Tối Ưu Hóa Mô Hình Q-Potts Trong Nghiên Cứu Chuyển Pha Smectic Của Tinh Thể Lỏng.pdf

Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài Có nhiều cách để có thể nghiên cứu về hiện tượng chuyển pha của tinh thể lỏng,một trong số đó là sự mô hình hóa hệ tinh thể lỏng bằng một mô hình

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘIĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

KHOA VẬT LÝ

NGUYỄN TRỌNG BẢO SƠN

TỐI ƯU HÓA MÔ HÌNH Q-POTTS TRONGNGHIÊN CỨU CHUYỂN PHA SMECTIC

CỦA TINH THỂ LỎNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2023

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘIĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

KHOA VẬT LÝ

NGUYỄN TRỌNG BẢO SƠN

TỐI ƯU HÓA MÔ HÌNH Q-POTTS TRONGNGHIÊN CỨU CHUYỂN PHA SMECTIC

CỦA TINH THỂ LỎNG

Chuyên ngành: Vật Lý Chất Rắn

Mã số: 8440130.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:1 PGS TS Ngô Văn Thanh2 PGS TS Bạch Hương Giang

Hà Nội - 2023

Xin gửi tới gia đình và bạn bè

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam luận văn thạc sĩ “Tối ưu hóa mô hình q-Potts trong nghiên cứu chuyểnpha Smectic của tinh thể lỏng” này là công trình nghiên cứu của cá nhân tôi, dướisự đồng hướng dẫn của PGS TS Ngô Văn Thanh và PGS TS Bạch Hương Giang.Nội dung của luận văn không có sự sao chép công trình nghiên cứu nào Các tài liệutham khảo đã được trích dẫn đầy đủ ở mục Tài liệu tham khảo Các kết quả nghiêncứu, số liệu được trình bày một cách trung thực

Tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm về lời cam đoan này của mình

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến PGS TS Ngô VănThanh, công tác tại Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam, người thầyđã giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi rất nhiều trong quá trình định hướng, nghiêncứu và hoàn thành luận văn thạc sĩ này

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến PGS TS Bạch Hương Giang, công tác tại khoa VậtLý trường Đại học Khoa học Tự nhiên Cùng với thầy Thanh, cô Giang đã có nhữnggóp ý không nhỏ để tôi có thể hoàn thành luận văn

Tiếp theo, tôi xin gửi lời cảm ơn đến chị Nguyễn Phương Thúy, công tác tại ViệnVật Lý - Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam Chị Thúy luôn tận tìnhtrao đổi, góp ý và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu

Ngoài ra, tôi cũng xin cảm ơn Ban lãnh đạo Nhà trường và những người đồngnghiệp của tôi tại Phòng Đào tạo, trường Cao đẳng nghề Kỹ thuật và Nghiệp vụHà Nội (Hatechs) đã tạo điều kiện để tôi có thể được học tập và hoàn thành luậnvăn

Do thời gian chuẩn bị hồ sơ giấy tờ và các thủ tục bảo vệ luận văn khá gấp rútkhiến tôi khá rối loạn, tôi rất trân trọng sự giúp đỡ và hướng dẫn kịp thời của haibạn Bùi Ngọc Minh và Trần Sơn Tùng Hai bạn là những người đã bảo vệ luận văntrước nên đã không ngần ngại chia sẻ những kinh nghiệm, cũng như các quy trìnhthủ tục để tôi có thể chuẩn bị và bảo vệ kịp thời hạn

Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, những người bạn đến từ bộ mônTin Học Vật Lý - khoa Vật Lý, các thành viên trong CLB Guitar trường Đại họcKhoa học Tự nhiên đã hỗ trợ tinh thần, sát cánh cùng tôi trong suốt quá trình họctập và nghiên cứu này

Mục lục

1.2 Lý thuyết về sự chuyển pha 8

1.2.1 Phân loại chuyển pha 8

1.2.2 Tham số trật tự 9

1.3 Các nghiên cứu liên quan 9

1.3.1 Các nghiên cứu về lý thuyết 9

1.3.2 Các nghiên cứu về thực nghiệm 10

1.3.3 Các nghiên cứu về mô phỏng 10

2 MÔ HÌNH VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 122.1 Các mô hình spin 12

2.1.1 Định nghĩa về spin và các mô hình spin 12

2.1.2 Mô hình spin n-vector 14

2.1.3 Mô hình Ising 15

2.1.4 Mô hình XY 16

2.1.5 Mô hình Heisenberg 16

2.1.6 Mô hình q-Potts 17

2.2 Phương pháp mô phỏng Monte Carlo 18

2.2.1 Giới thiệu chung 19

2.2.2 Tính toán số bằng phương pháp Monte Carlo 20

2.2.3 Phép lấy mẫu đơn giản 22

2.2.4 Phép lấy mẫu quan trọng 23

2.2.5 Chuỗi Markov 23

2.2.6 Thuật toán Metropolis 24

3 KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU CHUYỂN PHA SMECTIC TRONGTINH THỂ LỎNG 273.1 Giới thiệu chung 27

3.2 Mở rộng mô hình Potts linh động 30

3.3 Quy trình mô phỏng mô hình mở rộng 33

3.4 Các đại lượng vật lý khảo sát 36

3.5 Kết quả mô phỏng sự chuyển pha smectic trong tinh thể lỏng 37

3.5.1 Sự chuyển pha smectic phụ thuộc vào nồng độ 37

3.5.2 Sự chuyển pha smectic phụ thuộc vào thế năng Lennard-Jones 44

3.5.3 Khảo sát hiệu ứng kích thước 46

3.6 Kết luận chương 49

Danh sách hình vẽ

1.1 Pha Nematic [10] 3

1.2 Ba pha thường gặp của pha Smectic 3

1.3 Pha Cholesteric (Nguồn ảnh: Wikipedia) 4

1.4 Pha Smectic C* (Nguồn ảnh: Wikipedia) 4

1.5 Độ dài chiral p [22] 5

1.6 Hai pha thường gặp của pha Discotic (Nguồn ảnh: Wikipedia) 5

1.7 Cấu tạo một điểm ảnh (Nguồn ảnh: Wikipedia) 6

1.8 Sự truyền ánh sáng qua các tấm lọc màu, ở đây là tấm lọc màu đỏ [14] 71.9 Xác định nhiệt độ bề mặt vật thể bằng tinh thể lỏng cholesteric [3] 72.1 Sơ đồ thí nghiệm Stern-Gerlach [40] 12

2.2 Các mạng tinh thể thường gặp, còn có tên là mạng Bravais (Nguồnảnh: Wikipedia) 14

2.3 caption 17

2.4 Tính tích phân bằng thuật toán Hit-or-Miss [25] 21

2.5 Sơ đồ thuật toán Metropolis cho mô hình Ising 26

3.1 Kết quả thực nghiệm đo hệ số phản xạ theo nhiệt độ của Stoebe năm1994 [37] 28

3.2 Kết quả mô phỏng mô hình Potts linh động 6 trạng thái sử dụngthuật toán Metropolis của GS Hung T Diep cùng đồng nghiệp [4] 29

3.3 Kết quả mô phỏng mô hình Potts linh động 6 trạng thái sử dụngthuật toán Wang-Landau và biểu đồ phẳng của Ngô Văn Thanh cùngnhóm nghiên cứu [30] 30

3.4 Biểu diễn hằng số tương tác Jij giữa các phần tử trong mạng 32

3.5 Thế năng Lennard-Jones (Nguồn ảnh: Wikipedia) 33

3.6 Sơ đồ thuật toán Metropolis cho mô hình Potts linh động 35

3.7 Năng lượng E(T ) và nhiệt dung riêng CV(T ) với trường hợp nồng độc = 30%, U0 = 0.8 và số phần tử NS = 15 × 15 × 9 38

3.8 Tham số trật tự M (T ) và thăng giáng χ(T ) với trường hợp nồng độc = 30%, U0 = 0.8 và số phần tử NS = 15 × 15 × 9 39

3.9 Độ khuếch tán D(T ) với trường hợp nồng độ phần tử c = 30%,U0 = 0.8 và kích thước hệ là NS = 15 × 15 × 9 39

3.10 Năng lượng E(T ) và nhiệt dung riêng CV(T ) với trường hợp nồng độc = 60%, U0 = 0.8 và số phần tử NS = 15 × 15 × 9 40

3.11 Tham số trật tự M (T ) và thăng giáng χ(T ) với trường hợp nồng độc = 60%, U0 = 0.8 và số phần tử NS = 15 × 15 × 9 41

3.12 Năng lượng E(T ) và nhiệt dung riêng CV(T ) với trường hợp nồng độc = 80%, U0 = 0.8 và số phần tử NS = 15 × 15 × 9 42

3.13 Tham số trật tự M (T ) và sự thăng giáng χ(T ) với trường hợp nồng

3.19 Sự ảnh hưởng của kích thước hệ đến năng lượng E(T ) 47

3.20 Sự ảnh hưởng của kích thước hệ đến nhiệt dung riêng CV(T ) 47

3.21 Sự ảnh hưởng của kích thước hệ đến tham số trật tự M (T ) 48

3.22 Sự ảnh hưởng của kích thước hệ đến thăng giáng của tham số trật tựχ(T ) 48

MỞ ĐẦU

Tính cấp thiết của đề tài

Tinh thể lỏng là một pha đặc biệt của vật chất, thể hiện các tính chất của chấtlỏng thông thường và trạng thái rắn của tinh thể Tinh thể lỏng có tính dị hướng,khi các tính chất của chúng thay đổi tùy theo góc nhìn Tinh thể lỏng được tìm thấytrong tự nhiên và có nhiều ứng dụng công nghệ Protein, màng tế bào và một số loạivirus là những ví dụ về tinh thể lỏng tự nhiên Trong công nghệ, màn hình tinh thểlỏng (LCD) là một ứng dụng nổi bật và được biết đến rộng rãi nhất, được sử dụngtrong các thiết bị như điện thoại di động, máy tính và TV Việc khám phá khoahọc về tinh thể lỏng bắt đầu vào năm 1888 với phát hiện của Friedrich Reinitzer vềđiểm nóng chảy độc đáo của chất cholesteryl benzoate [34] Điều này đánh dấu sựkhởi đầu cho việc nghiên cứu các tính chất của tinh thể lỏng, dẫn đến những ứngdụng đa dạng mà chúng ta thấy ngày nay Tuy nhiên, bên cạnh những thành tựuđã đạt được, việc nghiên cứu về pha smectic vẫn có một vài hạn chế:

ˆ Hiện tượng chuyển pha ở một số chất hữu cơ chưa được giải thích rõ, ví dụcác kết quả thực nghiệm thu được từ nghiên cứu [42]

ˆ Các lý thuyết chuyển pha chưa thể áp dụng cho các loại tinh thể lỏng khácnhau

ˆ Ngoài ra, chưa có nghiên cứu nào có thể mô tả chi tiết được hành vi của cácphân tử trong hiện tượng chuyển pha smectic-đẳng hướng

Chính vì vậy, chúng ta cần có thêm những nghiên cứu lý thuyết và mô phỏng để cóthể giải thích và kiểm chứng lại các hiệu ứng, hiện tượng chuyển pha của tinh thểlỏng, cũng như hiểu rõ hơn về bản chất của chúng Đó chính là động lực thúc đẩychúng tôi nghiên cứu về sự chuyển pha smectic của tinh thể lỏng

ˆ Cải tiến và tối ưu thuật toán mô phỏng Monte Carlo để phù hợp với mô hìnhtinh thể lỏng.

Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu được sử dụng trong luận văn này là sự kết hợp giữaphương pháp nghiên cứu lý thuyết và phương pháp mô phỏng Để phân tích và tổnghợp lý thuyết, chúng tôi đã tổng hợp và tìm hiểu các tài liệu trong và ngoài nước vềcác vấn đề về pha và hiện tượng chuyển pha của tinh thể lỏng Từ đó sẽ phân tíchvà khái quát thành cơ sở lí luận để làm công cụ nghiên cứu đề tài này

Phương pháp được sử dụng để mô phỏng trong luận văn này là phương pháp môphỏng Monte Carlo, cụ thể là thuật toán Metropolis Từ lâu, phương pháp này đãvà đang được ứng dụng rộng rãi trong việc giải quyết các bài toán xác suất thốngkê và vật lý thống kê Không chỉ được ứng dụng trong nghiên cứu Vật lý, nó cònđược sử dụng nhiều trong các lĩnh vực khoa học khác như Hóa học, Sinh học, Kinhtế, Với thuật toán này, các trạng thái của hệ sẽ được thiết lập một cách ngẫunhiên, sau đó tính toán giá trị trung bình các đại lượng nhiệt động quan trọng

Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Có nhiều cách để có thể nghiên cứu về hiện tượng chuyển pha của tinh thể lỏng,một trong số đó là sự mô hình hóa hệ tinh thể lỏng bằng một mô hình spin, sau đósử dụng phương pháp mô phỏng Monte Carlo để khảo sát và nghiên cứu

Sau khi tìm hiểu các kết quả nghiên cứu trước đây, chúng tôi nhận thấy các môhình được sử dụng để nghiên cứu vẫn còn đơn giản và sơ khai, chưa mô tả được hếtcác đặc tính quan trọng ủa tinh thể lỏng ví dụ như tính chất linh động của các phầntử Ngoài ra, các thuật toán mô phỏng đang được sử dụng hiện thời chưa thực sựtối ưu Chính vì vậy, chúng tôi tiến hành nghiên cứu này để giải quyết những hạnchế này

Bố cục của luận văn

Luận văn này được trình bày trong 3 chương Chương 1 và chương 2 giới thiệu,tổng quan về đối tượng nghiên cứu, mô hình áp dụng và phương pháp nghiên cứu.Chương 3 trình bày các kết quả thu được trong quá trình nghiên cứu Cụ thể nhưsau

ˆ Chương 1 trình bày tổng quan về tinh thể lỏng, cách phân loại về pha, cácứng dụng của tinh thể lỏng và lý thuyết về chuyển pha

ˆ Chương 2 giới thiệu chung về mô hình nghiên cứu, trong đó mô hình được sửdụng là mô hình q-Potts và phương pháp mô phỏng Monte Carlo

ˆ Chương 3 giới thiệu sơ qua những nghiên cứu trực tiếp có liên quan, cũng làđộng lực để thực hiện đề tài này, sau đó trình bày quy trình thực hiện và cáckết quả thu được từ nghiên cứu

ˆ Cuối cùng là phần Kết luận, đưa ra các kết quả chính trong nghiên cứu nàyvà các đề xuất trong tương lai.

Chương 1TỔNG QUAN VỀ SỰ CHUYỂNPHA TINH THỂ LỎNG

1.1.1Khái niệm

Tinh thể lỏng (liquid crystal) là những chất mang trạng thái của vật chất nằmgiữa trạng thái lỏng của chất lỏng (liquid) và trạng thái tinh thể (crystal) của chấtrắn, nên có một số tính chất của cả hai chất Tóm gọn lại, tinh thể lỏng là một phatrung gian (mesophase) giữa pha lỏng và pha rắn Về mặt tính chất, tinh thể lỏngcó thể chảy như một dòng chất lỏng, nhưng các phân tử có thể sắp xếp một cáchtrật tự hay định hướng như của tinh thể rắn Ngoài ra một số chất tinh thể lỏngcòn thay đổi màu của mình

Vào cuối thế kỷ 19, khi mà ba trạng thái cơ bản của vật chất là rắn, lỏng vàkhí đều đã được biết đến, một nhà sinh học và thực vật học là Friedrich Reinitzerđã phát hiện ra một dạng vật chất mới lạ Năm 1888, ông phát hiện ra hợp chấtC34H50O2 (cholesteryl benzoate) có tới hai điểm nóng chảy Ở nhiệt độ 145.5°C hợpchất nóng chảy thành chất lỏng có màu đục như sữa Tiếp tục làm nóng đến nhiệtđộ 178.5°C, chất lỏng trên sẽ trở nên trong suốt

Ông cũng nhận thấy quá trình này có tính thuận nghịch Sau khi đun nóng, nếuđể chất lỏng trên để nguội dần, màu xanh và tím vốn có của hợp chất xuất hiệnnhanh chóng rồi biến mất, thay vào đó là chất lỏng với màu đục sữa Tiếp tục hạnhiệt, màu xanh và tím lại xuất hiện nhanh chóng rồi trở thành một tinh thể màutrắng [34]

Từ đó ta có thể thấy, các vật liệu tinh thể lỏng không phải lúc nào cũng ở trạngthái lỏng Dưới sự tác động của môi trường hoặc nhiệt độ, chúng có thể thay đổipha cấu trúc, dẫn đến sự thay đổi các tính chất vật lý sẽ được trình bày ở mục tiếptheo

1.1.2Phân loại tinh thể lỏng

Tinh thể lỏng có thể được chia ra thành nhiều loại: thermotropic, lyotropic, meric

poly-ˆ Tinh thể lỏng thermotropic: là loại tinh thể lỏng được cấu tạo bởi các phân tửdạng que dài Pha của chúng thay đổi theo nhiệt độ, ví dụ như pha nematic,smectic và cholesteric, Các pha đó tồn tại trong một khoảng nhiệt độ xácđịnh Ở nhiệt độ thấp, các tinh thể lỏng loại này sẽ tạo thành các tinh thểthông thường Khi nhiệt độ tăng cao, tinh thể lỏng thermotropic có thể đi quacác pha nematic hay smectic, cuối cùng là trở thành chất lỏng đẳng hướngisotropic

ˆ Tinh thể lỏng lyotropic: là loại tinh thể lỏng có pha thay đổi theo nồng độ.Chúng được cấu tạo bằng cách hòa tan mesogen1 lưỡng phần2 vào trong dungmôi và điều kiện nhiệt độ áp suất thích hợp Tinh thể lỏng lyotropic đượcquan tâm và nghiên cứu nhiều trong lĩnh vực sinh học [23]

ˆ Tinh thể lỏng metallotropic: là một số loại tinh thể lỏng được hình thành từcác hợp chất vô cơ có độ nóng chảy thấp (ví dụ như ZnCl2) Việc bổ sung cácphân tử giống xà phòng với chuỗi phân tử dài dẫn đến việc tạo ra nhiều phamới với các dạng tinh thể lỏng khác nhau

Sau đây chúng ta sẽ điểm qua một số pha phổ biến của tinh thể lỏng loại motropic, và một trong số đó cũng là pha được sử dụng để nghiên cứu trong luậnvăn này

ther-a) Pha NematicCó thể coi đây là một cấu trúc pha phổ biến và đơn giản nhất của tinh thể lỏng.Các phân tử thuộc pha này có dạng hình que, hoặc thanh Từ “nematic” bắt nguồntừ “nema” có nghĩa là “sợi chỉ” trong tiếng Hy Lạp Trong pha này, các phân tử đượcsắp xếp không có trật tự về mặt vị trí nhưng lại có trật tự tầm xa về mặt địnhhướng như được mô tả trong Hình 1.1 Nói cách khác, có thể dễ dàng nhận thấytuy chúng sắp xếp hỗn độn nhưng lại có định hướng khá song song với nhau theomột trục nào đó, thường được biểu diễn (một cách trung bình) bởi vector ⃗n

Hầu hết các phân tử tinh thể lỏng nematic đều đơn trục, chúng có trục chính dàihơn và được ưu tiên hơn, trục còn lại là các trục thứ cấp Các phân tử này nếu đượcđiều chỉnh thích hợp thì có các đặc tính quang học của tinh thể đơn trục Chínhđiều này góp phần làm nên tính chất của màn hình tinh thể lỏng LCD

1Mesogen là hợp chất thể hiện các đặc tính của tinh thể lỏng

2Lưỡng phần (Amphiphilic) là hợp chất hữu cơ chứa cả thành phần ưa nước và kỵ nước

Hình 1.1: Pha Nematic [10]

b) Pha SmecticPha smectic được tìm thấy ở nhiệt độ thấp hơn so với pha nematic Giống vớipha nematic, các phân tử trong pha smectic cũng không có trật tự về mặt vị trínhưng lại có trật tự về mặt định hướng, ngoài ra chúng được sắp xếp thành các lớpriêng biệt và có thể trượt lên nhau Từ “smectic” bắt nguồn từ “smecticus” có nghĩalà “làm sạch”, hoặc “xà phòng” trong tiếng Hy Lạp

Pha smectic được chia ra thành nhiều dạng nhỏ hơn, nhưng phổ biến nhất là badạng smectic A, smectic B và smectic C Các phân tử trong pha smectic A có xuhướng vuông góc với các mặt phẳng chứa chúng (Hình1.2a); pha smectic B có địnhhướng vuông góc với mặt phẳng giống smectic A nhưng các phân tử sắp xếp theomạng hình lục giác (Hình 1.2c); trong khi đó các phân tử trong pha smectic C cóxu hướng nghiêng đi một góc θ khác 0 (Hình 1.2b)

(a) Pha Smectic A, cácphân tử gần như vuông

góc với các lớp [10]

(b) Pha Smectic C, cácphân tử bị nghiêng đi một

góc θ [10]

(c) Pha Smectic B, cácphân tử sắp xếp theo

mạng lục giác [5]

Hình 1.2: Ba pha thường gặp của pha Smectic

c) Pha CholestericPha Cholesteric, hay có tên gọi khác là pha nematic xoắn Nó có tên gọi nhưvậy vì nó được tìm thấy lần đầu trong dẫn xuất của cholesterol bởi F Reinitzernăm 1888 Tuy vậy, pha cholesteric cũng tồn tại ở các chất không liên quan đếncholesterol Các phân tử này có sự tương đồng với pha nematic vì không có trật tựvị trí và có trục định hướng Tuy nhiên, các phân tử này có xu hướng xếp chung vớinhau thành một cụm trong một lớp mỏng (không giống với các lớp tách biệt hoàntoàn như pha Smectic) và vector định hướng ⃗n không như nhau trong toàn khônggian phân tử, mà thay đổi từ lớp này sang lớp khác, tạo thành một cấu trúc xoắncó tính tuần hoàn.

Hình 1.3: Pha Cholesteric (Nguồn ảnh: Wikipedia)

Tuy không thuộc pha cholesteric mà thuộc pha smectic, nhưng các phân tử loạismectic C* cũng có cấu trúc xoắn ốc tuần hoàn (dấu * biểu thị cho sự xoắn ốc).Chúng có trật tự vị trí ổn định và chia thành các lớp rõ rệt giống với pha smecticC như đã trình bày ở mục 1.1.2b, tuy nhiên giữa các lớp không có sự định hướngchung mà thay đổi liên tục Dọc theo trục chính này, các vector định hướng tạothành hình xoắn ốc (có thể coi các vector định hướng này tiến động dọc theo trụcchính)

Hình 1.4: Pha Smectic C* (Nguồn ảnh: Wikipedia)

Đối với hai pha này, ta cần xét đến khái niệm độ dài chiral p (chiral pitch) Đó làkhoảng cách mà trục định hướng của phân tử tinh thể lỏng trở lại định hướng banđầu, tức là thay đổi một góc 2π Khái niệm này có thể được hiểu tương đương vớikhái niệm bước sóng trong lĩnh vực sóng cơ và sóng điện từ, là khoảng cách ngắnnhất giữa hai điểm dao động cùng pha Tuy nhiên về mặt cấu trúc, chúng đã lặp lạimỗi một nửa pitch vì hướng 0 hay ±π là tương đương với nhau Các pitch này cóthể thay đổi khi nhiệt độ thay đổi hoặc thêm các phân tử khác vào hệ tinh thể lỏng.Trong một vài hệ tinh thể lỏng, độ dài này có cùng cỡ bước sóng ánh sáng thôngthường.

Hình 1.5: Độ dài chiral p [22]

d) Pha DiscoticĐây là pha tinh thể lỏng mà các phân tử có hình dạng mỏng dẹt như những chiếcđĩa (disc) Chúng lại được chia thành hai dạng nhỏ hơn là Discotic Nematic nếuchúng sắp xếp không có trật tự giống pha Nematic (Hình 1.6a), Discotic Columnarnếu các phân tử được xếp chồng lên nhau tạo thành các cột có trật tự về định hướng(Hình 1.6b)

Hình 1.6: Hai pha thường gặp của pha Discotic (Nguồn ảnh: Wikipedia)

Sự khám phá tinh thể lỏng đã thu hút sự chú ý của nhiều nhà vật lý, tuy nhiênmọi thứ khi đó chỉ dừng lại ở mức nghiên cứu thuần túy Chính vì có nhiều tínhchất quang học đặc biệt và thú vị nên đến giữa thế kỷ 20 tinh thể lỏng được nghiêncứu nhiều trở lại và ứng dụng vào khoa học kỹ thuật trong nhiều năm, nổi bật nhất

là màn hình tinh thể lỏng (LCD - Liquid Crystal Display) đã dần thay thế các loạimàn hình sử dụng ống tia âm cực (CRT - Cathode Ray Tube) Màn hình LCD đóngvai trò quan trọng trong việc sản xuất các thiết bị điện tử như tivi, laptop, điệnthoại.

Màn hình LCD được cấu tạo bởi tấm đèn nền, hai tấm kính phân cực đặt songsong với nhau nhưng trục phân cực vuông góc với nhau, tấm lọc màu RGB, một lớptinh thể lỏng nematic xoắn (được trình bày ở mục 1.1.2c) và các điện cực Nguyênlý hoạt động của màn hình LCD khá đơn giản: nếu chỉ có hai tấm phân cực thì ánhsáng trắng từ tấm đèn nền đi qua tấm phân cực đầu tiên sẽ bị phân cực tuyến tínhvà bị chặn hoàn toàn ở lớp kính phân cực thứ hai Với việc xuất hiện lớp tinh thểlỏng nematic xoắn ở giữa hai tấm phân cực (được điều chỉnh để có độ xoắn 1/4 p),ánh sáng phân cực đi qua tấm thứ nhất sẽ có thành phần phân cực được “xoắn”theo các phân tử tinh thể lỏng, khiến ánh sáng thoát ra được khỏi tấm phân tíchthứ hai và đưa ra màn hình Mỗi một điểm ảnh trên màn hình (pixel) lại được chiathành ba điểm ảnh con (sub-pixel) gồm ba hệ thống kính phân cực và tinh thể lỏng,được gắn với ba tấm lọc màu RGB (Hình 1.7)

Hình 1.7: Cấu tạo một điểm ảnh (Nguồn ảnh: Wikipedia)

Các điện cực đặt ở hai đầu tấm phân cực để tạo ra một điện trường ngoài, cótác dụng “bẻ thẳng” lại các phân tử nematic xoắn (khiến chúng trở thành phân tửnematic thông thường), khiến ánh sáng không truyền qua được Vì vậy, việc ánhsáng có đi qua được các tấm lọc màu hay không dựa theo việc “xoắn” hay “khôngxoắn” của phân tử nematic, hay nói cách khác là sự đóng-mở các điện cực (Hình

1.8) Sự phối trộn màu giữa ba điểm ảnh con sẽ quyết định màu sắc ở điểm ảnh đó(ví dụ màu đen là khi cả ba subpixel đều tắt, màu trắng là khi cả ba subpixel đềubật)

(a) Điện cực mở, áng sáng được

truyền qua

(b) Điện cực đóng, ánh sáng bị

chặn lại

Hình 1.8: Sự truyền ánh sáng qua các tấm lọc màu, ở đây là tấm lọc màu đỏ [14]

Mặc dù những năm gần đây, công nghệ chế tạo màn hình đang phát triển rấtmạnh mẽ, trong đó nổi lên là màn hình công nghệ OLED (Organic Light-EmittingDiode) và QLED (Quantum Light-Emitting Diode) với nhiều ưu thế như mỏng nhẹ,hình dạng có thể thay đổi, độ bao phủ màu sắc và độ sắc nét cao hơn LCD rấtnhiều, tuy nhiên chúng đều có giá thành cao hơn do vật liệu và công nghệ chế tạo.Hơn nữa màn hình OLED còn hay gặp phải hiện tượng “cháy sáng” màn hình vàkhông thể tái sử dụng, trong khi màn hình LCD ít gặp phải vấn đề đó (và vẫn cóthể sửa chữa, tái sử dụng nếu không may gặp phải) Cho nên màn hình LCD vẫnsẽ có chỗ đứng và được sử dụng rộng rãi trong tương lai

Một ứng dụng khác của tinh thể lỏng là xác định nhiệt độ bề mặt vật thể Mộttia sáng trắng được chiếu vào bề mặt vật thể có chứa tinh thể lỏng cholesteric vớigóc tới θi Sau đó ánh sáng bị khúc xạ rồi phản xạ lại bề mặt khi gặp tinh thể lỏng(giống với hiện tượng nhiễu xạ tia X) Tia sáng bị phản xạ đó khi chiếu lên bề mặtsẽ lại khúc xạ lần nữa với góc khúc xạ θr và có bước sóng λ Bước sóng λ này phụthuộc vào các góc θi, θr và định hướng của tinh thể lỏng (là hàm của nhiệt độ) Vớiba thông số này ta có thể xác định được nhiệt độ bề mặt vật thể

Hình 1.9: Xác định nhiệt độ bề mặt vật thể bằng tinh thể lỏng cholesteric [3]

1.2Lý thuyết về sự chuyển pha

Có thể nói sự chuyển pha và hiện tượng tới hạn là một lĩnh vực nghiên cứu quantrọng trong vật lý nói chung, vật lý chất rắn và vật lý thống kê nói riêng Pha đượcđịnh nghĩa là một vùng không gian hoặc hệ nhiệt động lực mà trong đó các thuộctính vật lý của hệ là đồng nhất Các thuộc tính đó có thể là thành phần hóa học,mật độ, chiết suất Một trong những ví dụ đơn giản và trực quan nhất khi nhắc đếnpha là ba pha rắn, lỏng, khí của nước

Chuyển pha không đơn thuần chỉ là sự chuyển đổi giữa các trạng thái vật chất đãbiết (như chuyển pha rắn-lỏng-khí của nước), mà nó còn có thể là sự thay đổi trậttự, cấu trúc và tính chất của vật liệu Đối với các vật liệu từ tính, khi tăng nhiệt độchúng ta có sự chuyển đổi từ pha sắt từ (hoặc phản sắt từ) sang pha thuận từ, tứclà từ pha trật tự sang pha mất trật tự

Đối với các hệ spin, ta có thể điểm qua một số sự chuyển pha sau Ở mạng tinhthể một chiều, nhìn chung các hệ spin không diễn ra sự chuyển pha nào tại nhiệtđộ T ̸= 0 Với mạng tinh thể hai chiều, những mô hình có giá trị spin rời rạc nhưIsing và q-Potts sẽ có sự chuyển pha tại nhiệt độ TC ̸= 0, trong khi đó mô hìnhHeisenberg không có chuyển pha ở nhiệt độ T hữu hạn [29] Mô hình XY là trườnghợp đặc biệt, mặc dù không có tính trật tự tầm xa ở nhiệt độ hữu hạn nhưng nó vẫnxuất hiện sự chuyển pha gọi là chuyển pha “Kosterlitz-Thouless” (gọi tắt là chuyểnpha KT) [24] Với mạng tinh thể ba chiều thì tất cả các mô hình spin đều xảy ra sựchuyển pha tại nhiệt độ T ̸= 0

1.2.1Phân loại chuyển pha

Paul Ehrenfest là người đầu tiên cố gắng phân loại sự chuyển pha Ông phân loạichúng dựa theo bậc của sự gián đoạn khi ta đạo hàm năng lượng tự do theo cácbiến nhiệt động

ˆ Chuyển pha loại I là chuyển pha mà đạo hàm bậc nhất của năng lượng tự doF theo các biến nhiệt động (ví dụ như nhiệt độ T , áp suất p) bị gián đoạn.Một ví dụ thường gặp của chuyển pha loại này là sự chuyển pha rắn-lỏng-khí,ngoại trừ trường hợp chuyển pha lỏng-khí, khi mà đạo hàm bậc nhất của nănglượng tự do tại TC là liên tục

ˆ Chuyển pha loại II là chuyển pha mà đạo hàm bậc nhất của năng lượng tự dotheo biến nhiệt động là liên tục nhưng đạo hàm bậc hai của nó lại gián đoạn.Ví dụ thường gặp là sự chuyển pha sắt từ khi không có trường ngoài (H = 0),chuyển pha lỏng-khí tại TC

Người ta gọi đó là sự phân loại kiểu Ehrenfest, hoặc phân loại kiểu cổ điển Tuynhiên ngày nay, người ta nhận thấy sự phân loại kiểu cổ điển này không còn chínhxác nữa Các nhà khoa học đã phân loại sự chuyển pha theo kiểu mới:

ˆ Chuyển pha loại I là sự chuyển pha có sự góp mặt của nhiệt chuyển pha.ˆ Chuyển pha loại II là sự chuyển pha không có sự góp mặt của nhiệt chuyển

pha

Trong chuyển pha loại II, không có ẩn nhiệt và luôn kềm theo sự biến đổi tínhtrật tự và tính đối xứng của hệ Do trạng thái biển đổi liên tục nên tại điểm chuyểnpha loại II không phân biệt được các pha ở mức độ vĩ mô như chuyển pha loại I.Khi qua điểm chuyển pha loại II, hệ chỉ dịch chuyển qua điểm mà tính chất của cácpha và sự phụ thuộc nhiệt độ của các tính chất đó trở nên khác nhau.

1.2.2Tham số trật tự

Sự chuyển pha diễn ra khi có một tham số ngoại nào đó thay đổi Đó có thể lànhiệt độ hoặc từ trường ngoài Tại điểm xảy ra chuyển pha, hệ sẽ chuyển từ trạngthái này sang trạng thái khác Một trong những loại chuyển pha được nghiên cứunhiều nhất là chuyển pha trật tự - không trật tự

Xét mô hình sắt từ, ví dụ mô hình Ising 2D Ở pha thuận từ (trên nhiệt độ TC)hướng của các spin là ngẫu nhiên nên khi tính trung bình thì độ từ hóa M = 0 vàchúng bất biến với phép đối xứng quay Trong khi đó ở pha sắt từ (dưới nhiệt độTC) xuất hiện độ từ hóa tự phát nên các spin sẽ có xu hướng quay về cùng mộthướng nào đó, nên độ từ hóa M ̸= 0 và chúng phá vỡ sự đối xứng quay

Chính vì sự xuất hiện hoặc biến mất của phép đối xứng ở hai pha nên ta cần tìmra một đại lượng hoặc tham số nào đó mô tả tính chất nhiệt động ở pha nhiệt độthấp, và chúng không liên tục tại điểm chuyển pha Tham số đó được gọi là “thamsố trật tự”, thường kí hiệu là µ Tham số này bằng không khi ở pha không trật tự(thường là ở trên nhiệt độ TC) và trở thành khác không ở pha trật tự (khi ở dướinhiệt độ TC)

Với các hệ vật lý khác nhau, tham số trật tự sẽ là các đại lượng khác nhau Chúngcó thể là đại lượng vô hướng hoặc vector, thậm chí là số phức Đối với mô hình sắttừ nói trên, tham số trật tự chính là độ từ hóa M Trong sự chuyển pha lỏng-khí,tham số trật tự là Tùy vào mỗi hệ, tham số trật tự có thể được xác định thông quacác phương pháp thí nghiệm khác nhau

Ngoài ra, trong lý thuyết chuyển pha Landau, tham số trật tự còn được dùngtrong khai triển Taylor của năng lượng tự do F

Như đã giới thiệu, vật liệu tinh thể lỏng có nhiều pha khác nhau, nên sự chuyểnpha của tinh thể lỏng cũng phức tạp và đa dạng [35] Sự nghiên cứu các tính chấtvà hiện tượng của chúng là một lĩnh vực liên ngành, gồm các kiến thức về vật lý,hóa học và sinh học Sau đây là một số nghiên cứu quan trọng trong quá trình tìmhiểu về tinh thể lỏng

1.3.1Các nghiên cứu về lý thuyết

Các lý thuyết tổng quát để nghiên cứu sự chuyển pha tinh thể lỏng được dựatrên phương pháp năng lượng tự do Frank và lý thuyết chuyển pha của Landau-de

Gennes.ˆ Phương pháp năng lượng tự do Frank: Do các phân tử tinh thể lỏng có sự trật

tự như tinh thể rắn và có độ nhớt như chất lỏng nên mô hình lý thuyết củatinh thể lỏng có thể là chất rắn đàn hồi hoặc chất lỏng dị hướng Việc coi tinhthể lỏng như là chất rắn đàn hồi đã được Frank và Oseen nghiên cứu bằngphương pháp năng lượng tự do Frank Phương pháp này coi các biến dạngkéo, xoắn, đàn hồi có thể làm thay đổi cấu trúc và pha của tinh thể lỏng Hơnnữa, những sự biến dạng này cũng góp phần làm thay đổi năng lượng tự do.Phương phá này xây dựng năng lượng tự do theo các tham số trật tự và cựctiểu hóa năng lượng tự do để thu được trạng thái cân bằng

Fd= 12

K1(∇ · ˆn)2+ K2hn · (∇ × ˆˆ n)i

1.3.2Các nghiên cứu về thực nghiệm

Năm 1909, nhà khoa học Georges Friedel người Pháp đã quan sát thấy các trạngthái khác nhau của tinh thể lỏng bằng kính hiển vi và đặt tên cho chúng là nematic,smectic, cholesteric và công bố trong bài báo năm 1922 [15] Sự phát hiện của ôngđã mở ra nhiều lĩnh vực nghiên cứu đến hiện tượng chuyển pha của tinh thể lỏng

Một số nghiên cứu tiêu biểu về mặt thực nghiệm có thể kể đến như sự chuyển phasmectic A - smectic B trong hợp chất N -(4-n-butoxybenzylidene)-4-n-octylanilinedo Chao và các cộng sự sử dụng phương pháp nhiễu xạ điện tử [6]; sự chuyển phasmectic - isotropic trong hợp chất H10F5MOPP bởi Johnson và cộng sự sử dụngphương pháp phản xạ quang với độ phân giải cao [21] Nhưng quan trọng nhất phảikể đến kết quả thực nghiệm của T Stoebe và đồng nghiệp năm 1994 khi quan sátđược sự chuyển pha theo lớp của H10F5MOPP và H8F7MOPP Kết quả nghiên cứunày sẽ được nói rõ hơn trong chương 3, mục 3.1

1.3.3Các nghiên cứu về mô phỏng

Cùng với sự tiến bộ và phát triển của khoa học và máy tính, các bài toán môphỏng về vật lý nói chung và hệ tinh thể lỏng nói riêng ngày càng được thực hiệnnhiều, đem đến cho chúng ta nhiều thông tin và kiến thức về sự hình thành vàchuyển pha của tinh thể lỏng [7] Hai khía cạnh chúng ta cần quan tâm đến là môhình và phương pháp mô phỏng Các mô hình mô phỏng hệ tinh thể gồm: mô hìnhGay-Berne, mô hình Lebwohl-Lasher Các phương pháp mô phỏng được sử dụng phổbiến nhất gồm phuông pháp động học phân tử [8] và phương pháp Monte Carlo [39]

Chúng ta sẽ tìm hiểu chi tiết hơn về phương pháp Monte Carlo ở Chương2 vì đâylà phương pháp mô phỏng được sử dụng trong luận văn này.

ˆ Mô hình Gay-Berne: Mô hình này được sử dụng rộng rãi trong việc mô phỏnghệ tinh thể lỏng, trong đó thế năng tương tác Lennard-Jones được xét đến [17]VGB = 4ε(ˆui, ˆuj, ˆr)

"

1rij − σ(ˆui, ˆuj, ˆr) + 1

12

−

1rij − σ(ˆui, ˆuj, ˆr) + 1

6#, (1.2)trong đó ˆui, ˆuj là các vector đơn vị dọc theo trục phân tử i, j và ˆr là vector khoảngcách giữa chúng; ε(ˆui, ˆuj, ˆr) và σ(ˆui, ˆuj, ˆr) lần lượt là định hướng và khoảng cáchhiệu dụng khi thế năng bằng không

Mô hình Gay-Berne đã được sử dụng để mô phỏng và nghiên cứu nhiều pha củatinh thể lỏng như pha isotropic (đẳng hướng), nematic và smectic [1]

ˆ Mô hình Lebwohl-Lasher: Là phiên bản mở rộng của mô hình trường trungbình Maier-Saupe của pha nematic [27] Mô hình này được xây dựng với mụcđích là tính toán tham số trật tự và xác định các đại lượng nhiệt động trongchuyển pha nematic - đẳng hướng Đây có thể coi là mô hình đơn giản nhất đểmô phỏng lại hệ tinh thể lỏng, trong đó các phân tử có dạng khuẩn que đơntrục, mỗi phân tử đóng vai trò như một spin nằm cố định trên các nút mạngtinh thể, còn định hướng có thể thay đổi trong không gian Thế năng tươngtác cặp giữa các phân tử:

trong đó εij là hằng số tương tác, βij là góc giữa 2 trục định hướng của phântử i và j, và P2(cos βij) là đa thức Legendre bậc hai

Chương 2MÔ HÌNH VÀ PHƯƠNG PHÁPNGHIÊN CỨU

2.1.1Định nghĩa về spin và các mô hình spin

Spin là một trong số những đại lương cơ bản của hạt, có tính chất nội tại nhưkhối lượng hay điện tích Spin có bản chất của moment động lượng và là khái niệmthuần tuý lượng tử, không có sự tương ứng trong cơ học cổ điển

Sự quan sát về spin lần đầu tiên là ở thí nghiệm Stern-Gerlach vào năm 1922 [18].Stern và Gerlach bắn một chùm nguyên tử bạc đi qua một từ trường không đềuvà thấy rằng các nguyên tử bạc bị lệch về 2 hướng Đến năm 1925, Goudsmit vàUhlenbeck đề ra giả thuyết rằng “Mỗi electron đều có một moment động lượng nộitại, có thể gọi là spin với độ lớn 12ℏ” [38] Ban đầu, spin là khái niệm chỉ sử dụngcho electron, sau này các nhà khoa học đã mở rộng spin là đại lượng vật lý cho tấtcả các hạt vi mô

Hình 2.1: Sơ đồ thí nghiệm Stern-Gerlach [40]

Khi nhắc đến spin, chúng ta cũng cần đề cập đến nguyên lý loại trừ Pauli đượcphát biểu lần đầu vào năm 1925 (và được hoàn thiện vào năm 1940) Các hạt cơ bảnđược chia làm hai loại: Fermion là các hạt có spin bán nguyên, tuân theo thống kêFermi-Dirac và Boson là các hạt có spin nguyên, tuân theo thống kê Bose-Einstein.Nguyên lý loại trừ Pauli phát biểu rằng “Không thể tồn tại đồng thời hai fermiontrở lên có cùng trạng thái lượng tử” Các electron là các fermion với spin s = 12 nênchúng tuân theo nguyên lý loại trừ này, trong khi đó các boson không tuân theochúng, thậm chí chúng có thể cùng nhau tồn tại ở trạng thái lượng tử thấp nhấtgọi là “Ngưng tụ Bose-Einstein” Nguyên lý này có nội dung đơn giản và ngắn gọnnhưng lại có ý nghĩa lớn trong việc giải thích cấu trúc lớp vỏ electron của nguyêntử.

Một mô hình spin gồm các spin được mô tả như những nam châm có kích thướcnguyên tử đặt tại các nút mạng, chúng tương tác với nhau bằng định luật cơ họccổ điển hoặc lượng tử Việc ứng dụng các mô hình spin đã và đang phát triển mạnhtrong việc mô tả các hệ lượng tử hoặc giải thích các hiện tượng từ tính, sự chuyểnpha của vật chất,

Khi làm việc và nghiên cứu đến mô hình spin, ta cần xem xét đến những yếu tốsau:

ˆ Cấu trúc mạng tinh thể: Tinh thể là những vật thể được cấu tạo từ các ionhay nguyên tử, được sắp xếp theo một trật tự nhất định Một cấu trúc tinhthể gồm có một ô cơ sở và rất nhiều các nguyên tử sắp xếp theo một cách đặcbiệt; vị trí của chúng được lặp lại một cách tuần hoàn trong không gian bachiều theo một mạng Bravais (Hình 2.2) Đó có thể là mạng một chiều, haichiều hay ba chiều Từ cấu trúc mạng tinh thể ta sẽ xác định được số lượngspin lân cận gần nhất để xét tương tác Cấu trúc và đối xứng của tinh thểcó vai trò rất quan trọng với các tính chất liên kết, tính chất điện, tính chấtquang, của tinh thể

ˆ Các giá trị của spin: Như đã đề cập phía trên, mỗi loại hạt khác nhau sẽ cótính chất và giá trị spin khác nhau Ở đây spin được biểu diễn bằng một vectorcó hướng và độ lớn | ⃗S| = 1 Tùy vào mô hình mà ta có hướng và các giá trịcủa spin khác nhau

ˆ Sự tương tác giữa các spin: Giữa các spin luôn có sự tương tác, đặc trưng bằngbản chất phân tử, khoảng cách tương tác hay số lượng phân tử lân cận.ˆ Tổng năng lượng của mô hình: Hamiltonian của hệ spin sẽ bao gồm năng

lượng tương tác giữa các spin với nhau và sự tương tác của spin với trườngngoài Ta cần xem xét sự đóng góp của các thế năng tương tác này để đưa raHamiltonian cụ thể

Ở mục tiếp theo chúng ta sẽ liệt kê một số mô hình spin thường gặp

Hình 2.2: Các mạng tinh thể thường gặp, còn có tên là mạng Bravais (Nguồn ảnh:Wikipedia)

2.1.2Mô hình spin n-vector

Mô hình spin n-vector, hay còn gọi là mô hình O(n) là mô hình đơn giản trongcác mô hình của vật lý nói chung và vật lý thống kê, vật lý chất rắn nói riêng Môhình thể hiện tượng tác spin trong mạng tinh thể Trong mô hình này, các spin cón-thành phần với độ dài đơn vị được đặt tại các nút mạng trong mạng d-chiều

Hamiltonian của mô hình được viết dưới dạng:

2.1.3Mô hình Ising

Mô hình Ising là một mô hình toán học trong Vật lý thống kê Đây là trường hợpcủa mô hình n-vector với n = 1 Mô hình này gồm các spin có độ lớn | ⃗Si| = 1 sắpxếp ở các nút mạng và có thể tồn tại ở một trong hai trạng thái được ký hiệu là ↑và ↓ Các spin sẽ tương tác với hầu hết các spin lân cận của nó Tùy vào bài toánvà độ chính xác mong muốn mà ta có thể tính đến các lân cận gần nhất hoặc lâncận gần nhất kế tiếp

Mô hình Ising được sử dụng để nghiên cứu hệ spin có sự bất đẳng hướng theo mộttrục nào đó rất mạnh Nó cũng được làm mô hình đơn giản để nghiên cứu về sựchuyển pha Bất kỳ hệ tương tác nào mà các thành phần tương tác có hai trạngthái riêng biệt đều có thể được đưa về mô hình Ising

Xét về mặt định nghĩa, mô hình này vẫn còn khá trừu tượng và “phi vật lý” Đốivới các nhà vật lý, sẽ tốt và có ích hơn nếu chúng ta có các mô hình thực tế để dễtưởng tượng và nghiên cứu Dưới đây là một vài mô hình thực có thể sử dụng môhình Ising để miêu tả:

ˆ Nam châm có thể coi là mô hình thực đơn giản nhất Mỗi ô mạng đại diệncho một spin, có giá trị được quy ước là +1 nếu hướng lên và −1 nếu hướngxuống

ˆ Hợp kim, ví dụ như đồng thau (hợp kim của đồng và kẽm) Mỗi ô mạng làmột nguyên tử, −1 có thể biểu diễn nguyên tử đồng còn +1 biểu diễn nguyêntử kẽm hoặc ngược lại

ˆ Khí mạng tinh thể 1 Mỗi một ô mạng là một vị trí khả dĩ của nguyên tử,trong đó −1 đại diện cho ô mạng trống, còn +1 là ô mạng đã có nguyên tửchiếm giữ

Xét mô hình mà tại mỗi nút mạng có một spin ⃗Si, có thể nhận giá trị +1 hoặc−1 Hamiltonian của hệ có dạng:

ˆ Jij = 0, hệ không tương tác

1Khí mạng tinh thể (lattice gas) là tập hợp NAnguyên tử, chiếm các vị trí rời rạc trong khônggian, các vị trí tạo thành cấu trúc mạng tinh thể với số phối trí q

ˆ Jij > 0, tương tác là sắt từˆ Jij < 0, tương tác là phản sắt từKhi hai spin cùng hướng thì tích spin ⃗Si · ⃗Sj bằng +1, và bằng −1 trong trườnghợp ngược hướng.

Mô hình Ising được xây dựng bởi nhà vật lý Wilhelm Lenz [28], người đã đưa rabài toán này cho sinh viên Ernst Ising và lấy tên cho mô hình này Mô hình Isingmột chiều đã được chính Ising nghiên cứu vào năm 1925 và ông kết luận rằng môhình không xảy ra sự chuyển pha [20] Năm 1944 Lars Onsager đã tìm ra được lờigiải giải tích cho trường hợp mạng vuông hai chiều với điều kiện biên tuần hoànvà không có trường ngoài (h = 0), ông cũng kết luận rằng có sự chuyển pha bậchai [31] Cho tới nay, các nhà khoa học tin rằng sẽ không thể tìm ra lời giải dạnggiải tích cho mô hình Ising ba chiều (mặc dù chưa ai chứng minh được điều đó).Với số chiều lớn hơn bốn, sự chuyển pha của mô hình Ising được giải quyết bằnglý thuyết trường trung bình

2.1.5Mô hình Heisenberg

Đây là mô hình spin n-vector ứng với n = 3, được sử dụng rộng rãi trong Vật lýthống kê và Vật lý chất rắn để mô tả hiện tượng sắt từ Các spin trong mô hình nàycó thể quay tự do trong không gian ba chiều

Hình 2.3: Các mô hình spin thường gặp 1

2.1.6Mô hình q-Potts

Trong Vật lý thống kê, mô hình q-Potts [41] (cũng được gọi là mô hình Pottsq-trạng thái) là mô hình mở rộng của mô hình Ising, được dùng để mô tả sự tươngtác giữa các spin trong mạng tinh thể Khi nghiên cứu mô hình này, ta có thể cóđược những cái nhìn sâu sắc về các thuộc tính của vật liệu sắt từ và một số hiệntượng khác trong Vật lý chất rắn Đây không phải là một mô hình hoá tốt các hệvật lý, tuy nhiên nó lại có thể giải được chính xác trong trường hợp một chiều vàđã được nghiên cứu nhiều

Mô hình này tuy được đề xuất bởi Ashkin và Teller vào năm 1943 [2], nhưng nólại được đặt tên theo Renfrey Potts, người giải quyết được bài toán và mô tả môhình này trong luận án tiến sĩ của mình vào năm 1952 [33] Mô hình cũng được gọilà mô hình “Potts phẳng” hoặc “mô hình đồng hồ” bởi Cyril Domb - giáo viên hướngdẫn luận án của Potts

Mô hình q-Potts gồm các spin được sắp xếp trên các nút mạng tinh thể, thườnglà mạng hình chữ nhật hai chiều, sau đó người ta tổng quát lên mạng nhiều chiều.Ban đầu Cyril Domb đề xuất spin sẽ nhận một trong số q giá trị khả dĩ (vậy nên môhình mới có tên gọi q-Potts), hướng của chúng được phân bố đều trên một đườngtròn tại các góc

θn= 2πn

với n = 0, 1, , q − 1

1https://www.ibs.re.kr/cop/bbs/BBSMSTR_000000000738/selectBoardArticle.do?nttId=16388

Dễ thấy, mô hình Potts chuẩn với q = 2 tương đương với mô hình Ising, spin sẽnhận 2 giá trị khả dĩ tại các góc θ0 = 0 và θ1 = π Khi q tiến đến vô cùng, ta thuđược mô hình XY vì spin nhận vô số các giá trị khả dĩ.

βHg = −β



X

Mô hình Potts sắt từ trong mạng tinh thể vuông có sự chuyển pha tại βJ =log(1 +√

q) với q = 2 và q ≥ 4 Đối với q = 3, tuy chưa thể chứng minh được nhưngngười ta dự đoán công thức này vẫn chính xác

Chúng tôi sẽ trình bày về phương pháp sử dụng để mô phỏng và nghiên cứu trongluận văn này Đó là phương pháp mô phỏng Monte Carlo với thuật toán Metropolis,được dùng để khảo sát sự chuyển pha xảy ra trong hệ spin

Trước kia, một số ngành khoa học như Vật Lý, Hóa học, Sinh học, có sự phânchia rõ ràng giữa mảng “lý thuyết” và mảng “thực nghiệm” Tuy nhiên trong nhiềunăm gần đây, với sự phát triển vượt bậc của khoa học máy tính thì việc mô phỏngcác vấn đề vật lý (và các ngành khoa học khác) bằng máy tính đã đóng một vai tròquan trọng trong quá trình nghiên cứu, vừa để bổ sung cho hai cách tiếp cận truyềnthống, vừa là cách để kiểm chứng lý thuyết trong trường hợp chưa có điều điều kiệnhoặc không thể thực hiện thí nghiệm Nó cũng cho phép chúng ta khảo sát, nghiêncứu các hệ vật lý với bậc tự do rất lớn mà chúng ta không thể giải quyết bằng cácphương pháp giải tích thông thường.

2.2.1Giới thiệu chung

Phương pháp Monte Carlo là một lớp các thuật toán lấy mẫu thống kê thông quacác bộ số ngẫu nhiên thiết lập trên máy tính (thông thường sẽ là giả ngẫu nhiên,tức là chúng không hoàn toàn ngẫu nhiên mà được xác định từ giá trị khởi đầu nàođó) Chúng ngược lại với thuật toán tất định là thuật toán mà đầu ra có thể đượcdự đoán hoặc xác định bởi đầu vào

Thuật ngữ “Monte Carlo” lần đầu được giới thiệu bởi nhà vật lý Nicholas lis năm 1947 Nó được đặt theo tên một casino lớn ở Ý, nơi khá nổi tiếng về trò chơicờ bạc may rủi Từ đó cũng có thể thấy tầm quan trọng của tính ngẫu nhiên trongphương pháp này

Metropo-Tuy vậy, trước đó đã có nhiều nhà khoa học sử dụng phương pháp ngẫu nhiênnày trong các nghiên cứu của họ, ví dụ việc ước tính số Pi bằng cách thả ngẫu nhiêncây kim của Buffon vào thế kỷ XVIII, hoặc Enrico Fermi đã từng sử dụng phươngpháp Monte Carlo nghiên cứu sự khuếch tán neutron, nhưng ông đã không công bố.Dù được sử dụng rộng rãi và có nhiều ứng dụng quan trọng, vẫn có những khókhăn chúng ta cần phải đối mặt và giải quyết khi sử dụng phương pháp MonteCarlo

ˆ Hạn chế về tốc độ máy tính và bộ nhớCho dù hệ thống phần cứng và phần mềm của máy tính có sự phát triểnnhanh chóng, vẫn tồn tại những bài toán đòi hỏi thời gian mô phỏng lên đếnhàng năm và nó đơn giản là không thực tế Bên cạnh đó, những phép tínhyêu cầu bộ nhớ vượt xa bộ nhớ có sẵn chỉ có thể được thực hiện bằng cách sửdụng các kỹ thuật lập trình rất phức tạp, do đó sẽ làm chậm tốc độ chạy vàgia tăng sai số Do đó, trước tiên chúng ta cần xem xét các yêu cầu của cả bộnhớ và thời gian CPU trước khi bắt tay vào một dự án để xác định xem liệucó đủ các tài nguyên để mô phỏng vấn đề đúng cách hay không

Tất nhiên, với những tiến bộ nhanh chóng của ngành công nghiệp máy tính,có thể chỉ cần đợi một vài năm để các máy tính bắt kịp nhu cầu mô phỏngcủa chúng ta Đôi khi tính khả thi của một vấn đề có thể yêu cầu phát minhra một thuật toán mô phỏng mới hiệu quả hơn và việc phát triển các chiến

lược mới để vượt qua những khó khăn đó tự nó tạo thành một lĩnh vực đángđể nghiên cứu.

ˆ Sai số thống kê và các loại sai số khácGiả sử rằng dự án mô phỏng có thể thực hiện được, vẫn có những nguồnsai số tiềm ẩn cần phải được lưu ý và xem xét Tất cả các máy tính đều hoạtđộng với độ dài ký tự bị giới hạn, do đó độ chính xác bị hạn chế đối với cácgiá trị số của bất kỳ biến nào Trong một số trường hợp, sự cắt bớt chữ số vàsự làm tròn có thể dẫn đến các vấn đề sai sót nghiêm trọng Ngoài ra, các lỗithống kê phát sinh như một tính năng vốn có của thuật toán mô phỏng do sốlượng hữu hạn các thành phần trong “mẫu thống kê” được tạo ra

2.2.2Tính toán số bằng phương pháp Monte Carlo

Một ứng dụng cổ điển của phương pháp này là việc tính các tích phân xác định,đặc biệt là các tích phân nhiều chiều với các điều kiện biên phức tạp, khó xử lý bằngtính toán giải tích

Trường hợp đơn giản nhất là tích phân một chiều với điều kiện biên xác định:

I =Z b

a

Một cách “thô thiển” nhất để có thể ước tính tích phân trên là chọn ngẫu nhiênN điểm xi rồi tính giá trị hàm f (x) tại các điểm xi đó Với N đủ lớn, tích phân sẽđược tính gần đúng:

I ≈ 1N

SShcn =

Hình 2.4: Tính tích phân bằng thuật toán Hit-or-Miss [25]Tổng thống kê Z là hàm của các biến trạng thái nhiệt động lực học, ví dụ nhưnhiệt độ hay thể tích Nó có vai trò quan trọng bởi nó cho chúng ta biết được thôngtin của hệ Hầu hết các biến nhiệt động lực học của hệ, chẳng hạn như tổng nănglượng E, năng lượng tự do F , entropy S, đều có thể được xác định từ tổng thốngkê hoặc các đạo hàm của nó.

Z =Z

e−βH (⃗x)d⃗x, (2.15)với β = k1

BT, T là nhiệt độ tuyệt đối, kB là hằng số Boltzmann Tích phân được lấytheo tất cả các trạng thái khả dĩ của hệ, do đó nó phụ thuộc vào kích thước hệ vàsố bậc tự do của từng hạt

Xác suất để hệ ở trạng thái ⃗x có năng lượng H (⃗x) cũng được xác định từ tổngthống kê:

A (⃗x) e−βH (⃗x)d⃗x (2.17)Một số đại lượng cần sử dụng đến giá trị trung bình như: