tài liệu Lý thuyết Thông tin ppsx

1 Phương Phương phápháp p giảgiải i mã mã vòvòng Meggittng Meggitt Giáo viên thực hiện: Lê Thị Thanh Định lý Meggitt • Giả sử s(x) là syndrome của: • u(x) = u 0 x n-1 + u 1 x n-2 + + u n-2 x + u n-1 thì syndrome của u 1 (x) là s 1 (x) được tính theo công thức sau: • s 1 (x) = xs(x) mod g(x) Chứng minh định lý Meggitt • Với quy ước u 1 (x) là quay vòng trái của u(x). • u(x) = u 0 x n-1 + u 1 x n-2 + + u n-2 x + u n-1 • u 1 (x) = u 1 x n-1 + u 2 x n-2 + + u n-1 x + u 0 • u 1 (x) mod g(x) = xs(x) mod g(x) = • = x. (u(x) mod g(x)) mod g(x) •  u 1 (x) mod g(x) = x.u(x) mod g(x) • (u 1 x n-1 + u 2 x n-2 + + u n-1 x + u 0 ) mod g(x) = • = (u 0 x n + u 1 x n-1 + + u n-2 x 2 + u n-1 x) mod g(x) • => u 0 (x n + 1) mod g(x) = 0 6.4 Khả năng sửa sai của bộ mã vòng (n,k) • 6.4.1 Độ dài sai • 6.4.2 Khả năng dò sai • 6.4.3 Xác suất không dò được sai của các mẫu sai • 6.4.4 Xác suất không dò được sai của bộ mã vòng 2 6.4.1 Độ dài sai • Độ dài sai: Giả sử e = e 0 e 1 e n-1 = • = (e 0 e 1 e i-1 e i e i+1 e j-1 e j e j+1 e n-1 ) • = (00 0 1 e i+1 e j-1 1 00 0) • Khi đó độ dài sai được định nghĩa là khoảng cách từ bit e i tới bit e j : • độ dài sai = j – i + 1 • Độ dài sai vòng: giả sử e = e 0 e 1 e n-1 = • = (e 0 e 1 e i-1 e i e i+1 e j-1 e j e j+1 e n-1 ) • = (e 0 e 1 e i-1 1 0 0 0 1 e j+1 e n-1 ) • Độ dài sai vòng được định nghĩa là khoảng cách vòng từ bit e i đến bit e j . • độ dài sai vòng = n – (j – 1 – i – 1 + 1) = • = n – j + i + 1) 6.4.2 Khả năng dò sai (1/3) • Định lý 6.7: Bộ mã vòng (n,k) có thể dò được tất cả các mẫu sai nhỏ hơn hoặc bằng (n-k) bit. (kể cả độ dài sai vòng). • Chứng minh: • Bổ đề: “Nếu bộ mã vòng (n,k) có khả năng phát hiện được đa thức gây sai e(x) thì sẽ phát hiện được tất cả các đa thức gây sai e i (x) là đa thức dịch chuyển vòng i bit của e(x) (i=1,n-1)”. 6.4.2 Khả năng dò sai (2/3) • Giả sử e i (x) là đa thức gây sai không phát hiện được → e i (x) cũng là đa thức mã (mâu thuẫn). Do đó ta chỉ cần chứng minh định lý với độ dài sai tuyệt đối. • Giả sử e(x) = E(x).x i với 0 ≤ i ≤ n-1 → vector sai ứng với E(x) có độ dài ≤ (n-k) → bậc của E(x) ≤ (n-k-1) • Để phát hiện được sai trong mã vòng thì phải chứng minh rằng e(x) không phải từ mã, tức là e(x) không chia hết cho g(x). 3 6.4.2 Khả năng dò sai (3/3) • Nhận xét: E(x) có bậc nhỏ hơn g(x); E(x) # 0 → E(x) không chia hết cho g(x). • Mặt khác, vì hệ số tự do của g(x) là khác không nên x i sẽ không chức một thừa số nào của g(x). Vậy E(x).x i sẽ không chia hết cho g(x). • Vậy đa thức sai e(x) là dò được. 6.4.3 Xác suất không dò được sai • Định lý 6.8: ”Xác suất không dò được các mẫu sai có độ dài bằng (n-k+1) là 2 -(n-k-1) ”. • Chứng minh: e(x) = E(x).xi • E(x) có n-k+1 số hạng → E(x) có bậc n-k. • Khi không phát hiện được sai thì E(x) là đa thức mã có bậc n-k, mà đa thức mã bậc n-k duy nhất là g(x). 6.4.3 Xác suất không dò được sai • Có 2 (n-k-1) đa thức nhưng chỉ có một đa thức E(x) = g(x) làm cho sai e(x) là không dò được. Vậy xác suất không dò được sai của các mẫu sai có độ dài bằng (n-k+1) là: • P ud = 1/ 2 (n-k-1) = 2 -(n-k-1) 6.4.4 Định lý 6.9 • Định lý 6.9: xác suất không dò được sai của bộ mã vòng (n,k) là 2 (k-n) . • Chứng minh: • Số đa thức gây sai: 2 n – 1 • Số đa thức mã khác không: 2 k – 1 • Vậy xác xuất không dò được sai là: • P ud = 2 k – 1 / 2 n – 1 = 2 k-n 4 Phương pháp giải mã vòng Meggitt • Nguyên lý giải mã • Thiết kế mạch thực hiện giải mã Nguyên lý giải mã Meggitt • Phương pháp này sửa sai cho tất cả các mẫu sai 1 bit • Giả sử nhận được đa thức: u(x)=u 0 x n-1 +u 1 x n-2 + +u n-1 • Chọn một mẫu sai có thể sửa sai được e(x)=e 0 x n-1 +e 1 x n-2 + +e n-1 với e 0 =1 • So sánh syndrome của u(x) và syndrome của e(x): –Không khớp: tính syndrome của u (1) (x) từ syndrome của u(x) –Khớp: sửa sai và tính syndrome của u’ (1) ( x ) t ừ syndrome củ a u(x) Syndrome của u(x) không bằng syndrome của e(x) • Quay vòng u(x)=u 0 x n-1 +u 1 x n-2 + +u n-1 để được u (1) (x)=u 1 x n-1 +u 2 x n-2 + u n-1 x+u 0 Do u 0 x n +u 0 =u 0 (x n +1) chia hết cho g(x) nên: s (1) (x) =dư số[u (1) (x)/g(x)] =dư số[(u (1) (x)+u 0 x n +u 0 )/g(x)] =dư số[(u 0 x n +u (1) (x)+u 0 )/g(x)] =dư số[(u 0 x n +u 1 x n-1 +u 2 x n-2 + +u n-1 x+u 0 +u 0 )/g(x)] Syndrome của u(x) không bằng syndrome của e(x) • Quay vòng u(x)=u 0 x n-1 +u 1 x n-2 + +u n-1 để được u (1) (x)=u 1 x n-1 +u 2 x n-2 + u n-1 x+u 0 Do u 0 x n +u 0 =u 0 (x n +1) chia hết cho g(x) nên: s (1) (x)=dư số[u (1) (x)/g(x)] =dư số[(u (1) (x)+u 0 x n +u 0 )/g(x)] =dư số[(u 0 x n +u (1) (x)+u 0 )/g(x)] =dư số[(u 0 x n +u 1 x n-1 +u 2 x n-2 + +u n- 1 x+u 0 +u 0 )/g(x)] =dư số[(xu(x)+0)/g(x)] =dư số[xu(x)/g(x)] =dư số[x(kg(x)+dư số[u(x)/g(x)])/g(x)] 5 Syndrome của u(x) không bằng syndrome của e(x) =dư số[x(kg(x)+dư số[u(x)/g(x)])/g(x)] =dư số[x(kg(x)+s(x)])/g(x)] =dư số[xkg(x)/g(x)+dư số[xs(x)/g(x)] =0+dư số[xs(x)/g(x)] =dư số[xs(x)/g(x)] • Do đó khi đã có syndrome của u(x) là s(x) thì có thể tính syndrome s (1) (x) của u (1) (x) bằng cách dịch trái s(x) Syndrome của u(x) bằng syndrome của e(x) • Sửa sai bit đầu tiên: u(x) sửa sai bit đầu (cộng với e 0 =1) được u’(x) u’(x)=(u 0 +e 0 )x n-1 +u 1 x n-2 + +u n-1 =u(x)+e 0 x n-1 Lúc đó syndrome của u’(x) là: s’(x) =dư số[u’(x)/g(x)]=dư số[(u(x)+e 0 x n-1 )/g(x)] =dư số[u(x)/g(x)]+dư số[x n-1 /g(x)] =s(x)+dư số[x n-1 /g(x)] Syndrome của u(x) bằng syndrome của e(x) • Quay vòng trái u’(x) và tính syndrome của nó: u’ (1) (x)=u 1 x n-1 +u 2 x n-2 + +u n-1 x+(u 0 +e 0 )=u (1) (x)+e 0 s’ (1) (x) =dư số[u’ (1) (x)/g(x)] =dư số[(u (1) (x)+e 0 )/g(x)] =dư số[(u (1) (x)/g(x)]+dư số[e 0 /g(x)] =dư số[xs(x)/g(x)]+dư số[e 0 /g(x)] =dư số[(xs(x)+e 0 )/g(x)] • Do đó khi đã có syndrome của u(x) là s(x) thì có thể tính syndrome s’ (1) (x) của u’ (1) (x) bằng cách dịch trái s(x) và cộng thêm e 0 vào bit trọng số thấp nhất Thiết kế mạch giải mã Meggitt Thanh ghi syndrome So sánh mẫu sai Bộ đệm + + u(x) 1: khớp, 0: không khớp Đóng từ xung n 6 Thiết kế mạch giải mã Meggitt • Giả sử bộ mã vòng có ma trận sinh là: g(x)=x 3 +x+1 với n=7, k=4, n-k=3 • Mẫu sai sửa được là: 1000000 có syndrome là (101) • Các bit mang tin là 1101 thì tính được dư của 1101000 chia cho 1011 là 001 từ đó ta có từ mã là 1101001 • Giả sử sai bit thứ 5 thành 1101101 • Mạch giải mã sẽ sửa bit thứ 5 từ 1 thành 0 và chuyển tổ hợp 1101101 thành từ mã 1101001 Thiết kế mạch giải mã Meggitt sửa sai 1 bit cho bộ mã vòng có g(x)=x 3 +x+1 3 2 1 ++ 7 6 5 4 3 2 1 + Mạch chia lấy số dư Mạch so sánh với 101 Ngõ vào Ngõ ra =101 1 ≠101 0 Đóng từ xung thứ 7 0x 2 x 3 x 1 x 0 Hoạt động mạch giải mã Meggitt – xung 0 3 2 1 ++ 7 6 5 4 3 2 1 + 1 0 1 1 0 1 1 0000000 000 0 0 010 1 0 0 0x 2 x 3 x 1 x 0 Hoạt động mạch giải mã Meggitt – xung 1 3 2 1 ++ 7 6 5 4 3 2 1 + 1 0 1 1 0 1 0000001 001 0 0 011 1 1 0 0x 2 x 3 x 1 x 0 7 Hoạt động mạch giải mã Meggitt – xung 2 3 2 1 ++ 7 6 5 4 3 2 1 + 1 0 1 1 0 0000011 011 0 0 001 0 1 1 0x 2 x 3 x 1 x 0 Hoạt động mạch giải mã Meggitt – xung 3 3 2 1 ++ 7 6 5 4 3 2 1 + 1 0 1 1 0000110 110 0 0 100 0 1 1 0x 2 x 3 x 1 x 0 Hoạt động mạch giải mã Meggitt – xung 4 3 2 1 ++ 7 6 5 4 3 2 1 + 1 0 1 0001101 110 0 0 100 0 1 1 0x 2 x 3 x 1 x 0 Hoạt động mạch giải mã Meggitt – xung 5 3 2 1 ++ 7 6 5 4 3 2 1 + 1 0 0011011 110 0 0 100 1 1 1 0x 2 x 3 x 1 x 0 8 Hoạt động mạch giải mã Meggitt – xung 6 3 2 1 ++ 7 6 5 4 3 2 1 + 1 0110110 111 0 0 101 0 0 1 0x 2 x 3 x 1 x 0 Hoạt động mạch giải mã Meggitt – xung 7 3 2 1 ++ 7 6 5 4 3 2 1 + 1101101 100 1 0 110 1 1 0 0x 2 x 3 x 1 x 0 Hoạt động mạch giải mã Meggitt – xung 8 3 2 1 ++ 7 6 5 4 3 2 1 + 1011010 011 1 0 001 0 1 1 0x 2 x 3 x 1 x 0 1 Hoạt động mạch giải mã Meggitt – xung 9 3 2 1 ++ 7 6 5 4 3 2 1 + 0110100 110 11 0 100 1 1 1 0x 2 x 3 x 1 x 0 0 9 Hoạt động mạch giải mã Meggitt – xung 10 3 2 1 ++ 7 6 5 4 3 2 1 + 1101000 111 011 0 101 1 0 1 0x 2 x 3 x 1 x 0 1 Hoạt động mạch giải mã Meggitt – xung 11 3 2 1 ++ 7 6 5 4 3 2 1 + 1010000 101 1011 1 111 0 0 0 0x 2 x 3 x 1 x 0 0 Hoạt động mạch giải mã Meggitt – xung 12 3 2 1 ++ 7 6 5 4 3 2 1 + 0100000 000 01011 0 010 0 0 0 0x 2 x 3 x 1 x 0 0 Hoạt động mạch giải mã Meggitt – xung 13 3 2 1 ++ 7 6 5 4 3 2 1 + 1000000 000 001011 0 010 0 0 1 0x 2 x 3 x 1 x 0 1 . của các mẫu sai có độ dài bằng (n-k+1) là: • P ud = 1/ 2 (n-k-1) = 2 -(n-k-1) 6.4.4 Định lý 6.9 • Định lý 6.9: xác suất không dò được sai của bộ mã vòng (n,k) là 2 (k-n) . • Chứng minh: • Số. 2 k – 1 / 2 n – 1 = 2 k-n 4 Phương pháp giải mã vòng Meggitt • Nguyên lý giải mã • Thiết kế mạch thực hiện giải mã Nguyên lý giải mã Meggitt • Phương pháp này sửa sai cho tất cả các mẫu sai 1. dài sai vòng = n – (j – 1 – i – 1 + 1) = • = n – j + i + 1) 6.4.2 Khả năng dò sai (1/3) • Định lý 6.7: Bộ mã vòng (n,k) có thể dò được tất cả các mẫu sai nhỏ hơn hoặc bằng (n-k) bit. (kể cả