TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA VẬT LÍ
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP DE TAI:
MOMENT QUAN TINH
TRONG CHUYEN DONG QUAY CUAMOT VATRAN
GVHD : TS NGUYEN TRAN TRAC
Trang 2LỜI NĨI ĐẦU
Chuyển động quay là một chuyển động cơ bản trong cơ học = trong
đời sống hằng ngày cũng như trong kỹ thuật Các đại lượng vật lý chỉ phối
chuyển động quay của vật là moment của lực tác dụng lên vật, moment quán tính của vật đối với một trục và moment động lượng của vật
Khĩa luận này với chủ dé “moment quan tinh trong chuyén động quay của một vật rắn” sẽ khảo sát về vai trị của các đại lượng vật lý nĩi trên
trong chuyển động quay của một vật, đặc biệt là vai trị của moment quán tính, cùng các mối tương quan giữa các dại lượng trên Trong giáo trình cơ học đại cương ta đã tìm hiểu về moment quán tính, nhưng thường chỉ xét trong trường hợp các vật rắn cĩ hình dạng đặc biệt, quay quanh các trục đối xứng Các phép tính dùng để xác định moment quán tính của các vật này cũng tương đối đơn giản Trong khĩa luận này, vấn để được tìm hiểu một cách tổng quát hơn, thơng qua các cơng cụ là các tốn từ quán tính, ma trận quán tính, qua đĩ ta cĩ thể giải được các bài tốn khá phức tạp, chưa
cĩ thể giải quyết trước đây trong cơ học đại cương
Nội dung trong khĩa luận này gồm cĩ :
se Chương Ï: Định luật động lực học cho một vật quay quanh một
trục cố định
© Chương II: Moment động lượng, động năng của một vật quay
© Chuong lII: Chuyển động phẳng của một vật
© Chương IV: Cách tính moment quản tính của một số vật thể
Định lí Huygens — Steinner e Chương V: Tensơ quán tính
Để cĩ thể hồn thành tốt khố luận này, bên cạnh sự nổ lực của bản thân
thì chính thầy cơ và bạn bè là người đã hướng dẫn và giúp đỡ em rất nhiễu trong suốt tiến trình thực hiện để tài Em xin gời lời cằm ơn chân thành nhất đến:
Bạn Giám Hiệu và khoa Vật Lí trường ĐHSP TP.HCM
Thay Nguyễn Trần Trác - người đã dẫn dắt , động viên và gĩp ý trong
suốt quá trình thực hiện đề tài
Quý thầy cơ khoa Vật Lí trường ĐHSP TP.HCM đã tận tình gidng dạy em
trong suốt những năm học vừa qua
Khoảng thời gian thực hiện để tài này khơng phải là ít nhưng cũng khơng nhiễu để cĩ được một khố luận hồn chỉnh Mặt khác, do hạn chế về mặt kinh nghiệm nên sẽ cĩ những thiếu sĩt trong để tài là điều khơng thể tránh khỏi Em rất mong nhận được sự đĩng gĩp ý kiển của quý thầy cơ và bạn bè để khố luận này
được hồn thiện hơn Đĩ sẽ là những kinh nghiệm quý báu làm hành trang giúp em phát huy khả năng và sáng tạo hơn trong sự nghiệp giảng dạy sau này
Sinh viên thực hiện
Trang 3MỤC LỤC
Chương I : ĐINH LUẬT ĐỘNG LỰC HỌC CHO MOT VAT
QUAY QUANH MỘT TRỤC CỐ ĐỊNH
í Chuyển động quay của vật quanh trục cố định
II Định luật động lực học của vật quay quanh một trục cố định Chuongll : MOMENT DONG LUGNG, DONG NANG CUA MỘT VAT QUAY I Moment d6ng ludng II Định luật động lực học cơ bản của vat rin quay quanh một trục
II Động năng của vật quay
IV Động năng của vật vừa chuyển động tịnh tiến vừa chuyển động quay Chương Il] : CHUYEN DONG PHANG CUA MOT VAT I Chuyển động phẳng của một vật II, Chuyển động lăn của khối trụ trên mặt phẳng Con lắc Maxwell Chương IV : CÁCH TÍNH MOMENT QUÁN TÍNH CỦA MỘT SỐ VẬT THỂ ĐỊNH LÍ HUYGENS- STEINER I Moment quán tính của khối trụ đồng nhất đối với trục đối xứng
Il Moment quán tính của vật rắn trịn xoay
II Tính moment quán tính của vật đối với trục bất kỳ đi qua khối tâm
IV Định lý Huygens - Steiner
Chương V : TENSƠ QUÁN TÍNH
I Tensơ quán tính
H Tensơ quán tính chính và trục quán tính chính Ill, Elipsoid quan tinh
Trang 4MOMENT QUÁN TÍN TRONG CHUYỂN ĐỘNG QUAY CỦA MỘT VÁT RẤN ©VND Tĩ NGUYÊN TRẤN TRÁC
CHUONG I:
DINH LUAT DONG LUC HOC CHO MOT VAT
QUAY QUANH MOT TRUC CO DINH
I CHUYEN DONG QUAY CUA VAT QUANH TRỤC CỐ ĐỊNH
Xét một vật chuyển động xung quanh một trục cố định Quỹ đạo của tất cả
các điểm của vật là những đường trịn mà tâm của chúng nằm trên một đường
thẳng trùng với trục quay Những phần tử khác nhau thì cĩ vận tốc và gia tốc
khác nhau, phần tử nào xa trục quay nhất thì vận tốc của nĩ lớn nhất Ngược lại
tất cả những hạt này lại cĩ cùng vận tốc gĩc Vận tốc gĩc xác định đẩy đủ đặc
tính chuyển động của tồn bộ vật rắn trong chuyển động quay của nĩ quanh trục
cố định
Vận tốc gĩc nĩi chung là một hàm biến thiên theo thời gian Ở bất kỳ một thời điểm, vận tốc gĩc thì giống nhau cho các phần tử của vật rấn, và cĩ gia tốc gĩc là :
=— (1.1)
Gia tốc thẳng của những phần tử khác nhau trong chuyển động quay của vật rấn cĩ thể khác nhau Vectơ gia tốc thẳng của bất kỳ phần tử nào đều nằm trong mặt phẳng quỹ đạo của phần tử đĩ Chúng ta hãy tìm mối liên hệ giữa gia
tốc gĩc và thành phần gia tốc thẳng của hạt tiếp tuyến với quỹ đạo Hình I.1
Trang 5MOMENT QUAN Tin TRONG CHUYỂN ĐỘNG QUAY CỦA MỘT YÁT RÁN 0YND Tý NGUYÊN TRẤN TRÁC
Độ lớn của gia tốc tiếp tuyến được xác định bởi sự thay đổi vận tốc v của
hạt trên quỹ đạo và được đo bởi cơng thức:
p= are ares (L2)
H ĐỊNH LUẬT ĐỘNG LUC HỌC CỦA VẬT QUAY QUANH
MỘT TRỤC CỔ ĐỊNH,
Bây giờ ta tìm sự liên hệ giữa vận tốc gĩc và tổng hợp moment của lực tác
dụng lên vật quay quanh trục cố định
Để tìm ra mối liên hệ giữa vận tốc gĩc và tổng hợp moment của lực tác động chúng ta bất đầu nghiên cứu chuyển động của một hạt bất kỳ nằm trên vật Gọi m, là khối lượng của hạt đĩ và cĩ khoảng cách từ hạt đến trục là r, Trong
trường hợp tổng quát hạt bị tác động bởi nội lực và ngoại lực Trước tiên hạt chịu
tác động bởi vật khác, rồi sau đĩ các hat nằm trên hệ vật tương tác lẫn nhau Chiếu những lực đĩ lên đường thẳng AB ( hình1.2 ) vuơng gĩc với r, nằm trong
Trang 6MOMENT QUAN TÍNM TRONG CHUYẾN ĐỘNG QUAY CỦA MỘT VÁT RÁN ovwn , Tĩ NGUYÊN TRẤN TRÁC
e 3 (ƒ,),tổng các thành phẩn gây ra chuyển động quay của ngoai
lực
Trong đĩ hình chiếu của các lực làm vật quay ngược chiều kim đồng hổ
mang dấu đương và ngược lại
Vậy với hạt thứ ¡, áp dụng định luật hai động lực học ta cĩ :
dy, dw
mmr 2 216), +f), (13)
Kế tiếp chúng ta đi tìm moment của những lực tấc động lên hạt đối với
trục quay bằng cách chúng ta _ ( 1.3 ) với r, và chúng ta được
mự, ae anf), +n), (1.4 )
với tất cả các hạt của vật ta cĩ
Adm = Delf +De A, (L5)
Vì mỗi nội lực sẽ cĩ một nội lực khác bằng với nĩ về độ lớn nhưng ngược
hướng và cánh tay địn của cả hai lực bằng nhau Nên ta cĩ 3,r(,)=0 Tổng ®”z(/,) = M là tổng hợp moment quay của tất cả các ngoại lực tác dụng vào vật Đại lượng l=) mz? (1.6) được gọi là moment quán tinh của một vật đối với trục quay Ta viết lại phương trình (1.5) dưới dạng: da Mel P5 (1.7)
Phương trình 1.7 phat biéu 1a: téng hgp moment cila các lực làm vật quay
quanh trục cố định thì bằng với moment quán tính của vật đối với trục đĩ nhân với gia tốc gĩc của vật
Đĩ là định luật động lực học cơ bản cho chuyển động quay của vật rấn
quanh trục cố định (định luật thứ hai của Newton cho sự quay) Nĩ tương tự định
luật động lực học thứ hai của các chuyển động chất điểm, chỉ khác ở chổ lực được thay thế bằng moment ngoại lực đối với trục, gia tốc thẳng được thay bằng gia tốc gĩc và khối lượng được thay bằng moment quán tính đối với trục quay
Từ I.6 ta thấy moment quán tính của vật rắn đối với một trục là đại lượng
vật lý được tính bằng tổng các tích khối lượng của các hạt cấu tạo nên vật với bình phương khoảng cách từ hạt tới trục Moment quán tính đối với một trục
khơng chỉ lệ thuộc vào khối lượng của vật mà cịn lệ thuộc vào sự phân bố khối
lượng đối với trục Nếu khoảng cách của các hạt tới trục tăng thì moment quán
tính cũng tăng
Trang 7
MOMENT QUAN TINH TRONG CHUYEN BONG QUAY CUA MOT VAT RAW ©VWD , Tĩ NGUYÊN TRẤN TRÁC Thứ nguyên của moment quán tính là KgmỶ trong hệ SI và gcm” trong hệ
CỹS
Để tìm ra moment quán tính của vật chúng ta phải chia vật thành những
phần đủ nhỏ, xác định khoảng cách từ mỗi phần tới trục, nhân khối lượng của
mỗi phần tử với bình phương khoảng cách và cộng tất cả kết quả chúng lại
Thí dụ ï: Xét vật được trình bày như hình ( 1.3 ) 0 ° 8 L⁄Ì e = * m 6e ®1 50 es C1“ œ' Hình 1.3
Vật gồm tám quả cầu giống nhau đặt ở đỉnh của một hình lập phương cạnh là a Ta tính moment quán tính của vật đối với trục đi qua tâm của các quả cầu 2 và 6 Giả sử đường kính của quả cầu rất nhỏ so với cạnh a Ký hiệu m là khối lượng của một quả cầu
Chúng ta dễ dàng nhận thấy rằng tổng các moment quán tính của bốn quả cẩu I, 3, 5, 7 là 4ma?, tổng moment quán tính của hai qủa câu 4 và 8 là 4ma” trong khi moment quán tính của mỗi quả cầu 2, 6 thì bằng khơng
Moment quan tính của tồn bộ vật:
Trang 8MOMENT QUÁN TÍNH TRONG CHUYỂN ĐỘNG QUAY CUA MOT VAT RAW ovwn Tĩ NGUYÊN TRẤN TRÁC
Thí dụ 2 : Xét hệ cơ học gồm một rịng rọc nhỏ quay quanh một trục đầm tise
gang Thanh A gắn chặt với rịng rọc, trên thanh cĩ mang hai vật cĩ khối lượng m, va m; gắn chặt ở những vị trí mà mà khoảng cách từ đĩ đến trục bằng nhau Một vật cĩ khối lượng m được treo vào đầu đưới của một sợi dây cuốn trên rịng roc (hinh 1.4) gt P =r fs | om, am @ (ko s4- -“ < a v th 2 4 S| ms f A P a — <i "` Hình 1.4 Moment quán tính cĩ thể bị thay đổi khi thay đổi khoảng cách từ mị và mạ tới trục Chúng ta hãy nĩi cặn kẽ hơn chuyển động của hệ và tìm ra quy luật chuyển động
Khi tồn bộ sợi dây khơng cịn quấn vào rịng rọc, thanh A tiếp tục quay
đo quán tính và vật m bắt đầu chuyển động đi lên Khi chuyển động quay của thanh dừng lại, vật m lại chuyển động đi xuống và chuyển động lập lại như trên, ta nĩi hệ đang dao động Rõ ràng rằng các gia tốc của chuyển động quay của rịng rọc cùng với thanh mang hai vật nặng mạ và m; và gia tốc trong chuyển động thẳng của vật m là hằng số, giữ nguyên giá trị khi m chuyển động lên hoặc xuống
Trang 9MOMENT QUÁN TÍNH TRONG CHUYỂN ĐỘNG QUAY CỦA MỘT VÀT RÁN ƠVMID , Tĩ NGUYÊN TRẤN TRÁC
Trong đĩ
se / và ƒ'(với £= /#') là các độ lớn của các lực mà dây tác dụng lên
rịng rọc và lên vật m
e 11& moment quán tính của thanh (với các vật mị và mạ) e R 1a bin kính của rịng roc
e ala gia t6c thang cla vat m
Gia tốc gĩc của rịng rọc và gia tốc thẳng của vật m liên hệ nhau bởi hệ thức a= Ra Giải hệ phương trinh (1.8) ching ta tim ra dude gia t6c géc @ cha rong roc và gia tốc thẳng a của vật m g ] @)=— Ri = m (1.9) a=—Ê / 1+ —- mR?
từ (L9) ta thấy gia tốc a cĩ thể rất nhỏ so với g với điểu kiện l >> mRỶ (những
định luật mà ta vừa thiết lập khơng áp dụng cho khoảng thời gian ngắn khi vật m
gần điểm thấp nhất và dây thơi khơng tháo ra mà bắt đầu quấn lại vào rịng rọc
Trong khoảng thời gian này vật m cĩ một độ đời ngang và moment của các lực
làm quay rịng rọc thì khơng bằng với ƒ.R)
Trang 10
MOMENT QUAM Tin TROWO CHUYEN DONO QUAY CUA MOT VAT RAW ©YND Tĩ NGUYÊN TRẤN TRÁC
CHUONG II:
MOMENT DONG LUGNG, DONG NANG CUA MOT
VAT QUAY
Trong việc phân tích chuyển động quay của một vật chúng ta đưa vào
moment cia luc tac động (tương ứng với lực tác dụng trong chuyển động tịnh tiến) và moment quán tính của vật (tương ứng với khối lượng trong chuyển động tịnh tiến ) Một câu hỏi được đặt ra là: trong chuyển động quay này, đại lượng nào tương ứng với động lượng trong chuyển động tịnh tiến của hạt ?
Ở phan này ta sẽ thấy đại lượng tương ứng này được gọi là moment động
lượng
I MOMENT DONG LUGNG
Moment động lượng của hạt cĩ khối lượng m, được xác định bằng tích của
khoảng cách r, từ hạt đĩ tới trục quay với động lượng của hạt Giá trị bằng số của
moment động lượng của hạt thì bằng với mụvự, trong đĩ v, là vận tốc của hạt Bởi vậy moment động lượng của vật rắn quay quanh một trục được định nghĩa là tổng các moment động lượng của các hạt và được cho bởi cơng thức
N= > mry, (H.1)
biểu thức của moment động lượng cĩ thể được viết lại dưới dạng
N= > mrr@ = @> mr =lœ (H.2) Vậy độ lớn của moment động lượng của vật rấn quay quanh trục thì bằng với tích của moment quán tính của vật đối với trục đĩ với vận tốc gĩc
II ĐỊNH LUẬT ĐỘNG LỰC HỌC CƠ BẢN CUA VAT RAN QUAY QUANH MỘT TRỤC Định luật động lực học cơ bản của vật rắn quay quanh một trục được viết như sau: aN dw = el ae (11.3)
Định luật này phát biểu là: đạo hàm theo thời gian của moment động lượng
của vật rắn quay quanh một trục thì bằng với moment của những lực tác động vào vật, đối với trục đĩ
Nếu tổng moment M của các ngoại lực bằng khơng thì moment động
lượng của vật cĩ giá trị khơng đổi
Trang 11
MOMENT QUÁN TÍNH TRONG CHUYỂN ĐỘNG QUAY CỦA MỘT VÁT RÁN 0YWĐ Tï NGUYÊN TRẤN TRÁC
dN — =0 a ( H.3 ‹ )
= N=Iw= const
Như vậy biểu thức (II.3” ) diễn tả định luật bảo tồn moment động lượng
Khi vật rấn quay quanh một trục và cĩ M = 0, nghĩa là moment động
lượng N của vật quay là hằng số, chuyển đơng của vật tương tự như một chuyển
động do quán tính với mv = const Tuy nhiên, cĩ một sự khác biệt quan trọng giữa những hiện tượng tương tự này : vận tốc của một điểm trong chuyển động
quán tính được giữ là hằng số Trong khi đĩ chuyển động quay của vật với moment động lượng N là hằng số thì khơng nhất thiết vận tốc gĩc là hằng số bởi vì moment quần tính I của một vật cĩ thể thay đổi trong suốt quá trình chuyển động Nếu moment quán tính của vật thay đổi thì vận tốc gĩc cũng thay đổi
Vậy, khi moment của ngoại lực bằng khơng, vận tốc gĩc sẽ thay đổi tỉ lệ nghịch với moment quán tính
Ill DONG NANG CUA VAT QUAY
I Động năng vật quay
Động năng của vật quay cĩ thể được tính bằng tổng động năng của các hạt
cấu tạo nên vật Động năng của hạt cĩ khối lượng m, cách trục quay một khoảng cách r, là: z z mie egg? TT 2 2 (14) bdi viv, = wr Động năng của tồn hệ vật là: a ;_ lai £, = > Lm = Ta (11,5) Céng thifc (11.5) cho d6ng nang cia vat quay tương tự với cơng thức tính động năng của chuyển động tịnh tiến Điểm khác biệt ở đây là trong trường hợp
chuyển động quay khối lượng được thay bằng moment quán tính I của vật và vận tốc thẳng được thay thế bằng vận tốc gĩc
2 Mối tương quan giữa chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay Cơng của lực tác động lên vật quay quanh một trục cố định cĩ thể được
xác định theo cách thơng thường là tính tích vơ hướng của vectơ lực tác động với
vectơ dịch chuyển tương ứng Một cách khác, cơng này cũng cĩ thể được diễn tả qua moment của các lực Đặt £ là tổng của các ngoại lực và điểm đặt của hợp lực này chuyển động trên đường trịn bán kính R Ký hiệu F, là hình chiếu của £ lên phương tiếp tuyến của đường trịn Và để ý rằng trong suốt thời gian dt điểm đặt của lực dịch chuyển một đoạn là R.dz với dz là gĩc quay của vật trong
khoảng thời gian dt Cơng vi cấp của ngoại lực trong suốt thời gian dt là:
F Rdư
Trang 12
MOMENT QUAN TitH TRONG CHUYỂN ĐỘNG QUAY CỦA MỘT YÁT RÁN @YVND Tí NGUYÊN TRẤN TRAC Tích E,.R bằng với moment của lực tổng hợp và do đĩ cơng vi cấp này cĩ
thể được viết là:
M da
Vậy cơng thực hiện trong suốt thời gian t thì bằng với [Mda Nĩi cách
0
khác, cơng của lực tác động lên vật quay thì bằng tích của moment của các lực
với gĩc quay khi moment là hằng số, và bằng tích phân của moment của các lực
tính theo gĩc quay khi moment thay đổi
Nếu vật bị tác động chỉ bởi moment M của các lực thì cơng của các lực bằng với độ biến thiên của động năng Thật vậy, theo định luật động lực học ta cĩ da M =1 Py (11.6) ¢ 11a moment quan tinh e œ là vận tỐc gĩc Suy ra da Mda = [od = ld > ; từ đĩ, ta được cơng thực hiện trong suốt thời gian t thì bằng với: ‘ ‘ o* wo o* s = NHI | on Ph cece Xị J£e-j/(3)-{3)-(S) em Bảng so sánh chuyển động của một hạt với chuyển động quay của một vật rắn Chuyển động của hạt Chuyển động quay của vật rấn xung quanh một trục se Khối lượng m e Moment quán tính I đối với trục quay © Tổng hợp các ngoại lực £ e Tổng các moment của các ngoại lực đối với trục M « Độ dời e Gĩc quay
© Gia tốc dài e Gia tỐC gĩc
e« Động lượng K =mÿ © Moment dng lượng đối với trục
quay X = Ja
? 2
e Động năng = se Động năng ==
e Cơng Fdx e Céng Mda
e Dinh luật học thứ 2: se Định luật động lực học
F =mä hoặc £= “ Mute hoặc Me”
Trang 13
MOMENT QUAN TÍNH TR.OWG CHUYỂN ĐỘNG QUAY CỦA MỘT VẬT RẤN @VIP , T7 NGUYÊN TRẤN TRÁC Bây giờ ta xét một thí nghiệm trong đĩ động năng chuyển động quay của vật thay đổi * 2" Hinh 2.1
Xét bài tốn với hệ cơ hoc duc mé t4 6 hinh 2.1 cho thanh A quay quanh
trục vuơng gĩc với thanh Hai quả cẩu giống nhau cĩ thể trượt dọc theo thanh
Lúc đầu hãy để các quả cẩu gần trục quay và được nối với nhau bằng một sợi dây Cho hệ (thanh và những quả cẩu) một vận tốc gĩc ban dau ø„ Sau đĩ, sợi đây bị cất, quả cầu sẽ tự nhiên trượt xa khỏi trục quay về phía cuối của thanh
(lực ma sát xem như khơng đáng kể) Trên thanh cĩ hai chốt chặn đặt ở hai
khoảng cách bằng nhau tính từ trục để ngăn những quả cẩu khơng rời khỏi thanh
Tìm vận tốc gĩc cuối cùng của thanh với điều kiện là sự đụng của những quả
cầu với các chốt chặn là hồn tồn dan hồi
Giả sử rằng ở thời điểm ban đầu các quả cẩu cách trục quay một khoảng Rạ và ở thời điểm t chúng cách trục quay một khoảng R Vận tốc gĩc ở thời điểm
t cĩ thể được xác định từ điểu kiện moment bảo tồn động lượng:
N =ay (1, + 2miRÈ ) = œ1, + 2m?) = const (I8) m là khối lượng của mỗi quả cẩu lạ là moment quán tính của hệ quay khi khơng
Trang 14MOMENT QUÁN TÍNH TRONG CHUYỂN ĐỘNG QUAY CUA MOT VAT RAN QYND , Tï NGUYÊN TRAN TRAC Độ giảm động năng là:
AE =—N (0, ~0) (11.11)
Một câu hỏi được đặt ra là: độ giảm động năng AE đã được dùng vào việc gì? (giả sử lực ma sát nhỏ khơng đáng kể) Để trả lời câu hỏi này chúng ta hãy xem xét các hiện tượng một cách chi tiết hơn
Theo cơng thức (H9), ta thấy E bất đầu giảm khi quả cầu dịch chuyển ra xa trục quay (R > Rạ), bởi vì moment động lượng là hằng số trong khi moment quấn tính tăng, do đĩ vận tốc gĩc giảm Tuy nhiên, vì lực ma sát khơng đáng kể năng lượng được bảo tồn Do đĩ, cơng thức (II.9) rõ ràng khơng diễn tả tổng
động năng của các vật chuyển động mà chỉ biểu diễn một phẩn của năng lượng Như vậy cơng thức (I9) khơng bao gồm động năng tương ứng với chuyển động
thẳng của các quả cẫẩu dọc theo thanh Sự giảm AE nĩi trên của năng lượng,
được diễn tả bởi cơng thức (11.11), bằng với giá trị động năng đĩ
Nếu quả cầu dừng lại ở cuối thanh, ta cĩ hiện tượng va chạm mềm Thơng
thường trong hiện tượng như vậy tồn bộ động năng chuyển thành nhiệt Giá trị
của cơ năng chuyển thành nhiệt được cho bởi cơng thức (H1 1)
Hiện tượng sẽ khác khi các quả cẩu va chạm hồn tồn đàn hồi với các
chốt chặn và cơ năng khơng biến thành nhiệt Rõ ràng là trong trường hợp này
những quả cẩu cĩ vận tốc thẳng ý, (hướng ra từ trục quay trước khi va chạm đàn
hổi) bị nảy lại từ các chốt chặn sau khi đụng với vận tốc -ÿ, (hướng về trục
quay) Lực quán tính li tâm làm giảm tốc chuyển động ngược lại của các quả cầu và moment quán tính của hệ giảm, vận tốc gĩc của hệ lại tăng lên Chuyển
động của các quả câu về phía trục sẽ dừng lại khi R bằng với Rạ Ở thời điểm đĩ giả sử vận tốc gĩc ban đầu cĩ giá trị là œ, Sau thời điểm đĩ, các quả cẩu lại
dịch chuyển ra xa trục và quá trình tiếp tục một cách tuần hồn Do đĩ những
quả cầu sẽ dao động dọc theo thanh và vận tốc gĩc cũng biến thiên tuần hồn Hiện tượng được mơ tả như trên xảy ra khi khơng cĩ lực ma sát trong chuyển động quay của thanh A cũng như trong chuyển động trượt của quả cẩu dọc theo
thanh
IV BONG NANG CUA VAT VỪA CHUYỂN ĐỘNG TỊNH TIẾN
VỪA CHUYỂN ĐỘNG QUAY
Động năng của vật rấn thì bằng tổng động năng của những phẩn tử tạo
thành vật
Động năng của một hạt m,
my?
N
trong đĩ ÿ là vận tốc thẳng của hạt thứ ¡ Vận tốc này cĩ thể được biểu diễn
dưới dạng tổng của hai vận tốc: vận tốc V của khối tâm và vận tốc u, của hạt
E,, =
Trang 15
MOMENT QUAN TiN TROMG CHUYEN BONO QUAY CUA MOT VAT RAN 9YWD , Tĩ NGUYÊN TRẤN TRÁC
đốt với hệ trục tọa độ gắn với khối tâm và chuyển động tịnh tiến cùng với khối
tâm:
vạ +1, (11.12)
=| I
Động năng của tồn bộ vật rắn
E, =s.m m1, v, =2 m@ tư) -S Em +¥% Dom u+— sme (11.13)
2
> E, =e Dm (11.14)
vì > mi, =0
Mối quan hệ quan trọng này được áp dung cho chuyển động bất kỳ của một vật rấn nào và khơng chỉ cho một vật rắn mà cịn cho một hệ thống bất kỳ của nhiều vật rắn
Vậy động năng của vật bao gồm hai phần |] va Simu? S6 hang thi
nhất là động năng của chuyển động tịnh tiến và số hạng thứ hai là động năng của chuyển động tương đối đối với hệ quy chiếu gấn với khối tâm và chuyển
động tịnh tiến cùng với khối tâm
Bất cứ chuyển động phẳng nào của một vật rấn cũng cĩ thể được biểu diễn như hợp của hai chuyển động: chuyển động tịnh tiến của khối tâm và
chuyển động quay quanh trục đi qua khối tâm và luơn luơn song song với một
phương cố định trong suốt quá trình chuyển động Vì vậy, trong trường hợp này,
động năng của một chuyển động đối với khối tâm là năng lượng của chuyển động quay của vật quanh một trục đi qua tâm
Như đã = bày động năng chuyển động quay của một vật với vận tốc gĩc œ thì bằng 2ˆ = Trong đĩ /= “2m my? la moment quán tính của một vật đối
với trục tương ứng đi qua khối tâm
Vì thế tổng động năng là
_ mvs la!
Vậy ow năng của vật trong một chuyển động a bất kỳ là tổng của
động năng = của chuyển động tịnh tiến và năng lượng = của chuyển động
quay
Trang 16
MOMENT QUAN TinH TROWG CHUYEN DONO QUAY CUA MOT VAT RAN @YWD Tĩ NGUYÊN TRẤN TRÁC
CHUONG III:
CHUYEN DONG PHANG CUA MOT VAT
I CHUYEN DONG PHANG CUA MOT VAT
Việc khảo sát chuyển động của một vật khi điểm đặt của lực tác dụng ở
một vị trí tùy ý thì khá phức tạp Do đĩ, chúng ta sẽ bất đầu với một chuyển động phẳng của một vật khi tất cả các phẩn tử của vật cùng di chuyển trong những mặt phẳng song song với mặt phẳng xác định nào đĩ
Trước tiên, hãy xét thí nghiệm sau: Xét một bản nhấn di chuyển trên bể
mặt một bàn nhấn Nếu ta đĩng một cây đỉnh lên bản, cột sợi dây vào dinh và
kéo sợi đây Tấm bản sẽ dịch chuyển mà gia tốc khối tâm của bản sẽ trùng với
phương của lực tác động Nếu chuyển động bắt đầu từ trạng thái đứng yên và sợi
dây khơng đổi phương thì vận tốc của khối tâm sẽ trùng vối phương của sợi dây Tuy nhiên, bên cạnh chuyển
động đĩ, bản cũng cĩ thể quay quanh một trục thẳng đứng Thay đổi vị trí của cây đính trên bản, ta quan sát thấy chuyển
động quay trở nên chậm hơn khi
điểm đặt của lực tác động gắn với khối tâm Khi cây định ở
ngay khối tâm, bản chuyển động thẳng mà khơng quay
Hình 3.1
Trong trường hợp này moment của ngoại lực đối với trục thẳng đứng đi qua khối tâm bằng khơng Vì thế chúng ta cĩ thể rút ra kết luận rằng chuyển
động quay của tấm bản phụ thuộc vào moment của ngoại lực đối với trục thẳng đứng ta xét
Bây giờ, xét chuyển động phẳng của một vật đối với hệ quy chiếu cố định Oxy (xem hình 3.2a) khơng gắn với vật (mọi chất điểm của vật chuyển động
song song với mặt phẳng Oxy) Xét một phẩn tử (hat) rất nhỏ của vật, cĩ khối
lượng m, và cĩ thể coi là một chất điểm Vị trí của hạt được xác định bởi bán
kính vectơ R, vé từ gốc O Giả sử hạt chịu tác động bởi ngoại lực là (/}| và nội
Trang 17MOMENT QUÁN TÍNH TRONG CHUYỂN ĐỘNG QUAY CỦA MỘT VẬT RÁN ©YWD Tí NGUYÊN TRAN TRAC
trong đĩ ÿ, = _ là vận tốc của hạt đối với hệ trục cố định Oxy 4 by y y 4 y; (f th a a m, - R, x’ R Ro —> „ O x O x (a) (b) Hinh 3.2 Nhân hai vế của đẳng thức (HI.L) với vectơ 8 chúng ta được: _ W «= f2 a pag mR x—-=Rx(f,) +Rx(A) (111.2) trong đĩ : - S(Rx5)= x5, +Äx mà - S vẽ =6 dt Suy ra 48 55) x a* ‘ dt đối với tất cả các phần tử của vật ta cĩ : “SD Rxmy, =#Ãx(7)+Äx(Z) (L3) trong đĩ Ễx(7) =0 s«_ Đại lượng 8 xmý, là moment động lượng của hạt thứ i Do đĩ V= > RĐ xmỷ,
là moment động lượng của vật đối với điểm O (cũng là moment động lượng đối
với trục Oz vuơng gĩc với mặt phẳng Oxy) Vậy ta cĩ
Trang 18MOMENT QUAN TINH TRONG CHUYEN DONG QUAY CUA MOT VAT RAW ovwo Ts wouvtw TRAN TRAC
aN ii (111.4)
dt
với:
#-E&x7)
Cơng thức (I4) được phát biểu : đạo hàm theo thời gian của moment
động lượng của vật đối với một điểm thì bằng với tổng moment của ngoại lực tác
dựng vào vật đối với điểm này
Đẳng thức (II.4) thì tương tự như cơng thức (II.3) đã được viết cho trường
hợp chuyển động quay của một vật đối với một trục gấn chặt với vật rấn Sự
khác biệt giữa hai cơng thức là trong cơng thức (IIH.4) vận tốc ÿ, của hạt khơng
nhất thiết phải vuơng gĩc với vectơ #8, độ lớn và phương của vectơ 8 cĩ thể thay đổi trong quá trình chuyển động
Cơng thức (IH.4) cĩ thể được giải thích một cách rõ ràng hơn nếu chúng ta
để ý tới chuyển động của khối tâm
Đặt
|
R=R,+
trong đĩ
« R;bán kính vectơ của khối tâm G
e r bán kính vectơ của hạt thứ ¡ trong hệ trục tọa độ Gx'`y' (khơng quay và được gắn với khối tâm của vật ( hình 3.2b))
Trang 19MOMENT QUAN Tien TRONG CHUYEN DONG QUAY CUA MOT VAT RAN ©YWD Tï NGUYÊN TRẤN TRÁC SUY ra
Vậy
3| xm¿+3ixma ]~&*F+7x(Ÿ), (111.6)
trong đĩ
® m= 3m, là khối lượng của tồn bộ vật
¬ 32), là tổng của tất cả các ngoại lực tác động lên vật
Số hạng thứ nhất ở vế phải và vế trái của (II.6) thì bằng nhau vì :
4 (8; xmy,) = "Re cmy, +R = Rx F vì ee van a LF dt dt Suy ra ——, 3(7x»]~Xzx( D) dN, —e M (111.7)
® N,=3 rxmu, là moment động lượng của vật đối với (ở một thời điểm t) khối tâm G (hay đối với trục qua G, vuơng gĩc với mặt
phẳng Gx'y')
e M„=>`r x(/), là moment của ngoại lực đối với G
Vì khối tâm của vật rấn cĩ một vị trí cố định đối với vật rấn vận tốc ứ, cĩ
thể viết đưới dạng uw, =; =œxr, trong đĩ vectd vận tốc gĩc ä luơn vuơng gĩc
với mặt phẳng chuyển động Vậy biểu thức của moment động lượng cĩ thể viết:
Na =) 7, xu, =>), xm(axr,)=@) my?
Trang 20MOMENT QUAN TINH TRONG CHUYEN BONO QUAY CUA MOT VAT RAN 0YWDĐ Tï NGUYÊN TRẤN TRÁC
Khi hợp lực của các ngoại lực cất trục đĩ đi qua khối tâm thì M, =0 va
—-0, cĩ nghĩa là khi giá của hợp lực của các ngoai lực cất trục quay đi qua
khối tâm thì gia tốc gĩc sẽ khơng đổi Nếu ở thời điểm đầu vật đứng yên, nghĩa
là ø, =0 (ø, vận tốc gĩc ban đầu) thì ø phải luơn bằng khơng Nĩi cách khác, trong trường hợp này vật sẽ chuyển động tịnh tiến Nếu ø; # 0 thì vật sẽ tiếp tục
quay với vận tốc gĩc khơng đổi ư = øo
Xét trường hợp đặc biệt khi chuyển động phẳng gây ra bởi một ngẫu lực Vì ngẫu lực là một cặp lực song song, bằng nhau về độ lớn và ngược chiều nên
hợp lực của các lực luơn bằng khơng Trong trường hợp này khối tâm của vật sẽ
đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều Như vậy, một vật chịu sự tác động của
một ngẫu lực sẽ quay quanh một trục đi qua khối tâm bất kể các vị trí của các
điểm đặt của các lực Chuyển động quay này hồn tồn được xác định từ chiểu
và mơment của ngẫu lực
H CHUYỂN ĐỘNG LĂN CUA KHOI TRU TREN MAT
PHANG CON LAC MAXWELL
1 Chuyển động lăn của khối trụ trên mặt phẳng ngang
Xét chuyển động lăn của một khối trụ trên mặt phẳng ngang (hình 3.3) Hình 3.3 Trục của hình trụ di chuyển với vận tốc vọ Trong khi hình trụ quay xung quanh nĩ với vận tốc gĩc øœ Nếu khối trụ lăn khơng trượt Ta cĩ Vạ =@& (IH.1)
trong đĩ Ro ban kính vectơ của khối trụ Độ đời vạdt của trục trong khoảng thời gian từ t đến (t + đU thì bằng với độ dài ø#,đ& của cung trịn bán kính R, di
chuyển bởi điểm tiếp xúc của khối trụ với mặt phẳng trong khoảng thời gian đĩ
Trang 21
MOMENT QUÁN TÍNN TROWĐ CHUYỂN BONG QUAY CUA MOT VAT RAW ovwn T1 NGUYÊN TRẤN TRÁC
Khi vụ >ø#, hoặc v, <@R, thì hình trụ vừa lăn vừa trượt Trong trường
hợp đầu vận tốc điểm tiếp xúc hướng về phía trước, trong trường hợp thứ hai vân tốc điểm tiếp xúc hướng ra phía sau
Cả hai trường hợp vận tốc của điểm nằm trên khối trụ được tính:
v, + @xr (HI.10)
r là ban kính vectơ được nối từ trục của khối trụ đến điểm khảo sắt (r vuơng
gĩc với trục của khối trụ) Chuyển động của khối trụ là sự kết hợp giữa chuyển
động tịnh tiến với vận tốc ý, và chuyển động quay với vận tỐc gĩc ư
Chuyển động phẳng tùy ý của một vật cĩ thể được đặc trưng bởi một chuyển động quay quanh một trục quay tức thời Trong trường hợp khối trụ lăn khơng trượt trên mặt phẳng trục quay tức thời đi qua điểm tiếp xúc giữa khối trụ và mặt phẳng (điểm A)
Đặt #= 8#, +r là bán kính vectơ của điểm B xuất phát từ trục quay tức thời
và vuơng gĩc với trục này, R,bán kính được vẽ từ điểm A đến trục khối trụ
Vậy vận tốc của điểm B là:
v=@xR Suy ra
v=@x (Đ, + rÌ=v, +exr (HLI11)
với ý, là vận tốc của trục khối trụ
Rõ ràng ring trục quay tức thời chuyển động với vận tốc v„ trong mặt phẳng, và ở những thời điểm khác nhau thì trục quay tức thời đi qua những điểm khác nhau của khối trụ Trục quay đi qua khối tâm cũng chuyển động trong
khơng gian nhưng cố định đối với các phần tử của khối trụ Khi khối trụ lăn và trượt
Trục quay tức thời khơng cịn đi qua điểm tiếp xúc nữa Trong trường hợp vy, >è (hình 5.Ib) thì trục quay tức thời đi qua điểm A nằm bên dưới mặt
phẳng và khối trụ trượt với vận tốc v, Trong trường hợp vụ, < œĐ, trục quay tức
thời sẽ nằm trên mặt phẳng
Và cả ba trường hợp thì trục quay tức thời luơn chuyển động trong mặt
phẳng song song với mặt đường, với vận tốc v, (vận tốc của trục hình học của khối trụ)
Trang 22
MOMENT QUAN Tit TRONG CHUYẾN ĐỘNG QUAY CỦA MỘT YÁT RẤN @YND , TY NGUYÊN TRẤN TRÁC
2 Chuyển động lăn của khối trụ trên mặt phẳng nghiêng
Xét một khối trụ lăn xuống trên mặt phẳng nghiêng một gĩc @ so với mặt phẳng ngang a N Hinh 3.4 Khối trụ chịu tác dụng của ba lực: e© Trọng lực P e Phản lực V e Lực ma sát £ giữa khối trụ và mặt phẳng Ta cĩ P+N+F=ma
Do khối trụ khơng rời khỏi mặt phẳng nghiêng nên thành phần vuơng gĩc với mặt phẳng nghiêng của gia tốc khối tâm thì bằng khơng suy ra Pcosa - N =0 (IH.12) Chiếu biểu thức vectơ trên xuống phương của mặt nghiêng ta cĩ f=Psna-F (TIT 13) suy ra a=L£=1(Psina-F) (111.14) mm e a lA gia tốc chuyển động tịnh tiến dọc theo mặt phẳng nghiêng của khối tâm
« m là khối lượng của khối trụ
Gia tốc gĩc của khối tâm được xác định bởi cơng thức
do M_ FR, da oft sf
e Rạ bán kính khối trụ
Đẳng thức (III.14) và (III.15) luơn đúng bất kể là khối trụ lăn trên mặt
phẳng cĩ trượt hay khơng Tuy nhiên những cơng thức đĩ khơng thể giúp ta xác
định được ba đại lượng chưa biết là F, a và — vì thế cắn cĩ thêm một hệ thức
Trang 23MOMENT QUÁN TÍN TROWG CMHUYỀN ĐỘNG QUAY CỦA MỘT WAT RAW @YNWD TY NGUYÊN TRẤN TRÁC Giải ba phương trình (1H.14), (HI.E5) và (1H 16) ta tìm được: al =— (111.17) R và ae “— er (111.18) mèo le R mR, © g gia (6c trọng trường
Gia tốc a phụ thuộc vào gĩc nghiêng @ cia mặt phẳng nghiêng và vào tỉ
vốn Tỉ số này càng lớn thì gia tốc a càng nhỏ Ngồi ra, gia tốc a khơng thể
nhỏ hơn * gsina vi ta luén cé :
I< mR}
cho bất kỳ khối trụ nào (trường hợp một khối trụ rỗng cĩ bể dày rất mỏng thì ta
cĩ ƒ ~ mR,’ )
Tỉ số = khơng tuỳ thuộc vào khối lượng của khối trụ và được xác định từ
sự phân bố khối lượng trong thể tích khối trụ
Đối với khối trụ đặc đồng nhất chúng ta cĩ:
I =m;
Lúc này gia tốc mà khối trụ lăn khơng trượt xuống trên mặt phẳng
nghiêng phụ thuộc duy nhất vào gĩc nghiêng của mặt phẳng nghiêng và bằng
s#ting
Giả sử cĩ hai khối trụ đồng nhất làm cùng chất liệu và cĩ bán kính bằng
nhau, một khối trụ là rỗng và một khối trụ đặc Lăn từ cùng một độ cao trên
cùng một mặt phẳng nghiêng Cái nào sẽ lăn xuống nhanh hơn?
Hình 3.5
Rư ràng tỉ số aa của hình trụ rỗng thì lớn hơn Vì thế gia tốc của khối
trụ đặc lớn hơn và là khối trụ này lăn xuống nhanh hơn khối trụ rỗng
Trang 24
MOMENT QUÁN TÍNH TRONWG CHUYỂN ĐỘNG QUAY CỦA MỘT YÁT RÁN ƠYMWD 1ï NGUYÊN TRẤN TRÁC Từ (HI.17) và (1H.18) chúng ta tìm được: p= masina ì (111.19) ề 1+ ~ | Vậy lực ma sát phụ thuộc vào ba thơng sé lan lugt 1a géc nghiêng a cia mật phẳng nghiêng, trọng lực P = mg và tỉ số
Khi gĩc nghiêng a@ ting, gia tốc của trục khối trụ tăng theo sin øz Gia tốc
này luơn bé hơn gia tốc gsin z (gia tốc khi vật trượt khơng quay trên cùng mặt
phẳng nghiêng khơng cĩ ma sát), nhưng lớn hơn 25Ïnđ
Vậy gia tốc của khối trụ lăn xuống trên mặt phẳng nghiêng thì nhỏ hơn
gia tốc của vật cùng khối lượng trượt xuống mặt phẳng nghiêng Hiện tượng này cĩ thể được giải thích một cách đính tính như sau: do sự gia tăng “quán tính”
của khối trụ do chuyển động quay Sự gia tăng này của quán tính phụ thuộc vào
tỉ số In mR:
3 Con ldc maxwell
Khảo sát chuyển động của một cái đĩa nhỏ với một trục được buộc bởi hai
sợi đây cĩ độ dài bằng nhau (hình 3.6)
rf
Hinh 3.6
Dụng cụ như vậy được gọi là con lắc Maxwell Hãy tưởng tượng trục của
con lắc được cuốn bởi hai sợi dây, và sau đĩ cho con lắc chuyển động đi xuống
dưới tác dụng của trọng lực Trong giai đọan đầu của chuyển động , các sợi dây được tháo ra khỏi thanh cho đến khi con lắc tới vị trí thấp nhất ( xác định bởi
chiểu đài của dây ) Do quán tính, đĩa tiếp tục quay theo chiều cũ, và sợi dây cuộn vào thanh Trong gia đoạn này con lắc sẽ chuyển động đi lên và sẽ giảm
tốc độ cho tới khi đạt được vị trí cao nhất Sau đĩ đĩa lại đi xuống và chuyển
động cứ thế lập lại Do ma sát với khơng khí nên biên độ dao động của đĩa giảm
dan cho đến một lúc nào đĩ con lắc ngừng dao động Tuy nhiên, vì lực ma sat
Trang 25
MOMENT QUÁN TÍNH TRONG CHUYỂN BONG QUAY CUA MOT VAT RAN ©WWD TY NGUYÊN TRẤN TRÁC
nhỏ nên dao động của con lắc trong những lẫn đi lên và đi xuống đầu tiên cĩ thể được xem như một quá trình tuần hồn
Ký hiệu P là trọng lực, ƒ là lực căng của mỗi sợi dây, R bán kính của trục đĩa
Phương trình chuyển động tịnh tiến của đĩa cĩ dạng
P-2ƒ = ma (IIL20)
e a là gia tốc khối tâm
Phương trình của chuyển động quay là
dw
th c (111.21)
e œ là vận tỐc gĩc,
e [1a moment quan tinh cia con lic
e vlad vận tốc của khối tâm cũng là vận tốc của thanh Và ta cĩ v=@R dw = R— 111.22 >a = ( ) giải hệ ba phương trình (IH.20),(1H.21) và (HI.22) ta tim được gia tốc của khối tâm và lực căng dây
Ta nhận thấy rằng gia tốc và lực căng thì khơng phụ thuộc vào việc đĩa
chuyển động lên hay xuống trong quá trình dao động Trong quá trình dao động
Trang 26MOMENT QUÁN TÍNH TRONG CHUYỂN ĐỘNG QUAY CỦA MỘT YÁT RÁN ƠVIWD 1ï NGUYÊN TRẤN TRÁC
vận tốc thay đổi dấu trong khi gia tốc thì khơng vì lực căng khơng đổi dấu Tính chất này cĩ thể được kiểm chứng bằng thí nghiệm ở hình 3.7
Đầu trên của hai dây được treo vào một địn cân Buơng đĩa cân cho rơi
tự do, khi con lắc chuyển động lên hoặc xuống, ta thấy "trọng lượng” của con
lắc khơng phụ thuộc vào chiểu chuyển động “trọng lượng” này bằng với 2 với ƒ là sức căng đây
Trang 27
MOMENT QUÁN TÍNH TRONG CHUYỀN ĐỘNG QUAY CỦA MOT VAT RAW ƠVWD Tý NGUYÊN TRẤN TRÁC
CHUONG IV:
CACH TINH MOMENT QUAN TINH CUA MOT SO VAT THE DINH Li HUYGENS- STEINER
I MOMENT QUAN TINH CUA KHOI TRY DONG NHAT DOI
VỚI TRỤC ĐỐI XỨNG
Một hình trụ rỗng hoặc đặc cĩ thể được chia thành từng lớp trụ mỏng mà
mỗi phần cĩ khoảng cách như nhau đến trục Chia một khối trụ rắn đồng nhất cĩ
bán kính Rạ thành nhiều lớp trụ đồng tâm cĩ bể dày dR được trình bày ở hình 4 I Q~ d R v No Hình 4.1 Khối lượng của mỗi lớp trụ cĩ bán kính R dm = 2zRhodR (IV.1) trong đĩ
e Ala chiéu cao cha khéi tru e ø là khối lượng riêng
Trang 28MOMENT QUÁN TÍNH TRONG CHUYỂN ĐỘNG QUAY CUA MOT VAT RAN ©VWD 1ï NGUYÊN TRẤN TRÁC % ‘ 4 1 = 2zph |R”dR = 2nph —¬ (IV.5) & Vì khối lượng của khối trụ m = xø(Rÿ - R})đ¡ nên (IV.5) cho ta = +R?) (IV.6)
Với cách làm tương tự chúng ta cé thé tinh moment quán tính của các vật
rấn khác như khối trụ rỗng, đĩa trịn, vịng trịn,
II.MOMENT QUÁN TÍNH CỦA VẬT RẮN TRỊN XOAY
Vật rắn trịn xoay là vật mà bể mặt được tao thành bởi một mặt cong quay
quanh một trục nằm trong mặt cong đĩ Đường cong này được gọi là đường sinh
của mặt trịn xoay
Giả sử rằng một đường cong ƒ (h) (nằm cùng mặt phẳng với trục OO' (xem hình 4.2) và cĩ các điểm cuối của nĩ nằm trên trục quay) quay quanh trục
này để tạo thành bể mặt của vật rắn ,.Ð' H; Uy Sore K< coi tere eee << SA 1 SG ẾN Hình 4.2 Ta chia vật ra vơ số đĩa trịn mỏng cĩ chiều cao dh Moment quán tính của một lớp trịn như vậy là dl = mf’ = 50s ‘dh (IV.7) Vi thé, moment quán tính của tồn bộ vật rấn trịn xoay 1 x
| == |dmf? =— 5 Jamf* =—p J dh 4 (IV.8) IV.8
Nếu biết hàm số /fh), ta cĩ thể tính moment quán tính của vật rấn trịn xoay
Trang 29
MOMENT QUÁN TÍNM TRONG CHUYỂN ĐỘNG QUAY CỦA MỘT VÁT RẤN ƠVWD Tï NGUYÊN TRÁN TRÁC
Thi du:Moment quan tính của một hình nĩn và hình cầu Hình nĩn cĩ chiều cao H, hàm số ƒ(h) cĩ dang (a) (b) Hinh 4.3 Moment quan tính của hình mặt nĩn là x (RỲ 7 (2)* J =—p|—| so) J |h'dh=—p| 2 \m) 5 —| — sử" VL9 3m ee ng VN 3 1 =—mR? Tư ( VI.10 )
em là khối lượng của khối nĩn
Moment quán tính của khối cầu cĩ thể được tìm ra theo cách giống như
vậy Để đơn giản cho việc tính tốn, trước tiên ta hãy tính moment quán tính nửa
Trang 30MOMENT QUÁN TÍNH TRONG CHUYỂN ĐỘNG QUAY CỦA MỘT YVẬT RẮN €VWD , 17 NGUYÊN TRẤN TRÁC
e mm là khối lượng của quả cầu đặc
Vậy moment quán tính của quả cầu đối với một đường kính là
J == mR: (IV.12)
_ UL TINH MOMENT QUAN TiNH CUA VAT ĐỐI VỚI TRỤC
BAT KY DI QUA KHOI TAM
Đến đây chúng ta đã tính moment quán tính đối với trục đối xứng của vật
Trong trường hợp trục quay tuỳ ý đi qua khối tâm, các phép tính tốn trở nên
khĩ khăn hơn Vì vậy ta chỉ khảo sát một ví dụ rất đơn giản là tính moment quán
tính của một thanh đồng nhất cĩ chiều dài l và khối lượng m đối với một trục
làm một gĩc œ so với trục đối xứng của thanh và đi qua khối tâm (hình 4.4)
Hình 4.4
Gọi x là khoảng cách từ đoạn nhỏ của thanh cĩ chiểu dài dx tới điểm
giữa của thanh Khối lượng của mỗi phẩn tử là dm -[7)a và khoảng cách từ
đoạn nhỏ này tới trục là ƒ = xsina
Trang 31MOMENT QUAN Tinh TRON CHUYEN ĐỘNG QUAY CỦA MỘT YÁT RÁN @VWD , TY NGUYÊN TRẤN TRÁC
1
— mi:sn? 12 e
Rõ ràng rằng nếu thanh vuơng gĩc với trục œ = 5 ta được:
I = mi" (IV.14)
Kết quả mà chúng ta vừa đạt được chỉ cĩ ý nghĩa thực tế khi kích thước
tiết diện ngang của một thanh rất bé so với chiều dài của thanh
Ứng dụng:
Moment quấn tính của đĩa mỏng đối với một đường kính nằm trong mặt phẳng của đĩa Chia đĩa (bán kính #&¿) thành những thanh mỏng vuơng gĩc với trục Khối lượng của một thanh cĩ chiều rộng đh, ở khoảng cách # tính từ tâm của đĩa bằng: tp dij IS aR
Ấp dụng cơng thức moment quán tính của một thanh ở trên ta suy ra
Trang 32MOMENT QUÁN TÍNM TRONG CHUYỂN ĐỘNG QUAY CUA MOT VAT RAN @VWD Tý NGUYÊN TRAN TRAC
IV ĐỊNH LÝ HUYGENS - STEINER
Gọi lạ là moment quán tính của một vật đối với một trục A, đi qua khối
tâm G của vật I là moment quán của vật đĩ đối với một trục A song song với
A,
Dinh ly Huygens - Steiner
1=1,+ma’ (IV.16)
Trong đĩ m là khối lượng của vật và a là khoảng cách giữa hai trục Gọi
OO' là trục đi qua khối tâm mà moment quán tính đối với trục này là lạ đã biết
Chúng ta coi đường OO' như là trục z của hệ toạ độ vuơng gĩc và vẽ mặt phẳng
xy qua khối tâm của vật, gốc tọa độ trùng khối tâm (hình 4.6a) Trục O'*Q""'
song song với trục ban đầu và qua điểm (xạ, yạ) Ký hiệu khoảng cách giữa hai trục là a, ta cĩ đ` = x + vệ (IV.17) (a) (b) Hình 4.6
Xét hạt cĩ khối lượng m, ở toạ độ x, và y, moment quán tính của vật đối
Trang 33MOMENT QUÁN TÍNH TRONG CHUYỂN ĐỘNG QUAY CỦA MỘT YÁT RẤN 0YND Tĩ NGUYÊN TRẤN TRÁC
/ -Í* +34} >_m, +53 m (x) +y})-2x, > mx, ~2y, > m,y, (IV.19) trong đĩ © (x5 +90) om, = ma’ 2m (xì +y')=k ° dmx = DLimy, =0 Vậy ta cĩ 1 =1,+ma’ Thi du/: Tinh moment quan tính của khối trụ đối với một trục trùng với đường sinh I =2 m& + mR? = mk (IV.20)
Thí dụ 2: Tính moment quán tính của khối trụ đối với trục OO' vuơng gĩc vối trục hình học của khối trụ (xem hình 4.6b) Để tính chúng ta chia khối trụ
thành võ số đĩa mỏng, xác định moment quán tính của mỗi đĩa đối với trục nằm trong mặt phẳng của đĩa, qua tâm đĩa và song song OO' dùng cơng thức (IV.15), ấp dụng cơng thức (IV.16) để tính moment quán tính của mỗi đĩa đối với trục
OO', Cuối cùng cộng tất cả các moment quán tính của các đĩa đĩ lại
Trang 34
MOIMENT QUÁN TÍNH TRONG CHUYỂN ĐỘNG QUAY CỦA MỘT VÀT RẤN ovwo Ts wouvtw TRAN TRAC
CHUONG V:
TENSO QUAN TINH
I TEN SO QUAN TINH
Trước hết ta xét một hạt riêng lẻ cĩ khối lượng m, quay quanh trục A với
vận tốc gĩc œ Vị trí của hạt được xác định bởi bán kính vectơ # Moment động lượng của hạt là: N =mRxv=m &x{øx 8| (V.1) © Vi œ là vectơ vận tốc gĩc của hạtm Vectdơ N nim trong mat phẳng hợp bởi vectd œ và & đồng thời vuơng gĩc với Ẩ =! Hinh 5.1 Hình chiếu của lên A thì bằng với: N,=m p'o Thật vậy, ta cĩ: N, =Necosa =msRsn| Š ~a ]~m Øv=m ØÌœ
Vì vz øø Trước đây, khi nghiên cứu chuyển động quay của vật quanh
một trục cố định, ta chỉ để cặp tới hình chiếu W,„ của moment động lượng đối với trục quay Hình chiếu này bằng với m /Ýœ, nghĩa là tích của moment quan
tính ï = m /Z của hạt với vận tốc gĩc œ Đại lượng w, rõ ràng khơng phụ thuộc vị
trí của điểm O nằm trên trục quay
Trang 35
MOMENT QUÁN TÍNH TRONG CNUYỀN ĐỘNG QUAY CỦA MỘT YÁT RÁN QYNWD Tĩ NGUYÊN TRẤN TRÁC
Bây giờ, ta xét mối quan hệ giữa các vectd V và œ đối với trường hợp tổng quát Hệ thức này liên hệ tới một tích vectơ của ba vectơ, cĩ thể được biểu diễn qua một đại lượng vật lý mới, gọi là tensơ Khái niệm tensơ tổng quát hĩa
khái niệm của đại lượng vectơ
Trước tiên chúng ta tìm mối quan hệ giữa hình chiếu của N và của œ lên các trục tọa độ Ta cĩ ax(bxc} = b(ac)-c(ab) Chúng ta cĩ thể viết lại hệ thức (V.1) như sau: N =m R* eo —~mR( aR) (V.2) Vậy ta đã phân tích NV thành các thành phan doc theo vectd w va R (hinh 5.2) mR mR ak) Hinh 5.2 Bây giờ chúng ta viết lại những hình chiếu của X trên trục Ox của hệ tọa độ trực giao gắn với vật N, =m Ra, =m xÍ xe, + yo, + 20, ) => N, =m(R’ - x )a, —m xa, — m xz0),
Các hình chiếu lên hai trục Oy va Oz được tìm tương tự Ta được
N, = m( R? — xÌÌa, —m xya, — m xza,
W, =—my xa), + m (R” - y`)}è,~m z0), (V.3)
N, =-m zxe, ~m zye, + m ( R` = z`Ìe,
trong đĩ, lần lượt x, y và z là các thành phẩn của vector # Mỗi hình chiếu của N phụ thuộc tuyến tính vào tất cả hình chiếu của ø
Bảng gồm chín thừa số đứng trước các hình chiếu œ,,œ và œ được xếp
như các vị trí trong hệ thức trên được gọi là tensơ quán tính của hạt cĩ khối
lượng m Ký hiệu là J
Trang 36
MOMENT QUÁN TÍNH TRONG CHUYỂN ĐỘNG QUAY CỦA MOT VAT RAN ©YWD , Tĩ NGUYÊN TRẤN TRÁC m (R~+`} ~m xy ~m xz xa ~m yx m (K' -y') -m yz (V.4) -m #x ~m zy m (R` -z') ba đẳng thức (V.3) cĩ thể được viết lại _ N =J@ (V.5)
Phép nhân của J vectơ œ được thực hiện theo qui tắc nhân ma trận
Bây giờ ta xét một vật rấn quay quanh trục A, đi qua O, với vận tốc gĩc @
Moment động lượng của vật rắn là tổngcủa các moment động lượng của các chất điểm, ta cĩ: N=} mR x(øx R.) => mR a- Ym, ROR.) Ta c6 thé bi€u dién N duéi dang: N=Ja (V.6) trong đĩ tensơ J cĩ dạng: fa lọ Sn Sul Fook he Rw.) May, Ede Với các thành phần là: I, =1, =-)my.z,
Các thành phần với hai chỉ số giống nhau rõ ràng bằng với moment quán
tính đối với các trục tọa độ tương ứng, thí dụ 7, = 3`m ( R} -+*)=Ð3_m, (y> +2?
là moment quán tính của vật đối với trục x Các thành phần với các chỉ số khác
nhau được gọi là các tích quán tính
Tensơ J chỉ cĩ sáu thành phẩn độc lập vì ly =l„ l„= l„, lự = ly Một
tensơ như vậy được gọi là tensơ đối xứng
Trang 37
MOMENT QUAN Tinh TRONG CHUYEN BONG QUAY CUA MOT VAT RAW ©YIWD : 1š NGUYÊN TRẤN TRÁC
H TENSƠ QUÁN TÍNH CHÍNH VÀ TRỤC QUÁN TÍNH CHÍNH
Những thành phần của tensơ lệ thuộc vào sự lựa chọn hệ tọa đơ, chính xác
hơn, chúng được xác định bởi phương của những trục này Đối với một hệ qui
chiếu Oxyz gắn với vật, các thành phan cia tenso J là những đại lượng khơng đổi (chúng khơng thay đổi theo thời gian) Những thành phân của N và ø do đĩ
được xác định đối với cùng những trục như nhau Vì thế, sáu đại lượng I,„, ly ly loys Lee lựy xác định một tập hợp các giá trị của N tương ứng với mọi phương của
œ , tổng quát, phương của W thì khơng trùng với phương của ø
Tuy nhiên, đối với một vật rắn bất kỳ và với một điểm O bất kỳ, ta cĩ ít nhất ba phương vuơng gĩc từng đơi một của œ, xác định ba trục quay đối với các
trục quay này, các vector ý và œ cĩ cùng phương Các phương này được gọi là
những phương chính của tensơ J Đối với những phương chính, ta cĩ
N=Ĝ (V.7)
trong đĩ 2 là một vơ hướng
Chúng ta viết lai đẳng thức (V.6) theo các hình chiếu lên các trục toa độ N, =1,,@,+1,,@, +1,,@, N, =1,,0,+1,0, +10, (V.8) N, = 1,0, +10, +1, Đối với phương chính những đẳng thức trên cĩ dạng: Aw, =1,0,+1,@, +10, (Aw, =1,0, +10, +10, (V.9) Aa, =1,0,+1,0, +10, l(I„ = Ä)@, + 1„œ, +1„œ, =0 => 41,0, +(1, -A)a, +1,,@, =0 1,0, + 1,0, +(1,, -A)w, =0
Như vậy ta cĩ hệ ba phương trình đại số tuyến tính đồng nhất với ba ẩn là
@,,@, Va œ, Một hệ như vậy cĩ nghiệm khác khơng nếu và chỉ nếu định thức của hệ bằng khơng iat gm để iL nd ÿ lmỸ (V.10) I, | a Pe Suy ra Â`+aÄ`+a,Ä+a, =0 (V.11)
trong d6 aj, a), a; phu thudc vao I,,, ky, L, (cdc thanh phần của tensơ)
Giải phương trình (V.1 1) và giả sử, tìm được ba nghiém 1a Aj, A», Ay Thay
A, 4, 4, vào hệ phương trình (V.9) ta tìm được những phương chính tương ứng
Trang 38
MO4ENT QUÁN TÍNM TROWG CHUYỂN ĐỘNG QUAY CỦA MỘT T RẮN ©YNWD 1 NGUYÊN TRẤN TRÁC
Thi du thay A, vao (V.9), ta xác định được phương chính tương ứng với ø, ta cĩ
N =À¿a,
Hai phương trình đầu của hệ (V.9) cĩ dạng (phương trình thứ ba là hệ quả
của những phương trình này )
Ä-1 =Iy„ThviV—
@ @
1, =(1,,-A)—+1,, 2
Từ những phương trình này, ta tìm được những tỷ số “* và : xác định
phương chính ứng với ø, Độ lớn của vectơ œ, cĩ thể hồn tồn tuỳ ý
Tương tự hai phương chính khác cĩ thể được xác định từ các nghiệm À¿ và Ay
Dat n,n, va n, lẩn lượt là các vectơ đơn vị trên các phương chính tương
Ứng với 2, À; và 3 ¡ Các vectơ n, n, va n, vuơng gĩc với nhau từng đơi mot
Đối với những thành phần (hay hình chiếu) của n, chúng ta cĩ thể viết
phương trình vector 2,ø, =.Jn, hay hệ ba phương trình vơ hướng
Am, = 1am, + Lym, + 1am,
An, =1m,+1m, +1 m, (V.12)
An, =1,,m, +14, + 1am,
Nhân phương trình thứ nhất của (V.12) với nạ„, phương trình hai với nạy,
phương trình ba với nạ, và cộng chúng lại với nhau ta được:
_ Ann, = A,
trong đĩ 4 =n,/n, là một tích vơ hướng cỦa vectd vn, và Jn,
Tương tự, ta cĩ phương trình vectơ 2,n, =/n, tương đương với một hệ ba
phương trình vơ hướng theo các hình chiếu của n, Nhân những phương trình này
với các thành phẩn tương ứng của ø„ và cộng chúng lại chúng ta được
LAN, =4, =RƯn, Tensơ J cĩ tính đối xứng (l,y = l¿x, lạ; = l„, ly; = l„y ), ta thấy A; = A¿ Vì
vậy, ta cĩ
Ann, = Ann, (V.13)
đo đĩ (4, - Ä,)n,n, =0 Nếu À¡ # 3; , phương trình cuối chỉ cĩ thể được thỏa khi
n,n, = 0, nghĩa là vector ø và n, trực giao nhau Tương tự nếu ^ # À¿ thì m,n, =
0 và nếu 3¿ # À¿ thì n,n, =0
Cần lưu ý khi các trục tọa độ được hướng dọc theo các vectơ ø,, ø, và m,
thì tensơ quán tính cĩ dạng đặc biệt đơn giản
Thật vậy, trong trường hợp này chúng ta cĩ œ = ø,n, +@,1, + ø,n,
Trang 39
MOMENT QUÁN TÍNN TRONG CHUYỂN ĐỘNG QUAY CỦA MỘT VÁT RÁN ©YID , Tĩ NGUYÊN TRẤN TRÁC do đĩ: N =N,n,+N,n,+N,n, =Ja =J (on, +@,n, + a,n,) = oJ n, + w,Jn, +o,Jn, = OA,n, + @,d,n, + WAN, Do đĩ, với hệ trục tọa độ như vậy chúng ta cĩ: N, = 4,0, , N, = 2,0, , Ny = 4,0, N? =N/ +N] +N} =A} +20; sit} Do đĩ, đối với hệ trục tọa độ đã chọn, tensơ quán tính cĩ dạng À 0 0 J=|0 a4 0 0 0 4,
Trong đĩ chỉ những thành phần trên đường chéo là khác khơng
RO rang 1a A, , Ay VA Ay bằng với moment quán tính của vật đối với các
trục quán tính chính tương ứng Chúng được gọi là moment quán tính chính Các
moment quán tính chính được xác định từ sự phân bố khối lượng của vật trong vùng khơng gian mà vật chiếm và khơng phụ thuộc vào việc lựa chọn hệ trục tọa độ
Hơn nữa, nếu hai trong các nghiêm À‹, À¿, 2; thí dụ : À¡ và 2¿, trùng nhau (À¡ = 3¿) ta cĩ vơ số các trục chính nầm trong mặt phằng vuơng gĩc với vector
n, Đĩ là trường hợp khi một vật rắn đồng nhất và đối xứng đối với một trục và
n, cĩ hướng dọc theo trục đĩ Những vật đồng nhất như vậy là khối trụ (với tiết
diện vuơng hoặc trịn), hay một vật rấn trịn xoay, đối xứng trục hoặc một quả cẩu đồng nhất đối xứng tâm Trong các trường hợp này, bất kỳ trục nào qua tâm của vật đều là trục chính
Biểu thức của động năng của một vật rắn quay với vận tốc gĩc œ quanh
Trang 40MOMENT QUAN TÍNH TROW0 CHUYỂN BONO QUAY CUA MOT VAT RAW @VWD , Tĩ NGUYÊN TRẤN TRÁC Hinh 5.3 Động năng T được liên hệ với ø, ý va J bing hé thitc: ia teva seve (V.15) 2 2 Thật vậy, chú ý tới (V.6) chúng ta viết lại: aN =Y mal R x(@x R.)| Và tích ø|& «(@xR)| cĩ thể được viết lại là: ø|Ä «(ax R)Ì=ø{R'ø~R.(8,} =ø`R} -(@R, ) = R? -(wR, cosa) =@'R?(1-cosa)’ = (R sina) = a’ p? = vì Vì thế oN =} my} =2T Động năng cũng cĩ thể biểu diễn dưới dạng T = 2m = ; oF mp? = gia" (V.16)
trong trường hợp chuyển động quay quanh trục cố định thì /,=53 mø° là