Luận án tiến sĩ Kỹ thuật xây dựng: Phát triển phương pháp phần tử chuyển động cho một số bài toán động lực học kết cấu

Trong luận án này, phương pháp MEM được phát triển cho một số bài toánđộng lực học kết câu như sau: đối với bài toán dầm thì phương pháp MEM được phattriển cho bài toán phân tích ứng xử

LỚN, ON, ON, ON, |

mb lÍe„

+ su ml V2 lộ u(rs) _ay lộ u(r,s) x ôu(r,s) + lộ u(rs) drds cáo or orot or Ot (3.43)

+ [ đu k „wdrds— [ ổw k,V®wdrds+ | Thường

O6) trong đú b(z,s)=|0 0 Pd(r)d(s—0) 0 0ẽ là vộc tơ tải trong được biờn đổi sang hệ tọa do (r.s).

Trường chuyển vị u và chuyển vị theo phương đứng w tại một điểm trong phan tử được nội suy từ các thành phan chuyền vị nút của phan tử lân lượt được viết là u=Nd“ w=N d° trong đó N,N, và d‘ lân lượt là các ma trận hàm dạng và véc tơ chuyên vị nút của

(3.44) phân tử được cho bởi

(2) _ T d2 =| 1, Yor Wor Bà By, Uy, Yon Wop Bo ệ; s+ Hog Yoo Mog Po 8, | 45x1

Các thành phân biến dang màng, biến dạng uốn và bién dạng cắt của phân tử được trình bày ở dạng ma trận như sau

=B d”;x ”;y ° (3.46) trong đó B,, B, và B lân lượt là các ma trận gradient bién dạng màng, biển dang uôn và biên dạng căt của phân tử tâm được cho bởi iN, 0 0006, 0 000 N, 0 000 B,=|0 NM, 000 0 N,, 000 0 N, 000

Thé công thức (3.44) va (3.46) vào công thức (3.43) va thực hiện sắp xếp lat, phương trình chuyển động của phan tử tam được viết như sau m | (N'’NdetJdédy\d +4-2mV | NN, detJdédy+c, | N'N, detJdédy pd „F f wow Qo) Qo)

+mV? | NN „ detJdédq—ma | N'N, det Jdédy

Phương trình chuyền động của phân tử tâm được viết gọn lại là

(3.49) trong đó các ma trận khôi lượng, ma trận can, ma trận độ cứng và véc to tải trọng cua phân tử tâm chuyền động được thiết lập như sau

C® =-2mV | NN, detJd£d+c, | NIN,, det Jdédy

+mV? [ N'N,, det Jdéd77-ma | NÌN, det Jdéd77

+k, | NUN, detJdédy—k,, | (NIN,,,,+NIN,,,,) det Jdéd7y

Qe) với (),, Q„ lần lượt là dao hàm bậc nhất và bậc hai theo r; (),, là dao hàm bậc hai theo s.

Trong trường hop khi tai trọng chuyển động đều với vận tốc V = hang số và gia tốc a=0 ta có công thức (3.50) được viết lại là

C° =-2mV | N'N, det Jdédy +c, | NIN, detJdédi

—ky | (NIN,,,,+NIN,,,,)detJdédn—c,V | NIN,,,detJdéd7

Q Qe po = | NTbợứ,s) det Jdéd7

Chú ý răng trong phương pháp MEM thì vị trí của tải trọng là cô định trong hệ tọa độ (r,s) và được được gan tại nút của lưới chia phân tử Do đó, hau hết các phân tử đều không tiếp xúc với tải trọng và véc tơ tải trọng của phan tử P? là véc tơ 0.

Ghép nỗi các ma trận phân tử vào ma trận tong thé thì phương trình chuyên động tong quát của tâm Mindlin được viết dưới dạng quen thuộc là

Md+Cd+Kd=P (3.52) trong đó d, d, d lần lượt là véc tơ chuyển vị, véc tơ vận tôc của chuyển VỊ Và véc to gia toc của chuyén VỊ tong thé của tam; M, C, K lân lượt là ma trận khối lượng, ma trận cản và ma trận độ cứng tong thé của tam Mindlin Như đã trình bày ở trên, trong phương pháp MEM thì tải trọng được gán tại nút của lưới chia phân tử Do đó, trong véc tơ tải trọng tong thé P thì chỉ tại nút được gan tải trọng là có giá trị khác 0 còn hau hết các nút khác thì có giá trị băng 0.

Trong bài toán phân tích ứng xử của tâm chịu tác dụng của tải trọng tĩnh thì phương trình (3.52) trở thành

Kd =P (3.53) Đối voi bai toán phân tích dao động thi tần số dao động tự nhiên của tam được xác định từ bài toan tri riêng (eigenvalue problem) của phương trình

(K-ứ M)d=0 (3.54) với @ là tân sô dao động tự nhiên của tâm.

Trong trường hop bài toán phân tích ứng xử của tam composite và tâm FGM trên nên đàn nhớt Pasternak chịu tải trọng di chuyền thì các ma trận khối lượng, ma trận cản, ma trận độ cứng và véc tơ tải trọng của phân tử tam chuyền động được thiết lập tương tự và trình bày giỗng như công thức (3.50) Tuy nhiên, đối với bài toán tam composite thì điểm khác biệt với bài toán tâm Mindlin là các ma trận vật liệu composite D,,D,D,,D_ và ma trận khôi lượng m lân lượt được tính toán theo công thức (2.66) và (2.67) Đôi với bài toán tâm vật liệu chức năng FGM thì các ma trận vật liệu FGM và ma trận khôi lượng lần lượt tính theo công thức (2.74) và (2.75).

3.3.3 Bài toán tam nhiều lớp trên nên đàn nhót Pasternak chịu tải trọng di chuyển

Tiếp theo, mục nảy trình bày nội dung xây dựng phương pháp phan tử tam nhiều lớp chuyển động (Multi-layer Moving Plate Method- MMPM) cho bài toán phân tích ứng xử của tam nhiều lớp trên nền dan nhớt Pasternak chịu tải trọng di chuyển như thé hiện trên Hình 3.5(a).

Lớp liên kết đu, k, , Cc.

TTT2

VÍ DỤ SÓ MINH HỌA

Trong mục này, các ví dụ số minh họa được trình bày theo trình tự sau: đầu tiên ví dụ số minh họa thuận lợi của phương pháp phân tử chuyển động (Moving Element Method-MEM) so với phương pháp phan tử hữu han (Finite Element Method-FEM) được trình bày Tiếp theo, các ví dụ số minh họa thể hiện áp dụng của phương pháp MEM cho các bài toán phân tích ứng xử của tàu cao tốc sử dụng mô hình 3D tàu-ray- nên, ứng xử của tam Mindlin, tam composite, tắm vật liệu chức năng FGM, tam nhiều lớp trên nền đàn nhớt Pasternak chịu tải trọng di chuyển Các kết quả phân tích được so sánh với các kết quả đã được công bồ của các tác giả khác dé kiểm chứng độ tin cậy của phương pháp Ảnh hưởng của các thông số vật lý khác nhau đến ứng xử của tau cao tốc và ứng xử của các mô hình tắm cũng được khảo sát.

4.2 Thuận lợi của phương pháp MEM so với phương pháp FEM

Trong bài toán này, trước tiên để kiểm chứng độ tin cậy của phương pháp phần tử chuyển động (Moving Element Method-MEM), ứng xử của một dầm ray đặt trên nền đàn nhớt chịu tải trọng di chuyển được khảo sát với các thông số của dầm ray và thông số của nên được lay theo nghiên cứu của Kenney [94] và ray được giả sử là tuyệt đối trơn Doan dầm ray khảo sát có chiều dài L%m chịu tải trọng P00kg di chuyển với vận tốc V %0km/h Dam ray được rời rac với lưới chia phan tử có kích thước 0.1m và bước thời gian phân tích At =0.0005s trong phương pháp Newmark được sử dụng trong bài toán này Các thông số của dầm ray thông số nên và tải trọng được trình bày trong Bảng 4.1.

Bảng 4.1 Thông số của dầm ray và nên (Kenney [94])

Thông số Gia tri Thông số Gia tri Thông số Gia tri E 2x10'' N/m? p 7800kg/mỶ ky 1x10’ N/m?

A 7.69x10”m” I 3.055 x107° m* Cự 2450Ns/mHình 4.1 thé hiện chuyển vị của dầm ray khi vị trí của tải trọng ở giữa dầm Kết quả tính toán trong luận án được so sánh với kết quả của Kenney [94] sử dụng phương pháp giải tích So sánh cho thấy các kết quả khá trùng khớp với nhau thể hiện sự tin cậy của phương pháp và chương trình tính.

Hình 4.1 Chuyển vị của ray dưới tác dụng của tai trọng tập trung di chuyển

Phương pháp phần tử hữu hạn (Finite Element Method-FEM) là phương pháp được sử dụng phổ biến trong các bài toán phân tích ứng xử của kết cấu Tuy nhiên, phương pháp FEM vẫn có hạn chế trong các bải toán liên quan đến phân tích ứng xử của tải trọng di chuyển trên kết cấu có chiều dài lớn (được giả thuyết là vô hạn như dầm ray tàu cao tốc hay kết câu mặt đường) Phương pháp MEM đã khắc phục được hạn chế trên của phương pháp FEM và để minh họa cho tính hiệu quả của phương pháp MEM thì bài toán phân tích ứng xử của dầm ray chịu tải trọng di chuyển được thực hiện và so sánh giữa hai phương pháp Trong phương pháp FEM, dam ray có chiều dài vô hạn được mô hình gom ba phan doan: phan doan dầm chính với tải trọng di chuyển trên đó và hai phân đoạn biên ở hai đầu để tạo điều kiện biên giả chiều dài vô hạn của dầm ray như thể hiện Hình 4.2.

Doan dim bién f Đoạn dam chính Đoạn dâm biên

THẾ đc ĐC SỐ MÔ ĐC MU SỐ MÔ đu ko

Hình 4.2 Mô hình dầm ray trong phương pháp FEMTrong bài toán tai trọng di chuyển trên dầm có chiều dài được giả thuyết là vô hạn thì tại thời điểm ban đầu tải trọng được gan ở vi trí đầu của đoạn dầm chính và di chuyển trên đoạn dầm chính có chiều dai L cần đủ lớn để đạt được ứng xử ở trạng thái ôn định Hình 4.3 thể hiện kết quả khảo sát sự hội tụ và ôn định của chuyển VỊ ray ngay phía dưới vị trí của tải trọng khi chiều dài L của đoạn dầm chính thay đổi Thông số của nén và dam ray được trình bày trong Bảng 4.1 và tải trọng P00kg di chuyển với vận tốc V = 20m/s (72 km/h) Kết quả trên Hình 4.3 thé hiện với chiều dài của đoạn dam chính Lm là đủ để chuyền vị hội tụ và ôn định.

Chuyên vi của dam tai vi tri tải trọng (mm)

Hình 4.3 Sự hội tụ và 6n định của chuyển vị ray ngay phía dưới vi trí tải trọng khi chiều dài L của đoạn dầm chính thay đổi Tiếp theo, bài toán khảo sát ảnh hưởng của chiều dai L của hai đoạn dầm biên (mô hình điều kiện biên giả chiều dài vô hạn của dầm ray) đến sự hội tụ của chuyền vị khi tải trọng di chuyển đến cuối đoạn dầm chính được thực hiện và trình bày như trên Hình 4.4 và Bang 4.2 Kết quả thể hiện là với chiều dài đoạn dầm biên 7, m thì đủ để mô hình điều kiện biên giả chiều dài vô han của dầm ray và cho kết quả chuyên vị của ray tại cuối đoạn dam chính hội tụ Từ hai bài toán khảo sát trên ta rút ra nhận xét như sau: trong bài toán phân tích ứng xử của dầm ray được giả thuyết là có chiều dài vô hạn sử dụng phương pháp FEM thì mô hình tính toán của dầm ray cần phải có tổng chiều dài ít nhất là 30m Trong đó, mô hình gồm có ba phân đoạn: phân đoạn dầm chính dài 7= 10m tải trọng di chuyển trên đó và hai phân đoạn dầm biên 7, m để mô hình điêu kiện biên giả chiêu dài vô hạn của của ray. chính (mm) G2 i) -"

Chuyên vi tai diém cuôi đoạn dâm G2 =nN *- - ~+- - ©— - + - -¢ - -¢

Chiéu dai doan dam bién L, (m)

Hình 4.4 Ảnh hưởng của chiều dai đoạn dầm biên L đến chuyền vị của ray khi tai trong di chuyên đến cuối đoạn dâm chính trong phương pháp FEM

Bảng 4.2 Ảnh hưởng của chiêu dài đoạn dâm biên 7, đến chuyền vị ray khi tải trọng di chuyển đến cuối đoạn dầm chính trong phương pháp FEM

Chiêu dài L¡ Chuyên vi Sai khác % so với (m) (mm) chiều dải L;m

Tuy nhiên, trong phương pháp phan tử chuyển động (Moving Element Method- MEM) vì tải trọng là đứng yên nên khắc phục được vấn đề tải trọng di chuyển đến biên của mô hình tính toán Do đó, thuận lợi của phương pháp MEM là mô hình tính toán của ray chỉ cần một phân đoạn dam chính với tải trọng là cố định được gan ở giữa dầm và không cần hai phân đoạn dầm biên Chiều dài của đoạn dầm ray trong mô hình tính toán cần phải đủ lớn dé ảnh hưởng của điều kiện biên đến ứng xử của ray tại vị trí đặt tải trọng là không đáng kể Hình 4.5 và Bảng 4.3 thể hiện ảnh hưởng của chiều dài đoạn dầm ray trong mô hình tính toán đến chuyển VỊ O giữa ray (vi tri gan tai trong) trong phương pháp MEM Kết qua cho thay mô hình tính toán của dam ray với chiều dài L m là đủ dé cho kết qua hội tụ.

Go io tai VỊ tri tai trong (mm) _~— ©~— + —— ©-¢ -0-— +

~ én vi ở giữa ray -3.7 & nO WwW B ` ° A

Chiều dài của mô hình dầm ray L (m)

Hình 4.5 Ảnh hưởng của chiều dài đoạn dầm ray trong mô hình tính toán đến chuyển

VỊ Ở giữa ray (vi tri gan tải trọng) trong phương pháp MEM

Bảng 4.3 Ảnh hưởng của chiêu dài đoạn dầm ray trong mô hình tính toán đến chuyển vi Ở giữa ray (vi tri gan tải trọng) trong phương pháp MEM

Chuyến Sai khác % Sai khác % Chiêu dai tg Chiềudài Chuyến vị eax

L(m) VỊ sọ với chiêu L(m) (mm) sọ với chiêu

Tiếp đến, bài toán phân tích về độ chính xác giữa phương pháp MEM và phương pháp FEM được thực hiện Hình 4.6 thể hiện kết quả chuyền vị của dầm ray phía dưới tải trọng theo thời gian trong phương pháp MEM và phương pháp FEM Kết quả cho thay phương pháp FEM cho kết quả tính toán kém chính xác hon so với phương pháp MEM khi các phan tử được rời rac với kích thước băng nhau (trường hop phan tử có kích thước 0.5m).

Nguyên nhân kém chính xác của phương pháp FEM được giải thích như sau: khi tải trọng di chuyển thì vị trí của tải trọng thường xuyên năm trên phan tử hơn là tác dụng ngay tại nút Khi tải trọng tác dụng trên phan tử, thì tải trong sẽ được quy đổi tương đương về lực tác dụng lên nút thông qua việc sử dụng các phương trình hàm dạng Mặc dù lực quy đôi về nút tương đương với lực tác dụng lên phan tử, nhưng sự phân bố của lực cắt ở vùng lân cận vi tri của tải trọng không thể đạt được chính xác khi sử dung hàm dạng nội suy Hermite bậc 3 Do đó, chuyển vị trong phương pháp FEM khi tải trọng đặt trên phan tử có sự sai khác với khi tai trong đặt tại nút.

B —— MEM (Kích thước phan tử 0.5m)

5D | TT FEM (Kích thước phần tử 0.5m) s -3.390 Ƒ —— FEM (Kích thước phan tử 0.1m)

5 PPA Pa Pa Parad Pag

Hình 4.6 Chuyén vi tại vị trí tải trọng theo thời gian

Hạn chế trên có thé khắc phục băng cách rời rạc các phan tử với lưới chia nhỏ hơn dé vi trí của tải trọng luôn ở gần nút của phan tử hơn Như thé hiện trên Hình 4.6, khi kích thước phan tử nhỏ hơn (trường hợp phan tử có kích thước 0.1m) thì kết qua tính toán của phương pháp FEM và MEM tiến tới gần nhau hơn Tuy nhiên thời gian tính toán sẽ tăng đáng kế do lưới chia các phần tử nhỏ hơn Bảng 44 trình bày thời gian phân tích của phương pháp FEM và phương pháp MEM thực hiện trên cùng một chương trình Matlab R2014a với CPU Intel core I7-4790 3.6GHz và bộ nhớ Ram 32GB DDR3.

Bảng 4.4 Thời gian phân tích của hai phương pháp FEM và MEM

Phương Chiêu dài Kíhthước Sốphần Thời gian pháp dầm ray(m) phần tử(m) tử phân tích (s)

Két qua so sanh thé hiện, dé dat được độ chính xác tương đương nhau thì mô hình tính toán của dầm ray trong phương pháp FEM có tong chiều dai là 30m với lưới chia phần tử có kích thước 0.1m va tổng thời gian phân tích là 8.365s Tuy nhiên, trong phương pháp MEM thi mô hình tính toán của dầm ray chỉ cần chiều dải là 20m với lưới chia phần tử có kích thước 0.5m và tổng thời gian phân tích là 0.87s Điều này thể hiện là phương pháp MEM có ưu điểm hơn so với phương pháp FEM về độ chính xác và tính hiệu quả.

4.3 Phân tích ứng xử của tàu cao tốc với mô hình 3D tàu-ray nên

Trong mục nảy các ví dụ số minh họa áp dụng của phương pháp MEM cho bài toán phân tích ứng xử của tàu cao tốc sử dụng mô hình 3D tàu-ray-nền được thực hiện.

Các ví dụ số được trình bày như sau

> Bài toán 1: Khảo sát sự hội tụ, 6n định và độ tin cậy của phương pháp

> Bài toán 2: Khảo sát ảnh hưởng của vận tốc và độ gồ ghé của ray

> Bài toán 3: Khảo sát ảnh hưởng của vận tốc và độ cứng nên

Các thông số chung của ray, nền va thân tàu lần lượt được thé hiện ở Bang 4.5 đến Bảng 4.8 và những thông số riêng được ghi rõ trong từng bài toán.

Bảng 4.5 Thông số của ray UIC 60 (Jin và cộng sự [95])

Mô tả Ký hiệu Gia tri Don vi

Khoi lượng trên một don vi chiều dài cân ra 60 kg/m

Môđun dan hồi của ray E 2.1x10" kg/m”

Ban kinh dinh ray ailproof 0.3 m Mémen quán tinh của ray 11,12:12,T, — 3217x107; 5.24x10” m* Độ cứng của nên ki’ ks kk 1x10’; 5.5x10° N/m Hệ số cản của nền coe 4900; 3600 Ns/mr1? r2? “rl? r2

Bang 4.6 Thông số độ gỗ ghê của ray (Ang và cộng sự [28])

Mức độ Biên độ gô ghê Don vi Gan như tron (Near smooth) 0.01 mm

Bảng 4.7 Thông số của tàu (Jin và cộng sự [95])

Mô tả Ký hiệu Giá trị Đơn vị

Khối lượng thân tàu mM, 14000 kg Mômen quán tinh thân tàu là 38000 kg.m”

Khối lượng giá chuyển m, 1000 kg hướng

Momen quấn tớnh giỏ /: rằ r: 2260, 3160, 2710 kgm? chuyên hướng Độ cứng của hệ thông treo km, Koy 150000, 252000 N/m phụ Hệ số cản của hệ thống Ns/m treo phụ Coy Coy 60000, 17740 Độ cứng của hệ thống treo kim, Kiy> Airy 58x 10°, 126x10*, 60x10* N/m chinh

Hệ số cản của hệ thống c,,, Gy Ci, 10000, 14200, 40000 Ns/m treo chính Khụi lượng của bỏnh xe MM,ằ 700 kg Goc hinh con cua banh xe Z 0.125 rad Bán kính bánh xe l heel 0.46 m

Momen quan tinh cua Daly 915,915, kom bánh xe PoP, 915,915 Š- hy, hy, hy, 1.145, 0.081, 0.14,

Các thông sô chiêu dai bạ, b, by, 1 0.7465, 0.978, 1.21, 1.2

Bang 4.8 Hé số Kalker (Jin va cộng sự [95])

Hệ sé Gia tri Don vi tia 9.43x10° N fo 120 N.m

4.3.1 Bài toán 1: Khảo sát sự bội tụ, Ổn định và độ tin cậy của phương pháp 4.3.1.1 Khao sát sự hội tu theo lướt chia phần tir

TE EPEPS PSE

| y 6x25m 5xIm 10x0.5m 120x0.2m 10x0.5m 5xIm 6x2.5m x Điểm t3 Điểm ttl

Hình 4.8 Mô hình rời rac dầm ray sử dung cho các bai toán khảo sát trong luận án

Bảng 4.9 Chuyển vị tại điểm tương tác 1 khi thay đối lưới chia đoạn 7,

` Đoạn So phân x ,„ lông sô aon ney Truong hop ra tử phân tử hẳn tử tại điểm ttl VỚI trường y (m) F (mm) hop 4 (%)

Bang 4.10 Chuyén vi tại điểm tương tác 1 khi thay đổi lưới chia đoạn L,

` Đoạn Số phan Chiều dài Tổng số Chuyên VỊ ray Sai khác

Trường hợp ra tử phân tử hàntửự KH diém ttl với trường l (my (mm) hợp 4 (%) hị 150 0.1

Bảng 4.11 Chuyên vị tại điểm tương tác 1 khi thay đối lưới chia đoạn L,

` Đoạn So phan Nể 2 ụng sụ gk ơ Trường hợp " tử phân tử han tử tại điểm tt] VỚI trường ¿ (m) Ÿ (mm) hợp 4 (%)

L, 2 2.5 AAA 2.5201 0%

Ky Lih 10x10 20x20 30x30 40x40 el co

Bang 4.19 Tan số dao động khụng thứ nguyờn ứ” của tấm Mindlin vuụng tựa đơn bốn cạnh trên nên Pasternak

Hệ số nền Ti số MEM (lưới chia N x N ) Tai va Sai

Ky Lih 10x10 20x20 30x30 _ tà

4.4.2 Bài toán 2: Tam Mindlin dưới tác dụng của tải trọng chuyển động déu 4.4.2.1 Kiểm chứng độ tin cậy của phương pháp

Trước tiên, để kiểm chứng độ tin cậy của phương pháp thì bài toán khảo sát ứng xử của tam dưới tác dụng của tải trọng chuyên động đều được thực hiện va so sánh với kết quả đã được công bố của Huang và Thambiratnam [14] sử dụng phương pháp giải tích Trong bài toán nay, mô hình tam đặt trên nên đàn hỏi với hai cạnh ngăn có biên tựa đơn cô định và hai cạnh dài có biên tự do được khảo sát (Hình 4.15) Tam có chiều dài L, rộng Bm và dày h=0.3m đặt trên nên đàn hồi với hệ số độ cứng nền k„„ =1x10’N/m’, hệ số kháng cat nên k„ =0N/m và hệ số cản của nên c, = 0Ns/m”.

Tải trọng tập trung P°N chuyển động đều với vận tốc V m/s tác dụng tại tâm tắm.

Hình 4.15 Mô hình tắm chịu tải trọng tập trung P di chuyển

Trong các bài toán phân tích ứng xử của nền đường chịu tải trọng di chuyển thì kết cau mặt đường được mô hình là tam được giả thuyết có chiều dai vô hạn chịu tải trong di chuyển Vi vậy, mô hình tính toán của tam trong phương pháp phan tử chuyển động (Moving Element Method-MEM) phải có chiều dai đủ lớn dé mô hình chiều dài vô hạn và khi đó ảnh hưởng của điều kiện biên ở hai đầu của tam là không đáng kẻ.

Bảng 4.20 thể hiện kết quả khảo sát hội tụ của chuyển vị tại tâm tam (vị trí đặt tải trọng) khi chiều dai L của mô hình tính toán của tấm thay đối Hình 4.16 thé hiện chuyền vị trên trục qua trọng tâm tâm theo phương x khi chiều dài của mô hình tính toán của tam thay đối Kết quả thể hiện, mô hình tính toán của tấm với chiều dai L0m là đủ để cho kết quả chuyển vị hội tụ và kích thước này được sử dụng cho các bài toán khảo sát tiếp theo trong luận án.

Bảng 4.20 Hội tụ của chuyển vị tại tâm tắm khi chiều dài L của mô hình tính toán của tam thay đổi x10°mm Chiều dài của mô hình tính toán của tam L(m)

Hình 4.16 Chuyển vị của tâm trên trục qua trọng tâm tâm theo phương cạnh dài khi chiêu dài của mô hình tính toán của tâm thay đôi

Tiếp theo, sự hội tụ của chuyển vị theo lưới chia phan tử và bước thời gian tinh toán At được khảo sát Bài toán được thực hiện trên chương trình Matlab R2014a với cầu hình máy tính CPU Intel core I7-4790 3.6GHz và bộ nhớ Ram 32GB DDR3 Vi giới hạn của cầu hình máy tính nên bài toán chỉ thực hiện được đến mức lưới chia45x15 phan tử Bảng 4.21 thé hiện kết quả chuyển vị hội tụ khá tốt theo lưới chia phân tử và kết quả chuyến vị đạt được với mức lưới chia 30x10 phan tử không sai khác nhiều (0.296%) với các lưới chia min hơn Vì giới hạn của cau hình máy tính nên mức lưới chia 30x10 phần tử được sử dụng cho bài toán khảo sát tiếp theo.

Bảng 4.21 Hội tụ của chuyền vị tại tâm tam theo các mức lưới chia phần tử x10mm

Sai khác (%) so với ơ 46.120% 18.870% 7.663% 0.296% lưới chia 45x15

Bang 4.22 và Bang 4.23 thé hiện hội tu của chuyén vi tại tâm tam theo bước thời gian tính toán Ar và theo giá trị sai số cho phép 7 Kết quả cho thấy bước thời gian At và giá trị sai số cho phép z không ảnh hưởng đến kết quả tính toán trong bai toán này (trường hợp tải trong là hăng số chuyển động đều trên tam và không xét độ gd ghé của bê mặt tam).

Bang 4.22 Hội tụ của chuyền vị tại tâm tam khi thay đổi bước thời gian tính toán x10°mm

Sai khac (%) so với At = 0.001s

Truong hop Bước thời gian At(s) Chuyến vị (mm)

Bảng 4.23 Hội tụ của chuyển vị theo giá trị của sai số cho phép z x10°mm

Sai sé cho phép Chuyển vitai Sai khác (%) so

Trường hợp 7 tâm tắm (mm) với z° ù ¡02 -4.7837

Nguyên nhân bước thời gian tính toán Ar và giá trị sai số cho phép z không ảnh hưởng đến kết quả chuyền vị được giải thích là: khi tải trọng chuyển động đều (V hăng số) thì các ma trận khối lượng M, ma trận cản C, ma trận độ cứng K trong công thức (3.77) của phương pháp Newmark là không thay đối theo thời gian Bên cạnh đó, khi lực kích thích là hăng số (tải trọng là hằng số và không xét độ gô ghê của bê mặt tâm) thì véc tơ tải trọng P trong công thức (3.77) cũng không thay đối theo thời gian Trong phương pháp Newmark tìm nghiệm ở dạng chuyền vi thì tại thời điểm ban dau ( =0), vận tốc và gia tốc của chuyền vị được giả thuyết là d, =0 và d, =0.

Khi đó, chuyên vị tại thời điểm ban đầu được xác định là d, =P,/K Tại thời điểm tiếp theo, thế d, =0, d, =0 va P =P, (vec to tải trọng không thay đối theo thoi gian) vào phương trình (3.80), khi đó chuyên vi tại thời điểm tiếp theo được xác định từ công thức (3.79) là d, =d, (nhận thấy răng chuyền vị không thay đôi tại bước thời gian tiếp theo) Thế d, =d, vào cong thức (3.78) thi vận tốc và gia tốc của chuyền vị tại thời điểm tiếp theo lần lượt là d, =0 va d, =0 Tương tu, tại các bước thời gian tiếp theo ta luôn được kết quả như sau: d,,, =d, =d,,d,,,=d, =0 và d ,=d =0. Điêu này có thé rút ra nhận xét như sau: đối với các bài toán phân tích ứng xử của kết cau dưới tác dụng của lực kích thích không đổi chuyên động déu sử dụng phương pháp MEM thì các thành phân vận tốc và gia tốc trong phương trình vi phân chuyên động của kết câu có giá trị băng 0 Nhờ đó, khi giải phương trình vi phân chuyên động ta không cân thiết tính tích phân theo từng bước thời gian và nhận xét này cũng trùng khớp với kết luận trong nghiên cứu của Xu và cộng sự [27] Đây là một thuận lợi của phương pháp MEM so với phương pháp FEM trong bài toán phân tích ứng xử của kết câu dưới tác dụng của lực kích thích không đối chuyên động đều thì không cân phải tích phân theo từng bước thời gian và bài toán sẽ được giải quyết nhanh hơn cũng như tiết kiệm chi phí tính toán.

Hình 4.17 thể hiện chuyển vị của tâm theo phương x khi tải trọng đặt tại tâm tam và Hình 4.18 thé hiện trường chuyền vi 2D và phối cảnh 3D chuyên vi của tam Kết quả tính toán trong luận án sử dụng phương pháp MEM khá trùng khớp với kết quả đã

Lá õ của Huang và Thambiratnam [14] sử dụng phương pháp dãy hữu han va được công b

2 điêu này kiêm chứng độ tin cậy của phương pháp.

9 = = =th là là là

KET LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIEN

Luận án này đã phát triển một phương pháp phan tử chuyển động (Moving Element Method - MEM) cho một số bài toán động lực học kết cầu chịu tải trọng di động Y tưởng phương pháp, cơ sở lý thuyết, các công thức tương ứng và thuật toán phân tích ứng xử động kết cầu trong bài toán này cũng được thực hiện hoàn chỉnh Độ tin cậy và tính hiệu quả của phương pháp này cũng đã được kiểm chứng Ảnh hưởng của các thông số vật lý quan trọng đến ứng xử động của kết cau cũng đã được khảo sát So với nội dung dé cương được thông qua, nghiên cứu sinh đã hoàn thành được nhiệm vụ nghiên cứu.

Qua các kêt quả đạt được trong luận án, một sô kêt luận được rút ra và đề xuât hướng phát triển của luận án được trình bày sơ lược như sau 5.1 Kết luận

1 Luận án đã phát triển được phương pháp phan tử chuyển động áp dung cho bai toán phân tích ứng xử của tàu cao tốc với mô hình không gian ba chiều đầy đủ gôm có tau-ray-nén Phương pháp này được thiết lập cho mô hình 2 dam đường ray chịu tác dụng của thân tàu di chuyển với mô hình không gian Với phương pháp được phát triển trong luận án, bài toán này đã được giải quyết với khá nhiều thông số ảnh hưởng đến ứng xử của tàu cao tốc đều được khảo sát chỉ tiết Điểm khác biệt trong phan này là mô hình 3D tau-ray-nén đã khảo sát được ảnh hưởng chỉ tiết hơn mà các mô hình ID tau-ray-nén trong các nghiên cứu trước đây không thể khảo sát được.

2 Luận án đã phát triển được phương pháp phan tử chuyển động áp dụng cho một số bài toán tắm trên nền đàn nhớt chịu tải di động Các kết cầu tam được dé cập trong luận án là tắm dày Mindlin, tắm vật liệu composite, tam vật liệu chức năng với phan tử tam chuyển động được áp dụng để giải quyết Ngoài ra, với bài toán tắm nhiều lớp trên nên đàn nhớt chịu tải di động luận án cũng thiết lập được phan tử tam nhiều lớp chuyển động (Multi-layer Moving Plate Method-MMPM) để giải quyết bai toán nay Phương pháp phan tử tam nhiều lớp chuyển động đã khảo sát được ứng xử đồng thời của mô hình tam nhiều lớp mà các nghiên cứu trước đây chưa thực hiện được Cac công thức chi tiết, thuật toán giải quyết và tiến hành phân tích tích số đều đã được thực hiện Hầu hết các thông số vật lý quan trọng ảnh hưởng đến ứng xử động của tâm được phân tích rõ ràng và độ chính xác của phương pháp này cũng được thê hiện rõ.

Phương pháp phan tử chuyến động được phát triển trong luận án có những ưu điểm như sau: một là, khắc phục được khó khăn của phương pháp phan tử hữu hạn truyền thống về việc tải trọng di chuyến đến biên của mô hình tính toán trong các bài toán liên quan đến tải trọng di chuyển trên kết cau có chiều dai lớn (được giả thuyết là vô hạn); hai là, tai trọng sẽ cỗ định trong lưới chia phan tử chuyển động nên tránh được việc phải cập nhật vị trí của tải trọng theo bước thời gian; ba là, mô hình kết cầu có thể rời rạc với lưới chia không đều nhau; bón là, số lượng các phan tử trong phương pháp phan tử chuyển động không phụ thuộc vào quãng đường di chuyền của tải trọng Nhờ đó, thời gian tính toán va chi phí tính toán của phương pháp phan tử chuyên động ít hơn phương pháp phân tử hữu hạn truyền thống.

Bên cạnh những ưu điểm được trình bay ở trên thì phương pháp phan tử chuyển động cũng có những hạn chế như sau: một là, khi tải trọng chuyển động có gia tốc hay là kết cau có xét ứng xử phi tuyến thì chi phí thời gian tính toán tăng lên do các ma trận độ cứng, cản của phan tử thay đổi và phải cập nhật theo từng bước thời gian tính toán Hai là, đối với bài toán cần khảo sát ứng xử của kết cấu khi tải trọng di chuyển đến biên thì phương pháp phần tử chuyển động không thực hiện được.

Qua các bài toán khảo sát ứng xử của mô hình 3D tàu cao tôc và các bài toán khảo sát ứng xu của các mô hình tam, một sô kêt luận quan trọng được rút ra như sau: e Đối với bai toán phân tích ứng xử của tàu cao tốc thì vận tốc của tau va độ gd ghé của ray là nhân tố chính ảnh hưởng đến ứng xử động của tàu cao tốc Ứng xử động của tàu sé tăng khi vận tốc tàu lớn và ray gồ ghé.

Trong trường hợp ray trơn thi ứng xử động của tau sẽ giảm đáng kế Lưu ý rang, khi vận tốc tàu thay đổi với các bước sóng gỗ ghé khác nhau của ray thì sẽ có một giá trị mà tại đó xảy ra hiện tượng cộng hưởng làm cho ứng xử động của tàu tăng đột ngột gây ra hiện tượng nấy bánh xe ảnh hưởng đến an toàn của tàu Hiện tượng cộng hưởng xảy ra khi tần số của lực tác động (băng tỉ sô của vận tôc tàu trên bước sóng gô ghê của ray) băng với tần số dao động riêng của bánh xe Vì vậy, trong quá trình thiết kế và sử dụng cần lưu ý đến hiện tượng cộng hưởng nay dé đảm bảo an toàn cho tàu cao tốc Bên cạnh đó, ảnh hưởng của sự khác biệt các thông số giữa hai ray (độ g6 ghé va độ cứng nền) đến ứng xử động của tàu là khá rõ rệt Do đó, trong quá trình chế tạo và vận hành tàu cao tốc cần phải hạn chế đến mức thấp nhất các nguyên nhân này. e Đối với bài toán khảo sát ứng xử của các mô hình tắm, một số nhận xét quan trọng được rút ra là: một là, khi khảo sát mô hình tắm dày trên nền đất thì lý thuyết tắm dày Mindlin và mô hình nền Pasternak sẽ cho kết quả tính toán gần đúng với thực tế hơn so với lý thuyết tắm mỏng Kirchhoff và mô hình nền Winkler Vì vậy, nên sử dụng mô hình tắm dày Mindlin trên nền Pasternak cho các bài toán này Hai là, đối với tắm composite thì cách sắp xếp hướng soi của các lớp có ảnh hưởng rất lớn đến ứng xử động của tam và ta có thé lựa chọn cách sắp xếp sao cho ứng xử của tam là tối ưu nhất Thông qua bài toán khảo sát cho thấy là hướng sợi sắp xếp không đối xứng sẽ tối ưu hơn khi sắp xếp đối xứng Ba là, đối với tam FGM thi chỉ số tỉ lệ thé tích và môđun đàn hôi của vật liệu là hai nhân tô quan trọng ảnh hưởng đến ứng xử của tam Xu hướng chung là: chuyển vị của tam tăng khi chỉ số tỉ lệ thể tích tăng và chuyển vị của tam giảm khi giá tri modun đàn hồi của vật liệu tăng Trong thực tẾ, ta có thể lựa chọn giá trị của hai yếu tố này để đạt được các yêu cầu của thiết kế Bón là, đối với mô hình tắm nhiều lớp thì ứng xử của tâm bên trên và tắm phía dưới là khác nhau rõ rệt Qua bài toán khảo sát cho thay tam bên trên chịu ảnh hưởng nhiều hơn tam phía dưới Vì vậy, trong quá trình thiết kế ta có thể lựa chọn chiều dày và vật liệu tương ứng của các lớp hợp lý nhất dé đảm bảo điều kiện chịu lực và kinh tế.

5.2 _ Hướng phát triển Qua các kết quả đã đạt được, luận án đề xuất các hướng sau để phát triển

1 Xây dựng và phát triển phương pháp phan tử chuyển động cải tiễn để khắc phục van dé ma trận độ cứng va ma trận can của phan tử thay đối theo từng bước thời gian trong trường hợp bài toán tải trọng chuyển động có gia tốc hay bài toán liên quan đên ứng xử phi tuyên của kêt câu là cân thiệt.

2 Khi xe di chuyển trên mặt đường hay máy bay di chuyển trên đường băng thì xe và máy bay là hệ có nhiều bậc tự do và mặt đường thi gồ ghé chứ không luôn phang; Vì vậy, phát triển phương pháp này dé áp dụng cho bài toán phân tích ứng xử tắm dưới tác dụng của hệ dao động di động với nhiều bậc tự do hơn có xét độ gồ ghé của mặt đường.

DANH MỤC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BÓ Đăng trên tạp chi quốc tế thuộc ISI:

1 Van Hai Luong, Tan Ngoc Than Cao, JN Reddy, Kok Keng Ang, Minh Thi Tran, Jian Dai, ''Static and dynamic analysis of Mindlin plates resting on viscoelastic foundation by using moving element method", /nternational Journal of Structural Stability and Dynamics, vol 18 (11), pp 1850131-1-

2 Tan Ngoc Than Cao, Van Hai Luong, Hoang Nhi Vo, Xuan Vu Nguyen, Van Nhut Bui, Minh Thi Tran, Kok Keng Ang, "A moving element method for the dynamic analysis of composite plate resting on a Pasternak foundation subjected to a moving load", International Journal of Computational Method, vol.15(3), pp 1850124-1-1850124-19 (19 pages), 2018 (Impact Factor IF=1.053).

3 Tan Ngoc Than Cao, JN Reddy, Kok Keng Ang, Van Hai Luong, Minh Thi Tran, Jian Dai, "Dynamic analysis of three-dimensional high-speed train-track model using moving element method", Advances in Structural Engingeering, vol 21(6), pp 862-876, 2017 (IF:0.829) Đăng trên tap chi trong nước:

4 Cao Tấn Ngọc Thân, Luong Văn Hải, "Phân tích ứng xử động kết cau dầm trên nền Pasternak dưới tác dụng của tải trọng chuyển động không đều sử dung phương pháp phan tử chuyển động cải tiễn", Người Xây Dựng, số thang 3&4, trang 39:44, 2018.

5 Cao Tan Ngoc Than, Do Duy Minh, Luong Van Hai, Tran Minh Thi, "MovingMulti-Layer Plate Method for Dynamic Analysis of Pavement StructureSubjected to Moving Load", Journal of Science Ho Chi Minh City OpenUniversity, vol 20(4), pp 3-13, 2016.

TAI LIEU THAM KHAO

"China proposes to fund and build high-speed rail line from Beijing to Vancouver," [Online] Available: http://www english.urjakhabar.com/rail-ways/

"The study of the core concept of safety culture in highway engineering construction projects," [Online] Available: http://hrres.com/article/the-study- of-the-core-concept-of-safety-culture-in-hi ghway-engineering-construction- projects-new-research-engineer-en gineering-highway [Accessed 12 12 2016].

"Perth International Airport, Western Australia: Runway To Be Closed Temporarily," [Online] Available: https://www newsmaritime.com/2016/perth- international-airport-western-australia-runway-closed-temporarily/ [Accessed 29 03 2016].

P M Mathews, "Vibrations of a beam on elastic foundation," Journal of Applied Mathematics and Mechanics, vol 38, pp 105-115, 1958.

P M Mathews, "Vibrations of a beam on elastic foundation I," Journal of Applied Mathematics and Mechanics, vols 39(1-2), pp 13-19, 1959.

L Jezequel, "Response of periodic systems to a moving load," Journal of Applied Mechanics (ASME), vol 48, pp 613-618, 1981.

A M Trochanis, R Chelliah and J Bielak, "Unified approach for beams on elastic foundations under moving loads," Journal of Geotechnical Engineering, vol 112, pp 879-895, 1987.

S M Kim and J Roesset, "Moving loads on a plate on elastic foundation,"

Journal of Engineering Mechanics, vol 124, pp 1010-1017, 1998.

S.M Kim, "Buckling and vibration of a plate on elastic foundation subjected to in-plane compression and moving loads," International Journal of Solids and Structures, vol 41, pp 5647-5661, 2004.

L Sun, "Dynamic of plate generated by Moving Harmonic Loads," Journal of Applied Mechanics, vol 72, pp 772-777, 2005.

J A Puckett and G J Lang, "Compound strip method for free vibration analysis of continuous plates," Journal of Engineering Mechanics, vol 112, no.

S.C Fan and Y K Cheung, "Flexural free vibrations of rectangular plates with complex support conditions," Journal of Sound and Vibration, vol 93, no 1, pp 81-94, 1984.

M H Huang and D Thambiratnam, "Analysis of plate resting on elastic supports and elastic foundation by finite trip method," Computer and Structures, vol 79, pp 2547-2557, 2001.

M H Huang and D Thambiratnam, "Dynamic response of plates on elastic foundation to moving loads," Journal of Engineering Mechanics, vol 128, no.

M H Huang and D Thambiratnam, "Deflection response of plate on winkler foundation to moving accelerated loads," Engineering Structures, vol 23, pp.

F V Filho, "Finite element analysis of structures under moving loads," Shock and Vibration Digest, vol 10, no 8, pp 27-35, 1978.

J Hino, T Yoshimura and N Ananthanarayana, "Vibration analysis of nonlinear beams subjected to moving load using the finite element method,"

Journal of Sound and Vibration, vol 100, no 4, pp 477-491, 1985.

J Hino, T Yoshimura, K Konishi and N Ananthanarayana, "A finite element method prediction of the vibration of a bridge subjected to a moving vehicle load," Journal of Sound and Vibration, vol 96, no 1, pp 45-53, 1984.

M Olsson, "Finite element modal co-ordinate analysis of structures subjected to moving loads," Journal of Sound and Vibration, vol 99, no.

D Thambiratnam and Y Zhuge, "Dynamic analysis of beams on an elastic foundation subject to moving loads," Journal of Sound and

D Thambiratnam and Y Zhuge, "Finite element analysis of track structures," Journal of Microcomputers in Civil Engineering, vol 8, no 6,pp 467-476, 1993.

D M Yoshida and W Weaver, "Finite element analysis of beams and plates with moving load," International Association for Bridge and Structural Engineering, vol 31, pp 179-195, 1971.

J.S Wu, M.L Lee and T S Lai, "The dynamic analysis of a flat plate under a moving load by finite element method," International Journal for Numerical Methods in Engineering, vol 124, pp 1010-1017, 1987.

C.G Koh, J.S Y Ong, D K H Chua and J Feng, "Moving element method for train-track dynamics," International Journal for Numerical Methods in Engineering, vol 56, pp 1549-1567, 2003.

C G Koh, P P Sze and T T Deng, "Numerical and analytical methods for inplane dynamic response of annular disk," Jnternational Journal of Solids and Structures , vol 43, pp 112-131, 2006.

C G Koh, G H Chiew and C C Lim, "A numerical method for moving load on continuum,” Journal of Sound and Vibration , vol 300, pp 126-138, 2007.

W.T Xu, J H Lin, Y H Zhang, D Kennedy and F W Williams, "2D moving element method for random vibration analysis of vehicles on Kirchhoff plate with Kelvin foundation," Latin American Journal of Solids and Structures , vol.

K K Ang, D Jian, M T Tran and V H Luong, "Analysis of high-speed rail accounting for jumping wheel phenomenon," International Journal of Computational Methods, vol 11, pp 1343007(1-12), 2014.

M T Tran, K K Ang and V H Luong, "Vertical dynamic response of non- uniform motion of high-speed rails," Journal of Sound and Vibration, vol 333, pp 5427-5442, 2014.

M T Tran, K K Ang, V H Luong and J Dai, "High-speed trains subject to abrupt braking," Vehicle System Dynamics: International Journal of Vehicle Mechanics and Mobility, vol 54, no 12, pp 1715-1735, 2016.

M.T Tran, K K Ang and V H Luong, "Dynamic response of high-speed rails due to heavy braking," Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers,Part F: Journal of Rail and Rapid Transit, vol 231, no 6, pp 701-716, 2017.

M T Tran, K K Ang and V H Luong, "Multiple-railcar high speed train subject to braking," International Journal of Structural Stability and Dynamics, vol 17, no 07, pp 1750071 (1-31), 2017.

M T Tran, K K Ang and V H Luong, "Vertical dynamic response of high- speed rails during sudden deceleration,” International Journal of Computational Methods, vol 14, no 01, pp 1750014 (1-24), 2017.

A Leissa and Y Narita, "Vibration studies for simply supported symmetrically laminated rectangular plates,

K Liew, "Solving the vibration of the thick symmetric laminates by Reissner/Mindlin plate theory and the P-Ritz method," Journal of Sound and Vibration, vol 198, no 3, pp 343-360, 1996.

K Liew, Y Huang and J Reddy, "Vibration analysis of symmetrically laminated plates based on FSDT using the moving least squares differential quadrature method," Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol 192, pp 2203-2222, 2003.

A Ferreira, C Roques and R Jorge, "Free vibration analysis of symmetric laminated composite plates by FSDT and radial basis funtions," Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol 194, pp 4265-4278, 2005.

P Malekzadeh, A R Fiouz and H Razi, "Three-dimensional dynamic analysis of laminated composite plates subjected to moving load," Composite Structures, vol 90, pp 105-114, 2009.

E Ghafoori and M Asghari, "Dynamic analysis of laminated composite plates traversed by a moving mass based on a first-order theory,"

T Nguyen-Thoi, P Phung-Van, H Nguyen-Xuan and C Thai-Hoang, "A cell-

Composite based smoothed discrete shear gap method using triangular elements for static and free vibration analysis of Reissner-Mindlin plates," International Journal for Numerical Method in Engineering, vol 17, pp 705-741, 2012.

H Luong-Van, T Nguyen-Thoi, C R Liu and P Phung-Van, "A cell-based smoothed finite element method using three-node shear locking free Mindlin plate element (CS-FEM-MIN3) for dynamic response of laminated composite plates on viscoelastic foundation,"

P Phung-Van, T Nguyen-Thoi, H Luong-Van, C Thai-Hoang and H Nguyen- Xuan, "A cell-based smoothed discrete shear gap method (CS-FEM-DSG3)

Engineering Analysis with Boundary using layerwise deformation theory for dynamic response of composite plates resting on viscoelastic foundation," Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol 272, pp 138-159, 2014.

H H Phan-Dao, H Nguyen-Xuan, C Thai-Hoang and T Nguyen-Thoi, "An edge-based smoothed finite element method for analysis of laminated composite plates," International Journal of Computational Methods, vol 10, no 01, pp 1340005 (1-27), 2013.

B Uymaz and M Aydogdu, "Three-dimensional vibration analysis of functionally graded plates under various boundary conditions," Journal of Reinforced Plastics and Composites, vol 26, no 18, pp 1847-1863, 2007.

S H Chi and Y L Chung, "Mechanical behavior of functionally graded material plates under transverse load-Part I: Analysis," International Journal of Solids and Structures, vol 43, no 13, pp 3657-3674, 2006.

H A Atmane, A Tounsi, I Mechab and E A A Bedia, "Free vibration analysis of functionally graded plates resting on Winkler-Pasternak elastic foundations using a new shear deformation theory," /nternational Journal of Mechanics and Materials in Design, vol 6, pp 112-121, 2010.

H T Thai and T P Vo, "A new sinusoidal shear deformation theory for bending, buckling and vibration of functionally graded plates," Applied Mathematical Modelling, vol 37, pp 3269-3281, 2013.

A M Zenkour and A F Radwan, "Compressive study of functionally graded plates resting on Winkler-Pasternak foundation under various boundary conditions using hyperbolic shear deformation theory," Archives of Civil andMechanical Engineering, vol 18, no 2, pp 645-658, 2018.

P Malekzadeh and S M Monajjemzadeh, "Dynamic response of functionally graded plates in thermal environment," Composites: Part B, vol 45, pp 1521- 1533, 2013.

P Malekzadeh and S M Monajjemzadeh, "Nonlinear response of functionally graded plates under moving load," Thin-Walled Structures, vol 96, pp 120- 129, 2015.

S Chonan and Sendai, "Moving load on initially stressed thick plates attached together by a flexible core," Ingenieur-Archiv, vol 48, pp 143-154, 1979.

Z Oniszezuk, "Transverse vibrations of elastically connected rectangular double-membrance compound system," Journal of Sound and Vibration, vol.

Z Oniszcezuk, "Free transverse vibrations of an elastically connected rectangular simply supported double-plate complex system," Journal of Sound and Vibration, vol 236, no 4, pp 595-608, 2000.

M A De Rosa and M Lippiello, "Free vibrations of simply supported double plate on two models of elastic soils," International Journal for Numerical and

Analytical Methods in Geomechanics, vol 33, pp 331-353, 2009.

T C Nguyễn, "Phân tích dao động của tam trên nền đàn nhớt xét đến khối lượng của vật chuyển động," Luận văn thạc sỹ, ĐH Bách Khoa Tp.HCM, 2011.

D T Pham và T P Nguyễn, "Phân tích ứng xử của dam chịu vật thé di động lặp trên nền đàn hồi biến thiên lượng giác sử dụng phương pháp phan tử hữu hạn," Tạp Chí Người Xây Dung, vol 3&4 2015, pp 54-59, 2015.

T.P Nguyễn, BD T Phạm và K Q Dé, "Phân tích động lực học của tắm chữ nhật trên nền đàn nhớt biến thiên chịu khối lượng di động," Tạp Chí Của Bộ

Xây Dung, vol 53, no 556, pp 113-118, 2014.

V.H Luong, H D Dinh va M T Tran, "Phân tích ứng xử của tàu cao tốc có xét đến độ cong của thanh ray và tương tác với đất nền sử dụng phương pháp phân tử chuyên động," Tạp Chí Xây Dựng, vol 08, pp 57-59, 2013.

T A Lê, "Phân tích ứng xử động tàu cao tốc có xét độ nay bánh xe và tương tác đất nên," Luận văn thạc sỹ, DH Bach Khoa Tp.HCM, 2013.

V.H Luong, D P Nguyén, T N T Cao, V M Tran va N T T Dang, "Ung xử của khối lượng chuyển động trên mô hình nên ba lớp sử dung phương pháp phan tử dầm nhiều lớp chuyển động," Người Xây Dung, vol 7&8, pp 49-55,

V.N Bùi, “Phân tích ứng xử động của tàu cao tốc bang mô hình 3-D sử dụng phương pháp phan tử chuyển động” Luận văn Thạc sĩ, Trường Dai hoc Bách Khoa, Đại học Quốc Gia TPHCM, 2014.

H.N Võ, “Phân tích động lực học tam Mindlin trên nền đàn nhớt chịu tai trọng đi động sử dụng phân tử 2D chuyển động”, Luận văn Thạc si, Truong Dai học Bách Khoa, Đại học Quốc Gia TPHCM, 2014.

H Phạm, “Phân tích động lực học tắm composite laminate chịu tac dụng của tải trọng di động sử dụng phan tu 2-D chuyén động”, Luận văn Thạc sĩ, Truong Đại học Bách Khoa, Đại học Quốc Gia TPHCM, 2014.

C.N A Nguyễn, “Phân tích tam FGM chịu tải trọng di động sử dung phần tử chuyển động 2-D”, Luận văn Thạc si, Trường Dai học Bách Khoa, Đại học Quốc Gia TPHCM, 2015.

D.M Đỗ, “Phân tích động luc học kết cau tam dày trên nên nhiều lớp chịu tải trọng động sử dụng phương pháp MPMM (Multi-layer Plate Moving Method)”,

Luận văn Thạc sĩ, Truong Dai học Bach Khoa, Đại học Quốc Gia TPHCM,

N Sasikala and P V V Kishore, "Train bogie part recognition with multi- object multi-template matching," Journal of King Saud University —Computer and Information Sciences, pp 1-10, 2017, https://doi.org/10.1016/j.jksuci.

S Iwnicki, Handbook of railway vehicle dynamics, Boca Raton: CRC Press,

Q T Chu, Phương pháp phan tử hữu hạn, Nhà xuất ban khoa học và kỹ thuật,

J N Reddy, Theory and analysis of elastic plates and shells, CRC Press, 2006.

K Terzaghi, "Evaluation of coefficients of subgrade reaction," Geotechnique,vol 5, pp 41-50, 1995.

T F Fwa, X P Shi and S A Tan, "Use of Pasternak foundation model in concrete pavement analysis," Journal of Transportation Engineering, vol 122, pp 323-328, 1996.

T Kaneko, "On Timoshenko s correction for shear in vibrating beams," Journal of Physics D, vol 8, pp 1927-1936, 1975.

J A Franco-Villafafie and R A Méndez-Sanchez, "On the accuracy of the Timoshenko beam theory above the critical frequency: best shear coefficient,"

Journal of Mechanics, vol 32(5), pp 515-518, 2016.

R F S Hearmon, "The influence of shear and rotatory inertia on the free flexural vibration of wooden beams," British Journal of Applied Physics, vol.

H E Rosinger and I G Ritchie, "On Timoshenko's correction for shear in vibrating isotropic beams, " Journal of Physics D: Applied Physics, vol 10, pp.

N G Stephen, "The second frequency spectrum of Timoshenko beams, "

Journal of Soundand Vibration, vol 80, pp 578-582, 1982.

F Gruttmann and W Wagner, "Shear correction factors in Timoshenko's beam theory for arbitrary shaped cross-sections, " Computational Mechanics, vol 27, pp 199-207, 2001.

A Diaz-de-Anda, J Flores, L Gutiérrez, R A Méndez-Sanchez, G Monsivais, and A Morales, "Experimental study of the Timoshenko beam _ theory predictions," Journal of Sound and Vibration, vol 331, pp 5732-5744, 2012.

J N Reddy, Mechanics of laminated composite plates — Theory and Analysis, New York: CRC Press, 1997.

S Valchoutsis, "Shear correction factors for plates and shells," /nternational Journal for Numerical Methods in Engineering, vol 33, pp 1557-1552, 1992.

S V Kulkarni and S N Chatterjee, "Shear correction factors for laminated plates," A!AA Journal, vol 17, pp 498-499, 1979.

J M Whitney, "Shear correction factors for orthotropic laminates under static load," Journal of Applied Mechanics, vol 40, pp 302-304, 1973.

J N Reddy, "Analysis of functionally graded plates," International Journal for Numerical Methods in Engineering, vol 47, pp 663-684, 2000.

F Delale and F Erdogan, "The Crack Problem for a Nonhomogeneous Plane,"

Journal of Applied Mechanics , vol 50, pp 609-614, 1983.

A.J M Ferreira, R C Batra, C M C Roque, L F Qian and R M N Jorge,

"Natural Frequencies of Functionally Graded Plates by a Mesh Less Method,"

X Zhao, Y Y Lee and K M Liew, "Free vibration analysis of functionally graded plates using the element-free kp-Ritz method," Journal of Sound and Vibration, vol 319, pp 918-939, 2009.

A H Baferani, A.R Saidi and H Ehteshami, "On free vibration of functionally graded Mindlin plate and effect of inplane displacements," Journal of Mechanics, vol 29, pp 373-384, 2013.

P Liu, T Q Bui, D Zhu, T T Yu, J W Wang, S H Yin and S Hirose,

"Buckling failure analys is of cracked functionally graded plates by a stabilized discrete shear gap extended 3-node triangular plate element," Composite Part B, vol 77, pp 179-193, 2015.

E Efraim and M Eisenberger, "Exact vibration analysis of variable thickness thick annular isotropic and FGM plates," Journal of Sound and Vibration, vol.

T K Nguyen, K Sab and G Bonnet, "First-order shear deformation plate models for functionally graded materials," Composite Structure, vol 83, pp.

S H Hashemi, H R D.Taher, H Akhavan and M Omidi, "Free vibration of functionally graded rectangular plates using first-order shear deformation plate theory," Applied Mathematical Modelling, vol 34, pp 1276-1291, 2010.

N M Newmark, "A method of computation for structural dynamics", Journal of Engineering Mechanics, ASCE, vol 85, pp 67-94, 1959.

K J Bathe, Finite Element Procedures, Prentice Hall, New Jersey 1996.

J.T Kenney, "Steady-state vibrations of beam on elastic foundation for moving load," Journal of Applied Mechanics, vol 21, no 4, pp 359-364, 1954.

X.S Jin, Z F Wen, K Y Wang, Z R Zhou, Q Y Liu and C H Li, "Three- dimensional train-track model for study of rail corrugation," Journal of Sound and Vibration , vol 293, pp 830-855, 2006.

H T Tai, P Minwo and C Dong-Ho, "A simple refined theory for bending, buckling, and vibration of thick plates resting on elastic foundation,"

International Journal of Mechanical Sciences, vol 73, pp 40-52, 2013.

Y Zhao, Y Qiu, P Cao and C Ai, " Research on dynamic response of pavement under moving vehicle load using three dimensional finite element method, " Applied Mechanic and Materials, vol 444-445, pp 1197-1203, 2014.

A Ferreira, R Batra, C Roque, L Qian and P Martins, "Static analysis of functionally graded plates using third-order shear deformation theory and a meshless method," Composite Structures , vol 69, pp 449-457, 2005.

PHU LUC. z ân tích ứng xử tau cao tốc toán ph

Chương trình chính trong bài 1. clear cle °

25;z 1 1 lamdal lamda2 25; aol=2; ao2=2 Lê °

Nae KAR wa CR ann °

Cby@000; £11=9.43%*10%5; £120; nh : 7 ~ it + ay NÓ pass h tì CƯ `.

)*(- (r/1 (a )) M24 1d )^3); ay eye he : oy oN oe MATE Fiery aro "he oy mes 2 CC mares

1(1)-4*r/1(1)^2+3*r^2/1(1)^3); vA nh nvrr(4,1)=1l(i1)*(-2/1(1)^2+6*r/1(1)^3); nh(1,1)=1-3*(r/1(1))^2+2*(r/1(1))^3; nh(2,i)=1l(¡)*(r/1(1)-2*(r/1(1))^2+(r/1(1))^3); nh(3,1)=3*(r/1(1))^2-2*(r/1(1))^3; nh(á,1jA(1) 7€ CAG 0)220/41))23)7 nhg (1,1) =-6*r/1Q )^216*r ^2/1 (4 ĐA 4; nhr(2,i1)=l(1)*(1/1(1)-4*r/1(1)^2+3*r^2/1(1)^3); nhr(3,1)=6*r/1(1)^2-6*r^2/1(1)^3; nhr(4,1)=1(1)*(-2*r/1(1)^2+3*r^2/1(1)^3); nhrr (1,1)=-6/1(1)^2+12*r/1(1)^3; nhrr(2,1)=1l(i1)*(-4/1(1)^2+6*r/1(1)^3); nhrr (3,i)=6/1 (i) ^2-12*r/1(1)^3; nhrr (4,i)=1 (i) * (-2/1 (1) *2+6*r/1(1)%3);

M1=zeros (4,4,4); $ kĩ IGỖ ` Kl=zeros (4,4,4);

C2=zeros (4,4,4); or 1E1:4 for j=1:4 for k=1:4 M1 (i,j,k) =mr*int (nv(i,k) *nv(j,k),xr,0,1(k));

Kl (i,j,k) =Er*Iz*int (nvrr (i,k) *nvrr(j,k),r,0,1(k))t+mr*V*2* int (nv (i,k) *nvrr(j,k),xr,0,1(k) )-Cv1l*V*int (nv (i,k) *nvr(j,k),xr,0,1(k)) +Kvl*int (nv (i, k) *nv(j,k),xr,0,1(k));

C1 (i,j,k) =-2*mr*V* int (nv (i,k) *nvr(j,k),r,0,1(k)) +Cvl*int (nv (i,k) *nv(j,k),xr,0,1(k)); for j=1:4 or k=1:4 M2 (i,3,k)=mr*int (nh(i,k) *nh(j,k),r,0,1(k));

KÉ2(1,]J,k)=Er*TIy*int(nhrr(i,k)*nhrr(J,k),r,0,1l(k))+mr*V^2*int(

(1,k)*nhrr(3J,k),r,0,1(k))-Ch1*V*int(nh(1,k)*nhr(J,k),r,0,1(k))

Mrl (2,2,1) =M1 (2,2,1); ed Ad a ha ha na na an ra 6a na ed an na an 6n A na nan na an ed

OFAN MFA CN G) XE 1 NM XSF 1 CN| G) XS 1 CN G) TAN” SS

NN 1 1 1 — CN CN G1 G1 @) G) @) G@) ST XS OOOO SH SS Ss OoANN NANA G1 €1 1 ml DD DI l DI | CN €N NNN G1 G1 @ ai ii Dị ị can Án Án ml ổn ii ị đị đì ¡ma mà

II HH HH H HD HH HH HH HH HH HH HH HH HH HH Họ H ed Ad 6a ha an na na an ra 6a na ed an na 6a nh na na na na na an edd ed

LÔ (tO œ) TH OMAN Sf E- CO 7Í CN] LÔ (O cl CNỊ Lộ (tO NTR OM xế CO

NN œ@ œ3 œ@) Œ@) TAF TFAMOMOMO LÔ WOW WO UO I - - CO WO WO OO

Ses l tTl rl Ä ce OO ce Oc Oe l l l l Äl Ä ce ce Oc Oe 7 cả

— on zeros(8,8,4 Krl= II II II II II II II ll II II II II II II II ` ` ` ` ` ` ` Name ` ` ` ` ` ` ` Ne Đỏ ~>—— >~— eee `" `" ee ee ae ee "ơ "`" ơ— "`" >~——_— eae aa ea a eae eae —ơ—— eae eae ml tr DANN NN 1 1l 1 7 CN CN €N €1 œ0) œ) SOOO =ư' = sư OOM MOM ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` — CN] Œ) Sf 1 CN ỉ) Sứ 1 CN MFA CN G) SƯ ÍA CC] Œ@) =Sr C] Œ@) XS Í CỊ Œ) ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ơ ` ` ` ` na A na ra A A na na a na an nan an dd ded ed od ed ON NN NN 7= 7= —= c— — — — — — — — — — — —

OHONMOUMO ANNUM TRON TAMDAHINNWOHTAHNNWOM ST m= ` hh mm! mh me mm bd Ta na A A A A dd ed ed ed dd ed ed ed ed ed ed NN NN No II

AA Ì mỉ €N €NI NN Oe SS TF LO LO LO Lộ (tO (tO HO VO mem ` ` eee >~>—— >~— >~— >~ơ—— `" `" ae ee ae ee "ơ `" ơ— "ơ ~~ —— —— mm —— —— >~—— >~— ơ—— —— ——

———=—=—=——=—=>—=—=> >> ———ơơ——ơ—ơ————ơ—=—ơ—ơ—=—ơ—ơ ed Ad ed a ra ha at 6a na ra na ra 6a na na an na 6a na na an na ed na ed na na an ed ed

AN ỉ3) Sf œ1 CN] MFA NA G) XE 1 C\| G) SƯ l C| MFO A €) XE l CN G) STAN” =ữHAA TA ANNAN 1 1 ANN NN G) @) @) @) SH XS XI TSE OOO YO SE SS St Hod DW l ml l1 A ANN €1 €I €1 G1 €1 ND 1l l 1 7 DI DA ANNAN €1 G1 G1 G1 €

CORSO OOOO MONO MO CO OC CO O CO O CO CO CO CO O CO O O CO) C)

tol H HH HH HH HH HH HH HH HH HH HH HH HH HH HH HH H ed Ad ed a ra ha at 6a na ra na ra 6a na 6a an na 6a nha an na ra na ed na na an ed ed

—l €J] LÔ \Õ œ1 ClJ] Lộ (O œŒ@) =f E- CO Œ) =XƯ C Ắ C1] Lộ (tO 1 CN] Lộ tO œ@) TR OM xr C

—Ì ml ml ANNAN €\I @) œ@) œ@) Œ) TE =ểr =Y Lộ LƠ LƠ Lộ (tO tÕ (tƠ (tÕ Mm Ph=CŒ@G CŒầ Cœ ow S— Oe ~— ~—— —— ~—— ~—— —~——~ ~—— >~— >~— ~—— ~— >~— —— —— —— ——_ ~— ~—— —~—— —ơ~—— —— —— —— —— eee >~— ~—_ —~—— zeros (8,8,ne) ; Mgsl zeros (8,8,ne) ; Kgsl zeros (8,8,ne) ; Cgsl tro

Mri (: tự 1) tự 1) tự 1) Mgsl (: ,

Mgsl(:,:,1) =Mrl Kgsl(:,:,1)=Krl Cgsl(:,:,1)=Crl

Cgsl(:,:,1)=Crl(:,:,2); se 1=(L1+L2+L3*2+L4+1): (L1+L2*2+L3*2+L4) Mgsl(:,:,1)=Mrl(:,:,3);

Cgsl(:,:,1)=Crl(:,:,3); for 1=(L1+L2*2+L3*2+L4+1) :ne Mgsl(:,:,1)=Mrl(:,:,4);

For 1=1:4 for j=l: 4 for k=1:4 M3 (i,j,k) =mr*int (nv(i, k) *nv(j,k),r,0,1(k));

K3 (i,j,k) =Er*Iz*int (nvrr (i,k) *nvrr(j,k),r,0,1(k) )+mr*V*2*int(n v(1,k)*nvrr(J1,k),r,0,1(k))-Cv2*V*int (nv (i,k) *nvr(j,k),r,0,1(k)) +Kv2*int (nv (i,k) *nv(j,k),r,0,1(k));

C3 (i,j,k) =2*mr*v*int (nv(i, k) *nvr(j,k),r,0,1(k)) +Cv2*int (nv (i,k) *nv(j,k),r,0,1(k)); ena cay oO at h ol Hs

M4 (i, I, _k) =me* int (nh(i, k) *nh(j,k),xr,0,1(k));

K4 (i,j,k) =Er*Ty*int (nhrr (i,k) *nhrr(j,k),r,0,1(k)) tmr*V*2* int (nh(i,k)*nhrr(j,k),xr,0,1(k) )

-Ch2*v*int (nh(i,k) *nhr(j,k),r,0,1(k) ) +Kh2*int (nh(i,k) *nh(j,k),r,0,1(k));

C4(i,j,k)=-2*mr*V*int (nh (i,k) *nhr(j,k),xr,0,1(k)) +Ch2*int (nh(i,k) *nh(j,k),r,0,1(k)); ena cay

Mr2= dd Ad dd ed dd ed na dd dd ed dd ed na ed ed na ed na na A ed ed ml €NJ MOM TAN MY TAN MTAN MFA NM FOI NAM TAN MYMNTFTANAN” ST

—Ì tr —l TI NNN €1 1 1 1 7l NNN NOs SS SE @) G) G) @) SS XE OS oS ỉ3 @ỉ) Œ@) @) @) ŒW) Œ) Ơ) SH SU SH ST ST SƯ SI SƯ ) G) e) @) @) Ơ) O) ANA SH ST XI SH XE XE tT Xf ai 2 ii CC li la li la la la l la li lì ml Đi ð

I TƯ TỦ TỦ TƯ TƯ TỦ TƯ TƯ TƯ T TƯ ÍƯ TU TƯ TƯ TƯ ÍU TT ẤT ÍUƯ TƯ TƯ TU TU TU TƯ ÍU Í

SOoDdI TW i C\] CV] C1] NOOO Se Tr ST LÔ) LÔ LÔ OO OO OM OOO AIAN NNN NNN NNN NNN €1 €1 €1 €1 €1 ON ON ON €1 €1 €1 ON ON ON €N G1 ON G1 ON uwgeyuyyyyuyyuMyyyYMyYyYyYNYNYyYUYNYNUHNYNUHyUyy mỈ 2i HH HC CC: ĐI Đi Đi Đi ĐI RRR RRR RRA ii KAKA Đì Ha ai zeros(8,8,4); dA dd ed A ed ed ra ed ha ed ha nan

AN Œ) =f' œ1 C\Ị MTA NM TON MM XE 7Í

HAA ANNAN DD TD 7 C\J NNN MO œ œ œ œ œ œ œ œ WITT TTT MH Q{ Bi ĐÓ li Xí Đá Dị (Xí Bị Bị Xí lí Bị bị li Xị Đế

II HH HH HH HH HH HH HH ted

Ta ah ha ha ha ra ha ha na ha nan

TODA l l CN] €CN1 G1 GI ế) @) G) @) SH SE SH SH Lộ se —— OO >~—~ ~>~— ~— >~— >~—~ ~—~ ~—~ ~—~ ~——~ ~— ~—~ ~—~ eel

ANNN €1 €1 €1 €1 €1 €1 NN NN NN €1 ON Í tì BH Đ ĐH BH Đ tị HH ĐH h0 Oh Q ĐH 0 € rÌ 4 Mi Xí Xí N4 SS BS OS Xí { Bí ị N{

168 ed dd ed ed dd ed eA rỉ ed A rỉ ed

NO FAN MFA NM STAIN ® St ymyOnmnnsystsr sys TFMOMMO MOA ST ssYOMOMOmOmằyMnst =SF XE XI XI ~— >~— >~— i ~— >~—~ a ~—~ ~—~ ~——~ ~——~ ~— ~——~ ~—~ ~——~ ~——~ ae a ae —— ~—— —~——~ ~——~ ~——~ ~——~ —— ——~ ~——~ ~——~ ~— —— mm €N €N €N €1 €1 NNN Œ@1 Œ@1 €1 €1 €1 €1 €1 €1 €1 €1 €1 €1 €1 €1 NNN €1 €1 €1 ON ON ON ON Ít H ĐH BH BH ĐH ĐH ĐH ĐH HH ĐH HQ HH HH H8 HH ĐH Q tt HÀ tị HH ĐÓ

Cgs2(:,:,1)=Cr2(:,:,4); or i=(L14+1): (L1+L2) Mgs2(:,:,1)=Mr2(:,:,3);

Cgs2(:,:,1)=Cr2 ( for 1=(L1+L2+L3+L4+1d): (L1+L2+L3*2+L4) Mgs2(:,:,1)=Mr2(:,:,2);

Cgs2(:,:,1)=Cr2(:,:,2); or 1=(L1+L2+L3*2+L4+1): (L1+L2*2+L3*2+L4) Mgs2(:,:,1)=Mr2(:,:,3);

Kg=zeros (tdof+nn, tdo£+mn) ; Mg=zeros (tdoft+nn,tdof+nn) ; Cg=zeros (tdoft+nn,tdof+nn) ; ằy 1i=l:ne for J=1:8 for p=1:8 Kg ( (1-1) *4+9, (1-1) *4+p) =Kg ((i-1) *4+J, (1-1) *4+p) †tKgsl(J,ÐĐ,1);

Cg((i-1) *4+], (1-1) *4+p) =Cg ( (1-1) *4+J, (1-1) *4+p) +tCgsl(J,Ðp,1); văn xx= (L1*2+L2*2+L3*2+L4+1) *4; for i=l:ne for j=1:8 for p=1:8

R era mann ete tt3= tt4=

5 (tdo f+, g (tdo£+1, g (tdo£+1, g (tdo£+1, g (tdo£+1,

Mg (tdof+2, Cg (tdof+2, Cg (tdof+2, Cg (tdof+2, Cg (tdof+2, Kg (tdof+2, Kg (tdof+2, Kg (tdof+2, Kg (tdof+2,

Mg (tdof+3, Cg (tdof+3, Cg (tdof+3, g (tdof+3, Cg (tdof+3, Kg (tdof+3, g (tdof+3, Kg (tdof+3, Kg (tdof+3,

Mg (tdof+4, g ( g (tdof+4, g (tdof+4, g (tdof+4, Cg (tdof+4, g ( g ( g (

C tdof+4, tdof+4, tdof+4, K on ra a bài

= rs ro Yh 1A Tư T VIÊN a

(L1+L2+L3+L4/2) *44+1+xx; be BK Ae hy Sp ho AT AS GÀ KANG Gita tdo£+1 )=me; tdoft+1)*2; tdof+4)=-C2v*2; tdof+1) =K2v*2; tdof+4)=-K2v*2; tdof+2)=mc; tdof+2)*2; tdof+5)=-C2h*2; tdo£+3) =-C2h*2*h1;

) ) ) ) tdof+2)=K2h*2; tdof+5)=-K2h*2; tdof+3)=-K2h*2*hl1; tdof+6)=-K2h*2*h2; tdof+3)=Icx; tdof+5)*h1*2; tdof+2)=-C2h*h1*2; tdo£+3) =2*C2v*b2^^2; tdof+6) =-2*C2v*b2^^2; tdaof+3) =2*K2v*b2^2; tdaof+€)=-2*K2v*b2^^2; tdof+5)=K2h*h1*2; tdof+2)=-K2h*h1*2; tdof+4)=mb; tdoft+l1)=-2*C2v; tdo£f+4) =2*C2v+4*C1v; tdof+9)=-2*Clv; tdof+10)=-2*Clv; tdof+4) =2*K2v+4*Klv; tdof+1)=-2*K2v; tdof+9)=-2*Klv;

Kg (tdof+4, tdof+10) =-2*Klv; g (tdof+5, tdof+5) =mb; 3 Do of yen vai moar gay va Cg (tdof+5, tdof+2)=-2*C2h;

Cg (tdof+5, tdo£+5)=2*C2h+4*C1h; g (tdof+5, tdo£+11)=-2*C1h;

Kg (tdof+5, tdof+5) =2*K2h+4*K1h; g (tdof+5, tdof+2) =-2*K2h;

Mg (tdof+6, tdof+6 Cg (tdof+6, tdof+3 g (tdof+6, tdoft+6 Cg (tdof+6, tdo£+5

=Ibx; S Do chuyern vi 28V gay

Cg (tdof+6, tdo£+13) =-2*bl*b1*C1v; g (tdof+6, tdof+14) =-2*b1l*b1l*C1l1v;

( ( ( ( g (tdof+6, tdof+13) =-2*bl*bl*Klv;

Mg (tdof+7, tdof+7)=Ibz; 3 DO Ofpyen vi Soay gay ra Cg (tdof+7, tdof+7)=4*1lw*lw*Clv;

( ( Cg (tdof+7, tdof+9) =-2*1lw*Clv;

Cg (tdof+7, tdof+10) =2*1lw*Clv;

Kg (tdof+7, tdof+9) =-2*1lw*Klv;

Kg (tdof+7, tdof+10) =2*1lw*Klv;

Mg (tdof+8, tdof+8) =Iby; 2 De chuyern vi woay aay Cg (tdof+8, tdoft+8) =4*1w*1w*C1h+4*b1*bE1*Cby;

Cơ (tdof+8, tdo£+11)=2*1w*Clh; g (tdof+8, tdof+12) =-2*1w*Clh;

Cg (tdof+8, tdo£+15) =-2*bl*b1*Cby;

( ( ( ( Cg (tdof+8, tdof+16) =-2*b1*b1*Cby; g (tdo£+8, tdo£+8) =4*1w*1w*K1h+4*b1*b1*Kby;

Kg (tdof+8, tdof+12) =-2*1w*Klh; g (tdof+8, tdof+15)=-2*b1*b1*Kby;

Kg (tdof+8, tdof+16) =-2*b1*b1*Kby; tdo£+9, "tdo£+9 =mW ; # De ghaven VỊ dung banh tdof+9, tdof+4) =-2*Clv; tdof+9, tdof+7) =-2*1lw*Clv; gí 9) = g ( ) g ( ) g (tdof+9, tdof+9) =2*C1v; g ( ) g ( ) g ( ) tdof+9, tdof+9) =2*Klv; tdof+9, tdof+4)=-2*Klv; tdof+9, tdof+7)=-2*lw*Klv;

Mg ( Cg ( Cg ( Cg ( Kg ( Kg ( Kg (

Mg ( Cg ( Cg ( Kg ( Kg (

Mg ( Mg ( Mg ( Mg ( Mg ( Mg ( Mg ( Mg ( Mg ( tdof+10,tdof+10) =mw ; tdof+10,tdof+4)=-2*Clv; tdof+10,tdoft+7) =2*lw*Clv; tdof+10,tdof+10)=2*Clv; tdof+10,tdof+10)=2*Klv; tdof+10,tdof+4) =-2*Kliv; tdof+10,tdof+7) =2*1w*K1v; tdo£+11, tdo£+11) =mw; tdo£+11, tdo£f+5)=-2*C1h; tdo£+11, tdo£+11)=2*Clh; tdo£+11, tdo£f+5)=-2*K1h; tdo£+11, tdo£+11)=2*Klh; tdo£+12, tdo£+12) =mw ; tdo£+12, tdof+5) =-2*C1h; tdo£+12, tdo£+12)=2*Clh; tdo£+12, tdo£f+5) =-2*K1h; tdo£+12, tdo£+12)=2*Klh; tdof+13,tdof+13)=Iwx; tdof+13,tdof+6) =-=2*b1l*b1*C1v; tdof+13,tdoft+13)=2*b1l*b1*Clv; tdof+13,tdoft+13)=2*b1l*b1l*Klv; tdof+13,tdof+6) =-2*b1l*b1l*Klv; tdof+14,tdof+14) =Twx; tdof+14,tdof+6) =-2*b1*b1*Clv; tdof+14,tdof+14)=2*b1*b1*Clv; tdof+14,tdof+14)=2*b1*b1*Klv; tdof+14,tdof+6) =-2*b1*b1*Klv; tdof+15,tdof+15)=Iwy; tdo£+15, tdo£+15)=2*€by*b1l*bl; tdo£f+15, tdo£+8) =-2*Cby*b1*b1; tdo£+15, tdo£+15)=2*Kby*b1l*bl; tdo£+15, tdo£+8) =-2*Kby*b1*bl; tdo£+16, tdo£+16G) =Twy; tdo£+16, tdo£+16) =2*€by*b1l*bl; tdo£+16, tdo£+8) =-2*Cby*b1*b1; tdo£+16, tdo£+16) =2*Kby*b1l*bl; tdo£+16, tdo£+8) =-2*Kby*b1*bl; ttl,tdof+1)=mc/4; ttl,tdof+3)=-Icx/4; ttl,tdof+4) =mb/4; ttl,tdof+6) =-Ibx/4; ttl, tdof+7)=Ibz/4; ttl,tdof+9) =mw/2; ttl,tdof+11)=mw/2; ttl, tdof+13)=-Iwx/2; ttl,tdof+15)=-Iwy/2;

, TTN we an Ye i er as a VỐy R we NS Mew a A YS A rd cà Kết wd cers wad cers

Mg ( Mg ( Mg ( Mg ( Mg ( Mg ( Mg ( Mg ( Mg (

Mg ( Mg ( Mg ( Mg ( Mg ( Mg ( Mg (

Mg ( Mg ( tt2,tdof+l1)=mc/4; tt2,tdof+3)=Icx/4; tt2,tdof+4) =mb/4; tt2,tdof+6) =Ibx/4; tt2,tdof+7)=Ibz/4; tt2,tdof+9) =mw/2; tt2,tdof+11)=mw/2; tt2,tdof+13)=Iwx/2; tt2,tdof+15)=Iwy/2; tt3,tdof+1)=mc/4; tt3,tdof+3)=-Icx/4; tt3,tdof+4) =mb/4; tt3,tdof+6) =-Ibx/4; tt3,tdof+7)=Ibz/4; tt3,tdof+10)=mw/2; tt3,tdof+12)=mw/2; tt3,tdof+14) tt3,tdof+16) tt4,tdof+1)=mc/4; tt4,tdof+3)=Icx/4; tt4,tdof+4) =mb/4; tt4,tdof+6) =Ibx/4; tt4,tdof+7)=Ibz/4; ) tt4,tdof+10)=mw/2; tt4,tdof+12)=mw/2; tt4,tdof+14)=Iwx/2; tt4,tdof+16)=Iwy/2;

Mg (Z4, tdof+6) =-Ibx/4; g (24, tdof+8)=-Iby/4;

Mg (Z4, tdof+14) =Iwx/2; beta=1/4; alpha=1/2; a0=1/(beta*deltat^2); al=alpha/ (beta*deltat) ; a2=1/(beta*deltat) ; a3=1/ (2*beta)-1; a4=alpha/beta-1; a5tat/2* (alpha/beta-2) ; a6tat* (l-alpha) ; a/=alpha*deltat;

Ke=Kg+a0 *Mg+al*Cg; y=zeros(tdoftnn, (t0/deltat)); yld=zeros(tdof+nn, (E0/deltat)) ; y23=zeros (tdo£+nn, (E0/deltat)) ; F=zeros(tdoftnn, 1);

Kh= -2*Br* (Rw*Rr) ^ (1/4) / (34 (1-poi2) )

K1= = (348x724 (me / a / 44/2) *g*sqrt (Rw*Rr) /2/ (1-poi®*2)%*2))* (1/3); step= 0; :

Kg (Ldo£+10, tdof+10) =2*Klv+2*KEl;

Kg (tdof+10,tt4)=-Kl1; yinil=Kg\F; e Ghuvsn vị ban dau yini=zeros (tdof+nn, 1); for i=l:tdoft+nn yini(i)=yinil (1); dropl=0; drop2=0; drop3=0; drop4=0;

Otl=zeros((t0O-deltat) /deltat,1) Qt2=zerocs((t0-deltat) /deltat,1) Qt3=zerocs((t0-deltat) /deltat,1) Qt4=zeros((t0-deltat) /deltat,1) DAF1=zeros ( (t0-deltat) /deltat,1 DAF2=zeros ( (t0-deltat) /deltat,1 DAF3=zeros ( (t0-deltat) /deltat,1 DAF4=zeros ( (t0-deltat) /deltat,1 DAF1 (1)=1;

For i=l: (t0-deltat) /deltat y(:,itl)=y(:,1); 1 yld(:,itl)=yld(:,1); y2d(:,itl)=y2d(:,1); h=h+deltat; or j=1:100000000 dll=y(ttl,itl); đ12=yld(tt1,i+l); d1l3=y2d(ttl,itl); d21l=y(tt2,itl); d22=yld(tt2,itl); d23=y2d(tt2,itl); d3l=y(tdof+1,it+l); đ32=y1ld(tdof+l,i+1); đ33=y2d(tdo£f+l,i+1); đ41=y (tdof+4,1+1); d42=yld(tdof+4,1i+1); d43=y2d(tdof+4,1i+1); đ51=y (tdof+9,1+1); d52=yld(tdof+9,1i+1); d53=y2d(tdof+9,1i+1); dél=y (tdof+10,it1) ; d62=yld(tdof+10,it+l); d63=y2d(tdof+10,it+l); đq71=y(tt3,i1+1); d72=yld(tt3,itl); d73=y2d(tt3,itl); d81=y(tt4,i+1); d82=yld(tt4,itl); d83=y2d(tt4,itl); d91l=y (tdof+2,i+1); đ93=y2d (tdof+2,i+1); đ101=y (tdof+3,i+1); d102=yld(tdof+3,i+1) ; d103=y2d (tdof+3,it+1l); đ111=y (tdof+5, 1+1) ;

Lê lê) d112=yld(tdof+5,it+l); d113=y2d (tdof+5,it+l); d121=y (tdof+6, i+1) ; d122=yld(tdof+6,itl); d123=y2d (tdof+6,itl); đ131=y (tdof+7,i+1); đ132=yld(tdof+7, 1+1); đ133=y2d(tdof+7,1+1); đ141=y (tdof+8,i+1) ; d142=yld(tdof+8,itl); d143=y2d (tdof+8,itl); đ151=y (tdof+11,i+1); d152=yld(tdof+11,it+1); d153=y2d (tdof+11,1+1); đ161=y (tdof+12,i+1); d162=yld(tdof+12,it+1); d163=y2d (tdof+12,i+1); d171=y (tdof+13,i+1); d172=yld(tdof+13,it1); d173=y2d (tdof+13,1+1); đ181=y (tdof+14,1i+1); d182=yld(tdof+14,i+1); d183=y2d (tdof+14,it+1); đ191=y (tdof+15,1i+1); d192=yld(tdof+15,itl); d193=y2d (tdof+15,1+1); đ201=y (tdof+16,1i+1); đ202=y1ld(tdof+16,1+1); đ203=y2d (tdof+16,1+1); deltay1=y (tt1,i+1) +ao1l/1000*sin(2*bi*V*h/1amda1d) -y (tdof+9,i+1 +bO*y(tdof+13,it1); deltay2=y (tt2,i+1) +ao2/1000*sin(2*pi*V*h/1amda2) -y (tdof+9,it+1)- bO*y (tdof+13,it+1); deltay3=y (tt3,it1)+aol/1000*sin(2*pix* (V*h) /lamdal) - y (tdof+10,i+1)+b0*y(tdof+14,it1); deltay4=y (tt4,it+1)+ao02/1000*sin(2*pix* (V*h) /lamda2) -y(tdof+10,i+1) - bO*y(tdof+14,it+1);

1£ deltayl1