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Project Gutenberg’s Elemente der Absoluten Geometrie, by Johannes Frischauf This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included with this eBook or online at www.gutenberg.org Title: Elemente der Absoluten Geometrie Author: Johannes Frischauf Release Date: August 26, 2009 [EBook #29806] Language: German Character set encoding: ISO-8859-1 *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK ELEMENTE DER ABSOLUTEN GEOMETRIE *** Dank Produced by Ralf Stephan, Joshua Hutchinson and the Online Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net (This file was produced from images from the Cornell University Library: Historical Mathematics Monographs collection.) ELEMENTE DER ABSOLUTEN GEOMETRIE VON Dr. J. FRISCHAUF, PROFESSOR A. D. UNIVERSIT ¨ AT GRAZ. LEIPZIG. DRUCK UND VERLAG VON B. G. TEUBNER. 1876. Vorwort. Die Grundlage der vorliegenden Schrift bildet meine vor mehr als drei Jah- ren erschienene freie Bearbeitung von J. B o l y a i’s absoluter Raumlehre. ∗ Zu dieser Arbeit veranlasste mich der damals in der  Zeitschrift f ¨ ur den mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht  in h ¨ ochst unduld- samer und leidenschaftlicher Weise gef ¨ uhrte Streit ¨ uber die zweckm ¨ assigste Behandlung der Lehre von den Parallelen; dadurch wollte ich Klarheit in die- se wichtige Frage bringen, namentlich das Unn ¨ utze der Beweis-Versuche f ¨ ur das elfte euclidische Axiom darlegen. Da gegenw ¨ artig die richtige Ansicht ¨ uber die Parallelen-Frage in die mei- sten Kreise gedrungen ist, so glaubte ich, dass eine vollst ¨ andige Untersuchung der geometrischen Voraussetzungen und eine ¨ ubersichtliche Zusammenstel- lung der Resultate der darauf bez ¨ uglichen Arbeiten nicht ohne Interesse sein d ¨ urfte. Die Literatur, soweit sie sich auf den hier in engen Grenzen behandel- ten Stoff bezieht, konnte Dank der vielfachen Unterst ¨ utzung meiner Freunde ziemlich vollst ¨ andig ber ¨ ucksichtigt werden. Besonders dankend muss ich die Bereitwilligkeit des Herrn Dr. J. H o ¨ u e l (Professor in Bordeaux) r ¨ uhmen, der mir nebst anderen wichtigen Schriften das Manuscript seiner Ueberset- zung des in russischer Sprache erschienenen Hauptwerkes von L o b a t - s c h e w s k y’s  Neue Principien der Geometrie nebst einer vollst ¨ andigen Theorie der Parallelen  f ¨ ur meine Studien zur Verf ¨ ugung stellte. Die Darstellungsweise wurde durch die R ¨ ucksicht bestimmt, dass mei- ne Schrift Lesern gewidmet sei, welche mit der gew ¨ ohnlichen Behandlung der Geometrie vertraut, das Bed ¨ urfniss einer Aufkl ¨ arung der Dunkelheiten in den Principien f ¨ uhlen; diesen Zweck glaubte ich durch eine kurze, alles ¨ uberfl ¨ ussige Detail vermeidende Schreibweise am besten zu erreichen. Dass ich unter diesen Umst ¨ anden bei der Wahl der aus den Elementen als be- kannt vorauszusetzenden Theorien manchmal nach der einen oder anderen ∗ A b s o l u t e G e o m e t r i e nach J. B o l y a i bearbeitet. Leipzig, Verlag von B. G. Teubner. 1872. — iii — Richtung etwas zu weit ging, m ¨ oge der geehrte Leser entschuldigen. Als das Endziel meiner Schrift halte ich die Erkenntniss des Einflusses einer jeden ein- zelnen geometrischen Voraussetzung: denn nur dadurch k ¨ onnen die den ver- schiedenen Formen der Erfahrung entsprechenden Theorien aufgebaut wer- den. Die f ¨ ur die letzteren eben erw ¨ ahnten Fragen h ¨ ochst wichtigen Untersu- chungen von R i e m a n n und H e l m h o l t z fanden hier eine ungleiche Ber ¨ ucksichtigung. F ¨ ur die erstere suchte ich durch erl ¨ auternde Bemerkungen und die Angabe der Schriften, welche die bei Riemann unterdr ¨ uckten Rech- nungen enthalten, dem Leser das Studium dieser Abhandlung zu erleichtern. Die Arbeit von Helmholtz wurde (mit Ausnahme der Schlussfolgerungen) hier desshalb vollst ¨ andig mitgetheilt, weil sie den Zusammenhang der analy- tischen und synthetischen Voraussetzungen der Geometrie aufkl ¨ art, und weil es m ¨ oglich ist, die analytischen Entwicklungen in zwei wesentlichen Punkten zu vereinfachen, wodurch diese Untersuchung an Klarheit und Uebersicht- lichkeit bedeutend gewinnt. Bei der Correctur des Druckes wurde ich vom Herrn A. v. F r a n k, Lehrer an der hiesigen Gewerbeschule, auf das freundlichste unterst ¨ utzt, wof ¨ ur ich ihm meinen innigsten Dank ausspreche. G r a z, im M ¨ arz 1876. J o h a n n e s F r i s c h a u f. Inhalt. Erstes Buch. Voraussetzungen und Grundgebilde. Einleitende Bemerkungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Kugelfl ¨ ache und Kreislinie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Gerade und Ebene. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Zweites Buch. E r s t e r A b s c h n i t t . Parallelen-Axiom und euclidische Geometrie. Das geradlinige Dreieck. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Nicht schneidende Gerade in derselben Ebene, parallele Gerade. . . 21 Winkel zweier Parallelen mit einer schneidenden Geraden. . . . . . 26 Zusammenhang der Parallelen und der Winkelsumme des Dreiecks. 27 Euclidische Geometrie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Z w e i t e r A b s c h n i t t . Nichteuclidische Geometrie. Historische Bemerkungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Parallele, Nichtschneidende und Linien gleichen Abstandes. . . . . . 32 Winkelsumme und Fl ¨ ache des Dreiecks. . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Unendlich ferne Funkte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 S ¨ atze aus der Stereometrie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Ebenen durch parallele Gerade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Grenzfl ¨ ache, Grenzlinie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Figuren auf der Grenzfl ¨ ache. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Anwendung auf das geradlinige und sph ¨ arische Dreieck. . . . . . . . 51 Verh ¨ altniss zweier Grenzb ¨ ogen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Beziehung zwischen Distanz und Parallelwinkel. . . . . . . . . . . . 54 Linien und Fl ¨ achen gleichen Abstandes. . . . . . . . . . . . . . . . 56 Kreisumfang. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 — v — Ebene Trigonometrie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Unendlich kleine Figuren, absolute Geometrie im Sinne Bolyai’s und Lobatschewsky’s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Aufgaben ¨ uber Parallele und Nichtschneidende. . . . . . . . . . . . 65 Punkt und Linien-Element in der Ebene. . . . . . . . . . . . . . . . 69 Grenzlinie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Gleichung der Geraden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Entfernung zweier Punkte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Kreis und Kr ¨ ummung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Punkt und Linien-Element im Raume. . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Gerade und Ebene. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Andere Coordinaten-Systeme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Fl ¨ achenbestimmung ebener Figuren. . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Fl ¨ achenbestimmung r ¨ aumlicher Figuren. . . . . . . . . . . . . . . . 95 Inhaltsbestimmung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Drittes Buch. Endlicher Raum und absolute Geometrie. Absolute Sph ¨ arik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Planimetrie des endlichen Raumes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Absolute Geometrie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Absolute Projectivit ¨ at. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Versinnlichung der Geometrie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Riemann’s und Helmholtz’s Raumtheorien. . . . . . . . . . . . . . . 120 Anhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Erstes Buch. Voraussetzungen und Grundgebilde. Einleitende Bemerkungen. 1. Die Erfahrung f ¨ uhrt uns zur Idee, die K ¨ orper ohne R ¨ ucksicht auf ihre besonderen Eigenschaften blos nach der M ¨ oglichkeit der Zusammensetzung zu einem anderen und der Zerlegung in Theile zu betrachten. Die Erfahrung l ¨ asst uns auch erkennen, dass jeder K ¨ orper einen gewissen Raum einnimmt, n ¨ amlich einen Theil des durch die Erfahrung gegebenen Raumes. Dadurch gelangen wir zur Idee eines Raumes, in welchem K ¨ orper sein k ¨ onnen, aber nicht sein m ¨ ussen. Dieser Raum ist, da wir ihn durch das Wegdenken der in demselben sich befindlichen Dinge erhalten, ein leerer Raum; man nennt ihn desshalb auch den i d e a l e n. In dem idealen Raume kann man sich einzelne Theile denken, die durch die K ¨ orper der Erfahrung ausgef ¨ ullt werden k ¨ onnen. Diese Theile kann man unter einander gleichartig voraussetzen — weil sie eben durch keine bestimm- ten K ¨ orper ausgef ¨ ullt sind. Den idealen Raum stellt man sich daher ¨ uberall gleichartig und ohne Unterbrechung zusammenh ¨ angend, d. i. s t e t i g vor. Derselbe ist daher auch t h e i l b a r bis zu beliebig kleinen Theilen. 2. Ein aus dem (idealen) R ¨ aume ausgeschiedener (d. i. f ¨ ur sich betrachteter) Theil heisst ein (mathematischer) K ¨ o r p e r, das ihn vom Gesammtraume Abgrenzende heisst die O b e r f l ¨ a c h e des K ¨ orpers. Durch einen Schnitt S kann ein K ¨ orper K in zwei Theile A und B zerlegt werden, welche letztere wieder durch Zusammenf ¨ ugung den ersten K ¨ orper K bilden. Man sagt: die K ¨ orper A und B b e r ¨ u h r e n sich im Schnitte S. Der Schnitt S heisst auch eine F l ¨ a c h e, die K ¨ orper A und B bestimmen die entgegengesetzten Seiten derselben. — 2 — Fig. 1. Bei zwei Schnitten S und S  desselben K ¨ orpers K k ¨ onnen zwei F ¨ alle eintreten. Liegt der eine Schnitt vollst ¨ andig auf der einen Seite des ersten, so wird der dieser Seite zugeh ¨ orige Theil von K wieder in zwei, also der urspr ¨ ungliche K ¨ orper in d r e i Theile zerlegt. Liegt jedoch der eine Schnitt zu beiden Seiten des anderen, d. h. geht er durch den anderen Schnitt hindurch, so wird jeder der beiden Theilk ¨ orper wieder in zwei K ¨ orper, also der urspr ¨ ungliche K ¨ orper in v i e r Theile zerlegt. Die beiden Schnitte S und S  schneiden sich in einer L i n i e l, welche die D u r c h s c h n i t t s - l i n i e der beiden Schnittfl ¨ achen heisst. Sind A und B die Theile von K, erhalten durch den ersten Schnitt S, A  und A  , B  und B  die Theile in Folge eines zweiten Schnittes S  der zweiten Art, so b e r ¨ u h r e n sich die K ¨ orperpaare A  und B  , A  und B  , welche zu entgegengesetzten Seiten der beiden Schnitte liegen, in der gemeinsamen Linie l dieser Schnitte. Ein dritter Schnitt S  kann derart gef ¨ uhrt werden, dass er jeden der vier Theilk ¨ orper der beiden ersten Schnitte, also auch die beiden ersten Schnitte selbst, mithin auch ihre Durchschnittslinie in einem P u n k t e P schneidet. Der urspr ¨ ungliche K ¨ orper K wird dadurch in a c h t Theile zerlegt; je zwei Theil-K ¨ orper der vier Paare, welche zu entgegengesetzten Seiten der drei Schnitte liegen, b e r ¨ u h r e n sich in dem Punkte P . Denkt man sich von den Theilen A und B des K ¨ orpers K fortgesetzt ohne Ende Theile abgeschnitten ohne den Schnitt S zu treffen, so erh ¨ alt man den Begriff der Fl ¨ ache S als eines selbstst ¨ andigen Gebildes im Raume. In gleicher Weise kann man von zwei K ¨ orpern, die sich in einer Linie l ber ¨ uhren, fortgesetzt Theile abschneiden, ohne diese Linie l zu treffen, und dadurch zum Begriffe der Linie im Raume gelangen. Den Punkt im Raume kann man als das Endresultat der Schnitte betrachten, die fortgesetzt an zwei in einem Punkte sich ber ¨ uhrenden K ¨ orpern derart gef ¨ uhrt werden, dass sie den Punkt nicht treffen. 3. Die Oberfl ¨ ache eines K ¨ orpers kann als der Inbegriff der Schnitte, welche den K ¨ orper vom Raume abtrennen, betrachtet werden. Jede Fl ¨ ache kann da- her als Theil der Oberfl ¨ ache eines K ¨ orpers angesehen werden, sie wird von letzterem durch einen Inbegriff von Linien abgetrennt, welche der U m f a n g der Fl ¨ ache heisst. Wird eine Fl ¨ ache durch einen Schnitt in zwei Fl ¨ achen zer- legt, so bestimmen die letzteren die beiden entgegengesetzten Seiten der Li- — 3 — nie, welche der Schnitt auf der gegebenen Fl ¨ ache bildet. Ein Schnitt trifft eine Linie in einem Punkte, die beiden Theile der Linie bestimmen die ent- gegengesetzten Seiten des Punktes. Die entgegengesetzten Seiten der Oberfl ¨ ache eines K ¨ orpers, welche durch den K ¨ orper und den ihn umgebenden Raum bestimmt sind, werden resp. die i n n e r e und die ¨ a u s s e r e Seite der Oberfl ¨ ache genannt. In gleicher Weise nennt man die beiden entgegengesetzten Seiten des Umfanges einer Fl ¨ ache, welche durch die Fl ¨ ache und den sie erg ¨ anzenden Theil der Oberfl ¨ ache des (hinzugedachten) K ¨ orpers bestimmt sind, resp. die i n n e r e und die ¨ a u s s e r e Seite der Fl ¨ ache. 4. Punkt, Linie, Fl ¨ ache und K ¨ orper sind die G r u n d g e b i l d e der Geo- metrie. Jedes Gebilde kann von einem Orte des Raumes an einen anderen ge- bracht werden; zwei Gebilde, etwa A und B, welche sich nur durch die Orte, an denen sie sich befinden, unterscheiden, werden c o n g r u e n t e Gebilde genannt und durch A ∼ = B bezeichnet. Diese vorausgesetzte Beweglichkeit erm ¨ oglicht die Einf ¨ uhrung von Gebilden, welche aus lauter congruenten Ele- menten in gleicher Weise zusammengesetzt sind, und welche man  an allen Stellen gleichartig  nennt. Zwei solche Gebilde k ¨ onnen ohne R ¨ ucksicht auf ih- re Grenzen zur Deckung gebracht und mit einander verglichen d. i. gemessen werden. Man pr ¨ uft z. B. eine an allen Stellen als gleichartig vorausgesetz- te Fl ¨ ache hinsichtlich dieser Eigenschaft dadurch, dass jeder beliebige Theil derselben durch Verschiebung auf der Fl ¨ ache mit jedem beliebigen Theil der unge ¨ anderten Fl ¨ ache zur Deckung gebracht werden kann. Bei dieser Verschie- bung f ¨ allt die ¨ aussere oder innere Seite des verschobenen Theils resp. mit der inneren oder ¨ ausseren Seite der ganzen betrachteten Fl ¨ ache zusammen. In gleicher Weise kann auf einer solchen Fl ¨ ache in einer an allen Stellen gleich- artigen Linie jeder ihrer Theile mit einem beliebigen anderen zur Deckung gebracht werden. Beispiele hierzu sind die Kugelfl ¨ ache und der auf ihr lie- gende Kreis nach unseren gew ¨ ohnlichen Vorstellungen. Eine Fl ¨ ache heisst u m k e h r b a r, wenn — dieselbe zweimal gedacht — die inneren oder ¨ ausseren Seiten zur Deckung gebracht werden k ¨ onnen. Zwei Gebilde, welche aus congruenten Theilen in beliebiger Weise zusam- mengef ¨ ugt sind, werden g l e i c h genannt, und zwar i n h a l t s g l e i c h oder f l ¨ a c h e n g l e i c h, je nachdem K ¨ orper oder Fl ¨ achenr ¨ aume in Betracht kommen. [...]... Jeder Punkt der Linie m bleibt bei dieser Bewegung entweder an demselben Ort, d h ist ein Ruhepunkt, oder er ist hinsichtlich der Punkte O und O gleich bestimmt und bildet daher auf der Fl¨che S eine Kreislinie Ein Rua hepunkt R muss existiren; denn sonst w¨re eine letzte Kreislinie vorhanden, a auf welche man wieder das vorige Verfahren der Construction der Linie m ∗ Ob diese Ber¨hrung in einem oder... CB einander gleich, so k¨nnen die Punkte A und B als die o Mittelpunkte der die Ebene erzeugenden Kugelfl¨chen betrachtet werden a Zusatz 2 Dreht man in einer Ebene eine Strecke derart, dass der eine Endpunkt in unver¨nderter Lage bleibt, so beschreibt der andere Endpunkt a eine Kreislinie, welche als der Durchschnitt zweier Kugelfl¨chen mit gleichen a Radien betrachtet werden kann; der unver¨nderliche... zusammen F¨llt der Punkt D ausserhalb der Strecke AB, so kann man aus der Figur a A ABB , indem man mit ihr congruente Figuren zusammenf¨gt, eine deraru tige erhalten, dass der Punkt E auf die Strecke AB oder in den Endpunkt B der neuen Figur f¨llt Vergl Art 22 a Daraus folgt, dass die Summe der inneren Winkel zweier Parallelen mit einer schneidenden Geraden entweder jedesmal zwei Rechte betr¨gt oder jea... Geraden mit der durch das Kugelsystem der Punkte O und O des vorigen Art bestimmten Geraden g in eine solche Lage, dass die gemeinsamen Punkte M und N in diese Gerade g fallen, so m¨ssen s¨mmtliche Punkte der Geraden g1 und g2 u a mit den Punkten der Geraden g zusammenfallen Denn im entgegengesetzten Falle m¨ssten die Punkte der Geraden g1 oder g2 oder beider Geraden, welche u ausserhalb der Geraden... i n k e l; der gemeinsame Punkt heisst der S c h e i t e l, die von ihm ausgehenden Geraden heissen die S c h e n k e l des Winkels, derselbe wird durch M AB oder BAM bezeichnet Werden die Schenkel als starre (d i feste) Linien gedacht, so kann der Winkel an einen beliebigen anderen Ort des Raumes gebracht werden; bleibt der Scheitel A und e i n Schenkel AB unge¨ndert, so ist die Lagen¨nderung eine... a die Geometrie setzt also vor allem anderen die M¨glichkeit der Congruenz voraus o Die Messung der Raumgr¨ssen beruht auf der Voraussetzung der Zusammensetzung o aus congruenten Elementen Es werden daher alle Linien aus congruenten Linien-Elementen, alle Fl¨chen aus congruenten Fl¨chen-Elementen und consequentermassen alle K¨rper a a o aus congruenten K¨rper-Elementen zusammengesetzt betrachtet.∗... Wirklichkeit stattfindet, steht im Zusammenhang mit der Untersuchung der einander nicht schneidenden Geraden, welche in derselben Ebene liegen Nicht schneidende Gerade in derselben Ebene, parallele Gerade 23 1) Zwei Gerade AA und BB , welche von einer dritten Geraden AB derart geschnitten werden, dass die Summe der innern Winkel, welche auf derselben Seite der schneidenden Geraden AB liegen, zwei Rechte... Bei der oben u erw¨hnten Bewegung des Kugelsystems falle der Punkt K a nach K ; durch diese Punkte wird die Linie κ in zwei Theile zerlegt: es sei P die Mitte des einen und Q die Mitte des anderen; die Punkte der Linie P K fallen in der neuen Lage mit den Punkten P K der urspr¨nglichen Lage zusammen, die Punkte P und u Q sind die Ruhepunkte der Drehung Die Punkte P folgen von einem der Punkte A oder... Radius der Kugelfl¨che S so lange stetig wachsen, bis die o a ganze Fl¨che S von der Fl¨che S eingeschlossen ist Durch stetige Vermina a derung des Radius von S wird das eingeschlossene Segment B der Fl¨che S a bis zum Verschwinden abnehmen, in welchem Momente die beiden Fl¨chen a ∗ S und S sich ber¨hren und zwar von i n n e n oder von a u s s e n, je u nachdem der Punkt O im Inneren oder Aeusseren der. .. ihr liegt; so sind mit der Unbegrenzta heit und Unendlichkeit der Geraden die Unbegrenztheit und Unendlichkeit der Ebene ausgesprochen Da die Unbegrenztheit des idealen Raumes aus dessen Gleichartigkeit an allen Theilen folgt, so kann der Geraden, also auch der Ebene die Eigenschaft der Unbegrenztheit zuerkannt werden Die Eigenschaften der Endlichkeit und Unendlichkeit m¨ssen besonders vorausgesetzt u . Project Gutenberg’s Elemente der Absoluten Geometrie, by Johannes Frischauf This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost. away or re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included with this eBook or online at www.gutenberg.org Title: Elemente der Absoluten Geometrie Author: Johannes Frischauf Release. Punkte der Geraden g 1 und g 2 mit den Punkten der Geraden g zusammenfallen. Denn im entgegengesetzten Falle m ¨ ussten die Punkte der Geraden g 1 oder g 2 oder beider Geraden, welche ausserhalb der