Giáo trình vẽ kỹ thuật (ngành Điện dân dụng cao Đẳng)

Hình 2.9: Đo¿n thÁng AB b¿t kỳ trong không gian và trên đã thąc NhÁn xét: NÃu tãa đá hai điÇm đÁu mút căa đo¿n thÁng có các cÁp tãa đá t°¢ng ąng khác nhau từng đôi mát thì đo¿n thÁng đó

Bà XÂY DĂNG

TRƯỜNG CAO ĐẲNG XÂY DỰNG SỐ 1

GIÁO TRÌNH MÔN H ỌC/MÔ ĐUN: VẼ KỸ THUẬT NGÀNH/NGH Ề: ĐIỆN DÂN DỤNG

TRÌNH ĐỘ: CAO ĐẲNG

Hà N ội, năm 2021

L ỜI NÓI ĐẦU

Giáo trình VÀ XÂY DĂNG đ°ÿc biên so¿n nh¿m phāc vā giÁng d¿y và hãc tÁp dành cho hË Cao đÁng, chuyên ngành Xây dăng dân dāng và Công nghiËp VÁ Xây dăng là môn hãc c¢ sç nh¿m cung c¿p các kiÃn thąc c¢ bÁn vÅ đãc và thiÃt lÁp các

bÁn vÁ kā thuÁt Xây dăng

Giáo trình VÁ Xây dăng do các giÁng viên thuác Bá môn KiÃn trúc c¢ sç - Khoa Xây dăng - Tr°ång Cao đÁng Xây dăng sá 1 – Bá Xây dăng biên so¿n Giáo trình này đ°ÿc viÃt theo đÅ c°¢ng môn hãc VÁ Xây dăng, là să kÃt hÿp giāa kiÃn thąc Hình hãc ho¿ hình và VÁ kā thuÁt, cÁp nhÁt mãi và tuân thă theo các quy tÃc tháng nh¿t căa Tiêu chuÃn ViËt Nam (TCVN) và Tiêu chuÃn Quác tà (ISO) Ngoài ra, giáo trình còn bổ sung thêm mát sá kiÃn thąc mà trong các giáo trình tr°ãc ch°a đÅ cÁp tãi

Nái dung cuán giáo trình gãm bán phÁn c¢ bÁn sau:

Trân trãng cÁm ¢n! Nhóm tác giÁ Th.S T¿ Bình Th.S Lê Hãng Linh Th.S Hoàng ViËt Hà

M Ở ĐẦU

1 Và TRÍ, ĐÀC ĐIÆM MÔN HâC

VÁ Xây dăng là môn hãc nh¿m cung c¿p nhāng kiÃn thąc c¢ bÁn vÅ đãc và lÁp các bÁn vÁ kā thuÁt xây dăng Nhå nhāng bÁn vÁ này, ng°åi cán bá kā thuÁt xây dăng có thÇ thÇ hiËn rõ ý đánh thiÃt kà căa mình và thăc hiËn đ°ÿc ý đánh đó

Đây là môn hãc c¢ sç nh¿m phát triÇn khÁ năng hình dung không gian và rèn luyËn tính khoa hãc, chính xác và kiên nh¿n – là nhāng đąc tính cÁn có căa nhāng ng°åi làm công tác kā thuÁt

NàI DUNG, YÊU CÀU MÔN HâC

1 Nái dung môn hãc

Môn hãc vÁ Xây dăng bao gãm hai nái dung chính:

Hình hãc hãa hình: Nghiên cąu viËc thÇ hiËn các vÁt thÇ trong không gian lên

bÁn vÁ, nó là c¢ sç căa vÁ kā thuÁt

VÁ kā thuÁt xây dăng: ThiÃt lÁp các bÁn vÁ kā thuÁt xây dăng, phÁn này là phÁn ąng dāng các nguyên lý căa hình hãc hãa hình (hình hãa), kÃt hÿp vãi các tiêu chuÃn, quy ph¿m chuyên ngành vÅ vÁ kā thuÁt đÇ vÁ các bÁn vÁ kā thuÁt xây dăng

2.2 Yêu cÁu môn hãc

KiÃn thąc

Sinh viên trình bày đ°ÿc ph°¢ng pháp biÇu diÉn các yÃu tá hình hãc c¢ bÁn trong không gian trên bÁn vÁ, giÁi đ°ÿc mát sá bài toán đ¢n giÁn b¿ng ph°¢ng pháp hình hãc hãa hình

Trình bày đ°ÿc tính ch¿t và công dāng căa dāng cā và vÁt liËu vÁ kā thuÁt

Trình bày đ°ÿc vÅ các quy đánh căa bÁn vÁ kā thuÁt xây dăng

Trình bày đ°ÿc các ph°¢ng pháp thÇ hiËn bÁn vÁ kā thuÁt xây dăng

Muán đ¿t đ°ÿc hai yêu cÁu trên, hãc sinh cÁn nÃm vāng:

Các ph°¢ng pháp biÇu diÉn hình hãc ho¿ hình

Các tiêu chuÃn căa bÁn vÁ kā thuÁt xây dăng

Sÿ dāng thành th¿o các vÁt liËu và dāng cā vÁ

PH ẦN 1 HÌNH H ỌC HỌA HÌNH

Hình hãc hãa hình là môn hãc nghiên cąu nhāng ph°¢ng pháp biÇu diÉn các yÃu

tá hình hãc c¢ bÁn và giÁi các bài toán trong không gian b¿ng hình vÁ trên mÁt phÁng (gãi là mÁt phÁng bÁn vÁ)

ViËc giÁng d¿y hình hãc hãa hình trong các tr°ång đào t¿o ngành xây dăng nh¿m cung c¿p cho ng°åi hãc nhāng kiÃn thąc c¢ bÁn đÇ hãc vÁ kā thuÁt, đãng thåi rèn luyËn khÁ năng hình dung vÁt thÇ trong không gian

Mát sá ký hiËu th°ång dùng trong môn hãc:

ĐiÇm trong không gian: A, B, C M, N, P

Đo¿n thÁng trong không gian: AB, CD, MN &

Đ°ång thÁng trong không gian: a, b m, n

Hình phÁng trong không gian: ABC MNP

Să cÃt nhau: (AB CD), (a b)

Să trùng nhau: (AB CD), (a b)

Să liên thuác: (K CD), (M a), (M (R))

Các từ viÃt tÃt th°ång dùng:

MÁt phÁng hình chiÃu:

MPHC

MÁt phÁng phā trÿ: MPPT

CH¯¡NG 1 CÁC PHÉP CHIÂU

HÊ THàNG CÁC MÀT PHÀNG HÌNH CHIÂU VÀ Đâ THĄC

1.1 CÁC PHÉP CHIÂU

Phép chiÃu là ph°¢ng pháp biÇu diÉn các vÁt thÇ trong không gian lên mÁt phÁng bÁn

vÁ

1.1.1 Phép chiÃu xuyên tâm

Đánh ngh*a: Phép chiÃu xuyên tâm là phép chiÃu mà t¿t cÁ các tia chiÃu xu¿t phát

từ mát điÇm (tâm chiÃu) đi qua điÇm chiÃu đÃn MPHC đÇ thu đ°ÿc hình chiÃu

căa điÇm chiÃu đó (Hình 1.1a) Trong đó:

+ P: MPHC

+ S: Tâm chiÃu

+ A, B: ĐiÇm chiÃu

+ SA, SB: Tia chiÃu

+ A’, B’: Hình chiÃu căa A, B lên MPHC (P)

Tính ch¿t:

Hình chiÃu căa mát điÇm là mát điÇm

Phép chiÃu xuyên tâm bÁo toàn să liên

thuác giāa điÇm và đo¿n thÁng (Hình 1.1b) Hình 1.1a: Phép chiÃu xuyên tâm +

Đ°ång thÁng đi qua tâm chiÃu có hình chiÃu là mát điÇm (Hình 1.1c)

6

Đ°ång thÁng không đi qua tâm chiÃu có hình chiÃu là mát đ°ång thÁng (Hình 1.1d)

MÁt phÁng chąa tâm chiÃu có hình chiÃu là mát đ°ång thÁng (Hình 1.1e)

Hai vÁt thÇ có kích th°ãc b¿ng nhau, trên cùng mát mÁt phÁng hình chiÃu, nÃu vÁt nào ç gÁn điÇm chiÃu h¢n thì hình chiÃu căa nó sÁ lãn h¢n hình chiÃu căa vÁt thÇ còn l¿i Ąng dāng: Chß dùng đÇ vÁ phái cÁnh minh hãa

1.1.2 Phép chiÃu song song

Đánh ngh*a: Phép chiÃu song song là mát

tr°ång hÿp đÁc biËt căa phép chiÃu xuyên tâm

khi tâm chiÃu ç vô căc, khi đó t¿t cÁ các tia

chiÃu cùng song song vãi mát h°ãng chiÃu

: Góc căa tia chiÃu và MPHC

Tính ch¿t: Ngoài các tính ch¿t căa phép chiÃu xuyên tâm, phép chiÃu song song còn có tính ch¿t riêng sau:

Hình chiÃu căa hai đo¿n thÁng song song là hai đo¿n thÁng song song (Hình 1.2b)

Trong đó:

P: MPHC MÁt phÁng chiÃu H°ãng chiÃu

A, B, C, D: ĐiÇm chiÃu A’, B’, C’, D’: Hình chiÃu căa A, B, C, D lên MPHC (P) 90˚: Góc căa mÁt phÁng chiÃu và MPHC

Phép chiÃu song song bÁo toàn tÿ sá đ¢n căa 3 điÇm thÁng

hàng C AB → AB/BC = A’B’/B’C’ (Hình 1.2c)

7

+ SA, SB: Tia chiÃu

+ A’, B’: Hình chiÃu căa A, B lên MPHC (P)

+ =90˚

Tính ch¿t

Hình 1.3: Phép chiÃu vuông góc

Do phép chiÃu vuông góc là mát tr°ång hÿp đÁc biËt căa phép chiÃu song song nên cũng có đÁy đă các tính ch¿t căa phép chiÃu song song

1.2.1 HË tháng ba MPHC

Đánh ngh*a: Là hË tháng gãm ba mÁt phÁng cÃt

nhau, vuông góc vãi nhau từng đôi mát trong

không gian và có chung gác tãa đá O (Hình

ĐiÇm O: Gác tãa đá

Hình 1.4: HË tháng ba MPHC

8

và quy °ãc chß cÁn vÁ các đ°ång trāc (giao tuyÃn các MPHC) gãi là đã thąc

Đái vãi ngành kā thuÁt xây dăng, biÇu diÉn trên đã thąc chính là biÇu diÉn trên mÁt phÁng bÁn vÁ

1.3.2 Đã thąc căa hË tháng ba MPHC

Cách khai triÇn

Trong không gian, giā nguyên MPHC P1, quay P2 quanh trāc OX vÅ cùng mát mÁt phÁng vãi P1 Quay P3 quanh trāc OZ đÃn khi P1, P2, P3 cùng n¿m trên mÁt phÁng ta đ°ÿc đã thąc ba MPHC (Hình 1.6a và 1.6b)

Hình 1.6a: Cách khai triÇn đã thąc

1.3.3 Đã thąc căa hË tháng hai MPHC

Cách khai triÇn

Trong không gian, giā nguyên MPHC P1, quay P2 quanh trāc OX đÃn khi P1, P2 cùng n¿m trên mÁt phÁng ta đ°ÿc đã thąc hai MPHC (Hình 1.7)

9

Hình 1.7: Cách khai triÇn và đã thąc hË hai MPHC

1.3.4 HË trāc tãa đá

ĐÇ xác đánh chính xác vá trí căa các điÇm trong không gian trên hË tháng các MPHC ng°åi ta dùng ph°¢ng pháp biÇu diÉn b¿ng to¿ đá HË trāc tãa đá là hË trāc

mà trên đó đã đ°ÿc chia s¿n các khoÁng đ¢n vá b¿ng nhau trên các trāc (Hình 1.8)

Quy °ãc ghi to¿ đá căa điÇm là: A (AX;AY;AZ), B (BX;BY;BZ),&

Hình 1.8: HË trāc to¿ đá trong không gian và đã thąc

1.4 BÀI TÀP THAM KHÀO

Bài tÁp sá 1: Phép chiÃu nào là phép chiÃu chính đ°ÿc sÿ dāng trong bÁn vÁ kā thuÁt xây dăng?

Bài tÁp sá 2: Liên hË mát sá ví dā trong thăc tà vÅ sÿ dāng phép chiÃu xuyên tâm, phép chiÃu song song?

Bài tÁp sá 3: Trình bày să khác nhau giāa hË tháng ba MPHC và hË tháng hai MPHC?

10

CH¯¡NG 2 BIÆU DIÈN ĐIÆM, ĐO¾N THÀNG (Đ¯äNG THÀNG), HÌNH PHÀNG (MÀT

PHÀNG)

2.1 BIÆU DIÈN ĐIÆM

ĐiÇm là yÃu tá c¢ bÁn nh¿t trong không gian dùng đÇ xác đánh vá trí Các vÁt thÇ trong không gian đÅu đ°ÿc xác đánh bçi tÁp hÿp các điÇm, vì vÁy biÇu diÉn điÇm là nÅn tÁng đÇ mç ráng và phát triÇn các phÁn tiÃp theo

Trong không gian, điÇm có nhiÅu vá trí khác nhau so vãi hË tháng các MPHC BiÇu diÉn điÇm là xác đánh vá trí các hình chiÃu căa điÇm trên các MPHC và tìm mái quan hË căa chúng so vãi các trāc căa đã thąc

2.1.1 ĐiÇm b¿t kỳ

ĐiÇm b¿t kỳ trong không gian là điÇm không thuác MPHC nào

Quy tÃc : ĐiÇm b¿t kỳ trong không gian thì hình chiÃu căa nó trên đã thąc là các điÇm không thuác hË trāc

Ví dā: BiÇu diÉn điÇm A b¿t kỳ trong không gian trên đã thąc

Trong không gian: Dùng phép chiÃu

vuông góc chiÃu điÇm A lên các MPHC P1,

P2, P3 (Hình 2.1) thu đ°ÿc:

+ A1 là hình chiÃu căa A trên P1

+ A2 là hình chiÃu căa A trên P2

+ A3 là hình chiÃu căa A trên P3

Các khoÁng cách:

+ OAX gãi là đá ráng căa điÇm A

+ OAY gãi là đá sâu căa điÇm A

+ OAZ gãi là đá cao căa điÇm A

+

A1A2 vuông góc vãi OX t¿i Ax

+

A2A3 vuông góc vãi OY t¿i Ay

Hình 2.1: ĐiÇm A b¿t kỳ trong không gian +

A1A3 vuông góc vãi OZ t¿i Az

Khai triÇn hË tháng ba MPHC căa điÇm A ta đ°ÿc đã thąc (Hình 2.2a, 2.2b, 2.2c):

Hình 2.2a: Cách 1 Hình 2.2b: Cách 2 Hình 2.2c: Cách 3

11

Đ°ång nái các hình chiÃu A1, A2, A3 vuông góc vãi các trāc đ°ÿc gãi là các đ°ång dóng và các đ°ång dóng này t¿o thành mát đ°ång khép kín

Khi biÇu diÉn, đÇ đÁm bÁo đá sâu căa điÇm A là đãng nh¿t trên OY căa đã thąc, chúng ta có thÇ sÿ dāng mát sá cách vÁ khác nhau nh° đo, vÁ đ°ång phân giác qua gác O hoÁc k¿ đ°ång chéo 450 vãi trāc OY t¿i AY (Hình 2.2a, 2.2b, 2.2c)

NhÁn xét:

Ta có thÇ tìm hình chiÃu còn l¿i căa điÇm khi đã biÃt hai hình chiÃu b¿ng ph°¢ng pháp dóng

2.1.2 Tãa đá căa điÇm b¿t kỳ

ĐiÇm b¿t kỳ trong không gian có các giá trá đá ráng, đá sâu và đá cao khác 0 (t°¢ng ąng giá trá tãa đá x, y, z khác 0)

Ví dā 1: C (3;1;4) thì điÇm C b¿t kỳ trong không gian đ°ÿc xác đánh bçi:

ĐiÇm đÁc biËt trong không gian là điÇm

thuác MPHC và điÇm thuác trāc

a ĐiÇm thuác mát MPHC

Quy tÃc: ĐiÇm thuác MPHC nào thì hình

chiÃu căa nó lên MPHC đó là chính nó, hai

hình chiÃu còn l¿i thuác hai trāc t¿o nên

Hình 2.4b: Đã thąc căa điÇm thuác mát MPHC NhÁn xét vÅ hình chiÃu:

(OX,OZ) ↔ P1 (OX,OY) ↔ P2 (OY,OZ) ↔ P3

Tãa đá căa điÇm thuác mát MPHC

Quy tÃc: ĐiÇm thuác mát MPHC sÁ có mát giá trá tãa đá b¿ng 0

Ví dā: VÁ đã thąc các điÇm có tãa đá nh° sau: B (0;2;3), C (3;0;5), D (2;4;0) (Hình 2.5)

NhÁn xét vÅ tãa đá:

Hình 2.5: BiÇu diÉn điÇm thuác hai MPHC

13

c ĐiÇm thuác trāc (thuác hai MPHC)

Quy tÃc: ĐiÇm thuác trāc nào thì hình chiÃu căa

nó lên hai MPHC t¿o nên trāc đó là chính nó, hình

chiÃu còn l¿i trùng vãi gác to¿ đá

Ví dā: BiÇu diÉn điÇm thuác trāc (Hình 2.6a) trên

đã thąc (Hình 2.6b):

ĐiÇm A OX → A (P1, P2) → A1≡ A2; A3 ≡ O

ĐiÇm B OY → B (P2, P3) → B2≡ B3; B1 ≡ O

ĐiÇm C OZ → C (P1, P3) → C1≡ C3; C2 ≡ O

Trên hË tháng MPHC, hai hình chiÃu căa A, B, C

n¿m trên mát trāc, hình chiÃu còn l¿i trùng vãi gác tãa Hình 2.6a: ĐiÇm thuác trāc đá O

Hình 2.6b: BiÇu diÉn điÇm thuác trāc BÁng nhÁn xét vÅ hình chiÃu:

OX = P1 x P2 OY = P2 x P3 OZ = P1 x P3

Tãa đá căa điÇm thuác trāc (thuác hai MPHC)

Quy tÃc: ĐiÇm thuác trāc sÁ có hai giá trá tãa đá b¿ng 0

Ví dā: VÁ đã thąc các điÇm: E (4;0;0), F (0;3;0), G (0;0;5) (Hình

2.7) BÁng nhÁn xét vÅ tãa đá:

Hình 2.7: Đã thąc căa các điÇm

Hình 2.8: Đã thąc căa điÇm M

e ĐiÇm thuác gác to¿ đá (thuác ba MPHC)

Quy tÃc: ĐiÇm thuác gác to¿ đá thì hình chiÃu căa nó lên các MPHC là chính nó

2.2 BIÆU DIÈN ĐO¾N THÀNG (Đ¯äNG THÀNG)

Trong không gian, qua hai điÇm không trùng nhau xác đánh đ°ÿc mát đ°ång thÁng

PhÁn đ°ång thÁng đ°ÿc giãi h¿n bçi hai điÇm đó đ°ÿc gãi là đo¿n thÁng

Trong không gian mát đo¿n thÁng (đ°ång thÁng) có nhiÅu vá trí khác nhau so vãi

hË tháng các MPHC BiÇu diÉn đo¿n thÁng (đ°ång thÁng), là tìm các hình chiÃu căa hai điÇm xác đánh đo¿n thÁng (đ°ång thÁng) trên cùng mát MPHC rãi nái chúng l¿i vãi nhau

Ví dā 1: BiÇu diÉn đã thąc đo¿n thÁng AB b¿t kỳ trong không gian (Hình 2.9)

A1B1 không //, vãi các trāc

A2B2 không //, vãi các trāc

A3B3 không //, vãi các trāc

AX ≠ BX, AY ≠ BY, AZ ≠ BZ

15

Hình 2.9: Đo¿n thÁng AB b¿t kỳ trong không gian và trên đã thąc NhÁn xét: NÃu tãa đá hai điÇm đÁu mút

căa đo¿n thÁng có các cÁp tãa đá t°¢ng ąng

khác nhau từng đôi mát thì đo¿n thÁng đó ç vá

trí b¿t kỳ trong không gian

IK b¿t kỳ + a3 không //, vãi các trāc

Hình 2.11: BiÇu diÉn đ°ång thÁng a b¿t kỳ trong không gian và trên đã thąc

16

VÃt căa đ°ång thÁng: là giao điÇm căa đ°ång thÁng vãi các MPHC

VÃt đąng căa đ°ång thÁng là giao điÇm căa đ°ång thÁng vãi MPHC đąng P1 VÃt b¿ng căa đ°ång thÁng là giao điÇm căa đ°ång thÁng vãi MPHC

b¿ng P2 Ví dā 4: Tìm vÃt đąng và vÃt b¿ng căa đ°ång thÁng m (Hình

2.12)

Gãi A là vÃt đąng và B là vÃt b¿ng căa m

Trên P1, kéo dài m1 cÃt OX t¿i B1, dóng xuáng P2 cÃt m2 t¿i B2

Trên P2, kéo dài m2 cÃt OX t¿i A2, dóng lên P1 cÃt m1 t¿i A1

Hình 2.12: VÃt đąng và vÃt b¿ng căa đ°ång thÁng m 2.2.2 Đo¿n thÁng (Đ°ång thÁng) đÁc biËt

a Đo¿n thÁng (đ°ång thÁng) song song vãi mát MPHC

Quy tÃc: Đo¿n thÁng (Đ°ång thÁng) song song vãi MPHC nào thì hình chiÃu căa

nó lên MPHC đó sÁ song song và b¿ng chính nó Hai hình chiÃu còn l¿i sÁ song song vãi hai trāc t¿o nên MPHC đó

Ví dā 1: BiÃu diÉn đo¿n thÁng AB song song vãi P1

AB // P1 → A1B1 // =AB; A2B2 // OX; A3B3 // OZ (Hình 2.13)

Hình 2.13: Đo¿n thÁng AB song song vãi P1

Ví dā 2: BiÇu diÉn đo¿n thÁng AB có A (4;3;2); B (1;3;5) (Hình 2.14)

NhÁn xét: NÃu giá trá to¿ đá hai điÇm đÁu mút căa đo¿n thÁng có mát cÁp tãa đá t°¢ng ąng b¿ng nhau thì đo¿n thÁng đó sÁ song song vãi mát MPHC

Chú ý:

Đ°ång thÁng song song vãi MPHC đąng gãi là đ°ång mÁt

Đ°ång thÁng song song vãi MPHC b¿ng gãi là đ°ång b¿ng

Đ°ång thÁng song song vãi MPHC c¿nh gãi là đ°ång c¿nh

18

Ví dā 5: Cho đ°ång thÁng a // P1 (Hình 2.17)

Trên đã thąc:a1 //= a ; a2 // OX; a3 // OZ

NhÁn xét:

+ Hình chiÃu b¿ng song song vãi trāc OX

+ Hình chiÃu đąng song song và b¿ng chính

+ Hình chiÃu đąng song song vãi trāc OX Hình 2.17

+ Hình chiÃu b¿ng song song và b¿ng chính nó

+ Góc hÿp bçi đ°ång b¿ng vãi MPHC mÁt là góc hÿp bçi hình chiÃu b¿ng căa nó vãi

trāc OX

Ví dā 7: Cho đ°ång thÁng c//P3 (Hình 2.19)

Trên đã thąc: c3 // và = c; c1 // OZ; c2 // OY

NhÁn xét:

+ Hình chiÃu đąng song song vãi trāc OZ

+ Hình chiÃu c¿nh song song và b¿ng chính nó

+ Góc hÿp bçi đ°ång c¿nh vãi MPHC b¿ng là góc hÿp bçi hình chiÃu c¿nh căa nó vãi

Quy tÃc: Đo¿n thÁng (đ°ång thÁng) vuông góc vãi MPHC nào thì hình chiÃu căa

nó lên MPHC đó sÁ suy biÃn thành mát điÇm Hai hình chiÃu còn l¿i vuông góc vãi hai trāc t¿o nên MPHC đó, đãng thåi song song và b¿ng chính nó

Ví dā 1: BiÃu diÉn đo¿n thÁng AB vuông góc vãi P2 (Hình 2.20)

AB P2 → A1B1 // =AB, A1B1 OX

A2B2 suy biÃn thành 1 điÇm A3B3 // =AB, A2B2 OY

Hình 2.20: Đo¿n thÁng AB vuông góc vãi P2 NhÁn xét: NÃu giá trá to¿ đá hai điÇm đÁu mút căa đo¿n thÁng có hai cÁp tãa đá t°¢ng ąng b¿ng nhau thì đo¿n thÁng đó sÁ vuông góc vãi mát MPHC

Ví dā 2: BiÇu diÉn đo¿n AB có A (4;4;4),

nhau nên AB P1 (AB // P2, AB // P3)

Ví dā 3: BiÇu diÉn đo¿n CD có C (4;3;5),

NhÁn xét: C và D có đá ráng, đá sâu b¿ng nhau nên CD P2 (CD // P1, CD // P3)

Ví dā 4: BiÇu diÉn đo¿n EF có E (5;3;5), F(1;3;5) – Hình 2.23

Trên đã thąc:

+ Hình chiÃu b¿ng là mát điÇm

+ Hình chiÃu đąng và hình chiÃu c¿nh song

+ Hình chiÃu b¿ng và hình chiÃu đąng song song và b¿ng chính nó

2.2.3 Să liên thuác giāa điÇm và đo¿n thÁng (đ°ång thÁng)

Quy tÃc: ĐiÇm thuác đo¿n thÁng (đ°ång thÁng) trong không gian thì các hình chiÃu căa điÇm cũng thuác các hình chiÃu cùng tên căa đo¿n thÁng (đ°ång thÁng) đó

và chúng n¿m trên mát đ°ång dóng khép kín

Ví dā: Cho điÇm H thuác đo¿n thÁng AB (Hình 2.27)

H1 A1B1, H2 A2B2, H3 A3B3

Ví dā: Cho điÇm C thuác phÁn kéo dài căa đo¿n thÁng AB (Hình 2.28)

C1 A1B1 kéo dài, C2 A2B2 kéo dài, C3 A3B3 kéo

dài C1, C2, C3 n¿m trên mát đ°ång dóng khép kín

22

Hình 2.28: ĐiÇm thuác phÁn kéo dài căa đo¿n thÁng Tính ch¿t:

ĐiÇm chia đo¿n thÁng trong không gian theo tÿ lË nào thì trên các MPHC, hình chiÃu căa điÇm cũng chia hình chiÃu t°¢ng ąng căa đo¿n thÁng theo tß lË đó

Ví dā: B AC B1 A1C1, B2 A2C2, B3 A3C3 (Hình 2.28)

Song song nhau

Chéo nhau

Hai đo¿n thÁng (đ°ång thÁng) cÃt nhau

Quy tÃc: Hai (đ°ång thÁng) đo¿n thÁng

b Hai đo¿n thÁng (đ°ång thÁng) song song

Quy tÃc: Hai (đ°ång thÁng) đo¿n thÁng song song vãi nhau trong không gian, thì hình chiÃu căa chúng trên cùng mát MPHC cũng song song vãi nhau

Ví dā: BiÇu diÉn trên đã thąc đo¿n thÁng AB song song vãi đo¿n thÁng CD (Hình 2.31)

Do tính ch¿t căa phép chiÃu vuông góc

nên hình chiÃu căa AB và CD trên cùng

mát MPHC cũng song song vãi nhau

Do tính ch¿t căa phép chiÃu vuông góc,

hình chiÃu căa hai đo¿n thÁng song song

trên mát vài MPHC có thÇ suy biÃn thành

hai điÇm hoÁc mát đo¿n thÁng

Hình 2.31: Hai đo¿n thÁng song song

c Hai đo¿n thÁng (đ°ång thÁng) chéo nhau

Quy tÃc: Hai đo¿n thÁng (đ°ång thÁng) chéo nhau trong không gian thì hình chiÃu căa chúng trên các MPHC có thÇ cÃt nhau trên mát, hoÁc hai, hoÁc cÁ cÁ MPHC nh°ng giao điÇm hình chiÃu không cùng n¿m trên mát đ°ång dóng khép kín

Ví dā: BiÇu diÉn trên đã thąc hai đo¿n thÁng chéo nhau là AB và CD (Hình 2.32a)

24

Hai đ°ång thÁng song song nhau

Muán biÇu diÉn mÁt phÁng, ta biÇu diÉn các yÃu tá xác đánh mÁt phÁng đó, ngoài

ra ng°åi ta còn biÇu diÉn mÁt phÁng b¿ng giao tuyÃn căa nó vãi các MPHC gãi là vÃt Các vÃt ç các MPHC P1, P2, P3, đ°ÿc đÁt tên t°¢ng ąng là V1, V2, V3 kèm theo tên gãi căa mÁt phÁng cÁn biÇu diÉn Ví dā: V1(Q), V2(Q), V3(Q) là vÃt trên P1, P2, P3 căa mÁt phÁng (Q)

Hình phÁng là mát phÁn giãi h¿n căa mÁt phÁng Do tính ch¿t giãi h¿n căa nó, hình phÁng đ°ÿc xác đánh bçi tÁp hÿp các điÇm và các đo¿n thÁng nái liÅn khép kín Muán biÇu diÉn hình phÁng trên đã thąc, ta biÇu diÉn các điÇm và đo¿n thÁng giãi h¿n hình phÁng đó

Trong không gian, hình phÁng (mÁt phÁng) có nhiÅu vá trí khác nhau so vãi hË tháng các MPHC

2

5

2.3.1 Hình phÁng (mÁt phÁng) b¿t kỳ

a Hình phÁng b¿t kỳ

Quy tÃc: Hình phÁng b¿t kỳ trong không gian thì hình chiÃu căa nó trên các MPHC là nhāng hình phÁng b¿t kỳ, có kích th°ãc nhß h¢n hình thÁt nh°ng sá c¿nh b¿ng sá c¿nh căa hình thÁt

Đ°ång nái các đßnh đái diËn căa hình phÁng phÁi là nhāng đo¿n thÁng cÃt nhau (Hình 2.35a)

Hình phÁng có các cÁp c¿nh song song vãi nhau từng đôi mát (Hình 2.35b)

Hình 2.35a: Các đ°ång chéo căa tą

giác ABCD cÃt nhau Hình 2.35b: Các c¿nh căa tą giác EFGH

song song từng đôi mát

Quy tÃc: Hình phÁng vuông góc vãi MPHC nào thì hình chiÃu căa nó trên MPHC

đó suy biÃn thành mát đo¿n thÁng, hai hình chiÃu còn l¿i là hai hình phÁng b¿t kỳ và

MÁt phÁng vuông góc vãi mát MPHC:

MÁt phÁng vuông góc vãi MPHC đąng gãi là mÁt phÁng chiÃu đąng

MÁt phÁng vuông góc vãi MPHC b¿ng gãi là mÁt phÁng chiÃu b¿ng

MÁt phÁng vuông góc vãi MPHC c¿nh gãi là mÁt phÁng chiÃu c¿nh

Hình 2.38: MÁt phÁng chiÃu đąng (Q) trong không gian và trên đã thąc

Ví dā 2: BiÇu diÉn mÁt phÁng chiÃu đąng (Q) (Hình 2.38)

Trên đã thąc: Do (Q) P1 nên hình chiÃu đąng căa mÁt phÁng (Q) suy biÃn thành đ°ång thÁng trùng vãi vÃt đąng V1(Q)

Hình 2.39: MÁt phÁng chiÃu b¿ng (R) trong không gian và trên đã thąc

Ví dā 3: BiÇu diÉn mÁt phÁng chiÃu b¿ng (R) (Hình 2.39)

Trên đã thąc: Do (R) P2 nên hình chiÃu b¿ng căa mÁt phÁng (R) suy biÃn thành mát đ°ång thÁng trùng vãi vÃt b¿ng V2(R)

NhÁn xét:

28

Góc t¿o bçi mÁt phÁng chiÃu b¿ng vãi MPHC đąng b¿ng góc hÿp bçi vÃt b¿ng vãi trāc OX

VÃt đąng căa mÁt phÁng chiÃu đąng vuông góc vãi trāc OX

Hình 2.40: MÁt phÁng chiÃu c¿nh (S) trong không gian và trên đã thąc

Ví dā 4: BiÇu diÉn mÁt phÁng chiÃu c¿nh (S) (Hình 2.40)

Đã thąc: Hình chiÃu c¿nh căa mÁt phÁng (S) suy biÃn thành mát đ°ång thÁng trùng vãi vÃt c¿nh V3(S)

NhÁn xét:

Góc t¿o bçi mÁt phÁng chiÃu b¿ng vãi MPHC đąng và MPHC b¿ng t°¢ng ąng b¿ng góc hÿp bçi vÃt c¿nh vãi trāc OZ và trāc OY

VÃt b¿ng và vÃt đąng căa mÁt phÁng chiÃu song song vãi trāc OX

b Hình phÁng (mÁt phÁng) song song vãi mát MPHC (vuông góc vãi hai MPHC): Hình phÁng song song vãi mát MPHC (vuông góc vãi hai MPHC):

Quy tÃc: Hình phÁng song song vãi MPHC nào thì hình chiÃu căa nó trên MPHC

đó sÁ song song và b¿ng chính nó (b¿ng hình thÁt), hai hình chiÃu còn l¿i suy biÃn thành hai đo¿n thÁng song song vãi hai trāc t¿o nên MPHC đó

Hình 2.41: Hình phÁng song song vãi mát MPHC

29

Ví dā 1: Cho hình phÁng ABCD song song vãi MPHC P1 (Hình 2.41)

NhÁn xét:

A1B1C1D1 //= ABCD

A2B2C2D2 suy biÃn thành mát đo¿n thÁng // OX

A3B3C3D3 suy biÃn thành mát đo¿n thÁng // OZ

(OX, OZ) = P1

MÁt phÁng song song vãi mát MPHC (vuông góc vãi hai MPHC):

MÁt phÁng song song vãi MPHC đąng gãi là mÁt phÁng mÁt

MÁt phÁng song song vãi MPHC b¿ng gãi là mÁt phÁng b¿ng

MÁt phÁng song song vãi MPHC c¿nh gãi là mÁt phÁng c¿nh

Ví dā 2: BiÇu diÉn mÁt phÁng mÁt (R) (Hình 2.42)

Đã thąc:

Do (R) // P1 nên hình chiÃu b¿ng căa mÁt phÁng (R) suy biÃn thành mát đ°ång

thÁng song song vãi trāc OX và trùng vãi vÃt b¿ng V2(R)

NhÁn xét:

Đã thąc căa mÁt phÁng mÁt (R) chß bao gãm vÃt b¿ng V2(R) song song vãi trāc OX

Ví dā 3: BiÇu diÉn mÁt phÁng b¿ng (Q) (Hình 2.43)

Đã thąc:

Do (Q) // P2 nên hình chiÃu đąng căa mÁt phÁng (Q) suy biÃn thành mát đ°ång

thÁng song song vãi trāc OX trùng vãi vÃt đąng V1(Q)

NhÁn xét:

Đã thąc căa mÁt phÁng b¿ng (Q) chß bao gãm vÃt đąng V1(Q) song song vãi trāc OX

Hình 2.42: MÁt phÁng mÁt (R) Hình 2.43: MÁt phÁng b¿ng (Q)

Ví dā 4: BiÇu diÉn mÁt phÁng c¿nh (S) (Hình 2.44)

Đã thąc: Do (S) // P3 nên hình chiÃu đąng và hình chiÃu b¿ng căa mÁt phÁng (S) suy biÃn thành hai đ°ång thÁng vuông góc vãi trāc OX

NhÁn xét: Đã thąc căa mÁt phÁng c¿nh (S) chß bao gãm vÃt đąng V1(S) và vÃt b¿ng V2(S) vuông góc vãi trāc OX

Hình 2.44: MÁt phÁng c¿nh (S) 2.3.3 Să liên thuác giāa điÇm, đo¿n thÁng vãi hình phÁng (mÁt phÁng)

Ví dā 1: Cho điÇm M hình phÁng ABC, biÃt M1 tìm M2 (Hình 2.45)