ĐỀ THI HỌC SINHGIỎICẤP TRƯỜNG MÔN: TOÁN 9 Thời gian: 90 phút ( không kể thời gian phát đề). Năm học: 2008-2009. I. Phần trắc nghiệm: (20 phút) (5 điểm) Câu 1: x + 2 4 có nghĩa khi: A. x ≥-4 B. x ≥-2 C.x < 2 D.x≤-2 Câu 2: Rút gọn ( ) − 2 5 7 được kết quả là: A. − 5 7 B. − − 5 7 C. + 5 7 D. − 7 5 Câu 3: Rút gọn − 12 6 3 được kết quả là A. − 3 3 B. − − 3 3 C. − 3 3 D. + 3 3 Câu 4: Biết 2 4 6x = thì x bằng: A. 3 B. -3 C. ± 3 D. 6± Câu 5: Kết quả phép tính : (4 13)(4 13)− + là A. 3 B. -3 C. ± 3 D. -9 Câu 6: Rút gọn 4 2 27a b được kết quả là: A. 3 3 a 2 b B. - 3 3 a 2 b C. 3ab 2 D. 3 3 a 2 b Câu 7: Kết quả của phép tính 1 1 2 3 2 3 + − + là: A. 4 B. -4 C. 2 3 D. - 2 3 Câu 8: Khử mẫu của biểu thức 1 20 là : A. 1 5 20 B. 1 20 20 C. 1 5 10 D. Cả câu B và C đều đúng Câu 9: Tập nghiệm của phương trình x 2 – 7 = 0 là: A. { } 7; 7S = − B. { } 7; 7S = − C. { } 7S = D. { } 7S = − Câu 10: Nếu x thỏa mãn điều kiện 3 3x+ = thì x nhận giá trị là: A. 0 B. 6 C. 9 D. 36 Câu 11: Biểu thức 2 1 3 1 x x − + có nghĩa khi: A. x > 1 3 B. x < 1 3 C. x ≤ 1 3 D. x ≥ 1 3 Câu 12: tam giác ABC vuông tại A có 3 4 AB AC = , đường cao AH = 12 cm khi đó độ dài CH bằng : A. 15cm B. 16cm C. 20cm D. 25cm Câu 13: Trên hình vẽ : A. x = 16/3 và y = 9 B. x = 4,8 và y = 10 C. x =5 và y = 9,6 D. Cả 3 trường hợp trên. Câu 14: Cho cos α = 2/3 khi đó sin α bằng: A. 5 9 B. 5 3 C. 1 3 D. 1 2 Câu 15: Giá trị của biểu thức: sin 4 α + cos 4 α + 2sin 2 α .cos 2 α bằng: A. 2 B. 3 C. 1 D. 0 Câu 16: Cho góc nhọn α . Hãy điền vào số 0 hoặc số 1 vào chỗ trống(…) cho đúng. A. sin 2 α + cos 2 α = … B. tg α .cotg α = … C. …< sin α < … D. …< cos α <… Câu 17: Trên hình bên ta có: x+ y bằng: A. 4 3 C. ( ) 4 2 3+ B. ( ) 4 1 3+ D. 10 Câu 18: Tam giác ABC vuông tại C. Trung tuyến CE vuông góc trung tuyến BF và cạnh BC = x. Độ dài cạnh BF là: A. 3 2 2 x B. 2 2x C. 5 2 x D. 6 2 x Câu 19: Tích n số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho : A. n B. n +1 C. n+2 D. n+3 Câu 20: 81 bằng: A. 9 B. -9 C.3 D. -3 II. Phần tự luận : ( 15 điểm) Câu 1: ( 5 điểm) a/Chứng minh rằng: 4 2n+2 - 1 chia hết cho 15, với mọi n là số tự nhiên. b/ Chứng minh rằng:19 45 – 19 30 chia hết cho 20. Câu 2: (3 điểm) a/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C, biết : 2 4 3 1 x C x + = + Câu 3: (2 điểm) Rút gọn biểu thức A, biết A = 6 3 4 2 3. 1 3− + Câu 4: (2,5 điểm) y x 8 6 6 2 y x x D E F C A B Cho tam giác có ba góc nhọn, vẽ các đường cao BD, CE. Gọi H, K là hình chiếu của B, C trên đường thẳng DE, Vẽ EE’, I I’, DD’ vuông góc với AC. Qua I vẽ đường thẳng song song BC ; cắt BH và CK ở P và Q. Chứng minh rằng: S BEC + S BDC = S BHKC. Câu 5:( 2,5 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, độ dài cạnh BC = a , AC = b, AB = c. Chứng minh rằng: a/ sin sin sin a b c A B C = = b/ S ABC = 1 2 bc.sina ĐẤP ÁN I. Phần trắc nghiệm:( 5 điểm) (mỗi câu đúng được 0,25điểm) Câu 1:B Câu 2:A Câu 3:C Câu 4:C Câu 5:A Câu 6:D Câu 7:A Câu 8:D Câu 9:B Câu 10:D Câu 11:C Câu 12:B Câu 13:B Câu 14:B Câu 15:C Câu 16: A: 1, B:1 , C: 0<……<1, D: 0<… <1 Câu 17:C Câu 18:D Câu 19:A Câu 20:C II. Phần tự luận:( 15 điểm) Câu 1: (5 đ) a/ + với n = 0 ta có: 4 2.0+2 -1 =15 chia hết cho 15 + Giả sử(*) đúng với n = k (k thuộc N) nghĩa là : 4 2k+2 – 1chia hết cho 15 Ta phải chứng minh(*) đúng với n = k+1, nghĩa là 4 2k+2 – 1chia hết cho 15. Ta có:4 2(k+1) +2 -1 = 4 2 (4 2k+2 -1) + 15 Mà 4 2 (4 2k+2 -1) + 15 chia hết cho 15 . Vậy 4 2(k+1) +2 -1 chia hết cho 15 Vậy: 4 2n+2 - 1 chia hết cho 15, với mọi n là số tự nhiên. b/ Ta có: 19 45 – 19 30 = 19 30 .( 19 15 +1) chia hết cho 20 Câu 2:(3điểm) Ta có: ( ) 2 2 2 2 2 2 4 3 ( 1) ( 4 4) 1 1 x+2 = -1+ 1 1 x x x x C x x x + − + + + + = = + + ≥ − + Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức C là -1 khi x + 2 = 0↔ x = -2. Câu 3: (2điểm) A= ( ) ( ) ( ) 6 3 3 3 6 3 4 2 3. 1 3 3 1 . 1 3 3 1 1 3 2− + = − + = − + = Câu 4: (2,5 điểm) Gọi I là trung điểm của ED Vẽ EE’, I I’, DD’ vuông góc với AC. Ta có: I I’ là đường trung bình của hình thang EE’D’D nên: EE’+ DD’=2 I I’ Vậy:S BEC + S BDC = 1 2 EE’.BC + 1 2 DD’.BC = 1 2 BC(EE’+ DD’) = BC. I I’(1) Qua I vẽ đường thẳng song song BC ; cắt BH và CK ở P và Q. Ta có: BC. I I’ = S BPQC . Mặt khác ∆PIH = ∆QIK(c-g-c). Suy ra: S PIH = S QIK . Do đó: S BPQC = S BHKC .Từ (1),(2),(3) suy ra: S BEC + S BDC = S BHKC . Câu 5:(2,5 điểm) a/ Dựng đường cao AH, ta có: sinB = AH/AB; sinC = AH/AC → sinB/sinC=AH/AB:AH/AC = b/c → b/sinB = c/sinC (1). Chứng minh tương tự ta có: a/sinA = b/sinB(2) Từ (1),(2) suy ra: a/sinA = b/sinB = c/sinC b/ Kẻ CH vuông góc AB, ta có: CH = AC.sinA Mà S ABC = 1 2 AB.CH = 1 2 AB.AC.sinA Hay S ABC = 1 2 b.c.sinA h b c H A B C a b c H A B C P I' I D' E' K H D E A B C Q . ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG MÔN: TOÁN 9 Thời gian: 90 phút ( không kể thời gian phát đề). Năm học: