DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮTN tập số tự nhiên R tập số thực R+ tập số thực không âm Rn không gian Euclide thực n-chiều H không gian Hilbert thực xk → x dãy {xk} hội tụ mạnh tới x
Một số kiến thức chuẩn bị
Không gian Hilbert
Định nghĩa 1.1 Cho H là không gian vectơ thực, được trang bị một tích vô hướng, ký hiệu ⟨., ⟩, và đầy đủ đối với chuẩn
Khi đó H được gọi là một không gian Hilbert thực.
Như ta đã biết tích vô hướng ⟨x, y⟩ là một hàm liên tục và thỏa mãn bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
|⟨x, y⟩| ≤ ∥x∥.∥y∥, ∀x, y∈ H, và không gianR n là một không gian Hilbert với tích vô hướng và chuẩn tương ứng là
Trong bài viết này, chúng tôi sẽ nhấn mạnh một số tính chất quan trọng của chuẩn, những tính chất này rất hữu ích và thường được sử dụng trong việc chứng minh hội tụ của các thuật toán trong tương lai.
Mệnh đề 1.1 [11] Với mỗi x, y ∈ H, ta có
Trong không gian Hilbert H, định nghĩa hội tụ mạnh và yếu được đưa ra như sau: một dãy {x_k} hội tụ mạnh tới x ∈ H nếu giới hạn khi k tiến tới vô cùng của ∥x_k - x∥ bằng 0, ký hiệu là x_k → x Ngược lại, dãy {x_k} hội tụ yếu tới x ∈ H nếu giới hạn khi k tiến tới vô cùng của ⟨x_k - x, y⟩ bằng 0 với mọi y ∈ H, ký hiệu là x_k ⇀ x Định lý 1.1 khẳng định rằng nếu H là không gian Hilbert và H* là không gian đối ngẫu của H, thì dãy {x_k} và x thuộc H, cùng với {f_k} ⊂ H*, sẽ có các tính chất đặc biệt liên quan đến sự hội tụ.
(ii) Nếu x k ⇀ x và ∥x k ∥ → ∥x∥ trong H, thì x k → x;
(iii) Nếu không gian H là hữu hạn chiều, thì sự hội tụ mạnh và hội tụ yếu trong H là tương đương nhau;
(iv) Nếu dãy {x k } bị chặn trong không gian Hilbert H, thì ta luôn trích ra được dãy con của nó hội tụ yếu trong H;
Phép chiếu trong không gian Hilbert là một yếu tố quan trọng trong lý thuyết tối ưu và các phương pháp giải bài toán bất đẳng thức biến phân cũng như bài toán cân bằng Định nghĩa 1.3 nêu rõ rằng, với C ⊂ H là tập không rỗng và x∈ H là một điểm bất kỳ, ta có thể xác định khoảng cách d C (x) bằng cách lấy giá trị nhỏ nhất của ∥x−z∥ với z thuộc C.
Khoảng cách từ điểm x tới tập C được ký hiệu là d_C(x) Nếu tồn tại một điểm x* trong C sao cho d_C(x) = ∥x - x*∥, thì x* được gọi là hình chiếu vuông góc của x lên C, ký hiệu là x* = P_C(x) Theo Định lý 1.2, nếu x thuộc không gian H và y thuộc tập C, thì có những mối quan hệ nhất định giữa chúng.
(ii) y =P C (x) khi và chỉ khi
(iii) Với mọi x, y ∈ H, ta có
Do đó P C (x) là một ánh xạ không giãn, tức là
Hàm lồi và một số khái niệm liên quan
Cho C là tập con không rỗng của không gian Hilbert H và hàm f : C → [−∞,+∞] Các tập domf := {x ∈ C : f(x) < +∞} và epif := {(a, α) ∈ C × R : f(x) < α} được gọi lần lượt là miền xác định và tập trên đồ thị của hàm f Hàm f được xem là chính thường trên C nếu domf ̸= ∅ và f(x) > −∞ cho mọi x ∈ C.
C → R∩ {+∞} Khi đó, f được gọi là hàm lồi trên C nếu tập trên đồ thị của nó là tập lồi trong H ×R.
Ta có mệnh đề sau
Mệnh đề 1.2 [7] Cho C là một tập con, lồi khác rỗng của H và hàm f : C → R∩ {+∞} Khi đó, f là một hàm lồi trên C khi và chỉ khi f(λx+ (1−λ)y) ≤ λf(x) + (1−λ)f(y) ∀x, y ∈C,∀λ ∈[0,1].
Chú ý 1.5 (1) Nếu tồn tại m > 0 để f(x) − m 2 ∥x∥ 2 lồi thì ta nói f lồi mạnh với hằng số m.
Nếu \( f(\lambda x + (1−\lambda)y) < \lambda f(x) + (1−\lambda)f(y) \) với mọi \( x, y \in C \), \( x \neq y \) và mọi \( \lambda \in (0,1) \), thì hàm \( f \) được gọi là lồi chặt Định nghĩa 1.6 nêu rõ rằng, cho tập \( C \) là một tập con lồi không rỗng của không gian H và hàm \( g: C \to \mathbb{R} \) là một hàm lồi, thì điểm \( p \in C \) được xem là dưới đạo hàm của \( g \) tại \( x_0 \in C \).
Tập tất cả các dưới đạo hàm của g tại x 0 ∈ C được gọi là dưới vi phân của g tại x 0 và được ký hiệu là ∂g(x 0 ) Vậy
Hàm g được xem là khả dưới vi phân tại điểm x₀ nếu ∂g(x₀) khác rỗng Đồng thời, hàm lồi g được coi là khả dưới vi phân trên tập C khi g khả dưới vi phân tại mọi điểm thuộc tập C.
Ví dụ 1.1 Cho C là một tập con, lồi và khác rỗng của R n Xét hàm chỉ trên C δ C (x)
∂δ C (x 0 ) =N C (x 0 ) ∀x∈ C, trong đó N C (x 0 ) là nón pháp tuyến ngoài của C tại x 0 và được xác định bởi
N C (x 0 ) :={ω ∈ H: ⟨ω, x−x 0 ⟩ ≤0, ∀x∈ C}. Định lí 1.3 [3] Giả sử g 1 , g 2 , , g m là hàm lồi chính thường trên R n và x∈ domg Khi đó, với mọi x∈R n ta có
Hơn nữa, nếu các hàm g 1 , g 2 , , g m (có thể trừ một hàm) liên tục tại mọi điểm x∈ ∩ m i=1 domg i , thì
Đạo hàm của tổng các hàm g 1, g 2, , g m tại điểm x được tính bằng tổng các đạo hàm của từng hàm tại điểm x: ∂(g 1 + g 2 + + g m)(x) = ∂g 1(x) + ∂g 2(x) + + ∂g m(x) Định lý 1.4 chỉ ra rằng nếu g là hàm lồi chính thường trên H và x thuộc vào tập xác định của g, thì điều kiện ∂g(x) không rỗng tương đương với việc g nửa liên tục dưới tại 0 Hơn nữa, nếu g khả vi tại x 0, thì ∂g(x 0) sẽ bằng ∇g(x 0) Định nghĩa 1.7 nêu rõ rằng điểm x 0 thuộc tập con C không rỗng của H được gọi là cực tiểu địa phương của hàm g trên C, nếu tồn tại lân cận U(x 0) xung quanh x 0.
−∞< g(x 0 ) ≤g(x) ∀x∈C ∩U(x 0 ). Điểm x 0 được gọi là cực tiểu toàn cục của f trên C, nếu
−∞< g(x 0 )≤ g(x) ∀x∈ C. Định lí 1.5 [7] Cho g : H → R∪ {+∞} là một hàm lồi chính thường và
Tập C ⊆ H là tập lồi và khác rỗng, dẫn đến mọi điểm cục tiểu địa phương của hàm g trên C cũng là cực tiểu toàn cục Tập hợp tất cả các điểm cực tiểu toàn cục được ký hiệu là sol(g) := argmin{g(x) : x ∈ C} cũng là một tập lồi Nếu g là hàm lồi chặt và sol(g) không rỗng, thì sol(g) chỉ có duy nhất một phần tử Định lý Fermat (Định lý 1.6) khẳng định rằng với hàm g : H → R∪ {+∞} là hàm lồi chính thường, khả dưới vi phân, thì x∈ argmin{g(x) : x ∈ H} tương đương với việc 0∈ ∂g(x) Hơn nữa, theo Định lý 1.7, nếu g là hàm lồi, khả dưới vi phân và C ⊆ H là tập lồi, khác rỗng, thì nếu g liên tục tại một điểm nào đó trong C và x∈argmin{g(x) : x∈C}, điều này cũng được xác nhận.
Ngược lại, nếu (1.1) đúng tại x thì x∈argmin{g(x) :x∈ C}. Định nghĩa 1.8 Cho C là tập con khác rỗng của không gian Hilbert H và hàm f : C → R, x 0 ∈C Khi đó
(a) f là nữa liên tục dưới tại x 0 nếu
(b) f là nữa liên tục dưới yếu tại x 0 nếu
∀{x k } ⊂ C, x k ⇀ x 0 suy ra lim inf k→∞ f(x k ) ≥f(x 0 ) (c) f là nữa liên tục trên tại x 0 nếu −f nữa liên tục dưới tại x 0
Hàm f được gọi là liên tục yếu tại x₀ nếu nó là liên tục dưới yếu tại x₀ Một hàm f được xem là hê-mi liên tục tại x₀ khi giới hạn lim t→0 + f(tz + (1−t)x₀) bằng f(x₀) với mọi z thuộc C Định nghĩa 1.9 nêu rõ rằng nếu C là tập lồi đóng không rỗng trong H và g: C → (−∞, +∞] là hàm lồi, chính thường và nửa liên tục dưới, thì toán tử gần kề của g trên C được ký hiệu là prox g(.) và được định nghĩa bởi prox g(x) := argmin g(u) + 1.
Ta có một số tính chất quan trọng của toán tử proximal
Mệnh đề 1.3 [16] Với mội x ∈ C và với mọi y ∈ C Các khẳng định sau đây là tương đương
Mệnh đề 1.4 [16] Với x, y∈ H và z ∈ C bất kỳ, ta có
Tính đơn điệu của song hàm
Để xác định tính duy nhất của nghiệm trong bài toán cân bằng, cũng như khám phá các phương pháp tìm nghiệm, cần ôn lại định nghĩa về tính đơn điệu của song hàm cân bằng f.
Cho C là tập con lồi đóng khác rỗng trong H. Định nghĩa 1.10 Song hàm f :C ×C → R được gọi là
(a) γ-đơn điệu mạnh trên C nếu tồn tại hằng số γ >0 sao cho f(x, y) +f(y, x)≤ −γ∥x−y∥ 2 , ∀x, y∈ C,
(b) đơn điệu chặt trên C nếu bất kỳ x, y ∈C và x ̸=y sao cho f(x, y) +f(y, x) 0 suy ra f(y, x) ≤0, ∀x, y∈ C
(h) para-đơn điệu chặt trên S ⊂C, nếu f là giả đơn điệu trên C và
(i) thỏa mãn điều kiện kiểu Lipschitz trên C với hằng số c 1 > 0 và c 2 >0 nếu f(x, y) +f(y, z) ≥ f(x, z)−c 1 ∥x−y∥ 2 −c 2 ∥y−z∥ 2 , ∀x, y, z ∈ C.
Từ định nghĩa trên, ta suy ra mối quan hệ sau:
Trong trường hợp tổng quát, các chiều ngược lại thường không chính xác Chú ý rằng song hàm f: C×C → R được xác định bởi f(x, y) = ⟨F(x), y−x⟩ cho mọi x, y ∈ C Theo định nghĩa, có thể dễ dàng chỉ ra rằng các khái niệm về tính đơn điệu của song hàm f và các khái niệm đơn điệu tương ứng của hàm giá có mối liên hệ chặt chẽ với nhau.
F (ví dụ song hàm f đơn điệu mạnh tương ứng với ánh xạ F là đơn điệu mạnh) là tương đương.
Ví dụ 1.2 Cho tập C 1 :={x ∈R : x≤ −2}, C 2 ={x ∈R : x < 0} và song hàm f : C×C → R xác định bởi f(x, y) = (2 +x 2 )(x−y).
Khi đó f đơn điệu mạnh trênC 1 , đơn điệu chặt trên C 2 Nhưng f không đơn điệu mạnh trên C 2
Thật vậy, với mọi x, y ∈C 1 , ta có f(x, y) +f(y, x) = (2 +x 2 )(x−y) + (2 +y 2 )(y−x)
Như vậy, f đơn điệu mạnh trên C 1 với hằng số β = 4.
Tương tự với x, y ∈C 2 , x̸= y ta có f(x, y) +f(y, x) = (x+y)(x−y) 2 0 Khi đó, ta có f(x, y) +f(y, x) ≤ −β(x−y) 2 ∀x, y ∈C 2
Chọn x = −β/4 và y = −β/2 cùng thuộc C 2 , thay vào bất đẳng thức trên ta thu được − 3β 4 ≤ −β, vô lý Dẫn đến, f không đơn điệu mạnh trên C 2
Ví dụ 1.3 Xét song hàm f : R×R → R xác định bởi f(x, y) =x 2 (y−x).
Khi đó, f giả đơn điệu trên C :=R\ {0} Nhưng f không đơn điệu trên C
Thật vậy, Giả sử x, y ∈C và f(x, y) =x 2 (y−x) ≥0 Vì xy ̸= 0, nên suy ra y ≥x và do đó f(y, x) =y 2 (x−y) ≤0 Vậy, f giả đơn điệu trên C. Mặt khác với mọi x, y ∈(−∞,0) và x̸=y, ta có f(x, y) +f(y, x) =x 2 (y−x) +y 2 (x−y) =−(x+y)(x−y) 2 >0.
Do vậy, f không đơn điệu trên C.
Một số bổ đề kỹ thuật
Trong phần này, chúng tôi sẽ tóm tắt một số kết quả đã được biết đến, những kết quả này sẽ được sử dụng để chứng minh sự hội tụ của các thuật toán trong các chương tiếp theo.
Bổ đề 1.11 [24] Giả sử {x k } là một dãy trong H và Ω⊂ H lồi, đóng thỏa mãn các điều kiện sau
(i) Với mỗi x 0 ∈ Ω, giới hạn lim n→∞∥x n −x 0 ∥ tồn tại;
(ii) Tập các điểm tụ yếu của {x n } thuộc vào tập Ω.
Khi đó {x n } hội tụ yếu tới một điểm thuộc Ω.
Bổ đề 1.12 [28] Cho {a k } và {δ k } là các dãy số thực không âm sao cho a k+1 ≤ a k +δ k , ∀k ≥0, trong đó {δ k } thỏa mãn
P k=0 δ k 0 và dãy số thực không âm {ρk} thỏa mãn
Nếu g k = 0 và ρ k ≤ ϵ, thì dừng thuật toán
Nếu g k = 0 và ρ k > ϵ, thì tăng k :=k+ 1 và quay lại Bước 1
Ngược lại, chuyển sang Bước 2.
Nếu x k+1 =x k , thì dừng thuật toán
Ngược lại, tăng k :=k+ 1 và quay về Bước 1.
Sự hội tụ của thuật toán
Thuật toán 3.1 được phát hiện thông qua định lý 3.1, trong đó giả sử song hàm f đáp ứng các điều kiện A1 đến A3 Do đó, dãy lặp {x k} được tạo ra từ Thuật toán 3.1 sẽ thỏa mãn bất đẳng thức đã nêu.
∥x k+1 −x ∗ ∥ ≤(1−2βρ k )∥x k −x ∗ ∥ 2 + 2ρ 2 k +ρ 2 k ∥g k ∥ 2 ∀k, (3.3) trong đó x ∗ là nghiệm duy nhất của bài toán EP Hơn nữa, nếu thêm giả thiết dãy {g k } bị chặn thì ta có dãy {x k } hội tụ mạnh tới x ∗
Chứng minh Từ x k+1 =P C (x k −ρ k g k ), ta có
Thay y trong (3.2) bằng x ∗ ∈C, chúng ta thu được f(x k , x ∗ ) +⟨g k , x k −x ∗ ⟩ ≥ −ρ k
−⟨g k , x k −x ∗ ⟩ ≤f(x k , x ∗ ) +ρ k (3.5) Kết hợp điều này với (3.4), suy ra
Lại có x ∗ là nghiệm của bài toán EP(f, C) tức là ta có f(x ∗ , x k ) ≥ 0, kết hợp với tính giả đơn điệu mạnh của song hàm f chúng ta thu được f(x k , x ∗ ) ≤ −β∥x k −x ∗ ∥ 2
Như vậy bất đẳng thức (3.3) được chứng minh.
Tiếp theo, chúng ta sẽ chứng minh rằng dãy {x_k} hội tụ mạnh về x∗ Theo giả thiết, dãy {g_k} bị chặn, do đó tồn tại một số C sao cho ∥g_k∥ ≤ C với mọi k Từ đó, chúng ta có thể suy ra từ (3.7).
Dựa vào điều kiện P k=1 ρ 2 k < ∞ và Bổ đề 1.12, ta có thể kết luận rằng dãy {∥x k −x ∗ ∥} sẽ hội tụ Bằng cách áp dụng đẳng thức (3.8) cho k = 1, 2, , j + 1 và cộng các bất đẳng thức theo từng vế, chúng ta thu được kết quả mong muốn.
Mặt khác {x j } bị chặn và
P k=0 ρ 2 k < ∞ Do đó từ (3.9) và (3.10) dẫn tới
∥x j −x ∗ ∥ →0 khi j → ∞ hay x k → x ∗ khi k → ∞ Định lý hoàn toàn được chứng minh.
Áp dụng vào mô hình cân bằng thị trường điện
Giả sử có n c công ty sản xuất điện, công ty thứ i(i = 1,2, , n c ) có sở hữu
Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét mô hình của một hệ thống nhà máy phát điện, trong đó véc tơ có các thành phần x i (i = 1,2, , n g), với n g là tổng số nhà máy phát điện Mỗi x i đại diện cho lượng điện năng được sản xuất bởi nhà máy phát điện thứ i Giả sử rằng giá điện p là một hàm affine của σ, trong đó σ là tổng sản lượng điện từ tất cả các nhà máy.
P i=1 x i là tổng điện năng sản xuất được của tất cả các nhà máy phát điện, cụ thể hàm p(x) được xác định như sau: p(x) =a 0 −2 n g
Lợi nhuận của công ty thứ i được xác định bởi công thức f i (x) = p(σ) X j∈I i x j − X j∈I i c j (x j ), trong đó c j (x j ) là chi phí sản xuất điện năng của nhà máy j ở mức x j Giả sử hàm chi phí c j (x j ) được xác định bởi c j (x j ) = max{c 0 j (x j ), c 1 j (x j )}, với c 0 j (x j ) = α 0 j, trong đó a 0 > 0 là một hằng số đủ lớn.
1 j j (x j ) (β 1 j +1)/β j 1 , trong đó {α k j },{β j k } và {γ j k } là các dãy thám số cho trước.
Gọi x min j và x max j lần lượt là lượng điện năng tối thiểu và tối đa mà nhà máy phát điện thứ j có thể sản xuất Từ đó, tập chiến lược của mô hình được xác định như sau.
C x= (x 1 , x 2 , , x n g ) ⊤ : x min j ≤ x j ≤ x max j , ∀j = 1,2, , n g Bằng cách định nghĩa các ma trân A, B như sau
0 trong các trường hợp khác và a= −a 0 n c
Để tìm điểm cân bằng Nash trong mô hình sản xuất điện, cần xác định nghiệm của bài toán cân bằng với tập ràng buộc C và hàm giá dạng f(x, y).
Tuy nhiên f có thể không có tính đơn điệu trên C, nên ta thay f bởi f¯được xác định như sau f¯(x, y) =f(x, y)− 1
Dễ thấy khi đó f¯giả đơn điệu mạnh trên C và bài toán cân bằng với song hàm f và bài toán cân bằng với song hàm f¯có cùng tập nghiệm.
Sau đây ta xét một ví dụ cụ thể
Nhà máy điện A và B có hàm chi phí lần lượt là c(x1) = lnx1 và c(x2) = lnx2 Giá bán điện được xác định bởi p = 10 - 1/2 Q, với Q là tổng sản lượng điện của cả hai nhà máy Chúng ta sẽ áp dụng Thuật toán 3.1 để xác định điểm cân bằng Nash cho mô hình sản xuất điện này.
Giải: Ta có hàm lợi nhuận của các nhà máy lần lượt là:
Tập ràng buộc C =C 1 ×C 2 Khi đó, điểm cân bằng Nash cho mô hình sản xuất điện trên chính là nghiệm của bài toán cân bằng EP( ¯f , C).
Bảng 3.1: Kết quả chạy Thuật toán 3.1
Từ đó ta có song hàm f¯: f¯(x, y) =f(x, y)− 1
2x 2 2 −10x 2 + lnx 2 −(y 1 −x 1 ) 2 −(y 2 −x 2 ) 2 Áp dụng Thuật toán 3.1 cho bài toán EP( ¯f , C), trong đó chọnρ k = 1 k , điểm xuất phát x 1 = (10,20), sai số ϵ= 10 −3
Ta thu được kết quả ghi nhận trong Bảng 3.1.
• Một số kết quả đạt được trong đề tài:
1) Nghiên cứu đề xuất thuật toán đạo hàm tăng cường quán tính cho bài toán cân bằng với giả đơn điệu.
2) Đề xuất thuật toán chiếu dưới đạo hàm cho bài toán cân bằng trên tập nghiệm của bài toán cân bằng giả đơn điệu.
3) Phát biểu và chứng minh chi tiết các định lý về sự hội tụ của các thuật toán đề xuất về nghiệm của bài toán cân bằng.
4) Nghiên cứu đưa ra các ví dụ số cho các thuật toán đồng thời so sánh với một số thuật toán trước đó.
• Một số hướng có thể tiếp tục mở rộng nghiên cứu tiếp theo của đề tài:
1) Nghiên cứu các thuật toán giải bài toán cân bằng với các điều kiện giảm nhẹ cho các song hàm.
2) Nghiên cứu bài toán với tập ràng buộc là tập nghiệm của bài toán khác.
3) Cải thiện tốc độ cũng như thời gian tính toán của các thuật toán đã được đề xuất bằng cách kết hợp với một số kỹ thuật như kỹ thuật lặp Halpern, kỹ thuật lặp Mann,
4) Nghiên cứu đánh giá tốc độ hội tụ của thuật toán, cách chọn tham số để có được sự hội tụ tốt hơn.
[1] Phạm Ngọc Anh (2015), Các phương pháp tối ưu và ứng dụng, NXB Thông tin và Truyền thông, Hà Nội.
[2] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, NXB Khoa học và
[3] Lê Dũng Mưu (1998), Nhập môn các phương pháp tối ưu, NXB Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội.
[4] P.N Anh, L.T.H An (2013), "An Armijo-type method for pseudomono- tone equilibrium problems and its applications", Journal of Global Op- timization 57, pp 803-820.
[5] P.N Anh, L.T.H An (2019), "New subgradient extragradient meth- ods for solving monotone bilevel equilibrium problems", Optimization 68(11), pp 2097-2122.
[6] H Brezis (1987),Analyse Fonctionnelle: Thorie et Applications, MAS- SON.
[7] H.H Bauschke, P.L Combettes (2011), Convex analysis and monotone operator theory in Hilbert spaces, Springer, New York.
[8] G Bigi, M Castellani, M Pappalardo, M Passacantando (2019), Non- linear Programming Techniques for Equilibria , Springer Nature Switzer- land AG 2019.
[9] G Bigi, G Kassay, A Capata (2012), "Existence results for strong vec- tor equilibrium problems and their applications", Optimization 61, pp. 567–583.
[10] A Bnouhachem (2006), "An LQP method for psedomonotone variational inequalities", Journal of Global Optimization 36, pp 351-363.
[11] S Carl, V.K Le (2021), Multi-Valued Variational Inequalities and In- clusions, Springer.
[12] K Fan (1972), A minimax inequality and applications, in: O Shisha, Inequality III, Proceeding of the Third Symposium on Inequalities, Aca- demic Press, New York.
[13] H Iiduka (2012), "Fixed point optimization algorithm and its applica- tion to power in CDMA data networks", Mathematical Programming
[14] A.N Iusem, W Sosa (2003) "New existence results for equilibrium prob- lems", Nonlinear Analysis 52, pp 621-635.
[15] G Kassay, V.D Radulescu (2019), Equilibrium Problems and Applica- tions, Elsevier.
[16] I.V Konnov (2000), Combined Relaxation Methods for Variational In- equalities, New York, Berlin, Springer-Verlag.
[17] I.V Konnov (2003), "Application of the proximal point method to non- monotone equilibrium problems", Journal of Optimization Theory andApplications 119, pp 317–333.
[18] G.M Korpelevich (1976), "Extragradient method for finding saddle points and other problems", Matecon 12, pp 747-756.
[19] P.E Maingé (2008), "A hybrid extragradient-viscosity method for mono- tone operators and fixed point problems",SIAM Journal of Control Op- timization 47, pp 1499-1515.
[20] L.D Muu, W Oettli (1992), "Convergence of an adaptive penalty scheme for finding constrained equilibria", Nonlinear Analysis, Theory Methods Applications 18, pp 1159-1166.
[21] Muu L.D., Quoc T.D.: Regularization Algorithms for Solving Monotone
Ky Fan Inequalities with Application to a Nash-Cournot Equilibrium Model J Optim Theory Appl.,142, 185-204 (2009)
[22] Muu L.D., Quy N.V., Nguyen V.H.:On Nash-Cournot Oligopolistic Mar- ket Equilibrium Models with Concave Cost Functions J Glob Optim.
[23] H Nikaido, K Isoda (1955), "Note on noncooperative convex games", Pacific Journal of Mathematics, pp 807-815.
[24] Z Opial (1967), Weak convergence of the sequence of successive ap- proximations for nonexpansive mappings Bull Am Math Soc 73, pp. 591–598.
[25] T.D Quoc, L.D Muu, V.H Nguyen (2008), "Extragradient algorithms extended to equilibrium problems", Optimization 57 (6), pp 749-776.
[26] R.T Rockafellar (1970), Convex Analysis, Princeton University Press,Princeton, NJ.