c-EMFN là hình gì?. d-Chứng minh: DF + BM = FM và chu vi tam giác MFC không đổi khi M thay đổi vị trí trên BC.. Đề thi gồm 01 trang *Yêu cầu: Học sinh không giải toán bằng máy tính.
Trang 1KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2009-2010
Môn : Toán
Thời gian : 150 phút( Không kể thời gian giao đề)
Bài 3: Cho biểu thức: Q = 1 +
x x x
x x x
x x x
x
+
−
−
+
−
−
−
− +
+
2 3
2 3 2
3
2 :
1
2 1
1 1
1
a- Rút gọn Q
b- Tính giá trị của Q biết:
4
5 4
3 =
−
c-Tìm giá trị nguyên của x để Q có giá trị nguyên
Bài 4: Tìm giá trị của m để cho phương trình: 6x - 5m = 3 + 3mx có nghiệm số gấp ba nghiệm số của
phương trình: ( x + 1)( x - 1) - ( x + 2)2 = 3
Bài 6: Cho hình vuông ABCD, M là điểm bất kì trên cạnh BC Trong nửa mặt phẳng bờ AB chứa C
dựng hình vuông AMHN.Qua M dựng đường thẳng d song song với AB, d cắt AH ở E, cắt DC ở F
a- Chứng minh rằng: BM = ND
b-Chứng minh rằng: N; D; C thẳng hàng
c-EMFN là hình gì?
d-Chứng minh: DF + BM = FM và chu vi tam giác MFC không đổi khi M thay đổi vị trí trên BC
Hết
(Đề thi gồm 01 trang)
*Yêu cầu: Học sinh không giải toán bằng máy tính
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP HUYỆN
MÔN: TOÁN 8 (Hướng dẫn chấm gồm: 03 trang)
Bài 1 1110 - 1 = ( 11 -1 )(119 + 118 + ⋅ ⋅⋅ + 11 + 1)
= 10(119 + 118 + ⋅ ⋅⋅ + 11 + 1)
Vì 10 10
và (119 + 118 + ⋅ ⋅⋅ + 11 + 1) có chữ số tận cùng ( hàng đơn vị) bằng 0
Nên: (119 + 118 + ⋅ ⋅⋅ + 11 + 1) chia hết cho 10
Vậy: 1110 - 1 chia hết cho 10
0.5 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25
Bài 2: x2( y - z ) + y2( z - x ) + z2( x - y )
= x2 ( y − z ) + y2z − y2x + z2x − z2y=
( ) ( [ ) ( ) ]
( y z )( x y )( x z )
y x z y x x z y
xz xy yz x z y
z y x z y yz z y
x
−
−
−
=
−
−
−
−
=
−
− +
−
=
−
−
− +
− 2
2 2
0.5 0.25 0.25 0.25 0.25
Bài 3
a) Q = 1 +
x x x
x x x
x x x
x
+
−
−
+
−
−
−
− +
+
2 3
2 3 2
3
2 :
1
2 1
1 1
1
( ) ( ) ( 2 )
1 1
1
1 2
1 1 1
2 2
2
−
+
−
⋅ +
− +
+
−
− + + + +
x x
x x x
x x
x x x
x
( ) ( ) ( ) ( 2 )
1 1
1
2 2
1
2
1 1
1
4 2 1
2 2
2 2
2
−
+
−
⋅ +
− +
−
− +
=
−
+
−
⋅ +
−
−
+
− +
=
x x
x x x x x
x x
x x
x x x x x
x x
(Điều kiện: x≠0;-1; 2)
1 1 1
2 1
+
−
=
+
− +
=
x
x
x
−
=
=
⇒
=
−
2 1 2 4
5 4 3
x x
x
( Loại)
2
− Q
c) Q ∈ Z với x ∈ { − 3 ; − 2 ; 1 }
1.0 1.0 1.0 0.25 0.25
0.25 0.25 0.25 0.75 Bài 4 ( x + 1)( x - 1) - ( x + 2)2 = 3 ( 1)
2
8 4
3 4 4
2
−
=
⇔
=
−
⇔
=
−
−
−
−
⇔
x
x
x x x
Để phương trình 6x - 5m = 3 + 3mx có nghiệm gấp ba lần nghiệm của phương
trình ( x + 1)( x - 1) - ( x + 2)2 = 3 hay x =-6
b)
Trang 3Ta có: 6(-6) - 5m = 3 +3m(-6)
3
39 13
39 18 5
=
⇔
=
⇔
= +
−
⇔
m
m
m m
Vậy: Với m = 3 thì phương trình 6x - 5m = 3 + 3mx có nghiệm số gấp ba nghiệm số của phương trình: ( x + 1)( x - 1) - ( x + 2)2 = 3 Bài 5 x2 -25 = y( y+6) ( 3 )( 3 ) ( )( ) ( )( ) ( )( 4 4 ; 2 8 ; 1 16 ) 16 ) 3 ( 2 2 ± ± ± ± ± ± = − − + + ⇔ = + − ⇔ y x y x y x
Suy ra: x-y 7 -1 5 1 11 -5 4 2 19 -13
x+y 1 -7 5 -11 -1 -5 13 -19 -2 -4
Vậy: các cặp số nguyên phải tìm là: ( 4 ; − 3 ) ( ; − 4 ; − 3 ) ( ) ( ; 5 ; 0 ; − 5 ; − 6 ) ( ; 5 ; − 6 ) ( ; − 5 ; 0 )
Bài 6 a) ABCD là hình vuông ( gt) ⇒A1 + MAD = 900 ( gt) (1)
Vì AMHN là hình vuông ( gt) ⇒ A2 + MAD = 900 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: A1 = A2
Ta có: Λ AND = ∆ AMB ( c.g.c) ⇒ B = D1 = 900 và BM= ND b) ABCD là hình vuông =>D2 = 900 ⇒ D1 + D2 = NDC ⇒ 900 + 900 = NDC ⇒ NDC = 1800 ⇒ N; D; C thẳng hàng c) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AH và MN của hình vuông AMHN ⇒ O là tâm đối xứng của hình vuông AMHN ⇒ AH là đường trung trực của đoạn MN, mà E;F ∈ AH ⇒ EN = EM và FM = FN (3)
Tam giác vuông EOM = tam giác vuông FON ( OM= ON; N1=M3)
⇒ O1 = O 2
⇒EM = NF (4)
Từ (3) và (4) ⇒ EM=NE=NF=FM
⇒MENF là hinh thoi (5)
d) Từ (5) suy ra: FM = FN = FD +DN
Mà DN = MB ( cmt)
⇒ MF=DF+BM
Trang 4Gọi chu vi tam giác MCF là p và cạnh hình vuông ABCD là a
P = MC + CF + MF = MC +CF +BM + DF (Vì MF = DF+MB)
= (MC + MB) + ( CF + FD) = BC + CD = a + a = 2a
Hình vuông ABCD cho trước ⇒ a không đổi ⇒ p không đổi
M
A
d
H
O E
B
1
3
2 2
1
