Luận văn thạc sĩ Kỹ thuật xây dựng: Phân tích tương tác của chất lỏng và thành bể dạng trụ tròn dung tích lớn có chiều dày thành bể thay đổi chịu tải trọng động đất

Hướng nghiên cứu Phần luận văn này có ba hướng nghiên cứu chính:  Phân tích dao động sóng và dao động thành bể  Tương tác của sóng chất lỏng và thành bể có chiều dày thay đổi theo chi

TỔNG QUAN

Giới thiệu về việc thiết kế kháng chấn cho các công trình hiện nay

Vấn đề thiết kế kháng chấn cho nhà cao tầng cũng nhƣ các công trình có tầm quan trọng khác đang được quan tâm rất nhiều ở các nước trên thế giới trong nhiều thập niên qua Ở Việt Nam, trước đây vấn đề này không được chú ý nhiều Tuy nhiên trong những năm gần đây ngày càng đƣợc các kỹ sƣ cũng nhƣ nhà nghiên cứu chú trọng nhiều hơn Đặt biệt với diễn biến phức tạp của điều kiện thiên nhiên nhƣ ngày nay thì đặt ra một thử thách lớn cho lĩnh vực xây dựng nói chung và xây dựng dân dụng công nghiệp nói riêng

Trong điều kiện ngày nay để đáp ứng việc phát triển nền kinh tế thì nhu cầu khai thác và dự trữ nhiên liệu là vô cùng lớn Kéo theo đó, việc xây dựng các kho chứa nhiên liệu có dung tích lớn đã mọc lên rất nhiều (Hình 1.1) nhằm đáp ứng việc dự trữ nhiên liệu cho ngành công nghiệp, giao thông vận tải, an ninh quốc phòng, …

Hình 1.1: Ảnh chụp vệ tinh một đoạn sông Nhà Bè, Tp.Hồ Chí Minh, Việt Nam

HVTH: Võ Đình Nhật Khánh 10

Hình 1.2: Bể chứa nhiên liệu dạng trụ tròn có dung tích lớn Điều này đã đặt ra “một câu hỏi lớn” cho người kỹ sư thiết kế bở những thiệt hại do động đất của những dạng công trình này là không nhỏ (con người, môi trường và kinh tế)

Hình 1.3: Trận đông đất Kocaeli (Izmit), Tây bắc Thổ Nhĩ Kỳ, năm 1999

Hình 1.4: Trận đông đất Sendai tỉnh Miyagi, Nhật Bản, năm 2011

Hướng nghiên cứu

Phần luận văn này có ba hướng nghiên cứu chính:

 Phân tích dao động sóng và dao động thành bể

 Tương tác của sóng chất lỏng và thành bể có chiều dày thay đổi theo chiều cao

 Khảo sát khả năng tự kháng chấn của công trình dạng bể chứa trụ tròn có dung tích lớn

1.2.1 Các nghiên cứu về phân tích ứng xử của sóng chất lỏng bên trong bể chứa

Dao động sóng đƣợc hình thành khi có ngoại lực tác dụng vào và làm cho chất lỏng mất ổn định dẫn đến dao động, từ đó kéo theo sự thay đổi các đặc trƣng động lực của hệ Nếu nhƣ có thể khống chế đƣợc biên độ cũng nhƣ tần số của sóng thì ổn định của kết cấu xem nhƣ đƣợc điều khiển Vì vậy có thể xem sóng chất lỏng trong bể là thông số quan trọng nhất khi nghiên cứu về bể chứa chất lỏng, do đó thông số này được đầu tư xem xét rất nhiều Các nhà khoa học phát triển ba hướng nghiên cứu chính về chuyển động của chất lỏng trong bể chứa đó chính là hướng phân tích kiểu Lagrangian, phân tích kiểu Eulerian hoặc kết hợp cả hai hướng trên

1.2.1.1 Phân tích chuyển động chất lỏng bằng phương pháp Eulerian

Phương pháp Eulerian được sử dụng nhiều nhất trong phân tích chuyển động của chất lỏng nhờ thuận lợi của phương pháp này là biến dạng lớn được kiểm soát dễ dàng nhưng lại làm cho khối lượng phương trình cần giải tăng lên nhiều hơn do việc tạo lại lưới phần tử sau mỗi bước thời gian tính toán để đạt được độ chính xác cho phép Thông thường trong phương pháp Eulerian thì biến cần tìm là áp suất ở nút của chất lỏng (Zienkiewicz et al., 1983) Phương pháp Eulerian đề nghị bởi Zienkiewicz và Bettess, (1978) sử dụng áp suất làm biến cần tìm sau khi phân tích dẫn đến việc giải quyết một chuỗi các ma trận không đối xứng, làm cho việc giải phương trình không đơn giản Trong khi đó, Olson và Bath (1985) thì lại xem thế vận tốc nhƣ biến cần tìm còn áp suất thủy động là biến phụ trong miền chất lỏng và đưa bài toán về dạng ma trận đối xứng, giúp giải quyết phương trình dễ hơn nhiều, ngay cả khi số ẩn số trong bài toán là lớn

Bằng cách giả thiết chất lỏng không nén đƣợc, không nhớt, không xoay, Aslam (1981) sử dụng phương pháp thế vận tốc (lấy vận tốc làm ẩn) để phân tích sóng chất lỏng khi công trình chịu động đất trong bể chứa tuyệt đối cứng có dạng đối xứng trụ

Trong nghiên cứu đó, Aslam đã đƣa về còn một ẩn số duy nhất và khó khăn chính trong bài toán này là việc phải giải quyết vấn đề phi tuyến của sóng ở mặt thoáng chất lỏng Aslam đã lựa chọn phương pháp Eulerian và đơn giản hóa bằng cách bỏ qua các mode bậc cao, tuy nhiên cách này chỉ có thể áp dụng cho sóng chất lỏng có biên độ không lớn Ma trận tương tác trong đó tồn tại đạo hàm theo thời gian của vận tốc chất lỏng và chuyển vị kết cấu đƣợc sử dụng để mô phỏng ứng xử tại mặt tương tác chất lỏng – thành bể Phương pháp của Aslam được mở rộng bởi Babu và Bhattacharyya (1996) để xem xét ảnh hưởng tương tác chất lỏng và thành bể trong quá trình dao động của sóng Phương pháp lặp được đề xuất để tính toán chuyển vị của sóng chất lỏng do ngoại lực tác động và chuyển vị của bể do áp suất chất lỏng gây ra Theo hướng tiếp cận khác, Kock và Olson (1991) đề xuất phương pháp thế vận tốc phi tuyến với khối lƣợng thu gọn để tính toán chuyển vị của chất lỏng Mặc dù nghiên cứu này có nói đến khả năng ứng dụng rộng rãi của phương pháp, nhưng ví dụ minh họa chỉ giới hạn cho trường hợp chuyển vị biên chất lỏng là đủ nhỏ

1.2.1.2 Phân tích chuyển động chất lỏng bằng phương pháp Lagrangian

Bằng cách sử dụng chuyển vị như biến cần tìm, phương pháp Lagrangian cho thấy sự mô tả rõ ràng hơn cho mặt tương tác và giải quyết vấn đề dòng chảy chi tiết hơn Thuận lợi lớn của phương pháp Lagrangian so với Eulerian là khả năng tương thích với các phần mềm xây dựng trên nền tảng phương pháp PTHH bởi vì hầu hết các phần mềm ứng dụng phương pháp PTHH đều lấy chuyển vị làm ẩn số Nhưng vấn đề của phương pháp Lagrangian là sai số của bài toán sẽ rất lớn khi lưới phần tử tạo ra không tốt Trong các hướng tiếp cận trước đây, Hunt (1970 và 1971) đã đề cập đến lý thuyết phần tử chất lỏng sử dụng tính chất vật lý kết hợp trực quan để phân tích ảnh hưởng của sóng chất lỏng và sức căng bề mặt (structural theory of fluid using physical reasoning and intuition to account for the effect of sloshing, surface tension) (Cook et al., 1973) Trong phương pháp của Hunt, tính chất không nén được của chất lỏng đã đƣợc sử dụng để thiết lập các điều kiện ràng buộc nhằm loại trừ một số các biến không cần thiết Hunt chỉ ra rằng một số kết quả tần số là bằng zero, và khi sóng chất lỏng đƣợc kể thêm vào tính toán thì số tần số bằng zero sẽ bị giảm đi

Trên cơ bản, phần tử chất lỏng trong phương pháp PTHH theo mô hình chuyển vị (Displacement – based formulation) là loại phần tử đàn hồi liên tục có mođun kháng cắt bằng zero và có tính chất không nén đƣợc (Zienkwick, 1978) Trong bài toán phân tích động lực sử dụng hàm dạng, loại phần tử này có năng lƣợng chuyển vị là bằng zero do module kháng cắt của chất lỏng bằng “không” Các hàm dạng nhƣ vậy có thể đƣợc loại trừ bằng cách ràng buộc phần tử chất lỏng không có chuyển vị xoay (Zienkiewickz và Bettess, 1978) Dựa trên định lý Hamilton, Debongie (1986) đã thiết lập một số phương trình về dao động bao gồm cả chuyển động của sóng chất lỏng lẫn rung động âm học Tuy nhiên, các phương trình này chỉ có thể ứng dụng trong trường hợp sóng chất lỏng tuyến tính và không xét đến ứng xử phi tuyến của phần tử Đối với các phần tử chất lỏng có chuyển vị lớn thì Bathe và Hahn, 1979 đề xuất phương pháp Updated Lagrangian để phát triển các phần tử đẳng tham số 2D và 3D với số nút khác nhau bằng cách sử dụng lý thuyết về khối lƣợng chất lỏng dạng

HVTH: Võ Đình Nhật Khánh 14 thu gọn Trong phương pháp đó Bathe có chỉ ra rằng khi sóng chất lỏng có biên độ dao động lớn thì việc tạo lưới phần tử có thể bị ảnh hưởng không tốt và dẫn đến giảm mức độ chính xác của bài toán Việc cập nhật lưới phần tử đã không được xét đến khi nghiên cứu tập trung vào việc phân tích quá độ cho chất lỏng phi tuyến trong ống

Một khuynh hướng khác của phương pháp phân tích theo Lagrangian là việc xem vận tốc ở nút nhƣ biến cần tìm (Johnson, 1979; Bach và Hassager, 1985) kết hợp phương pháp hiệu chỉnh vận tốc (Kawahara và Anjyu, 1988; Okamoto và Kawahara, 1990) Kết quả của họ cho thấy chuyển động sóng chất lỏng với biên độ lớn có thể được phân tích bằng phương pháp này Tuy nhiên, cách này có khó khăn là không kết hợp được với các phần mềm viết trên cơ sở phương pháp PTHH

1.2.1.3 Phân tích chuyển động chất lỏng bằng cách kết hợp cả hai phương pháp

Cả hai phương pháp Lagrangian hay Eulerian đều có những thuận lợi và những bất lợi riêng, hoặc là khối lƣợng tính toán quá lớn hoặc lời giải kém chính xác do hạn chế về mô hình toán Cho nên một phương pháp mới được ra đời là phương pháp kết hợp Eulerian – Lagrangian có tên gọi Arbitrary Lagrangian – Eulerian (ALE) nhằm tận dụng được ưu điểm của cả 2 phương pháp Lagrangian và Eulerian Phương pháp này đƣợc Hughes et al giới thiệu lần đầu năm 1981 và giải quyết vấn đề dao động sóng chất lỏng bằng phương pháp PTHH trên giả thiết chất lỏng nhớt và không nén được dựa trên nền tảng từ phương pháp Eulerian của chính Hughes đề xuất năm 1978 Trong phương pháp ALE, đối với việc cập nhật lại lưới phần tử, bên cạnh miền không gian và miền vật liệu, Hughes còn giới thiệu thêm miền tham chiếu đƣợc thành lập bằng cách áp dụng hàm ánh xạ Khi lựa chọn đúng miền tham chiếu và hàm ánh xạ, việc mô tả tính chất động học của mặt thoáng chất lỏng và vấn đề tương tác của Chất Lỏng – Thành bể sẽ được giải quyết thỏa đáng Hàm nội suy tuyến tính trong phương pháp Eulerian trở thành phi tuyến trong phương pháp ALE

Do đó, khối lƣợng tính toán bị tăng lên rất nhiều

Phương pháp ALE sau này được mở rộng bởi Belytschko và Flanagan (1982) cho phân tích quá độ chất lỏng dựa trên lý thuyết dòng chảy nhớt và nén đƣợc Các nghiên cứu trước đây sử dụng thuật ngữ “Quasi Eulerian” để nhấn mạnh rằng cấu

HVTH: Võ Đình Nhật Khánh 15 trúc của phương trình chủ đạo dao động chất lỏng tương tự như phương pháp Eulerian Và để giảm lại khối lƣợng tính toán do vấn đề phi tuyến đã đề cập ở trên thì hai tác giả đã áp dụng thuật toán tích phân cầu một điểm, tuy nhiên vấn đề việc tạo lưới phần tử vẫn chưa giải quyết triệt để Liu và Ma, (1982) trình bày về ứng dụng của phương pháp ALE trong việc khảo sát chuyển vị và ứng xử động lực của chất lỏng trong bể chứa chữ nhật Trong phương pháp này, áp suất chưa biết của chất lỏng nhớt đƣợc loại bỏ nhờ giả thiết không nén đƣợc của chất lỏng Ứng dụng được cho là thành công nhất của phương pháp ALE trong phân tích dao động sóng chất lỏng với biên độ lớn đƣợc thiết lập bởi Huerta và Liu năm 1988

Trong nghiên cứu của họ, phương pháp kết hợp áp suất – vận tốc cộng thêm phương pháp dòng chảy tầng để cập nhật lưới phần tử có thể dùng mô phỏng mặt thoáng chất lỏng và sóng bề mặt với biên độ lớn

Vấn đề chính yếu trong phương pháp ALE là làm cách nào để tìm được thuật toán thích hợp để miêu tả chuyển động khác nhau của miền tham chiếu, trong khi đó sự tạo lưới phần tử được hình thành liên tục nhằm mô phỏng chính xác chuyển động bề mặt và để duy trì thường xuyên biến dạng của phần tử chất lỏng Housner (1967) đề nghị phân bể chứa hình trụ tròn ra làm 02 loại bể: bể dạng thấp và bể dạng cao, bể dạng thấp có Hf/R ≤ 0.15, bể dạng cao có Hf/R > 0.15 (Trong đó H f là chiều cao của mực chất lỏng trong bể, R là bàn kính của bể chứa) Với loại bể cao thì Housner xem như chỉ có 0.15R phần chất lỏng bên dưới là dao động đồng thời với bể còn phần bên trên thì xem nhƣ là dao động riêng biệt Bằng cách sử dụng các nghiên cứu của Housner thì Epstein (1976) đã vẽ ra đường cong thiết kế để ước lượng biến dạng và momen cực đại cho bể dạng trụ tròn và dạng chữ nhật Housner (1967) hay Epstein (1976) đều dựa trên giả thuyết là bể chứa tuyệt đối cứng và tương tác của chất lỏng – thành đƣợc bỏ qua Tuy nhiên, chất lỏng trong bể ứng xử phức tạp hơn rất nhiều, nên nếu xem thành bể là tuyệt đối cứng thì các kỹ sƣ đã thiết kế bể không an toàn và đặc biệt là khi hiện tượng cộng hưởng xảy ra

Các nghiên cứu được phát triển tiếp với sự tập trung về vấn đề kích thước cũng nhƣ hình dạng bể Sayar và Baumganter (1982) đã trình bày các nghiên cứu cho cả sóng chất lỏng dao động tuyến tính lẫn phi tuyến cho bể chứa hình tròn dựa trên mô

HVTH: Võ Đình Nhật Khánh 16 hình Con Lắc (Pendulum Model) đƣợc đề xuất bởi chính họ năm 1981 Bauer (1984) giới thiệu mô hình TLD mới cho bể chứa chữ nhật với mô hình tải trọng dạng lò xo dựa trên giả thiết bể chứa dài vô hạn Modi và các đồng nghiệp (1987 và 1989) thực hiện một chuỗi các thí nghiệm và nghiên cứu bằng phương pháp giải tích về “thiết bị kháng chấn tự nhiên” với các bể chứa hình vành khuyên chịu tải trọng động Họ đã khảo sát cơ chế tiêu tán năng lƣợng của thiết bị kháng chấn dạng này bằng cách sử dụng lý thuyết về hàm thế vận tốc phi tuyến kết hợp với việc hiệu chỉnh điều kiện biên Và từ nghiên cứu trên người ta đã ứng dụng cho 2 công trình sân bay Haneda và Narita, Nhật Bản (1991)

Mục đích nghiên cứu của luận văn

Luận văn này nhằm mục đích khảo sát một cách tổng quát về hầu hết các đặc trƣng của bể chứa chất lỏng có dung tích lớn từ tần số dao động tự nhiên của chất lỏng, biên độ, dao động sóng bề mặt, lực tác dụng lên thành bể,… Phương pháp PTHH dựa trên nền tảng chuyển vị nút phần tử đƣợc dùng để giải bài toán phân tích các thông số của chất lỏng và kết quả sẽ được so sánh với các lời giải giải tích và các nghiên cứu trước đó

Luận văn nhấn mạnh đến sự tương tác giữa chất lỏng và thành bể có chiều dày thay đổi theo chiều cao bằng cách thiết lập điều kiện biên cho phần tử chất lỏng cũng nhƣ chất rắn tại mặt tương tác Sau đó khảo sát những ảnh hưởng do sự tương tác này gây ra cho các thông số đặc trƣng khác nhất là đối với tần số tự nhiên Từ đó thiết lập mối liên hệ giữa bể cứng và bể mềm Ngoài ra một khía cạnh khác khi xét đến sự tương tác này là không xem thành bể tuyệt đối cứng (bỏ qua tương tác giữa chất lỏng và thành bể) nhằm phòng tránh phá hoại thành do sóng chất lỏng dao động cộng hưởng với lực kích thích gây ra

Phân tích cơ chế khả năng tự kháng chấn của dạng bể chứa này, để từ đó đƣa ra các thông số cần xem xét tính toán khi thiết kế Bằng ví dụ phân tích một công trình cụ thể chịu tải trọng động nhƣ ngoại lực tác dụng điều hòa hay động đất Sau đó xem xét đáp ứng của công trình theo thời gian bằng phương pháp số được lựa chọn dựa trên tiêu chí tính toán dễ dàng và đạt mức độ chính xác cần thiết trong nghiên cứu Cuối cùng rút ra các số liệu cụ thể khẳng định khả năng tự kháng chấn của dạng bể này cũng nhƣ đề xuất các kiến nghị cho việc thiết kế dạng bể chứa này.

Tóm tắt luận văn

Luận văn được chia ra làm 5 chương trình bày lần lượt các vấn đề như sau:

Chương 1 tổng quan về thiết kế kháng chấn và tóm tắt các nghiên cứu đã thực hiện trước đây Từ đó lựa chọn phương pháp nghiên cứu và đặt ra mục đích sẽ tiến đến trong Luận văn

HVTH: Võ Đình Nhật Khánh 21 Chương 2 Xây dựng các cơ sở lý thuyết nhằm xem xét một cách tổng quát về tính chất kết cấu của bể chứa chất lỏng, mode dao động,… Xây dựng các phương trình dao động của chất lỏng, thành bể, bể chứa làm cơ sở cho các bước nghiên cứu tiếp theo Phân tích về hiện tượng tương tác chất lỏng – thành bể và ảnh hưởng của hiện tượng này đến khả năng tự kháng chấn của bể chứa

Chương 3 Các ví dụ số để kiểm chứng lại kết quả của phương pháp PTHH so với các kết quả nghiên cứu trước đây Ví dụ số cụ thể để khảo sát công trình bể chứa thực tế trong trường hợp chịu tải trọng tĩnh (thủy tĩnh), lực kích thích điều hòa và động đất

Chương 4 tóm tắt các kết quả đạt được trong luận văn và các kiến nghị đề xuất cho việc thiết kế bể chứa chất lỏng có dung tích lớn và mở ra hướng nghiên cứu tiếp trong tương lai

Hình:1.6 Kho chứa nhiên liệu

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Khảo sát sơ bộ

Phần này sẽ khảo sát sơ bộ về: tính chất cấu trúc các loại bể chứa chất lỏng và qua đó cho thấy ƣu điểm của loại bể dạng trụ tròn, hệ trục tạo độ và mode dao động trong phân tích bể chứa chất lỏng.

2.1.1 Tính chất cấu trúc bể chứa chất lỏng

Trong thực tế có nhiều cấu trúc bể chứa chất lỏng: cầu , trụ, chữ nhật, vuông,…Tuy nhiên dạng bể hình trụ là phổ biến hơn tất cả các dạng bể còn lại vì dễ thiết kế, dễ thi công (lắp thuận hoặc ngƣợc) – Hình 2.1, Hình 2.2 và khả năng chịu đƣợc tải trọng lớn

Hình 2.1: Thi công lắp thuận

Hình 2.2: Thi công lắp nghịch

Loại bể trụ tròn này có thành mỏng đƣợc làm bằng thép tấm liên kết hàn với nhau chịu tải trọng ứng suất của chất lỏng

Mái bể hình vòm hoặc nón bằng thép tấm có sườn bằng khung thép hoặc không

Móng bể bằng bê tông cốt thép trên nền tự nhiên hoặc trên nền cọc

Xét bể chứa chất lỏng và hệ tọa độ nhƣ Hình 2.3 Đây là bể chứa chất lỏng dạng trụ tròn có các thông số sau: bán kính R, chiều cao bể L, chiều cao mực chất lỏng H, chiều dày thành bể h Đặt r,  lần lượt là bán kính và gốc quay, hệ trục tọa độ có hướng z như hình vẽ

Chuyển vị của một điểm nút trên tấm u, v, w

Hình 2.3: Bể chứa chất lỏng và hệ tọa độ

+ Mode dao động theo phương bán kính của bể chất lỏng có hai dạng: cos và cosn

- Dạng cos đối với sóng đơn theo hướng bán kính của bể - Dạng cosn đối với số lượng sóng theo hướng bán kính lớn hơn 1

+ Mode dao động theo phương đứng Đối với các loại bể cao thì mode dao động dạng cos có thể đƣợc xem nhƣ là mode dao động của dầm Bở vì ứng sử mode dao động của dạng bể này giống cột consol đứng

Ngoài ra Hình 2.4b cho ta thấy hai dạng dao động đầu tiên của sóng chất lỏng trong bể

Hình 2.4a: Mode dao động tấm

Hình 2.4b: Mode dao động sóng chất lỏng

Phương trình dao động của chất lỏng

- Chất lỏng đƣợc xem là đồng nhất, không nhớt và không bị nén - Dòng chất lỏng không xoáy

- Dòng chất lỏng đƣợc xem là đặt

HVTH: Võ Đình Nhật Khánh 26 - Biên độ dao động nhỏ

Trong trường hợp khi dao động của sóng chất lỏng có dạng tuyến tính Chuyển động chất lỏng có thế vận tốc  thỏa mãn phương trình Laplace:

  (2.1) trong đó  là hàm thế vận tốc theo r, , z và thời gian t với vùng giới hạn: 0 ≤ r ≤ R, 0 ≤  ≤ 2π, 0 ≤ z ≤ H Nghiệm của phương trình trên được tìm bằng cách kết hợp các điều kiện biên

    là tần số góc sóng dao động

 f và T lần lƣợt là tần số tự nhiên và chu kỳ tự nhiên của sóng

Thế phương trình (2.2) vào phương trình (2.1) ta có:

 Điều kiện biên ở đáy bể (z=0):

 Điều kiện biên ở mặt thoáng chất lỏng:

Tại mặt thoáng chất lỏng z = H + (r,,t) bể đứng yên không có dao động sóng  tồn tại 2 điều kiện biên: Điều kiện biên động lực học: áp suất trên mặt thoáng bằng không:

Với p 0 áp suất tại mặt thoáng chất lỏng Điều kiện biên động học: các phần tử chất lỏng dao động qua lại trên mặt thoáng cân bằng:

HVTH: Võ Đình Nhật Khánh 27 Phương trình Bernoulli biểu diễn cho hàm thay thế  có dạng như sau:

 p là áp suất chất lỏng

 g là gia tốc trọng trường

  l là trọng lƣợng riêng Khi xem biên độ sóng dao động nhỏ, điều kiện biên ở mặt thoáng chất lỏng trở thành:

Mặt khác bỏ qua đạo hàm bật 2 và kết hợp với phương trình (2.8) và (2.9) ta có phương trình chuyển động của hàm thế vận tốc trở thành :

  (2.10) Áp suất phân bố p(r,,z,t) được xác định từ phương trình Bernoulli là:

(Với thành phần    xem là nhỏ và đƣợc bỏ qua) Trong biểu thức Áp suất phân bố p(r,,z,t) gòm hai thành phần:

 Điều kiện biên ở thành bể:

Ta xét bể mềm có tính tới việc tương tác của chất lỏng và thành bể

Nguyên lý Hamilton về chuyển động:

Trong đó T và U là động năng và thế năng của chất lỏng, W là thế năng của ngoại lực tác động.Và theo Hsiung và Wingarten (1973) chúng có thể đƣợc viết lại nhƣ sau:

Với V là thể tích miền chất lỏng, S 1 là bề mặt thoáng chất lỏng và S 2 là mặt tương tác của chất lỏng và thành bể

Thế (2.16), (2.17), (2.18) vào (2.15) hàm Lagrangain I đƣợc viết lại nhƣ sau (Hsiung và Weigarten, 1973):

Phương trình dao động của chất lỏng khi kể đến dao động tự do ở mặt thoáng chất lỏng đƣợc viết lại nhƣ sau (Luke):

Với Lc là hàm Lagrangion,  là hàm vận tốc chất lỏng,  khoảng dao đông của mặt thoáng chất lỏng đối với mặt thoáng khi đứng yên

HVTH: Võ Đình Nhật Khánh 29 Áp dụng định lý Green cho tích phân bậc nhất và bậc 2 ta có

I dVdt dsdt g g dsdt v ds w dsdt t dVdt dsdt g dsdt v w v t

Ngoài ra với bản chất tương quan giữa biến phân  và  nên chúng ta có:

Phương trình dao động của tấm

Vì thành bể đƣợc làm từ thép tấm cho nên thành bể đƣợc xem nhƣ là tấm đàn hồi, năng lƣợng biến dạng do lực kéo và uốn sinh ra Lực và moment tác dụng vào phần tử vi phân tấm đƣợc thể hiện nhƣ hình sau:

Hình 2.5a: Tổng hợp lực tấm

Biểu thức thế năng biến dạng đƣợc thể hiện nhƣ sau:

Nz, N là các thành phần lực theo phương z và , Mz, M là các thành phần moment,

N là đại lƣợng hiệu ứng lực cắt màng và hiệu ứng moment xoắn và đƣợc xác định nhƣ sau: z z z

Vật liệu tấm đƣợc xem là đồng nhất, đàn hồi tuyến tính, do đó tổ hợp lực và moment có thể đƣợc biểu thị giữa bề mặt nhƣ sau:

Với: k 1 , k 2 lần lƣợt là độ cứng kéo và uốn đƣợc xác định nhƣ sau:

E: modul đàn hồi của tấm

 : hệ số Possion h: chiều dày tấm Công thức (2.32) đến (2.37) có thể được viết dưới dạng ma trận sau:

Biến dạng đƣợc xác định nhƣ sau: z u

Vecto biến dạng suy rộng {} có thể đƣợc thể hiện qua vecto chuyển vị {d} là:

Và [P] là matran toán tử vi phân và đƣợc xác định bằng:

Kết hợp (2.29), (2.40) và (2.50) phương trình thế năng được viết lại:

2.3.2 Động năng của tấm Động năng của tấm bỏ qua quán tính quay đƣợc viết nhƣ sau:

             (2.55) Với: m(z) khối lƣợng của tấm trên đơn vị diện tích

Công thức (2.55) có thể đƣợc viết ngắn gọn nhƣ sau:

Với {d} là vecto chuyển vị đƣợc xác định bằng công thức (2.51)

2.3.3 Phương trình chuyển động của tấm

Phương trình vi phân chuyển động của tấm đàn hồi và điều kiện biên của chúng xuất phát từ nguyên lý Hamilton Mặt khác sự tác động qua lại giữa chất lỏng và thành bể đƣợc biểu diễn bằng chuyển vị khả dĩ w:

Với p(R,,z,t) là áp suất chất lỏng tác dụng lên đơn vị diện tích thành bể, H là chiều cao của chất lỏng Đông năng của dao động:

Lấy tích phân hai vế (2.58) theo thời gian t ta có:

Với: u(,z,t), v(,z,t), w(,z,t) bằng 0 tại t=t 1 và t=t 2 Biểu thức năng lượng biến dạng (2.53) có thể được biểu diễn dưới dạng u, v, w như sau:

Biến phân của năng lƣợng biến dạng có thể đƣợc biểu diễn nhƣ sau:

Thực hiện tích phân từng phần ta có:

Kết hợp (2.59) và (2.62) vào (2.15) ta có:

Ta có tích phân tiến đến 0 với bất kì giá trị của u, v, w và w

  , vì thế biến phân tiến đến 0 tại z=0, z=L và khác 0 tại 0