Toán 12 tọa Độ vector phương trình mặt phẳng Đường thẳng, mặt cầu nguyễn phan tiến phiên bản 2025

Gọi Ä⁄, N lần lượt là trung điểm của các cạnh 4C và 8D của tử diện ABCD.. Goi E 1a trung diém AD, F 1a a trung điểm BC và G là trọng tâm của tam giác BCD.. Tìm tọa độ điểm C sao cho tam

Dơng 1 Chứng minh đẳng thức véc †ơ " nàn ¬ 2

BOI TG †Ự lUYỆN ccccLcnHnnnn nền Ho kg ke 11115 1511k th 3

Bai 2 HE TRUC TOA DO TRONG KHONG GIAN . 7

| TOA ĐỘ ĐIỂM VÀ TOA ĐỘ "e8 — 7

I HE TRUC TOA DO OXYZ cc ccccccccessescseeseccecusesesesuesecssesusevesssanesseenes 7

II TOA ĐỘ CUA VEC TO VA ĐIỂM TRÊN HỆ TRỤC OXYZ 7

_ HH, CÁC PHÉP TOÁN TRÊN HAI VÉC TƠ cc coi 7

IV Hình chiếu vuông góc củo điểm các ninh nuệu 8

;2i8/eieeele sen ga 8

BOL TAD na 11

BÀI 2.2 TÍCH VÔ HƯỚNG VÀ TÍCH CÓ HƯỚNG 15

ail! i

CHUYÊN ĐỀ 5: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

BÀI 1 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG -csccccccscecee 23

Phổn 1 Phương trình tổng quớt của một phẳng .- 23

Bởi †Ếp †ự luyện các nh nh nn nền no ng kh ào 26

BÀI 1.2 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 32

Phổn 2 Phương trình mặt chốn ác nhe 32

Bởi †Ộp †ự luyện ch» nh ng nh nà kh ko bà kế ko khi 35

BÀI 2 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 38

Phổn 1 Viết phương trình các dạng cơ bẻn san 38

Bởi †Ếp †ự luyện cc ng ng ng Ho Hà ko khi 44

Phốn 2 Viết phương trình Cac dọng nông cœo 49

Bỏi tập †ự luyện ch Ha Ha Kha kh Ha tết 51

BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU CƠ BẢN " 58

| Phương tình mặt cỗu —- Xóc định tâm vò bén kính S8

II Vị trí tương đối giữa điểm vò mặt cồu coi: 59

_]II, Viết phương trình một CỔU các co tt in nàn 60

Bòi tộp †ự luyện ¬ " - 62 BÀI 4.1 GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH (PHẦN ]) 67

II Khoảng cóch trong không giơn c.ccc cào: TH Hinh ó8 III Mặ† phẳng vờ một CỔU cccc nhà ha rau ó9 -

BAI 4.2 GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH (PHẦN 2) - -c-c-e- 76

1 Khoỏng cach từ điểm đến đường ThỖng .c.cccceco 76

2, Khoảng cóch gitia 2 GUBNg CHEO NNAU vices wee 77

3 Khoảng cóch đường coo tứ diện khi biết 4 đỉnh ái 7

4 Vị trí tương đối giữa đường thẳng vờ mặt côổu : 78

z;ei/eie000 a0 adjäđ411 EEE ER EEE EEE EEE 80

BÀI 4.3 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI TRONG KHÔNG GIAN 83

1 Vị trí tương đối giữa hơi một phẳng .c cài 83

2 VỊ trí tương đối giữa đường thẳng vò mặt phống 83

3 Vị trí tương đối giữo hơi đường thẳng .càccccccc 85

BÀI 5.1 TÌM HÌNH CHIẾU _ ĐIỂM ĐỐI XỨNG .-. -<- 92

1 Tìm hình chiếu, điểm đối xứng lên trục, mặt tọa độ 92

2 Một số dạng †ìm hình CHIEU KNGC cect ọ2

Dang 1 Tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng 92

Dang 2 Tim hinh chiếu của 1 điểm lên mặt phống 93 Dang 3 Phuong trình hình chiếu của đường lên mặt ¬ 93 Bòi †Ộp †ự lUYỆNn ccc nc nh ng nh nan nh nên _ 94

BÀI 5.2 TÌM ĐIỂM THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN .c-c -ce- 97

BÀI ó CỰC TRỊ OXYZ Ăn nọ HH ng ng 104

BẤM MÁY TÍNH KHOẢNG CÁCH csccecceecserrersers 108

1 ĐỊNH NGHĨA: Trong không gian VÉCTƠ LÀ MỘT ĐOAN THANG CO HUONG

»Kí hiệu: AB trong đó chỉ rõ 4 là điểm đầu, Đ là điểm cuôi

3 PHÉP NHÂN MỘT SÓ VỚI VÉCTƠ: Tích của vécto a voi sé k 1a một véctơ, kí hiệu: ka

° Vécto ka cùng hướng với a nếu È>0, ngược hướng với a nêu k<0

e Độ đài véctơ ka bằng | lal kí hiệu: heal = [A Ja]

© 098

Cho tứ diện ABC 0v

a/ Chứng minh răng 4C+BD= 41D+ BC Š b/ Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AD, BC CMR: MN = " +DC

VDI:

VD3:

c/ Gọi G là trọng tâm tam giác BCD Chứng minh rằng AB+AC+ AD =34AG

d) Goi I la trung điểm cia MN CMR: TA+IB+IC+ID=0

Cho hình bình hành ABCD Goi S la mét diém nam ngoai mat phang chira hinh binh hanh

Chứng minh răng: $4+SC= SB+SD Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D" Chimg minh rang:

a, AB+B'C'+ DD'= AC' b, BD-D'D-B'D'=BB' c, AC+BA'+DB+C'D=0

DANG 2 PHAN TICH 1 VEC TO QUA BA VEC TO KHAC

Cho tứ điện 48CD Gọi ă và P lần lượt là trung điểm của 4ð và CD Đặt ÁB =b, AC =ẽ

Cho hình lăng trụ 48C4'E'C', A{ là trung điểm của 8° Đặt CA=a,CB=b, AA'=c Khang dinh nao sau day aung’

A AM =a+e-2b BAM =b+e-la C AM =b-a+—e Di AM=a-c+ 6, B9

Cho hình hộp ABCD.EFGH có 4B = a; 4D =b; AE = e Gọi I là trung điểm của đoạn BG

A Al =a+— -(é- c] B di =a-—(6+e) C Al =a+— ~(5+¢) D Ai = 2a+>(Š+è)

2 2 2

Á5 09888 222 95 the more you learn, the more you earn Page | 2

is 1

"Ty Nguyễn P Phan Tiến

Cho lang tru ABC A’B’C’ Dat AA'= G, AB =b, AC = - Gọi G’ la trong tam A’B’C’ Hãy

phan tich AG' theo a,b,c

A AG =a+-(c+5) B AG = a+~(6-8).€ AG'=a+S(e+8),Ð 4! =a~s(e+8)

HÉT—- BÀI TẬP TỰ LUYỆN (TÔ VÀO PHIẾU CHÁM) - (THPT Hồng Quang - Hải Dương - Lần 1 - 2018 - BEN) Cho hình lăng trụ tam giác

ABC.A4BC”", gọi M là trung điểm cạnh bên 8ð” Đặt C4= , CB=b, CC =ẽ, Khang dinh

nảo sau đây là đúng?

Cho lăng trụ tam giác 4BC.4B'C' có Al'=a, AB = b, AC =c Hãy phân tích (biểu thị) vectơ wee cu

BC qua cac vecto a,b, c

—A, BC =a+b-e B BC'=-a+b-c C.BCl=-a-B+c D.BCl=a-bse,

Cho hình tứ diện ABCD cé trong tim G Ménh dé nao sau đây là sai?

A GA+GB+GC+GD=0 B OG = —(04+0B+0C + 0D)

D AG=2(45+ 4+ 28) A

Cho tứ diện 4BCD Gọi Aƒ và N lần lượt là trung điểm của 48 và CD Tìm giá trị của È

thích hợp điển vào đẳng thức vecto: MN = k(AC + BD)

A k= 2 B kal 3 C.k=3 D.k=2

Cho lăng trụ tam giác 41BC.4P#'C' có Al'=a, AB = b,AC =c Hãy phân tích (biểu thị) vectơ sory ant

BC qua cac vecto a, b,c

A BC=a+b-e.B.BC=-a+b+e CC BC=atb+e DĐ BC=-a-Btao

Gọi Ä⁄, N lần lượt là trung điểm của các cạnh 4C và 8D của tử diện ABCD Goi J 1a trung

diém doan MN va P là 1 điểm bất kỳ trong khơng giàn Tìm giá trị của & thích hợp điền vào

dang thirc vecto: PI =k (PA +PB+PC +PD) SO

A.k=4 B.£=1 2 'Œk=d, ca D k=2

“`

Cho tir dién ABCD Goi Af va P lan lượi là trung điểm của 48 và CD Đặt AB=b,AC=c,

AD =d Khang dinh nao sau day aun

senate enema tn amar Barta

A MP =—(¢+d +b) B MP =—(d-+5- —e).C MP =—(+b- d) D MP =—(6+d- —b)

Cho tứ diện ABCD Goi AL va N lần lượt là trung điểm của AB va CD Tim gia tri của k

thich hợp điền vào đăng thức vectơ: ÄZN = k( AD +BC |

A k=3 B k= C k=2 D k=

HN HHHẬM nese Hơmrremawrvve

Cho tứ diện ABCD Dat AB=a, AC=b, AD=c, goi M là trung điểm của ỪC “Trong các

ˆ khẳng dinh sau, khang dinh nao ding? |

Cau 13: _ Cho hình hộp 4ABCD.4'B'C'D' cé6 tam O Dat AB=a; BC=b M 1a diém xéc dinh boi

am M là tâm hình bình hành 4BB 4 B AZ là tâm hinh binh hanh BCC'B’

i Cy 'M latrungdiém BB’ D AZ là trung điểm CC"

Câu 14: “Cho ter dién 4BCD cé trong tam G Ménh dé nao sai?

) Ằ ay Nguyen Phan Ten

Cho hinh chop S.ABCD cé day ABCD là hình bình hành Khang định nào sau đây dung?

A SA+SC =SB+SD | B S4+SB=SC+SD

Cho tứ diện ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của 4D và 8C Khẳng định nào sau đây

sai?

A AB+CD=CB+ AD B 2MN = AB+DC

C AD+2MN = AB+AC D 2MN = AB+AC+AD

Cho tir dién ABCD Goi G 1a trong tam tam gidc ABC Tim gia tri thích hợp của k thoa đăng -

Cho tứ diện 4BŒCD Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD Khang định nào sau đây đúng:

A AG=AB+AC+AD - B 4AG= AB+ AC+ AD

C 2AG= AB+AC+AD D 34G = AB+ AC + AD

Cho tứ diện 48CD Gọi 7,J lần lượt là trung điểm của 4# và CD, G là trung điểm của J7

Cho các đẳng thức sau, đăng thức nào đúng?

Cho tir dién ABCD Goi E 1a trung diém AD, F 1a a trung điểm BC và G là trọng tâm của tam giác

BCD Tìm mệnh đề sai trong các mệnh dé sau:

A EB+ EC+ ED =3EG B 2EF = AB+DC

C AB+ AC+ AD =3AG D, ;GA+GB+GC+ GD =0

Cau

Kt 02:

BCD Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A EB+EC + ED =3EG B 2EF = AB+DC

C AB+ AC+ AD =34G D GA+GB+GC+GD=0

Câu 25: Cho hinh hộp ABCD.A'B'C'D’ có tâm “ã Goi 7 là tâm hình bình hành 4ØCD Đặt AC’ =i,

CA'=¥ | BD'=X | pp'=} Khang dinh nao sau day dung?

Câu 26: Cho tứ diện 48CD có G là trọng tâm tam giác 8CD Đặt =4; ?= 41C; Z = AD Khang

h dé dinh nao sau day dung? |

2024 se) D AG 2/2 2

A AG = Rb Bàn B Ad=-;(§ +7+Z).C AG =s(#+ y+z).D AG =—~{ + +2) Câu 27: Cho tử diện “BC Gọi M va P lần lượt là trung điểm của 4ð và CD Đặt AB = b, 4C=ẻ

, 4D =d Khăng định nào sau đây đúng?

Bai 2 HE TRUC TOA DO TRONG KHONG GIAN

TOA DO DIEM VA TOA DO VECTO

I/ HE TRUC TOA DO OXYZ

+ Là hệ trục bao gồm 3 trục Ox, Oy, Oz déi một vuông góc với

nhau

Truc Oy — TRUC TUNG ; Truc Óz — TRUC CAO

+ Các véc — tơ i, j,k ln lvot la cac VEC - TO DON VI trén cdc

truc Ox, Oy, Oz

II/ TOA BO CUA VECTO VA DIEM TREN HE TRUC

4 : 4 ¡ 4

3) Tọa độ trung điểm 7 của đoạn thắng 4B la I b

° Trọng tam E cua tir dién ABCD la: E ị5

III/ CAC PHEP TOAN TREN HAI VECTO

Cho hai véc — to u(x,39,32,) va v(x,3 232, )

x, =X, + Hai véc — tơ bằng nhau: H=V€>4y,=}, + Phép cộng, trừ: u+v=(x,+x;; 1, + y;;Z¡ + Z; )

Z, = Z,

+ Phép nhan véi mot sé: ku = (hx,3ky,3kz,) + Độ dài véc — to: lr =

y, 2 + Hai véc — tơ 1, cùng phương nếu: u=kv hay asta t

+) Cho điểm M (*„:„;:Z¿„ )- Hình chiếu vuông góc của điểm Xí lên trục, mặt tọa độ nào thì giữ

nguyên tọa độ đó còn các tọa độ khác bằng 0

+ Trục Ox la: M, (x,,;0;0) ¢ Mat toa dd (Oxy) la: M,(x,,39,30)

+) Điểm đối xứng của Ä⁄/(x;,;J„„;Z¿„) qua các trục, mặt tọa độ nào thì giữ nguyên tọa độ đó còn đôi dấu các tọa độ còn lại

Chú ý:

pr _ BÀI TẬP ÁP DỤNG

a) Tìm tọa độ I là trung điện if

c) Tim F sao cho:Ð: là: trong tam tam giac AFD

d =(~3; - 4; 5) phân tích theo ba vecto a, b, ¢ la

A.d=2a-3b-c B.d=2at+3b+c C.d=at3b-c D d = 2a+3b-

VD4: — Trong không gian với hệ tọa d6 Oxyz cho cac vecto a =(I; 2;1), b= (—2;3;4), c=(0;1;2),

d= (4;2;0) Biét d=xatyb+zc.Téng x+y4z la

A x=4 va p=-7 B.x=4 và y=7 C.x=-4 và y=-7 Đ.x=-4 và y=7

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho vecto AO =3 (i+ 47) —2k + 57 Tìm tọa độ của điểm 4

A 4(3; 5; —2) B 4(-3;—17; 2) C 4(3; 17; -2) D A(3; -2; 5)

Cho điểm A(2a;a +1;3a); B(b;2—b;b+3) và C{(2e+1;e;e+1) Tính tong S=3(at+b+c) biét : G(1;1;1) là trọng tâm tam giác 4C |

Trong không gian với hệ tọa độ Ởxyz , cho ba điểm 4(3;1;0), 8(0;—1;0), Œ(0;0;—6) Nếu tam ˆ

giác 4 “8C” thỏa mãn hệ thức AA+PB'B+C'C =0 thì tọa độ trọng tâm của tam giác đó là

Trong không gian với hé toa d6 Oxyz , cho A(1;-1,0), B(0;2;0), C(2;1;3) Toa d6 diém M

A (3;2;-3) B (3;-2;3) C (3;-2;-3) D (3;2;3)

Cho điểm A(—1;2;0) ,B(3;0;-1);C(1;-2;3) Goi toa độ điểm I(x;y;z) thỏa mãn

SIA -4IB+3IC =0 Tìm 2x+y-4z?

A —19 B 16 C -18 D.7

Cho ba diém A(11;1), B(41;1), C(1;1;5) Gọi D là chân đường phân giác trong kẻ từ đỉnh B

Tim toa d6 diém D

VDI

| oo Sas Mi

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp 4BCD.4'B'C!D!' Biết tọa độ các đỉnh ˆ

VD2(

VD15: Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC, biết A(1; 1,1), 8(5;1;—2), C(7;9;1) Tính độ

đài đường phân giác trong 4D của góc A

điểm M, biét rang M thuộc trục Óx và |M.4+ MB = 6, |

Cho véc - tơ = 2i+ vj —3 Tọa độ véc — tơ u là

(A) „=(2:3:—3) X gz B.u=(-23-3) — C.u=(2-3-3) — D.u=(-2;-3:3)

Neel

— lL) us pag , > , os ;

Cho véc — tơ 0 = [x-s2] Hãy phân tích véc — tơ theo các véc — tơ đơn vi

A.n=3i+2j-SẼ B.u=3i+5j-;Ê Cm=3i-5j+ Ê D.u=si-5J+3M

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba diém A(10;2), 8(2;1;4), C(1:1;1) Tính tọa

| lãng) B (155 | C (55:7 D (1;2;7)

37373 24 °2°3

Cho hai diém B(231;1) va C(1;1;1) Tìm tọa độ điểm 4 đỗi xứng với B qua C

A (0;1;1) | B (13131) C (1;1;0) D (1;0;1) Cau 17:

A BA=(-1;-2;-4) B AB=¥21 C A(1;—1:1) D AB =(-1;-2;4)

Hình chiêu vuông góc của AZ (1;2:3) lên trục Ox: dã

Câu 29: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác 48C có A(1;2;3), B(—-3;0;1),C(-]; y;Z) |

Trong tam Œ của tam giác 48C thuộc trục Óx khi cặp ( y;Z) là:

Câu 30: Trong không gian với hệ tọa độ xyz, cho bốn điểm 4(I;0;2), B(-2;1;3), C(3;2;4)

D(6;9;—5) Hay tìm tọa độ trọng tâm cia tir dién ABCD |

Câu 31: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 4(I:1;0), B(3;—1;2) Tọa độ điểm C sao cho |

P là trung điểm của đoạn thắng 4C là

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm A(1:2; 4), (1; 3; 5), C(1;—2;3) Trọng tâm

A G(4;4;1) B G(4;1;1) €C G(1;1;4)' D G(1;4;1)

Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm 4(2;2;1) Tính độ dài đoạn thắng Ó4

A O4=3 B OA=9 C OA=^l5 D OA=5

Câu 36: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 4 điểm M (15233), N(-10;4), P(2;-3;1), O(2:1:2)

Cap vécto nao sau đây là véctơ cùng phương?

A OM và NP B MP va NO C MO va NP D MN va PO

Câu 37: Trong không gian với hệ toa dé Oxyz , cho A(I:-3;2), 8(0;1;—1), G(2;—1;1) Tìm tọa độ điểm

C sao cho tam giac ABC nhan G là trọng tâm |

A c{ 1-12) B C(3;-3;2) C C{5;-1;2) D C(11;0)

Câu 38: Trong không gian với hệ tọa độ Oxvz, cho hình hộp 4BCD.4B'ŒT' có A(0;0;0), B(3;0;0),

D(0;3;0) vA D'(0;3; ¬3) Tọa độ trọng tâm của tam giác 8C là

A (2;1;-1) B (1;1;-2) C (231-2) Dz (4523-1)

_ Câu 39: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho OMf = (15:2), ON = (3;7:—4) Gọi P là điểm đối

l;y;Z) xứng voi M qua W Tìm tọa độ điểm P |

BAI 2.2 TICH VO HUGNG VA TICH CO HUGNG

1 TICH VO HUONG Cho hai véc — tơ u(x,; M2) va v(x, 21}2:Za 4 VI

VDI: Cho 4 diém A(L 2;—2);B(2: 2: 0);C(0; 5 : -1);D(3; 2; x) Goi G la trong tam tam giac

2 TICH C Ó HƯỚNG VÀ UNG DUNG |

+ Tích có hướng giữa hai VÉC — tơ u,v la mot véc — tơ W có gia vuông góc VỚI Ð Ị = (0,3)

Sông 2 + Diện bú Lữ une Sisasco fe aC Z]

1;-1;0) vps: Trong không gian với hệ tọa độ G9z, cho 4(1;2;0), 8(3:-1;1), Cụ; 1;1) Tính diện tích Š

của tam giác 42C,

- VDI0: _ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình bình hành 48C?D với A(I;0;1), 8(2;1;2) và

giao điểm của hai đường chéo là 7 | ; ;0; 1 Tính diện tích của hình bình hành

| + Bốn điểm 4, 8, C, D ĐÔNG PHẲNG (TÚ GIÁO œ [ 4B, AC ].4ö=0

' | ¢Béndiém 4, B, C, D KHONG DONG PHANG (TU DIEN) = | 4B, AC | AD +0

A 12 B 19 —C.38 D 42

kik

tích tứ diện 4BCD băng 5 Tọa độ của D là |

A D(0;-7;0) B D(0;8;0) c ae ~7;0) | D(0; 8; 0) p Pe 7;0) "| D(0;-8; 0)

(Y 09888 22295 .the more you learn, the more you earn

18 Đức Diễn, Bắc Từ Liêm _ `

mmrmrrmma

VDI8: Trong hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có 4(2; 3; 1), B(4; 4-2), C(6 3; 7),

| D(-5;—4;-8) D6 dai đường cao kẻ từ 7 của tử diện là

aN 7 pb 2 7

giữa và & để bốn điểm ABCD déng phang là:

Trong không gian với hệ tọa độ Øsyz cho Ä⁄(2; 3;—1), M(T2: ~l; 3) Tìm toa độ điểm Z |

thuộc trục hoành sao cho tam giác ăW)È vuông tai Af L Cau 1

C a+b|=23 OD la+ð|=

Trong không gian xyz, cho a,b tao voi nhau | góc 120° và la |=3 : |P|= 3 Tìm ?Ï= la- BỊ

A [a,b | = (=3;-7; -3) B Vecto a không cùng phương với vectơ b

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vecto a =(2;2;-4), b=(1;1;-2) Ménh dé nao

8 Đức Dién Bắc Te Lié

@ Thay Nguyễn Ph han Men

Tính diện tích S tam giac ABC

Trong không gian Oxyz, cho A(1;2;-1), B(0;—2;3) Tinh dién tich tam giac OAB

Cho @=(1;0;-3); =(2;1;2) Khi đó [a;b |có giá trị là

A 8, B 3 C 474 D 4 7

asa p.s= 2, C =5, D S=V6 L

Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho tam giác 48C có 4(I:1;0), 8(0;—1;1), C(1;2;1) Khi _

Trong không gian Oxyz , cho bốn điểm A(151,4), B(5;-13), C(2;2;m), D(3;1;5) Tim tat cả gid tri thyc cua tham s6 m dé 4, B, C„ D là bốn đỉnh của một hình tứ diện

A m>6 B m<6 C.metz6 - D m=6

: Trong khéng gian voi hé toa d6 Oxvz, thé tich khéi ttr dién ABCD dugc cho bdi cong thie:

A Vigen = =| C4, CB] 4B} BV ge = =| 4B, AC |.BC

C V4 = <[4.se]-4e| D.Ứ„.= 2Í D4.p8].pẻ

Trong không gian với hệ tọa độ Oxzz , cho bốn điểm 4 (0;1;1), 8(—1;0;2), C(-1;1;0) và điểm

D(2;1;-2) Khi đó thê tích tứ diện 4BCD là

Trong không gian Oxyz, cho tam giac 448C với 4(2;1;1), 8(5;3;6), C(-1;2;3) Tính diện

tích tam giác ABC

| R 1 1p

A Syige = V523 - B Syino = 21523 ÓC ve 21532 ¬ DD Sipe = 21352

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho các điểm A (3: 1;-1), Bd; 0;2),C(5;0;0) Tinh dién tích tam

giac ABC

A A42 B V21 c ¥21/3 D 2V21

Cho Ä⁄ (a;b;c) với a,b,e là các hăng số khác 0, O(0;0;0) la gốc tọa độ Gọi 44, 8,C lần lượt là

hình chiếu vuông góc của Äf trên các trục tọa độ Óx, Oy, Oz Thẻ tích khối tir dién OABC là

CHUONG V PHUONG TRINH MAT PHANG -

Phần 1: Phương Trình Tổng Quat cia MAT PHANG

ĐƯỜNG THANG - MẶT CẤU

Bai 1 PHUONG TRINH MAT PHANG

1, Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (VTPT)

2, Mỗi mặt phẳng đều có phương trình tổng quát dạng Ax + By+Cz+D=0 với 47+ B°+C° #0

Trong khéng gian Oxyz , mat phẳng —— x+2y+3z—5=0 có một véc-tơ "php tuyến là

A m =(3;2;1) B n, =(-1 2:3) .n,=(2;~3) , =(1;2;3)

Đặc biệt (Oxz): y =0 (Oxz): y =0 )

x+2z—3y—5 =0 có một véc-tơ pháp tuyến là

DANG 1 CHO SAN MOTE DIEM:

VA MOT VECTO PHAP TUY EN” a

Phương trình tổng quát của mặt phẳng đi: qua diém M, (x3.% 2) VỚI vécto pháp tuyền n( A,B,C)

la 'AX+ By+Cz~ ( Ax, + By, +Cz,)= 0

p Á.x+y+z— 2= 0 B -x+y+z-2=0i `, —x+y+2z=0 D.x-y—-z+2=0

- VDPR§: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A (2;1;-1), B (- Í; 0; 54),C (0; 22 ) _—.—

- - hương trình nào sau đây của mặt phẳng đi qua A và vuông góc với BC? bé ¡ t, ko TỔ

_ VỤ9; Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, gọi mặt phăng ( ø ) đi qua điểm A ( 1;2;3 )va song

là a song voi mat phang (f ): x-4y+z+12=0 Phương trình tổng quát của ( ø ):

: \Aja-4yt+z+4=0 B.x-4y+z-12=0 C x-4y4+z-4=0 D.x-4y+z+3=0

} - VDI0: Phương trình mặt phẳng (P) đi qua A⁄ (—1; 1;0), và song song với (/):x—2y+ z~10=0

: (A)x-2y+z+3=0 B.-x+2y—z-l=0 C x-2y4+z4+1=0 D x, ~2y+z-5=0 3) ~ VD11: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A ( 2;-1;0 ), B ( 1;0;2 ) Mặt nhẳng trung trực của

đoạn AB có phương trình là:

A 3x-y+2z=0 B.x—-y—2z+3=0 (G rt y+22- l=0 D.x-y-2z= 0 ) VD12: Cho mặt phẳng (P):2x—3z+ 4y—I1=0 Câu nào sau đây đúng

) | C.(P)//(ÓO):4x—-6y+8§z—5=0 Ù Cả ba câu trên đều đúng

)

-_

-~-.~

- - Cặp véc tơ chỉ phương c của mặt phẳng là cặp: véc tơ có giá song song choặc n nằm n trên mặt phẳng đó

- Nếu có hai vecto wy Không cùng phương và gia của chúng song song | nam trên (a ) thì véc tơ

VD13: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A ( 1;-5;1), B(0;-2;1), C (0;-4;2 ) Phương trình i

mặt phẳng (ABC ) là: 4

A ee 3x+ y+2z=0 C.x+y+2z-2=0 Đ.x+3y+2z-2=0

'VD14: Mat phang (a) di qua điểm 40, ~2;4), B(3;2;=l), C(-231;-3) co phương trình là

A =l3x+29y+18z+1=0 Bl ~13x4+29y+18z—1=0

“@.13x-29y-18z-1= 0 | D -13x+29y-—18z-1=0

A -y+4z+19=0 B.jy+4z+l11=0 €C y+4z+13=0 D y+4z-13=0 VD16: Phương trình mặt phẳng đi qua A(-4;3;—2) và chứa trục Oy 1a

A x+2z+8=0 \- B ¥-22=0 - x†+2z=0 D x—-2z+8§=0

VD17: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ø ) đi qua điểm E (4;-1 51), F(3;1;-

va song song với trục Oy Phương trình nào sau đây là phương trình ton uát của ( ø )?

Á 3x+y-l=0_ B hư ty +tztậc 0 C y+z+3=0 “.) j2x-z-7=0

VD19: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz,gọi (y ) là mặt phẳng đi qua điểm M ( 3;-1;-5) và:

vuông góc với hai mặt phẳng ( ø ):*8w -2y+ +2z+7=0, 4à 5x—4y+3z+1=0 Phương trình

tông quát của mặt phẳng CÀ yr i |

B 2x+y—2z~— -l§= “0 € ety 37 415= 0 D 2x+ y-2z-16=

- VD20: Trong không gian với hệ trục toa dé Oxyz, cho A(]; -1;2), B(-2;-2; 2), Cd;1;—1) Phương trình

= on của mặt phẳng (ø ) chứa AB và vuông góc với mặt phang (ABC )

| | | A 3x-y+z=0 B 3x-y+5=0 C 4y—3z-1=0 \Dj==0

VD22: *Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt phăng ( ø ) đi li qua M (2;1;-1 ) và qua giao tuyén

Ti hai mặt phăng X~y+Z~ 4= 0 va 3x- ten -1l=0 Phuong tri trinh mat phẳng (z)là

A 7x-15y+z-16=0 ¥ fs] B, 7x+15y—7z410=0_

BAL TAP TỰ: LUYEN ~ hi in |

: Câu 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P): 2x+y—1=0 Mặt phăng (P )

Trong không gian với hệ trục tọa độ xyz, vectơ nào sau đây không phải là vectơ pháp tuyến |

ciia mat phang (P): x ray —5z+2=0

Câu 8: Trong không gian véi hé toa dé Oxyz, mat phẳng (a) đi qua-điểm M(I2:-3) và nhận '

¡ñ =(1;—2;3) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là

f_ *

A x—2y-3z+6=0 B v~2y~3z~6=0.|C }-2y+3z-12=0.D x-2y+3z+12=0 a Car

Câu 9: Cho ba điểm 4(2;1;-1), B(-1;0;4), C(0;-2;-1) Phương trình nao sau đây là phương trìn

mặt phẳng đi qua 4 và vuông góc với đường thắng BC?

Á.x—-2y-5z=0 B.x~2y~5z~5= C.y—2y—5z+5=0, Ð, 2x~y+3z—5=0,

Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Óxyz, mặt phn ( (P) đi q qua điểm Af (1; 2; 3) và vuông góc Ệ

(z):3x—y+2z+4=0 Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phing di qua Af v

song song VỚI (z)/ ?

wy

›tuyến _ Câu 1Š: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,cho ba điểm 4(2;1;~1), B(—1;0;4), C(0;~2;—1) Phương

| trình nào sau đây là phương trình của mặt phắng đi qua 4 và vuông goc BC

oo song với mặt phăng (Oxz) có phương trình là: AQ ˆ”'ˆ 2 ¿ * ân TS NẺC

12=0 — Câu 17: Trong không gian Oxyz cho hai diém A(-2;0; 1) ,„ 244: 2; ;5) phuong trinh mat phang trung truc

Ũ Á x+y+3z+5=0 (By x+y-3z-5=0 C.x+y+3z+1=0 D.x+y—3z+5=0

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, việt phương trình mặt phăng đi qua ba điểm A(1;1;4) ; B(2;7;9), C(O; 9; 13)

Cầu 21: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz phương trình tổng quát của mặt phằng ( P ) đi qua điểm

M (0; —1; 4) va nhận = (3,2,1), v= (—3,0,1) lam vecto chi phuong 1a: |

@= 3y+3z— 15= 0B 3x+3y-z=Ũ_ C.x+y+z-3= 0 D.x-y-z-i2=0

| pha :

a M và Cau 22: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(-1;2;3) và hai mat phing (P):x-2= 0,

(x z-1=0 Mat phang (R) di qua À và vuông góc với hai mặt phẳng (P ): (Ó)

+6=0 ÍA)(œ): y+z—5=0 B (R):y+2z—8=0

Y Cau 23: Goi (a) 1a mat phing đi qua điểm 4 (3;-1;-5 ) và vuông góc với hai mặt phăng

(P):3x—2y+2z+7=0,(@):5x—4y+3z+I=0 Phương trình nào sau đây là phương trình

tổng quát của (a)

i A.2x+y~2z—16=0 TÌ 2x+y~2z—15=0 Cx+y+z+3<0— D.2x+y~2z+15=0

thong không gan 2 VỚI hệ tọa độ One ; cho hai mặt phẳng ( Pyix x- ye z=0,- CAéu3i

A (R):x+2y432=0 B (R):2v+3p+2=0€ (R):3x+2y+z=0D (R):2x~3y+z=0, Câu 32

Trong không gian với hệ trục tọa dé Oxyz, cho hai mặt phẳng (Ó,): 3x-y+4z+2=0 va

- (Ø,):3x—y+4z+8§=0 Mặt phẳng(P) song song và cách đều hai mặt phẳng (Ø,) và (Ø,) là

\C,/(P):3x— y+4z—10=0 D (P):3x-y+4z-5=0 :

Trong khéng gian voi hé toa d6 Oxyz, cho hai diém A(2;4;1), B(-1: L 3) và mặt phẳng

(P): x—3y+2z—5 =0 Viết phương trình mặt phẳng (Ó) di qua hai diém 4, B và vuông góc Câu 34

x+2y—-3z+l=0 và 2y~3y+z+1= 0 có phương trình là

Cau 37: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , phuong trình mat phẳng đi qua ba điểm ă 1;3; 2E ES

+2=0 (4u32: Trong khéng gian Oxyz, mặt phăng đi qua tâm của mặt cầu (x—1) +(y+2) +z? =12 va song

©,) là: A yt+1=0 B y-2=0 C y+2=0 (Dp x+2-1=0

| voi CD Véctơ nào sau đây là véctơ pháp tuyến của (P) ?

A.n=(l-kl — B.n=(k-D (Chi (bl) —DĐ.ø=(-EEI)

(@):x+3y—3z+5 =0 Mặt me “” di qua hai điểm Af ,N và vuông góc với mp(Q) có

phương trinh là Min Ayo é ) ô }

A 3x-2y-z-5=0 B mà 5p 3x+2y+z-1=0 D.-3x+2y-z+3=0_

Ễ Câu 36: Trong không gian cho tứ diện S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Cho tọa độ điểm

= S(1;2;—4), A(2;-1;3) Phuong trình mặt phẳng (ABC) là

= ¢ yee B x-3y+8z-14=0C x+3y~7z~26 =0 D 2x+y~5z—18 =0

au 37: g không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình mặt phăng chứa trục Oy và điểm (Ö, A, 9)

Q( 1;4;-3 ) là:

2 (A)3x+z=0 B 3x+y=0 C x+3z Đ.3z-z=0 : AE

- Câu 38: "Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz„cho hai điểm A(- —1;1;5), B(1;2;-1) Phuong trinh nào - 2

sau đây là phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (Oxy)? £”

- A 6x—3y+z+7=0 B.6y+z-l1=0 ( Cjx-2y+3=0 D 3x42-2=0

;3) Mat Cầu 39: Cho mặt phẳng (Q) di qua hai diém A(3; t =Ù, 8(2;-1;4) và _ vuông góc với mặt phẳng

= (8): 2x-y+3z-1=0 Khi đó phương trình mặt t phẳng (Q) là a Ễ

Câu 40: Cho mặt phẳng (2) di qua diém M(-1;-2;5), va vuéng góc với hai mặt phẳng

(A)-x-y-z-2=0 B.x+y+z+2=0 C x+y+z—3=0 Ù.x+y+Z-2=0 co

fy ona

LÍ PI

iy +¢

Bai 1.2 Phuong trinh mat phẳng

| Í Mặt phẳng (œ) không đi qua gốc O, cắt trục Øx,@y,Øz lần lượt tại ba điểm A(a;0;0), B(0; 0) va

| nay goi la phuong trinh theo doan chăn của mặt phăng (a) Goi tat la

+ Gọi H là trực tâm của tam giác ABC thì

PHUONG TRINH MAT CHAN

+ + Got G la la trong tâm c cua | tam giac ABC thi a( 3:2:

: + BDTCO SI:a+b+c > 3¥abe , dau “=” khi a=b=c

VDI: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm 3 (2;0;0), N(0;1;0) va P(0;0;2) Mat phang (AZNP)

VD5: Trong không gian Oxyz, cho điểm 1 (2; 3,4) Goi A, B, C lần lượt là hình chiêu vuông góc

của Äf lên các trục Ởxy, Óy, Ởz Viết phương t trình mặt phẳng (ABC) yy

VD6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( S ) e+ yp 477-2 (x +2y+ 3z) =0 Gọi yy

4,B,C lần lượt là giao điểm (khác gốc tọa độ ) của mặt cầu (Š) và các trục tọa độ Ox , Oy Ệ

Á 6x—3y—-2z+12=0 B 6x — 3y+2z— 12= = 0

C 6x+3y+2z-12=0 D 6óx—3y—2z—12= =0, VD: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt phăng (P):3x—5y+z— AS = 0 cắt các trục toa

d6 Ox Oy ,0z lan lwot tai 4,B,C Tinh thé tich tir dién OABC

Tinh khoang cach / tir gốc tọa độ đến mặt phẳng (M4NP) | a Ah=2, 3 B h=—2 3 Chae 3 D h=—e V7

VD9: Trong không gian với hệ tọa độ Óxyz, gọi (a) la mặt phăng qua đ{1 2;3) và cắt các trục

A 6x+3p+2z—18=0, | B 6x+3y+2z+9=0 J YDI

C 3x+6y+2z+18=0 D.2x+y+3z—-9=0., Ễ

A,B,C là ba điểm lần lượt nằm trên các trục Ox,Ov,Oz (khác gốc tọa độ) Phương trình a

E VDI

A 3x+y+2z-9=0 B x42y+3z-14=0C 3x+2y+z-10=0 ® T?2+3=l

cac truc toa d6 Ox, Oy, Oz lan luot tai cac diém A, B, C không trùng với gốc tọa độ sao cÌ VDa

M là trực tâm tam giác 4BC Trong các mặt phẳng sau, tìm mặt phăng song song với mặt phẳng- -

(P)

A 2x+y+z—9=0 B 3x+2y+z+l4=0

C.2x+y+3z+9=0 | D 3x+2p+z—14=0

VDI2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M (-1;2;2 ) Phương trình mặt phăng đi at

A x-2y+3z-6=0 B.x-2yp+3z-l=0 C.-x+2y-3z+2=0D x+2y+3z-9=0 ——

Viết phương trình mặt phẳng (P) qua AZ (1; 2; 1) , lân lượt cắt các tia Ox, Oy, Oz tai cac diém

A, B, C sao cho hình chóp Ø.48C đều

D (P) :#—y+z=0

Trong hệ tọa độ Oxyz, mặt phăng (a) đi qua điểm M(2; - 1;4) và chắn trên nửa trục dương Oz

gấp đôi đoạn chăn trên nửa trục Ox, Oy có phương trình là:

Á.x+y+2z+6=0 B.x+y+2z-6=0 C 2x4+2y4+z+6=0 D.2x+2y+z-6=0

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 4(2,0,0), (1,1,1) Mặt phẳng (P) thay đối qua A, B

cắt các trục Oy, Oz lần lượt tại C(0; b; 0), D(0; 0; c) (b >0,c >0) Hệ thức nào dưới đây là đúng

A bc =2(b +c) B be = + ° C b+c=be D be=b—c : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P ) đi qua A ( 3;0;0 ).va C (0;0;1) cat truc

Oy tai B sao cho dién tích tam giác ABC bằng 5 Phuong trinh mat phang (P) 1a

A s†2+r=l hoặc B 2x+3y+6z-7=0

C 2x-3y+6z+4=0 D Sty +2 -1=0 L

*Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, gọi ( ø ) là mặt phăng đi qua điểm M (1;1;1) và cắt trục 0x,0y ,0z lần lượt tại 4, Ø,C sao cho thể tích tứ diện 04C đạt giá trị nhỏ nhất Phương _ trình mặt phăng (ø ) là:

Á.x+y+z-3=0 B.2x+y-z+3=0 C.2x-y+z-3=0 D.x-y+z-3=0

*Phương trình của mặt phăng nào sau đây đi qua điểm Ä# (1: 2;3) và cắt ba tia Ox, Oy, Oz lan

luot tai A,B,C sao cho thé tich tir dién OABC nho nhat?

*Cho ba diém A(a;0;0), B(0;5;0) „ C(0;0;c) trong đó a,b,e là các số dương thay đổi thỏa

mãn + + ; + + = 2019 Mat phăng (ABC) luôn đi qua một điểm cô định có tọa độ là

Trong không gian với hệ tọa độ Øxyz, cho 3 điểm 4(I;0;0); #(0;~2;0);C(0:0;3) Phương _

trình nào đưới dây là phương trình mặt phẳng L A ABC)’ 9 :

A ores eae sretes= 0 xâm