Bài tập về nhà môn học kỹ thuật Điều khiển tự Động

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP.HỒ CHÍ MINHKHOA CƠ KHÍ BÀI TẬP VỀ NHÀ MÔN HỌC KỸ THUẬT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG Sinh viên thực hiện: 1... Đường biểu diễn cho thấy biên độ giảm dần khi tần số tăng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP.HỒ CHÍ MINH

KHOA CƠ KHÍ

BÀI TẬP VỀ NHÀ MÔN HỌC KỸ THUẬT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

Sinh viên thực hiện:

1 Trần Xuân Tùng – 2115238

2 Nguyễn Văn Hùng – 2111387

GV phụ trách : thầy Võ Anh Huy

Nhóm lớp: L06

Thành phố Hồ Chí Minh – 2024

1

Bài tập về nhà số 03

1 Rút gọn hàm truyền tổng C(s)/R(s)

G A ( S)=vònghồi tiếpâm[ 5

S × (S+4)× (S+5) ;2]

G A(S)=

5

S ×(S+4)×(S+5)

1+2 × 5

S ×(S+4)×(S+5)

¿>G A(S)= 5

S3

+9 S2

+20 S+10

G B(S)=[K1+K 2× S

S nốitiếp G A(S)]

¿>G B(S)=K1+ K2S

S ×G A(S)

¿>G B(S)= 5 × ( K¿¿1+ K2 S)

S4

+9 S3

+20 S2

+10 S¿

Hàm truyền G(S)=vòng hồi tiếp âm [GB(S), hàm truyền đơn vị]

G(S)=C(S)

R(S)=

G B(S)

1+G B(S)

S4

+9 S3

+20 S2

+10S+5×(K¿¿1+K2S)¿¿

2 Khảo sát 3 biểu đồ BOD, nyquist và biểu đồ pha khi

K 1 =10S-1 và K 2 =5

Khảo sát các biểu đồ khi K1=10S-1 và K2=5

Lúc này G(S) trở thành

G(S)= 5 ×(10 S −1+5 S)

S4+9 S3

+20 S2

+10 S+5 ×(10 S−1+5 S)

¿>G (S)= 75 S−5

S4+9 S3

+20 S2

+85 S−5

3

Áp dụng tiêu chuẩn Routh cho phương trình đặc trưng của hệ thống

S4+9 S3

+20 S2

+85 S−5=0

α1=1

95

α2=81

Cột một của bảng routh các phần tử đổi dấu 1 lần nên có 1 nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức

a) Biểu đồ BOD

Biểu đồ biên độ (Magnitude):

Trục tung thể hiện biên độ theo đơn vị decibel (dB)

Đường biểu diễn cho thấy biên độ giảm dần khi tần số tăng lên, điều này chỉ ra đặc tính tần số của khâu quán tính nhiều bậc

Ở tần số thấp, biên độ duy trì gần giá trị 0 dB, có nghĩa là tín hiệu được truyền qua mà không bị suy hao Tuy nhiên, khi tần số tăng lên tới tầm 10^0 rad/s, biên độ bắt đầu giảm xuống, và ở tần số cao hơn 10^2 rad/s, biên độ giảm đáng kể xuống dưới -100 dB

Biểu đồ pha (Phase):

Trục tung thể hiện pha theo đơn vị độ (degrees)

Ở tần số thấp, pha dao động quanh giá trị -180 độ Khi tần số tăng lên khoảng 10^0 rad/s, pha bắt đầu thay đổi và giảm dần

Đường pha có sự giảm mạnh từ khoảng -180 độ xuống -270 độ khi tần số tăng từ 10^0,5 trở đi

Sự thay đổi pha này cũng là đặc điểm của hệ thống lọc thông thấp (Low pass filter)

ω −π=4rad

sec ;ω c=10−2→100L(ω −π)=a dB>0 →GM =−a dBφ(ω c)=0° →ΦM =180 °

Kết luận: Hệ thống không ổn định

b) Biểu đồ Nyquist

5

Trục hoành (Real Axis) thể hiện phần thực của đáp ứng tần số Trục tung (Imaginary Axis) thể hiện phần ảo của đáp ứng tần số Dựa theo biểu đồ Nyquist nhận thấy có 1 cực nằm bên phải mặt phẳng phức, có nghĩa để hệ thống ổn định thì đường con nyquist phải bao quanh ½ vòng điểm -1+j0 theo chiều ngược chiều kim đồng hồ

Kết luận: hệ không ổn định ( Do đường cong nyquist không bao quanh điểm -1+j0)

c) Đáp ứng xung và đáp ứng nấc

3 Xét tiêu chuẩn ổn định Huwritz

Thiết lập ma trận Huwritz cho phương trình đặc trưng:

S4+9 S3

+20 S2

+85 S−5=0

G=[9 85

1 20

0 0

−5 0

0 9

0 1

85 0

20 −5]

Xét các định thức cho ma trận G

∆1=9∆2=[9 85

1 20]=9∗20−1∗85=95∆3=[9 85 0

1 20 −5

0 9 85]=8480

∆4=[9 85

1 20

0 0

−5 0

0 9

0 1

85 0

20 −5]=−42400 Nhận xét: định thức ∆4 chứa đường chéo của ma trận Huwritz âm, ngược với các định thức còn

lại

Kết luận: Hệ thống không ổn định

 Xét trường hợp K1, K2 thuộc tập hợp R

Thiết lập ma trận Huwritz cho phương trình đặc trưng:

S4

+9 S3

+20 S2

+(10+5 K2 )S+5 K1=0

G=[9 10+5 K2 0 0

0 9 10+5 K2 0

Xét các định thức cho ma trận G

∆1=9∆ 2=[9 10+5 K2

1 20 ]=−5 K2+170

∆3=[9 10+5 K2 0

1 20 5 K1

0 9 10+5 K2]=−405 K1−25 K2

2

+800 K2+1700

∆4=[9 10+5 K 2 0 0

0 9 10+5 K2 0

0 1 20 5 K1]=−2025 K1

2

+8500 K1 −125 K1K22+4000 K1K2

Nhận xét: Để hệ thống ổn định thì các định thức chứa đường chéo của ma trận Huwritz đều phải dương đồng nghĩa với ∆1>, 0 ∆2>0 , ∆3>0 , ∆4>0

Xết các trường hợp

∆1>0(9>0)

∆2>0

 −5 K2+170>0  K2<34

∆3>0



−405 K1−25 K22

+800 K2+1700>0 → K1<−25 K22+800 K2+1700

405 =−5 (34−K2)(K2−2)

81 Th1: 2<K2<34 thì K1<0 (1)

Th2: K2<2 thì K1>0 (2)

∆4>0

 −2025 K 1

2

+8500 K1−125 K 1K22+4000 K1 K2>0  K1(−81 K1+340−5 K22

+160 K2)>0 Theo TH1 (1) để ∆4>0 thì với K1<0 =>−81 K1 +340−5 K22+160 K2<0

 K1>340−5 K2

2

+160 K2

81 = ¿ 340−5 K22

+160 K2<0= ¿{ K2←2

K2 >34(loại) Theo TH2 (2) K1>0 =>−81 K1+340−5 K 2

2

+160 K2>0= ¿−2<K2<34 Vậy để hàm ổn định thì K1, K2 thỏa mãn 2<K2<34 và K1 <0 hoặc−2<K2<2 và K1>0

4 Khảo sát tính ổn định hàm truyền dựa theo phương pháp quỹ đạo nghiệm số

Phương trình đặc tính của hệ thống có dạng:

1+G B ( S)=1+ 75 S−5

S4+9 S3+20 S2+10 S

Có 4 cực, và 1 zero z=1/15

 Vì K=1 quỹ đạo nghiệm số gồm 1 nhánh tiến đến 1 zero, 3 nhánh còn lại tiến đến

∝ theo các tiệm cận xác định bởi:

Góc giữa các tiệm cận và trục thực:

9

α=(2 l+1)π

n −m =

(2 l+1)π

4 −1 =¿{ α1=π

3(l=0)

α2=−π

3 (l=−1)

α3=π (l=1) Giao điểm giữa các tiệm cận và trục thực:

OA=∑cực−∑zero

−9− 1 15 4−1 =−13645

Áp dụng tiêu chuẩn Routh cho phương trình đặc trưng của hệ thống

S4+9 S3

+20 S2

+85 S−5=0

α1=1

95

α2=81

Ở cột một của bảng Routh các phần tử đổi dấu 1 lần nên phương trình đặc tính có 1 nghiệm nằm

bên phải mặt phẳng phức, do đó hệ thống không ổn định

5 Tìm hàm ngược theo thời gian, với giá trị nào của K1 và K2 để đảm bảo hàm truyền ổn định

theo thời gian

Hàm truyền: G (S)= 5 × (K¿¿1+K2S)

S4+9 S3

+20 S2

+10 S+5×(K¿¿1+K2S)¿¿

Xét phương trình đặc trưng của hệ thống

S4+9 S3

+20 S2

+S(10+5 K 2)+5 K1=0 Bảng Routh cho phương trình đặc trưng trên:

1

180−10−5 K2 S^1 (180−10−5 K2)(10+5 K2)−405 K1

(180−10−5 K2)2

9[ (180−10−5 K2)(10+5 K2)−5 K1] S^0 5K1

Để hệ thống ổn định, tất cả các giá trị ở cột một đều phải dương

Có nghĩa:

+ 1>0

+ 9>0

+180−10−5 K2>0< ¿>K2<34

+K1>0

+(180−10−5 K2)(10+5 K2)−405 K1>0≤ ¿K1<(180−10−5 K2)(10+5 K2)

405 Giả sử K2=1 và K1=1

Thay giá trị K2=1 và K1=1 vào hàm truyền

G (S)= 5 × (K¿¿1+K2S)

S4

+9S3

+20 S2

+10 S+5×(K¿¿1+K2S)¿¿

S4+9 S3

+20 S2

+10 S+5(2+33S )¿

5+5 s

S4

+9 S3

+20 S2

+175 S +10

S4+9 S3

+20 S2

+175 S +10+

5 S

S4+9 S3

+20 S2

+175 S +10

Biến đổi hàm truyền theo dạng sau

A

S +6 ,1+

B

S +1 , 9+

C(S +0 , 49)+D 0,428

(S +0 ,49)2

+0,428 2

giải hệ phương trình{ A +B+C=0

0 , 98 A +0 , 98 B+8C +0,428 D=0

1 , 4 A +6 , 4 B+8 , 98 C+3,424 D=5

0 , 8 A +2 ,5 B+3 , 92 C+4 , 96 D=5

¿ >{ A =7 , 1

B =−1 , 7

C =−0 ,34

D =0 , 6

11

thay vào hàmG(S)= 7 , 1

S +6 , 1+ −

1 , 7

S +1 , 9+

−0 ,34(S +0 , 49)+0 , 6.0,428

(S +0 , 4 9)2

+0,428 2 Biến đổi Laplace ngược cho hàm trên được

G(t)=7 , 1e −6 , 1t −1 , 7 e −1 ,9 t −0 , 34 e −0 ,49 t cos(0,428 t)+0 , 6 e −0 , 4 9 t sin (0,428t )

Sau khi hệ thống hoạt động say khoảng 5s , hệ thống ổn định