KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2009-2010 Môn : Toán pdf

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2009-2010 Môn : Toán Thời gian : 150 phút( Không kể thời gian giao đề) Bài 1: Chứng minh rằng: 11 10 - 1 chia hết cho 100. Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: P = x 2 ( y - z ) + y 2 ( z - x ) + z 2 ( x - y ) Bài 3: Cho biểu thức: Q = 1 + xxx xx x xxx x +− −       + − −− − + + 23 23 23 2 : 1 2 1 1 1 1 a- Rút gọn Q. b- Tính giá trị của Q biết: 4 5 4 3 =−x c-Tìm giá trị nguyên của x để Q có giá trị nguyên. Bài 4: Tìm giá trị của m để cho phương trình: 6x - 5m = 3 + 3mx có nghiệm số gấp ba nghiệm số của phương trình: ( x + 1)( x - 1) - ( x + 2) 2 = 3 Bài 5: Tìm tất cả các cặp số nguyên ( x; y) thoả mãn phương trình: x 2 -25 = y( y+6) Bài 6: Cho hình vuông ABCD, M là điểm bất kì trên cạnh BC. Trong nửa mặt phẳng bờ AB chứa C dựng hình vuông AMHN.Qua M dựng đường thẳng d song song với AB, d cắt AH ở E, cắt DC ở F. a- Chứng minh rằng: BM = ND. b-Chứng minh rằng: N; D; C thẳng hàng. c-EMFN là hình gì? d-Chứng minh: DF + BM = FM và chu vi tam giác MFC không đổi khi M thay đổi vị trí trên BC. Hết (Đề thi gồm 01 trang) *Yêu cầu: Học sinh không giải toán bằng máy tính HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN 8 (Hướng dẫn chấm gồm: 03 trang) Câu Nội dung Biểu điểm Bài 1 11 10 - 1 = ( 11 -1 )( 1111111 89 ++⋅⋅⋅++ ) = 10( 1111111 89 ++⋅⋅⋅++ ) Vì 10  10 và ( 1111111 89 ++⋅⋅⋅++ ) có chữ số tận cùng ( hàng đơn vị) bằng 0 Nên: ( 1111111 89 ++⋅⋅⋅++ ) chia hết cho 10 Vậy: 11 10 - 1 chia hết cho 10. 0.5 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 Bài 2: x 2 ( y - z ) + y 2 ( z - x ) + z 2 ( x - y ) = x 2 ( ) yzxzxyzyzy 2222 −+−+− = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( )( )( ) zxyxzy yxzyxxzy xzxyyzxzy zyxzyyzzyx −−−= −−−−= −−+−= −−−+− 2 222 0.5 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 Bài 3 a) Q = 1 + xxx xx x xxx x +− −       + − −− − + + 23 23 23 2 : 1 2 1 1 1 1 = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 11 1211 1 2 2 2 − +− ⋅ +−+ +−−+++ + xx xx xxx xxxx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 11 22 1 2 1 11 42 1 2 2 2 2 2 − +− ⋅ +−+ −− += − +− ⋅ +−− +− += xx xx xxx xx xx xx xxx xx (Điều kiện: x ≠ 0;-1; 2) 1 1 1 2 1 + − = + − += x x x     −= = ⇒ =− 2 1 2 4 5 4 3 x x x ( Loại) V ới x = 3 2 1 −=⇒ − Q c) Q Z∈ với { } 1;2;3 −−∈x 1.0 1.0 1.0 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.75 Bài 4 ( x + 1)( x - 1) - ( x + 2) 2 = 3 ( 1) 2 84 3441 22 −=⇔ =−⇔ =−−−−⇔ x x xxx Để phương trình 6x - 5m = 3 + 3mx có nghiệm gấp ba lần nghiệm của phương trình ( x + 1)( x - 1) - ( x + 2) 2 = 3 hay x =-6 b) Ta có: 6(-6) - 5m = 3 +3m(-6) 3 3913 39185 =⇔ =⇔ =+−⇔ m m mm Vậy: Với m = 3 thì phương trình 6x - 5m = 3 + 3mx có nghiệm số gấp ba nghiệm số của phương trình: ( x + 1)( x - 1) - ( x + 2) 2 = 3 Bài 5 x 2 -25 = y( y+6) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 161;82;4433 16)3( 22 ±±±±±±=−−++⇔ =+−⇔ yxyx yx Suy ra: x-y 7 -1 5 1 11 -5 4 2 19 -13 x+y 1 -7 5 -11 -1 -5 13 -19 -2 -4 Vậy: các cặp số nguyên phải tìm là: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0;5;6;5;6;5;0;5;3;4;3;4 −−−−−−− Bài 6 a) ABCD là hình vuông ( gt) ⇒ A 1 + MAD = 90 0 ( gt) (1) Vì AMHN là hình vuông ( gt) ⇒ A 2 + MAD = 90 0 (2) Từ (1) và (2) suy ra: A 1 = A 2 Ta có: AMBAND ∆=Λ ( c.g.c) ⇒ B = D 1 = 90 0 và BM= ND b) ABCD là hình vuông =>D 2 = 90 0 ⇒ D 1 + D 2 = NDC ⇒ 90 0 + 90 0 = NDC ⇒ NDC = 180 0 ⇒ N; D; C thẳng hàng c) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AH và MN của hình vuông AMHN ⇒ O là tâm đối xứng của hình vuông AMHN ⇒ AH là đường trung trực của đoạn MN, mà E;F ∈ AH ⇒ EN = EM và FM = FN (3) Tam giác vuông EOM = tam giác vuông FON ( OM= ON; N 1 =M 3 ) ⇒ O 1 = O 2 ⇒ EM = NF (4) Từ (3) và (4) ⇒ EM=NE=NF=FM ⇒ MENF là hinh thoi (5) d) Từ (5) suy ra: FM = FN = FD +DN Mà DN = MB ( cmt) ⇒ MF=DF+BM Gọi chu vi tam giác MCF là p và cạnh hình vuông ABCD là a P = MC + CF + MF = MC +CF +BM + DF (Vì MF = DF+MB) = (MC + MB) + ( CF + FD) = BC + CD = a + a = 2a Hình vuông ABCD cho trước ⇒ a không đổi ⇒ p không đổi N D F C M A d H O E B 1 3 2 2 1 2 1 . KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2009-2010 Môn : Toán Thời gian : 150 phút( Không kể thời gian giao đề) Bài 1: Chứng minh rằng: 11 10 - 1 chia hết cho 100. Bài 2: Phân. Hết (Đề thi gồm 01 trang) *Yêu cầu: Học sinh không giải toán bằng máy tính HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN 8 (Hướng dẫn chấm gồm: 03 trang) Câu Nội dung Biểu điểm Bài. )( 1111111 89 ++⋅⋅⋅++ ) = 10( 1111111 89 ++⋅⋅⋅++ ) Vì 10  10 và ( 1111111 89 ++⋅⋅⋅++ ) có chữ số tận cùng ( hàng đơn vị) bằng 0 Nên: ( 1111111 89 ++⋅⋅⋅++ ) chia hết cho 10 Vậy: 11 10 - 1