Các đại lượng vật lý chỉ phốichuyển động quay của vật là moment của lực tác dụng lên vật, moment quán tính của vật đối với một trục và moment động lượng của vật.. Khóa luận này với chủ d
Trang 1TRƯỜNG ĐẠI HỌC SU PHAM THÀNH PHO HỒ CHÍ MINH
KHOA VẬT LÍ
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP
CUAMOT VATRAN
GVHD : TS NGUYEN TRAN TRAC
SVTH : DUONG MONG LINH
NIÊN KHOA 2001 - 2005
Trang 2LỜI NÓI ĐẦU
Chuyển động quay là một chuyển động cơ bản trong cơ học - trong
đời sống hằng ngày cũng như trong kỹ thuật Các đại lượng vật lý chỉ phốichuyển động quay của vật là moment của lực tác dụng lên vật, moment quán
tính của vật đối với một trục và moment động lượng của vật.
Khóa luận này với chủ dé “moment quán tính trong chuyển động quaycủa một vật rắn” sẽ khảo sát về vai trò của các đại lượng vật lý nói trên
trong chuyển động quay của một vật, đặc biệt là vai trò của moment quán tính, càng các mối tương quan giữa các đại lượng trên Trong giáo trình cơ
học đại cương ta đã tìm hiểu về moment quán tính, nhưng thường chỉ xét
trong trường hợp các vật rắn có hình dang đặc biệt, quay quanh các trục đối xứng Các phép tính dùng để xác định moment quán tính của các vật này
cũng tương đối đơn giản Trong khóa luận này, vấn dé được tìm hiểu một
cách tổng quát hơn, thông qua các công cụ là các toán ut quán tính, ma
trận quán tính, qua đó ta có thể giải được các bài toán khá phức tạp, chưa
có thể giải quyết trưóc đây trong cơ học đại cương
Nội dung trong khóa luận này gdm có :
© Chương I: Định luật động lực học cho một vật quay quanh một
trục cố định
© Chương II: Moment động lượng, động năng của mét vật quay
© Chương Ill: Chuyển động phẳng của một vật
© Chương IV: Cách tính moment quản tính của một số vật thể
Định li Huygens — Steinner
« Chương V: Tenso quán tính
Để có thể hoàn thành tốt khoá luận này, bên cạnh sự nổ lực của bản thân
thì chính thay cô và bạn bè là người đã hướng dẫn và giúp đỡ em rất nhiều trong suốt tiến trình thực hiện dé tài Em xin gdi lời cằm ơn chân thành nhất đến:
Ban Giám Hiệu và khoa Vật Lí trường ĐHSP TP.HCM.
Thây Nguyễn Trdn Trác - người đã dẫn dắt , động viên và góp ý trong
suốt quá trình thực hiện đề tài.
Quý thdy cô khoa Vật Lí trường ĐHSP TP.HCM đã tận tinh gidng dạy em
trong suốt những năm học vừa qua.
Khoảng thời gian thực hiện dé tài này không phải là it nhưng cũng không
nhiêu để có được một khoá luận hoàn chỉnh Mặt khác, do hạn chế về mat kinh
nghiệm nên sẽ có những thiếu sót trong dé tài là điều không thể tránh khỏi Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý thdy cô và bạn bè để khoá luận này
được hoàn thiện hơn Đó sẽ là những kinh nghiệm quý báu làm hành trang giúp em
phát huy khả năng và sáng tạo hơn trong sự nghiệp giảng dạy sau này.
Sinh viên thực hiện
Đương Mộng Linh
Trang 3MỤC LỤC
Chương ï : ĐINH LUAT ĐỘNG LỰC HỌC CHO MOT VAT
QUAY QUANH MỘT TRỤC CỐ ĐỊNH
I Chuyển động quay của vật quanh trục cố định
Il Định luật động lực học của vật quay quanh một trục
IV Động năng của vật vừa chuyển đông tịnh tiến vừa
Il Moment quán tính của vật ran tròn xoay
I Tính moment quán tính của vật đối với trục bất kỳ
đi qua khối tâm
IV Định ly Huygens - Steiner
Chương V : TENSƠ QUAN TÍNH
I Tensơ quán tính
Il, Tensơ quán tính chính và trục quấn tính chính.
III, Elipsoid quán tinh
IV Tinh moment quán tính của một vat rấn - lập toán
43
Trang 4MOMENT QUAN TẾNN TRONG CHUYỂN ĐỘNG QUAY CUA MỘT VAT RAN cvnn Ts NGUYÊN TRẤN TRAC
CHUONGI:
DINH LUAT DONG LUC HOC CHO MOT VAT
QUAY QUANH MỘT TRUC CỐ ĐỊNH.
I CHUYỂN ĐỘNG QUAY CUA VAT QUANH TRỤC CỐ ĐỊNH
Xét một vật chuyển động xung quanh một trục cố định Quỹ đạo của tất cả
các điểm của vật là những đường tròn mà tâm của chúng nằm trên một đường
thẳng trùng với trục quay Những phần tử khác nhau thì có vận tốc và gia tốc
khác nhau, phan tử nào xa trục quay nhất thì vận tốc của nó lớn nhất Ngược lạitất cả những hạt này lại có cùng vận tốc góc Vận tốc góc xác định đẩy đủ đặc
tính chuyển động của toàn bộ vật rấn trong chuyển động quay của nó quanh trục
Vận tốc góc nói chung là một hàm biến thiên theo thời gian Ở bất kỳ một
thời điểm, vận tốc góc thì giống nhau cho các phần tử của vật rắn, và có gia tốccóc là :
a— (I1)
Gia tốc thẳng của những phần tử khác nhau trong chuyển động quay của
vật rấn có thể khác nhau Vectơ gia tốc thẳng của bất kỳ phần tử nào đều nằm
trong mặt phẳng quỹ đạo của phần tử đó Chúng ta hãy dm mối liên hệ giữa gia
tốc góc và thành phẩn gia tốc thẳng của hạt tiếp tuyến với quỹ đạo Hình 1.1
biểu diễn mặt phẳng quỹ đạo của hạt có vận tốc v = or, r là khoảng cách từ hạt
đến trục quay.
#YTN, DƯƠNG MONE LINN TRANG f
Trang 5MOMENT QUAN Tit TRONG CHUYỂN ĐỘNG QUAY CỦA MỘT VAT RAN @YWD , Ts NGUYÊN TRẤN TRAC
Độ lớn của gia tốc tiếp tuyến được xác định bởi sự thay đổi vận tốc v của
hạt trên quỹ đạo và được đo bởi công thức:
dv da A
“Tế tiến (12)
II ĐỊNH LUAT ĐỘNG LỰC HỌC CUA VAT QUAY QUANH MỘT TRỤC CỐ ĐỊNH.
Bây giờ ta tìm sự liên hệ giữa vận tốc góc và tổng hợp moment của lực tác
dụng lên vật quay quanh trục cố định.
Để tìm ra mối liên hệ giữa vận tốc góc và tổng hợp moment của lực tắc
động chúng ta bắt đầu nghiên cứu chuyển động của một hạt bất kỳ nằm trên vật
Gọi m, là khối lượng của hạt đó và có khoảng cách từ hạt đến trục là r, Trongtrường hợp tổng quát hạt bị tác động bởi nội lực và ngoại lực Trước tiên hạt chịutác động bởi vật khác, rỗi sau đó các hạt nằm trên hệ vật tương tác lẫn nhau.Chiếu những lực đó lên đường thẳng AB ( hinh1.2 ) vuông góc với r¡ nằm trongmặt phẳng chứa hạt thứ ¡ và vuông góc với trục quay
© 5ˆ(/), là tổng các thành phan gây ra chuyển động quay của nội lực
Trang 6MOMENT QUAN TÍNM TRONG CHUYỂN ĐỘNG QUAY CỦA MỘT VAT RAN ©YWD , 1s NGUYÊN TRẤN TRAC
e >,),tổng các thành phẩn gây ra chuyển đông quay của ngoại
lực
Trong đó hình chiếu của các lực làm vật quay ngược chiều kim đồng hổ
mang dấu dương và ngược lại
Vậy với hạt thứ ¡, áp dụng định luật hai động lực học ta có :
mAs = mr SẼ =(/),*(//), (13)
Kế tiếp chúng ta đi tim moment của những lực tác động lên hat đối với
trục quay bằng cách chúng ta nhân ( 1.3 ) với r, và chúng ta được
? “
my, =r(/),+r(), (L4 )
với tất cả các hạt của vật ta xế:
10.5 mr? = Delf), + EAU, as
Vì mỗi nội lực sẽ có một nội lực khác bằng với nó về độ lớn nhưng ngược
hướng và cánh tay đòn của cả hai lực bằng nhau Nên ta có
Phương trình 1.7 phát biểu là: tổng hợp moment của các lực làm vật quay
quanh trục cố định thì bằng với moment quán tính của vật đối với trục đó nhân
với gia tốc góc của vật.
Đó là định luật động lực học cơ bản cho chuyển động quay của vật rấn
quanh trục cố định (định luật thứ hai của Newton cho sự quay) Nó tương tự định
luật động lực học thứ hai của các chuyển động chất điểm, chỉ khác ở chổ lực được thay thế bằng moment ngoại lực đối với trục, gia tốc thẳng được thay bằng
gia tốc góc và khối lượng được thay bằng moment quán tính đối với trục quay
Từ 1.6 ta thấy moment quán tính của vật rắn đối với một trục là đại lượng
vật lý được tính bằng tổng các tích khối lượng của các hạt cấu tạo nên vật vớibình phương khoảng cách từ hạt tới trục Moment quán tính đối với một trục
không chỉ lệ thuộc vào khối lượng của vật mà còn lệ thuộc vào sự phân bố khối
lượng đối với trục Nếu khoảng cách của các hạt tới trục tăng thì moment quán
tính cũng tăng.
Trang 7MOMENT QUAN TINH TRONG CHUYEN ĐỘNG QUAY CUA MỘT VAT RAN OvHD Ts NGUYỄN TRAN TRAC
Thứ nguyên của moment quán tinh là KgmỶ trong hệ SI va gcmỶ trong hệ
cgs.
Để tìm ra moment quán tính của vật chúng ta phải chia vật thành những
phan đủ nhỏ, xác định khoảng cách từ mỗi phan tới trục, nhân khối lượng của
mỗi phần tử với bình phương khoảng cách và cộng tất cả kết quả chúng lại.
Thí dụ 1: Xét vat được trình bay như hình ( 1.3 )
Hình 1.3
Vật gồm tám quả cầu giống nhau đặt ở đỉnh của một hình lập phương cạnh
là a Ta tính moment quán tính của vật đối với trục đi qua tâm của các quả cầu 2
và 6, Giả sử đường kính của quả cầu rất nhỏ so với cạnh a Ký hiệu m là khốilượng của một quả cầu
Chúng ta dé dang nhận thấy rằng tổng các moment quán tính của bốn quả
cau 1, 3, 5,7 là 4ma’, tổng moment quán tính của hai qua cẩu 4 và 8 là 4ma*
trong khi moment quán tính của mỗi quả cẩu 2, 6 thì bằng không.
Moment quán tính của toàn bộ vật:
1 = 4ma’ + 4ma’ = 8ma?
eee ee eee ee
Trang 8MOMENT QUAN TÍNH TRONG CHUYEN ĐỘNG QUAT CUA MỘT WAT RÁN @YWD , Ts NGƯYÊN TRẤN TRAC
Thí đụ 2 : Xét hệ cơ học gồm một ròng roc nhỏ quay quanh một trục đầmmang Thanh A gắn chặt với ròng roc, trên thanh có mang hai vật có khối lượng
Khi toàn bộ sợi dây không còn quấn vào ròng rọc, thanh A tiếp tục quay
do quán tính và vật m bất đầu chuyển động đi lên Khi chuyển đông quay của
thanh dừng lại, vật m lại chuyển động đi xuống và chuyển động lập lại như trên,
ta nói hệ đang dao động Rõ ràng rằng các gia tốc của chuyển động quay của
ròng rọc cùng với thanh mang hai vật nặng m, và m; và gia tốc trong chuyển
động thẳng của vật m là hang số, giữ nguyên giá trị khí m chuyển động lên hoặc
xuống
Bây giờ ta xét những phương trình động lực học của thanh chuyển động
quay (với các khối lượng mị và m; ) và vật m.
[Relo
weiaal| G87
4,22
Trang 9MOMENT QUAN TINH TRON© CHUYỂN ĐỘNG QUAY CỦA MỘT VAT RAN VD, Ts NGUYÊN TRÁN TRAC
từ (1.9) ta thấy gia tốc a có thể rất nhỏ so với g với điểu kiện | >> mR (những
định luật mà ta vừa thiết lập không áp dụng cho khoảng thời gian ngắn khi vật m
gần điểm thấp nhất và dây thôi không tháo ra mà bắt đầu quấn lại vào ròng rọc
Trọng khoảng thời gian này vật m có một độ dời ngang và moment của các lực
làm quay ròng roc thì không bằng với ƒ.R)
XYTN, DƯƠNG MÔNG Linn TRANG 6
Trang 10MOMENT QUAN TiWH TRONG CHUYỂN ĐỘNG QUAY CUA MỘT VAT RAW ovwo , Ts NGUYÊN TRẤN TRAC
nao tương ứng với động lượng trong chuyển động tinh tiến của hạt ?
Ở phẩn này ta sẽ thấy đại lượng tương ứng này được gọi là moment động
lượng.
I MOMENT ĐỘNG LUGNG
Moment động lượng của hạt có khối lượng m, được xác định bằng tích của
khoảng cách r, từ hạt đó tới trục quay với động lượng của hạt Giá trị bằng số của
moment động lượng của hat thì bằng với mux/, trong đó v, là vận tốc của hat.
Bởi vậy moment động lượng của vật rắn quay quanh một trục được định
nghĩa là tổng các moment động lượng của các hạt và được cho bởi công thức
Na 3 mzv, (H.1)
biểu thức của moment động lượng có thể được viết lại dưới dạng
N= >mrœ = œ3 my; =lœ (H.2)
Vậy độ lớn của moment động lượng của vật rin quay quanh trục thì bằng
với tích của moment quán tính của vật đối với trục đó với vận tốc góc.
II ĐỊNH LUẬT ĐỘNG LỰC HỌC CƠ BẢN CỦA VẬT RẮN
Nếu tổng moment M của các ngoại lực bằng không thì moment động
lượng của vật có giá trị không đổi
Trang 11MOMENT QUAN Tien TRONG CHUYỂN ĐỘNG QUAY CỦA MỘT VAT RAN ovwo , Ts NGUYÊN TRẤN TRAC
dN
= N s lo = con
Như vậy biểu thức (II.3” ) diễn tả định luật bảo toàn moment động lượng.
Khi vật rấn quay quanh một trục và có M = 0, nghĩa là moment động
lượng N của vật quay là hằng số, chuyển đông của vật tương tự như một chuyển
động do quán tính với mv = const Tuy nhiên, có một sự khác biệt quan trọng
giữa những hiện tượng tương tự này : vận tốc của một điểm trong chuyển động
quán tính được giữ là hing số Trong khi đó chuyển động quay của vật với
moment động lượng N là hằng số thi không nhất thiết vận tốc góc là hằng số bởi
vì moment quấn tính I của một vật có thể thay đổi trong suốt quá trình chuyển động Nếu moment quán tính của vật thay đổi thì vận tốc góc cũng thay đổi.
Vậy, khi moment của ngoại lực bằng không vận tốc góc sẽ thay đổi tỉ lệ nghịch
với moment quán tính.
II ĐỘNG NANG CUA VAT QUAY
1 Động năng vật quay
Động năng của vật quay có thể được tính bằng tổng động năng của các hạt
cấu tạo nên vật Động năng của hạt có khối lượng m, cách trục quay một khoảng
Công thức (ILS) cho động năng của vật quay tương tự với công thức tinh
động năng của chuyển động tịnh tiến Điểm khác biệt ở đây là trong trường hợp
chuyển động quay khối lượng được thay bằng moment quán tính I của vật và vận
tốc thẳng được thay thế bằng vận tốc góc
2 Mối tương quan giữa chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay.
Công của lực tác động lên vật quay quanh một trục cố định có thể được
xác định theo cách thông thường là tính tích vô hướng của vectơ lực tác động với
vectơ dịch chuyển tương ứng Một cách khác, công này cũng có thể được diễn tả
qua moment của các lực Đặt F là tổng của các ngoại lực và điểm đặt của hợp
lực này chuyển động trên đường tròn bán kính R Ký hiệu F, là hình chiếu của F
lên phương tiếp tuyến của đường tròn Và để ý rằng trong suốt thời gian dt điểm
đặt của lực dịch chuyển một đoạn là R.dz với da@ là góc quay của vật trong
khoảng thời gian dt Công vi cấp của ngoại lực trong suốt thời gian dt là:
F,.Rdư
SVTH, DUONG MONO LINN TRANG 8
Trang 12MOMENT QUAN Thtn TRONG CMUYẾN ĐỘNG QUAY CUA MỘT WAT RAN ovnn ts NGUYÊN TRẤN TRAC
Tích F,.R bằng với moment của lực tổng hợp và do đó công vi cấp này có
tính theo góc quay khi moment thay đổi
Nếu vật bị tác động chỉ bởi moment M của các lực thì công của các lực
bằng với độ biến thiên của động năng Thật vậy, theo định luật động lực học ta
ecm mes sias
Bang so sánh chuyển động của một hạt với chuyển động quay của một vật
Trang 13MOMENT QUAN TÍNH TRONG CHUYỂN ĐỘNG QUAY CUA MỘT VAT RAN ovwo , Ts NGUYÊN TRẤN TRAC
Bây giờ ta xét một thí nghiệm trong đó động năng chuyển động quay của
vật thay đổi.
Xét bài toán với hệ cơ học được mô tả ở hình 2.1 cho thanh A quay quanh
trục vuông góc với thanh Hai quả cẩu giống nhau có thể trượt dọc theo thanh
Lúc đầu hãy để các quả cầu gắn trục quay và được nối với nhau bằng một sợi
dây, Cho hệ (thanh và những quả cầu) một vận tốc góc ban đầu ø„ Sau đó, sợi
đây bị cất, quả cầu sẽ tự nhiên trượt xa khỏi trục quay về phía cuối của thanh
(lực ma sất xem như không đáng kể) Trên thanh có hai chốt chặn đặt ở haikhoảng cách bằng nhau tính từ trục để ngăn những quả cẩu không rời khỏi thanh
Tìm vận tốc góc cuối cùng của thanh với điều kiện là sự đụng của những quảcầu với các chốt chặn là hoàn toàn đàn hồi
Giả sử rằng ở thời điểm ban đầu các quả cầu cách trục quay một khoảng
Ro và ở thời điểm t chúng cách trục quay một khoảng R Vận tốc góc ở thời điểm
t có thể được xác định từ điểu kiện moment bảo toàn động lượng:
N = a (1, + 2miRÈ ) = œ1, + 2mR?) = const (11.8)
m là khối lượng của mỗi quả cầu Ip là moment quán tính của hệ quay khi không
kể những quả cẩu (lạ = const) Động năng của chuyển động quay ở thời điểm t là
Trang 14MOMENT QUAN TÊN TRONG CHUYỂN ĐỘNG QUAY CỦA MỘT VAT RAN ovno , Ts NGUYÊN TRẤN TRAC
D6 giảm động năng là:
AE =2 Na, =e)) (1.11)
Một câu hỏi được đặt ra là: độ giảm động năng AE đã được dùng vào việc
gì? (giả sử lực ma sát nhỏ không đáng kể) Để trả lời câu hỏi này chúng ta hãy
xem xét các hiện tượng một cách chỉ tiết hơn.
Theo công thức (IL9), ta thấy E bat đầu giảm khi quả cầu dịch chuyển ra
xa trục quay (R > Rạ), bởi vì moment động lượng là hằng số trong khi momentquán tính tăng, do đó vận tốc góc giảm Tuy nhiên, vì lực ma sát không đáng kể
năng lượng được bảo toàn Do đó, công thức (11.9) rõ ràng không diễn tả tổngđộng năng của các vật chuyển động mà chỉ biểu diễn một phdn của năng lượng.Như vậy công thức (II.9) không bao gồm động năng tương ứng với chuyển độngthẳng của các quả cầu dọc theo thanh Sự giảm AE nói trên của năng lượng,
được diễn tả bởi công thức (11.11), bằng với giá trị động năng đó.
Nếu quả cầu dừng lại ở cuối thanh, ta có hiện tượng va chạm mềm Thông
thường trong hiện tượng như vậy toàn bộ động năng chuyển thành nhiệt Giá trị
của cơ năng chuyển thành nhiệt được cho bởi công thức (II I 1)
Hiện tượng sẽ khác khi các quả cẩu va chạm hoàn toàn đàn hồi với cácchốt chặn và cơ năng không biến thành nhiệt Rõ ràng là trong trường hợp nàynhững quả cầu có vận tốc thẳng ¥, (hướng ra từ trục quay trước khi va chạm đànhổi) bị nảy lại từ các chốt chặn sau khi đụng với vận tốc -ÿ, (hướng về trục
quay) Lực quán tính li tâm làm giảm tốc chuyển động ngược lại của các quả
cấu và moment quán tính của hệ giảm, vận tốc góc của hệ lại tăng lên Chuyển
động của các quả chu về phía trục sẽ dừng lại khi R bằng với Ro Ở thời điểm đó
giả sử vận tốc góc ban đầu có giá trị là @, Sau thời điểm đó, các quả cầu lạidịch chuyển ra xa trục và quá trình tiếp tục một cách tuần hoàn Do đó nhữngquả cầu sẽ dao động dọc theo thanh và vận tốc góc cũng biến thiên tuần hoàn.Hiện tượng được mô tả như trên xảy ra khi không có lực ma sát trong chuyển
động quay của thanh A cũng như trong chuyển động trượt của quả cấu dọc theo
thanh.
IV ĐỘNG NẴNG CỦA VẬT VỪA CHUYỂN ĐỘNG TỊNH TIẾN
VUA CHUYỂN ĐỘNG QUAY.
Động năng của vật rắn thì bằng tổng động năng của những phẩn tử tạo
trong đó ÿ là vận tốc thẳng của hạt thứ i Vận tốc này có thể được biểu diễn
dưới dạng tổng của hai vận tốc: vận tốc v„ của khối tâm và vận tốc 1 của hạt
Trang 15MOMENT QUAM Then TROMO CHUYEN ĐỘNG QUAY CỦA MỘT VAT RAN ovnn , Ts NGUYÊN TRẤN TRAC
đối với hệ trục tọa độ gắn với khối tâm và chuyển động tinh tiến cùng với khối
Mối quan hệ quan trọng này được 4p dụng cho chuyển động bất kỳ của
một vật rấn nào và không chỉ cho một vật rắn mà còn cho một hệ thống bất kỳ
của nhiều vật rấn
2
Vậy động năng của vat bao gồm hai phan =| và Sma? Số hạng thứ
nhất là động năng của chuyển động tịnh tiến và số hang thứ hai là động năngcủa chuyển động tương đối đối với hệ quy chiếu gấn với khối tâm và chuyển
động tịnh tiến cùng với khối tâm.
Bất cứ chuyển động phẳng nào của một vật rấn cũng có thể được biểudiễn như hợp của hai chuyển động: chuyển động tịnh tiến của khối tâm và
chuyển động quay quanh trục đi qua khối tâm và luôn luôn song song với một
phương cố định trong suốt quá trình chuyển động Vì vậy, trong trường hợp này,
động năng của một chuyển động đối với khối tâm là năng lượng của chuyển
động quay của vật quanh một trục đi qua tâm.
Như đã trình bày động năng chuyển động quay của một vật với vận tốc
2
góc œ thi bing a Trong đó 7= }'m, là moment quán tính của một vật đối
với trục tương ứng đi qua khối tâm
Vì thế tổng động năng là
E, =, Jo (11.15)
2 2Vậy động năng của vật trong một chuyển động phẳng bất kỳ là tổng của
động năng = của chuyển động tịnh tiến và năng lượng = của chuyển động
quay.
Trang 16MOMENT QUAN TÍNH TROWG CMVYỂN ĐỘNG QUAY CỦA MỘT VAT RAN @VWD Tý NGUYÊN TRẤN TRAC
CHUONG III:
CHUYEN DONG PHANG CUA MOT VAT
I CHUYEN DONG PHANG CUA MOT VAT
Việc khảo sát chuyển động của một vật khi điểm đặt của lực tác dụng ở
một vị trí tùy ý thì khá phức tạp Do đó, chúng ta sẽ bất đầu với một chuyển động phẳng của một vật khi tất cả các phần tử của vật cùng di chuyển trong
những mặt phẳng song song với mặt phẳng xác định nào đó.
Trước tiên, hãy xét thí nghiệm sau: Xét một bản nhấn di chuyển trên bể
mặt một bàn nhấn Nếu ta đóng một cây định lên bản, cột sợi dây vào định và
kéo sợi đây Tấm bản sẽ dịch chuyển mà gia tốc khối tâm của bản sẽ trùng với
phương của lực tác động Nếu chuyển động bắt đầu từ trang thái đứng yên và sợi
đây không đổi phương thì vận tốc của khối tâm sẽ trùng vối phương của sợi dây
Tuy nhiên, bên cạnh chuyển
động đó, bản cũng có thể quay
quanh một trục thẳng đứng.
Thay đổi vị trí của cây đính trên
bản, ta quan sát thấy chuyển
động quay trở nên chậm hơn khi
điểm đặt của lực tác động gin
với khối tâm Khi cây đỉnh ở
ngay khối tâm, bản chuyển động
thẳng mà không quay.
Hình 3.1
Trong trường hợp này moment của ngoại lực đối với trục thẳng đứng đi
qua khối tâm bằng không Vì thế chúng ta có thể rút ra kết luận rằng chuyển động quay của tấm bản phụ thuộc vào moment của ngoại lực đối với trục thẳng
đứng ta xét.
Bây giờ, xét chuyển động phẳng của một vật đối với hệ quy chiếu cố định
Oxy (xem hình 3.2a) không gắn với vật (mọi chất điểm của vật chuyển động
song song với mặt phẳng Oxy) Xét một phan tử (hat) rất nhỏ của vật, có khối lượng m,, và có thể coi là một chất điểm Vị trí của hạt được xác định bởi bán
kính vectơ R, vẽ từ gốc O Giả sử hạt chịu tác động bởi ngoại lực là (7) và nội
lực (Z} Định luật về chuyển động của hat có thể được viết:
MB ser ps
m —-=(4),+(f), (II.1)
Trang 17MOMENT QUÁN Then TRONG CHUYỀN Quay CÙA MỘT YÂT RAN @YWD Ts NGUYÊN TRẤN TRAC
là moment động lượng của vật đối với điểm O (cũng là moment động lượng đối
với trục Oz vuông góc với mặt phẳng Oxy)
Vậy ta có
1YTM DƯƠNG MỘNG LINN TRANG 14
Trang 18MOMENT QUAM The TRONG CHUYỂN ĐỘNG QUAY CUA MOT VAT RAW @YWD , Ts NGUYÊN TRAN TRAC
dung vào vật đối với điểm này.
Đẳng thức (111.4) thì tương tự như công thức (11.3) đã được viết cho trường
hợp chuyển động quay của một vật đối với một trục gắn chặt với vật rấn Sưkhác biệt giữa hai công thức là trong công thức (III.4) vận tốc ÿ, của hạt không
nhất thiết phải vuông góc với vectơ R, độ lớn và phương của vectd 8 có thể
thay đổi trong quá trình chuyển động.
Công thức (1H.4) có thể được giải thích một cách rõ ràng hơn nếu chúng ta
để ý tới chuyển động của khối tâm
Đặt
với:
ReR +r,
trong d6
« Reban kính vectơ của khối tâm G
« fF bắn kính vectơ của hạt thứ i trong hệ trục tọa độ Gx'y' (không
quay và được gắn với khối tâm của vật ( hình 3.2b))
Vận tốc của hạt thứ ¡ có thể được viết dưới dạng:
Trang 19MOMENT QUAN Then TRONG CHUYỂN ĐỘNG QUAY CUA MỘT VAT RAN ovno , Ts NGUYÊN TRAN TRAC
¢ m= 3m, là khối lượng của toàn bộ vật
° Fe 32) là tổng của tất cả các ngoại lực tác động lên vật
Số hạng thứ nhất ở vế phải và vế trái của (II1.6) thì bằng nhau vì :
Ñ;=5r.xmw, là moment động lượng của vật đối với (ở một thời
điểm t) khối tâm G (hay đối với trục qua G, vuông góc với mặtphẳng Gx'y')
* M, =2/, x(f), là moment của ngoại lực đối với G.
Vì khối tâm của vật rấn có một vị trí cố định đối với vật rấn vận tốc #, có
thể viết dưới dạng ø, = wax, trong đó vectơ vận tốc góc ở luôn vuông góc
với mặt phẳng chuyển động Vậy biểu thức của moment động lượng có thể viết:
Ne “3z xứ, g2 xm, (øxr.)~ø3 my
trong đó 5”mz> = /,, (moment quán tính của vật đối với trục đi qua tâm)
suy ra
dN, do a
Các vectd ø, == và Me luôn vuông góc với mặt phẳng của chuyển động.
SV TH: DƯƠNG MỘNG LINH TRANG 16
Trang 20MOMENT QUAN TÍNH TROMO CHUYEN ĐỘNG QUAY CUA MỘT WAT RAN ovo Ts NGUYÊN TRÁN TRAC
Khi hợp lực của các ngoại lực cất trục đó đi qua khối tâm thì M, =0 va
= «0, có nghĩa là khi giá của hợp lực của các ngoại lực cất trục quay đi qua
khối tâm thì gia tốc góc sẽ không đổi Nếu ở thời điểm đầu vật đứng yên, nghĩa
là &, =0 (ø, vận tốc góc ban đầu) thì ø phải luôn bằng không Nói cách khác,
trong trường hợp này vật sẽ chuyển động tịnh tiến Nếu øœ; # 0 thì vật sẽ tiếp tục
quay với vận tốc góc không đổi & = ao
Xét trường hợp đặc biệt khi chuyển động phẳng gây ra bởi một ngẫu lực
Vì ngẫu lực là một cặp lực song song, bằng nhau về độ lớn và ngược chiều nên
hợp lực của các lực luôn bằng không Trong trường hợp này khối tâm của vật sẽ
đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều Như vậy, một vật chịu sự tác động củamột ngẫu lực sẽ quay quanh một trục đi qua khối tâm bất kể các vị trí của các
điểm đặt của các lực Chuyển động quay này hoàn toàn được xác định từ chiểu
và môment của ngẫu lực.
Il CHUYỂN ĐỘNG LAN CUA KHOI TRỤ TREN MAT
PHANG CON LAC MAXWELL
1 Chuyển động lăn của khối trụ trên mặt phẳng ngang
Xét chuyển động lăn của một khối trụ trên mặt phẳng ngang (hình 3.3)
Trục của hình trụ di chuyển với vận tốc vp Trong khi hình trụ quay xung
quanh nó với vận tốc góc ø.
Nếu khối trụ lăn không trượt
Ta có
»=ak (IH.1)
trong đó Rp bán kính vectơ của khối trụ Độ dời vedt của trục trong khoảng thời
gian từ t đến (t + dt) thì bằng với độ dài wR,dr của cung tròn bán kính R, di
chuyển bởi điểm tiếp xúc của khối trụ với mặt phẳng trong khoảng thời gian đó
Trang 21MOMENT QUAN TÍNH TROWG CHUYỂN ĐỘNG QUAY CUA MỘT VAT RAN own ; ts weurdn TRAN TRAC
Khi v, >@R, hoặc v, <@R, thi hình trụ vừa lăn vừa trượt Trong trường
hợp dau vân tốc điểm tiếp xúc hướng về phía trước, trong trường hợp thứ hai van
tốc điểm tiếp xúc hướng ra phía sau
Cả hai trường hợp vận tốc của điểm nằm trên khối trụ được tính:
` (IH.10)
© là bán kính vectơ được nối từ trục của khối trụ đến điểm khảo sát (r vuông góc với trục của khối trụ) Chuyển động của khối trụ là sự kết hợp giữa chuyển
động tinh tiến với vận tốc ý, và chuyển động quay với van tỐc góc ở
Chuyển động phẳng tùy ý của một vật có thể được đặc trưng bởi một
chuyển động quay quanh một trục quay tức thời Trong trường hợp khối trụ lăn
không trượt trên mặt phẳng trục quay tức thời đi qua điểm tiếp xúc giữa khối trụ
và mặt phẳng (điểm A).
Dat 8 =8, +7 là bán kính vectơ của điểm B xuất phát từ trục quay tức thời
và vuông góc với trục này, R, bán kính được vẽ từ điểm A đến trục khối trụ.Vậy vận tốc của điểm B là:
v=a@xR
Suy ra
ve@x(R+r)=¥, +exr (HL1]1) với ¥, là vận tốc của trục khối trụ.
Rõ ràng rằng trục quay tức thời chuyển động với vận tốc ý, trong mặt
phẳng, và ở những thời điểm khác nhau thì trục quay tức thời đi qua những điểm khác nhau của khối trụ Trục quay đi qua khối tâm cũng chuyển động trong
không gian nhưng cố định đối với các phan tử của khối trụ.
Khi khối trụ lăn và trượt
Trục quay tức thời không còn đi qua điểm tiếp xúc nữa Trong trường hợp
vy, >@R, (hình 5.1b) thì trục quay tức thời đi qua điểm A nim bên dưới mặtphẳng và khối trụ trượt với vận tốc v, Trong trường hợp v, <@R, trục quay tức
Trang 22MOMENT QUÁN TÂN TRONG CHUYỂN ĐỘNG QUAY CỦA MỘT VAT RAN ©YVND , tx NGUYÊN TRÁN TRAC
3 Chuyển động lăn của khối trụ trên mặt phẳng nghiêngXét một khối trụ lăn xuống trên mat phẳng nghiêng một góc @ so với
Do khối trụ không rời khỏi mặt phẳng nghiêng nên thành phan vuông góc
với mặt phẳng nghiêng của gia tốc khối tâm thì bằng không suy ra
Pcosư - N z0 (I1.12) Chiếu biểu thức vectơ trên xuống phương của mặt nghiêng ta có
định được ba đại lượng chưa biết là F, a và = vì thế cần có thêm một hệ thức
thứ ba Khi khối trụ lăn không trượt gia tốc góc và gia tốc thẳng liên hệ với nhau
bởi hệ thức
a=k (111.16)
SVTH DƯƠNG MỘNG LINM TRANG 19
Trang 23MOMENT 0UÁN TÍNH TRONG CHUYỂN ĐỘNG QUAY CUA MOT VAT RAN ®YWD , Ts NGUYÊN TRAN TRAC
Giải ba phương trình (1II.14) (111.15) và (111.16) ta tim được:
Gia tốc a phụ thuộc vào góc nghiêng a của mặt phẳng nghiêng và vào tỉ
sa Tỉ số này càng lớn thì gia tốc a càng nhỏ Ngoài ra, gia tốc a không thể
nhỏ hơn s#sing vì ta luôn có :
a
!< mR
cho bất kỳ khối trụ nào (trường hợp một khối tru rỗng có bể day rất mỏng thì ta
có ƒ ~ mR, )
Tỉ số ~T; không tuỳ thuộc vào khối lượng của khối trụ và được xác định từ
sự phân bố khối lượng trong thể tích khối trụ
Đối với khối trụ đặc đồng nhất chúng ta có:
= m8)
Lúc này gia tốc mà khối trụ lăn không trượt xuống trên mặt phẳng
nghiêng phụ thuộc duy nhất vào góc nghiêng của mặt phẳng nghiêng và bằng
=gsina
3
Giả sử có hai khối trụ đổng nhất làm cùng chất liệu và có bán kính bằng
nhau, một khối trụ là rỗng và một khối trụ đặc Lăn từ cùng một độ cao trên
cùng một mặt phẳng nghiêng Cái nào sẽ lăn xuống nhanh hon?
trụ đặc lớn hơn và là khối trụ này lăn xuống nhanh hơn khối trụ rỗng.
#YTN DƯƠNG MỘNG LINH TRANG 20
Trang 24MOMENT QUAN TÊN TRONG CHUYỂN ĐỘNG QUAY CUA MỘT VAT RAN ovw 1s NGUYÊN TRẤN TRAC
Từ (10.17) và (TIL18) chúng ta tìm được:
yee (111.19)
Vậy lực ma sát phụ thuộc vào ba thông số lan lượt là góc nghiêng @ của
mat phẳng nghiêng, trọng lực P = mg và tỉ số _
Khi góc nghiêng a tăng, gia tốc của trục khối trụ tăng theo sinø Gia tốc
này luôn bé hơn gia tốc gsina (gia tốc khi vật trượt không quay trên cùng mặt
phẳng nghiêng không có ma sát), nhưng lớn hơn sưsng,
Vậy gia tốc của khối trụ lăn xuống trên mặt phẳng nghiêng thì nhỏ hơn
gia tốc của vật cùng khối lượng trượt xuống mát phẳng nghiêng Hiện tượng này
có thể được giải thích một cách đính tính như sau: do sự gia tăng “quán tính”của khối trụ do chuyển động quay Sự gia tăng này của quán tính phụ thuộc vào
/
tỉ số
—=-3 Con lắc maxwell
Khảo sát chuyển động của một cái đĩa nhỏ với một trục được buộc bởi hai
sợi đây có độ dài bằng nhau (hình 3 6).
Dụng cụ như vậy được gọi là con lắc Maxwell Hãy tưởng tượng trục của
con lắc được cuốn bởi hai sợi dây, và sau đó cho con lắc chuyển động đi xuống dưới tác dụng của trọng lực Trong giai đọan dau của chuyển động , các sợi day
được tháo ra khỏi thanh cho đến khi con lắc tới vị trí thấp nhất ( xác định bởi
chiểu đài của dây ) Do quán tính, đĩa tiếp tục quay theo chiều cũ, và sợi đây
cuộn vào thanh Trong gia đoạn này con lắc sẽ chuyển động đi lên và sẽ giảm
tốc độ cho tới khi đạt được vị trí cao nhất Sau đó đĩa lại đi xuống và chuyển
động cứ thế lập lại Do ma sát với không khí nên biên độ dao động của đĩa giảm
dan cho đến một lúc nào đó con lắc ngừng dao động Tuy nhiên, vì lực ma sat
Trang 25MOMENT QUAN Then TRONG CHUYEN ĐỘNG QUAY CUA MỘT VAT RÁN ©YWD , Ts NGUYÊN TRAN TRAC
nhỏ nên dao động của con lắc trong những lan đi lên và đi xuống đầu tiên có thể
được xem như một quá trình tuần hoàn.
Ký hiệu P là trọng lực, f là lực căng của mỗi sợi dây, R bán kính của trục
s 11a moment quán tính của con lắc
e vlà vận tốc của khối tâm cũng là vận tốc của thanh.
Ta nhận thấy rằng gia tốc và lực cảng thì không phụ thuộc vào việc đĩa
chuyển động lên hay xuống trong quá trình dao động Trong quá trình dao động
#VTN DƯƠNG MỘNG Lint TRANG 22
Trang 26MOMENT QUÁN TÍNH TRONG CMUYẾN ĐỘNG QUAY CUA MỘT WAT RAW @VWD , Ts NGUYÊN TRẤN TRAC
vận tốc thay đổi dấu trong khi gia tốc thì không vì lực căng không đổi dấu Tínhchất này có thể được kiểm chứng bằng thí nghiệm ở hình 3 7
Đầu trên của hai đây được treo vào một đòn cân Buông đĩa cân cho rơi
tự do, khi con lắc chuyển động lên hoặc xuống, ta thấy “trong lượng” của con lắc không phụ thuộc vào chiểu chuyển động “trong lượng” này bằng với 2/, với
ƒ là sức căng dây.
Trang 27MOMENT QUAN TÍNH TRONG CHUYEN ĐỘNG QUAY CỦA MOT VAT RAN ovnn , Tĩ NGUYÊN TRAN TRAC
bán kính Ro thành nhiều lớp trụ đồng tâm có bể dày dR được trình bày ở hình 4.1
Khối lượng của mỗi lớp trụ có bán kính R
dm =2xRhpdR (IV.1)
trong đó
e© Ala chiểu cao của khối trụ
se ø là khối lượng riêng
Moment quần tính của lớp trụ là
dl = Rdm = 2xhpR'dR (IV.2)Moment quán tính của toàn bộ khối trụ
R*
%
f= — {pr 335 — Là
im [at = JRiản=1inh | Khát =2 Ác, (IV.3)
chú ý rằng trọng lượng khối trụ m= Ri gh nên (1V.3) có thể viết lại
Trang 28MOMENT QUAN Thin TRONG CHUYẾN ĐỘNG QUAY CỦA MỘT VAT RAN ovwo, T7 NGVYÊN TRÁN TRAC
` * R
I = 2mph | RdR = 2zph(^S -*.) (IV.5)
&
Vì khối lượng của khối trụ m = xø(RÈ - R?)h nên (IV.5) cho ta
Với cách làm tương tự chúng ta có thể tính moment quán tính của các vật
rắn khác như khối trụ rong, đĩa tròn, vòng tròn
ILMOMENT QUAN TÍNH CUA VAT RAN TRÒN XOAY
Vật rắn tròn xoay là vật mà bể mặt được tao thành bởi một mặt cong quayquanh một trục nằm trong mặt cong đó Đường cong này được gọi là đường sinh
của mặt tròn xoay.
Giả sử rằng một đường cong f (h) (nim cùng mặt phẳng với trục OO"
(xem hình 4.2) và có các điểm cuối của nó nim trên trục quay) quay quanh trục
này để tạo thành bể mặt của vật rắn
L 5 Jang 7 [fan (IV.8)
Nếu biết hàm số /fh), ta có thể tinh moment quán tinh của vật rấn tròn
xoay
SVT DƯƠNG MỘNG LIN TRANG 25
Trang 29MOMENT QUAN TH TRONG CHUYEN ouay CỦA MOT VAT RAW ovwn , Ts NGUYÊN TRẤN TRAC
Thí du:Moment quán tính của một hình nón và hình cầu.
Hình nón có chiều cao H, him số ƒ(h) có dang
e mi là khối lượng của khối nón
Moment quán tính của khối cẩu có thể được tìm ra theo cách giống như
vậy Để đơn giản cho việc tính toán, trước tiên ta hãy tính moment quán tính nửatrên của khối cầu được cắt ra từ một khối cầu nguyên vẹn bởi mặt phẳng đi qua
tâm và vuông góc với trục đối xứng khối cầu (hình 4.3b) chúng ta có:
Trang 30MOMENT QUAN Thin TROWO CHUYỂN ĐỘNG QUAY CUA MOT VAT RAN own , 1s NGUYÊN TRAN TRAC
em là khối lượng của quả cầu đặc
Vậy moment quán tính của quả cầu đối với một đường kính là
! = Sm (IV.12)
Il TINH MOMENT QUAN TÍNH CUA VAT ĐỐI VỚI TRỤC
BAT KỲ DI QUA KHOI TÂM.
Đến đây chúng ta đã tinh moment quán tính đối với trục đối xứng của vật
Trong trường hợp trục quay tuỳ ý đi qua khối tâm, các phép tính toán trở nền
khó khăn hơn Vì vậy ta chỉ khảo sát một ví dụ rất đơn giản là tính moment quán tính của một thanh déng nhất có chiều dài | và khối lượng m đối với một trục
làm một góc œ so với trục đối xứng của thanh và đi qua khối tâm (hình 4.4).
Gọi x là khoảng cách từ đoạn nhỏ của thanh có chiểu dài dx tới điểm
giữa của thanh Khối lượng của mỗi phan tử là dm =( ax và khoảng cách từ
đoạn nhỏ này tới trục là ƒ = xsina
Moment quần tính của đoạn nhỏ này là
dl =dm f? =T& x sin? @
va moment quán tính của thanh là:
t3 1
1=2 [am/? = Pisin a fhe = Tamsin? (IV.13)
Trang 31MOMENT QUAN TÍNH TRONG CHUTEN ĐỘNG QUAY CỦA MỘT YÁT RAW ovwo TY NGUYÊN TRẤN TRAC
1 „2zsn2= gman a
Rõ ràng rằng nếu thanh vuông góc với trục a= E ta được:
t= ml? (IVv.14)
12
Kết quả mà chúng ta vừa dat được chỉ có ý nghĩa thực tế khi kích thước
tiết diện ngang của một thanh rất bé so với chiều dài của thanh.
Ứng dụng:
Moment quấn tính của đĩa mỏng đối với một đường kính nim trong mặt
phẳng của đĩa Chia đĩa (bán kính Ry) thành những thanh mỏng vuông góc với
Ap dung công thức moment quán tính của một thanh ở trên ta suy ra
moment quán tính của thanh này là
I 4m ` 2 ; l 2
©