật toán để tìm đường đi ngắn nhất trong đồ thị, người ta sẽ thường nghĩ tới những thuật toán dễ tiếp cận và có thể chạy trong giới hạn cho phép như Breadth First Search, Dijkstra hay Bellman-Ford Tuy nhiên, ba thuật toán trên đều chỉ có thể tìm được đường đi ngắn nhất từ một đỉnh nguồn nhất định đến các đỉnh khác và do đó, trong một số trường hợp cụ thể cần chỉ ra đường đi ngắn nhất của mọi cặp đỉnh trong đồ thị, các thuật toán này sẽ hoạt động chưa hiệu quả khi phải chạy lặp đi lặp lại khá nhiều thao tác

Thuật toán Floyd Warshall sẽ giúp chúng ta giải quyết vấn đề này chỉ trong một -lần chạy duy nhất Hơn thế nữa, cách tiếp cận và cài đặt của nó cũng khá đơn giản và quen thuộc

Thuật toán Floyd Warshall còn được gọi là thuật toán Floyd được Robert Floyd

-tìm ra năm 1962 là thuật toán để -tìm đường đi ngắn nhất giữa mọi cặp đỉnh Floyd hoạt động được trên đồ thị có hướng, có thể có trọng số âm, tuy nhiên không có chu trình âm Ngoài ra, Floyd còn có thể được dùng để phát hiện chu trình âm

5

I.GI I THI U CHUNG Ớ Ệ

1 L ch s lý thuyị ử ết đồ thị:

- Bài toán b y cây c u Euler, còn g i là b y cây cả ầ ọ ả ầu ở Konigsberg là bài toán nảy sinh t thành ph Konigsberg, Phừ ố ổ Bài toán đặt ra là tìm một tuyến đường

mà đi qua mỗi cây cầu một lần và chỉ đúng mộ ầt l n ( b t kấ ể điểm xu t phát hay ấ điểm tới ) Năm 1736, Leonhard Euler đã chứng minh r ng bài toán này là không ằ

có l i gi i K t qu ờ ả ế ả này là cơ sở phát tri n c a lý thuyể ủ ết đồ thị

- Năm 1852, Francis Guthrie đưa ra bài toán bốn màu v về ấn đề liệu ch vỉ ới bốn màu có th tô màu mể ột bản đồ ất kì sao cho không có hai nướ b c nào cùng biên giới được tô cùng một màu Bài toán này được xem như đã khai sinh ra lý thuy t ế đồ thị và được gi i sau m t th kả ộ ế ỷ vào năm 1976 bởi Kenneth Appel và Wolfgang Haken

2 Sơ lược về thuật toán Floyd Warshall:

2.1 Gi i thiớ ệu:

- Thu t toán Floydậ –Warshall (còn được g i là thuọ ật toán Floyd) được Robert Floyd tìm ra năm 1962 Với cách tiếp cận, cài đặt đơn giản và quen thu c, thuộ ật toán Floyd giúp giải quyết bài toán tìm đường đi ngắn nh t trong mấ ột đồ thị có hướng hoặc vô hướng dựa trên các đỉnh trung gian

2.2 Tác d ng: ụ

-Thu t toán Floyd Warshall có r t nhiậ ấ ều ứng d ng, có th k ụ ể ể đến như:

+ Tìm đường đi ngắn nhất

+ Xác định tính ch t b c cấ ắ ầu

+ Tìm chu trình nh ỏ nhất ho c chu trình âm ặ

+ Trong th c tự ế chẳng hạn như mạng lưới giao thông đường bộ, đường thủy, hàng không, Thuật toán giúp tìm đường đi giữa hai địa điểm một cách h p lý và ti t ki m nhợ ế ệ ất

2.3 Ưu điểm:

-Tìm được đường đi ngắn nhất gi a t t c ữ ấ ả các điểm trong đồ thị v i tr ng s âm ớ ọ ố hoặc dương, trong đồ thị có hướng hoặc vô hướng

- Thu t toán cho k t qu nhanh chóng và d dàng ch v i mậ ế ả ễ ỉ ớ ột lần ch y ạ

6

- Phát hiện được chu trình âm trong đồ thị

2.4 Nhược điểm:

-Trong đồ thị không được có vòng nào có t ng các c nh là âm, vì n u có vòng ổ ạ ế như vậy ta không thể tìm được đường đi ngắn nh t (mấ ỗi lần đi qua vòng này độ dài quãng đường lại giảm, nên ta có th ể đi vô hạn lần)

II CƠ SỞ LÝ THUY T: Ế

1.Đồ Thị:

* Định nghĩa 1.1: Đồ thị là m t t p hộ ậ ợp các điểm gọi là đỉnh n i v i nhau bố ớ ởi các cạnh Thông thường, đồ thị được vẽ dướ ại d ng m t tộ ập các điểm ( đỉnh, nút ) nối với nhau bởi các đoạn thẳng (cạnh)

* Định nghĩa 1.2: Hai đỉnh u và v của đồ thị vô hướng G được g i là k nhau nọ ề ếu (u,v) là c nh cạ ủa đồ thị G N u e=(u,v) là c nh cế ạ ủa đồ thị ta nói c nh này là liên thuạ ộc với hai đỉnh u và v, hoặc cũng nói là nối đỉnh u và đỉnh v, đồng thời các đỉnh u và v sẽ được gọi là các đỉnh đầu của cạnh (u,v)

* Lưu ý:

 Ta gọi bậc của đỉnh v trong đồ thị vô hướng là s c nh liên thu c v i nó và ố ạ ộ ớ

s ký hi u là deg(v) ẽ ệ

 Đỉnh bậc 0 g i là đ nh cô lọ ỉ ập, đỉnh bậc 1 gọi là đỉnh treo

2 Đồ thị vô hướng và có hướng

ng:

2.1 Đồ thị vô hướ

- Là một cặp không có th t ứ ự G=(V,E), trong đó:

 V là tập các đỉnh ho c nút ặ

 E là tập các cạnh, Hai đỉnh thu c mộ ột cạnh được gọi là các đỉnh đầu cuối của cạnh đó

7

Đồ thị vô hướng

2.2 Đồ thị có hướng:

- Đồ thị có hướng G là một cặp có th t ứ ự G=(V,A), trong đó:

 V là tập các đỉnh ho c nút ặ

 A là t p các cậ ạnh có hướng g i là cung ọ

Lưu ý: Một cạnh e = (u,v) được coi là có hướng từ u tới v; khi đó u được gọi là điểm

đầu/gốc và v được gọi là điểm cuối/ ng n c a cạnh ọ ủ

Đồ thị có hướng

3 Ma tr n k cậ ề ủa đồ thị :

Khái ni m ệ :

 Xét đồ thị G=(X,U) ( có hướng hay vô hướng ), giả sử tập X gồm n đỉnh và được sắp thứ tự X={ x1,x2,…xn}, tập U gồm n cạnh và được sắp thứ t ự U={u1.u2, un}

 Ma tr n k cậ ề ủa đồ thị G, ký hi u là A(G), là m t ma tr n nh phân c p n x n ệ ộ ậ ị ấ được định nghĩa như sau: A=(Aij) v i: ớ

8

∙ A=(Aij)= 1 nếu có c nh nối xạ i tới xj

∙ A=(Aij)= 0 nếu không có c nh n i xạ ố i tới xj

Ví dụ: Đồ thị vô hướng G1 và ma tr n kậ ề A1 của G1:

Nhận xét: Trong trường hợp đồ thị vô hướ ng, ma trận sẽ đối x ứng qua đườ ng chéo vì với mỗi cạnh (i,j) thì cũng sẽ có một cạnh (j,i) tương ứng

Ví dụ: Đồ thị có hướng G2 và ma tr n kậ ề A2 của G2:

Ưu điểm: Đơn giản, dễ cài đặt, dễ dàng kiểm tra 2 đỉnh có kề nhau hay không bằng cách ki m tra giá tr cể ị ủa Aij

Nhược điểm: Tốn b nh nên không th bi u diộ ớ ể ể ễn được đồ thị v i s nh l n ớ ố đỉ ớ

4 Ma tr n trậ ọng s c a ố ủ đồ thị:

Khái niệm:

9

 Xét đồ thị G=(X,U) có hướng hay vô hướng, giả sử tập X gồm n đỉnh

và được s p th t ắ ứ ự X={x1,x2,x3,…,xn}, tập U g m n cồ ạnh và được sắp thứ ự t U={u1,u2, ,un}

 Ma tr n k cậ ề ủa đồ thị ký hi u B(G), là m t ma tr n cệ ộ ậ ấp nxn được định nghĩa như sau : B=(Bij) với:

 B=(Bij)= tr ng s cọ ố ủa cạnh n i i và j n u có c nh n i xi t i xj ố ế ạ ố ớ

 B=(Bij)=0 n u không có c nh n i xi t i xj ế ạ ố ớ

Vậy: Ma tr n tr ng sậ ọ ố được xem là g n gi ng v i ma tr n k , tuy nhiên ầ ố ớ ậ ề

ma tr n kậ ề chỉ biểu diễn 0 và 1 tượng trưng cho việc 2 đỉnh có k nhau ề

hay không, còn ma tr n tr ng sậ ọ ố biểu di n thêm cễ ả trọng s cố ủa

cạnh/cung nối 2 đỉnh đó nếu chúng k nhau ề

Ví dụ: Đồ thị vô hướng G1 và ma tr n tr ng s B1 c ậ ọ ố ủa G1:

Nhận xét: Trong trường hợp đồ thị vô hướng, ma trận sẽ đối xứng qua đường chéo vì v i m i cớ ỗ ạnh (i,j) thì cũng sẽ có một cạnh (j,i) tương ứng

Ví dụ: Đồ thị có hướng G2 và ma tr n tr ng s B2 c a G2: ậ ọ ố ủ

10

III THUẬT TOÁN FLOYD WARSHALL

1 Ý tưởng và cách gi ải:

1.1 Ý tưởng:

 Từ bài toán đã cho, ta chuyển các số liệu về dạng ma trận trọng số A Ban đầu, m i ph n t ỗ ầ ử A[i,j] được lấp đầy b i kho ng cách n i trở ả ố ực ti p ế

từ đỉnh i tới đỉnh j; nếu độ dài đường đi từ đỉnh i tới đỉnh j chưa xác định được ô đó sẽ có giá tr là ị ∞ Trên đường chéo chính c a ma tr n, ủ ậ các ph n t có giá tr là 0 (bầ ử ị ởi độ dài đường đi từ ột đỉnh đến chính m

nó b ng 0) ằ

 Sau mỗi vòng l p, giá trặ ị các ph n t c a ma tr n A s dầ ử ủ ậ ẽ ần được thay thế bằng các giá trị nhỏ hơn giá trị trước đó (nếu có), chính là độ dài

một đường đi từ i đến j ngắn hơn (có thể ừ i đi qua đỉ t nh khác rồi đến j)

 Sau bước l p th k, A[i,j] chặ ứ ứa độ dài đường đi ngắn nh t t ấ ừ đỉnh i đến

đỉnh j (có thể t i đi qua đỉừ nh khác rồi đến j), các đỉnh nó đi qua có chỉ

số không vượt quá k

1.2 Cách giải:

 Từ ý tưởng trên, việc xử lý bài toán được triển khai thành các bước c ụ thể:

 Bước 1: Vi t ma tr n k A cế ậ ề ủa đồ thị

 Bước 2: Ch n lọ ần lượ ừng đỉt t nh của đồ thị làm đỉnh trung gian Giả sử chọn đỉnh k làm đỉnh trung gian Ta gi nguyên hàng k, ữ cột k c a ma tr n A, gi nguyên các ph n t ủ ậ ữ ầ ử trên đường chéo của

ma tr n A ậ

 Bước 3: Kí hiệu A là ma tr n A sau l n l p th k ậ ầ ặ ứ k, khi đó Ak [i,j] được tính theo công th c sau: ứ

11

 Bước 4: Sau đó ta thực hiện n lần lặp Sau lần l p thứ k, ma trận ặ

A s ẽ chứa độ dài các đường đi ngắn nh t ch ấ ỉ đi qua các đỉnh thuộc {1,2, ,k}

 Bước 5: Do đó, sau n lần l p ta nhặ ận được ma tr n A chậ ứa độ dài các đường đi ngắn nhất

2 Giải thuật toán trong C++:

 Các l nh dùng trong C++: ệ

#include <bits/stdc++.h> Khai báo thư viện

tính

memset() sao chép một ký t ự đơn lẻ trong mộ

kho ng nhả ất định vào một đối tượng

 Đoạn code được sử dụng trong C++:

12

13

IV ĐỒ THỊ MÔ TẢ BÀI TOÁN THỰ C TẾ, NG DỤ Ứ NG THU T TOÁN Ậ

FLOYD-WARSHALL ĐỂ TÌM ĐƯỜNG ĐI NGẮ N NHẤT:

1 Bài toán th c t ự ế và đồ thị:

Ví dụ: M t sinh viên mu n di chuy n t ktx khu A t i ktx khu B b ng xe máy ộ ố ể ừ ớ ằ Nhưng do là sinh viên năm 1 nên chưa biết đường đi nào là ngắn nhất, tuy nhiên nh tìm hi u v thu t toán Floyd-ờ ể ề ậ Warshall và sơ đồ đường đi ( như hình dưới ) Hãy giúp bạn sinh viên t o ma trận đường đi ngắn nhất gi a mạ ữ ỗi địa

điểm và cho biết đường đi ngắn nhất từ ktx khu A t i ktx khu B ớ

2 S d ng thuử ụ ật toán Floyd Warshall để tìm đường đi ngắ n nhất

Giả s , các hàng, cử ột thứ 1,2,3,4 lần lượt là ktx khu A, trường Đại học Bách Khoa, ktx khu B, trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên Ta sẽ có ma trận trọng số như sau:

14

- Vì qua đỉnh 1 trung gian nên ta s ẽ so sánh 2 đỉnh khác đỉnh trung gian

- Ví d so sánh t 2ụ ừ 3 tr c ti p và t 2ự ế ừ 3 qua đỉnh 1 trung gian, ta thấy 23

< 213 (2<∞+3) nên gi nguyên giá tr 2 ữ ị

- So sánh t 4ừ 2 tr c ti p và t 4ự ế ừ 2 qua đỉnh 1 trung gian, ta th y 4ấ 2 > 412 (∞>1+4) nên ta đổi ∞ thành 5

- B ng vả ết bên để ết đường đi chi tiế bi t của mỗi đường, so sánh khi đi trực tiếp

và qua điểm trung gian, nếu:

 +Tr c ti p < gián tiự ế ếp giữ nguyện

 +Tr c ti p > gián tiự ế ếp đổi “Tt” thành đỉnh trung gian

Việc làm này giúp ta sau khi có được kết quả, ta có th ể biết được cả đường đi chi tiết

K=1 1 2 3 4

1 0 4 3 ∞

2 ∞ 0 2 ∞

3 ∞ ∞ 0 2

4 1 5 4 0

VẾT 1 2 3 4

1 Tt Tt Tt Tt

2 Tt Tt Tt Tt

3 Tt Tt Tt Tt

4 tt 1 1 Tt

15

-Ta dùng cách tương tự với các đỉnh k=2,3,4:

K=3 1 2 3 4

1 0 4 3 5

2 ∞ 0 2 3

4 1 5 4 0

K=4 1 2 3 4

1 0 4 3 5

2 5 0 2 4

3 3 7 0 2

4 1 5 4 0

-K t luế ận: đường đi ngắn nhất từ ktx khu A tới ktx khu B là 3(đơn vị đường đi)

VẾT 1 2 3 4

1 Tt Tt Tt Tt

2 Tt Tt Tt Tt

3 Tt Tt Tt Tt

4 Tt 1 1 Tt

K=2 1 2 3 4

1 0 4 3 ∞

4 1 5 4 0

VẾT 1 2 3 4

1 Tt Tt Tt 3

2 Tt Tt Tt 3

3 Tt Tt Tt Tt

4 Tt 1 1 Tt

VẾT 1 2 3 4

1 Tt Tt Tt 3

2 4 Tt Tt 3

3 4 4 Tt Tt

4 Tt 1 1 Tt

16

V SỬ D NG PH N M M L Ụ Ầ Ề ẬP TRÌNH TÌM ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT GIỮA CÁC ĐỊA ĐIỂM TRONG BÀI TOÁN TH C T Ự Ế

Ví d ụ 1: Hình trên bi u di n v trí cễ ễ ị ủa các trường đại học và kí túc xá thuộc Đại học Quốc gia TPHCM Hãy dùng thu t toán ậ “Đường đi ngắn nhất” để tìm đường đi ngắn nhát t ừ các địa điẻm trên Cho biết quãng đường ngắn nh t nấ ếu đi từ Trường đạ ọc i h Khoa h c xã họ ội và Nhân văn đến Kí túc xá khu A

Quy ước:

 1 : Kí túc xá khu A

 2: Trường Đại học Khoa h c xã họ ội và Nhân văn

 3: Kí túc xá khu B

 4: Trường Đại học Bách Khoa

 Các đơn vị chi phí đại diện cho kho ng cách giả ữa các địa điểm (Km)

 xij = 99: Các địa điểm không có điểm không có điểm nối

 xij = 0: kho ng cách t mả ừ ột địa điểm đến chính nó

T ừ đề bài ta có được ma trận ban đầu:

17

K t qu ví d 1 khi cho ch y trên C++: ế ả ụ ạ

 K t lu n: Muế ậ ốn đi từ Trường Đại học Khoa h c xã họ ội và Nhân văn tới Ktx khu

A với quãng đường ng n nh t thì phắ ấ ải đi theo lộ trình:

Trường Đại h c Khoa h c xã họ ọ ội và Nhân văn → Ktx khu B→ Trường Đạ ọc i h Bách Khoa Ktx khu A v→ ới 5 đơn vị đường đi

Ví d 2: ụ Thầy Hi p muệ ốn đi từ Việt Nam sang Hàn Quốc nhưng không biét giá vé như nào là rẻ nhất Dựa vào sơ đồ đường đi thể ện các điểm đế hi n của máy bay cùng với giá vé Hãy l p m t ma tr n v i giá tiậ ộ ậ ớ ền ít nhất đi qua các địa điểm sau Đơn vị (USD)

18

Quy ước

 1: Vi t Nam ệ

 2: Trung Qu c ố

 3: Hàn Qu c ố

 4: Nh t B n ậ ả

 5: Đài Loan

 6: Lào

 xij = ∞ =99: Các địa điểm không có điểm không có điểm nối

 xij = 0: kho ng cách t mả ừ ột địa điểm đến chính nó

T ừ đề bài ta có được ma trận ban đầu:

K t qu ví d 2 khi cho ch y trên C++: ế ả ụ ạ

19

20

 K t lu n: Th y Hi p c n phế ậ ầ ệ ầ ải đi từ Việt Nam Lào Hàn Qu→ → ốc để giá vé là rẻ nhất

VI T NG KỔ ẾT:

- Sau quá trình tìm hi u, nghiên c u và áp dể ứ ụng đề tài về “ Thuật toán Floyd-Warshall để tìm đường đi ngắn nhất ” Chúng em nhận th y r ng ngoài n m vấ ằ ắ ững những ki n th c quan tr ng và thú v cế ứ ọ ị ủa môn Đạ ố tuyến tính, các thành viên i s còn có cơ hội ti p xúc v i ngôn ng l p trình C++, c i thi n kh ế ớ ữ ậ ả ệ ả năng tư duy, giải quyết vấn đề và làm vi c theo nhóm m t cách hi u qu ệ ộ ệ ả

- Cảm ơn Thầy đã tạo điều kiện cho chúng em có cơ hội trau d i thêm nh ng kiồ ữ ến thức, kinh nghi m quý báu cho bệ ản thân để làm hành trang trong chặng đường v ề sau

VII TÀI LI U THAM KHỆ ẢO:

[1] Đặng Văn Vinh Giáo trình Đạ- i số tuyến tính-Nhà xu t Bấ ản Đại học Qu c gia ố Thành ph H Chí Minh ố ồ

[2] Kenneth H Rosen, Discrete_Mathematics_and_Its_Applications_7th_Edition

[3]https://www.programiz.com/dsa/floyd-warshall-

algorithm?fbclid=IwAR3KztL8w0uoSQb8Q1rmAMXJmIGiZMPwarIdAtMs-JCorYtKpzMvVeS1WsI

VIII NH N XÉT C A GIÁO VIÊN: Ậ Ủ