Đề thi các năm toán 1

Câu 1(2 điểm) Tìm ma trận X thỏa:

0 1 1 X2 3

3 21 2 2



Câu 3( 3 điểm) Giải hệ phương trình tuyến tính:

Câu 4( 3 điểm) Cho ánh xạ tuyến tính f :2 3 và hai hệ vectơ B1u1(1,3),u2(2,1);B2 a(1,0,1),b(1,2,1),c(0,1,2)

a/ Chứng minh B và 1 B lần lượt là hai cơ sở của 2  và 2  3

b/ Cho

2 1A

ĐÁP ÁN Câu 1 (2điểm)

22

xx

41 21

1 14

11

Câu 4 (3 điểm)

0 1 2  

657

42a" b" 1 "

53"

5

ab

NỘI DUNG ĐỀ THI Câu 1 (2 điểm)

Tính:

1 2 1 22 3 1 34 1 21 2 0 1D

a

Câu 2 (2 điểm) Giải phương trình

Trong 3cho B{ , , }u u u1 2 3 trong đó u1(1, 2,3);u22,1,0 ; u33,1, 2; Trong 4 cho '

1234{ , , , }B  v v v v trong đó v1(2,3,2,1);v20,1,3,2 ; v30,0,2,4 , v40,0,0, 5 

a/ Chứng minh B B, ' là cơ sở tương ứng của  3, 4

ĐÁP ÁN

1

332221

441

72

dddddd

dddD

a

  

1213

442ccc

 

212223

222ccc

 

313233

033ccc

 

4412

ddd   

,32 1

ax

 

 

1 2 3

3 0 2

   B độc lập tuyến tính Suy ra B là cơ sở của 3

4

Dim( ) 4

Ta có :

2 0 0 03 1 0 0

20 02 3 2 0

  

 B’ độc lập tuyến tính

Suy ra B’ là cơ sở của 4 b/ Xét u1,1,73 Xét hệ u c u 1 1c u2 2c u3 3

 

313

22

NỘI DUNG ĐỀ THI Câu 1 (2 điểm)

Tính:

2 2 1 11 3 1 34 1 23 2 1 0D

x

Câu 2 (2 điểm) Giải phương trình

Trong 3cho B{ , , }u u u1 2 3 trong đó u1(1, 2,3);u21,1,0 ; u33, 1, 2 ; Trong 4 cho '

1234{ , , , }B  v v v v trong đó v1(1,3,1,2);v20,1, 1, 2 ;   v30,0, 3,1 ,  v40,0,0,5

a/ Chứng minh B B, ' là cơ sở tương ứng của  3, 4

ĐÁP ÁN

1

332221

441

443

432

ddd

dddD

xx



2

Det( ) 40 0A    Tồn tại A111

1213

8128ccc



212223

1050ccc

 

313233

238ccc

  

dddddd  

2 32 1

,2

ax

 

  

  



4 a/ Dim(3) 3 Ta có :

    B độc lập tuyến tính Suy ra B là cơ sở của 3

 

313

44

NỘI DUNG ĐỀ THI Câu 1 (2 điểm)

Câu 4 (1 điểm)

Cho S {s ,s ,s }1 2 3 là 1 cơ sở trong 3, trong đó s1(1, 2,3);s21,1,0 ; s33,1, 2 Tìm toạ độ của vector u(2, 4,6) đối với cơ sở S

Câu 5 (2 điểm) Cho ánh xạ tuyến tính f:23 cho bởi ( , )x y (x y x y y x , 2  , 2  )

Câu Nội dung

1

332221

443

32

dddddd

dddD

 

1213

317ccc

 

212223

452ccc

  

313233

231ccc

 

29 15 2215 7

26 2

x

ax

    

 

( ,a b)

4 Giả sử u1 1s 2 2s 3 3s 1(1, 2,3)2(1,1,0)3(3,1, 2) (2, 4,6) Suy ra

200

  

Vậy ( )u S (2,0,0).

Ta có : f(1, 2) (3, 0,3), (2,3) (5,1, 4). f  Giả sử 1 1c 2 2c 3 3c (3,0,3)1(1, 2,3)2(2,1,1)3( 2,0, 2) (3,0,3)  Suy ra 1 3,2 6,3 3 , nghĩa là  1 

3

3Cf b

      

5 Tương tự ta được  2 

3

3Cf b

      Vậy ma trận của ánh xạ tuyến tính f đối với cơ sở B C, là :   , 63 73

B Cf

NỘI DUNG ĐỀ THI CÂU 1 (2 điểm )

5 3 10A

'123{ , , }B  v v v gồm các vectơ:v1(1,1,1);v2   1,3,4 ; v32, 2,5  trong R3

a/ Chứng minh B B, ' là cơ sở tương ứng của R R4, 3 b/ Tìm f u( ) với u2, 3, 4, 3  

HẾT

ĐÁP ÁN

1

212313

335



323

76

ddd

m

mm



111213

16507ccc

 

212223

311511c

cc

  

313233

5326ccc

 

1

150 15 32131

26 19 114

   

 



 

a/ dim R4 4(1)

4 Ta có :

1 2 3 42 3 4 1

168 03 4 1 2

Từ (3)(4) B’ là cơ sở của R3b/ Vì u2, 3, 4, 3   R4 với cơ sở B nên tồn tại duy nhất bộ số c , c , c , c1 2 3 4 thỏa :

NỘI DUNG ĐỀ THI Câu 1 (2 điểm)

Câu 3 (3 điểm) Giải hệ phương trình tuyến tính sau:

Trong R4 cho '

1234{ , , , }B  v v v v trong đó v1(1,2,1,1);v22,1,1,0 ; v31,2,0,0 , v42,0,0,0.a/ Chứng minh B B, ' là cơ sở tương ứng của R R3, 4

HẾT

ĐÁP ÁN

1

 

221441

52

a

a

  

AP

18 1511 71

   

   

4 a/ dimR33(1) Ta có :

dimR 4(3)

Từ (3)(4) B’ là cơ sở của R4b/ Vì u4,2,3R3 với cơ sở B Xét hệ u c u 1 1c u2 2c u3 3

 

313

11

  

Do đó f u  f4,2,30v16v22v37v428,10,6,0

NỘI DUNG ĐỀ THI Câu 1 (2 điểm)

Câu 2 (2 điểm) Cho hai ma trận

2

41

21 4A

và

12 012 4824 36B

Câu 3 (3 điểm) Giải hệ phương trình tuyến tính sau:

Trong R4 cho C{ , , , }v v v v1 2 3 4 trong đó v1(1,1,1,1);v21,2,1,0 ; v3 1, 2,0,0 , v41,0,0,0.a/ Chứng minh B C, là cơ sở tương ứng của R R3, 4

HẾT

Câu Nội dung

1

 

221441

22

m

m

  

AP

7 81 33 4

   

   

 

4 a/ dimR33(1)

1 



B độc lập tuyến tính (2)

Từ (1)(2) B là cơ sở của R34

dimR 4(3)

 B’ độc lập tuyến tính (4)

Từ (3)(4) B’ là cơ sở của R4b/ Vì u3, 6,7 R3 với cơ sở B Xét hệ u c u 1 1c u2 2c u3 3

 

123

11

Cf u

Do đó f u  f 3, 6,7  7v1 14v27v33v4  11, 49, 21, 7   

NỘI DUNG ĐỀ THI

Câu 4: (3 điểm) Trong không gian  và 3  cho các vecto 4

m m

61m

A

m 

 

1,2,22,ccc

 

212223

17,5,

16,c

cc

 

313233

2,4,

5,ccc

  

3 Ta có

221331

::4

ddddddA B

  

 |    3 5r A B r A

    Hệ phương trình có vô số nghiệm với 2 ẩn tự do Hệ đã cho tương đương với hệ sau



4 a Ta có số vectơ trong tập S 4 Dim  Do đó để chứng minh S là cơ sở của 4  ta chỉ 4cần chứng minh S độc lập tuyến tính

Ta có 1 0 0 02 1 0 0

2 03 1 2 0

1 1 1 1

  nên S độc lập tuyến tính

Vậy S là một cơ sở của  4Ta có số vectơ trong tập P 3 Dim  Do đó để chứng minh P là cơ sở của 3  ta chỉ 3cần chứng minh P độc lập tuyến tính

Ta có 1 0 02 1 0 3 01 2 3

  nên P độc lập tuyến tính

Vậy P là một cơ sở của  3

b Tìm đúng

 

3232

124Su

   

  

     

Tính đúng

    ,

325

22S PSP

    

    Suy ra

NỘI DUNG ĐỀ THI CÂU 1 (2 điểm)

Câu Nội dung

mm

2

detA  2 0 có A111

1213

15613ccc

   

212223

104

8ccc

 

313233

1149ccc

  

115 10 111

  

2

25



  

   

  

4 a/ dim R4 4(1)

Ta có :

1 1 1 10 2 2 2

24 00 0 3 3

b/ Vì u2,6,3,0R4 với cơ sở B nên tồn tại duy nhất bộ số c , c , c , c1 2 3 4 thỏa :

 1 1  2 2  3 3  4 4

 

11234

2

334

44