Bài tập lớn Đại số tuyến tính Đề tài bài toán bình phương cực tiểu

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HỒ CHÍ MINHTRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA ĐIỆN – ĐIỆN TỬ BỘ MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH ---o0o---BÀI TẬP LỚN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH ĐỀ TÀI: BÀI TOÁN BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU GVHD: T

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

KHOA ĐIỆN – ĐIỆN TỬ

BỘ MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

-o0o -BÀI TẬP LỚN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

ĐỀ TÀI:

BÀI TOÁN BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU

GVHD: Tăng Lâm Tường Vinh

Nguyễn Xuân Mỹ

Nhóm 5

TP HỒ CHÍ MINH, THÁNG 1 NĂM 2021

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

KHOA ĐIỆN – ĐIỆN TỬ

BỘ MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

-o0o -BÀI TẬP LỚN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

ĐỀ TÀI:

BÀI TOÁN BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU

GVHD: Tăng Lâm Tường Vinh

Nguyễn Xuân Mỹ

NHÓM 5

TP HỒ CHÍ MINH, THÁNG 1 NĂM 2021

~ 2 ~

Thành Viên Nhóm BTL:

 Nguyễn Phạm Bình Minh 2013773

2013671

 Nguyễn Đặng Nhật Minh 2013769

MỤC LỤC

I Cơ sở lý thuyết của bài toán bình phương

cực tiểu 6

1 Lịch sử ra đời, mục đích, khái

niệm………6

2 Giải phương trình hồi quy dạng y=ax+b bằng

phương pháp bình phương cực tiểu……… 7

3 Giải phương trình hồi quy dạng y=a x2

+ +bx cbằng phương pháp bình phương cực

tiểu……… 7

II Chương trình Matlab

1) Viết chương trình dùng phương pháp bình phương

cực tiểu để tìm phương trình hồi quyy=ax+b,y=a

~ 5 ~

Bảng chú thích

Zeros (o,p) Tạo ma trận 0 có o hàng p cột

For… end Vòng lặp chạy giá trị

Disp(a) Xuất giá trị của a

pinv Hàm nghịch đảo

linspace Khoảng giá trị của biến

Grid on Kẻ ô cho đồ thị

Xlabel, ylabel Gán tên cho trục hoành, trục tung

I Cơ sở lý thuyết của bài toán bình phương cực tiểu

1 Lịch sử ra đời, mục đích, khái niệm

 Sự ra đời

Bình phương cực tiểu bắt nguồn từ công trình tiên phong của Gauss và Legender vào năm 1975 sau khi thưc nghiệm tương đối chính xác vị trí các thiên thể, tạo nền móng cho các bài toán tuyến tính sau này

 Mục đích

Làm giảm bớt sai số phép đo, sai số hệ thống, tối ưu hóa sao cho giátrị sai số ấy lànhỏ nhất

Được sử dụng trong các bài toán giải hệ phương trình, tìm đường cong, phươngtrìnhhồi quy trong thống kê

 Khái niệm

Trong toán học, phương pháp bình phương cực tiểu, là một phương pháp tối ưu hóa để lựa chọn một đường khớp nhất cho một dải dữ liệu ứng với cực trị của tổng các sai số thống kê giữa đường khớp và dữ liệu

Phương pháp bình phương bé nhất thường được dùng để lập công thức thực nghiệm

Ví dụ như mối quan hệ hàm số y = f(x) cụ thể gọi là lập công thức thực nghiệm tìm ra hàm số xấp xỉ của hàm số f(x) bằng phương pháp bình phương cực tiểu trong các bài toán thực tế có dạng:

a) y = ax + b b) y =ax2+bx + c

2 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HỒI QUY DẠNG Y= AX+B BẰNG PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU.

~ 7 ~

Giả sử tập hợp điểm D={(t1; b1), …(t m ; b m)}.

Tìm hàm f=f(t) cho đồ thị đi qua tất cả các điểm D

Xét hàm f(t)=α+βgg(t) Tìmα ,β g để G (t )=∑

i=1

m

(α+βgg(t i )−b i)2=∑

i=1

m

G i

2

nhỏ nhất

Ta tìm cực trị của hàm G(t) có hai biếnα ,β g

Ký hiệu: g(t i)=g i

{∂G(t )

∂ α =0

∂G(t )

∂ β g =↔{2∑

i=1

m

(α+β g g i −b i)=0

2∑

i=1

m

(α+β i −b i) g g g i=0

¿

3 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HỒI QUY DẠNG Y = AX 2 +BX+C BẰNG PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU.

Hàm hồi quy có dạng Y = ax2+ bx + c

Sai số : vi= (ax2+bx + c ) – yivới i 1, 2 ,…, n=

Tổng các bình phương của các sai số trên là bé nhất nghĩa là:

n n

i i i i

i i

Như vậy a, b, c thỏa mãn hệ phương trình:

2 2 1

2 1 2 1

0

n

i n

i n

i

S

S ax bx c y x

a

a

S S

ax bx c y x

b b

S S

ax bx c y

c c





















 Rút gọn ta được hệ phương trình chính tắc sau:

4 3 2 2

i i i i i

i i i i

n n n n

i i i i i

i i i i















Giải hệ ta tìm được các giá trị của a, b, c

II Chương trình Matlab

1) Viết chương trình dùng phương pháp bình phương cực tiểu để tìm phương trình hồi quy y=ax+b,y=a x2+ +bx c

2) Ví dụ minh hoạ

 VD: Tìm phương trình hồi quy bậc 2: y=a x2+ +bx c với tập hợp

D={(2;2) ,( 3 ;2),(−2 ;3 )}

Bài giải

 VD: cho bảng dữ liệu (7;5), (14;6.5), (21;8.2), (28;9.1) trong đó hoành độ cho biết

số giờ mà bạn Phú học trong 1 tuần trước khi thi Đại số tuyến tính còn tung độ cho biết số điểm mà bạn Phú đạt được tương ứng với số giờ học

Xấp xỉ bảng dữ liệu trên bởi một hàm bậc nhất

Bài Giải

Tương tự VD trên nhập các

giá trị của ma trận A

Tiếp tục nhập ma trận B

Đi giải hệ a T a X=a T

.bta được nghiệm X

~ 13 ~

Suy ra hàm số bậc nhất y=3.7+0.2 t

Hình vẽ

III Ứng dụng của bài toán bình phương cực tiểu

Bài toán 1: Tìm hàm tuyến tính và hàm bậc hai khớp nhất với các dữ liệu về độ lệch nhiệt độ trung bình toàn cầu từ năm 1991-2000 được cho như bảng sau

Calendar year Computational year Temperature deviation 1991

1992

1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

2000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,29 0,14 0,19 0,26 0,28 0,22 0,43 0,59 0,33 0,29

Dùng phương pháp đạo hàm (ti,yi) là dữ liệu cho trước

g1(t) =0,123+0,034t.g (t)=-0,4078+0,2997t-0,024t2.2

~ 15 ~

Bài toán 2: Tìm đường cong khớp nhất với dải dữ liệu có chu kì về nhiệt độ ghi nhận được ở Washington ngày 1/1/2001 được cho như bảng sau

12 mid

3 am

6 am

9 am

12noon

3 pm

6 pm

9 pm

0 1/8

¼ 3/8

½ 5/8

¾ 7/8

-2,2 -2,8 -6,1 -3,9 0,0 1,1 -0,6 -1,1

Dùng phương pháp giải hệ Ax=b với mô hình g(xj,t)=x1+x2cos2πt−¿x3sin2πt Kết quả thu được g(t)=−¿1,95−¿0,7445cost2πt−¿2,5594 sin2πt

Bài toán 3: Tìm đường cong khớp nhất với dải dữ liệu về chiều cao và trọng lượng trung bình của bé trai từ 2-11 tuổi được ghi nhân bởi trung tâm kiểm soát dịch bệnh năm 2002 như sau

2

3

4

0,912 0,986 1,06

13,7 15,9 18,5

~ 17 ~

6

7

8

9

10

11

1,13 1,19 1,26 1,32 1,38 1,41 1,49

21,3 23,5 27,3 32,7 36 38,6 43,7

Dùng phương pháp giải hệ Ax=b với mô hình

+Mô hình 1:g1(x ,t)=j α e βgt.Kết quả thu được g1(t)=2,0907e 2,0553t

+Mô hình 2:g2(x ,t)=j α t βg Kết quả thu được g2(t)=16,3044t2,4199

LỜI CẢM ƠN

Chân thành cảm ơn cô Nguyễn Xuân Mỹ đã chấm cho bài báo cáo bài tập lớn của nhóm em.

~ 19 ~