Một trạm xăng chỉ có một máy bơm xe máy Đến theo quá trình poisson với tốc Độ trung bình 15 xegiờ biết rằng nếu Ở trạm Đang có n xe thì xác suất Để một xe khác Đến rồi bỏ Đi mua chỗ khác là n3 với n= 1, 2, 3

Khi chỉ có một khách ở quầy tính tiền thì chỉ có một nhân viên thu tiền với thời gian trung bình 1,5 phút/khách.. Xe đếntrạm kiểm định theo quá trình Poisson với thời gian trung bình là

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ TRƯỜNG BÁCH KHOA KHOA QUẢN LÝ CÔNG NGHIỆP



CN209 VẬN TRÙ HỌC 2 - QLCN

BÀI TẬP GIỮA KÌ

CÁN BỘ HƯỚNG

ThS Phan Thanh Lương Nguyễn Ngô Gia Huy B2203173

Tiền Huỳnh Ngọc Lam B2203176

Nguyễn Phúc Khánh Ly B2203178

BÀI TẬP VẬN TRÙ HỌC 2 – NHÓM 6

Học phần: CN209 – Học kỳ 1 (2024-2025)

Bài 1: Một trạm xăng chỉ có một máy bơm Xe máy đến theo quá trình Poisson với tốc

độ trung bình 15 xe/giờ Biết rằng nếu ở trạm đang có n xe thì xác suất để một xe khác đến rồi bỏ đi mua chỗ khác là n/3 với n= 1, 2, 3 … Thời gian phục vụ một xe có phân

bố mũ với kỳ vọng 4 phút

a) Vẽ lược đồ cho hệ xếp hàng

b) Viết các phương trình cân bằng

c) Giải hệ phương trình cân bằng và tìm xác suất duy trì để có n xe

d) Tìm kỳ vọng thời gian chờ trong hệ kể cả thời gian phục vụ

1 0

λ0=15 λ1=10 λ2=5

μ3=15

μ2=15

μ1=15

Bài 2: Một siêu thị nhỏ chỉ có một quầy tính tiền, khách ra tính tiền theo quá trình

Poisson với tốc độ trung bình 30 khách/giờ Khi chỉ có một khách ở quầy tính tiền thì chỉ

có một nhân viên thu tiền với thời gian trung bình 1,5 phút/khách Khi có hai khách trởlên thì có thêm người phụ giúp và thời gian trung bình còn 1 phút/khách Biết thời gianphục vụ có phân bố hàm số mũ

2)2 = 1,2Tính Lq khách hàng trong hàng đợi chỉ xuất hiện khi có 2 khách trở lên

1/3 1/3 1/3 1/3 1/3

Bài 3: Một dịch vụ sữa xe ô tô đang được thiết kế và phải cân nhắc cần mấy chỗ cho

xe chờ Ước lượng được rằng xe đến như đầu vào Poisson với tốc độ trung bình 4 phútmột xe, nhưng nếu hết chỗ thì xe sẽ bỏ đi Thời gian sữa một xe có phân bố mũ với kỳ vọng 3 phút một xe Hãy vẽ lược đồ quá trình sinh – tử và tính xác xuất để một xe đến phải đi vì hết chỗ trong các trường hợp sau:

a) Có không chỗ cho xe đậu chờ (không kể xe đang rửa)

a.Trường hợp không có chỗ cho xe đậu chờ (K=0)

Cửa hàng có 2 trạng thái: -Trạng thái 0: không có xe tới cửa hàng

-Trạng thái 1: có 1 xe đang sửa

b Trường hợp có 2 chỗ cho xe đậu chờ (K=2)

Cửa hàng có 4 trạng thái: -Trạng thái 0: không có xe tới cửa hàng

-Trạng thái 1: có 1 xe đang sửa-Trạng thái 2: có 1 xe đang sửa và 1 xe chờ-Trạng thái 3: có 1 xe đang sửa và 2 xe chờXác suất của cửa hàng ở trạng thái 3 và xe đến sau bị từ chối là:

c Trường hợp có 4 chỗ cho xe đậu chờ (K=4)

Cửa hàng có 2 trạng thái: -Trạng thái 0: không có xe tới cửa hàng

-Trạng thái 1: có 1 xe đang sửa-Trạng thái 2: có 1 xe đang sửa và 1 xe chờ

-Trạng thái 3: có 1 xe đang sửa và 2 xe chờ-Trạng thái 4: có 1 xe đang sửa và 3 xe chờ-Trạng thái 5: có 1 xe đang sửa và 4 xe chờXác suất của cửa hàng ở trạng thái 5 và xe đến sau bị từ chối là:

Trường hợp a (K = 0): Xác suất từ chối xe là P1 = 42.68%

Trường hợp b (K = 2): Xác suất từ chối xe là P3 = 15.43%

Trường hợp c (K = 4): Xác suất từ chối xe là P5 = 7.2%

Bài 4: Một trạm kiểm định ô tô có một dây chuyền kiểm định xe động cơ xăng Xe đến

trạm kiểm định theo quá trình Poisson với thời gian trung bình là 20 phút/xe Các xe vàotrạm được phục vụ theo thứ tự đến trước được phục vụ trước Thời gian kiểm định theoquy luật phân phối hàm số mũ với thời gian trung bình là 20 phút/xe Nhưng để rút ngắnthời gian kiểm định trong dây chuyền, khi có từ xe thứ 2 trở lên (n≥2) trạm sẽ thực hiệnmột số công việc kiểm định khi xe trong hàng đợi, vì vậy thời gian kiểm định trung bìnhcủa mỗi trong dây chuyền sẽ giảm xuống còn 15 phút/xe Giả sử chi phí vận hành hệ

thống kiểm định là 100 $/giờ và chi phí thời gian xe trong trạm kiểm định (bao gồm thời

gian chờ và thời gian phục vụ) là 20 $/xe/giờ Yêu cầu:

a) Vẽ lược đồ cho hệ xếp hàng?

b) Viết phương trình cân bằng và tính xác suất duy trì để có n xe trong trạm?c) Tính tỷ lệ thời gian bận rộn của dây chuyền?

d) Tính số lượng xe trung bình trong trạm kiểm định và trong hàng đợi?

e) Tính tổng chi phí hoạt động trong một giờ (bao gồm chi phí vận hành dâychuyền kiểm định và chi phí thời gian của xe)?

Với n = 1 (1 xe duy nhất)  = 201 xe/phút = 3 xe/giờ

Với n = 2 (2 xe trở lên)  = 151 xe/phút = 4 xe/giờ

Tại thời điểm 0

d) Tính số lượng xe trung bình trong trạm kiểm định và trong hàng đợi 

- Số lượng xe TB trong trạm kiểm định:

Bài 5 Một trạm xăng có một máy bơm Xe đến bơm xăng theo phân phối Poisson với tốc

độ trung bình 10 xe/giờ Trạm xăng thuê một nhân viên phục vụ với giá 7.000 đồng/giờ.Thời gian phục vụ mỗi xe theo phân bố hàm số mũ với kỳ vọng 3 phút/xe Nếu hàng đợidài thì khách sẽ không vào trạm xăng hoặc khách vào trạm xăng phải đợi lâu thì lầnsau  sẽ không đến, vì vậy làm mất doanh thu Theo ước tính của chủ trạm xăng cứ trungbình mỗi xe tiêu phí một phút ở trạm xăng thì chủ trạm xăng phải mất một chi phí tươngđương 120 đồng Nếu thuê thêm một nhân viên phụ với chí phí 4.000 đồng/giờ thì thờigian phục vụ trung bình sẽ giãm xuống còn 1,5 phút/xe Hãy tính tổng chi phí tiêu tốntrong mỗi giờ của hai phương án và quyết định xem có nên thuê thêm nhân viên phụkhông? 

Giải Phương án 1: Chỉ có một nhân viên phục vụ

 Tốc độ đến của xe: λ =10 xe/ giờ

 Tốc độ phục vụ: μ =3 phút / xe=20 xe/ giờ

 Tổng chi phí bao gồm:

 Chi phí thuê nhân viên: 7.000 đồng/giờ

 Chi phí thời gian trung bình một xe trong hệ thống

 Thời gian trung bình một xe ở trong hệ thống WS

Ws= 1

μ −λ=

120−10=0 ,1 giờ

 Chi phí thời gian trung bình một xe trong hệ thống

CP1= 0,1*10*7200=7200 đồng/giờ

Tổng chi phí= CP1 + 7000 =7200 + 7000 =14200 đồng/ giờ

Phương án 2: Thuê thêm 1 nhân viên

 Tốc độ đến của xe: λ =10 xe/ giờ

 Tốc độ phục vụ: μ =1,5 phút / xe=40 xe/ giờ

 Tổng chi phí bao gồm:

 Chi phí thuê nhân viên: 7.000 đồng/giờ

 Chi phí thuê thêm nhân viên phụ 4.000 đồng/giờ

 Chi phí thời gian trung bình một xe trong hệ thống

 Thời gian trung bình một xe ở trong hệ thống WS

Bài 6: Một cửa hàng bán một loại máy điện thoại di động nhập hàng vào tối chủ nhật để

bán cho cả tuần Cửa hàng sử dụng chính sách nhập hàng (s,S) Nghĩa là số máy còn tồnchưa bán được vào ngày chủ nhật nhỏ hơn s thì nhập thêm S máy mới Trái lại, nếu sốmáy còn tồn lớn hơn hay bằng s, thì cửa hàng không nhập thêm máy (giả sử s = 1 vàS=3) Giả sử số khách đến mua máy điện thoại tại cửa hàng hàng tuần có phân phốiPoisson với trung bình λ=1 Hãy xác định ma trận truyền P

Nếu số máy còn tồn chưa bán được vào ngày chủ nhật nhỏ hơn s(<1) thì nhập S máy mới.

Nếu số máy còn tồn lớn hơn hay bằng s (>=1), thì cửa hàng không nhập thêm S máy mới

Gọi Dt là số máy điện thoại khách muốn mua trong tuần thứ t

Xi là số điện thoại di động còn vào tuần thứ t

Như vậy X, gồm 4 trạng thái và phụ thuộc vào Dt như sau:

Xi+1 = {Max(3−D t+1, 0), nếu X i<1

Vì Xi-1 = 0 nên Xi = Max (3 – Dt, 0) => Xi = 0 khi Dt≥ 3

Xác xuất tuần sau tồn kho là 0 điện thoại

P00 = P(Dt≥ 3)= 1- P(Dt = 0) - P(Dt = 1) - P(Dt = 2)

= 1- 0 ! e1 − 1

1! e− 1

2! e = 0,080Xác xuất tuần sau tồn kho là 1 chiếc điện thoại

Xác suất không còn điện thoại.

Bài 7: Giả sử cho đơn giản là giá một loại cổ phiếu chỉ có năm mức là: 1, 2, 3, 4 và 5

(triệu đồng) và chỉ tính một lần một ngày Một người kinh doanh cổ phiếu coi giá Xt tạingày t là ngẫu nhiên, nhưng tạo thành một xích Markov, để tính việc mua nếu dự đoángiá sẽ tăng và bán nếu dự đoán giảm Giả sử qua kinh nghiệm đã có ma trận truyền sauđây

a) Hãy tìm kỳ vọng giá và kỳ vọng lãi ngày mai nếu mua hôm nay và bán ngày maicho cả năm trường hợp giá hôm nay?

b) Tính kỳ vọng giá và kỳ vọng lãi nếu mua hôm nay và bán sau hai ngày cho cả nămtrường hợp giá hôm nay?

Giải a) Kỳ vọng giá ngày mai nếu mua hôm nay và bán ngày mai:

- Nếu giá hôm nay là 1 triệu:

E (Xt+1 | Xt = 1) = 1x0.6 + 2x0.2 + 3x0.1 + 4x0.05 + 5x0.05 = 1.75

0.6 0.2 0.1 0.05 0.05

0.25 0.55 0.1 0.05 0.05

0.1 0.15 0.5 0.15 0.1 0.05 0.05 0.1 0.55

- Nếu giá hôm nay là 2 triệu:

Kỳ vọng lãi ngày mai nếu mua hôm nay và bán ngày mai:

- Nếu giá hôm nay là 1 triệu:

=

b)- Kỳ vọng giá nếu mua hôm nay và bán sau hai ngày:

+ Nếu giá hôm nay là 1 triệu:

E (Xt+2 | Xt = 1) = 1x1740 + 2x14 + 3x507 + 4x40037 + 5x40037 = 2.178+ Nếu giá hôm nay là 2 triệu:

E (Xt+2 | Xt = 2) = 1x121400 + 2x149400 + 3x507 + 4x40037 + 5x40037 = 2.3+ Nếu giá hôm nay là 3 triệu:

E (Xt+2 | Xt = 3) = 1x254 + 2x10019 + 3x103 + 4x10019 + 5x254 = 3+ Nếu giá hôm nay là 4 triệu:

E (Xt+2 | Xt = 4) = 1x40037 + 2x40037 + 3x507 + 4x149400 + 5x121400 = 3.7+ Nếu giá hôm nay là 5 triệu:

E (Xt+2 | Xt = 5) = 1x40037 + 2x40037 + 3x507 + 4x14 + 5x1740 = 3.823

- Kỳ vọng lãi nếu mua hôm nay và bán sau hai ngày:

+ Nếu giá hôm nay là 1 triệu:

Bài 8: Một người đàn ông có 4 cây dù (2 cây màu đen, 2 cây trắng) được để ở 2 nơi:

tại nhà riêng 2 cây và văn phòng làm việc 2 cây Hằng ngày khi đi làm, ông ta lấy ngẫunhiên một cây dù từ nhà, đến cơ quan ông ta để cây dù vào chung số dù đang có ở cơ quan Cuối ngày, khi trở về, ông ta lại lấy ngẫu nhiên một cây dù từ cơ quan mang về nhà và để chung vào cùng chỗ để dù ờ nhà Giả sử xem số dù trắng tại nhà ông là trạngthái của xích một Markov (các trạng thái: 0,  1,  2) Hãy tìm ma trận truyền của xích Markov sau một ngày?

Trạngthái saukhi về

Số dù Dù

đi

Xácsuất

Tổng sốdù

Dù về Xác

suất1Đ,

1Đ

1Đ

Bài 9: Một công ty viễn thông phải thi công công trình ngoài trời Việc thi công chỉ có

thể thực hiện khi trời nắng, nếu trời mưa thì phải nghỉ Giả sử theo số liệu thống kê, thời tiết mưa hay nắng trong một ngày tuân theo quy luật Markov với ma trận truyền như sau:

  M N

P =

MN

Để thực hiện công việc, công ty phải ra quyết định trước 2 ngày Nếu quyết định điều người để thực hiện công việc được diễn tiến theo đúng kế hoạch (nếu ngày hôm đó nắng) sẽ mang lại lợi nhuận cho công ty là 2.000 $ Nếu đã ra quyết định điều người thực hiện công việc, nhưng do thời tiết hôm đó mưa thì công ty phải chịu một khoản chi phí tiền công (lỗ) 500 $ Hãy tính kỳ vọng lãi cho việc ra quyết định điều người của công ty hôm nay để thực hiện công việc sau 2 ngày nữa trong hai trường hợp sau đây:

a) Nếu thời tiết hôm nay là nắng?

b) Nếu thời tiết hôm nay là mưa?

Vậy: Kỳ vọng lãi cho việc ra quyết định điều người của công ty hôm nay để thực hiện

công việc sau 2 ngày nữa là:

- Nếu hôm nay trời nắng thì kỳ vọng lãi là 1513.889$

- Nếu hôm nay trời mưa thì kỳ vọng lãi là 1444.445$