Phương pháp Đối xứng giải phương trình sai phân

Phương pháp Đối xứng giải phương trình sai phân Phương pháp Đối xứng giải phương trình sai phân Phương pháp Đối xứng giải phương trình sai phân

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

LÊ VĂN ĐẠT

PHƯƠNG PHÁP ĐỐI XỨNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội – Năm 2023

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

LÊ VĂN ĐẠT

PHƯƠNG PHÁP ĐỐI XỨNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 8460101.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS LÊ HUY CHUẨN

Hà Nội – Năm 2023

1

Mục lục

MỞ ĐẦU 2

Chương 1 Các phương pháp cơ bản giải phương trình sai phân tuyến tính 3

1.1 Các khái niệm cơ bản 3

1.2 Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng 5

1.3 Phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất hệ số hằng 8

1.4 Phương trình sai phân tuyến tính bậc nhất 13

1.5 Phương pháp hạ bậc 16

1.6 Một số bài tập tổng hợp 18

Chương 2 Phương pháp đối xứng giải phương trình sai phân 33

2.1 Các khái niệm cơ bản 33

2.2 Phép đối xứng của các đối tượng hình học 34

2.3 Đối xứng Lie của phương trình sai phân 37

2.4 Đặc trưng và tọa độ chính tắc 40

2.5 Sử dụng phép đối xứng Lie giải phương trình sai phân bậc nhất 41

2.6 Cách tìm phép đối xứng Lie của phương trình sai phân bậc nhất 44

KẾT LUẬN 51

TÀI LIỆU THAM KHẢO 52

2

MỞ ĐẦU

Luận văn này trình bày một số nội dung cơ bản về giải phương trình sai phân và phương pháp đối xứng để giải phương trình sai phân Cấu trúc luận văn được trình bày gồm 2 chương

Chương 1 Các phương pháp cơ bản giải phương trình sai phân tuyến tính Tác giả trình bày các kí hiệu, các khái niệm cơ bản về phương trình sai phân, các phương pháp giải phương trình sai phân thường gặp

Chương 2 Phương pháp đối xứng giải phương trình sai phân Tác giả trình bày các khái niệm về phép đối xứng của một đối tượng hình học, phép đối xứng của một phương trình sai phân, cách tìm phép đối xứng của phương trình sai phân bậc nhất và cách sử dụng phép đối xứng để giải phương trình sai phân

Các nội dung trong luận văn được trình bày dựa trên tài liệu tham khảo [2]

Tác giả luận văn xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới TS Lê Huy Chuẩn đã hướng dẫn tận tình tác giả hoàn thành luận văn này Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban lãnh đạo Khoa Toán – Cơ – Tin học, Phòng Đào tạo và các thầy cô giáo trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội đã trang bị kiến thức, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt thời gian tác giả học tập tại trường Cuối cùng, tác giả xin cảm

ơn gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã quan tâm, động viên và chia sẻ để tác giả hoàn thành luận văn của mình

Hà Nội, ngày 12 tháng 6 năm 2023

Tác giả luận văn

Lê Văn Đạt

3

Chương 1 Các phương pháp cơ bản giải

phương trình sai phân tuyến tính

Chương này trình bày ngắn gọn các phương pháp để giải một phương trình sai phân tuyến tính thông thường

1.1 Các khái niệm cơ bản

Định nghĩa 1.1 Hàm số có miền xác định thuộc  được gọi là hàm số có đối số nguyên

Kí hiệu y f n , với n

Ví dụ 1.1 Các hàm số f n 2n23,   2

5n

Định nghĩa 1.3 Phương trình sai phân tuyến tính là phương trình có dạng

a n u n p a  n u n p  a n u n b n n D  (1.1) ,trong đó p là một số nguyên dương và a n a n0   , 1 , ,a n là các hàm nhận giá trị p 

Ví dụ 1.2 Phương trình sai phân 2 n u n  3 u n25u n  có bậc là 3 0

Định nghĩa 1.5 Cho phương trình sai phân tuyến tính bậc p Điểm n D là một điểm chính quy nếu a n và p  a n cùng khác không, ngược lại thì gọi là điểm kì dị 0 

Ví dụ 1.3 Cho phương trình sai phân

n u n  u n  n u n  n

Cho phương trình sai phân (1.1) với D là miền chính quy Khi đó, không mất tính tổng quát ta giả sử a np  tức là 1,

 ,

u f nvới mỗi n D ,u n  f n 

Định nghĩa 1.7 Cho phương trình sai phân (1.2) Khi đó phương trình sai phân thuần nhất liên kết với (1.2) là

Định lí 1.1 [1] Cho phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất (1.3) Giả sử rằng (1.3)

có p nghiệm u f n ii , 1, ,  là độc lập tuyến tính trên ,p D có nghĩa là

c f n





 với mọi n D khi và chỉ khi c1c2   cp  0

Khi đó, nghiệm tổng quát của phương trình (1.3) là

u g n c f n



trong đó c là các hằng số i

1.2 Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng

Định nghĩa 1.8 Cho phương trình sai phân (1.3) Nếu các hệ số a a0, , ,1 ap1 là hằng số thì (1.3) là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng

Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất bậc nhất hệ số hằng có dạng tổng quát

Kết quả này cho phép ta giải phương trình sai phân bậc cao hơn với hệ số hằng

Xét một phương trình sai phân bậc hai

6

Trường hợp 1: Phương trình đặc trưng (1.9) có hai nghiệm thực phân biệt

Nếu 24  thì phương trình đặc trưng có hai nghiệm thực phân biệt 0  1, 2 Khi đó nghiệm tổng quát của (1.8) là

1 1 n 2 2 n,

với c c1, 2

Trường hợp 2: Phương trình đặc trưng (1.9) có hai nghiệm phức phân biệt

Nếu 24  thì nghiệm của phương trình đặc trưng là các nghiệm phức liên hợp 0

Trường hợp 3: Phương trình đặc trưng (1.9) có nghiệm kép

Nếu 24  thì phương trình đặc trưng chỉ có một nghiệm, cụ thể đó là 0

2



  Với   ta có nghiệm tổng quát của (1.8) là 0,

 1 2,2

7

u  u  u n Nghiệm của phương trình đặc trưng,

Nhận xét: nếu trong phương trình trên, ta thay điều kiện ban đầu bởi u 0  và 0

1000 0

u  thì phương trình sai phân ban đầu có vô số nghiệm,

3 2 2

Với điều kiện ban đầu thì ta giải được c1  và 1 c2  1.

Nhận xét: Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng bậc lớn hơn 2, ta có kết quả tương tự

1.3 Phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất hệ số hằng

Định nghĩa 1.9 Toán tử sai phân tiến Δn của hàm f n bất kỳ được định nghĩa bởi  

công thức

Δnf n  f n 1 f n ,  n   (1.14) Đặc biệt,

1

Δnu u  và u Δn iu ui1u ii,   (1.15) Xét phương trình sai phân dạng

ak ba

10

6 sinak b  , a k '2 , ' k   cos 2

2sin2a

ak ba

Định nghĩa 1.12 Hàm k r ( k là số nguyên không âm) trong bảng 1 được định nghĩa như sau:

- Với r là số nguyên không âm,

n n

n nk

13

ở đây n là số nguyên bất kì thuộc tập xác định Nghiệm tổng quát của phương trình 0thuần nhất liên kết   là nu 0 ukb k n n ; ,0  và u c là một nghiệm riêng của phương trình (1.27)

1.4 Phương trình sai phân tuyến tính bậc nhất

Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất bậc nhất có dạng tổng quát là

Ta giải phương trình sai phân (1.30) trên miền Dn:n n 0 Để tìm u với n n 0,

ta thay n bằng n trong (1.30) và sắp xếp lại phương trình sai phân như sau: 1

Nếu không có điều kiện ban đầu, u n sẽ được thay bằng một hằng số bất kì  0

Ví dụ 1.13 Bài toán giá trị ban đầu

2n 3 2.3 n k

u





n k

1 2

b nv

f k





 là tổng dạng đóng với các f k sau:  

n n

n k k

n k

0

0

1 1

2

n n

k a



Bài tập 1.4 Tìm nghiệm tổng quát của mỗi phương trình sai phân sau:

11;0, 0

n

k k

l n

nu

1 2

1

!

l n

ln



25

c Với   1

1n

2 2

11

k kl

1 1

1 1

n

kl

w

ll

Do đó u là một nghiệm của phương trình sai phân ban đầu 1

Ta đặt w u  thay vào phương trình sai phân ban đầu, ta được 1 u

1

10

2n

31

k k

ll

33

Chương 2 Phương pháp đối xứng giải

phương trình sai phân

Chương này trình bày các kỹ thuật giải phương trình sai phân bằng cách sử dụng các phép đối xứng

2.1 Các khái niệm cơ bản

Định nghĩa 2.1 Phương trình sai phân được gọi là phương trình sai phân tiến nếu nó có thể viết dưới dạng

 , , ,1 1,

Xét một phương trình sai phân tiến với p giá trị ban đầu u n 0 ,u n 0  p 1 

Khi đó, phương trình sai phân này xác định duy nhất một u n với mỗi   n n 0

Định nghĩa 2.2 Phương trình sai phân được gọi là phương trình sai phân lùi nếu nó có thể viết dưới dạng

Ví dụ 2.1 Bài toán giá trị ban đầu với hằng số h 0

từ trái sang phải là một nghiệm Đường nét đứt sẽ thành nét liền nếu h 0.

Từ đây, ta sẽ chỉ xét các phương trình sai phân ở một trong hai dạng tiến hoặc lùi với miền chính quy Khi đó với bất kỳ p giá trị ban đầu u n 0 , , u n p  1  phương trình sai phân đó xác định một nghiệm duy nhất trên toàn miền

Đối với phương trình sai phân tiến, D là miền chính quy nếu

,1 n u, , ,up 0, n D

    Chỉ số , k để biểu thị rằng đây là đạo hàm riêng của một hàm đã cho với đối số thứ k

,

n  vì vậy ta sẽ chỉ xét phương trình sai phân tiến p n

2.2 Phép đối xứng của các đối tượng hình học

Định nghĩa 2.3 Phép đối xứng của một đối tượng hình học là một phép biến đổi khả nghịch, ánh xạ đối tượng hình học đó thành chính nó

Ví dụ 2.2 Xét hình vuông, các ánh xạ là các phép quay tâm hình vuông với góc quay là

Các phép biến đổi bảo toàn khoảng cách trong không gian Euclid bao gồm các phép tịnh tiến, phép quay, phép đối xứng trục, đối xứng tâm Mọi đối tượng đều có ít nhất một phép đối xứng, cụ thể là ánh xạ đơn vị là ánh xạ mà từng điểm của đối tượng biến thành chính nó Giả sử rằng Γ và 1 Γ là các phép đối xứng của một đối tượng Khi 2

ta áp dụng lần lượt, đầu tiên Γ sau đó 1 Γ khi đó hợp hai phép đối xứng 2 Γ Γ cũng là 2 1một phép đối xứng, vì nó không thay đổi đối tượng và khả nghịch Tương tự, Γ Γ là 1 2một phép đối xứng Nghịch đảo của phép đối xứng Γ là phép biến hình Γ 1 hoàn đối tượng về trạng thái ban đầu, do đó Γ Γ id1  Rõ ràng, Γ 1 cũng là một phép đối xứng

có nghịch đảo là  1 1

Γ  Γ, do đó ΓΓ1 id

Các tính chất trên của phép đối xứng chỉ ra rằng tập G gồm tất cả các phép đối xứng của một đối tượng hình học cùng với phép toán hợp ánh xạ tạo thành một nhóm Nếu G chứa hữu hạn các phần tử riêng biệt thì nó là một nhóm hữu hạn, nếu không thì

nó là một nhóm vô hạn

Ta có thể viết nhóm G ngắn gọn bằng cách sử dụng hệ sinh của nhóm và các quan hệ Các phần tử Γ , Γ1 là hệ sinh của G nếu ta có thể viết mọi phần tử dưới dạng Rtích của một số Γi và ngược lại

Ví dụ 2.3 Nhóm các phép đối xứng của hình vuông được gọi là Nhóm nhị diện D Hình 4.2.2 cho thấy hệ sinh của nhóm:

Γ : đối xứng trục của hình vuông

Các hệ sinh này tuân theo mối quan hệ

    4 2 2

Γ  Γ  Γ Γ id.Suy ra nhóm có 8 phần tử phân biệt

kẻ (như hình 2.3) Xét trên trục số n, nhóm các phép biến đổi như vậy được tạo bởi

2.3 Đối xứng Lie của phương trình sai phân

Định nghĩa 2.5 Phép đối xứng của một phương trình sai phân là một phép biến đổi phương trình mà mọi nghiệm của phương trình đã biến đổi là nghiệm của phương trình ban đầu và ngược lại Tập hợp tất cả các nghiệm được ánh xạ tới chính nó

Ví dụ 2.5 Cho phương trình sai phân

u a  n u  a n u Xét một phép biến đổi  , 

Γ : uu e uˆ  (2.5) Khi đó phương trình sai phân ban đầu biến thành

38

Trong ví dụ trên, tập các phép đối xứng G Γ :  là nhóm với phép toán 

Γ Γ  Γ  với mọi ,    ở đây ; Γ là ánh xạ đơn vị và 0 Γ1Γ Đặc biệt, khi 

đủ nhỏ thì Γ là một phép biến đổi gần giống phép biến đổi đơn vị Nếu những biến đổi gần giống đơn vị này là phép đối xứng của một phương trình sai phân bậc p cho trước thì một nghiệm đơn sẽ được ánh xạ đến một họ nghiệm phụ thuộc vào 

Định nghĩa 2.6 Cho   Tập hợp các phép biến đổi vi phôi n  

Do đó, tập hợp tất cả  xác định một nhóm Lie một tham số địa phương 

Để ngắn gọn, ta gọi các phép đối xứng thuộc nhóm Lie một tham số địa phương

là các phép đối xứng Lie Tương tự, biến đổi Lie là các phép biến đổi thuộc một nhóm Lie một tham số địa phương

Ý tưởng để giải phương trình sai phân là tìm một số nghiệm của phương trình; sau đó sử dụng phép đối xứng Lie để ánh xạ những nghiệm này thành các nghiệm còn lại của phương trình sai phân Nếu có một phép đối xứng không làm thay đổi nghiệm bất

kì, chúng được gọi là phép đối xứng tầm thường Tuy nhiên, phương trình sai phân không

có đối xứng Lie tầm thường Xét phương trình sai phân đơn giản nhất

Đối với phương trình sai phân (2.6), một số nghiệm u c được thể hiện trong Hình 2.4 1

u c  Với n là biến rời rạc không thể thay đổi tùy ý, vì vậy mỗi nhóm Lie một tham 

số địa phương của các phép đối xứng phải cố định n Nói cách khác, ˆn n cho mọi đối xứng Lie của (2.7) Tương tự áp dụng cho tất cả các phương trình sai phân Kết quả là phương trình sai phân không có phép đối xứng Lie tầm thường

Định nghĩa 2.7 Hàm Q n u trong (2.8) được gọi là đặc trưng của nhóm Lie một tham  ,

số địa phương với tọa độ  n u ,

Định nghĩa 2.8 Thác triển bậc k của một phép đối xứng Lie có được bằng cách thay n bởi n k trong (2.8) có dạng

Nếu phương trình sai phân theo biến u và ta có phép biến đổi v n u là hàm theo  ,

n và u Xét ảnh hưởng của việc thay đổi từ  n u thành ,  n v trong đó , , v n u' ,  ; 0

độ khác nhau trên các khoảng khác nhau

Ví dụ 2.8 Nếu Q n u , u2 thì tọa độ chính tắc có giá trị thực thích hợp phụ thuộc 1vào u như sau

u

s n u

uu

uu

Từ phép đối xứng Lie, ta sử dụng khai triển Taylor để xác định đặc trưng Q n u Giả  ,

sử rằng chúng ta có thể viết phương trình sai phân theo một tọa độ chính tắc tương thích

s duy nhất (ngoại trừ trường hợp Q n u hoặc  , Q n 1, u1 bằng 0) Phép đối xứng Lie

là phép tịnh tiến trong tọa độ chính tắc, khi đó phương trình sai phân biến đổi thành

nuun

43

Do đó phép đối xứng này có đặc trưng là Q n u , u2 Đối với đặc trưng này, ta có tọa

độ chính tắc tương ứng là

 , du2 1.s

uu

1.2

n k

 21 2 .u

Ví dụ 2.11 Xét phương trình sai phân

 

1

1, 2, 2 1

đó Do đó vấn đề giải phương trình sai phân (ngoại trừ u  được tách thành 2 thành 1)phần riêng biệt Trường hợp u 2  ; 1 u cho tất cả 1 n và đối với 2

1 Ta cần biết một phép đối xứng thuộc nhóm Lie một tham số địa phương

2 Sử dụng khai triển Taylor để xác định đặc trưng Q n u ứng với tọa độ  ,  n u ,

3 Xác định tọa độ chính tắc Đưa phương trình sai phân biến u thành phương trình sai phân biến s và tìm nghiệm của phương trình sai phân biến s

4 Viết lại nghiệm của phương trình sai phân ban đầu theo biến u

2.6 Cách tìm phép đối xứng Lie của phương trình sai phân bậc nhất

Trong mục này, ta sẽ tìm hiểu cách để tìm phép đối xứng lie của một phương trình sai phân cho trước Đối với các phép đối xứng Lie, điều kiện đối xứng có thể khai triển theo lũy thừa của  (cho  đủ gần 0) như sau

 ,   2    .

Bằng cách thay thế (2.19) vào LSC và so sánh các hệ số của u , người ta thu được một

hệ tuyến tính các phương trình sai phân với các hệ số      n ,  n , n Mục tiêu là tìm được ít nhất một giải pháp khác không của hệ này Trong một vài trường hợp, ta cần dự đoán      n ,  n , n trong nghiệm thử nghiệm nếu hệ không giải được một cách tổng quát

Ví dụ 2.14 Xét phương trình sai phân

1u

c cn

       

Tương tự,

 

 2 3 1 .1

n

n

c cn

      

Giải ra , ,    ta thu được

2n  2n  Kết hợp hai phương trình ở ngay trên

51

KẾT LUẬN

Nội dung luận văn “Phương pháp đối xứng giải phương trình sai phân” bao gồm một

số phương pháp giải phương trình sai phân cơ bản và phương pháp giải phương trình sai phân bằng phép đối xứng Luận văn đã trình bày một số kết quả sau:

Thứ nhất: Hệ thống hóa các khái niệm, định lí cơ bản để giải phương trình sai phân, phương pháp giải phương trình sai phân tuyến tính và phương pháp hạ bậc phương trình sai phân

Thứ hai: Phương pháp đối xứng giải phương trình sai phân bậc nhất bằng phép đối xứng của phương trình sai phân, đặc trưng của phép đối xứng và tọa độ chính tắc tương ứng

Thứ ba: Tổng hợp một số ví dụ, bài tập áp dụng các kiến thức được trình bày