PHƯƠNG TRINH LAGRANGE -HAMILTON Trong chương nảy, chúng ta sẽ dùng Mathematica giải quyết một số bài toán của cơ học lý thuyết: phương trình Lagrange, phương trình Hamilton và các bài t
Trang 1l BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHAMTHANH PHO HO CHÍ MINH
CƠ HỌC LÝ THUYET và THUYÉT TƯƠNG DO!
+ Giáo viên hướng dan: Th.S Nguyễn Anh Tuan + Sinh Viên Thực Hiện: Nguyễn Vũ Nguyễn
Tp HCM- Tháng 5 năm 2004
£&3 * ca
Trang 2Em xin chân thành cảm ơn thay Nguyên Anh Tuần đã tận tình hướng dan
và giúp đỡ em hoàn thành luận văn này.
Em xin chân thành cảm ơn các thay cô trong khoa vật lý đã tận tình chỉ day
và truyện thụ những kiến thức cho em trong suốt những năm học ở đại học.
Em xin cảm ơn anh Trương Quốc Thắng đã hỗ trợ em trong quá trình thực
hiện đề tài
Xin cảm ơn các bạn đã luôn ở bên mình và đã động viên, hỗ trợ mình trong
quá trình thực hiện đề tài cũng như trong suốt quá trình học tập ở đại học
Thành phố Hô Chí Minh, ngày tháng 05 năm 2004
Nguyễn Vũ Nguyên
Trang 4NHAN XÉT CUA GIÁO VIÊN PHAN BIEN
CEE EERE EER EEE EEE HEHEHE EEE EEE EEE EHEEEHE EEE HEHE EEE EEE EEE HEHE EEE HEH
=—^ ( cà
.
¬ ÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÔÒÔÔÖÐÔÔÔÔSÔS'S`'SÔ.L (LG( (((iaiiiaaocaaadaaa-a
eee eee eee eee ee
ORR eRe tt * #922 tt EEE EEE EHH EEE EEE EEE EEE EEEHEE EEE 19 OEE EEE EEE HE SEES ESSE OSES
kL!'4 919944 044444414444444444014444444444040449419100149 914909099090 00990 999V09VV
PPP Pee eee
COE ERR EAE REET E EHH H EEE E ERE EEE E HEHE EEE H EHH EHH ^^
eee ee eee eee
1 ,._```ÖÔÖ`Ö`Ö`ÖỂÖÔỎÔÀ eee eee)
Trang 5Khóa luận tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Vũ Nguyên
6 Sơ lược vé phan mềm Mathematica - (c1 21 21111121110111110 122 3
Chương II PHƯƠNG TRÌNH LAGRANGE - HAMILTON -.-: 4
À; TÔ: TẢ DE ol, ca a a a 5
1 Những khái niệm cơ bản ccccecnsssesesnsnesenesnensvesesessnsntensnsnsusssnanenesnsnsnnas 5
1; CÁ {Tia AGI MAG ssccans issn nies yaaa naan alec kaa boone 5
1.2 Di chuyển khả đĩ Di chuyển 0 0 ccccsscccsssessssecssstecesneeccssnecesuuee 5
1.3 Số bậc tự do Tog độ suy rng sccccsssseesesssececssseeccsenseesssensceesssneeesenss 5 EA; Liên MB l KIÔNG G2 6222620260666 0-2keásaa 5
II Nguyên lý D' Alembert —Lagrange Phương trình tổng quát của động lực
HQ Scant cect ie sid 262026) 266:62:w0464(ố1460259009370524064401//612itka4o 6
III Các phương trình Lagrange :00ssccsssssserssesssesnsssssesnrenseenersnensneeserensnees 7
113.1 Phương trình Lagrange logi Ì <- 7
111.2 Phương trình Lagrange loại II -:-+-r-r-scecscrersesneecsenenensnrneneneaceseeees 7 IHRE IID (it SIMMER ssccenacssnace naan avsonsndegpeenasaaseeaaiieemani ouRRNATSEN 9
V Phi ng trinh HH Na ass cass 22260022202 eŸS 9
B: Cáp Bãi Tpán CỤ TB sess ceca pis cena aii eds ee epi 10
I,.P Ni ðNG II Tamra nics 01600246 senses vanes 01440 x¿¿da¿2Ÿoosee II
1.1 Các Phương trình Lagrange không dùng nhân tử Lagrange II
I.I.1 Vấn đề 1: Máy Atwood đơn eissenseieoneose II
1.1.2 Vấn đề 2: Con lắc đơn san nong 13
1.1.3 Vấn đề 3: Hạt trượt trên mặt phẳng nghiêng có thé dich chuyển 17
1.1.4 Van đề 4: Hạt trượt trên thanh quay - 2-27 21
1.1.5 Vấn đề 5: Viên bi trên vòng tròn quay eo 24
1.1.6 Vấn dé 6: Vật rơi từ lỗ trên bản cessesce 32
E|:7 Vấn GB Te: Cooma lắc [b0 4202260600266 co y6 0202022026 ả6 36
1.2 Các phương trình Lagrange sử dụng nhân tử Lagrange 44
1.2.1 Vấn dé 1: Máy atwood kép -cccccccccercccrecrcrcee 44
GVHD: Th.S Nguyễn Anh Tuấn
Trang 6Khóa luận tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Vũ Nguyên
1.2.2 Vấn dé 2: Vòng lăn trên mặt phẳng nghiêng 48
1.2.3 Van đề 3: Quả câu lăn trên một quả câu cỗ định 52
UR ys td, a 55
11.1 Van dé 1: Dao động tử một chiều và phương trình Hamilton 5511.2 Van dé 2: Con lắc cầu va phương trình Hamilton 58
III: Có GRE hái CRA NIT «ca daSii0206262L2062201Lc2- es61
III.1 Van đề 1: Rút gọn bai toán hai vật 2 cccvcccee 6l
III.2 Vấn GB 2: Bài toán Kepler - .S 65
11.3 Van đề 3: Bai toán Kepler giải bằng NDSolve 69
EBWiogETHĐUVET TEEN ĐỘT rr 74
AL Phép tính Teens 0 wsisiscccvsssccossisccencitasvenbicaassoss sossanvba sensnsivncseessnisgenes tesnensy noneensvaviee
Se Pitan GiB Tene scacanicrcansacccannprvinsinin aren sineneadretien tinsentennns psumencicien T5
OD biện đi Dl đc eee=esseaeseniesrsenisesnsee 75 1.2 Thành phan hiệp biến- Thành phần phan biến: 75 1.3 Tensor hiệp biển, tensor phản IGN! sssssssssecsesssnnsecsesnnnneee 76
A? BAT VỀ NT races vvscmeischsssa boss is cas declan pops 77
1.6 Tensor metric ( tefiSOF CƠ SO): - 55<5S< seaccosecseeesscssens 77
1.7 Đạo BAM: cosssseceseisussersvesneeresssusessesnessnsssenanssenseannsneenssseneeaneatnonse 78
II Đường trắc địa — phương trình đường trắc địa 79
Ill Tensor Riemann — Tensor Ricci và vô hướng Ricci - 79
ETE TRAE EARNED Ts TƯƠNG TÔ onsets 1 sameeneaneenes tuners CỔ SG,
1 Nguyên lý tương đối Einstein 55s xeererxeererxreersrree 79
I.fMNbgeftsiei lần IN cece —aeo/2624262-e 6x80
IIL Phép bien đổi L.orenItZ 22s ©©2+.SevEAvxeerrtexkxrirggrerree 80
IV Xung lugng va năng lượng của hạt tự đo - -«‹ ~- 8!
V Vector vận tốc 4 chiêu Xung lượng 4 chiễu << 82
VI Phương trình chuyén động của hat sessscssseeccsssescsssrsssneessnensnsnnenees 83Mey ce SN Se
I Các nguyên lý trong thuyết tương đối rộng -< 83
I= Tin sss anes KT _———.—_ 83
Pie nouyÊh tý cơ BÊN (2G) :22/01<600002626006660/0000/ 2666122002 84
II Metric Robertson — Walker ác Hee 84
LT 5 | a a ae
Taner 600 00 0N0R- eeẰeerrenestereersessssssse=ssi 85
LI Vấn để 1: Phân rã của một hat 2 waiwMS098109S9N0S80055E 85
J2 Vấn GB 2: Tán xạ Croan ot ois snsanssocecivnsacncnesosomcsistenceitontencsiteoens 87
1.3 Vấn đề 3: Định luật Snell tương đối tính - 5-5-2 90 1.4 Vấn dé 4: Chuyển động một chiều của hạt tương đối tỉnh có gia tốc
BH ẢNN:: 06 SG 00G (0G S6A002i0626G0SG116x6641001003/288/02a4 92
GVHD: Th.S Nguyễn Anh Tuấn
Trang 7Khóa luận tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Vũ Nguyên
1.5 Van dé 5: Chuyển động hai chiều của hạt tương đối tinh trong điện
II Thuyết tương đối rộng -cccsee a— 99
II.2 Van dé 1: Nghiệm Schwarzschild trong hệ tọa đối xứng câu: 99
II.2 Van dé 2: Dịch chuyển đó hap dẫn-nguỗn va quan sát viên đứng
TET sau inapensi nh nh) (005600)200208690862004002002000 05960020 099909024601030728A251 0580367215 25175 106
11.3 Vấn dé 3: Phân tích thé cho nghiệm Schwarzschild 108
11.4, Van dé 4: Tiến động của điểm cận nhật 116II.5 Van dé 5: Đường trắc địa tròn trong metric Schwarzschild 120
11.6 Vấn dé 6: Thời gian rơi vao lỗ den của một hạt theo đường trắc địa
giống thời gian 55 555x222 ail a na Sa NN 122
1.7 Vấn dé 7: Phân tích thé cho đường trắc dia null của metric
Chương IV, Kết luận và hướng phát triển của dé tải 156
EưNettGGGi s0 UNS (X04, coon acne baa fe 159
X}L.G@Ñ Tài N 08 EN Bề GI i ckhekkisensiieiieeeoeessneeee 159
Van đề 1: Bài toán be vật có gi”l/2 -secesecxsoeesrraseresoreszee 160
Vắn dé 2 : Bai toán ba vật giới hạn- hệ mặt trời - mộc tỉnh 165
Van đề 3 : Bai toán ba vật giới hạn hệ mat trăng — trái đất 173
TA TAS TH ccciSSSSSE=——————= .: 181
GVHD: Th.S Nguyễn Anh Tuấn
Trang 8Khóa luận tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Vũ Nguyễn
MỞ DAU
tote
Từ khi xuất hiện trên trái dat, niêm khát khao nhất của loài người là tim
hiểu, cải tạo và chế ngự thế giới tự nhiên Theo thời gian, các khoa học đã lần lượt
ra đời thoả mãn yêu cầu nảy của con người, trước tiên là toán học va vật lý Từ
thời cổ đại bằng các công cụ và các phép toán đơn giản, các nhà khoa học đã
nghiên cửu va giải quyết nhiều van dé được đặt ra về thé giới tự nhiên.
Việc tìm hiểu thé giới tự nhiên ngảy xưa đòi hỏi rất nhiều công sức lao
động của các nhà bác học do phải thực hiện các phép tính phức tạp bằng tay Để
tìm ra định luật chuyển động của các hảnh tinh, Kepler đã phải thực hiện các tính
toán băng tay trên hàng nghìn trang giấy.
Với sự phát triển của khoa học kỹ thuật, chiếc máy vi tính đã ra đời đáp
img các yêu cầu tính toán và sử lý công việc của con người So với chiếc máy vi
tính dau tiên, các máy vi tính ngày nay có kích thước rất nhỏ gọn và có thể thực hiện được nhiều công việc khác nhau theo yêu cầu của người sử dụng Do đó,
ngày nay máy vi tính được sử dụng rat rộng rãi trong nhiều lĩnh vực nghiên cứu và
ứng dụng.
Việc ứng dụng máy vi tính trong nghiên cứu và học tập vật lý cũng xuất
phát từ đặc điểm đó Với chiếc máy vi tính và một phần mém thích hợp, các phép
tính phức tạp sẽ được máy thực hiện một cách nhanh chóng và chính xác, không
cần phải thực hiện bằng tay như trước đây
Với ý tưởng sử dụng máy vi tinh đề giai quyết các bài toán vật lý, tôi thực hiện đẻ
tài này với hy vọng việc ứn on ĐH 8: là tính vào trong nghiên cứu và học tâp vật
lý sẽ ngày càng trở nên phô biến hon, làm cho việc học tập và nghiên cứu vật lý
bớt đi sự khô khan và phức tạp của những phép tính và con số.
GVHD: Th.S Nguyễn Anh Tuan Trang |
Trang 9Khóa luận tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Vũ Nguyên
Chương I NHUNG VAN DE CHUNG
GVHD: Th.S Nguyén Anh Tuan Trang 2
Trang 10Khóa luận tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Vũ Nguyên
1 Lý do chọn đề tài
Kê từ khi ra đời cho đến ngày nay, máy vi tinh đã là một công cụ phục vụ
đắc lực cho các nghiên cửu khoa học Máy vỉ tính hiện diện trong mọi lĩnh vực
nghiên cứu, từ toán học, hoá học, sinh học .dén ca các nghiên cứu xã hội học.
Với khả năng tính toán nhanh chóng và chính xác, may tính đã giúp tiết kiệm thời
gian và công sức trong các lĩnh vực nghiên cứu.
Quá trình học tập và nghiên cứu vật lý đòi hỏi rất nhiêu kiến thức toán học,
phải thực hiện các phép toán phức tạp và kết quả thu được là những phương trình,
những biểu thức với các rat nhiều ky hiệu Điều đó tạo cho chúng ta cảm giác vật
lý học là một khoa học khô khan và nhằm chan Ngày nay điều này không còn
nữa “Dé giỏi vật lý, bạn không cần phải giỏi về tính toán nữa”, đó là lời tựa của
tác giả phầm mềm Mathematica, Stephen Wolfram, dé tựa cho quyền sách
Mathematica for Physics Đúng vậy, các tính toán chúng ta hoàn toàn có thé thực
hiện bằng máy tinh bằng những phan thích hợp và ta chi phải tập trung vào ý
nghĩa vật lý của vấn để ta quan tâm hơn là những phép toán phức tạp.
Hiện tại, việc ứng dụng các thành tựu của tin học vào việc phục vụ cho
công tác giảng dạy và nghiên cứu vật lý và các khoa học khác rat phổ biến trên thé
giới Với khả năng thực hiện các phép toán nhanh chóng và chính xác, máy tính
đã giải phóng việc học và nghiên cứu khoa học khỏi việc thực hiện các phép toán
phức tạp một cách thủ công.
Để sử lý công việc, máy tính cần có các phần mềm Tuỳ theo mục đích sử
dụng ma có các phần mềm khác nhau Có phần mềm chỉ chuyên dùng dé soạn
thảo văn ban, để tạo phim hoạt hình, dé sử lý anh, Để thực hiện các yêu cầu sử
lý và biểu diễn các kết quả trong các lĩnh vực khoa học, có những phần mềm
chuyên dụng như MatLap, Maple, Mathematica, và các phần mềm khác.Trong
số các phần mêm đó nổi bậc là Mathematica
Với khả năng sử lý các ký hiệu, tính số, sử lý đồ họa và khả năng lập trình,
Mathematica là một lựa chọn tuyệt vời trong việc thực hiện các công việc không
chỉ của riêng của vật lý mà còn của những khoa học khác, Nó có thể giải nhanh
GVHD; Th.S Nguyễn Anh Tuan Trang |
Trang 11Khióa luận tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Vũ Nguyễn
chóng và chính xác các phương trinh, phân tích dit liệu và cho ra kết quả và nhiều công việc khác Ké từ khi ra đời, Mathematica da được ứng dụng rộng rai vào
trong các nghiên cứu vật lý, đặc biệt là trong các nghiên cứu vật lý hiện đại
Việc ứng dụng phần mềm này trong việc dạy và học cũng như trong việc
nghiên cứu:vật lý mở ra một hướng giải quyết mới các van dé của vật lý Do đó,
việc nghiên cứu và ứng dụng Mathematica vao vật lý là một việc làm rất thiết thực
và cần thiết Người nghiên cứu hy vọng dé tài này sẽ đóng góp phần nhỏ trong
việc day và học vật lý.
2 Mục đích nghiên cứu.
Tìm hiểu ngôn ngữ Mathematica và các ứng dụng của nó trong vật lý học
+ Xây dựng một số hàm phục vụ cho công việc tính toán các bài toán vật lý
bằng Mathematica+ Ung dụng ngôn ngữ Mathematica vào giải một số bài toán vật lý cụ thé
3 Nhiệm vụ nghiên cứu.
®& Nghiên cứu phần mềm Mathematica và img dụng giải các bài toán vật lí
+ Xây dựng gói hàm thực hiện các phép toán tensor.
+ Nêu bật được khả năng ứng dụng của Mathematica vao vật lý
o Cơ học lý thuyết
o Thuyết tương đối
+ Dé xuất hướng phát triển dé tài.
4 Phạm vi của đề tài
Ứng dung Mathematica vào giải các bai toán cơ học lý thuyết và thuyết tương
đối
+ Phan cơ học lý thuyết giải quyết một số bài toán về phương trình
Lagrange, phương trình Hamilton và các bài toán quỹ đạo.
® Phan thuyết tương đối giải quyết một số bài toán trong thuyết tương
đối hẹp, thuyết tương đổi rộng và vũ trụ học
5 Dự thảo nội dung.
Chương 1.Những van dé chung
GVHD: Th.S Nguyễn Anh Tuần Trang 2
Trang 12Khóa luận tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Vũ Nguyễn
Chương 2 Ung dụng Mathematica vao trong cơ học lý thuyết
Chương 3 Ung dụng Mathematica vào trong thuyết tương đi
Chương 4 Hướng phát triển của đẻ tài
6 Sơ lược về phần mềm Mathematica
Mathematica là một phan mẻm tính toán ra đời năm 1988, tác giá la
Stephen Wolfram Dén nay Mathematica đã ra đến phiên ban thứ 5 So với phiên
ban đầu tiên, phiên bản này đã có rat nhiều thay đổi nhằm đáp ứng cho việc tinh
toán trong các lĩnh vực khác nhau Đây là một trong những phan mềm tính toán
được sử dụng rộng rãi trên thế giới bên cạnh các phần mẻm tính toán khác như
Matlab, Mapble Mathematica là một phần mềm tính toán rit mạnh, có thé sử lý
nhiều kiểu dữ liệu khác nhau, từ số, kí hiệu tượng trung, ké cả các dữ liệu hình
ánh và âm thanh Ngay tử khi ra đời, nó đã được ứng dụng rit rộng rãi trong
nhiễu lĩnh vực nghiên cứu khác nhau của khoa học, nhất là vật lý và toán học Ưu
điểm của Mathematica là cấu trúc các câu lệnh tuân theo một qui cách chung, câu lệnh kha gan với ngôn ngữ tự nhiên do đó tạo điều kiện thuận lợi cho việc học va
sử dung ngôn ngữ này Tuy nhiên, các lệnh của Mathematica thường gây những
khó khăn nhất định khi mới làm quen với ngôn ngữ này, nhất là các cách viết thu
gọn của Mathematica.
Mathematica là một phần mềm có rat nhiều hàm dựng sẵn và các gói hàm
được xây dựng từ các hàm dựng sẵn này phục vụ cho các mục đích tính toán khác
nhau Khả năng tạo các gói ham của Mathematica đã được ứng dụng tạo ra những
gói ham rất lớn phục vụ cho các vấn dé riêng biệt của các lĩnh vực khác nhau
Bên cạnh khả năng tính toán, Mathematica còn có một khả năng đặc biệt
khác lả khả năng lập trình Mathematica có các lệnh lập trình từ đơn gián đến
phức tạp, cho phép người sử dụng lập trình và giải quyết các vấn dé theo các yêu
cau khác nhau.
Với những khả năng ưu việt, và không ngừng thay đổi, Mathematica ngày
cảng trở nên phổ biến và được ứng dụng rất nhiều trong các khác nhau.
GVHD: Th.S Nguyễn Anh Tuần Trang 3
Trang 13Khóa luận tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Vũ Nguyên
Chương II PHƯƠNG TRINH LAGRANGE
-HAMILTON
Trong chương nảy, chúng ta sẽ
dùng Mathematica giải quyết một
số bài toán của cơ học lý thuyết:
phương trình Lagrange, phương
trình Hamilton và các bài toán
quỹ đạo.
GVHD: Th.S Nguyễn Anh Tuấn Trang 4
Trang 14Khóa luận tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Vũ Nguyên
A, Tóm Tắt Lý Thuyết
Xét Tên động của hệ gồm N chất điểm trong hệ qui chiếu quán tính.
Những hạn chê về hình học hoặc động học đối với vị tri va vận tốc của các chat
điểm của hệ gọi là nhhững liên kết Cơ hệ có chứa các liên kết gọi là cơ hệ không
tự do Các liên kết được biểu diễn bằng các phương trình liên k
Nếu các vận tốc Z không có mặt trong các phương trình liên kết thì liên
kết được gọi là liên kết hình học hoặc liên kết hữu hạn hoặc liên kết holonom.
Phương trình liên kết có dạng
i (t, f) = 0
Nếu mọi liên kết trong cơ hệ đều là holonom thi cơ hệ được gọi là holonom
Nếu các phương trình liên kết có chứa những yếu tố động học không thé khử được khỏi các phương trình liên kết nhờ việc tích phân thì liên kết được gọi là
liên kết động học không khá tích Cơ hệ tương ứng gọi là cơ hệ phi holonom Ta
chỉ xét các cơ hệ holonom
a nai 11)
Di chuyển khả df của một chất điểm là di chuyển vô cùng bé phù hợp với
liên kết và diễn ra trong một khoảng thời gian vô cùng bé
Di chuyển ảo của một chất điểm là di chuyển vô cùng bé & phù hợp vớiliên kết tại thời điểm đang xét
b Hệ chất điểm
Tap hợp các vector di chuyển vô cùng bé dF thoả các phương trình liên
kết gọi là những di chuyển khả di
Tập hợp các vector di chuyển vô cùng bé & thoả các phương trình liên kết
tại thời điểm đang xét gọi là những di chuyển do
1.3 Số bậc tự do Toa đô suy rông
Hệ N cat điểm có 3N bậc tự do Nếu hệ chịu tác dụng của œ phương trình
liên kết holonom thì hệ có s = 3N ~œ di chuyên độc lập Dé xác định vị trí cơ hệ,
ta can s = 3N —œ số biến độc lap s gọi là số bậc tự do của cơ hệ
Nếu cơ hệ là phi holonom thi số các tọa độ độc lập dé xác định vị trí của cơ
hệ lớn hơn số bậc tự do của cơ hệ Các thông sẽ độc lập đủ để xác định vi trí của
cơ hệ gọi là các tọa độ suy rộng, kí hiệu q,
L4 Liên ket lý tưởng
GVHD: Th.S Nguyễn Anh Tuần Trang 5
Trang 15Khóa luận tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Vũ Nguyễn
O tại một vị trí đã cho vào một thời điểm xác định, hệ N chất điểm chịu tác
dụng của các lực Ế, còn các đi chuyến ảo của hệ là & thì
Xét hệ N chất điểm chịu các liên két lý tưởng đặt lên nó F, là lực hợp lực
của các lực hoạt động tác dụng lên chất điểm mụ R, là hợp lực các phan lực liên
kết tác dụng lên nó.
Theo định luật Il Newton
Fy + R, = my &
= >Fy -m&+ Ấy = 0
Cổ định thời điểm t va cho hệ thực hiện các di chuyển ảo &, Nhân vôhướng mỗi phương trình trên với &, rồi lấy tong
Với ải = 3 #,#, Công của lực hoạt động
MM" < 5ˆ#,“#, Công của lực quán tính
Nguyện lý trên gọi là nguyên lý D’Alembert - Lagrange: Tại mỗi thời điểm
của chuyên động của cơ hệ chịu liên kết lý tưởng, tong công của các lực hoạt động
va các lực quán tính trong di chuyển áo bit ki bằng không
Nguyên lý D`Alembcrt - Lagrange là một trong những nguyên lý tong quátnhất trong cơ học, bao trùm toàn bộ toàn bộ cơ học của các hệ chịu liên kết lý
tướng, holonom và phi holonom
GVHD: Th.S Nguyễn Anh Tuấn Trang 6
Trang 16Khóa luận tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Vũ Nguyên
Ill Các phương trình Lagrange
LII.1 Phương trình Lagrange loại |
Xét cơ hệ holonom gon N chất điểm chiu a liên kết hình học và B liên kết
Các di chuyển ảo của các chất điểm của cơ hệ phải thoả các phương trình liên kết
tại một thời điểm cố định Ta có
phương trình với 3N +oc+ din số xụ.y„, Z4 yy dự » Giải hệ phương trình nay, ta xác
định được chuyển động của cơ hệ và các lực liên kết đặt lên cơ hệ Tuy nhiên, nếu
số lượng chất điểm lớn thì việc giải phương trình sẽ rat phức tạp do if phuong
trình sẽ rat lớn
III.2 Phương trình Lagrange loại I!
Xét cơ hệ holonom N chất điểm chịu œ các liên kết hình học
Trang 17Khóa luận tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Vũ Nguyên
Tir nguyên lý D'Alembert - Lagrange, ta có
Đây là phương trình Lagrange loại II Số các phương trình bằng sô bậc tự do của
cơ hệ Các biến g,.4, gọi là các biến Lagrange
Nếu lực tác Gung lên bệ là lực thế
-Đây là phương trình Lagrange trong trưởng lực thé.
Nếu ngoài lực thé, hệ còn chịu tác dụng của các phản lực liên kết Q,*
Phương trình Lagrange có dạng
GVHD: Th.S Nguyễn Anh Tuần Trang 8
Trang 18Khóa luận tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Vũ Nguyên
di ôq — aq, F9
Với
: ^ of,
Q*| = » Aj ôq,
Dây chính là phương trình Lagrange loại I viết trong hệ tọa độ suy rộng
IV Nguyên ty Hamilton
Với cơ hệ holonom chịu các liên kết lý tưởng,và dưới tác đụng của các lực thé, con đường thực dé đưa hệ từ trang thai A sang trạng thái B là con đường
tương ứng với cực trị của hảm tác dụng S
Xét hệ N chất diém chịu tác dụng của các liên kết holonom q, la các tọa độ
suy rộng của cơ hệ Gọi L là hàm Lagrange của cơ hệ
Đặt p, a xung lượng suy rộng của cơ hệ
Hệ phương trình Hamilton có 2œ phương trình Giải hệ phương trình vi phân nay
ta được các phương trình chuyển động cúa cơ hệ
q=
GVHD: Th.S Nguyễn Anh Tuan Trang 9
Trang 19Khóa luận tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Vũ Nguyễn
Đề tìm phương trình Lagrange trong các bai toán không ding nhân tử
Lagrange, ta ding EulerEquations của gói ham VariationalMcthods Tải gói hàm
Ham nay sẽ trả lại các biểu thức của xung lượng suy rộng, ham Hamilton
và cuối cùng là các phương trình Hamilton,
Ham giải các phương trình vi phân bằng phương pháp nhiễu loạn
nhieuloanbaclleql_,x ,{x0 ,v0 },eps :eps,t_:t|:=
Module{{}, xRule={x-+(x[0][#]+eps x[1][#]&)};
GVHD: Th.S Nguyén Anh Tuan Trang 10
Trang 20Khóa luận tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Vũ Nguyên
L.1 Các Phương trình Lagrange không dùng nhân tử Lagrange
L.1.1 Vấn đề 1: Máy Atwood đơn
Máy Awood đơn là một co hệ gồm hai vật khối lượng m1 và m2 được nói
với nhau bằng một dây không giãn, không khối lượng có chiều đài | được vắt quamột ròng roc không ma sat Giá sử chuyển động chỉ xảy ra theo phương thẳng
đứng.
a Xác định ham Lagrange của cơ hệ.
b Tìm phương trình chuyển động của hệ và giải.
c Biểu điển kết quả tìm được
Phân tích
Vị trí của mì và m2 được xác định bing các toa độ x1, x2 theo phương
thing đứng Do x1 + x2 = I nên chỉ có một biến độc lập là x1 Chọn tọa độ suy
rộng là xI và đổi x2 sang x1 theocông thức x2 = l - x1 Khi 46, hàm Lagrange chỉ
có một biến độc lập là x1 Các phương trình chuyển động của hệ được xác định từ ham EulerEquations và giải bằng Dsolve.
<<"'Calculus`VariationalMethods'"' Clear[{*“Global'`*"|;
a Gọi xI,x2lần lượt là toa độ của các vật Tống động năng va thé nang của hệ
T= 1/2Sum|mili| x{i|'|t|^2,{i.1.,2)1:
V=- g Sum|mli| x{ï|{t|.(i.1.2)]:
GVHD: Th.S Nguyễn Anh Tudn Trang II
Trang 21Khóa luận tết nghiệp SVTH: Nguyễn Vũ Nguyên
Dây có chiều dài không giãn nên x1 và x2 liên hệ nhau qua phép biến đổi
doibien={x|2]>(Len-x{1J|#|&)):
Ham Lagrange của cơ hệ
L=T-V/.doibien
1
9 (8[2| (Len~« x[1| [t]) + [1] xÍ1][t]) + rì (8[1] K[1]7{E]” s 812) xfs (eI)
b Phương trinh chuyển động của hệ có từ ham EulerEquations
Trang 22Khóa luận tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Vũ Nguyễn
Line| {{0,0},{0,1.4}}}, Line| {{0.5,1.4},{-5,1.4}}]}];
Bằng cách nhấp đúp vào một hình, Mathematica sẽ tự tạo ra một đoạn hoạt hoạ
mô ta chuyển động của cơ hệ theo thời gian
1.1.2 Vấn dé 2: Con lắc đơn
Con lắc đơn gồm một vật nặng khỏi lượng m được treo vào một điểm có
định O bằng một đây không giãn, không khối lượng
a Tim hàm Lagrange và phương trình dao động của con lắc.
GVHD: Th.§ Nguyễn Anh Tuan Trang 13
Trang 23Khóa luận tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Vũ Nguyên
b Tìm biểu thức năng lượng và về giản đồ năng lượng của hệ
c Vẽ phương trình dao động của con lắc theo các góc cực đại 00 khác nhau.
d Khảo sát chu kì con lắc theo góc cực đại 80
Đối toa độ từ hệ tọa độ Decac sang tọa độ suy rộng bằng phép biến đổi:
doibien={x,y} + {(L Sin|9{#]]S&,(L Cos|@|#J|)&)//Thread;
Ham Lagrange của hệ
pt0=Solve[pt,o"[t]]/.Rule+Equal//Flatten//TrigReduce
g§in(ø[t] )
L
Đây là phương trình đao động của con lắc
b Năng lượng của hệ gồm tổng động năng va thé năng
Trang 24Khóa luận tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Vũ Nguyên
0
Đạo hảm năng lượng theo thời gian bảng 0 chứng tỏ năng lượng của hệ được bảo
toàn Khi động năng bằng 0, thé năng đạt giá trị cực đại, con lắc ở tại vị trí cực đại
00 Năng lượng của con lắc tại vị trí cực đại:
§n -1+ -2n ˆ 0 2" 3~ ta
}
Sn -3n -22 -" 0 +." 3x an
c Vận tốc góc được xác định từ biểu thức của năng lượng va góc cực đại 90 bằng
cách thay En tại vị trí cực đại của thế năng vào phương trinh nangluong và giải
Trang 25Khóa luận tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Vũ Nguyễn
Vz VE EiiapticF|$, cse[ ® |*|
Ýg- G05 (6)
Các điều kiện khi tinh tính tích phản: 8 >0 vả 0 < 00 Kết qua được cho dưới dang
ham EllipticF Khi cho giá trị của 60 va 0, ham này sẽ cho giá trị của thời gian t.
Giải phương trình trên tìm phương trinh dao động của con lắc:
kq@=Solve|pttg.@,InverseFunctions-+True |//Flatten
cÝg-gCesI901 3 cse| “| |)
{e¬ 2 JacobiAnp1+tude|——————
2 vt
Góc 0 được cho dưới dang ham JacobiAmplitude,
Dé thuận tiện, tạo một hàm mới sẽ trả lại giá trị của góc 8 theo t, 60 và w= g/L
kq@L|tl_,@l_,ø_ |=@/.kq@/.(t+t1,@0+@1,g+ L ø^2 } //PowerExpand
tì Vtư-tưi Cos [Ø1] ¿ cac| S1 |”|
Vt Vt ‡
Phương trình đao động của con lắc với các góc cực đại 00 khác nhau
data= Table| kq@LỊt i x1 ],{i0.1 ,0.9 ,0.2}] ;
Biểu điển kết quả này lên đồ thị:
tw
2 Jacobiasplitude|
Khi góc 60 nhỏ, con lắc dao động theo dé thị hình Sin
d.Khi 6 = 60, con lắc dao động được 1/4 chu kì.(Ban đầu con lắc tại vị trí cắn
bảng) Do đó, chu ki dao động của con lắc lả:
chuki=4 pttg[[2]]/.o=@0
GVHD: ThS Nguyễn Anh Tuan Trang 16
Trang 26Khóa luận tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Vũ Nguyên
8n.
an a”
00
a
L.1.3 Vấn đề 3: Hạt trượt trên mặt phẳng nghiêng có thể dịch chuyển.
Xét chuyển động của một chất điểm trượt trên mặt phẳng nghiêng không
ma sát Mặt phẳng nghiêng này chuyển động tự do trên một mặt phẳng ngang
không ma sát a là góc nghiêng của mặt phẳng nghiêng
a Viết biểu thức của hảm Lagrange, tìm các phương trình chuyển động và
giải Xác định thời gian chất điểm trượt trên mặt phẳng nghiêng
b Chứng minh năng lượng vả động lượng theo phương ngang của hệ bảo toản.
c Biểu diễn chuyển động của hệ.
GVHD: Th.S Nguyễn Anh Tuần Trang 17
Trang 27Khóa luận tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Vũ Nguyên
Phân tích
Cơ hệ được xác định bằng hai tọa độ suy rộng: xÌ xác định vị trí của mặt
phẳng nghiêng theo phương ngang và s xác định vị trí của chất điểm trên mặt
phẳng nghiêng Động năng và thế năng của hệ được xác định bằng các biến trong
hệ tọa độ Decac và chuyển sang các tọa độ suy rộng bằng các phép đôi tọa độ Các
phương trình Lagrange được tìm từ hàm EulerEquations và giải bằng Dsolve.
Giải
<<Calculus’ VariationalMethods ;
a Đông năng của hệ gồm hai phần: động năng của mặt phẳng nghiêng và của chất
điểm Động năng của mặt phẳng nghiêng
khối lượng của mặt phẳng nghiêng va của chất điểm Tọa độ Decac được đổi sang
Các phương trình Lagrange có được từ EulerEquations:
ptI=EulerEquations[L,{s{t|,x1{t|).:
GVHD: Th.S Nguyễn Anh Tuần Trang 18
Trang 28Khóa luận tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Vũ Nguyên
Trong đó sO và vs0 là vị trí và vận tốc đầu của chất điểm trên mat phẳng nghiêng,
x10 và vx10 là vị trí và vận tốc đầu của mặt phing nghiêng
Trong đó Rule-Equal dùng thay dấu - thành dấu = trong các phương trình của hệ
pt2 Thời gian chuyển động của chất điểm trên mặt phẳng nghiêng là thời gian
chất điểm đi hết chiều dài L0 của mặt phẳng nghiêng:
thoigian = Solve[Evaluate|s{t}/.kq1|==L0,t][[1,1]] //Simplify //Flatten
1
~ 2q (meM)
Vn 2NemCosi2a) V (~(m«+ 2M) vs0?~mvs0* Cos[2a] - 4g [m+M) (L0 - s0) Sinfa])))
Phương trình có hai nghiệm, thời gian được chọn là nghiệm dương.
b Để chứng minh động lượng theo phương ngang và năng lượng của hệ được bảo
toàn, xác định động lượng và năng lượng:
Năng lượng của hệ gồm tổng động năng và thé năng của hệ:
nangluong = T1 + T2 + V/.đoibien //Simplify
1
Đạo ham biếu thức động lượng theo thời gian vả thé s"'{t| vả x1""[t] vào:
t- (Cac[a] (mvs0 + 2Mvs0 -mvs0Cos[2a] +
(2qm(LO-s{t]) Sin(a] » MxI (tjŸ«m (8 [t}Ê- 2Cos(a) #ˆ{t] xi(t} « x1“[t]Ÿ)
GVHD: Th.S Nguyễn Anh Tuan Trang l9
Trang 29Khóa luận tết nghiệp SVTH: Nguyễn Vũ Nguyễn
D|nangluong,t] /.pt2 //Simplify
0
Kết quả bằng 0 chứng tỏ năng lượng của hệ được bao toàn.
Động lượng hệ theo phương ngang
Kết qua bang 0 chứng tỏ động lượng của hệ theo phương ngang được bảo toàn.
c Để biểu điển kết quả, tạo hàm ve[tt} về vị trí của chất điểm vả mặt phẳng
nghiêng theo thời gian t Chọn các giá trị của hệ là
giatri= {M+2,m-+1, s0-+0,vs0-0, x10+0,vx100,
g+10,a-+ 30 Degree,L0-+10};
Thời gian chuyển động của hệ
gtritgian = t /.thoigian /.giatri //N
(LO- s{t|) Sin|[œ])/.kq L/.giatri;
hat= {(Hue|{.0], PointSize[0.01], Point|vitri[tt}}};
vet=Table|{Hue|.0], PointSize[0.005], Point[vitri|t|])},
Trong đó;
GVHD: Th.S Nguyễn Anh Tuần Trang 20
Trang 30Khóa luận tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Vũ Nguyễn
Vị tri: xác định vị trí của chất điểm trong tọa độ Decac.
hat: về chất điểm
vet: về vị trí chất điểm đã chuyên động trước đó.
mpn: vẻ mặt phẳng nghiêng.
Chuyển động của hệ theo thời gian có được bằng cách tạo ra các hình vào
các thời điểm nối tiếp nhau.
Table|ve|i],(¡,0,gtritgian,L/24) |;
1.1.4 Vấn đề 4: Hạt trượt trên thanh quay
Đầu trên một thanh thẳng không ma sát được gắn vào một điểm cô định O.
Thanh tạo với phương thing đứng một góc / Thanh quay quanh trục thẳng đứng
với vận tốc góc œ Một hạt có khối lượng m được xỏ vào thanh va cho trượt đọctheo thanh.
a Tìm phương trình chuyển động của hạt và giải
b Gia sử r{0]= 0 và r`[0]= 0 Tìm thời gian để hạt trượt được một đoạn | trên
thanh Xét trường hợp khi ý = 0.
c Biểu diễn chuyển động của hạt.
Phân tích:
GVHD: Th.S Nguyễn Anh Tuần Trang 2l
Trang 31Khóa luận tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Vũ Nguyên
Vị trí của hạt được xác định trong hệ tọa độ cdu Or, 0, #), gốc toa độ đặt
tại điểm có định O Trong đó r xác định vị trí của hạt doc theo thanh, góc 0 = x
-ý với J là góc cô định hợp bởi thanh và phương thăng đứng và ¢ = @ t Hệ chỉ có
một toa độ suy rộng là r{t] Dé tìm phương trình chuyển động của hệ, dùng ham
EulerEquations và giải với DSolve Thời gian chuyển động của hạt được xác định
từ phương trình r{t] = Ì.
Giải
<<Calculus`VariationalMethods'`;
a Cơ hệ được xác định bằng các biến trong hệ tọa độ cầu Tọa độ Decac được đồi
sang tọa độ cầu bảng phép the
doibien={x.y,z}>{(r|#] Sin[6] Cos|ø #|)&,
(r[#] Sin[@| Sin|ø #|)&,
(r“(t] = gCos[ử] +a” r[t] Sin(ở]”)
Dé giái phương trình vi phân này, giả sử điều kiện đầu của hat là
Trang 32Khóa luận tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Vũ Nguyên
ịt gCot(é] CselJJ e t+#”/*! gcor(y) Csc([é)
‘ e r0 Cos( 2 @} Cac| ý | ˆ : e" rô Cos [2 | C«sc [ ý | ” F 9ì
e “SiN vOCacte}? SY) vOCos(2 4) Cacte}? eS"? v0Cos[24) Cacte)?
MapAt{f, bieuthuc, n]: áp dụng f lên thành phan thứ n của biểu thức Do đó, câu
lệnh trên sẽ nhóm các hệ số trong kql theo lu thừa của e^-x Số 2 xác định vị trí
của của biểu thức cần thu gọn
b Thời gian hạt trượt được một đoạn | trên thanh được tim từ phương trình r{t] =
Len Trong đó r[t} cho bởi kqr.
kqt=Solve|r|t]zz Len /.kqr/.(r0-0,v0-›0},t,InverseEunctions+True]||[2]|
//Simplify//PowerExpand//Flatten
(e+ ` (Cse tử] (~tes ta) +
“toa [e+ (leno? « Vian w Vian fs 2q Got Te] Coc ToT) sin te) te (e1]Ì) |
Tuy chọn InverseFunctions+True dé Mathematica không đưa ra thông bao vẻ ham
ngược Thời gian là nghiệm đương của phương trình Trong trưởng hợp giới han
khi thanh thăng đứng, thời gian chuyển động của hạt
Limit| t /.kqt,ý0|//PowerExpand
GVHD: Th.S Nguyễn Anh Tuần Trang 23
Trang 33Khóa luận tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Vũ Nguyên
v2 View
vs
Kết quả này tương tự như khi vật rơi tự do.
c Đề vẽ chuyển động của hạt, chọn các giá trị
BoxRatios+{1,1,1}, Boxed+True, AxesFalse,
Display Function+SDisplay Function};
1.1.5 Vấn đề 5: Viên bi trên vòng tròn quay
GVHD: ThS Nguyễn Anh Tuan Trang 24
Trang 34Khóa luận tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Vũ Nguyễn
Một viên bi khối lượng m có thé trượt không ma sát trong một ông hình
tròn, bán kinh r Ông quay quanh đường kính thắng đứng với vận tốc góc œ không
đổi Chí có trọng lực 14 ngoại lực tác dụng lên hệ.
a Tìm hàm Lagrange và phương trình chuyển động của cơ hệ
b Tìm biểu thức năng lượng của hệ và chứng minh năng lượng được bảo
toản.
c Xác định thé hiệu dụng của hệ và tim các điểm cân bằng Khảo sát tính chất
của thé theo œ
d Giái phương trình tim vị trí góc vả vận tốc góc của viên bi.
e Minh hoạ chuyển động của viên bi.
Phân tích
Vị trí của viên bi được xác định bằng các tọa độ cầu Or, 9, #) với gốc toa
độ tại tim của vòng Trong đó, r là bán kính của vòng, $= ø t Vị tri của viên bi
được xác định bằng toa độ suy rộng / với ¿ =x - 0 Phương trình chuyển độngcủa viên bí được xác định từ hàm EulerEquations Biểu thức năng lượng của hệ
được tim từ biểu thức của hàm Hamilton H =@/'{t} DỊL,/'[t]]-L) và thé năng hiệu
dụng của hệ được xác định từ biểu thức của năng lượng.
Giải
a Hệ có một bậc tự do là góc hợp bởi viên bi với phương thang đứng Chọn hệ tọa
độ là hệ tọa độ cầu với gốc tọa độ tại tâm vòng tròn Khi đó tọa độ suy rộng để xác
định vị tri viên bi là góc ứ.
Toa độ viên bi trong hệ tọa độ cầu được xác định bởi
GVHD: Th.S Nguyễn Anh Tuấn Trang 25
Trang 35Khóa luận tết nghiệp SVTH: Nguyễn Vũ Nguyễn
doibien={x,y.z}~> { (r Sin|9|#|| Cos|œ#|)&,
[#“tt] ¬ +a? Cos [#[t]] Sin [#[*}]}
b Năng lượng của viên bi được xác định từ hàm Hamilton
H = 6y'[t] D[L.ư{t ]-L)
nangluong=(y'[t] Đ[L„ý'{t||-L)//TrigExpand//TrigReduce//Expand
1 › a 1
- ¿ mI?,?~ gmr C8 [0[t] } + 7 mr*w* Cos [2 /[t]] + ạ mr?w[t]2
Dé chứng minh năng lượng hệ bảo toản, đạo ham biểu thức năng lượng theo thời
gian và thé "tir pty vào
D|[nangluong,t|/.pt///ExpandAl//Simplify
0
Kết quả bảng 0 chứng tỏ năng lượng của hệ được bảo toàn
e Biểu thức năng lượng của hệ gồm hai phan: động năng và thể năng hiệu dụng.
Thé năng hiệu dụng được xác định từ biểu thức nang lượng khi cho động năng
bang 0
Veff=nangluong//./'|t|-0//TrigReduce
GVHD: Th.S Nguyễn Anh Tuần Trang 26
Trang 36Khóa luận tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Vũ Nguyên
F (~-m r? øÊ - 4 gmr Cos (0[t}] + m rỶ u* Cos |2 #[t] ]})
Vị trí cân bằng của viên bi được xác định từ phương trình D[Veff, t] =0 Dao ham
Veff theo /
dYeff=D|Veff./|t||//Expand//TrigExpand
gmr Sin [#[t]] -m r2 œ2 Cos [#[t]] Sin [ứ{t] ]
Giải phương trình dVeff = 0 tìm các vị trí cân bằng
kqcbang=Solve[dVeff-:0,{t|,InverseFunctions>True)
{(0[t] +0}, {#(t) + -ArcCos | : cuc |}, {#ttl + Arcos [ 9, ]})rue
Do sử dụng hàm ngược, nên còn một nghiệm nữa là ¿ =r.
điemecbang=Join| {{#{t|>>}},kqebang|
(tứ[t] +3, (elt) +0), {uit} + -Arcces | — |}, (ett) +arccos | - |))
Hai giá trị cuối của vị trí cân bằng đòi hỏi vận tốc quay của vòng phải thỏa
u^2>g/r vì g/t w*2 phải bé hơn 1.
Dé chứng minh các giá trị của / trong diemcanbang là vị trí cân bằng của viên bi,
thé vào biểu thức đVefF
dVefT=0//.diemebang
{True,True,True,True}
Chứng tỏ các giá trị ý trong biểu thức diemcanbang là các vị tri cân bằng của thé
năng hiệu dụng của hệ Để vẽ thế năng hiệu dụng như là hàm của “' và O, không
mat tính tổng quát, chọn các giá trị r, g và m
Trang 37Khỏa luận tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Vũ Nguyễn
Thế năng hiệu dụng của viên bỉ có một điểm cân bảng không bẻn ở định của vòng
vả một điểm khác ở đáy của vòng Hai điểm cân bằng còn lại lả bền nhưng chỉ tôn
tại trong trưởng hợp ¿^2> g/r Dé so sánh tính chat của hệ trong hai trường hợp
khi w°2 > g/r và „^2 < g/r , vẻ thé năng khi w = 2 và khi w = 0.2.
Khi ¿^2 < g/r, vị trí cân bằng ở đáy vòng là bẻn, còn tại đinh vòng là không bẻn.
Gian dé năng lượng hệ trong hai trường hợp
Trang 38Khóa luận tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Vũ Nguyền
d Trong ptứ đặt /'[t] = dứvà thay ¿"{t]= du"[t]}
ptdứ={ptứ/.(/""It|¬>dự'{t|},'[tÌ==d/{t|)/.Rule-»Equal//Flatten
_ g8in [#[t]]
r
{di ft] +w* Cos (0{t| ] Sin [#[t}}, #[t] « ds[(t}}
Hệ phương trình này xác định góc ứ và vận tốc góc /*[t| Phương trình nay được
giải bằng NDSolve và biểu diễn kết quả bang đỏ thị.
[rước hết, đặt các giá trị của hệ:
Các kết qua được biểu diễn bằng hàm Interpolating
16 thị chuyển động của viên bi trong trường hợp dau
Trang 39Khóa luận tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Vũ Nguyên
Trong trường hợp này, góc / tăng liên tục: viên bi chuyển động theo vòng
tròn.Biểu diễn các chuyển động này lên giản dé pha và kết hợp với giản đồ năng
lượng:
hình1=ParametricPlot{| (#{t|,dớ[t|)/.kqđứ{[#J|//Evaluate,(t,0,10),
PlotStyle->Thickness|.015}, DisplayFunction=ldentity | &/@{1,2};
hinh2=ContourPlot[nangluong/.giatri1//Evaluate,{/{t],0,4x),{ứ {t|.-2.3},
ColorFunctionHue, PlotPoints+7§5 ,
DisplayFunction-Identity
FrameTicks {x Range{0,8,1],Automatic} ];
Show[hinh2,hinh1, DisplayFunction-+S$Display Function);
GVHD: Th.S Nguyén Anh Tuan Trang 30
ne
Trang 40Khóa luận tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Vũ Nguyễn
Khi năng lượng dau của hệ nhỏ, viên bi dao động quanh vị trí cân bang, khi năng
lượng dau của viên bi lớn, viên bi sẽ chuyển động theo vòng tron.
d Dé biểu diễn chuyển động của viên bi theo thời gian, tạo hàm hat[tt} vẽ chuyển
động của viên bi theo thời gian.