Cơ Học Chất Lỏng Ứng Dụng - Hoàng Văn Quí Và Những Người Khác.pdf

M ột khối lượng chất lỏng cho trước chiếm m ột thế tích xác dịnh, nếu dung tích binh - Các khí tương đối dễ nén; thể tích khí biến đổi trong phạm vi lớn khi thay đổi ásuất và nhiệt độ..

HOÀNG VĂN QUÍ (chủ biên) - NGUYỄN ĐỈNH LƯƠNG

LÊ BÁ SƠN - ĐỖ HỮU THÀNH - LÊ VĂN THUẬN

LỜI NÓI ĐẦU

C ơ học chất lỏng là lĩnh vực cơ học đóng vai trò quan trọng đối với nhiều ngành k ĩ thuật có Hên quan đến chất lỏng và khí như thuỷ lợi, giao thông, hàng không, c h ế tạo m áy v.v Những kiến thức về cơ học chất lỏng là hết sức cẩn thiết và không th ể thiếu đối với người k ĩ sư thiết kế, xây dựng, c h ế tạo và vận hành các công trình và máy móc Chính vì vậy mà môn Cơ học chất lỏng luôn có mặt trong chương trình đào tạo nhiều chuyên ngành ở bậc đại học cũng như sau đại học.

Cuốn sách này được biên soạn trên cơ sở đ ề cương môn C ơ học chất lỏng ứng dụng của các lớp cao học chuyên ngành xây dicng công trình thuỷ, Trường đại học Xầy dựng được sử dụng từ nhiều năm nay, với những điều chinh và b ổ sung về nội dung, dùng làm giáo trình giảng dạy và học tập cho các lớp cao học và k ĩ sư chất lượng cao thuộc nhiều ngành khác nhau, cũng nliư làm tài liệu tham khảo cho những người nghiên cứu Phấn lí thuyết được trình bày à mức vừa phải, theo phương châm hướng đến iơĩg dụng thực tế Các bài tập kèm theo đáp s ố cuối mỗi chương có th ể phần nào giúp cho người đọc tự kiểm tra mức độ lĩnh hội lí thuyết của mình.

Giáo trình này do m ột tập th ể giáng viên lâu năm của Bộ môn Thuỷ lực - Thtiỷ ván Trường đại học Xây dựng biên soạn, gồm PGS TS Hoàng Văn Quỷ (chủ biên), PGS TS Nguyễn Đình Lương, TS Lê Bá Sơn, TS Đ ỗ Hữu Thành và TS Lê Văn Thuận.

Mặc dầu đ ã có nhiều c ố gắng, song chắc chắn thiếu sót là không thể tránh khỏi Các tác già xin chân thành cảm ơn ỷ kiến nhận xét của bạn đọc.

N hững người biên soạn

3

Trong đời sống hàng ngày thường ta phán biệt ba trạng thái của vật chất: rắn, lỏng và khí Mậc dầu có sự khác nhau về nhiều mặt nhưng chất lỏng và khí vẫn có chung những đặc truiỊg tổng quát phân biệt với chất rắn.

Trong môn Cơ học chất lỏng, thuật ngữ chất lỏng (tiếng Anh: fluid) được hiểu theo nghĩa rộng, bao gồm chất lòng giọt (thuật ngữ được Liên Xô cũ và Nga sử dụng; tiếng Anh: liquid) như nước, thuỷ ngân, dấu , và các khí (tiếng Anh: gas) như không khí, khí oxygen, khí hydrogen v.v Trong tài liệu này nói chung sẽ không dùng thuật ngữ chất lỏng theo nghĩa rộng, mà từ chất lỏng được dùng để chỉ riêng chất lỏng giọt

Chất lỏng và khí có các tính chất tổng quất dưới đây:

- Chất lỏng rất khó nén (thể tích

chất lỏng giảm xuống không đáng kể

khi lực nén tăng lên), vì vậy trong

nhiều bài toán thường gập, chất lỏng

được coi là không nén được M ột khối

lượng chất lỏng cho trước chiếm m ột

thế tích xác dịnh, nếu dung tích binh

- Các khí tương đối dễ nén; thể tích khí biến đổi trong phạm vi lớn khi thay đổi ásuất và nhiệt độ M ột khối lượng khí cho trước không có thể tích xác định và dãn ra liêtục choán đầy bình chứa, vì vậy không có m ặt tự do (hình l.lb )

1 M ật độ khối (hay khối lượng riêng, khối lượng thể tích), được kí hiệu là p, là khc

lượng của đơn vị thể tích chất ta xét

M ật độ khối tại m ột điếm được định nghĩa như sau:

Y = pg ( 1_2)Với g - gia tốc trọng trường (g = 9,81ms'2).

Đơn vị của y: Nm‘3

Các trị số điển hình: -Nước: y = 9,81.103 Nm 3

- Không khí: y = 12,07 Nm‘3

3 T ỉ khối (hay tỉ trọng), được kí hiệu là ô, là tỉ số giữa mật độ khối của chất ta xét và

mật độ khối của chất lấy để so sánh

Đối với chất rắn và chất lỏng:

ô = p của chất rắn/p của nước ở 4 °c

Đối với các khí: đại lượng 5 ít được dùng Khí lấy để so sánh có thể là không khí hoặc khí hydrogen Rõ ràng là s không có đơn vị

Các trị số điển hình: - Nước: s = 1,0

- Dầu: ô = 0,9

Sau đây ta dùng các thuật ngữ: mật độ hay khối lượng riêng (kí hiệu là p), trọng lượng riêng (kí hiệu là y) và tỉ trọng (kí hiệu là S)

4 T h ể tích riêng là thể tích của đơn vị khối lượng, tức là p '1, đơn vị là m3kg"1 Đại

lượng này chỉ đôi khi được sử dụng

1.2.2 Tính nhớt

1 ứ ng suất ma sát nhớt

Một thể tích chất lỏng (khí) chuyển động được thể hiện như tập hợp các phần tử dịch chuyển tương đối đối với nhau, song sự dịch chuyển này không phải hoàn toàn tự do mà bị

cản trở vì giữa các phân tử có sự liên kết nhất định Sự liên kết này tạo nên tính nhớt của

chất lỏng (khí) Vậy tính nhớt là khả năng của chất lỏng (khi') có thể chống lại sự dịch

chuyển tương đối của các phần tử, nghĩa lả khả năng tạo nên lực ma sát hay lực nhớt Vì

thế, tính nhớt là nguyên nhân gây nên sự tiêu tấn

năng lượng trong chất lỏng (khi') chuyển động

Hình dung chất lỏng (khí) gồm các lóp phẳng

rất mỏng chuyển động song song với nhau theo

phương X dọc theo tấm phẳng (biên rắn) cô' định

(hình 1.2), vận tốc chuyển động (lưu tốc) của

mỗi lớp là ux Ở mặl biên rắn ux = 0 (chất lỏng

hoặc khí dính vào mặt biên do có tính nhớt); ux

tăng dấn cùng với khoảng cách y tính từ biên rắn

tạo nên biểu đồ phân bố lưu tốc ux = f(y) Trong

trường hợp này, đối với chất lỏng (khí) tuân theo

7

định luật N ewton về nhớt, ứng suất m a sát nhớt (theo phương x) trên m ặt tiêp xúc giưa

hai lớp cách biên rắn m ột khoảng y được xác định theo công thức:

dy

N ghĩa là độ lớn của ứng suất phụ thuộc vào građien lưu tốc theo phương y thông qua

hệ số |i, được gọi là hệ số nhớt động lực

2 H ệ sô'nhớt động lực

Hộ số |i là m ột trong những đặc trưng vật lí quan trọng nhất của chất lỏng (khi')

Từ (1-3) ta có:

T _ Lực X Thời gian _ K hối lượng

^ du dy_l ~ D iện tích C hiều dài X Thời gianĐơn vị: N sm '2 = k g m ' s 1, nhưng thường dùng đơn vị poise (Po), lP o = O Jk g m ' s 1 Các trị số điển hình: -N ư ớ c: |i = l,1 4 1 0 ‘2Po

Các chất lỏng tuân theo định luật về nhớt của N ew ton (phương trình 1-3) trong dó |i

có giá trị không đổi, được gọi là chất lỏng N ew ton (giữa T và — có quan hé tuyến

dytính) Chất lỏng không tuân theo định luật (1-3) được gọi là chất lỏng phi N ew ton như trong một số trường hợp dẫn ra dưới đây:

- Đối với số lớn dung dịch keo (mực, scm, sữa ):

n _ du

Trong đó n * 1, n = const

- Đối với vật liệu dẻo và số lớn bột nhão:

T = T0 + (X— (đinh luât Bingham)

dy

(1-6)

Trong đó: T0, (I là các hằng số

5 Chất lỏng (khi) thực và chất lỏng (khí) lí tưởng

Các chất lỏng (khí) tổn tại trong thực tế luôn luôn có tính nhốt (n * 0), được gọi là

chất lỏng (khí) thực hoặc chất lỏng (khí) nhớt (nếu xét riêng về tính nhớt)

Trong nhiều chuyển động của chất lỏng (khí), có thể bỏ qua tác dụng của lực ma sát nhớt so với các lực khác như áp lực, trọng lực, lực quán tính Từ đó ta có thể tìm đuợc lời giải lí thuyết đối với chuyển động (lời giải ứng với điều kiện không tính đến lực nhót)

Và cũng từ đó dẫn đến khái niệm chất lỏng (khi') lí tưởng: chất lỏng (khí) không có tính nhớt (n = 0) Như vậy, nếu chỉ xét về tính nhót, chất lỏng (khí) lí tưởng còn có thể gọi là chất lỏng (khí) không nhớt Chất lỏng (kh0 lí tưởng không tồn tại trong thực tế

Dựa vào khái niệm này, nói chung có thể giải bài toán chuyển động của chất lỏng (khí) thực theo trình tự sau:

- Bước 1: Coi chất lỏng (khí) thực như chất lỏng (khí) lí tưởng (bỏ qua lực nhót), tìm lời giải lí thuyết cho bài toán Lời giải này thường rất có giá trị

- Bước 2: Đưa lời giải lí thuyết đến lời giải thực tế (ứng với điều kiện có lực nhót) bằng cách tiến hành phân tích thí nghiệm

6 Khí hoàn thiện

Khí hoàn thiện là khí mà phương trình trạng thái của nó chính là phương trình Gapeyron:

Trong đó: n - số mol (mole) khí chứa trong thể tích V có khối lượng m cho trước

( n = , M m là khối lương của môt mol khí);

M m

T - nhiệt độ tuyệt đối, được biểu diễn bằng độ Kelvin (°K):

T(°K) = 273 + t(°C)

R - hằng số khí thông dụng Đối với khí hoàn thiện: R = 8,314 Jm o r' “K 1;

p - áp suất tuyệt đối, có đcm vị là Pa = Nm"2

r được gọi là hằng số khí (các khí khác nhau có giá trị cùa r khác nhau) Trong hê SI đơn vị của r là Jkg‘‘ °K '‘

Trong các bài toán thực tế, thường ta đồng nhất khí được xét với khí hoàn thiện tương ứng, nghĩa là áp dụng (l-7 a ) cho khí thực Đ iều này cho kết quả chấp nhận được chi VƠI trường hợp áp suất không lớn.

1.2.3 Sơ lược về nhiệt động lực

1 H ệ th ố n g c ơ - n h iệt

a) Các đặc trung của hệ thống cơ - nhiệt

Người ta gọi hệ thống (nói riêng là hệ thống cơ - nhiệt) là tập hợp các vật thể rắn, lỏng và (hoặc) khí được tách (m ột cách giả định hoặc thực tế) khỏi phần còn lại của vũ trụ; phần còn lại này được gọi là m ôi trường ngoài V í dụ: xilanh, pittông và khí chứa trong buồng kín của xilanh tạo nên m ột hệ thống cơ - nhiệt

Hệ thống có thể là:

- Mở: nếu nó có thể trao đổi cả vật chất và năng lượng với m õi trường ngoài;

- Đ óng: chỉ trao đổi năng lượng m à không trao đổi vật chất;

- Cách li: không thể trao đổi cả vật chất và năng lượng với m ôi trường ngoài.

M ột hệ thống đóng trong đó sự trao đổi năng lượng diễn ra chủ yếu dưới dạng chuyển

nhượng nhiệt lượng đuợc gọi là hệ thống nhiệt (tủ lạnh, m áy điều hoà nhiệt độ).

b) Trạng thái trong của hệ thống

Ở m ột thời điểm , trạng thái trong của hệ thống được xác định bằng các thông số cơ - nhiệt như thể tích, m ật độ, áp suất, nhiệt độ, thành phần hoá học v.v H àm liên hệ giữa

các thông số này được gọi là lìàm trạng thái.

- Ta gọi sự biến đổi của trạng thái trong là tập hợp các thông số, m ột m ặt xác định trạng thái và sự phân bố lưu tốc lúc đầu, m ặt khác xác định trạng thái và sự phân bố lưu tốc lúc cuối

- Ta gọi quá trình thực hiện sự biến đổi nói trên là chuỗi các trạng thái trung gian và các hàm của thời gian m ô tả sự tiếp nối của chúng

c) Biến đổi đẳng nhiệt, đoạn nhiệt, đẳng áp, đẳng tích

- Biến đổi đẳng nhiệt: T rong qu á trình biến đổi, n h iệt độ của hệ th ố n g được giữ không đổi

- Biến đổi đoạn nhiệt: Trong quá trình biến đổi, không có sự trao đổi nhiệt giữa hệ thống và môi trường ngoài

- Biến đổi đẳng áp: Biến đổi được thực hiện dưới áp suất không đổi

- Biến đổi đảng tích: Biến đổi đuợc thực hiện trong điều kiện thể tích không đổi

d) Chu trình

Hệ thống sẽ thực hiện được một chu trình nếu sau m ột chuỗi các biến đổi trạng thái cuối của nó trở lại giống hệt với trạng thái ban đầu, các thòng số cơ - nhiệt có cùng gia trị

10

2 N guyên lí th ứ nh ấ t của nhiệt động lực

a ) Công nguyên tố trong trường hợp hệ thống chịu áp lực ngoài

Thường thì lực duy nhất có thể sinh công là áp lực, nói riêng là áp lực khí quyển Công này được biểu thị như sau:

Trong đó: p - áp suất ngoài; áp suất này sẽ bằng áp suất trong nếu sự biến đổi diễn

ra rất từ từ (biến đổi tựa tĩnh);

dV - lượng biến đổi của thể tích khí

Đối với một biến đổi hữu hạn ta có:

v2

V,Nói chung, để tính w theo (1-9) phải biết hàm p = p(V)

b) Nguyên lí thứ nhất của nhiệt động lực

Nguyên lí này được phát biểu như sau: khi hệ thống đóng thực hiện một chu trình thì:

Biểu thức (1-10) nói rằng đối với hệ thống đóng, tổng đại số của công (W) và nhiệt lượng (Q) mà hệ thống cung cấp cho môi trường ngoài hay nhận được từ môi trường ngoài trong một chu trình là luôn bằng không w và Q có trị số tuyệt đối bằng nhau nhưng trái dấu nhau, vì vậy nguyên lí này còn được gọi là nguyên lí tưcmg đương (cơ - nhiệt).Đối vói hệ thống cách li ta có ngay:

w = Q = 0

Vì tổng số (W + Q) không phụ thuộc đường đi, tức là không phụ thuộc vào chuỗi các trạng thái trung gian nối liền trạng thái đầu và trạng thái cuối, nên nguyên lí thứ nhất còn được gọi là nguyên lí về trạng thái đầu và trạng thái cuối:

w a + Qa = w b + Qb(Đường đi a) (Đường đi b)

a) Biến đổi đẳng tích và nội năng

Trong biến đổi đẳng tích, V = const nên dV = 0, do đó w = 0, và:

N hư vậy, biến đổi của nội nãng bằng nhiệt lượng được trao đổi

b) Biêh đổi đẳng áp và enthalpie

Trong biến đổi đẳng áp, p = const nên w = - p ( v 2 - V ị) , do đó:

Q = A U - W = U 2 - U , + p ( V 2 - V ị )

= ( U2 +pV2) - ( U 1+ p V 1)

được gọi là enthalpie, có đơn vị là J

V ậy trong tm ờng hợp này:

tức là: biến đổi của enthalpie bằng nhiệt lượng đuợc trao đổi

c) N hiệt dung khối của các khí

Gồm: - N hiệt dung khối đẳng áp:

(1-17)

' p m V ôTTrong đó: m - khối luợng khí;

T - nhiệt độ tuyệt dối của khí

- N hiệt dung khối đẳng tích:

c T J vĐơn vị của Cp, c v là Jkg 1 °K 1

4 Biến đổi thuận - nghịch và không thuận - nghịch

- Hệ thống được coi là cán bằng cơ - nhiệt khi trạng thái của nó không đổi theo thời gian

- Biến đổi tựa tĩnh là biến đổi được thực hiện rất từ từ, có thể xem nó như là chuỗi cáctrạng thái cân bằng k ế tiếp rất gần nhau

- Biển đổi thuận - nghịcli là biến đổi khi:

+ Một biến đổi ngược với nó là có thể thực hiện được

+ Biến đổi ngược này được thực hiện với công

w = - W (W - công của lực ngoài)

12

- Biến đổi thuận - nghịch chỉ có thể có đối với khí lí tưởng hoặc đối với khí thựcnhưng biến đổi được thực hiện rất từ từ (biến đổi tựa tĩnh) và chỉ diễn ra trong khoảng thời gian ngắn Các biến đổi đẳng nhiệt luôn luôn là biến đổi thuận - nghịch.

- Biến dối không tliuận - nghịch là biến đổi mà:

+ Biến đổi ngược với nó là không thể thực hiện được;

+ Biến đối ngược cũng có thể thực hiện được nhung với w * w

Các biến đổi trong thực tế, các biến đổi tự phất nói chung là biến đổi không thuận nghịch (quả bom nổ, quả bóng vỡ )

-5 A p dụ n g nguyén lí th ứ nhất cho k h í hoàn thiện

Đ ối với không khí: r = 287 J k g '1 “K"1; k a 1,40.

c) Biến đổi đẳng nhiệt

Ta có T = const nên u = const, AU = 0, W + Q = 0, Q = - W , với:

w = p, V ^ n í V , ^ ) = nR Tln(p2/P |) = n R T ln (V ,/V 2)Đặt T = const thì từ phương trình (l-7 a ) ta có công thức Boyle M ariotte:

p/p = const

d) Biến đổi đoạn nhiệt - H ệ thức Laplace

Trong trường hợp này Q = 0, do đó AU = w

X ét biến đổi đoạn nhiệt thuận - nghịch: Từ (1-18) ta có dQ = d Q r = thuận - nghịch)

dp dp _ k dT

(1-21)

p p k - 1 TTrong trường hợp tỉ số các nhiệt dung khối độc lập với nhiệt độ, tức k = const, nêu gọ* Pb P |, T, là các thông sô' của một trạng thái xác định đã biết nào đó của khí thì tích phân đối với (1-21) ta sẽ nhận được phương trình:

Như vậy, trong một biến đổi đoạn nhiệt thuận - nghịch, khí hoàn thiện nghiệm đúng đồng thời:

- Phương trình trạng thái (1-7 hay l-7a);

- Hệ thức Laplace (1-21 hay l-22a)

Biến đổi đoạn nhiệt thuận - nghịch của khí hoàn thiện luôn luôn kèm theo sự biến đổi của nhiệt độ khí Trong trường hợp này công của môi trường ngoài sẽ là:

6 N guyên lí th ứ hai của nhiệt động lực

a) Phát biểu của nguyên lí thứ hai của nhiệt động lực

Lấy ví dụ: Một gam chất nổ ở trạng thái A nào đó, khi nổ (tự phát, không thuận - nghịch) sẽ chuyển sang trạng thái B v ề mặt lí thuyết, có thể thu hồi các sản phẩm khí của vụ nổ và đo năng lượng được giải phóng từ sự biến đổi A —> B

Nguyên lí thứ nhất - nguyên lí tương đương - khắng định rằng xuất phát từ B và bằng cách cung cấp cho hệ thống một năng lượng bằng số năng lượng đã được giải phóng khi

nổ, ta có thể nhận lại được A, tức là 1 gam chất nổ Song mọi người đều biết: nếu biến đổi A -> B là hiện thực thì biến đổi B -» A là không thể được

Vì vậy, cần phát biểu Ihém nguyên lí xác định chiều của quá trình biến đổi, đó là nguyên lí thứ hai của nhiệt động lực Một dạng phát biểu của nguyên lí này như sau:

"Nếu một biến đổi tự phát có thể xảy ra thì biến đổi ngược của nó là không thể"

b) Entropie

Người ta gọi entropie của khí hoàn thiện là hàm trạng thái s mà vi phân của nó bằng

tí số giữa vi phân cùa nhiệt lượng nhận được với nhiệt độ tuyệt đối của hệ thống’

dS =dQ (1-23)

Nếu biến đổi là đoạn nhiệt thuận - nghịch, ta có dQ = dQ r = 0, dS = 0, do đó s - const:

ì thế sự biến đổi này còn được gọi là đẳng entropie.

Từ (1-18) và kết hợp với (l-7 a ), nếu viết cho đom vị khối lượng khí ta có:

lay nếu coi k = —— = c o n s t, ta có:

Cv

s — S| = c v ln — + rln ' V ' = rln — V í t ')

Ịk-1

(1-24)

(l-2 4 a )

16

Ta có nhận xét:

- M ột hệ thống cách li dối với môi trường ngoài: dQ = 0, AS > 0, s > S |, entropie không thể giảm;

- M ột hệ thống cách li đối với môi trường ngoài, nếu biến đổi là thuận - nghịch thì

AS = 0, s = Sị, entropie giữ giá trị không đổi (đẳng entropie)

1.2.4 Tính nén được và môđun đàn hồi thể tích của chất lỏng (khí)

Tính nén được của chất lỏng (khi') được thể hiện ờ chỗ với khối lượng cho trước (m = const), thể tích ban đầu (V) của chất lỏng (khi') giảm xuống đến trị số V - ỖV khi

áp suất nén (p) tác dụng đều lên mặt bao quanh tăng lên đến p + ôp Quan hệ giữa Sp và

s v / v phụ thuộc vào môđun đàn hồi thể tích (K) của chất lỏng (khí):

Dấu trừ (-) chỉ rõ thể tích giảm xuống khi áp suất nén tăng

Lấy giới hạn khi Sp —> 0, ta có:

Quan hệ giữa sự biến đổi của mật độ (p) và của áp suất khí (p) được đặc trưng bằng

vận tốc truyền ăm thanh trong môi trường khí (xem mục 6.2.10, chương 6):

Đối với nước, trị số K tăng lên 2 lần khi áp suất nén tăng từ 1 đến 3500at.

1.3.2 Lực khối lượng (còn gọi là lực khôi; trong trường hợp p = const còn gọi là

lực th ể tích): bao gồm trọng lực, lực quán tính Các lực này tác dụng lên từng phần tử chất lỏng (khí) của thể tích ta xét

Lực khối ( F ) tác dụng lên khối lượng m của chất lỏng (khi') đổng chất được biểu diễn như sau:

f = -gradN (1-31)

nghĩa là:

f „ = - - ổx _ _ ỔN

Tác dụng của các lực ngoài dẫn đến phát sinh trạng

(khí) Áp suất có liên quan đến ứng suất

G iả sử mặt s chia khối chất lỏng (khí) thành 2

miền A và B (hình 1.3) Loại bỏ miền B đi, để giữ

cho miền A ở trạng thái ban đầu ta phải đặt lên tất

cả phần tử của mặt s một hệ thống lực liên tục

Trên mỗi phần từ diện tích AS chứa điểm M, lực

tác dụng của phần B lên phần A là AF có cùng

bậc với AS, do đó vectơ A F/A S có độ lớn hữu

hạn Khi AS —»■ 0 quanh M, vectơ này tiến đến giới

pháp tuyến này được gọi là áp suất tại một điểm hay gọi gọn là áp suất.

Cần lưu ý: áp suất là đại lượng vô hướng; chỉ có thể biểu diễn nó thành vectơ khiphần tử diện tích chứa điếm ta xét có phương đã được xác định

Đơn vị áp suất:

+ Trong hệ SI, áp suất có đơn vị là Nm 2 hay Pa (pascal):

lPa = lN m '2

Một đơn vị khác là bar: lb ar = 10sPa

thái ứng suất trong chất lỏng

19

So sánh đơn vị bar và đơn vị kG cm '2:

lk G c m '2 = 104kG m ‘2 = 0,981.105N m '2 = 0,981bar

(lk G = 9,81N)

+ Áp suất còn được biểu thị bằng đơn vị atm osphe (at):

Trong kĩ thuật người ta lấy la t = 0,981bar

Á p suất khí quyển ở m ặt biển được lấy bằng: pa = lat

+ Trong cơ học chất lỏng, áp suất còn được biểu thị bằng chiều cao cột chất lỏng (hp):

hp = p/pg = p/y

Trong đó y là trọng lượng riêng của chất lỏng Theo đó thì la t k ĩ thuật tương ứng với:

- Đ ối với thuỷ ngân (y = 13,6 Ynước): hp = 0,735m = 735m m H g

Trong dó: hp được gọi là chiều cao áp suất hay cột nước áp suất.

Cần chú ý rằng th u ật ngữ cột nước (tiếng A nh: w ater head) tương ứng với chiều cao, dùng chung cho m ọi chất lỏng chứ không chỉ đối với nước (2 từ cột nước không tách rời nhau)

hp được hiểu là chiều cao của hình trụ đứng chất lỏng (trọng lượng riêng là ỵ) có diện tích đáy bằng dơn vị m à trọng lượng của nó bằng p

Bài 1.3 M ột bình hình trụ chứa 356dm3 không khí ở nhiệt độ 49°c dưới áp suất tuyệt đối 27,47.105Nm"2 Người ta nén thể tích không khí này cho đến khi chỉ còn 70dm3 Lần lượt coi quá trình nén là đẳng nhiệt và đoạn nhiệt, hãy xác định nhiệt độ cuối (T2), áp suất cuối (p2) và môđun đàn hồi của khí (K) Lấy k = 1,40.

Đ áp số: 1)T 2 = T, = 3 1 2 K

P2 139,7.105N m '2

K = p2 = 139,7.105Nm’2

2) T2 = 616°K = 343°c P2 = 267,0.105Nm’2

K = kp2 = 373,8.105Nm’2Bài 1.4 M ột hình trụ tròn trục đứng bán kính ngoài 12cm quay trong một hình trụ tròn khác đồng trục đứng yên có bán kính trong 12,6cm Chất lỏng có hệ số nhót cán

đo chứa đầy khoảng không gian giữa 2 hình trụ Xác định độ nhót của chất lỏng nếu

2 hình trụ này có cùng chiều dài 30cm Biết rằng khi hình trụ trong quay với vận tốc góc không đổi n = 60 vòng/phút thì phải đặt lên hình trụ ngoài một mômen ngược chiều

là 0,8829N m để giữ cho hình trụ này đứng yên

Bài 1.5 Một chất lỏng có hệ số nhớt n = 47,87.10'2Po và mật độ p = 913kgm"3 Tính

građien lưu tốc và ứng suất ma sát ờ thành rắn và ờ các điểm cách thành 25mm, 50mm, 75mm trong hai trường hợp sau:

1) Phân bố của lưu tốc là tuyến tính: u = 15y

2) Phân bố của lưu tốc là parabol: u :

C h ư ơ n g 2

S ự CÂN BẰ NG CỦA CH Ấ T LỎ NG VÀ K H Í

Ta sẽ nghiên cứu chất lỏng và khí ở trạng thái cân bằng, nghĩa là trong điều kiện các lực ngoài tác dụng lên chất lỏng (khí) cân bằng nhau

Dựa vào lực khối tác dụng, ta phân biệt 2 dạng cân bằng:

- Cân bằng tương đối: khi trọng lực không phải là lực khối duy nhất

- Cân bằng tuyệt đối: khi trọng lực là lực khối duy nhất Đ ây là trường hợp thường gặp nhất trong thực tế, là trường hợp chất lỏng (khí) đứng yên so với quả đất, là trường

hợp càn bằng của chất lỏng (khí) trọng lực.

Trong cả 2 trường hợp cân bằng, ta đều có du/dy = 0, do đó T = 0: chất lỏng (khi') càn bằng có thể xem như chất lỏng (khi') không nhớt

2.1 Á P SUẤT TRO N G CHAT LỎN G (K HÍ) CÂ N BẰN G

Ta sẽ chứng minh rằng độ lớn của áp suất (p) trong chất lỏng (khi') cân bằng chỉ là hàm

số của vị trí điểm được xét, không phụ thuộc độ nghiêng của phần tử (của m ặt) m à nó tác dụng, hay nói cách khác, áp suất tại một điểm có độ lớn như nhau theo mọi phương.Tách khỏi thể tích chất lỏng (khí) cân bằng

một khối tứ diện vuông góc OABC có các

cạnh rất nhỏ theo các trục X, y, z là ôx, Sy, ôz

(hình 2.1) Áp suất từ chất lỏng (khi') bao

quanh tác dụng lẽn các m ặt hình tam giác

OBC, OAC, OAB và ABC lần lượt là px, py, p2

và pn hướng vuông góc từ ngoài vào trong

Phương trình cân bằng lực đối với thể tích

Chiếu (2-1) lên trục toạ độ, chẳng hạn lên trục y, ta có:

ôPy - SPn cos(y, n) + SFky = 0Trong đó: n - pháp tuyến ngoài đối với mặt ABC

ÔFky = Sm.fy = pôv.fy = pỗxỗyôz.fy

Thế các đại lượng liên quan vào (2-la) rồi chia 2 vế cho ôxỗz ta được:

P y - P n + ~ 8 y fy = °

Cho ôx, ôy, Sz —> 0, ta được: py = pn

Tiến hành tương tự đối với các hình chiếu cùa (2-1) lên trục X và z, ta được thêm:

Ta sẽ nghiên cứu luật phân bố áp suất

trong chất lỏng (khí), nghĩa là thiết lập

song với các trục của hệ toạ độ Descartes

oxyz (hình 2.2) Khối lượng của hình hộp

là Sm = pỗxỗyỗz Áp suất tại tâm M(x, y,

z) của hình hộp là p(x, y z)

23

Khối này đuợc giư cân bằng như lúc đầu bằng hộ lực ngoài sau đây:

- Lực mặt: gồm áp lực từ chất lỏng (khí) bao quanh lên 6 m ặt (hướng vào và vuông óc) của hình hộp

- Lực khối: đặt tại M , hướng bất kì (trường hợp tổng quát)

Phương trình cân bằng lực đối với hình hộp được viết nh u sau:

Trong đó: ôPly = p ly SABCD = p lyỗxôz

ỖP2y = p 2y S EFGH = p 2yỗxôz

ii p ly và p2y là áp suất tác dụng lên m ặt ABCD và EFG H , có thể biêu thị qua áp suất p

li tâm M nhờ khai triển Taylor:

5Fky = õm.fy = p5xỗyôz.fy

T hế các đại lượng liên quan vào (2-4a) và chia 2 vế cho pôxôyôz, ta được:

Đây là hệ phương trình vi phân tổng quát về cân bằng của chất lỏng (khí), còn gọi là phương trình Euler (được Euler thiết lập nãm 1755).

Viết dưới dạng vectơ ta có:

f g rad p : p

với dp là vi phàn toàn phần của p (x, y, z).

Đối với chất lỏng (khí) trọng lực cân bằng f = g ( g - gia tốc trọng truờiig) nên nếu lấy trục z hướng lên trên, ta có:

Điểu này được chứng minh như sau (hình 2.3): Xét

2 mặt đẳng thế rất gần nhau ứng với giá trị thế N và

N + dN áp suất p và p + dp Gọi dn là chiều dài

đường sức giữa hai mặt, ta viết được:

V ì dN và dp là không đổi khi chuyển từ m ặt này sang mặt kia nên p là khống đổi trên từng m ặt đẳng thế.

Đ iều phát biểu ngược lại không đúng

c) Trong chất lỏng (khí) cân bằng, m ật đẳng thế đồng thời là m ặt đẳng nhiệt vì mật

độ p chỉ phụ thuộc áp suất và nhiệt độ; trên m ỗi m ặt đẳng thế, áp suất và m ật độ không đổi dẫn đến nhiệt độ không đổi

Điều phát biểu ngược lại không đúng D uới đây sẽ lần lượt xét tích phân phương trình Euler trong các trường hợp sau:

- Chất lỏng cân bằng tuyệt đối;

- Chất lỏng cân bằng tương đối;

- Cân bằng của khí trọng lực

2.3 S ự C Â N BẰN G TU Y ỆT Đ ố i C Ủ A CHAT LỎN G

Phương trình vi phân tương ứng là phương trình (2-6a), với p = const (trục z hướng từ dưới lén trên)

2.3.1 Phuơng trình cơ bản của thuỷ tĩnh học

Ta có phương trình vi phân (2-6a):

dp = - pgdzTích phân phương trình này với điều kiện chất lỏng đồng chất không nén được (p = const), ta có:

YTrong đó hằng số tích phân có giá trị như nhau tại m ọi điểm của thể tích chất lỏng đồng chất

Phương trình (2-7) được gọi là phương trình cơ bán của thuỷ tĩnh học N ó xác định:

- p = p(z): áp suất chỉ biến đổi (tuyến tính) theo chiều đứng m à không biến đổi trẽn mặt phẳng nằm ngang

- Tổng 2 chiều cao z và p/y đối với mọi điểm là như nhau

- Phương trình cúa các mặt đảng áp (p = const):

Từ phương trình (2-7) ta suy ra mấy kết quả sau:

1 Độ chénh áp suất giữa 2 điểm bất kì trong thể tích chất lỏng đồng chất đứng yên:

đi ểm 1 (Z|, P| ), đi ểm 2 (Z2,

Pĩ)-Áp dụng (2-7) ta viết được:

Pi + yzi = P2 + YZ2

Từ đó: p2 - p , = y(Z| - z 2)

2 Thiết lập công thức tính áp suất theo độ sáu của điểm

Nếu điểm 2 là điểm bất kì với các thông số (z, p), còn điểm 1 được lấy ở mặt tự do với các thông số đã biết (z0, p0), ta viết được:

P - P o = Y ( Z 0 - Z)

Trong đó h = z0 - z là độ sâu của điểm ta xét tính từ mặt tự đo

Ta thấy áp suất p ở độ sâu h gồm 2 phần:

- Áp suất ngoài p0 không phụ thuộc h;

- Áp suất trọng lượng yh phụ thuộc độ sâu của điểm xét

Biểu đổ p = p(h) được biểu diễn trên hình 2.4, với:

- Đường 1: đối với chất lỏng đổng chất (p = p|), p0 = 0

- Đường la : đ ố i v ớ i chất lỏ n g đồng chất (p = Pị>, p 0 > 0;

- Đường 2: đối với chất lỏng không đồng chất, không trộn lẫn nhau (p3 > p2 >p |) Các mặt phân cách a-a, b-b là các mặt đẳng áp

Hình 2.4

3 S ự truyền áp suất N guyên lí Pascal

Đối với 2 điểm bất kì 1 ,2 cùa thể tích chất lỏng đồng chất đứng yên, ta viết được:

Pi +ỴZ| = p 2 + yz2

27

Bây giờ giả sử tại điểm 1, bằng cách nào đó, ta tăng áp suất Lên m ột lượng Ap m à chất lỏng vẫn đứng yên, ta viết được:

(Pi + Ap) + yzi = (p2 + Ap) + yz2 nghĩa là áp suất tại điểm 2 cũng tăng lên một lượng Ap Từ đó, nguyên lí Pascal được

phát biểu như sau: Trong chất lỏng đồng chất không nén được đứng yên, sự thay đổi áp suất tại điểm bất kì được truyền nguyên vẹn tới tất cả các điểm khác

Các ứng dụng của nguyên lí Pascal: m áy nén thuỳ lực, truyền động thuỳ lực 2.3.2 Ố n g đ o á p

1 Các dụng cụ đo áp suất dư được gọi chung là áp

kế, trong đó đơn giản nhất và được dùng phổ biến để

đo áp suất của chất lỏng là ống đo áp N ó gồm m ột

ống có đầu hở hướng lên trên, đầu còn lại gắn vào vị

trí điểm M cần đo ấp suất (hình 2.5) Chất lỏng dâng

lên trong ống đo áp đến mức A - khoảng chênh lệch

đứng giữa A và M là h

Áp dụng (2-9) cho ống đo áp, ta có:

Pm = Pa + yhThay pA = pa (= la t) vào công thức thì PM tính ra sẽ biểu thị áp suất tuyệt đối tại điểm

M Nếu coi PA = 0, tức là loại pa đi, ta có ấp suất dư tại M: PM = yh

Ta thấy chỉ cần dùng m ột ống đo áp là có thể đo áp suất dư cho m ọi điểm

2 Trong trường hợp áp suất cần đo có trị số nhỏ,

để tăng độ chính xác của kết quả đo, ta dùng ống do

3 Để giảm chiều cao ống đo áp khi đo áp suất cao

ta dùng ống có dạng chữ u và chất lỏng nặng hơn

28

Trên hình 2.7 ta có: p N = (N, N' cùng nằm trên mặt phẳng nằm ngang, cùng mật

và chi số h của áp kế, trong đó p' * p và hai chất lỏng không trộn lản nhau

Áp dụng phương trình cơ bản của thuỷ tĩnh học, ta có:

- Giữa A và A': PA + pgzA = PA + pgzA

£ a pg

pgTrong đó: h = ZB' - ZA là chỉ số của áp kế.

Đai lương z = z + — được gọi là cột nước do áp

Áp lực thuỷ tĩnh lên m ột m ặt nào đó được k í hiệu là p A p lực được xác định bời 3

'CU tố sau đáy:

- Độ lớn hay cường độ (P);

- Phương và chiều;

- Đ iểm đặt

R iêng với yếu tố thứ hai, có thể thấy ngay là p tác dụng vuông góc với m ặt chịu lực

/à hướng vào mặt này.

Mặt chịu lực (diện tích S) đổng thời là m ặt đảng áp

Trong cả 4 trường hợp, áp suất dư lên mặt phẳng là: p = pgH

và độ lớn của áp lực thuỷ tĩnh lèn các m ặt có cùng trị số sau:

huỷ lĩnh".

Vì áp suất p phân bố đều nên điểm đặt của P (D) trùng với tâm hình học (C) của mặt hịu lực Điéu khấc nhau duy nhất giữa 4 trường hợp trên là chiều của p p hướng từ 'ên xuống dưới trong 3 trường hợp đẩu, còn trong trưcmg hợp sau cùng p hướng từ dưới

ẽ vuông góc với mặt giấy Để thấy

5 hơn, mặt phẳng này được quay đi

0° để trùng vói mặt giấy Hệ toạ độ

Iiông góc oxy nằm trong mặt

hang Q, trong đó trục X trùng với

iao tuyến giữa Q và mặt tự do của

JydS = yc s là m ôm en tĩnh (hay m ôm en bậc 1) của diện tích s đ ố i v ó i trục X, trong S

G ộp lại ta có:

Trong đó: hc = yc s in a là độ sâu (dưới m ặt tự do của chất lỏng) của tâm c

Vì p0 + yhc = pc là áp suất tại tâm c nên ta viết được:

Áp lực = Á p suất tại tâm m ặt chịu lực X D iện tích m ặt chịu lực

K hi Po = 0 (ví dụ m ặt tự do thông với khí quyển và chỉ tính với áp suất dư), ta có:

Xét riêng đối với Po và P r :

• Po - điểm đạt của Po chính là tâm c của hình s Chiều của Po phụ thuộc vào Po > 0lay p0 < 0 (nói cho p0 là áp suất dư):

- Nếu p0 > 0 thì Po hướng từ chất lỏng vào mặt chịu lực.

- Nếu Po < 0 (chú ý giới hạn - p 0 < pa - áp suất khí quyển) thì Po hướng từ m ặt chịu

ực vào chất lỏng.

Vì vậy, dưới đây chỉ xét riêng đối với P y

• Py : gọi D là điểm đặt của PỴ, ta phải xác định các tọa độ XD, y D

Xét tính yD:

Để tính yD ta lấy môm en của áp lực đối với trục X (M x):

là môm en quán tính (m ômen bậc 2) của diện tích s đối với trục X'

Ic ~ rnomen CỊuan tinh cua diện tích s đối với true song song với truc X và

ly yD = y c + e với e : —£ - > 0

yc-S

(2-14)

được gọi là tâm sai.

Từ đó ta thấy điểm D nằm thấp hơn trọng tâm c

Để tính XD, ta cũng làm tưcmg tự bằng cách lấy mômen của áp lực đối với trục y.Thường ta gặp trường hợp mặt chịu lực s có trục đối xứng //y, khi đó chỉ cần xác định

là đủ vì D và c cùng nằm trên trục đối xứng

2.3.4 Áp lực thủy tĩnh lên mặt cong

Ta sẽ tính áp lực lên mặt cong s từ chất lỏng phía bẽn trái; mặt tự do của chất lỏng

[ông với khí quyển, và chỉ tính với

5 suất dư (hình 2.11).

Trước hết ta xét áp lực lên phân

í diện tích dS bao quanh điểm M

) độ lớn và phương chiều riêng nên

lông thể tích phãn trực tiếp đối với dP nhu trường hợp mật phẳng mà chỉ có thể thực

ện tích phân đối với các hình chiếu dPx, dPy, dPz của dP, trong đó z là phương đứng,

in X y là các phương nằm ngang vuông góc với nhau (trên hình 2.11, phương y đuợc

ể hiện vuông góc với mặt giấy)

1) Tính độ lớn các thành phần nằm ngang của p : Px và Py Ta có:

dPx = dPcos(x, n) = yhdScos(x, n) = yhdSx

Trong đó n chỉ phương pháp tuyến của dS, dSx là diện tích hình chiếu cùa dS trên mặt lẳng yoz (vuông góc với x) Từ đó:

Đối với p y ta cung có công thức tương tự:

Chiếu dP lên phương z, ta có:

dPz = dPcos(z, n) = yhdScos(z, n) = yhdSz = ydV

ới dV = hdS là thể tích hình trụ đứng có chiều cao h và diện tích đáy bằng diện tíchlình chiếu dS lên mật phẳng nằm ngang 1 z Từ đó:

Pz = jydV = yV

s'ói V là thể tích gồm giữa các mặt:

- Bản thân mặt con g (ờ phía dưới);

- M ặt thoáng của chất lỏng (ở phía trên);

- M ặt trụ đứng tựa vào biên mặt cong

Pz có thể hướng xuống dưới (hình 2.11) hoặc hướng lên trên

Tóm lại ta được:

- Các thành phần nằm ngang: Px = yhcxSx

Nói chung, từ 3 thành phần này không thể đưa về được m ột lực duy nhất

Trong trường hợp mặt cong là mật trụ với đường sinh nằm ngang, bài toán dẫn đến việc chỉ cần tìm 2 thành phần của áp lực:

1 Thànli pliần nằm ngang (Px, Py)

Theo phương nầm ngang, chẳng hạn X, luôn tồn tại các cặp phãn tô' diện tích dS|

S|X = dS2x = dSx Lực phân tố (theo phương x) lên 2 diện tích này là dPix và d P ỉx

sNhư vậy, vật chỉ chịu tác dụng của lực đứng từ phía chất lỏng: p = P z

2 Thànlì pliàn thẳng đứng P-_

Theo phương đứng cũng luôn tổn tại các cặp phân tố diện tích dSj (trên) và dS4 (dưới)

à hình chiếu cúa chúng lèn mặt phẳng nằm ngang ( l z ) bằng nhau: dSlz = dSjz = dSz

Ta có lần lượt:

- Lực đứng lên dS3: dP|Z = ydV| = yh,dSz (hưởng xuống dưới)

- Lực đứng lên dS4: dP2z = ydV2 = yh2dSz (hướng lẻn trẽn)

Cặp lực này có chung đường tác dụng

Từ đó: p = Pz = jydW = y w (2-16)

Lực p được gọi lực lực đẩy A rchim ède

Phát biểu của định luật A rchim ède: M ột vật rắn ngập hoàn toàn trong chất lỏng trọng

lỊC đồng chất cân bằng chịu tác dụng từ chất lỏng m ột lực đẩy hướng thẳng đứng từ dưới

- Lực đẩy A rchim ède (P) hướng lên trên;

- Trọng lượng bản thân của vật (G ) hướng xuống dưới

Gọi m ật độ của vật là pQ và của chất lỏng là p, ta có:

P = p g W

G = p0gW

Sẽ xẩy ra 1 trong 3 trường hợp cân

bằng của vật như sau (hình 2.13)

(1) p0 = p: vật ngập hoàn toàn và lơ

Đây là tiường hợp chât lòng chuyên động so với quả đất nhưng không chuyển động

so VƠI binh chưa, lục khoi tac dụng lên chât long, ngoài trong lưc, còn có thêm lưc quán

tính Xét hai bài toán dưới đây:

2.4.1 Bình chứa chuyển động ngang, nhanh dần đều với gia tốc ă = const (hình 2.14)

Chọn các trục tọa độ gắn với bình chứa như hình vẽ

36

Ta có:

- Gia lốc lực quán tính: - ã (ngược

ứi gia tốc chuyển động)

- Với N(x, z) là thế của lực khối thì:

- Các mặt đẳng thế (N = const), đổng thời là các mặt đẳng áp (p = const), là các

lặt phẳng nghiêng song song nhau Mặt tự do của chất lỏng cũng là mặt đẳng áp

Hằng số tích phán c được xác định theo điều

iện biên (p0) và gốc tọa độ.

2.4.2 Bình trụ tròn đứng quay đều quanh

Mặt đẳng thế hay dẳng áp là các m ặt praboloit tròn xoay có phương trình:

2g

Áp suất trong chất lỏng phân bố theo phương trình:

2.5 SỰ C Â N BẰNG CỦA K H Í TR Ọ N G LỤC

Ta sẽ nghiên cứu sự biến đổi cùa áp suất và m ật độ khí theo độ cao

Phương trình vi phân xuất phát là phương trình (2-6a):

dp = -p g d z

với p * const, trục z lấy hướng lên trên.

2.5.1 Biến đổi của áp suất theo độ cao trong điều kiện khí đẳng nhiệt

Coi khí như khí hoàn thiện, với T = const, ta có:

p/p = rT = const Thay biểu thức của p vào phương trình vi phán ta có:

Lấy vi phân phương trình này, la dược:

2.5.4 Biến đổi của nhiệt độ và áp suất trong khí quyển

Thực tế, khí quyển không ở trong trạng thái cân bằng hoàn hảo m à luôn luôn bị ihiễu động

Hình 2.16 biểu diễn cấc giá trị điển hình của áp suất và nhiệt độ theo độ cao trong khí

|uyển thực tế (mặt biển lấy cao độ z = 0)

C a o độ (km)

trong Klìi quyển chuẩn quốc t ế

ro