Ứng dụng tính Đơn Điệu hàm số trong giải phương trình và bất phương trình

Ứng dụng tính Đơn Điệu hàm số trong giải phương trình và bất phương trình Ứng dụng tính Đơn Điệu hàm số trong giải phương trình và bất phương trình

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

Đặng Lương Phú

ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội – Năm 2022

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

Đặng Lương Phú

ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 8460101.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS Vũ Đỗ Long

Hà Nội – Năm 2022

MỤC LỤC

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN 6

MỞ ĐẦU 7

CHƯƠNG 1 9

CƠ SỞ LÝ THUYẾT 9

1.1 Hàm số và tính đơn điệu hàm số 9

1.1.1 Hàm số 9

1.1.2 Tính đơn điệu của hàm số 9

1.2 Các cách xét tính đơn điệu của hàm số 10

1.3 Một số tính chất về đơn điệu của hàm số 11

CHƯƠNG 2 14

ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH 14

2.1 Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình 14

2.1.1 Bài toán 1 Giải phương trình F(x) = 0 14

2.1.2 Bài toán 2 Tìm điều kiện của tham số m để phương trình F(x,m) = 0 có nghiệm ( n nghiệm) trên  24

2.1.3 Bài tập tự luyện 28

2.2 Ứng dụng tính đơn điêu của hàm số để giải bất phương trình 31

2.2.1 Bài toán 1 Giải bất phương trình F(x) > 0 31

2.2.2 Bài toán 2: Tìm điều kiện của tham số m để bất phương trình F(x,m) > 0 có nghiệm (thỏa mãn với mọi) x trên  40

2.2.3 Bài tập tự luyện 46

CHƯƠNG 3 48 PHÂN TÍCH CÁCH SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ TRONG

ĐỀ THI TRẮC NGHIỆM MÔN TOÁN Ở KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT 48 3.1 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số trong giải phương trình, bất phương trình mũ và logarit 49 3.2 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số trong bài toán tìm điều kiện để

phương trình, bất phương trình có nghiệm 51 3.3 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình điều kiện từ đó tìm GTLN, GTNN của hàm số 54 3.4 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số trong giải phương trình nghiệm

nguyên 58 3.5 Câu hỏi tự luyện 61 CHƯƠNG 4 63 PHÂN TÍCH CÁCH SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ TRONG

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 63 4.1 Sử dụng phương pháp chứng minh hàm đơn điệu trong các bài thi học sinh giỏi 63 4.2 Sử dụng phương pháp hàm đặc trưng để giải bài toán học sinh giỏi 68 4.2.1 Khai thác tính chất hàm đặc trưng để giải phương trình 69 4.2.2 Khai thác tính chất hàm đặc trưng để giải bất phương trình đại số 79 KẾT LUẬN 85 TÀI LIỆU THAM KHẢO 86

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành đề tài nghiên cứu, em xin bày tỏ lòng cảm ơn đến Ban Giám hiệu; Phòng đào tạo sau đại học; Ban Chủ nhiệm và các Thầy, Cô giáo khoa Toán –

Cơ – Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội

Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc về sự hướng dẫn tận tình chu đáo của PGS.TS Vũ Đỗ Long trong suốt thời gian nghiên cứu và thực hiện đề tài

Em xin chân thành cám ơn Ban Giám hiệu, các Thầy, cô giáo tổ Toán, trường THPT Vinschool Times City đã nhiệt tình giúp đỡ, trao đổi và tạo điều kiện thuận lợi cho em trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Hà Nội, ngày 15 tháng 07 năm 2022

Học viên

Đặng Lương Phú

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN Viết tắt Viết đầy đủ

THPTQG : Trung học phổ thông Quốc gia GD&ĐT : Giáo dục & đào tạo

MỞ ĐẦU Toán học là một môn học quan trọng trong chương trình phổ thông Việc giảng dạy

và học tập môn Toán trong trường phổ thông không những nhằm trang bị cho học sinh nhũng kiến thức cụ thể áp dụng trong cuộc sống cũng như trong các môn học khác mà điều quan trọng hơn là cung cấp, rèn luyện cho học sinh các kĩ năng, phương pháp tư duy của Toán học, điều cần thiết cho học sinh trong cả cuộc đời

Trong muôn vàn các chủ đề Toán học được dạy suốt nhiều năm qua thì việc sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, bất phương trình luôn được đề cập Chủ đề này thường xuyên xuất hiện trong các kì thi đại học, cao đẳng trước đây hay

kì thi THPTQG sau này và trong các đề thi học sinh giỏi được sử dụng khá phổ biến Với mong muốn hệ thống lại kiến thức về tính đơn điệu của hàm số và các ứng dụng của nó tôi đã lựa chọn đề tài “Ứng dụng tính đơn điệu hàm số trong giải phương trình và bất phương trình” cho luận văn của mình Nhằm giúp học sinh nắm vững phương pháp sử dụng hàm đặc trưng trong giải toán và kết hợp phương pháp này với các phương pháp khác, linh hoạt trong các cách xử lí để giải quyết các dạng toán, cụ thể luận văn gồm 4 chương:

Chương 1: Cơ sở lý thuyết

Trong chương này sẽ xây dựng hệ thống lý thuyết cần thiết và tư duy phương pháp

sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, bất phương trình

Chương 2: Ứng dụng tính chất đơn điệu của hàm số để giải phương trình, bất phương trình

Ở chương này đề cập đến cách áp dụng và khai thác tính chất đơn điệu của hàm số

để giải phương trình đại số qua nhiều mức độ khó được tăng dần, sau các bài tập cụ thể học sinh sẽ đưa ra được các kĩ năng biến đổi, từ đó học sinh sẽ vận dụng linh hoạt trong các bài tập khác Ngoài ra chương này còn đề cấp đến cách áp dụng để giải các bất phương trình Qua đó ta sẽ thấy được việc kết hợp, sáng tạo giữa phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số với các phương pháp khác như phương pháp đưa về

phương trình tích, phương pháp lượng giác hóa, phương pháp đánh giá, vv nhằm hình thành cho học sinh các kĩ năng biến đổi, khả năng so sánh, phân tích và tổng hợp tốt, đồng thời có một tư duy sáng tạo, linh hoạt khi giải toán Giúp các em có nhiều hưng phấn, say mê tìm tòi nghiên cứu với môn toán

Chương 3: Phân tích cách sử dụng tính đơn điệu của hàm số trong đề thi trắc nghiệm môn toán ở kì thi tốt nghiệp THPT

Chương này đề cập đến những cách tiếp cận, phân tích hướng ra câu hỏi trắc nghiệm môn toán có sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình trong nhiều năm qua

Chương 4: Phân tích cách sử dụng tính đơn điệu của hàm số trong đề thi học sinh giỏi

Chương này đề cập đến những cách tiếp cận, phân tích hướng ra đề bài có sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, bất phương trình trong cuộc thi học sinh giỏi các cấp

Mặc dù đã rất cố gắng tìm tòi những vấn đề cũng như những bài toán liên quan đến việc ứng dụng tính đơn điệu hàm số trong giải phương trình và bất phương trình, nhưng kiến thức là vô tận nên luận văn không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót Rất mong nhận được những góp ý và sự chỉ bảo của các thầy cô giáo để luận văn có giá trị khoa học cao hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Tập hợp  được gọi là tập xác định của hàm số

Định nghĩa 1.2 Tập xác định của hàm số y f x( ) là tập hợp tất cả các số thực x sao cho biểu thức ( )f x có nghĩa

Định nghĩa 1.3 Đồ thị của hàm số y f x( ) xác định trên tập  là tập hợp tất cả các điểm M x f x( ; ( )) trên mặt phẳng tọa độ với mọi x thuộc 

1.1.2 Tính đơn điệu của hàm số [1]

Kí hiệu  là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng

Định nghĩa 1.4 Giả sử hàm số y f x( ) xác định trên  Ta nói:

Hàm số y f x( ) đồng biến (tăng) trên  nếu với mọi cặp x x thuộc 1, 2  mà

Mệnh đề tương đương với định nghĩa tính đơn điệu của hàm số

b) Nếu hàm số đồng biến trên  thì đồ thị đi lên từ trái sang phải

Nếu hàm số nghịch biến trên  thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải

1.2 Các cách xét tính đơn điệu của hàm số

Cách 1 Sử dụng định nghĩa

Dùng định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số hoặc điều kiện tương đương với định nghĩa tính đơn điệu của hàm số

Cách 2 Sử dụng đạo hàm dựa vào một số định lí sau:

Định lý 1.1 [2] Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm trên 

a) Nếu f x( ) 0 với mọi x thuộc vào  thì hàm số đồng biến trên 

b) Nếu ( ) 0f x  với mọi x thuộc vào  thì hàm số nghịch biến trên 

Chú ý 1.1 Nếu f x( ) 0,  x  thì f x( ) không đổi trên 

Định lý 1.2 [2] Giả sử hàm số y f x( ) có đạo hàm trên 

Nếu f x( ) 0 f x( ) 0 ,   x  và f x( ) 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên 

Định lý 1.3 Nếu hàm số y f x( ) liên tục trên  a b; và có đạo hàm ( ) 0f x  trên ( ; )a b thì hàm số y f x( ) đồng biến trên  a b;

Nếu hàm số y f x( ) liên tục trên  a b; và có đạo hàm ( ) 0f x  trên ( ; )a b thì hàm số y f x( ) nghịch biến trên  a b;

Chú ý 1.2

+ Tổng của hai hàm số đồng biến (nghịch biến) trên  là một hàm số đồng biến (nghịch biến) trên 

+ Tích của hai hàm số đồng biến (nghịch biến) và dương trên  là một hàm

số đồng biến (nghịch biến) trên 

+ Nếu hàm số ( )f x dồng biến (nghịch biến) trên  và k   0, x  thì hàm

số k f x ( ) đồng biến (hay nghịch biến) trên 

+ Nếu hàm số f x( ) đồng biến (nghịch biến) trên  và f x( ) 0, x  thì hàm số 1

( )

f x nghịch biến (đồng biến) trên 

1.3 Một số tính chất về đơn điệu của hàm số

Tính chất 1.1 Nếu hàm số y f x( ) liên tục và đồng biến (nghịch biến) trên  thì phương trình f x( )C trên  có tối đa một nghiệm

Chứng minh Giả sử phương trình ( )f x  có nghiệm x aC  tức là ( )f a  và C( )

f x đồng biến (nghịch biến) trên , ta xét:

+ Với x a suy ra ( )f x  f a( )C f x( ( ) f a( )C) nên phương trình ( )

Tính chất 1.2 Nếu hàm số y f x( ) đồng biến (nghịch biến), hàm số yg x( )nghịch biến (đồng biến) và liên tục trên  thì phương trình ( )f x g x( ) có tối đa một nghiệm

Chứng minh Giả sử phương trình f x( ) g x( ) có nghiệm x a trên  tức là ( ) ( )

f a g a Giả sử hàm f x( ) đồng biến, hàm g x( ) nghịch biến và liên tục trên 

ta xét:

+ Với x a suy ra ( )f x  f a( )g a( )g x( ) nên phương trình vô nghiệm + Với x a suy ra f x( ) f a( )g a( ) g x( ) nên phương trình vô nghiệm Vậy phương trình ( )f x  g x( ) có nhiều nhất một nghiệm

Tính chất 1.3 Nếu hàm số y f x( ) đồng biến (nghịch biến) và liên tục trên  thì ( ) ( )

f u  f v  u v với mọi u v, 

Tính chất 1.4 Nếu hàm số y f x( ) liên tục và có f x( ) 0 f x( ) 0  với mọi

x , f x( ) 0 chỉ có một số hữu hạn nghiệm trên  thì phương trình f x( ) 0 có nhiều nhất hai nghiệm trên 

Tính chất 1.5 Số nghiệm của phương trình f x( ) g x( ) là số hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y f x( ) và đồ thị hàm số y g x( )

Tính chất 1.7

+ Nếu hàm số y f x( ) đồng biến và liên tục trên  thì

( ) ( )

f u  f v  u v với mọi ,u v + Nếu hàm số y f x( ) nghịch biến và liên tục trên  thì

( ) ( )

f u  f v  u v với mọi ,u v Tính chất 1.8 [3]

Cho hàm số y f x  liên tục trên  và đạt GTLN, GTNN trên  tương ứng là

CHƯƠNG 2

ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

2.1 Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình

2.1.1 Bài toán 1 Giải phương trình F(x) = 0

2.1.1.1 Phương pháp

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình ban đầu

Bước 2: Biến đổi phương trình ban đầu đưa về một trong các dạng cơ bản sau bằng các phép biến đổi tương đương, biến đổi thành phương trình hệ quả, :

( )

f x C, hoặc f u x( ( )) f v x( ( ))i) Với dạng f x( )C ta thực hiện:

- Xét tính liên tục và tính đơn điệu của hàm số f x( ) trên  hoặc trên miền nào đó mà bài toán yêu cầu

- Tính f x 0 C x, 0, dựa vào tính chất 1.1 có f x( ) f x 0  x x0 ii) Với dạng f u x( ( )) f v x( ( )) ta thực hiện:

- Xét tính liên tục và tính đơn điệu của hàm số f t( ) trên  hoặc trên miền nào đó mà bài toán yêu cầu

2.1.1.2 Ví dụ minh họa

Ví dụ 2.1 [3] Giải phương trình 5x3 1 32x  1 x 4

Phân tích Quan sát vế trái của phương trình thấy khi x tăng thì giá trị của biểu thức trong căn cũng tăng Từ đó có thể dự đoán vế trái là hàm đồng biến mặt khác ta không khó để nhẩm được x1 là nghiệm của phương trình, nên ta sẽ suy đoán sử dụng phương pháp hàm số để giải quyết bài toán

Lời giải Điều kiện: 3

 

  mà ta nhận thấy rằng (1) 0

f  nên x1 là nghiệm duy nhất của phương trình ban đầu

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x1

Ví dụ 2.2 [4] Giải phương trình 3x 5 2x  3 2 12x (1)

Lời giải Điều kiện xác định: 5 12 * 

3 x Với điều kiện (*) thì phương trình

Do x3 thỏa mãn điều kiện  *

Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất x3

Lời giải Điều kiện xác định: 0 x 4

Với điều kiện trên, phương trình

x x  x   x x  x x x   x x  Xét f x( ) x x x12 12  5 x 4x, hàm số luôn xác định và liên tục trên  0;4

Mặt khác ta thấy f(4)0 nên theo tính chất 1.1 f x  f  4  x 4

Vậy  là nghiệm duy nhất của phương trình ban đầu

Ví dụ 2.4 [6] Giải phương trình 9x 2(x2)3x 2x 5 0 (1) Phân tích Đây là một dạng bài quen thuộc, thường xuyên HS lớp 12 được thực hành trong quá trình học tập phần giải tích – chương II: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit Bài toán có cách tiếp cận từ việc đặt ẩn phục để đưa về phương trình

ẩn t với tham số là x Nhưng để tìm được chính xác nghiệm của phương trình ban đầu

ta cần sử dụng phương pháp hàm số Và sau đây là lời giải chi tiết

với hàm số f x( ) 3 x 2x5, hàm số f x( ) liên tục trên 

Ta có f x( ) 3 ln 3 2 0, x    x  suy ra hàm số y  f x( ) đồng biến trên

( ; ) mà f(1) 0

Áp dụng tính chất 1.1 thì f x  f  1   0 x 1

Vậy phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất x1

Ví dụ 2.5 [6] Giải phương trình log5xlog (7 x2) (1) Phân tích Đây là một dạng bài quen thuộc, thường xuyên HS lớp 12 được thực hành trong quá trình học tập phần giải tích – chương II: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit Đây là dạng phương trình logarit mà không cùng cơ số, bài toán có cách tiếp cận từ việc sử dụng định nghĩa logarit sau đó đưa về phương trình mũ bằng các mối quan hệ phụ thuộc Và sau đây là lời giải chi tiết

Lời giải Điều kiện xác định: x0 * 

Đặt tlog5x x 5t khi đó phương trình (1) trở thành:

Do x5 thỏa mãn điều kiện (*)

Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất x 5

Ví dụ 2.6 [7] Giải phương trình 4x1  x 3 3 3x54x8

Phân tích Đây là một bài toán không quá phức tạp, nhưng nếu chúng ta không có

kỹ năng cũng như định hướng từ trước thì có lẽ việc đánh giá nó sẽ vô cùng khó, sau đây là 2 lời giải để các bạn thấy rõ sự khó khăn của nó khi đi sai hướng

Lại có f( 2)  0 nên x 2 là một nghiệm của phương trình ban đầu

Vậy phương trình có 2 nghiệm là x 2 và x1

 

  Vậy phương trình f x( )0 có tối đa một nghiệm trên mỗi khoảng trên

Mà ta thấy rằng f   2 f  1 0, suy ra phương trình ban đầu chỉ có hai nghiệm là 2

x  và x1

Hàm đặc trưng tỏ ra rất hiệu quả trong việc giải các phương trình hay bất phương trình Trước một bài toán, thường có nhiều cách xử lí khác nhau, nhưng nếu như áp dụng được phương pháp sử dụng hàm đặc trưng thì nhiều khi bài toán sẽ được giải quyết đơn giản, ngắn gọn hơn Và sau đây là một số ví dụ

Ta có f t( ) 2 ln 2 1 0, t    t  suy ra hàm số đồng biến trên ( ; )

Áp dụng tính chất 1.3 thì

f x  f x x   x x  x x  x   x   x Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất x1

Lời giải Điều kiện xác định:

2 2

2 2

2.1.2 Bài toán 2 Tìm điều kiện của tham số m để phương trình F(x,m) = 0 có nghiệm (n nghiệm) trên 

Dạng 2: Trường hợp các PT chứa các biểu thức phức tạp, ta có thể xem xét đặt ẩn phụ để đơn giản chúng

Bước 1: Đặt t ( )x (( )x là một biểu thức trong PT)

Bước 2: Từ điều kiện ràng buộc của ẩn số x D , tìm điều kiện của ẩn số t, ví dụ



t K (chú ý là phải tìm được điều kiện chặt của t)

Bước 3: Đưa PT ẩn số x về PT ẩn số t ta được f t( )h m( )

Bước 4: Lập bảng biến thiên của hàm số ( )f t trên tập K

Bước 5: Từ bảng biến thiên rút ra kết luận bài toán

2.1.2.2 Ví dụ minh họa

Ví dụ 2.12 [8] Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực

3 x 1 m x 1 24 x21 (1) Lời giải Điều kiện xác định x1 (*) Với điều kiện trên

Ta có bảng biến thiên của hàm số y  f t( )

Để phương trình (1) có nghiệm x1  phương trình (2) có nghiệm t[0;1)  Đường thẳng ( ) :d y m cắt đồ thị hàm số y f t( )

1

3m

   

3m

Ta cóg t( ) 2t  2, t [0;3], ( )g t    0 t 1 [0;3]

Ta có bảng biến thiên

Để phương trình ban đầu có nghiệm   2 x 4

Bài 14 Giải phương trình ( 2 3 )x( 2 3 )x 2x Đáp số: x2

Bài 15 Giải phương trình

Bài 20 Tìm m để phương trình sau có nghiệm

Bài 22 Tìm m để phương trình sau có nghiệm

2.2 Ứng dụng tính đơn điêu của hàm số để giải bất phương trình

2.2.1 Bài toán 1 Giải bất phương trình F(x) > 0

2.2.1.1 Phương pháp

Khi phải giải một bất phương trình phức tạp (chứa số mũ cao hay nhiều căn thức khác nhau) như:F x( ) 0 (1)

Ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của bất phương trình (1)

Bước 2: Đưa bất phương trình ( ) 0F x  về dạng ( )f x  hoặc ( )k f u  ( )f v với ( ), ( )

u u x v v x  nhờ các phép biến đổi tương đương,

Nếu f x( )k ta có:

- Xét tính liên tục và đơn điệu của hàm số ( )f t trên  là khoảng xác định

- Tìm x0: f x 0 k, do đó f x( ) f x 0

Dựa vào tính chất đã nêu ta tìm được tập nghiệm của bất phương trình

Nếu f u( ) f v( ) ta làm như sau:

- Xét tính liên tục và đơn điệu của hàm số ( )f t trên  là khoảng xác định

- Dựa vào tính chất đã nêu ta tìm được bất phương trình đơn giản hơn và tìm tập nghiệm của bất phương trình này

Bước 3: Kết luận tập nghiệm của bất phương trình (1)

Chú ý 2.2

- Nếu ( )f x đồng biến trên  thì F x( ) 0  f x( ) C f x( ) f x 0  x x0

và x

- Nếu f x( ) nghịch biến trên  thì

Kết hợp với điều kiện  * ta có x0

Vậy tập nghiệm của bất phương trình (1) là S (0; )

Ví dụ 2.15 [8] Giải bất phương trình sau 2x33x26x16 2 3  4x (1) Lời giải Điều kiện xác định   2 x 4 (*)

Với điều kiện (*), BPT (1)  2x33x26x16 4 x 2 3  f x( ) 2 3,với f x( ) 2x33x26x16 4 x

+ Xét x 2 thay vào BPT (1) thì thỏa mãn Vậy x2 là nghiệm của bất phương trình (1)

+ Xét   2 x 4, hàm số f x( ) liên tục trên ( 2;4] , ngoài ra ta có

Vậy tập nghiệm của BPT (1) là S  [ 2;1)

Ví dụ 2.16 [7] Giải bất phương trình

x2 2x 3 x2 6x11 3 x x 1 (x) (1) Phân tích: Để sử dụng được phương pháp xét hàm đặc trưng thì HS cần có kĩ năng quan sát, biến đổi biểu thức thuần thục Ở đây ta có thể để ý thấy rằng

x  x  x  và x26x11 (3x)2  và từ đó sẽ nhận ra 2được hàm đặc trưng

tt

Kết hợp điều kiện (*) ta được 2 x 3

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là T 2;3

Nhân xét:

- Ở ví dụ trên ta cũng có thể nhận thấy cách giải khác là dùng phương pháp nhân liên hợp, nhưng trong phạm vi của luận văn, chúng ta chỉ nói đến phương pháp áp dụng tính đơn điệu của hàm số hoặc phương pháp xét hàm đặc trưng

- Ở ví du trên ta có thể thay hàm f t( ) t2  2 t bởi hàm g t( ) t4  2 t với [0; )

Với điều kiện trên, BPT (1)3(x3)log2x2(x1) (2)

+Với x3, khi đó BPT(2) 3log2 1 3log2 1 0 ( ) 0

Áp dụng tính chất 1.6, f x  0 f x  f  1  x 1

Kết hợp điều kiện (*) ta được 0 x 1

Vậy bất phương trình (1) có tập nghiệm S (0;1) (4;  )

Lời giải Điều kiện:

2 2

tt

       suy ra hàm số ( )f t đồng biến trên (0;) Mặt khác f t( ) là hàm liên tục trên (0;)

Ví dụ 2.20 Giải bất phương trình

3 2 9 6 2 (1) ( )

x x  x  x x x  xPhân tích Quan sát bất phương trình đã cho, ta có thể nhóm x và x x2 , 2

3x2 và 9x26x với nhau (vì với điều kiện để phương trình có nghĩa thì

2

9x 6x  3 (3x x2)  3x 2 3x)

Lời giải Điều kiện: 2(*)

Lời giải Bất phương trình (1)3 2x  9x2  3 (4x2) 1  x x2 1

2 1 3 2 1 ( 2) 3( 2).

 x  x  x  x (*) Xét hàm số f t( ) t3 3 ,t t  , ta có f t( ) 3 t2   3 0, t  suy ra ( )f t là hàm đồng biến trên  Mặt khác f t( ) là hàm liên tục trên 

Vậy bất phương trình nghiệm đúng  x 

Qua các ví dụ ở trên, chúng ta đã phần nào nhận thấy rằng với các bất phương trình đại số đưa được về giải quyết theo phương pháp hàm đặc trưng, hay phương pháp

sử dụng tính đơn điệu của hàm số đều cho thấy được sự hiệu quả

2.2.2 Bài toán 2: Tìm điều kiện của tham số m để bất phương trình F(x,m) > 0

có nghiệm (thỏa mãn với mọi) x trên 

2.2.2.1 Phương pháp

Bước 1: Tìm điều kiện của bất phương trình (chẳng hạn x )

Bước 2: Dùng các phép biến đổi tương đương, đưa bất phương trình F x m( , ) 0 về dạng ( )f x  m

- Lập bảng biến thiên của hàm số f x( ) trên  (hoặc h(t) trên  )