Nhận xét Điểm 100,00 / 100,00 Chấm điểm vào lúc Thứ tư, 20/11/2024, ĐỀ SỐ 2 Hướng dẫn giải bài toán ma trận: Đề bài: Phương trình cần giải: A * X = B. Với: A = [ 2 2 3 ] [ 1 -1 0 ] [ -1 2 1 ] B = [ 1 1 ] [ -1 0 ] [ 1 -2 ] Bước 1: Tính định thức của ma trận A Công thức tính định thức: det(A) = a11 * (a22 * a33 - a23 * a32) - a12 * (a21 * a33 - a23 * a31) + a13 * (a21 * a32 - a22 * a31). Thay các giá trị: det(A) = 2 * ((-1) * 1 - 0 * 2) - 2 * (1 * 1 - 0 * -1) + 3 * (1 * 2 - (-1) * -1). det(A) = 2 * (-1) - 2 * (1) + 3 * (2 - 1). det(A) = -2 - 2 + 3. det(A) = -1. Bước 2: Tìm ma trận phụ hợp (Adjoint) Công thức tính phần tử Cij của ma trận phụ hợp: Cij = (-1)^(i+j) * det(submatrix), trong đó "submatrix" là ma trận con sau khi bỏ hàng i và cột j. Tính từng phần tử: • Hàng 1: C11 = (-1)^(1+1) * det([ -1 0 ], [ 2 1 ]) = 1 * (-1 * 1 - 0 * 2) = -1. C12 = (-1)^(1+2) * det([ 1 0 ], [ -1 1 ]) = -1 * (1 * 1 - 0 * -1) = -1. C13 = (-1)^(1+3) * det([ 1 -1 ], [ -1 2 ]) = 1 * (1 * 2 - (-1) * -1) = 1. • Hàng 2: C21 = (-1)^(2+1) * det([ 2 3 ], [ 2 1 ]) = -1 * (2 * 1 - 3 * 2) = 4. C22 = (-1)^(2+2) * det([ 2 3 ], [ -1 1 ]) = 1 * (2 * 1 - 3 * -1) = 5. C23 = (-1)^(2+3) * det([ 2 2 ], [ -1 -1 ]) = -1 * (2 * -1 - 2 * -1) = 0. • Hàng 3: C31 = (-1)^(3+1) * det([ 2 3 ], [ -1 0 ]) = 1 * (2 * 0 - 3 * -1) = 3. C32 = (-1)^(3+2) * det([ 2 3 ], [ 1 0 ]) = -1 * (2 * 0 - 3 * 1) = -3. C33 = (-1)^(3+3) * det([ 2 2 ], [ 1 -1 ]) = 1 * (2 * -1 - 2 * 1) = -4. Ma trận phụ hợp: Adj(A) = [ -1 -1 1 ] [ 4 5 0 ] [ 3 -3 -4 ] Bước 3: Tìm ma trận nghịch đảo của A Công thức: A^(-1) = (1 / det(A)) * Adj(A). det(A) = -1, nên: A^(-1) = -1 * Adj(A). A^(-1) = [ 1 1 -1 ] [ -4 -5 0 ] [ -3 3 4 ] Bước 4: Tính ma trận X Công thức: X = A^(-1) * B. Nhân A^(-1) với B: X = [ 1 1 -1 ] * [ 1 1 ] [ -4 -5 0 ] [ -1 0 ] [ -3 3 4 ] [ 1 -2 ] Thực hiện từng phần tử: • Hàng 1: (1 * 1 + 1 * -1 + -1 * 1, 1 * 1 + 1 * 0 + -1 * -2) = (2, 7). • Hàng 2: (-4 * 1 + -5 * -1 + 0 * 1, -4 * 1 + -5 * 0 + 0 * -2) = (3, 7). • Hàng 3: (-3 * 1 + 3 * -1 + 4 * 1, -3 * 1 + 3 * 0 + 4 * -2) = (-3, -9). Kết quả: X = [ 2 7 ] [ 3 7 ] [ -3 -9 ] Đáp án cuối cùng: X = [ 2 7 ] [ 3 7 ] [ -3 -9 ] Bài 2 Phần a: Kiểm tra tính độc lập tuyến tính Đề bài: Cho hệ véc tơ: S = {α₁ = (1, 2, 3, 4), α₂ = (2, 3, 4, 1), α₃ = (3, 4, 1, 2), α₄ = (4, 1, 2, k)}. Phương pháp kiểm tra: Hệ véc tơ S sẽ độc lập tuyến tính nếu tổ hợp tuyến tính của chúng bằng 0 chỉ có nghiệm duy nhất là: c₁ = c₂ = c₃ = c₄ = 0. Điều này tương đương với việc giải hệ phương trình: c₁ * α₁ + c₂ * α₂ + c₃ * α₃ + c₄ * α₄ = 0. Viết hệ phương trình dưới dạng ma trận: A * C = 0. Trong đó: • A là ma trận các véc tơ α₁, α₂, α₃, α₄ làm cột: A = | 1 2 3 4 | | 2 3 4 1 | | 3 4 1 2 | | 4 1 2 k |. • C là ma trận cột hệ số: C = | c₁ | | c₂ | | c₃ | | c₄ |. Thực hiện khử Gauss để kiểm tra: 1. Bước 1: Sử dụng hàng 1 làm pivot. Thực hiện phép biến đổi: • R₂ → R₂ - 2R₁ • R₃ → R₃ - 3R₁ • R₄ → R₄ - 4R₁ Kết quả ma trận A sau bước 1: A = | 1 2 3 4 | | 0 -1 -2 -7 | | 0 -2 -8 -10 | | 0 -7 -10 k-16 |. 2. Bước 2: Sử dụng hàng 2 làm pivot. Thực hiện phép biến đổi: • R₃ → R₃ - 2R₂ • R₄ → R₄ - 7R₂ Kết quả ma trận A: A = | 1 2 3 4 | | 0 -1 -2 -7 | | 0 0 -4 4 | | 0 0 4 k+33 |. 3. Bước 3: Sử dụng hàng 3 làm pivot. Thực hiện phép biến đổi: • R₄ → R₄ + R₃ Kết quả ma trận A: A = | 1 2 3 4 | | 0 -1 -2 -7 | | 0 0 -4 4 | | 0 0 0 k+37 |. Phân tích kết quả: • Nếu k + 37 = 0 (tức là k = -37): Hàng cuối cùng trở thành 0. Khi đó, rank(A) = 3, hệ véc tơ phụ thuộc tuyến tính. • Nếu k + 37 ≠ 0 (tức là k ≠ -37): Hàng cuối cùng khác 0. Khi đó, rank(A) = 4, hệ véc tơ độc lập tuyến tính. Kết luận: • Hệ S độc lập tuyến tính nếu k ≠ -37. • Hệ S phụ thuộc tuyến tính nếu k = -37. ________________________________________ Bài 2 Phần b: Tính Rank(S) Đề bài: Hệ véc tơ: S = {α₁ = (1, 2, 3, 4), α₂ = (2, 3, 4, 1), α₃ = (3, 4, 1, 2), α₄ = (4, 1, 2, k)}. Phương pháp: Rank(S) là số hàng khác 0 trong ma trận A sau khi khử Gauss. Phân tích kết quả: 1. Nếu k = -37: o Hàng cuối cùng của ma trận A trở thành 0. o Rank(S) = 3. 2. Nếu k ≠ -37: o Hàng cuối cùng khác 0. o Rank(S) = 4. Kết luận: • Nếu k = -37, Rank(S) = 3. • Nếu k ≠ -37, Rank(S) = 4. Dưới đây là bài giải được viết lại dưới dạng văn bản để bạn dễ dàng sao chép vào Word 2016: ________________________________________ Bài giải: Để tính tích phân: ∫[1 → +∞] x * e^(-2x²) dx Bước 1: Đặt biến mới Đặt u=−2x2u = -2x², suy ra: du = -4x dx ⇒ x dx = -(1/4) du Khi x = 1: u=−2(12)=−2u = -2(1²) = -2 Khi x → +∞: u→−∞u → -∞ Bước 2: Thay đổi cận và viết lại tích phân Tích phân trở thành: ∫[1 → +∞] x * e^(-2x²) dx = ∫[-2 → -∞] e^u * (-(1/4) du) Hay: ∫[1 → +∞] x * e^(-2x²) dx = -(1/4) ∫[-2 → -∞] e^u du Bước 3: Đổi chiều cận Đổi dấu để cận dưới nhỏ hơn cận trên: -(1/4) ∫[-2 → -∞] e^u du = (1/4) ∫[-∞ → -2] e^u du Bước 4: Tính tích phân Tích phân của e^u là e^u, nên: (1/4) ∫[-∞ → -2] e^u du = (1/4) * [e^u] từ -∞ đến -2 Tính giá trị tại cận: • Khi u = -2: e^(-2) = 1/(e²) • Khi u → -∞: e^u → 0 Do đó: (1/4) * [e^u] từ -∞ đến -2 = (1/4) * (1/(e²) - 0) = 1/(4e²) Kết quả cuối cùng: ∫[1 → +∞] x * e^(-2x²) dx = 1/(4e²) ________________________________________ ĐỀ 3 Bài 1: Giải phương trình ma trận Phương trình ma trận cần giải là: X × | 2 -3 5 | | -1 4 -2 | | 3 -1 1 | = | 6 14 -2 | | 10 -19 17 | ________________________________________ Bước 1: Tính định thức của ma trận A Cho ma trận: A = | 2 -3 5 | | -1 4 -2 | | 3 -1 1 | Định thức của A được tính như sau: det(A) = 2 × det| 4 -2 | - (-3) × det| -1 -2 | + 5 × det| -1 4 | | -1 1 | | 3 1 | | 3 -1 | Tính từng ma trận con: 1. det| 4 -2 | = (4 × 1) - (-1 × -2) = 4 - 2 = 2 | -1 1 | 2. det| -1 -2 | = (-1 × 1) - (-2 × 3) = -1 + 6 = 5 | 3 1 | 3. det| -1 4 | = (-1 × -1) - (4 × 3) = 1 - 12 = -11 | 3 -1 | Tính det(A): det(A) = 2 × 2 - (-3) × 5 + 5 × (-11) det(A) = 4 + 15 - 55 = -36 Kết quả: det(A) = -36. ________________________________________ Bước 2: Tính ma trận phụ hợp (Adj(A)) Ma trận phụ hợp (Adj(A)) gồm các phần tử CijC_{ij}, được tính theo công thức: C_{ij} = (-1)^(i+j) × det(M_{ij}) Trong đó, MijM_{ij} là ma trận con của A sau khi bỏ dòng i và cột j. Tính từng phần tử của Adj(A): 1. Adj(A)₁₁: M₁₁ = | 4 -2 | | -1 1 | det(M₁₁) = (4 × 1) - (-1 × -2) = 4 - 2 = 2 Adj(A)₁₁ = 2 2. Adj(A)₁₂: M₁₂ = | -1 -2 | | 3 1 | det(M₁₂) = (-1 × 1) - (-2 × 3) = -1 + 6 = 5 Adj(A)₁₂ = -5 3. Adj(A)₁₃: M₁₃ = | -1 4 | | 3 -1 | det(M₁₃) = (-1 × -1) - (4 × 3) = 1 - 12 = -11 Adj(A)₁₃ = -11 (Tiếp tục tính tương tự cho các phần tử còn lại.) Kết quả ma trận phụ hợp: Adj(A) = | 2 -5 -11 | | -2 -13 -7 | | -14 -1 5 | ________________________________________ Bước 3: Tính ma trận nghịch đảo A⁻¹ Công thức: A⁻¹ = (1/det(A)) × Adj(A) Với det(A) = -36: A⁻¹ = (1 / -36) × | 2 -5 -11 | | -2 -13 -7 | | -14 -1 5 | Từng phần tử của A⁻¹: A⁻¹ = | -0.0556 0.1389 0.3056 | | 0.0556 0.3611 0.0278 | | 0.3889 0.1944 -0.1389 | ________________________________________ Bước 4: Tính ma trận X X = B × A⁻¹ B = | 6 14 -2 | | 10 -19 17 | Nhân ma trận B với A⁻¹: X = | 1 5 3 | | 2 -3 1 | ________________________________________ Kết quả cuối cùng: Ma trận X là: | 1 5 3 | | 2 -3 1 | Đề bài: Cho hệ véc tơ: S = { α1 = (2; 3; 1; 2), α2 = (3; 1; 4; 1), α3 = (7; 7; 6; 5), α4 = (7; 0; 11; k) } Phần a: Xét sự độc lập tuyến tính của hệ véc tơ. Phần b: Tính Rank(S). ________________________________________ Phần a: Kiểm tra tính độc lập tuyến tính của hệ véc tơ Phương pháp kiểm tra: Hệ véc tơ S sẽ độc lập tuyến tính nếu tổ hợp tuyến tính của chúng bằng 0 chỉ có nghiệm duy nhất là c1 = c2 = c3 = c4 = 0. Tức là giải hệ phương trình: c1 * α1 + c2 * α2 + c3 * α3 + c4 * α4 = 0. Viết hệ phương trình dưới dạng ma trận: A * C = 0, với: A = | 2 3 1 2 | | 3 1 4 1 | | 7 7 6 5 | | 7 0 11 k | C = | c1 | | c2 | | c3 | | c4 | ________________________________________ Khử Gauss để đưa ma trận về dạng bậc thang Bước 1: Loại bỏ phần tử dưới phần tử trụ ở cột 1 Sử dụng hàng 1 (R1) làm pivot: • R2 → R2 - (3/2) * R1 • R3 → R3 - (7/2) * R1 • R4 → R4 - (7/2) * R1 Kết quả sau bước 1: | 2 3 1 2 | | 0 -3.5 2.5 -2 | | 0 -3.5 2.5 -2 | | 0 -10.5 7.5 k - 7 | ________________________________________ Bước 2: Loại bỏ phần tử dưới phần tử trụ ở cột 2 Sử dụng hàng 2 (R2) làm pivot: • R3 → R3 - (R3[2] / R2[2]) * R2 • R4 → R4 - (R4[2] / R2[2]) * R2 Kết quả sau bước 2: | 2 3 1 2 | | 0 -3.5 2.5 -2 | | 0 0 0 0 | | 0 0 0 k - 1 | ________________________________________ Bước 3: Phân tích hàng 4 • Nếu k = 1: Hàng 4 trở thành [0, 0, 0, 0]. Trong trường hợp này, ma trận có hạng bằng 2. • Nếu k ≠ 1: Hàng 4 khác [0, 0, 0, 0]. Trong trường hợp này, ma trận có hạng bằng 3. ________________________________________ Phần b: Tính Rank(S) Phương pháp: • Rank(S) là số hàng khác 0 của ma trận sau khi khử Gauss. Kết quả: 1. Khi k = 1, Rank(S) = 2. 2. Khi k ≠ 1, Rank(S) = 3. ________________________________________ Kết luận: 1. Hệ véc tơ S phụ thuộc tuyến tính nếu k = 1. 2. Hệ véc tơ S độc lập tuyến tính nếu k ≠ 1. ________________________________________ Dưới đây là bài viết lại với định dạng văn bản thông thường để bạn có thể sao chép vào Word 2016 dễ dàng: ________________________________________ Tính tích phân Bài toán yêu cầu tính: I = ∫ từ 0 đến +∞ của x^2 * e^(3x^3) dx. ________________________________________ Bước 1: Đặt biến phụ Đặt u = 3x^3, khi đó: du = 9x^2 dx, hay x^2 dx = (1/9) du. Giới hạn thay đổi: • Khi x = 0, thì u = 0. • Khi x tiến đến +∞, thì u tiến đến +∞. Tích phân trở thành: I = (1/9) ∫ từ 0 đến +∞ của e^u du. ________________________________________ Bước 2: Xét tính hội tụ của tích phân Xét tích phân ∫ từ 0 đến +∞ của e^u du: • Hàm e^u tăng rất nhanh đến +∞ khi u → +∞. • Vì vậy, tích phân này không hội tụ và tiến đến +∞. Do đó, giá trị của tích phân I = (1/9) ∫ từ 0 đến +∞ của e^u du cũng tiến đến +∞. ________________________________________ Kết luận Tích phân I = ∫ từ 0 đến +∞ của x^2 * e^(3x^3) dx phân kỳ đến dương vô cùng. ________________________________________ ĐỀ SỐ 1 Bài 1 Giải phương trình ma trận[■(3&5&-2@1&-3&3@6&7&-3)]. X = [■(1&0@0&2@2&-3)] Bài 2: Cho hệ vectơ: S = {α₁ = (1, -2, 3, -4); α₂ = (2, -3, 1, -1); α₃ = (0, -1, 2, -1); α₄ = (1, 0, k, -2)} a) Xét sự độc lập tuyến tính của hệ vectơ trên. b) Tính Rank(S). Bài 3: Tính ∫_1^(+∞)▒〖2xe〗^(x^2 ) dx Bài làm
Trang 1Nhận xét
ĐỀ SỐ 1
Bài 1 Giải phương trình ma trận[ 3 5 −2
6 7 −3 ] X = [ 1 0
2 −3 ] Bài 2: Cho hệ vectơ:
S = {α₁ = (1, -2, 3, -4); α₂ = (2, -3, 1, -1); α₃ = (0, -1, 2, -1); α₄ = (1, 0, k, -2)} a) Xét sự độc lập tuyến tính của hệ vectơ trên
b) Tính Rank(S)
Bài 3: Tính
∫
1
+∞
2 xex2
dx
Bài làm
Bài 1
Dùng Phương pháp Cramer cho hệ phương trình ma trận
Phương trình ma trận cần giải là:
A.X=B
Với
Trang 2A = [ 3 5 −2
6 7 −3 ] , B = [ 1 0
2 −3 ]
Để sử dụng phương pháp Cramer cho hệ phương trình ma trận này, chúng ta sẽ giải riêng cho từng cột của ma trận X (vì B có hai cột, nên ta sẽ giải hai hệ phương trình tuyến tính)
Giả sử X = [ x11 x12
x21 x22
x31 x32] trong đó [ x11
x21
x31] là cột thứ nhất của X tương ứng với cột thứ nhất của B, tức là [ 1
0
2 ] và
[ x12
x22
x32] là cột thứ hai của X, tương ứng với cột thứ hai của B, tức là [ 0
2
−3 ]
Bước 1: Tính định thức của ma trận A
Ta có ma trận: A = [ 3 5 −2
6 7 −3 ] Định thức của A là: det(A) = 3 * ((-3) * (-3) - 3 * 7) - 5 * (1 * (-3) - 3 * 6) + (-2) * (1 * 7 - (-3) * 6)
Tính từng phần:
1 3 * (9 - 21) = 3 * (-12) = -36
2 -5 * (-3 - 18) = -5 * (-21) = 105
3 -2 * (7 - (-18)) = -2 * 25 = -50
Vậy: det(A) = -36 + 105 - 50 = 19
Bước 2: Tìm từng phần tử của ma trận X bằng phương pháp Cramer Tìm cột thứ nhất của X (ứng với cột [1 0 2] của B)
Trang 3Tính x11
Thay cột thứ nhất của A bằng [1 0 2]: A1 = [ 1 5 −2
2 7 −3 ] Tính định thức của A1: det(A1) = 1 * (3) * 3) - 3 * 7) - 5 * (0 * 3) - 3 * 2) + (-2) * (0 * 7 - (-3) * (-2)
Tính từng phần:
1 1 * (9 - 21) = -12
2 -5 * (-6) = 30
3 -2 * 6 = -12
Do đó: det(A1) = -12 + 30 - 12 = 6 Vậy: x11 = det(A1) / det(A) = 6 / 19
Tính x21
Thay cột thứ hai của A bằng [1 0 2]: A2 = [ 3 1 −2
6 2 −3 ] Tính định thức của A2: det(A2) = 3 * (0 * -3 - 3 * 2) - 1 * (1 * -3 - 3 * 6) + (-2) * (1
* 2 - 0 * 6)
Tính từng phần:
1 3 * 6 = 18
2 -1 * (-3 - 18) = 21
3 -2 * 2 = -4
Vậy: det(A2) = 18 + 21 - 4 = 35 Do đó: x21 = det(A2) / det(A) = 35 / 19
Tính x31
ta thay cột thứ ba của ma trận AAA bằng cột [1,0,2][1, 0, 2][1,0,2]:
Ma trận A3 sẽ là
Trang 4A3 = [ 3 5 1
1 −3 0
6 7 2 ]
det(A3) = 3 * ((-3) * 2 - 0 * 7) - 5 * (1 * 2 - 0 * 6) + 1 * (1 * 7 - (-3) * 6)
Tính từng phần:
3 * (-6) = -18
-5 * 2 = -10
1 * (7 + 18) = 25
Vậy:
det(A3) = -18 - 10 + 25 = -3
Do đó:
x31 = det(A3) / det(A) = -3 / 19
Tính x12
Thay cột thứ nhất của A bằng [0, 2, -3]
Ma trận A12 sẽ là:
A12 = [ 0 5 −2
Tính định thức của A12:
det(A12) = 0 * ((-3) * -3 - 3 * 7) - 5 * (2 * -3 - 3 * -3) + (-2) * (2 * 7 - (-3) * -3) Tính từng phần:
0 * (-9 - 21) = 0
-5 * (-6 + 9) = -5 * 3 = -15
Trang 5 -2 * (14 - 9) = -2 * 5 = -10
Vậy:
det(A12) = 0 - 15 - 10 = -25
Do đó:
x12 = det(A12) / det(A) = -25 / 19
Tính x22
Thay cột thứ hai của A bằng [0, 2, -3]
Ma trận A22 sẽ là:
A22 = [ 3 0 −2
6 −3 −3 ]
Tính định thức của A22:
det(A22) = 3 * (2 * -3 - 3 * -3) - 0 * (1 * -3 - 3 * 6) + (-2) * (1 * -3 - 2 * 6) Tính từng phần:
3 * (-6 + 9) = 3 * 3 = 9
-2 * (-3 - 12) = -2 * -15 = 30
Vậy:
det(A22) = 9 + 30 = 39
Do đó:
x22 = det(A22) / det(A) = 39 / 19
Tính x32
Trang 6Thay cột thứ ba của A bằng [0, 2, -3].
Ma trận A32 sẽ là:
A32 = [ 3 5 0
6 7 −3 ]
Tính định thức của A32:
det(A32) = 3 * ((-3) * -3 - 2 * 7) - 5 * (1 * -3 - 2 * 6) + 0
Tính từng phần:
3 * (9 - 14) = 3 * -5 = -15
-5 * (-3 - 12) = -5 * -15 = 75
Vậy:
det(A32) = -15 + 75 = 60
Do đó:
x32 = det(A32) / det(A) = 60 / 19
Vậy Ma trận X là
X =
[ 6
19
−25
19
−1
19
39
19
−3
19
60
19 ] = 1
19 [ 6 −25
−3 60 ]
Bài 2
Bài 2 Phần a: Kiểm tra tính độc lập tuyến tính
Đề bài:
Cho hệ véc tơ: S = {α₁ = (1, -2, 3, -4), α₂ = (2, -3, 1, -1), α₃ = (0, -1, 2, -1), α₄ = (1, 0, k, -2)}
Trang 7Kiểm tra tính độc lập tuyến tính của hệ véc tơ S.
Phương pháp kiểm tra:
Hệ véc tơ S sẽ độc lập tuyến tính nếu tổ hợp tuyến tính của chúng bằng 0 chỉ có nghiệm duy
nhất là c1=c2=c3=c4=0c₁ = c₂ = c₃ = c₄ = 0c1=c2=c3=c4=0.
Điều này tương đương với việc giải hệ phương trình:
r
c₁ * α₁ + c₂ * α₂ + c₃ * α₃ + c₄ * α₄ = 0
Viết hệ phương trình dưới dạng ma trận:
A * C = 0
Với:
r
A =
| 1 2 0 1 |
| -2 -3 -1 0 |
| 3 1 2 k |
| -4 -1 -1 -2 |
C =
| c₁ |
| c₂ |
| c₃ |
| c₄ |
Khử Gauss với phép biến đổi R₄ → R₄ + 2R₃
Bước 1: Loại bỏ phần tử dưới phần tử trụ ở cột 1
Sử dụng hàng 1 làm pivot:
R₂ → R₂ + 2R₁
R₃ → R₃ - 3R₁
R₄ → R₄ + 4R₁
Kết quả sau bước này:
A =
| 1 2 0 1 |
| 0 1 -1 2 |
| 0 -5 2 k-3 |
| 0 7 -1 2 |
Bước 2: Loại bỏ phần tử dưới phần tử trụ ở cột 2
Trang 8Sử dụng hàng 2 làm pivot:
R₃ → R₃ + 5R₂
R₄ → R₄ - 7R₂
Kết quả sau bước này:
A =
| 1 2 0 1 |
| 0 1 -1 2 |
| 0 0 -3 k+7 |
| 0 0 6 -12 |
Bước 3: Loại bỏ phần tử ở hàng 4 cột 3
Sử dụng phép biến đổi R₄ → R₄ + 2R₃.
Từng phần tử được tính như sau:
Phần tử cột 3: 6 + 2 * (-3) = 6 - 6 = 0
Phần tử cột 4: -12 + 2 * (k+7) = -12 + 2k + 14 = 2k + 2
Hàng 4 mới:
R₄ = [0, 0, 0, 2k + 2]
Ma trận sau khi khử Gauss:
A =
| 1 2 0 1 |
| 0 1 -1 2 |
| 0 0 -3 k+7 |
| 0 0 0 2k+2 |
Phân tích kết quả:
1 Nếu 2k + 2 = 0:
o Tức là k = -1, hàng 4 trở thành 0.
o Khi đó, rank(A) = 3, và hệ véc tơ phụ thuộc tuyến tính.
2 Nếu 2k + 2 ≠ 0:
o Tức là k ≠ -1, hàng 4 khác 0.
o Khi đó, rank(A) = 4, và hệ véc tơ độc lập tuyến tính.
Kết luận:
1 Hệ véc tơ S độc lập tuyến tính nếu k ≠ -1.
2 Hệ véc tơ S phụ thuộc tuyến tính nếu k = -1.
Trang 9Bài 2 Phần b: Tính Rank(S)
Đề bài:
Hệ véc tơ: S = {α₁ = (1, -2, 3, -4), α₂ = (2, -3, 1, -1), α₃ = (0, -1, 2, -1), α₄ = (1, 0, k, -2)} Yêu cầu: Tính Rank(S).
Phương pháp:
Rank(S) chính là số lượng véc tơ độc lập tuyến tính trong hệ SSS Để tính Rank(S), ta thực
hiện:
1 Lập ma trận chứa các véc tơ α1,α2,α3,α4\alpha₁, \alpha₂, \alpha₃, \alpha₄α1,α2,α3,α4 làm các cột.
2 Đưa ma trận về dạng bậc thang bằng khử Gauss.
3 Xác định số hàng khác 0 sau khi khử Gauss, đây chính là Rank(S).
Lập ma trận từ các véc tơ trong S:
Ma trận AAA được viết như sau:
A =
| 1 2 0 1 |
| -2 -3 -1 0 |
| 3 1 2 k |
| -4 -1 -1 -2 |
Khử Gauss để đưa về dạng bậc thang
Bước 1: Loại bỏ phần tử dưới phần tử trụ ở cột 1
Sử dụng hàng 1 làm pivot:
R₂ → R₂ + 2R₁
R₃ → R₃ - 3R₁
R₄ → R₄ + 4R₁
Tính toán:
R₂ = [-2, -3, -1, 0] + 2 * [1, 2, 0, 1] = [0, 1, -1, 2]
R₃ = [3, 1, 2, k] - 3 * [1, 2, 0, 1] = [0, -5, 2, k-3]
R₄ = [-4, -1, -1, -2] + 4 * [1, 2, 0, 1] = [0, 7, -1, 2]
Trang 10Kết quả sau bước 1:
A =
| 1 2 0 1 |
| 0 1 -1 2 |
| 0 -5 2 k-3 |
| 0 7 -1 2 |
Bước 2: Loại bỏ phần tử dưới phần tử trụ ở cột 2
Sử dụng hàng 2 làm pivot:
R₃ → R₃ + 5R₂
R₄ → R₄ - 7R₂
Tính toán:
R₃ = [0, -5, 2, k-3] + 5 * [0, 1, -1, 2] = [0, 0, -3, k+7]
R₄ = [0, 7, -1, 2] - 7 * [0, 1, -1, 2] = [0, 0, 6, -12] Kết quả sau bước 2:
A =
| 1 2 0 1 |
| 0 1 -1 2 |
| 0 0 -3 k+7 |
| 0 0 6 -12 |
Bước 3: Loại bỏ phần tử ở hàng 4 cột 3
Sử dụng phép biến đổi R₄ → R₄ + 2R₃.
Tính toán:
R₄ = [0, 0, 6, -12] + 2 * [0, 0, -3, k+7]
Phần tử cột 3: 6 + 2 * (-3) = 6 - 6 = 0
Phần tử cột 4: -12 + 2 * (k+7) = -12 + 2k + 14 = 2k + 2 Hàng 4 mới:
R₄ = [0, 0, 0, 2k + 2]
Ma trận sau khi khử Gauss:
A =
| 1 2 0 1 |
| 0 1 -1 2 |
| 0 0 -3 k+7 |
| 0 0 0 2k+2 |
Trang 11Xác định Rank(S)
1 Nếu 2k + 2 = 0 (k = -1):
o Hàng cuối cùng trở thành [0, 0, 0, 0].
o Ma trận có 3 hàng khác 0.
o Rank(S) = 3.
2 Nếu 2k + 2 ≠ 0 (k ≠ -1):
o Hàng cuối cùng khác [0, 0, 0, 0].
o Ma trận có 4 hàng khác 0.
o Rank(S) = 4.
Kết luận:
1 Nếu k = -1, Rank(S) = 3.
2 Nếu k ≠ -1, Rank(S) = 4.
Bài 3
Bước 1: Thiết lập bất đẳng thức so sánh
Vì hàm số ex2
tăng rất nhanh khi x tiến đến +∞, ta có thể so sánh tích phân này với một hàm đơn giản hơn mà vẫn phản ánh tính chất phân kỳ Cụ thể:
ex2≥ e x với mọi x ≥ 1
Do đó
2x *ex2 ≥ 2x *e x với mọi x ≥ 1
Vậy ta có bất đẳng thức:
∫
1
+∞
2 xex2dx ≥ ∫
1
+∞
2 xexdx
Bước 2: Xét tích phân so sánh
Để xác định tính hội tụ hay phân kỳ của tích phân ban đầu, ta sẽ kiểm tra tính hội tụ của tích phân
∫
1
+∞
2 xex2
dx
Trang 12Tính tích phân ∫
1
+∞
2 xex2dx
Ta viết lại tích phân này dưới dạng giới hạn:
∫
1
+∞
2 xex2dx = lim
b → +∞∫
1
b
2 x exdx
Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, đặt:
u=2x⇒ du=2dx
dv= e x dx⇒v=e x
Áp dụng công thức tích phân từng phần ∫ udv = uv - ∫ vdu, ta được
∫ 2 x exdx = 2 x e x - ∫ 2 exdx = 2 x e x - 2 e x = e x(2x-2)
Thay cận từ 1 đến b:
∫
1
b
2 x ex ,dx = [ ex(2 x−2) ]1
b
Tính kết quả tại cận
= e b(2 b−2)−e1
(2.1−2)
Khi b → +∞, e b(2 b−2) → +∞ Do đó: ∫
1
+∞
2 xex2dx
có giá trị = +∞
Bước 3: Kết luận về tính phân kỳ của tích phân ban đầu
1
+∞
2 xex2
dx ≥ ∫
1
+∞
2 xexdx =+∞
Nên tích phân ban đầu cũng phân kỳ về dương vô cùng:
∫
+∞
2 xex2dx =+∞
Trang 13Kết quả cuối cùng
∫
1
+∞
2 xex2dx =+∞
Tích phân phân kỳ và có giá trị dương vô cùng.