Bài thi kết thúc học phần môn thi lý thuyết xác suất và thống kê toán

Đề thực hiện điều này, biến ngẫu nhiên được định ra để phản ánh mỗi kết quả của một phép thử ngẫu nhiên với một giá trị số.. Ước lượng giá trung bình của các mặt hàng tivi được bán ở tru

oo ex TRUONG DAI HOC NGAN HANG TP HO CHI MINH

BAI THI KET THUC HOC PHAN

Bài thi có: (bằng số): 19 trang

(bằng chữ): mười chín trang

TIEU LUẬN MÔN HỌC

LY THUYET XAC SUAT VA THONG KE TOAN

Ho va tén: Phan Nhat Minh An

MSSV: 030836200002 Lớp học phan: D03

TP.HO CHI MINH, 2021

thử):

Câu 1:

Công thức cộng:

Với hai biến có tùy ý A và B:

P(A + B) = P(A) + P(B) — P(AB)

Với hai biến có xung khắc A và B (A và B không đồng thời xảy ra trong một phép

P(A + B) = P(A) + P(B)

Với các biên cô xung khắc từng đôi:

Nhóm n các biên cô được gọi là xung khắc từng đôi nêu có hai biên cô bât kỳ trong

n biên cô xung khắc với nhau

P(A+B+C) = P(A) + P(B) + P(C)

Với hai biên cô đôi A và B (A và B là hai biên cô đôi nhau nêu chúng tạo một

nhóm biến cô đầy đủ):

P(B) =1- P(A)

Công thức nhân:

Xác suất có điều kiện:

P(AB) P(AB) P(AIB) = pin I4) Play

Với hai biến có A và B bat kỳ:

P(AB) = P(A)P(P|A) = P(B)P(A|B)

Với hai biến có A và B độc lập:

A và B là hai biên cô độc lập nêu một biên cô xảy ra không làm ảnh hưởng đên khả

năng xáy ra của biến cô còn lại P(A|B) = P(A); P(BIA) = P(B)

P(AB) = P(A)P(B)

Công thức Bernoulli:

Ta thường gặp phải trường hợp lặp đi lặp lại phép thử nhiều lần trong nhiều bài

toán Trong mỗi phép thử, ta quan tâm đến việc biến cô A xảy ra hay không xảy ra và tổng số lần xảy ra biến cố A sau n phép thử Đề tính toán xác suất biến cô A xáy ra k lần sau dãy phép thử ta có công thức:

Giá sử tiễn hành n phép thử độc lập (1) Trong mỗi phép thử chỉ có thê xảy ra một trong hai trường hợp: biến cố 4 xảy ra hoặc biên cô A xáy ra (2) Xác suất xảy ra biến cô

A trong mọi phép thử déu la P(A) = p va P(A) = 1 — p = q (3) Khi đó, xác suất đê biến

cô A xảy ra k lần trong dãy phép thử đã cho là:

B(k,n,p) = CK pk qr-*

(1), (2) và (3) là các điều kiện của dãy n phép thir Bernoulli

Công thức xác suất đây đủ:

Cho không gian mẫu Ô và 4, 4;, 4„, A là các biên có Các bién c6 Ay, Ay, An được gọi là một hệ biến cô đầy đủ nếu chúng thỏa mãn hai điều kiện:

(1) A, +4, +-++A, = 2

(2) Aj A; =@ voii # j;i,j €41;2; ;n}

Nếu trong một phép thử, biến có B xảy ra đồng thời với một trong những biến cô

của nhóm đây đủ 4+,4, A„ thì:

P(A) = P(Ai)P(A|Ai) + P(Az)P(AIA2) + + + P(A,)P(AIA,)

Công thức Bayes:

Nhóm đây đứ n biến cô 4:,4a, A„ Trong điều kiện biến cô A đã xảy ra, xác suất

dé bién cé A; , i € 4 1;2; ;n} xảy ra là:

P(A;) = P(A) P(A,)P(AIA;) + P(Az)P(AlAz) + -~ + P(A, )P(AIA,)

Biển ngâu nhiên rời rạc›

Trong một phép thử ngẫu nhiên, kết quả của phép thử có thé là một giá trị số hoặc

không phải

Ví dụ: Trong phép thử tung một đồng xu, kết quả có thể là sắp hoặc ngửa (không

phải là số)

Tuy nhiên, trong thống kê, ta cần mỗi kết quá đều được gắn với một giá trị số có

thể đo đạc được Đề thực hiện điều này, biến ngẫu nhiên được định ra để phản ánh mỗi

kết quả của một phép thử ngẫu nhiên với một giá trị số Biến ngẫu nhiên có hai loại chính

bao gôm biên ngầu nhiên liên tục và biên ngầu nhiên rời rạc

Ví dụ: Lẫy mẫu xét nghiệm Covid-19 của 2 người bất kỳ 0 = 4 4,4, 4s}

Ai= “Cả hai người đều đương tính” © Số người âm tính: 0

A¿= “Một người dương tính, một người âm tính” © Số người âm tính: 1

As= “Cả hai người đều âm tính” © Số người âm tính: 2

X:0— R,X: số người ầm tính Air>0

A¿ 1

Aa 2

Biến ngấu nhiên rời rạc là biễn ngẫu nhiên mà tập giá trị của nó (những giá trị mà

biên ngau nhiên có thê nhận được) là đêm được, hữu hạn hoặc vô hạn

Đặc trưng cua biên ngâu nhiên rời rac:

Các xác suât tương ứng với các biên cô của biên ngau nhiên rời rạc thường được

biểu diễn đưới dạng bảng phân phôi xác suất

Ky vong: EX = YL, xp; ; E(X”) = Yh x7 vi

Phuong sai: VX = E(X?) - (Ex)?

Cau 2:

Ví dụ 1: Bạn Anh là sinh viên đại học đang làm kiểm tra trắc nghiệm online Ngân

hàng đề thi có 20 đề khó, 30 đề trung bình Tìm xác suất đề:

a Ban Anh chon một đề, đề đó là đề trung bình

b Bạn Anh chọn hai đề, trong đó có ít nhất một đề trung bình

Giải

a Gọi biến cố A = “Bạn Anh chọn một đề trung bình.”

Ci, 30 3

P (6) = GP=o =2 A =e I _——-=_—

b Gọi biến cố B = “Bạn Anh chọn được một đề trung bình và một đề khó.”

Gọi biến cô C = “Bạn Anh chọn được hai đề trung bình.”

Gọi biến có D = “Bạn Anh chọn hai đề, có ít nhất một đề trung bình.”

Chy X Czy + CS 390 P(D) =———>———=—~ -7=0,3184

a Sinh viên này đăng ký ít nhất một môn

b Sinh viên này không đăng ký môn nào

c Sinh viên này chỉ đăng ký một môn

d Sinh viên này chí đăng ký môn Lý thuyết

Giải

a Goi biến cô A = “Sinh viên đăng ký môn Lý thuyết.” => P(4) = ;

Gọi biến có B = '“Sinh viên đăng ký môn Thực hành.” = P(B) =—

Gọi biến cô C = “Sinh viên đăng ký it nhất một môn.”

4/11 1 P(C) = P(A + B) = P(A) + P(B) — P(AB) =5 + Fg 7 y= 07222

b Gọi biến cố D = “Sinh viên này không đăng ký môn nào.”

P(D)=1-— ro) = 0,2778

c P(AB + AB) = P(A) + P(B) - 2P(AB) =- sa =—2 Xã ~= 0,3889

d P(AB) = P(A) - P(AP) =; - : = 0,1111

Ví dụ 3: Bạn Anh đang giữ một hộp gồm 15 đôi găng tay, trong đó có 3 đôi đã bị

rách Lấy ngẫu nhiên có hoàn lại ba đôi găng tay đề phát cho các bạn trong lớp dùng để

trực nhật Tính xác suất đề:

a Cả ba đôi găng tay đều bị rách

b Cả ba đôi găng tay đều không rách

e Có ít nhất một đôi găng không rách

d Chỉ có đôi găng thứ hai bị rách

Giải

Gọi biến có R là biến có mà xác suất cần tÝm

Gọi biến cố A¡ = “Bóng thứ ¡ hỏng.”, í € 4 1;2; 3}

b P(R) = P(A, AzA3) = P(A)) PỆ =):P (=) = =< ° = =

c P(R) = 1~ P(A4;4;) =1-===

d P(R) = P(Ã14;3;) = P(A,) P(2).P (= =taG=5

Ví dụ 4: Ba của Anh là bác sĩ trực cấp cứu tại bệnh viện vào mỗi tôi thứ bảy Số ca

cấp cứu ở bệnh viện vào ngày ba Anh trực là một biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phôi xác suât như sau:

Được biết, nếu có hon 2 ca cấp cứu thì cần được lấy thêm thiết bị y tế

a Tinh xác suất để phải lay thêm thiết bị y tế vào tối thứ bảy

b Tính xác suất đê có ít nhất một ca cấp cứu vào tối thứ bảy

Giải

a Gọi biến cố A = “Phải lấy thêm thiết bị y tế.”

P(A) = P(X > 2) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) = 0,2 + 0,15 + 0,05 = 0,35

b P(X > 0) =1-P(X = 0) =1-0,1 =09

Ví dụ 5: Mẹ của Anh nhập bánh trung thu về bán Một thùng có 50 cái bánh, trong

đó có 4 cái là phế phẩm Lấy ngẫu nhiên 2 cái bánh đề kiêm tra Gọi X là số phế phẩm lấy

( ) CZ, 1225

Bảng phân phối Xác suất:

Ví dụ 6: Bạn Anh thi trắc nghiệm môn Lý thuyết gồm có 10 câu hỏi Mỗi câu có 4

đáp án dé lựa chon trả lời, trong đó chỉ có 1 đáp ám đúng Giá sử bạn Anh làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên các đáp án Tính xác suất trong các trường hợp sau:

a) Sinh viên vừa đủ điểm đậu (5 điểm)

b) Sinh viên chọn đúng ít nhất 1 câu hỏi

Giải

a Gọi biến cố A = “Bạn Anh vừa đủ điểm đậu.”

Với dãy phép thử là số lần bạn Anh chọn đáp án, ở mỗi phép thử có 1 trong 2 kha nang xay Ta:

Anh trả lời đúng: p = 2

Anh trả lời sai: q = =

Biến cố A xảy ra © Anh trả lời đúng 5 lần

15 35

-(~ (ZL `\ =

P(A) = Cho: @ (2 0,0191

b Gọi biến có B = “Bạn Anh chọn đúng ít nhất một câu.”

Gọi biến cố C = “Bạn Anh không chọn đúng câu nảo.”

4.9 3 10

P(C) = Gy (O (2 = 0,0563

= P(B) = 1— P(C) = 1- 0,0563 =

Ví dụ 7: Một lô bánh trung thu mẹ bạn Anh nhập về bán có tỷ lệ phế phẩm là 5% Lấy ngẫu nhiên (có hoàn lại) từ lô hàng đó 5 sản phẩm để kiêm tra Tính xác suất để trong

5 sản phẩm lấy ra có 2 phế phẩm

Giải Gọi biến cô A = “Sản phẩm lấy ra là phé pham.” > P(A) = 0,05

Có 2 phế phẩm được lấy ra © Biến cô A xuất hiện 2 lần

a Gọi biến có A = “Sản phẩm được mua do máy I san xuat.” > P(A) = 0,25

Gọi biến cô 4¡, 4a, 4s = “Sản phâm được mua do máy L, II, II sản xuất.”

Gọi biến cô B = “Sản phẩm được mua là phế phẩm.”

b P(B) = P(A,)P(B|A¡) + P(A;)P(B4;) + P(A;)P(PB|A;) = 0,25.0,03 +

0,35.0,02 + 0,4.0,01 = 0,0185

=> P(B) = 1— P(B) = 1 — 0,0185 = 0,9815

_ P(43)P(BIA3) — 040/01 _

c PW;|B) = pAp(BIAI+r(s)p(IAz)+p(a)p(BIAa) — 00185 — 02162

Ví dụ 9: Trọng lượng của 1000 gói bột mì có phân phối chuẩn Trong 1000 gói bột

có 70 gói có trọng lượng lớn hơn 1015g Hãy ước lượng xem có bao nhiêu gói bột có trọng lượng ít hơn 1008g Biết trọng lượng trung bình của 1000 gói bột là 1012g

= 148 3 0 = 745 = 2,0325

1008-1012 Vay P(X < 1008) = 0,5 + ¢(—-) = 0,5 — $(1,97) = 0,5 — 0,4756 =

0,0244 = 2,44%

Vậy trong 1000 gói bột sẽ có khoảng 24,4 gói có trọng lượng ít hơn 1008g

Ví dụ 10: Lãi suất (%) đầu tư vào một dự án năm 2021 của công ty A được coi như

là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Bộ phần đầu tư của công ty A đánh giá,

lãi suất cao hơn 20% có xác suất 0,1587, và lãi suất cao hơn 25% có xác suất 0,0228 Vay

khả năng đầu tư không bị thua lỗ là bao nhiêu?

Câu 3:

Một ước lượng là một quy luật cho chúng ta biết cách thức tính toán một sự ước lượng dựa trên thông tin của một mẫu và được thê hiện dưới dạng công thức

Bài tập ước lượng trung bình:

Với đám đông X có EX = w và ø2 chưa biết Với độ tin cậy 1 — ø, kích thước mẫu

+ > 30, tìm khoảng tin cậy cho H

K -— Za SS K+ Za —

Với: # là trung bình mẫu

là trung bính của tổng thể cần ước lượng

s là độ lệch chuẩn mẫu hiệu chỉnh

za được tra từ bang với @ (za) = =

Độ chính xác của ước lượng là: e = Zz —

5 vn Bài tập ước lượng tỷ lệ:

Gia sử cân tìm tỷ lệ p của các phân tử có tính chât A trong các phân tử của đám đông Bài toán đặt ra là tìm khoảng tin cập cho tỷ lệ p nếu cho trước độ tin cậy 1 — ø

Cau 4:

Vi du 1; Gia (don vi tinh: Déla) cho 100 mat hang tivi được bày bán tại một trung

tâm điện tử B được cho như sau:

a Tìm trung bình và độ lệch chuân của những mức giá này

b Ước lượng giá trung bình của các mặt hàng tivi được bán ở trung tâm điện tử B với độ

Ví dụ 2: Nhà máy sản xuất bánh trung thu nhập các bao đường về làm nguyên liệu

sản xuất Trọng lượng các bao đường là một đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn Kiểm tra mẫu gồm 50 bao đường, thấy trọng lượng trung bình của mỗi bao là 48kg, s = 0,5kg Với độ tin cậy là 95%, hãy ước lượng trọng lượng trọng lượng trung bình của các bao đường

Giải

Gọi ¿ là trọng lượng trung bình của các bao đường cần ước lượng

1—ø=0,95 > Z4 = 1/96

2

a Ước lượng tỷ lệ phế phẩm của lô hàng với độ tin cậy là 94%

b Với e = 3%, xác định độ tin cậy

Ví dụ 4: Quan sát năng suất làm việc của 30 công nhân cùng một tô trong nhà máy

sản xuất bánh trung thu, nhận thấy năng suất trung bình của một công nhân là 10 sản phâm/ngày và s = 3

a Ước lượng số sản phẩm trung bình trong một ngày của nhà máy này với độ tin cậy 99% (biết nhà máy có 300 công nhân)

b Muốn ước lượng năng suất trung bình của một công nhân trong nhà máy với độ tin cậy

95% và độ chính xác e = 0,8 thi cần phải quan sát thêm năng suất của bao nhiêu công

nhân nữa?

Giải

a Gọi ¿¿ là năng suất trung bình của một công nhân trong nhà máy

Vậy cần quan sát thêm: 54 — 30 = 24 công nhân nữa

Ví dụ 5: Sau khi nhà máy bánh trung thu đóng góp thành phẩm thành các thùng hàng sẽ bắt đầu vận chuyên đến đại lý Theo dõi mức xăng hao phí (gam) cho cùng một

loại xe chở hàng từ nhà máy đến đại lý, ta có bảng sé liệu sau:

Tìm khoáng ước lượng cho mức hao phí xăng trung bình của loại xe vận chuyền khi ổi từ

nhà máy đến đại lý với độ tin cậy 95%, biết X là phân phối chuẩn

Giải

# = 20,2333; s = 0,5942 1~ø= 0/95 > za = 1,96

Gọi ¿ là mức hao phí xăng trung bình cần ước lượng

Ÿ#—Z —<u<#+ — Zu.—— zVn xX Za.—_- <S 7 vn ` 20,2333 — 1,96 05942 << 20,233 + 1,96 0,942 ; — Ì, v0 , , : v30

© 20,0207 << 20,4459

Ví dụ 6: Thực hiện lay mau xét nghiém Covid-19 tại một địa phương, ta có bảng

sô liệu sô người dương tính của các hộ gia đình như sau:

b Những hộ gia đình có 3 người dương tính trở lên là những hộ cần được hỗ trợ nhiều

hơn Tìm khoảng ước lượng tỉ lệ những hộ cần được hỗ trợ ở địa phương này với độ tin cập 95%

Biết khu vực đang bị phong tỏa có 2000 hộ

a Hãy ước lượng nhu cầu trung bình của về gạo của toàn khu vực đang bị phong tỏa

trong một tháng với độ tin cậy 95%

b Hãy ước lượng tỷ lệ hộ gia đình có nhu cầu gạo lớn hơn S5kg/tháng với độ tin cậy 96%

Giải

x= 4,365;s = 1,7384 a.1—ø =0,95 2 Zz = 1,96

ƒ(=ƒ) ener f(l-f) a a 17 š0-(1~ 50) _ om

17

< 50 + 2,0537.¥ ——————© 0,2712<p<0,4088 700

Ví dụ 8: Số trái cây phân phát cho các hộ đang bị phong tỏa được đựng trong các

rô, mỗi rô có 100 trái Trước khi tiễn hành phân phát, người ta tiên hành kiểm tra 50 16 thấy có 380 trái không đạt tiêu chuẩn

a Hãy ước lượng tỷ lệ trái không đạt tiêu chuẩn của tông số trái được phân phát với độ tin

cậy 99%

b Dựa vào mẫu trên, muốn ước lượng tỷ lệ trái không đạt tiêu chuẩn với độ chính xác

0,5% thì độ tin cậy phải được bao nhiêu

Giải a.n=5000,f =" =~ 0076 5000 250

Vi du 9: Quan sát thu nhập (triệu đồng/tháng) của các nhân viên tại công ty A

trước đợt nghỉ dịch Covid-19, nhận thấy mức lương trung bình của 100 nhân viên là x =

9,5 = 2,9232