Đồ thị tựa ngẫu nhiên và Ứng dụng giúp phương pháp tạo đồ thị ngâu nhiên các lập số liệu và tạo đồ thị cùng lưu ý các yêu tố
Một số định nghĩa
Định nghĩa đơn giản nhất về đồ thị có thể được phát biểu như sau: một đồ thị là tập các điểm và các đoạn nối hai điểm Các điểm trong đó được gọi là các đỉnh và các đoạn gọi là các cạnh.
Cụ thể, một đồ thị thường được kí hiệu làG = (V, E), trong đó V là tập các đỉnh và E là tập các cạnh của đồ thị Tập các đỉnh được viết là V = {v 1 , v 2 , , v n } với v i là đỉnh thứ i của đồ thị và n là số đỉnh của đồ thị Tập các cạnh được viết là E ={e 1 , e 2 , , e m } với e i là cạnh thứ i của đồ thị và m là số cạnh của đồ thị.
Mỗi cạnh e i được xác định bởi một cặp đỉnh tương ứng Ví dụ cạnh nối hai đỉnh v 1 và v 2 sẽ được viết là {v 1 , v 2 } hoặc (v 1 , v 2 ). v 1 v2 v 3 v4
Đồ thị G = (V, E) trong hình vẽ bao gồm 4 đỉnh V = {v1, v2, v3, v4} và 4 cạnh E = {(v1, v2), (v1, v3), (v2, v3), (v3, v4)} Một đồ thị đơn G = (V, E) là đồ thị mà giữa bất kỳ hai đỉnh nào chỉ tồn tại tối đa một cạnh và không có cạnh nào đi từ một đỉnh đến chính đỉnh đó.
Ví dụ 1 (Đồ thị đơn).
Hình vẽ trên biểu diễn một đồ thị đơn G gồm có 6 đỉnh và 6 cạnh Ta viết G (V, E) với V ={1,2,3,4,5,6} và E ={(1,6),(2,6),(3,6),(3,4),(2,5),(2,4)}. Định nghĩa 1.2 Một đồ thị G= (V, E) được gọi là một đồ thị bộinếu giữa hai đỉnh của đồ thị này có thể tồn tại nhiều hơn một cạnh Hai cạnhe1 và e2 được gọi là cạnh lặp nếu chúng cùng nối một cặp đỉnh.
Ví dụ 2 (Đồ thị bội).
Hình vẽ trên là một đồ thị đa với tập đỉnh V = {1,2,3,4} và tập cạnh E {(1,2),(1,2),(1,2),(1,2),(1,3),(1,3),(1,4),(1,4),(1,4)} Ở đây ta có thể thấy cạnh(1,2) xuất hiện 4 lần, cạnh (1,3) xuất hiện 2 lần và cạnh (1,4) xuất hiện 3. Định nghĩa 1.3 Một đồ thị G = (V, E) được gọi là một đồ thị vô hướng nếu E là tập các cặp đỉnh không có thứ tự.
Ví dụ 3 (Đồ thị vô hướng).
Hình vẽ trên là một đồ thị vô hướng với tập đỉnh V = {1,2,3,4,5,6} và tập các cạnh E = {(1,2),(1,3),(1,4),(2,5),(3,5),(3,6)} Ở đây, thứ tự các cặp đỉnh ghi trong một cạnh là không quan trọng Tức là cả hai cách viết (1,2) và (2,1) đều cùng biểu diễn một cạnh trên đồ thị. Định nghĩa 1.4 Một đồ thị G = (V, E) được gọi là một đồ thị có hướng nếu E là tập các cặp đỉnh có thứ tự Một cặp đỉnh có thứ tự trong E được gọi là một cung của đồ thị Nếu (x, y) là một cung thì ta nói x là đỉnh đầu và y là đỉnh cuối của cung.
Ví dụ 4 (Đồ thị có hướng).
Hình vẽ trên là một đồ thị đơn có hướng với tập đỉnh V ={1,2,3,4,5} và tập các cung E = {(1,2),(3,1),(2,4),(4,1),(2,5),(4,5)}. Định nghĩa 1.5 Giả sử uvà v là hai đỉnh của đồ thị vô hướngG và e= (u, v) là một cạnh của đồ thị Khi đó, ta nói u và v kề nhau và e liên thuộc với u, v Cạnh ecũng được gọi là cạnh nối các đỉnh u và v Các đỉnhu, v gọi là các điểm mút của cạnh e. Định nghĩa 1.6 Bậc của một đỉnh v trong đồ thị G= (V, E), kí hiệu deg(v), là số các cạnh liên thuộc với nó, riêng khuyên tại một định được tính hai lần cho bậc của nó. Đỉnh v được gọi là đỉnh treo nếu deg(v) = 1 và được gọi là đỉnh cô lập nếu deg(v) = 0.
Ví dụ 5 (Bậc của đồ thị).
(a) v 1 v 2 v 4 v 3 v 5 Đồ thị có 5 đỉnh, trong đó deg(v 1 ) = 3,deg(v 2 ) = 2,deg(v 4 ) = 2,deg(v 3 ) = 1, deg(v 5 ) = 0, v 5 là đỉnh cô lập và v 3 là đỉnh treo.
(b) v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 Đồ thị có5 đỉnh, trong đó deg(v 1 ) = deg(v 2 ) = 3,deg(v 3 ) = deg(v 5 ) = 4,deg(v 4 ) 6. Định nghĩa 1.7 Xét đồ thị đơn G = (V, E) Ma trận A G = (a ij ) i,j =1, ,n với a ij = 0 nếu (i, j) ∈/ E và a ij = 1 nếu (i, j)∈ E gọi là ma trận kề của đồ thị G.
Tính chất của ma trận kề của đồ thị vô hướng
• Tính đối xứng: a ij = a ji
• Tổng các phần tử trên dòng i bằng bậc của đỉnh i.
• Tổng các phần tử trên cột j bằng bậc của đỉnh j.
Ví dụ 6 (Một số đồ thị và ma trận kề, giá trị riêng tương ứng).
Các giá trị riêng của A G là λ 1 ≈ 2.17009, λ 2 ≈ −1.48119, λ 3 = −1, λ 4 ≈ 0.311108, λ 5 = 0.
Các giá trị riêng của A H là λ 1 = 2, λ 2 = λ 3 = 1 2 (−1− √
5). Định nghĩa 1.8 Đồ thị chính quy (hay còn gọi là đồ thị đều) là một đồ thị đơn mà trong đó các đỉnh có số bậc bằng nhau Một đồ thị chính quy với các đỉnh có bậc bằng k được gọi là đồ thị chính quy bậc k.
Các đồ thị chính quy có bậc không lớn hơn 2 rất dễ nhận: đồ thị chính quy bậc 0 bao gồm các đỉnh cô lập, đồ thị chính quy bậc 1 bao gồm các cạnh không nối với nhau và đồ thị chính quy bậc 2 bao gồm các chu trình không nối với nhau. Định nghĩa 1.9 Ma trận chuyển vị của ma trận A, kí hiệu là A T , là ma trận được tạo ra bằng cách hoán đổi hàng và cột của ma trận A.
Về mặt hình thức, phần tử ở hàng thứ i, cột thứ j của ma trận A T là phần tử ở hàng thứ j, cột thứ i của ma trận A Tức là [A T ] ij = [A] ji Nếu A là ma trận m×n thì A T là ma trận n×m.
Một số bổ đề trộn nở trên đồ thị
Cho G là một đồ thị với n đỉnh Giả sử λ 1 (G) ≥ λ 2 (G) ≥ ≥ λ n (G) là các giá trị riêng của ma trận kề A G Đặt λ(G) = max{|λ 2 |, |λ n |}.
Ta nói rằng G là một đồ thị (n, d, λ) nếu G có n đỉnh, bậc mỗi đỉnh là d và λ(G) ≤λ.
Nếu G là một đồ thị (n, d, λ) thì mọi giá trị riêng của A G nhỏ hơn hoặc bằng d.
Thật vậy, gọi v = (v 1 , v 2 , , v n ) T là một véc-tơ riêng của A G ứng với giá trị riêng λ.
Không mất tính tổng quát, ta giả sử |v 1 | = max i {v i } Giả sử A G = (a i,j ) n×n Do λ là giá trị riêng của A G tương ứng với v nênλv 1 =P i a 1,i v i Kết hợp với G là đồ thị chính quy bậc d, ta có |λv 1 | ≤ P i
Định lý 1.10 khẳng định rằng trong một đồ thị liên thông (n, d, λ) với hai tập đỉnh B và C tùy ý, số cạnh giữa B và C sẽ xấp xỉ bằng d nhân với tích số phần tử của B và C Điều này có nghĩa là số cạnh giữa hai tập đỉnh trong một đồ thị liên thông có thể được ước lượng dựa trên độ, số đỉnh và các đặc điểm đặc trưng của đồ thị.
|B||C|. trong đó e(B, C) là số cạnh giữa B với C.
Chứng minh Véc-tơ riêng tương ứng với giá trị riêngλ 1 = d là1 (tất cả các phần tử đều bằng 1).
Gọi v i là các véc-tơ riêng tương ứng với các giá trị riêng λ i , trong đó 2 ≤ i ≤ n.
Chúng ta biết từ đại số tuyến tính rằng nếu A là chính quy thì các véc-tơ riêng của nó lập thành một cơ sở trực giao của C n Điều này suy ra rằng bất kỳ véc-tơ x nào trực giao với 1 có thể được viết dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các v i
Từ việc định nghĩa λ, với mỗi véc-tơ x, ta có
ChoV := {1,2, , n}là tập hợp đỉnh củaG Đặtc:= |C|/nvàx := (x 1 , x 2 , , x n ), trong đó x i := I i∈C −c Ở đây I i∈C là hàm đặc trưng trên C cụ thể I(i) = 1 nếu i∈ C, I(i) = 0 nếu i /∈C Rõ ràng x trực giao với 1 Do đó,
Vế phải là λ(G) 2 c(1−c)n ≤ λ(G) 2 cn = λ(G) 2 |C| Vế trái là P v∈V
(|N C (v)| −cd) 2 , trong đó N C (v) là tập các đỉnh v ′ ∈ C sao cho vv ′ là một cạnh trong G Khi đó, ta có
Trái lại, theo bất đẳng thức tam giác, ta có e(B, C)− d n|B||C|
|N C (v)−cd| (3) Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwartz và (2), vế phải của (3) được chặn trên bởi p|B| X v∈B
|B||C|, định lý được chứng minh. Định nghĩa 1.11 Cho đồ thị G= (V, E) Nếu tập đỉnhV có thể được viết thành hợp của hai tập con rời nhau X và Y (tức là X ∩Y = ∅, X ∪Y = V); đồng thời,bất kì cạnh nào của G đều nối một đỉnh nằm trong X với một đỉnh nằm trong Y thì ta nói G là một đồ thị hai phần.
Ta kí hiệu các giá trị riêng của đồ thị là λ 1 , λ 2 , , λ n sao cho |λ 1 | ≥ |λ 2 | ≥ ≥
|λ n | Trong một đồ thị hai phần, ta có λ 2 =−λ 1
Đồ thị hai phần G gồm hai tập đỉnh A và B, trong đó tất cả các đỉnh thuộc A có bậc là a và tất cả các đỉnh thuộc B có bậc là b Đối với hai tập hợp bất kỳ X và Y, trong đó X là tập con của A và Y là tập con của B, số cạnh giữa X và Y được ký hiệu là e(X, Y), thỏa mãn e(X, Y) = a|X| + b|Y| - a|X||Y|/|A|.
|X||Y|, ở đó λ 3 là giá trị riêng thứ ba của G.
Chứng minh Ta thừa nhận rằng tất cả các đỉnh của G được đánh số từ 1 đến
|A|+|B| Cho M là ma trận liền kề của G, M có dạng:
với N = (N i j ) là ma trận|A| × |B| và N ij = 1 khi và chỉ khi có một cạnh nối i với j Đầu tiên, ta nhắc lại một số tính chất của các giá trị riêng của ma trận M Bởi vì tất cả các đỉnh trong A đều có bậc a và các đỉnh trong B đều có bậc là b nên tất cả các giá trị riêng của M đều được chặn bởi √ ab Hơn nữa, ta kí hiệu chuẩn vộc-tơ L 1 là ∥ ã ∥ 1 ; e v là vộc-tơ đơn vị nhận giỏ trị là 1 ở vị trớ của đỉnh v và 0 tại cỏc vị trớ khỏc Dễ dàng nhận thấy rằng ∥M 2 ãe v ∥ 1 ≤ ab Giả sử u = P v u v e v là véc-tơ riêng của M ứng với giá trị riêng λ u thì λ 2 u là giá trị riêng của M 2 ứng với véc-tơ riêng Ta có X v
Do đó, |λ u | ≤√ ab, với mọi u là véc-tơ riêng củaM Kí hiệu1 X là véc-tơ cột nhận giá trị là 1 trong các vị trí tương ứng với tập hợp các đỉnh của X và 0 tại các vị trí khác.
. Điều này suy ra rằng λ 1 =√ ab và λ 2 = −√ ab là các giá trị riêng thứ nhất và thứ hai tương ứng với véc-tơ riêng √ a.1 A +√ b.1 B và √ a.1 A −√ b.1 B
. Cho W ⊥ là một không gian con tạo bởi 2 véc-tơ 1A và 1B Vì M là một ma trận đối xứng, các véc-tơ riêng củaM trừ √ a.1 A +√ b.1 B và √ a.1 A −√ b.1 B sinh ra W Do đó, với u∈ W tuỳ ý, ta có M u∈ W và ∥M u∥ ≤λ 3 ∥u∥ Ta có quan sát dưới đây,
1) Cho K là một ma trận có dạng
với J là ma trận |A| × |B| có tất cả các phần tử của ma trận đều bằng 1.
Nếu u∈ W thì Ku = 0 vì mỗi hàng của K hoặc là 1 T A hoặc là 1 T B
2) Nếu w ∈ W ⊥ thì (M −(a/|B|)K)w = 0 Hơn nữa, điều này xuất phát từ thực tế rằng: a|A| =b|B| và M1 A B = (a/|B|)K1 A , M1 B A = (a/|B|)K1 B
.Với véc-tơ v bất kỳ, kí hiệu v là phép chiếu trực giao lên W, tức là v ∈ W và v−v ∈ W ⊥
, định lý được chứng minh. còn cái Định nghĩa 1.13 (Tích tensor của 2 đồ thị) Cho G 1 = (V 1 , E 1 ) và G 2 = (V 2 , E 2 ).
Tích tensor G 1 ⊗G 2 là một đồ thị với tập đỉnh V 1 ×V 2 và có một cạnh giữa hai đỉnh (x 1 , y 1 ) và (x 2 , y 2 ) nếu (x 1 , x 2 ) ∈E(G 1 ) và (y 1 , y 2 ) ∈E(G 2 ).
Ví dụ 7 (Một số tích tensor của hai đồ thị).
1,6 Định lý 1.14 ([4, Mệnh đề 3.2]) Cho G= (V, E) là một đồ thị (n, d, λ) Với hai hàm số không âm f, g : V ×V →R, ta định nghĩa
Chứng minh Giả sửG là một đồ thị chính quy bậc d trên tập đỉnh V với |V|= n và có ma trận kề là A Với hai hàm số thực f, g : V ×V → R, ta định nghĩa
Gọi tập hợp tất cả các hàm số nhận giá trị thực trênV ×V làL 2 (V ×V) Ta định nghĩa
(u 1 ,u 2 ):(u 1 ,v 1 )∈E,(u 2 ,v 2 )∈E f(u 1 , u 2 ), trong đó B :=A⊗A là ma trận kề của G⊗G.
Các giá trị riêng của A là λ 1 ≥ λ 2 ≥ ≥ λ n, ứng với các vectơ riêng e 1 , e 2 , , e n Giả sử các vectơ này tạo thành cơ sở trực giao Khi đó các hàm riêng của B là e i ⊗ e j với mọi 1 ≤ i, j ≤ n, ứng với giá trị riêng λ ij := λ i λ j Các hàm riêng này có dạng f =X i,j.
Chú ý rằng A có một hàm riêng là hằng số, kí hiệu là e 1 , chẳng hạn là e 1 (v) = 1
√n,∀v ∈V. Điều này có nghĩa là B cũng có hàm riêng là hằng số Ta có e 1 ⊗e 1 (u, v) = 1 n ∀(u, v) ∈V ×V.
Bây giờ, ta sẽ ước lượng các S i Vì λ 1 =d và e 1 là hằng số nên
Với S 4 , nếu i, j > 1 ta có λ ij ≤λ 2 và do đó
=λ 2 ∥f∥ 2 ∥g∥ 2 , trong đó bất đẳng thức thứ hai ở trên được suy ra từ bất đẳng thức Cauchy- Schwarz.
Bây giờ ta sẽ ước lượng S 2 Chú ý rằng λ 1j ≤λd và e 1 ⊗e j (v 1 , v 2 ) = 1
Sử dụng Cauchy-Schwarz, ta có
. Để ước lượng kết quả này, ta chú ý rằng
Bởi vì e i lập thành một cơ sở trực giao nên n
⟨f, e 1 ⊗e j ⟩ 2 = 1 n∥F ′ ∥ 2 2 Kết hợp tất cả những điều trên ta có
Chứng minh đối xứng chỉ ra rằng S 3 ≤ λd n 2 ∥G∥ 2 ∥F∥ 2
Bổ đề trộn nở cho tích của hai đồ thị
Lập luận tương tự như chứng minh của [4, Mệnh đề 3.2], ta có bổ đề trộn nở sau. Định lý 1.15 Cho G 1 = (V 1 , E 1 ) là một đồ thị (n 1 , d 1 , λ 1 ) và G 2 = (V 2 , E 2 ) là một đồ thị (n 2 , d 2 , λ 2 ) Với hai hàm số không âm f, g : V 1 ×V 2 → R, ta định nghĩa
Chứng minh Giả sử G 1 , G 2 lần lượt là các đồ thị chính quy bậc d 1 , d 2 trên tập đỉnhV 1 , V 2 với |V 1 | =n 1 ,|V 2 | =n 2 và có ma trận kề là A 1 , A 2 Với hai hàm số thực f, g :V 1 ×V 2 → R, ta định nghĩa
Gọi tập hợp tất cả các hàm số nhận giá trị thực trên V 1 ×V 2 là L 2 (V 1 ×V 2 ) Phần còn lại của chứng minh ta sẽ thừa nhận rằng f, g ∈ L 2 (V 1 ×V 2 ) là các hàm không âm.
Trong đóB := A 1 ⊗A 2 là ma trận kề của G 1 ⊗G 2 Gọi d 1 = λ 1 ≥ λ 2 ≥ ≥ λ n 1 là các giá trị riêng của A 1 , các giá trị riêng này có các véc-tơ riêng tương ứng là e 1 , e 2 , , e n 1 Gọi d 2 = λ ′ 1 ≥ λ ′ 2 ≥ ≥ λ ′ n 2 , là các giá trị riêng của A 2 , các giá trị riêng này có các véc-tơ riêng tương ứng là e ′ 1 , e ′ 2 , , e ′ n 2 Không mất tính tổng, ta giả sử rằng {e i } n i=1 1 ,{e ′ j } n j=1 2 lần lượt là các cơ sở trực giao của R n 1 ,R n 2 Khi đó các hàm riêng của B chính xác là e i ⊗e ′ j với mọi 1 ≤ i ≤ n 1 ,1 ≤ j ≤ n 2 , tương ứng với giá trị riêng λ ij := λ i λ ′ j Ta quan sát thấy f =X i,j
Chú ý rằng A 1 , A 2 có một hàm riêng là hằng số, lần lượt là e 1 , e ′ 1 , nói rõ hơn e 1 (u) = 1
√n 2 ,∀v ∈V 2 Điều này có nghĩa là B cũng có hàm riêng không đổi Ta có e 1 ⊗e ′ 1 (u, v) = 1
Bây giờ, ta sẽ ước lượng mỗi S i Vì λ 11 =d 1 d 2 và e 1 ⊗e ′ 1 = 1
= d 1 d 2 n 1 n 2 ∥f∥ 1 ∥g∥ 1 Với S 4 , nếu i, j > 1 ta có λ ij ≤λ 1 λ 2 và do đó
=λ 1 λ 2 ∥f∥ 2 ∥g∥ 2 , trong đó bất đẳng thức thứ hai ở trên được suy ra từ Bất đẳng thức Cauchy- Schwarz.
Bây giờ ta sẽ ước lượng S2. Chú ý rằng λ 1j ≤λ 2 d 1 và e 1 ⊗e ′ j (v 1 , v 2 ) = 1
Sử dụng Cauchy-Schwarz, ta có
. Để ước lượng kết quả này, ta chú ý rằng
! Bởi vì e ′ j lập thành một cơ sở trực giao nên n 2
⟨f, e 1 ⊗e j ⟩ 2 = 1 n 1 ∥F ′ ∥ 2 2 Kết hợp tất cả những điều trên ta có
S 2 ≤ λ 2 d 1 n 2 1 ∥G ′ ∥ 2 ∥F ′ ∥ 2 Lập luận tương tự, ta có S 3 ≤ λ 1 d 2 n 2 2 ∥G∥ 2 ∥F∥ 2 Đồ thị sinh bởi tập Sidon và các phương trình đại số
Chương này trình bày một số đặc điểm của đồ thị sinh bởi tập Sidon và đồ thị sinh bởi các phương trình đại số trên trường hữu hạn Những đồ thị này được sử dụng trong việc nghiên cứu một số bài toán tổ hợp trong các trường hữu hạn, chẳng hạn như ước lượng tổng-tích, tính giải được của một số phương trình và phân bố nghiệm của chúng Các kết quả trong chương này được tham khảo chủ yếu từ bài báo [7] của thầy Lê Anh Vinh.
Đồ thị sinh bởi tập Sidon
Theo Định nghĩa 2.1, tập con A của nhóm giao hoán hữu hạn X được gọi là tập Sidon nếu số lượng cách biểu diễn một phần tử x ngoài phần tử trung hòa của nhóm dưới dạng hiệu của hai phần tử thuộc A không vượt quá 1.
Bổ đề dưới đây giúp ta ước lượng được lực lượng của một tập Sidon.
Bổ đề 2.2 Cho X là một nhóm giao hoán hữu hạn và A ⊂ X là một tập Sidon.
Giải bất phương trình trên chúng ta nhận được
2. Ta có điều phải chứng minh.
Bằng cách đếm hiệu số $a−a'$, ta có thể thấy rằng nếu $A$ là tập Sidon thì $|A| \le p|X|+ \frac{1}{2}$ Các tập Sidon thú vị nhất là những tập hợp có lực lượng lớn, nghĩa là $|A| = p$.
|X| −δ với δ là một số nhỏ. Định nghĩa 2.3 Cho X là một nhóm giao hoán hữu hạn Cho A ⊂ X là một tập Sidon Khi đó, ta định nghĩa đồ thị Cayley SG A,X trên X như sau X là tập đỉnh của đồ thị Cayley SG A,X kí hiệu là V(SG A,X ) Tập cạnh của đồ thị kí hiệu là E(SG A,X ) Hai đỉnh a, b ∈ V(SG A,X ) được nối với nhau bằng một cạnh {a, b} ∈E(SG A,X ) khi và chỉ khi a+b ∈A.
Ta có bổ đề dưới đây.
Bổ đề 2.4 ([7]) Cho X là một nhóm giao hoán hữu hạn cấp lẻ Cho A ⊂ X là một tập Sidon với |A| = p
|X| −δ Khi đó, đồ thị Cayley SG A,X là liên thông và không phải là đồ thị hai phần.
Chứng minh Choa 1 , a 2 , a 3 là ba phần tử phân biệt của tập hợp A Khi đó, đồ thị SG A,X chứa một tam giác với ba đỉnh là (a 1 +a 2 −a 3 )/2,(a 2 +a 3 −a 1 )/2,(a 3 + a 1 −a 2 )/2 (theo định lý cấu trúc trên nhóm giao hoán hữu hạn Vì cấp của X là lẻ, ta có thể chia một phần tử có dạng trên của X cho 2) Điều này suy ra rằng SG A,X không phải là đồ thị hai phần.
Bây giờ, ta chứng minh đồ thị SG A,X liên thông bằng cách chứng minh có một đường đi với độ dài bằng bốn giữa hai đỉnh bất kì của đồ thị Chọna∈ V(SG A,X ), ta đặt
N(a) ={b∈ V(SG A,X )| {a, b} ∈ E(SG A,X )} là các lân cận của a trong SG A,X Với hai phần tử bất kìb 1 ̸=b 2 ∈ N(a), ta sẽ chứng minh rằngN(b 1 )∩N(b 2 ) ≡ {a}.
Giả sử ngược lại, tức là tồn tạic̸= a∈N(b 1 )∩N(b 2 ) Lưu ý rằng a+b 1 , a+b 2 , c+ b 1 , c+b 2 ∈A, nên a−c = (a+b 1 )−(c+b 1 ) = (a+b 2 )−(c+b 2 ) ∈A−A. Điều này suy ra rằng r A−A (a−c) >1, mâu thuẫn với giả thiết A là tập Sidon. Đặt
N(b) là tập hợp các đỉnh có thể đi tới a bằng một đường đi có độ dài bằng 2 Vì N(b 1 )∩N(b 2 )≡ {a} với b 1 ̸= b 2 ∈N(a) tuỳ ý, ta có
|N 2 (a)|+|N 2 (b)|= 2|A| 2 −2|A|+ 2> |X|, điều này suy ra rằngN 2 (a)∩N 2 (b) ̸≡ ∅ Do đó, bcó thể nối đến a bằng một đường đi có độ dài 4 Ta kết thúc chứng minh.
Bây giờ, ta chứng minh tính tựa ngẫu nhiên của đồ thị Cayley SG A,X Định lý 2.5 ([7]) Cho X là một nhóm giao hoán hữu hạn Cho A⊂ X là một tập Sidon tuỳ ý với|A| =p
|X|−δ, đồ thịSG A,X là một đồ thị
Chứng minh Rõ ràng nhận thấy rằng SG A,X là một đồ thị chính quy cấp |X| và bậc |A| Bây giờ chúng ta đánh giá giá trị riêng của đồ thị đa (tức là đồ thị các vòng lặp).
Cho a̸=b ∈X tuỳ ý, ta đếm được số nghiệm của hệ sau a+x, b+x∈ A, x∈X.
VìA là tập Sidon, tồn tại nhiều nhất một biểu diễn của (a−b) trong tập A−A.
Do đó, hệ có nghiệm duy nhất nếu \(a, b\in A-A\) và không có nghiệm nào khác Nghĩa là, hai đỉnh riêng biệt \(a, b\) có duy nhất một đỉnh chung nếu \(a, b \in A-A\) và không có đỉnh chung nào khác Cho \(M\) là ma trận liền kề của đồ thị \(A,X\).
M 2 =J + (|A| −1)I −E, ở đó J là ma trận có tất cả thành phần là một, I là ma trận đơn vị và E là ma trận kề của đồ thị S E , với V(S E ) = X và với hai đỉnh phân biệt tuỳ ý a, b có duy nhất một đỉnh chung nếu a− b ∈ X, {a, b} là một cạnh của S E khi và chỉ khi a− b ̸∈ A − A Suy ra từ A là một tập Sidon, ta có S E là một đồ thị (|X| −1− |A|(|A| −1))-chính quy Bên cạnh đó, SG A,X là một |A|-đồ thị chính quy, |A| là một giá trị riêng của SG A,X với véc-tơ riêng có tất cả thành phần là một Theo bổ đề trước, đồ thị SG A,X liên thông và không là đồ thị hai phần nên giá trị riêng |A| có bội 1 và với giá trị riêng θ tuỳ ý của SG A,X , |θ| < |A| Đặt v θ kí hiệu là véc-tơ riêng tương của θ Chú ý rằng v θ ∈1 ⊥ nên J v θ = 0 Suy ra θ 2 ≤ |A| −1 +|X| −1− |A|(|A| −1) k tuỳ ý, nếu h-phẳng H =span{t 1 , , t h }+t h+1 chứa cả hai k-phẳng trên thì H có thể viết được dưới dạng H =span{t 1 , , t h }+ u k+1 và u 1 , , u k , v 1 , , v k , u k+1 −v k+1 ∈span{t 1 , , t h }.
Chứng minh Đầu tiên ta cần chứng minh rằng với mọi véc-tơ x ∈ H, ta có thể viết H dưới dạng H = span{t 1 , , t h }+x Thật vậy, ta có thể biểu diễn x h
P i=1 b i t i +t h+1 là một véc-tơ trong H, ta cũng có thể viết y h
(b i −a i )t i +x Điều này suy ra rằng y ∈ span{t 1 , , t h }+x.
Trường hợp ngược lại, span{t 1 , , t h }+x ⊆H là tầm thường.
NếuH chứa cảK 1 vàK 2 , thìH có thể được biểu diễn làH =span{t 1 , , t h }+u k+1 vì u k+1 ∈ H Dễ dàng nhận thấy u i ∈ span{t 1 , , t h } với mọi 1 ≤ i ≤ k Vì K 2 được chứa trongH, v k+1 ∈ H, điều này suy ra rằng v k+1 −u k+1 ∈ span{t 1 , , t h } và v i ∈span{t 1 , , t h } với mọi 1≤i ≤ k.
Bổ đề 3.19 Bậc của mỗi k-phẳng trong A là (1 +o(1))q (d−h)(h−k) và bậc của mỗi h-phẳng trong B là (1 +o(1))q (h−k)(k+1)
Chứng minh Điều này suy ra từ Bổ đề3.17và Bổ đề3.18rằng bậc của mỗih-phẳng trong B là q h q k k−1
Y i=0 q h −q i q k −q i = (1 +o(1))q (h−k)(k+1) Để đếm bậc của mỗi k-phẳng trong A, ta làm như sau Đặt x(h, k) là số k-phẳng phân biệt trong h-phẳng và y(h, k) là số h-phẳng phân biệt trong F d q chứa một k-phẳng cố định Khi đó, ta có y(h, k) = x(h, k)x(d, h) x(d, k) Mặt khác, ta vừa chứng minh được x(h, k) = q h q k k−1
Y i=k q d−i −1 q h−i −1 = (1 +o(1))q (d−h)(h−k) Tóm lại, bậc của mỗi k-phẳng trong A là (1 +o(1))q (d−h)(h−k) Bây giờ ta xác định giá trị riêng thứ ba của M trong bổ đề dưới đây.
Bổ đề 3.20 Giá trị riêng thứ ba của M bị chặn trên bởi pck(1 +o(1))q((d−h)h+k(2h−d−k+1))/2, trong đó c k = (2k+ 1) ⌊k/2⌋ k
Chứng minh Gọi M là ma trận kề của G P , có dạng
, trong đó N là một ma trận |A| × |B|, N KH = 1 nếu K ∈H và bằng không trong các trường hợp khác Khi đó,
Từ Bổ đề 3.13suy ra điều này đủ để xác định giá trị riêng thứ hai của N N T Cho haik-phẳng bất kỳK 1 =span{u 1 , , u k }+u k+1 và K 2 =span{v 1 , , v k }+v k+1 , ta sẽ đếm số lân cận chung của chúng, tức là số h-phẳng chứa cả hai mặt phẳng đó Giả sử H =span{t 1 , , t h }+t h+1 là một h-phẳng chứa cả K 1 và K 2 Khi đó, từ Bổ đề 3.17 và Bổ đề 3.18, ta có thể biểu diễn H = span{t 1 , , t h }+u k+1 và u 1 , , u k , v 1 , , v k , u k+1 −v k+1 ∈ span{t 1 , , t h } Vì vậy, sốh-phẳng chứa cảK 1 vàK 2 phụ thuộc vào hạng của hệ véc-tơ{u 1 , , u k , v 1 , , v k , v k+1 −u k+1 }kí hiệu làrank(K 1 , K 2 ) Ta cũng chú ý rằngk+ 1 ≤rank(K 1 , K 2 ) ≤2k+ 1 vì K 1 và K 2 là phân biệt Ta giả sử rằng rank(K 1 , K 2 ) = t và span{u 1 , , u k , v 1 , , v k , v k+1 − u k+1 } ≡ span{w 1 , , w t } với w i ∈ F d q với 1 ≤ i ≤ t, thì số h-phẳng chứa cả K 1 và K 2 bằng số (h −t)-bộ của các véc-tơ {x 1 , , x h−t } trong F d q sao cho rank{w 1 , , w t , x 1 , , x h−t }=h Khi đó, số lân cận chung của K 1 và K 2 là
(q d −q t )(q d −q t+1 ) .(q d −q h−1 ) (q h −q t ) .(q h −q h−1 ) = (1 +o(1))q (d−h)(h−t) Vì vậy,N N T có thể được biểu diễn là
E t trong đó I là ma trận đơn vị và J là ma trận có tất cả các giá trị đều bằng 1.
Với mỗi t, E t là các ma trận kề của đồ thị G(E t ): V(G(E t )) là tập hợp tất cả các k-phẳng và có một cạnh giữa hai k-phẳng K 1 = span{u 1 , , u k }+u k+1 vàK 2 =span{v 1 , , v k }+v k+1 khi và chỉ khi rank(K 1 , K 2 ) =t Chú ý rằng các đồ thị này là chính quy, ta có thể đếm bậc của mỗi đỉnh trong đồ thị như sau Với mỗi k+ 1 ≤t ≤2k và mỗi đỉnh K 1 , ta đếm số k-phẳng K 2 sao cho rank(K 1 , K 2 ) = t. Để làm điều này, ta xét hai trường hợp dưới đây:
1 Nếu u k+1 −v k+1 ∈span{u 1 , , u k , v 1 , , v k }, thì số K 2 là k!q t (q d −q k ) .(q d −q t−1 )(q t −q t−k ) .(q t −q k−1 ) (t−k)!(2k−t)!q k (q k −1) .(q k −q k−1 )
(t−k)! là số bộ (t − k) véc-tơ {v 1 , , v t−k } sao cho rank{u 1 , , u k , v 1 , , v t−k }=t,
(2k−t)! là số bộ (2k−t) véc-tơ {v t−k+1 , , v k } trong span{u 1 , , u k , v 1 , , v t−k } sao cho rank{v 1 , , v k }=k,
• q t là số cách chọn u k−1 −v k+1 trong span{u 1 , , u k , v 1 , , v k },
• q k (q k −1) .(q k −q k−1 ) k! là số cách khác nhau để biểu diễn mộtk-phẳng và với mỗi cách chọn u k+1 −v k+1 thì v k+1 xác định duy nhất.
2 Nếu u k+1 −v k+1 ̸∈span{u 1 , , u k , v 1 , , v k }, thì số của K 2 là k!(q d −q k ) .(q d −q t−1 )(q t−1 −q t−k−1 ) .(q t−1 −q k−1 ) (t−k)!(2k−t+ 1)!q k (q k −1) .(q k −q k−1 ) =o q(t−k)(d−t+k+1)
(t−k)! là số bộ(t−k)véc-tơ{v 1 , , v t−k−1 , u k+1 −v k+1 } sao cho rank{u 1 , , u k , v 1 , , v t−k−1 , u k+1 −v k+1 }=t,
(2k−t+ 1)! là số bộ(2k−t+ 1)véc-tơ{v t−k , , v k } trong span{u 1 , , u k , v 1 , , v t−k−1 } sao cho rank{v 1 , , v k } bằng k,
• q k (q k −1) .(q k −q k−1 ) k! là số cách khác nhau để biểu diễn mộtk-phẳng.
Do đó, với mỗi t bậc của mọi đỉnh trong V(G(E t )) là
Gọi v 3 = (v 1 , , v |A| , u 1 , , u |B| ) là véc-tơ riêng thứ ba của M 2 Từ Bổ đề 3.13 suy ra (v 1 , , v |A| ) là một véc-tơ riêng của N N T tương ứng với giá trị riêng λ 2 3 Từ phương trình (3.3), ta có λ 2 3 −(q (d−h)(h−k) −q(d−h)(h−2k−1)) v 3 = X k+1≤t≤2k q (d−h)(h−t) −q(d−h)(h−2k−1)
Vì vậy,v 3 là một véc-tơ riêng của
Vì các giá trị riêng của tổng các ma trận được xác định bởi tổng các giá trị riêng lớn nhất nên ta có λ 2 3 ≤q (d−h)(h−k) +q(d−h)(h−2k−1)+k k t−k
Ta có điều phải chứng minh.
Chứng minh các Định lý 3.6, 3.10, 3.11 và 3.7
Chứng minh Định lý 3.6 Vì bậc của mỗi k-phẳng là (1 + o(1))q (d−h)(h−k) và số h-phẳng là (1 +o(1))q (d−h)(h+1) , ta có deg(A)
|B| = (1 +o(1))q−(d−h)(k+1). Do đó, Định lý 3.6 được suy ra từ Định lý 1.12 và Bổ đề 3.20.
Chứng minh Định lý 3.10 Định lý 3.10 được suy ra từ Định lý 3.16 và Bổ đề 3.20.
Chứng minh Định lý 3.11 Định lý 3.11 được suy ra từ Định lý 3.15 và Bổ đề 3.20. Để chứng minh Định lý 3.7, ta cần định nghĩa và bổ đề dưới đây. Định nghĩa 3.21 Ta nói một tập hợp k+ 1 điểm trong F d q là ở vị trí tổng quát nếu không có (n−1)-phẳng nào chứa (n+ 1) trong tập hợp này với n ≤ k.
Bổ đề 3.22 Một tập hợp bất kỳ P ′ của q k−1 + 1 điểm trong một k-phẳng K ⊂F d q chứa k+ 1 điểm ở vị trí tổng quát.
Chứng minh Ta sẽ chứng minh quy nạp theo k Trường hợp k = 1 và k = 2 là tầm thường Giả sử mệnh đề đã cho đúng với k −1, ta sẽ chứng minh mệnh đề đúng với k Thật vậy, vì |P ′ | ≥ q k−1 + 1, tồn tại một siêu phẳng H trong F d q sao cho|P ′ ∩H| ≥ q k−2 + 1 Từ giả thiết quy nạp, ta có H∩ P ′ chứak điểm x 1 , ,x k ở vị trí tổng quát Chú ý rằng nếu K ⊂ H, thì ta có thể lặp lại quá trình chứng minh trên bằng cách thay F d q bởi H Khi đó, ta có thể giả sử rằng K ̸⊂ H Điều này suy ra |K ∩H| ≤ q k−1 Vì vậy, tồn tại một điểm x k+1 ∈ P ′ sao cho tập hợp {x 1 , ,x k+1 } ở vị trí tổng quát Hoàn thành chứng minh.
Bây giờ ta đi vào chứng minh Định lý 3.7.
Chứng minh Định lý 3.7 Không mất tính tổng quát, ta giả sử rằng |P| = 3q d−1
GọiK 1 là tập hợp tất cả k-phẳng trong F d q chứa nhiều nhất q k−1 điểm của P Khi đó, ta có I(P,K 1 ) ≤ q k−1 |K 1 | Mặt khác, Định lý 3.6 suy ra rằng
4(1 +o(1))qk(d−k)+(d−1)−2k+2. Vì tổng số các k-phẳng trong F d q là (1 +o(1))q (d−k)(k+1) , số các k-phẳng mà chứa ít nhất q k−1 + 1 điểm thuộc P ít nhất là (1−o(1))q (d−k)(k+1)
Từ Bổ đề3.22, ta suy ra rằng bất kỳ k-phẳng K thoả mãn|K∩ P| ≥ q k−1 + 1 đều chứak+ 1 điểm ở vị trí tổng quát trong P Do đó, K được sinh bởi P.
Tóm lại, số các k-phẳng phân biệt được xác định bởi P là (1− o(1))q (d−k)(k+1) trong đó |P|= 3q d−1 Định lý được chứng minh.
Luận văn đã trình bày một cách hệ thống các kết quả đã có về một số mô hình đồ thị tựa ngẫu nhiên như: đồ thị sinh bởi tập Sidon, đồ thị sinh bởi các phương trình đại số và dạng tổng quát của đồ thị Erd˝os-Rényi Trong quá trình nghiên cứu, học viên đã chứng minh được một kết quả mới về Bổ đề trộn nở cho tích của hai đồ thị tựa ngẫu nhiên Kết quả này được trình bày trong Định lý 1.15 Ngoài ra, học viên cũng đã đưa ra chứng minh chi tiết cho Bổ đề 2.2 và các hệ quả của chương 2.
[1] M Bennett, A Iosevich, and J Pakianathan, Three-point configurations deter- mined by subsets of F 2 q via the Elekes-Sharir Paradigm, Combinatorica, 34 (6) (2014), 689–706.
[2] J Cilleruelo,Combinatorial problems in finite fields and Sidon sets, Combina- torica, 32 (5) (2012), 497–511.
[3] B Lund and S Saraf, Incidence bounds for block designs, SIAM Journal on Discrete Mathematics, 30 (4) (2016), 10.1137/140996707.
[4] T Pham, S Senger, M Tait, and V T H Thu,Geometric structures in pseudo- random graphs, Canadian Journal of Mathematics (2024), 1-31.
[5] N D Phuong, T Pham, and L A Vinh, Incidences between planes over finite fields, Proceedings of the American Mathematical Society,147(5) (2015), 2185–
[6] L A Vinh, A Szemerédi-Trotter type theorem and sum-product estimate over finite fields, European Journal of Combinatorics, 32 (8) (2011), 1177–1181.
[7] L A Vinh, Graphs generated by Sidon sets and algebraic equations over finite fields, Journal of Combinatorial Theory, Series B, 103 (2013), 651–657.
[8] L A Vinh,On point-line incidences in vector spaces over finite fields, Discrete applied mathematics, 177 (2014), 146–151.
[9] V Vu, Sum-product estimates via directed expanders, Mathematical ResearchLetters, 15 (2-3) (2008), 375–388.
BIEN nAN BAo vE LUAN VAN THAC Si a1,-
4 0 h 7.3 ,.Tniin1 8.o,r h !.g K.L.na hq, 7.!t nhl.€n.,htJ.*kfi.N
2.Dai di6n trucrng Dai hoc Khoa hgc Tq nhiOn:
4 Dai bi6u: duoc thanh hqp ngdy
2 Nhtng thi6u sot hay cdc.vdn d6 cAn b6 sung, sria chta trong lufln vin:
Kor Gn c*o A.,'^h.' t*'.i !*€^ ,.io fi.ee ,' rt ) /
Chri tich HQi tl6ng
3 K6t quA danh gi|luQn vf,n:
LuAn v6n d6p rmg dAy dri ciic yOu cAu cria mQt ludn vdn th4c si khoa hoc, tdc giir xring d6ng dugc nh6n hgc vi th4c si.
Thu kf HQi tl6ng t- Lf, v
X# iM;nh4n ;l cria trudng Dei hgc Khoa hgc Tg nhi6n
HA N|| ngdy 27 thdng 07 ndm 2024 sAN NHAN xET LUAN vaN THAc si
TOn dC tdi: D6 thi tua ng5.u nhien va ung dung Chuy6n nghnh: Phuong phdp To5n so c6p Md s6: 8460101.13 H9 vd t6n hoc vi6n: D5 Thi Nhdn
Nguo'i hucrng d5n: TS Ph4m Van Th5ng co'scr ddo tao: Truirng Eai hoc Khoa hgc Tw Nhicn, Dai hoc eu6c Gia Hd N6i Nguoi nhAn xet: TS E6 Tlong Hodng
Chr1c tr6ch trong H6i d6ng: PhAn biOn 1
Co quan c6ng tiic: K-hoa To6n - Tin, Eai hoc B6ch Khoa Ha N6i
1 Tinh cin thi6t, y nghia khoa hgc vh k6t qui co bin ctia luin vrn
Trong ly thuytit d6 thi, ni6t d6 thi duo-c goi ld d6 thi gid ng5u nhi0n n0u n6 tuan theo m6t s6 tinh ctr6t ntr6t dinh nhu aO tni ng5u nhi6n vo'i m6t di6u ki6n xdc su6.t Muc ti6u nghien cti'u cl-ifnh cta luAn v5n cira hoc vi6n D6 Thi Nhdn lir trinh biy m6t s6 rn6 l-rinh cfra d6 thi tua ng5u nhi6n nhu: b6 dd tr6n no'c[ra m6t s5 ao trri d6 thi sinh bo'i t6p Sidon hay d6 thi sinh boi m6t phuu^ng trinh dai s6; cu6i cing ln d6 thi Erdos-Renyi vd m6t s6 Uai to6n 1i6n thu6c C5c n6i dung c[ra ludn vdn d6 cdp y nghia khoa hoc cao.
Chuong l, lu6n v5n trinh bdy b6 dd tr6n no' tr6n mQt d6 thi r dinh, d-chinh quy (??, d, 1), trong d6 2 lA m6t s6 1i6n quan d6n gi6 tri ri6ng cua ma trAn kd crla d6 tlii; vd tr6n d6 thi hai
,l : " phdrr; va nrot ket quA m6' r6ng cho tfch c[ra hai d6 thi (n, d,l).
Chuong 2 trinh bdy d6 thi sinh bo'i tAp Sidon vd d6 thi sinh bo'i r-n6t phuor-rg trinh dai s6.
Nhfr'ng d6 thi ndy thuor-rg duoc s[r'dung trong vi6c nghi€n cti'u nt6t s5 bai to6.n t6 hop trong c6c trudns hti'u han nhu tr6'c lu'ong t6ng-tich, tinh giai dtroc cira phuo-ng trinli vd phAn b5 ngl-ri6ni cua chiurg.
Chuong 3, t6c giA danh cho vi6c trinh bay v6 cac chdn sd cdc lien thur5c gilLa t-phir-rg vd
3 Nhfr'ng uu di6m vh h4n ch6 cria lu$n vIn vd ndi dung vi hinh thti'c:
IJu di6m: Ludn vf,n duoc trinh bhy, dep, rO r2rng C6c chri'ng minh ld chfnh xiic d6ng tin cAy.
Nhugc di6rn: LuAn v5n cdn chria rn6t sO tOi d6nh mdy vd chd ban Chua phAn tich su li6n k6t citc khSi ni6m m6{ trong luAn vdn d€, cdc m\rc, c6c chuong duoc ld m6t th6 th6ng nh6,t.
LuAn vdn ddp tmg dAy dir c5.c y6u cAu cua mQt luAn vin thac si chuy6n ngdnh phuong ph6p To6n so'c6p Do d6, t6i d6ng y Ae tac gi6 cua lu6n vdn b6o vQ luAn vdn tru6'c H6i d6ng
., ,), darh giii d€ nhAn hgc vi Thac si.
Hg t6n vi chfr kf cria ngudi phin biQn
TS D6 Trgng l{o}rng GIAM DOC
'guy6n Cinh Nam DAI H tsACH '5 o \ g> h{A
DQc lAp - Tu do - Hanh phuc nAx r\HAN xEr LUAN vAx rHAC si
Ve Ae Ai: DO thi tua ngiu nhi€n va u'ng dUng Chuy6n ngirnh: Phuong ph6p to6n so- cAp.
Giáo trình Tiếng Anh Tài chính 6, mã số: 8460101.13 của TS Phan Văn Thành và TS Trần Thế Đăng biên soạn được sử dụng cho chương trình đào tạo bậc đại học chuyên ngành Tài chính, trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội.
Qudc gia Hd NQi l Tfnh c6p thi6t, thdi sq, f nghia khoa hoc vir thgc ti6n cria dd thi lufn vin: pO ttrl tua ngdu nhiOn ld rn6t kh6i niern trong ly thuytlt d6 thi vd to6n hoc rcri rac c6 nhiOu irng dqng ly thuytit th6ng tin, cdc lTnh vuc vd khoa hoc m6y tinh, vir trong ly thuy6t rndt rnd.
Trong ludn vdn ndy hoc viOn D6 Thi Nhdn trinh bdy rnQt s6 m6 hinh vC d6 thi tr,ra ng6u nhi6n cfrng nhu u'ng dpng cua no nhu: b6 de tr0n no'cua rnQt s6 dO thi, aO tni sinh boi t4p Sidon vd d6 thi sinh b6'i c6c phuong trinh d4i s5 (OO thi t6ng binh phuong, d6 thi t6ng tich. d6 thi tich tdng), dO thi Erdos-Renyi vd cac bdi to6n li6n thudc C6c nQi dung de cflp trong ludn vdn co y nghia khoa hoc cao.
2 Nh4n x6t chfnh: LuAn v5.n duoc trinh bay bao g6rn ba chuong.
O Chuong t hoc vien trinh bay vd cac kh5i ni6m co'bin cua d6 thi vd UO AO tr6n no'tr6n dd thi.
Chuong 2 cta luAn vdn hoc viOn noi vd dO thi Caley sinh boi tdp Sidon, d6 thi t6ng binh phuong, AO tfri tdng-tfch, OO tfri tich-tdng C6c d4ng OO ttri ndy dugc su dgng trong vi0c nghi0n criu m6t sO Uai toan t6 hop tr0n truong h['u han, nhu u6c lugng t6ng-tich, tinh giii duoc, phAn b6 nghiQm cria m6t s6 phuong trinh.
Chuo-ng 3, hoc vi6n gi6i thi6u c6c phuong ph6p tu'li thuyOt d6 thiph6 de duoc c6c chdn s6.c5c li6n thu6c gilra k-phang vir h-phdng trong F"d_p.
Bd cuc cua lu6n vdn rO rirng, c6c chung rninh duo-c trinh bdy chi tiOt TOn d6 tdi cfrng nhu n6i dung cua lu6.n vdn phu ho-p voi chuy6n ngdnh cua hoc vi6n.
Để đáp ứng nhu cầu về nội dung và hình thức, mỗi bài viết phải đạt tiêu chuẩn tối thiểu 800 từ, có dẫn chứng cụ thể cho các ý kiến, bao gồm cả các kết quả nghiên cứu từ Chương 2.
Dinh ly 1.12trang 15, n6n vi6t 15, MQnh Ae S.Z1 thay vi "'MQnh dd 3.2, [5]" Chil thich o'hinh vC cira Vi du 5b, vd ki hiOu o hinh ve kh6ng th6ng nhAt.
- Mqlt sO tai liQu tham khao s[p x6p chua dirng thri' tu vi dp nhu tai liQu 16,7,8,91
- Mgt s6 c6ng thri'c bi trhn dong.
- Ma tr4n 4_6 o Vf dg 6, vi6t chua chinh x6c
- Trong chung rninh gO AO 2.2, ddngcu6i cung bt sai.
4 K6t lufn: Ludn van d6p ri'ng dugc cdc y6u cAu cria rnQt lu4n vdn thac sI cho chuy6n ngdnh To6n so c6p Do d6 t6i d6ng y dO hoc viOn E5 Thi Nhdn b6o vO lufln vdn th4c si.
1Ki'va ghi rO lto t1n) nl ,/
TS Trin ThiS Dnng Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
===========GIẤY XÁC NHẬN CHỈNH SỬA LUẬN VĂN THẠC SĨ của học viên cao học ĐỖ THỊ NHÀN
Tên tôi là: Đỗ Thị Nhàn, tác giả của luận văn với đề tài: