hệ hạt đồng chất

MỞ ĐẦU 2 Chương I HÀM SÓNG CỦA HỆ HẠT ĐỒNG NHẤT 3 Chương II MỐI TƯƠNG QUAN SPIN – THỐNG KÊ 7 I Định nghĩa hệ vector cơ sở chuyển spin 8 II Sự đồng nhất 9 III Hoán đổi vòng 12 Chương III. TƯƠNG TÁC TRAO ĐỔI 18 THAM KHẢO 22

H ht đng cht Contents TÍNH ĐỒNG NHẤT CỦA CÁC HẠT LƯỢNG TỬ: HÀM SÓNG, SPIN VÀ TƯƠNG TÁC TRAO ĐỔI MỞ ĐẦU Bo vt ly 1 H ht đng cht Hệ hạt đồng nhất được hiểu là hệ gồm các hạt có những đặc trưng giống nhau (khối lượng, điện tích, spin,…) trong những điều kiện giống nhau (trường ngoài), chúng có những động thái giống nhau. Có thể nêu ra hệ các proton đồng nhất, các electron đồng nhất, các notron đồng nhất…Trong cơ học lượng tử, do nguyên lý bất định, khái niệm quỹ đạo của hạt không còn ý nghĩa. Nếu vị trí của hạt được xác định tại một thời điểm nào đó, thì sau một khoảng thời gian vô cùng nhỏ, vị trí của hạt đã trở nên bất định. Do đó, ta không thể nhận biết được vị trí của hạt hoặc phân biệt các hạt với nhau. Có thể nói, trong cơ học lượng tử các hạt đã mất hoàn toàn cá tính của chúng. Như vậy, trong một tập hợp các hạt đồng nhất chỉ tồn tại các trạng thái không thay đổi khi hoán vị các hạt. Đó là nội dung của nguyên lý về tính không phân biệt được các hạt đồng nhất, và nó đóng một vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu hệ hạt đồng nhất. Trong bài luận này chúng ta sẽ làm rõ hai vấn đề, thứ nhất là thuộc tính đồng nhất của các trạng thái của một hệ hạt đồng nhất khi hoán đổi cặp hạt bất kỳ. Các hạt đồng nhất với spin bán nguyên (fermions) tuân theo thống kê Fermi-Dirac: hàm sóng là hoàn toàn phản đối xứng dưới sự chuyển đổi của các hạt. Các hạt đồng nhất với spin nguyên (bosons) tuân theo thống kê Bose-Einstein: hàm sóng là hoàn toàn đối xứng; thứ hai là tương tác trao đổi giữa các hạt đồng nhất. Chương I HÀM SÓNG CỦA HỆ HẠT ĐỒNG NHẤT Bo vt ly 2 H ht đng cht Để đơn giản ta xét hàm sóng ψ(q 1 , q 2 , t) của hệ gồm hai hạt 1 và 2,trong đó q đại diện cho các biến x, y, z và s z . Ta hoán vị hai hạt cho nhau, theo nguyên lý về tính không phân biệt được các hạt đồng nhất, trạng thái của hệ khi đó không thay đổi, do đó hàm sóng ψ chỉ có thể thay đổi một thừa số pha không quan trọng. Ta viết ψ(q 1 , q 2 , t) = e iα ψ(q 2 , q 1 , t) = e i2α ψ(q 1 , q 2 , t) (1.1) Từ đó suy ra e 2iα = ±1. Như vậy khi hoán vị hai hạt đồng nhất, hàm sóng ψ(q 1 , q 2 ,) = ±ψ(q 2 , q 1 ) (1.2) nghĩa là có hai khả năng xảy ra, hàm sóng hoặc đối xứng (không đổi khi hoán vị hai hạt) hoặc phản đối xứng (đổi dấu khi hoán vị hai hạt). Rõ ràng là, hàm sóng của tất cả các trạng thái của cùng một hệ hạt phải có tính đối xứng duy nhất.Mở rộng kết quả này sang cho hệ có N hạt đồng nhất bất kỳ. Ta dễ dàng nghiệm được rằng, nếu hàm ψ của hệ hạt là đối xứng với cặp hạt k và j, j và i, nhưng lại phản xứng với cặp hạt i và k thì hàm sóng sẽ bằng không. Thực vậy, ta viết ψ(…q i , …q k , …q j ,…) = − ψ(…q k , …q i , …q j , …) = − ψ(…q k , …q j , …q i , …) = − ψ(…q j , …q k , …q i ,…) = − ψ(…q i , …q k , …q j ,…) = 0. (đpcm). (1.3) Cũng lưu ý rằng, nếu tại một thời điểm nào đó hệ ở trong trạng thái đối xứng (hoặc phản đối xứng) thì hệ sẽ mãi mãi ở trong trạng thái đó. Thực vậy, ta đưa vào toán tử hoán vị được xác định bởi hệ thức Bo vt ly 3 H ht đng cht ψ(…q i , …q k , …q N , t) = ψ(…q k , …q i , …q N , t) = ± ψ(…q i , …q k , …q N , t) (1.4) nên ψ= ± ψ. (1.5) Mặc khác Hamiltonian của hệ hạt đồng nhất không thay đổi khi hoán vị hạt hạt, do đó (Ĥψ) = Ĥ(ψ), hay toán tử hoán vị giao hoán với halmintonian: Ĥ – Ĥ = 0 (1.6) Nhắc lại: trong thế giới vi mô xét một đại lượng vật lý A, được gọi là bảo toàn khi] = 0. Toán tử hoán vị không phụ thuộc rõ ràng vào thời gian và giao hoán với toán tử halmintonian, nên đại lượng tương ứng với toán tử hoán vị là bảo toàn. Quay lại bài toán hệ hai hạt đồng nhất không tương tác. Phương trình Schrodinger cho các trạng thái dừng của hệ có dạng (q 1 , q 2 ) = E(q 1 , q 2 ) (1.7) Ta đã chứng tỏ được rằng nghiệm của phương trình trên có thể tìm được dưới dạng (q 1 , q 2 ) =(q 1 )(q 2 ) (1.8) ở đây k 1 , k 2 là các số lượng tử của các trạng thái, trong đó có thể có các hạt. Mỗi k i đại diện cho một bộ đủ các số lượng tử đặc trưng cho trạng thái của một hạt riêng lẻ. Mở rộng cho hệ N hạt thì có thể có một số k i trùng nhau. Hàm là nghiệm của phương trình Schrodinger cho một hạt = (1.9) Bo vt ly 4 H ht đng cht Hàm (1.8) không thỏa mãn các yêu cầu về tính đối xứng. Trong trường hợp tổng quát nó không thuộc về các hàm đối xứng, cũng không thuộc về các hàm phản đối xứng. Phương trình (1.7) là tuyến tính, nên chồng chất các nghiệm loại (1.8) cũng là một nghiệm của nó. Để thu được hàm sóng có tính đối xứng yêu cầu, cần phải chọn một chồng chất thích hợp các hàm sóng. Xét hai hàm sóng ψ 1 (q 1 , q 2 ) = ψ 1 (q 1 ) ψ 2 (q 2 ) , ψ 2 (q 1 , q 2 ) = ψ 2 (q 1 ) ψ 1 (q 2 ) (1.10) trong đó các chỉ số 1 và 2 ở các hàm sóng ký hiệu hai trạng thái khác nhau của hạt. Từ hai hàm trên ta có thể thiết lập hai tổ hợp ψ s = c 1 [ψ 1 (q 1 ) ψ 2 (q 2 ) + ψ 2 (q 1 ) ψ 1 (q 2 )] (1.11) ψ a = c 2 [ψ 1 (q 1 ) ψ 2 (q 2 ) ψ 2 (q 1 ) ψ 1 (q 2 )] (1.12) Hàm sóng ψ s là đối xứng với phép hoán vị hai hạt, còn hàm ψ a là phản đối xứng với phép hoán vị đó. Các hằng số c 1 và c 2 xác định được từ điều kiện chuẩn hóa. Dễ dàng thấy rằng sự hoán vị các tọa độ q 1 và q 2 làm bất biến (1.11) và đổi dấu (1.12). Điều kiện chuẩn hóa cho ψ s và ψ a được phát biểu dV 1 dV 2 = 1 , dV 1 dV 2 = 1 (1.13) Từ đây ta kết hợp tính trực chuẩn của các hàm ψ 1 và ψ 2 , ta có: c 1 = , c 2 = . Tóm lại ta tìm được hàm sóng đối xứng và phản xứng chuẩn hóa ψ s = [ψ 1 (q 1 ) ψ 2 (q 2 ) + ψ 2 (q 1 ) ψ 1 (q 2 )] (1.11’) Bo vt ly 5 H ht đng cht ψ a = [ψ 1 (q 1 ) ψ 2 (q 2 ) ψ 2 (q 1 ) ψ 1 (q 2 )] (1.12’) Mở rộng các kết quả thu được sang hệ N hạt đồng nhất không tương tác. Nếu các hạt là bosons thì hàm sóng ψ của hệ phải đối xứng. Chồng chất các hàm (1.11’) có tính chất như vậy, do đó có thể chọn làm hàm đối xứng của hệ: ψ s = c 1 q 1 )(q 2 )…(q N ) (1.14) Trong đó phép lấy tổng được thực hiện theo tất cả các phép hoán vị khả dĩ của các chỉ số k 1 , k 2 , …, k N . Nếu tất cả các chỉ số này có những giá trị không giống nhau, thì số các phép hoán vị, và do đó số các số hạng trong tổng (1.14) sẽ bằng N! Nhưng cần lưu ý rằng một số hạt có thể ở trong những trạng thái của một hạt như nhau. Nếu trong trạng thái k i có n i hạt thì n i ! phép hoán vị lẫn nhau của n i hạt này tương ứng với một số hạng trong tổng (1.14), do đó số các số hạng trong tổng (1.14) sẽ bằng . Giả thiết rằng trong trạng thái k 1 có n 1 hạt, trong trạng thái k 2 có n 2 hạt,…( tổng n 1 + n 2 +… = N). Khi đó số các số hạng trong (1.14) sẽ bằng . Dựa vào tính trực chuẩn của các hàm , ta đi tới 1 = Do đó c 1 = (1.15) Vậy hàm sóng đối xứng chuẩn hóa của hệ hạt N hạt bosons có dạng ψ s = q 1 )(q 2 )…(q N ) (1.16) Đối với hệ hạt fermions hàm sóng ψ là tổ hợp phản xứng của các tích (1.12). Chẳng hạn, đối với hệ hai ferminons Bo vt ly 6 H ht đng cht ψ a (q 1 , q 2 ) = [(q 1 ) (q 2 ) (q 2 ) (q 1 )] (1.17) Trong trường hợp tổng quát của hệ N hạt ferminons đồng nhất không tương tác, hàm sóng ψ a được viết dưới dạng một định thức: ψ a = (1.18) Sự hoán vị hai cột của định thức ở đây tương ứng với sự hoán vị hai hạt, định thức khi đó đổi dấu. Từ biểu thức (1.18) rút ra một kết luận quan trọng: nếu trong các chỉ số k 1 , k 2 , … k N có hai chỉ số giống nhau, thì hai hàng của định thức sẽ giống nhau và toàn bộ định thức đồng nhất bằng không. Định thức chỉ khác không khi tất cả các chỉ số k 1 , k 2 , … k N khác nhau. Như vậy trong hệ hạt fermions đồng nhất không thể có hai hạt (hay nhiều hơn hai hạt) đồng thời ở trong cùng một trạng thái, hay nói một cách khác trong cùng một trạng thái lượng tử chỉ có thể có tối đa một fermion. Đó là nội dung của nguyên lý loại trừ Pauli (1925). Chương II MỐI TƯƠNG QUAN SPIN – THỐNG KÊ Trong chương này chúng ta cùng nhau tìm lời giải cho bài toán sau: Tại sao hàm sóng của hệ hạt có spin nguyên, tuân theo thống kê Bose – Einstein, là hàm đối xứng; còn hàm sóng của hệ hạt có spin bán nguyên, tuân theo thống kê Fermi – Dirac, là hàm phản đối xứng? Dĩ nhiên chúng ta chưa thể nào tìm ra một lời giải hoàn toàn mới và rất xuất sắc, do đó, bằng cách xem xét lại lời giải của các bậc tiền bối và diễn đạt lại bằng ngôn ngữ dễ hiểu nhất, thì phần nào đó cũng được xem là hoàn thành mục tiêu. Bo vt ly 7 H ht đng cht Như đã biết, trong phép biểu diễn tọa độ thông thường, dựa trên một hệ vector cơ sở hiệu chỉnh, người ta cũng đã xây dựng được hàm sóng mô tả trạng thái của hệ hai hạt đồng nhất với spin S trong không gian ba chiều. Ý tưởng quan trọng là ở chổ khi hoán vị hai hạt thì kéo theo spin S cũng chuyển đổi và điều này ảnh hưởng đến ký hiệu hàm sóng sau khi hoán vị. Bằng cách xây dựng một phép biểu diễn mới dựa trên hệ vector cơ sở mới, gọi là hệ vector cơ sở chuyển spin, cơ học lượng tử tương đối tính đã chỉ ra được sự ràng buộc chặt chẽ giữa tọa độ và spin của hệ hạt đồng nhất. I/ Định nghĩa hệ vector cơ sở chuyển spin Như được giới thiệu ở trên, hệ vector cơ sở mới này, yêu cầu có tính chuyển đổi trơn và song song, được tạo ra bởi một toán tử gọi là toán tử hoán vị vòng U(r). Cũng nên giới thiệu từ đầu rằng các biểu thức trong phép biểu diễn mới này, cơ bản được tạo ra từ bốn toán tử dao động tử điều hòa theo khái niệm của Schwinger. Hệ vector cơ sở mới được định nghĩa thông qua ánh xạ sau: S 2 r (2.1) : hệ vector cơ sở chuyển spin phụ thuộc r. : hệ vector cơ sở hiệu chỉnh (trong phép biểu diễn tọa độ thông thường) Bo vt ly 8 H ht đng cht U(r) : toán tử hoán vị vòng phụ thuộc r (còn gọi là toán tử đơn vị, mô tả phép biến đổi giữa hệ vector cơ sở chuyển spin và hệ vector cơ sở hiệu chỉnh). Hệ vector cơ sở này thỏa mãn: i/ smoothness: the basis must be a smooth and non – singular function for all r 0, e.g there must be no Dirac strings. ii/ quy tắc “trao đổi” = (−1) 2S (2.2) iii/ Điều kiện “chuyển đổi song song” = 0 thỏa mãn với mọi M và M’, và với mỗi đường cong trơn t r(t). Trong bài toán hệ hai hạt đồng nhất với spin S, ta đưa vào các ký hiệu thuận tiện M {m 1 , m 2 }, { m 2 , m 1 } (2.3) ở đây, m 1 và m 2 lần lượt là thành phần hình chiếu lên trục z của spin của hạt 1 và 2 (m 1 , m 2 S). Rõ ràng đã bao hàm cả tọa độ và spin của hệ. II/ Sự đồng nhất Khi đã xây dựng được hệ vector cơ sở chuyển spin, bước tiếp theo ta định nghĩa hàm sóng trong phép biểu diễn mới Bo vt ly 9 H ht đng cht = M (r) (2.4) trong đó M (r) là vector (2S + 1) 2 chiều, mô tả sự phụ thuộc không gian của hàm sóng. Hàm sóng của hai hạt đồng nhất với spin S phụ thuộc vào vị trí r 1 và r 2 của hai hạt đó. Để dễ thấy sự hoán vị giữa hai hạt, ta đưa vào vector vị trí tương đối r = r 2 r 1 , khi hoán vị xảy ra thì r trở thành r. Vì tính không thể phân biệt được các hạt đồng nhất nên chúng ta phải đồng nhất các hệ trước và sau khi hoán vị, nghĩa là đồng nhất các điểm r và –r (vì chúng tương ứng với sự nội chuyển vị trí và spin của các hạt). Trong cơ học lượng tử, tính đơn trị của hàm sóng yêu cầu: = . (2.5) Từ (2.4 = ( r) = ( r)() 2S , (2.6) vì vậy tính đơn trị dẫn đến = () 2S M (r). (2.7) Bo vt ly 10 [...]... Ua(r) gây ra phép biến đổi (2.33) Tường minh hơn (2.33’) và tương tự cho Ub Báo vật ly 17 Hệ hạt đồng chất Theo đó, cũng hướng dẫn rằng đầu tiên để U(r) tác dụng lên trạng thái số tổng quát (2.26), trạng thái mà spin không nhất thiết giống nhau Từ (2.32) và (2.33), (2.34) trong đó Báo vật ly 18 Hệ hạt đồng chất (2.35) Chú ý rằng khi r r, thì thay thế bởi π và ϕ bởi ϕ + π; Các thừa số chung trong... số động học đó Trong trường hợp này, toán tử động lượng trong cơ sở hiệu chỉnh có dạng Pfixed = iħ , (2.11) thì trong cơ sở mới sẽ được định nghĩa P(r) = U(r) PfixedU+(r) Báo vật ly 11 (2.12) Hệ hạt đồng chất Một cách tương tự, toán tử spin (đã được chuyển cơ sở) S(r) (= {S 1, S2}) cũng được định nghĩa S(r) = U(r) SfixedU+(r) (2.13) Như vậy trong cơ sở mới Hamiltonian trong phương trình Schrodinger... học lượng tử cho “bó hai spin” ( a “two – spin bundle”) trong một không gian đại số mở rộng, gọi là không gian Hilbert hai spin, mà hệ vector cơ sở có vai trò như một chiếc cầu Báo vật ly 12 Hệ hạt đồng chất III/ Hoán đổi vòng Như chúng ta đã thấy throng phần trên, cần thiết phải xây dựng một phép biểu diễn mở rộng của spin, một mặt vẫn kết hợp chặt chẽ với phép biểu diễn thông thường, mặt khác... là: S × S = iS (2.17) (Cần lưu ý các biểu diễn đều ở dạng không thứ nguyên) Throng phép biểu diễn này, các giá trị riêng của S2 và Sz tương ứng với các số lượng tử S và m, là số Báo vật ly 13 Hệ hạt đồng chất trạng thái của các dao động tử: nếu như có n a lượng tử throng dao động tử a và nb lượng tử throng dao động tử b, thì từ (2.16) : S = (na + nb), m = (nanb) (2.18) (Xem lại bài toán dao động... nhất có chung thuộc tính này, đó là E × E = iE (2.21) Hơn thế nữa, bằng vài phép toán cơ bản, chúng ta có thể chứng minh được rằng [Ez, S1] = 0, Báo vật ly [Ez, S2] = 0, [E, Stot] = 0, 14 (2.22) Hệ hạt đồng chất Trong đó Stot = S1 + S2 Tuy nhiên, S1 và S2 không giao hoán với = Ex ± Ey, và cũng không giao hoán với và Ngoài ra, ta cũng chứng minh được E2 = (2.23) Chúng ta sẽ gọi E là momen xung lượng... lượng tử có thể được sắp xếp giữa bốn dao động tử (E cho phép Stot bất biến) Bây giờ coi trạng thái của hai spin tương ứng với bộ bốn số n 1a, n1b, n2a, n2b, cụ thể là = C|, (2.26) Báo vật ly 15 Hệ hạt đồng chất trong đó C là hằng số chuẩn hóa, C = Mở rộng (2.18), ta có thể viết lại (2.26) như sau: = ||(2.27) Kết hợp (2.19), (2.20) có Ez | = ()| (2.28) Đối với spin đồng nhất, S 1 = S2 = S, và khi... (2.31) Bây giờ chúng ta phải chứng minh rằng U thực sự tạo ra sự hoán đổi spin y theo (2.2) Để tính được giá trị tác động của toán tử xoay vòng (2.25), đầu tiên cần chú ý rằng (2.32) Báo vật ly 16 Hệ hạt đồng chất và Ua và Ub giao hoán nhau (do [] = 0), do đó có thể xem tác dụng của chúng là độc lập Vì lý do này kết hợp với phép biểu diễn Schwinger ta hoàn toàn tính được giá trị tác động của U a và.. .Hệ hạt đồng chất Quan hệ này tương tự với quan hệ spin – thống kê trong biểu diễn thông thường Tuy nhiên, trước khi có thể khẳng định chắc chắn thì chúng ta phải chứng minh được rằng các hệ số =, (2.8) trong... tính Chương III TƯƠNG TÁC TRAO ĐỔI Tính không phân biệt được của các hạt đồng nhất dẫn tới sự tồn tại của một loại tương tác lượng tử đặc thù giữa các hạt gọi là tương tác trao đổi Báo vật ly 19 Hệ hạt đồng chất 1 Ta xét một hệ gồm hai hạt có spin 2 , giữa chúng có một tương tác không có liên quan gì tới tương tác giữa spin của các hạt Giả thiết tương tác này đủ nhỏ để có thể được coi là một nhiễu... phải là đối xứng, nghĩa là có dạng ψ s (1, 2) = 1 [ψ m1 (1)ψ m 2 (2)+ψ m 2 (1)ψ m 1 (2)] 2 (3.3) Với S= 1 hàm spinơ đối xứng, do đó hàm tọa độ tương ứng phải là phản đối xứng: Báo vật ly 20 Hệ hạt đồng chất ψ a (1, 2) = 1 [ψ m1 (1)ψ m 2 (2) - ψ m 2 (1)ψ m 1 (2)] 2 (3.4) Với S= 0 hàm spinơ bằng 1, với S= 1 hàm spinơ có dạng  a1   ÷ ψ σ =  a0 ÷ a ÷  −1  (3.5) trong đó σ là số lượng tử