Đồ Án lập trình Đề tài tính Định thức của ma trận vuông cấp n

MỞ ĐẦU Qua hai kỳ học tại trường, với các nền tảng cơ bản đã được học qua các môn như Đại số tuyến tính, Kỹ thuật lập trình hay Cấu trúc dữ liệu, chúng em đã có thể học và xử lý một số b

KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

-

 -ĐỒ ÁN LẬP TRÌNH

ĐỀ TÀI TÍNH ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN VUÔNG CẤP N

GVHD: TS Nguyễn Văn Hiệu

Sinh viên thực hiện:

Võ Trần Sơn Phong - Lớp 18T2 - Nhóm 23.16A

Nguyễn Thị Ánh Ngọc - Lớp 23T_DT4 - Nhóm 23.16A

MỞ ĐẦU 5

TỔNG QUAN ĐỀ TÀI 6

I CƠ SỞ LÝ THUYẾT 7

1 Ý tưởng 7

2 Cơ sở lý thuyết 7

2.1 Định thức của ma trận vuông 7

2.2 Mảng 7

2.3 Phương pháp khử Gauss 8

2.4 Công thức khai triển Laplace 8

II TỔ CHỨC CẤU TRÚC DỮ LIỆU VÀ THUẬT TOÁN 9

1 Phát biểu bài toán 9

2 Cấu trúc dữ liệu 9

3 Thuật toán 9

3.1 Dùng kỹ thuật biến đổi ma trận về dạng tam giác 9

3.2 Dùng kỹ thuật đệ quy 10

III CHƯƠNG TRÌNH VÀ KẾT QUẢ 11

1 Tổ chức chương trình 11

2 Ngôn ngữ cài đặt 11

3 Kết quả 12

3.1 Giao diện chính của chương trình 12

3.2 Kết quả thực thi của chương trình 12

4 Nhận xét đánh giá 14

1.2 Chưa đạt được 14

2 Hướng phát triển 15

2.1 Tối ưu hóa thuật toán 15

2.2 Mở rộng chức năng 15

TÀI LIỆU THAM KHẢO 16

PHỤ LỤC 17

DANH MỤC HÌNH ẢNH

Hình 1 ………

Hình 2 Phương pháp khử Gauss 7

Hình 3 Công thức khai triển Laplace 12

Hình 4 Giao diện màn hình chính 13

Hình 5 Output 1 13

Hình 6 Output 2 14

MỞ ĐẦU

Qua hai kỳ học tại trường, với các nền tảng cơ bản đã được học qua các môn như Đại số tuyến tính, Kỹ thuật lập trình hay Cấu trúc dữ liệu, chúng em đã có thể học và

xử lý một số bài toán cơ bản cũng như biết cách đưa các tư duy giải toán vào lập trình,

từ đó có thể xử lí các bài toán với tốc độ nhanh hơn qua máy tính thay vì tự thực hiện thủ công.

Trong lĩnh vực toán học ứng dụng và khoa học máy tính, định thức của ma trậnvuông cấp n là một khái niệm cơ bản nhưng có ý nghĩa quan trọng và rộng lớn Địnhthức không chỉ là một phép toán cơ bản trong đại số tuyến tính mà còn là một công cụmạnh mẽ được sử dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau như giải hệ phương trình tuyếntính, tính toán giá trị riêng, và xác định tính khả nghịch của ma trận Việc triển khai cácphương pháp tính định thức hiệu quả cho các ma trận kích thước lớn rất cần thiết trongcác ứng dụng thực tiễn như xử lý tín hiệu, mật mã học và mô phỏng khoa học Vì vậy,nhóm chúng em đã chọn đề tài Tính định thức ma trận vuông cấp n nhằm củng cố kiếnthức toán học, nâng cao kỹ năng lập trình, và ứng dụng các thuật toán vào giải quyếtbài toán thực tiễn

Đồ án này sẽ không thể hoàn thành được nếu thiếu sự hỗ trợ của các thầy côhướng dẫn cũng như những người đã tư vấn cho chúng em trong quá trình chúng emlàm đồ án Nhóm chúng em mong rằng đây sẽ là minh chứng cho thành quả dạy dỗ củathầy cô cũng như nỗ lực học tập của chúng em trong suốt thời gian vừa qua

Nhóm chúng em xin chân thành cảm ơn!

TỔNG QUAN ĐỀ TÀI

Bài toán tính định thức ma trận vuông cấp n yêu cầu chương trình có khả năng đọc dữ liệu từ file chứa ma trận có sẵn hoặc nhập ma trận từ bàn phím Sau khi nhận dữ liệu, chương trình C sẽ thực hiện các tính toán cần thiết và xuất kết quả ra file hoặc hiển thị trên màn hình Để giải quyết bài toán này, nhóm chúng em đã chọn ra hai phương phápchính:

 Phương pháp khử Gauss ( biến đổi về ma trận tam giác )

 Công thức khai triển Laplace ( sử dụng kỹ thuật đệ quy )

Dự án này nhằm nghiên cứu và so sánh hai phương pháp tính định thức của ma trận vuông cấp n: phương pháp khử Gauss và công thức khai triển Laplace Chúng em sẽ xây dựng các thuật toán và triển khai chúng trong một ngôn ngữ lập trình để thực hiện các phép tính định thức Bên cạnh đó, dự án cũng sẽ đánh giá hiệu suất và độ phức tạp của hai phương pháp này khi áp dụng cho các ma trận có kích thước khác nhau

I CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1 Ý tưởng

 Phát triển thuật toán khử Gauss:

 Viết thuật toán để biến đổi ma trận về dạng tam giác trên

 Tính định thức bằng cách nhân các phần tử trên đường chéo chính

 Phát triển thuật toán khai triển Laplace:

 Viết thuật toán để tính định thức bằng cách khai triển theo hàng hoặc cột

 Nếu tất cả phần tử của một dòng (cột) của định thức bằng 0 thì định thức

 Phương pháp này là một kỹ thuật biến đổi ma trận về dạng tam giác trên bằng cách

sử dụng các phép biến đổi hàng sơ cấp

 Quá trình này bao gồm chọn phần tử trục và thực hiện các phép biến đổi hàng để tạo

ra các số 0 bên dưới phần tử trục đó

 Khi ma trận được biến đổi thành dạng tam giác trên, định thức của ma được tính bằng tích của các phần tử trên đường chéo chính

Hình 2 Ma trận tam giác trên

2.4 Công thức khai triển Laplace

 Công thức này tính định thức của một ma trận bằng cách khai triển theo một hàng hoặc một cột của ma trận

 Định thức của ma trận được tính bằng tổng của các định thức con của ma trận cấp (n−1) nhân với các phần tử tương ứng và hệ số dấu phụ

 Công thức này thường được sử dụng cho các ma trận có kích thước nhỏ hoặc khi cần phân tích chi tiết từng phần tử.

Hình 3 Công thức khai triển Laplace

II TỔ CHỨC CẤU TRÚC DỮ LIỆU VÀ THUẬT TOÁN

1 Phát biểu bài toán

INPUT

 Dòng đầu tiên là số nguyên dương n biểu diễn số bậc của ma trận

 Dòng thứ hai gồm n*n số thực là phần tử trong ma trận

Ví dụ: n=55

16.95 61.73 57.77 35.70 82.21 16.42 98.78 28.11 66.72 53.64 86.92 48.04 2.50 13.73 42.07 63.27 53.98 49.91 14.93 40.51 14.72 50.74 82.27 72.14 89.40 OUTPUT

Ghi kết quả số d là định thức của ma trận ra file *.OUT hoặc màn hình

2 Cấu trúc dữ liệu

Để lưu giá trị của các phần tử thuộc ma trận, chúng ta nên sử dụng cấu trúc dữ liệumảng 2 chiều được tổ chức bằng cách sử dụng một mảng con trỏ để lưu trữ mỗi hàngcủa ma trận, và mỗi hàng là một mảng một chiều chứa các phần tử của hàng đó Sửdụng mảng con trỏ kết hợp với cấp phát động cho phép ta linh hoạt trong việc quản lý

bộ nhớ và truy cập vào các phần tử của ma trận, điều này giúp tối ưu hóa hiệu suất vàlinh hoạt trong lập trình trong ngôn ngữ C

3 Thuật toán

3.1 Dùng kỹ thuật biến đổi ma trận về dạng tam giác

Bước 1:

 Duyệt qua từng hàng của ma trận (1)

 Kiểm tra phần tử trên đường chéo chính “matrix[i][i]” (được gọi là phần tửtrục) Nếu phần tử trục là 0, đổi chỗ hàng đó với một hàng khác dưới nó

có phần tử trục khác 0 (nếu có) thông qua hàm swap ( đổi chỗ 2 hàng ) (2).Đồng thời, đảo dấu của định thức (theo tính chất của định thức đã đề cập ởmục 2.1) Nếu không tìm thấy hàng khác có phần tử khác 0, định thức của

ma trận sẽ bằng 0 (3)

for (int i = 0; i < n; i++) { (1)

if (matrix[i][i] == 0) { int j;

for (j = i + 1; j < n; j++) {

if (matrix[j][i] != 0) { swap(matrix, i, j, n); (2) det *= -1.0;

break;

} }

if (j == n) return 0; (3)Bước 2:

 Duyệt qua các hàng dưới hàng hiện tại (4)

 Tính tỷ số giữa phần tử của hàng dưới hàng hiện tại (matrix[j][i]) và phần tử của hàng hiện tại trên đường chéo chính (matrix[i][i]) (5)

 Biến k được khởi tạo bằng i để bắt đầu từ cột i, nơi phần tử trên đường chéo chínhcủa hàng hiện tại được đặt Trong mỗi lần lặp, giá trị của k tăng lên một đơn vị, cho phép chúng di chuyển từ cột này sang cột khác trong hàng dưới hàng hiện tại của ma trận Chúng ta sẽ biến các phần tử dưới đường chéo chính bằng 0 bằng cách lấy

int m = 0, l = 0;

for (int i = 1; i < n; i++) { for (int k = 0; k < n; k++) {

if (k != j) { (7) sub_matrix[m][l] = matrix[i][k];

Det += ((j % 2 == 0) ? 1 : -1) * matrix[0][j] * Dequy(sub_matrix, n - 1);

III CHƯƠNG TRÌNH VÀ KẾT QUẢ

1 Tổ chức chương trình

 Các thư viện có sẵn trong Dev-C++

 Định nghĩa các kiểu dữ liệu

 Tạo 1 file chứa các giá trị ngẫu nhiên

 Chương trình chính

2 Ngôn ngữ cài đặt

Chương trình được viết bằng ngôn ngữ C

3 Kết quả

3.1 Giao diện chính của chương trình

Hình 4 Giao diện chính của chương trình

3.2 Kết quả thực thi của chương trình

3.2.1 Kết quả xuất ra màn hình

Hình 5 Output 1

3.2.2 Kết quả xuất ra file

Hình 6 Output 2

3.3 Nhận xét đánh giá

 Đã giải quyết được bài toán và đưa ra kết quả chính xác

 So sánh được những ưu và nhược điểm của 2 thuật toán nêu trên

Hiệu suất kém, không phùhợp cho ma trận lớn

IV KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN

1 Kết luận

1.1 Đạt được

 Hiểu rõ cách thức hoạt động của 2 thuật toán trên

 Biết cách sử dụng các hàm có sẵn, điển hình là clock ( ) để so sánh tốc độ xử lícủa 2 thuật toán

 Sử dụng giao diện đồ họa GUI phục vụ cho việc minh họa trở nên dễ hình dung

 Giúp cải thiện tư duy và logic của cá nhân

1.2 Chưa đạt được

 Chưa thể giải quyết được bài toán nếu kích cỡ đầu vào n lớn

 Bài toán chỉ giải quyết được các bài toán có cấu trúc đơn giản

 Giao diện còn cần nhiều cải thiện hơn

2 Hướng phát triển

2.1 Tối ưu hóa thuật toán

 Nghiên cứu các kỹ thuật tối ưu hóa thuật toán tính định thức để cải thiện hiệu suất

và tốc độ tính toán, đặc biệt là cho các ma trận có kích thước lớn

 Áp dụng các kỹ thuật mới như phân tán tính toán (distributed computing) hoặc sử dụng GPU để tăng cường hiệu suất tính toán

2.2 Ứng dụng thực tế

 Ứng dụng trong phân tích dữ liệu: Sử dụng việc tính định thức để xác định tính

khả nghịch của ma trận trong các bài toán liên quan đến hồi quy tuyến tính, phân tích chính thành phần (PCA),

 Ứng dụng trong vật lý và kỹ thuật: Tính định thức có thể được áp dụng trong các

bài toán cơ học lượng tử, điều khiển tự động, và các lĩnh vực kỹ thuật khác

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Mảng (array) trong C,https://viettuts.vn/lap-trinh-c/mang-trong-c

[2] Tài liệu môn Đại số tuyến tính – cô Phan Quan Như Anh (Đại học sư phạm – Đại học Đà Nẵng)

double **CopyMatrix(double **matrix, int n);

double Dequy(double **matrix, int n);

double tamgiac(double **matrix, int n);

void NhapMatrixFromString(double **&matrix, int n, const char *matrixString);int WINAPI WinMain(HINSTANCE hInstance, HINSTANCE hPrevInstance, LPSTRlpCmdLine, int nCmdShow)

{

const char CLASS_NAME[] = "MatrixDeterminantClass";

WNDCLASS wc = {};

CreateWindow("STATIC", "Nhap gia tri ma tran:", WS_VISIBLE | WS_CHILD,

10, 240, 200, 20, hwnd, NULL, NULL, NULL);

hEditMatrix = CreateWindow("EDIT", "", WS_VISIBLE | WS_CHILD |WS_BORDER | ES_MULTILINE | ES_AUTOVSCROLL, 10, 270, 460, 200, hwnd,NULL, NULL, NULL);

hButtonCalculate = CreateWindow("BUTTON", "Tinh ma tran", WS_VISIBLE |WS_CHILD, 10, 480, 100, 30, hwnd, (HMENU)1, NULL, NULL);

hStaticResult = CreateWindow("STATIC", "Ket qua:", WS_VISIBLE |WS_CHILD, 10, 520, 460, 90, hwnd, NULL, NULL, NULL);

clock_t start_tamgiac = clock();

double det1 = tamgiac(matrix, n);

clock_t end_tamgiac = clock();

double time_tamgiac = (double)(end_tamgiac - start_tamgiac) /CLOCKS_PER_SEC;

clock_t start_dequy = clock();

double det2 = Dequy(tmp_matrix, n);

clock_t end_dequy = clock();

double time_dequy = (double)(end_dequy - start_dequy) /CLOCKS_PER_SEC;

double **matrix = (double **)malloc(n * sizeof(double *));

for (int i = 0; i < n; i++)

// Function to copy a matrix

double **CopyMatrix(double **matrix, int n)

{

double **temp_matrix = (double **)malloc(n * sizeof(double *));

for (int i = 0; i < n; i++)

{

temp_matrix[i] = (double *)malloc(n * sizeof(double));

// Function to calculate the determinant using recursion

double Dequy(double **matrix, int n)

double **sub_matrix = (double **)malloc((n - 1) * sizeof(double *));

for (int i = 0; i < n - 1; i++)

{

for (int k = 0; k < n; k++) {

if (k != j) {

sub_matrix[m][l] = matrix[i][k]; l++; if (l == n - 1) {

l = 0; m++; }

}

}

}

Det += ((j % 2 == 0) ? 1 : -1) * matrix[0][j] * Dequy(sub_matrix, n - 1); }

for (int i = 0; i < n - 1; i++) {

free(sub_matrix[i]); }

free(sub_matrix); }

return Det;

}

// Function to calculate the determinant using Gaussian elimination

double tamgiac(double **matrix, int n)

// Function to fill matrix from a string

void NhapMatrixFromString(double **&matrix, int n, const char *matrixString)

sscanf(matrixString + index, "%lf", &matrix[i][j]);

while (matrixString[index] != ' ' && matrixString[index] != '\0')

{

index++;

}