UET - Ngân hàng câu hỏi thi cuối kì Tín hiệu hệ thống

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN - Ngân hàng câu hỏi thi cuối kì Tín hiệu hệ thống Đại học Công nghệ - ĐHQGHN - Ngân hàng câu hỏi thi cuối kì Tín hiệu hệ thống Đại học Công nghệ - ĐHQGHN - Ngân hàng câu hỏi thi cuối kì Tín hiệu hệ thống

Trang 1

→ 𝑥(𝑡) = −0.25𝑒−3𝑡𝑢(𝑡) + 𝑢(𝑡) (Do 𝑥 nhân quả).→ 𝑥(+∞) = 1

Đáp án: 1Câu 2:

Xác định giá trị của 𝑥[𝑛] tại 𝑛 = 0 biết nó nhân quả và có biến đổi Z là:𝑋(𝑧) = 6−3𝑧−1

→ 𝑥[𝑛] = 4𝑢[𝑛] + 2(14)𝑛𝑢[𝑛] (Do 𝑥 nhân quả).→ 𝑥[0] = 6

Xác định giá trị của 𝑥[𝑛] tại 𝑛 = +∞ biết nó nhân quả và có biến đổi Z là:

Xác định giá trị của 𝑥(𝑡) tại 𝑡 = +∞ biết nó nhân quả và có biến đổi Laplace là:𝑋(𝑠) = 4𝑠1−6𝑠2+2𝑠

Trang 2

Lời giải:

𝑋(𝑠) = 4𝑠1−6𝑠2+2𝑠= 2𝑠1 − 2𝑠+14

Xác định giá trị của 𝑥(𝑡) tại 𝑡 = +∞ biết nó nhân quả và có biến đổi Laplace là:𝑋(𝑠) = 4𝑠6𝑠−12+2𝑠

Lời giải:

𝑋(𝑠) = 4𝑠6𝑠−12+2𝑠= −2𝑠1 + 2𝑠+14

Xác định giá trị của 𝑥(𝑡) tại 𝑡 = 0 biết nó nhân quả và có biến đổi Laplace là:𝑋(𝑠) = 3𝑠21+𝑠

Lời giải:

𝑋(𝑠) = 3𝑠21+𝑠= 1𝑠− 3𝑠+13= 1𝑠− 1

𝑠+13

→ 𝑥(𝑡) = 𝑢(𝑡) − 𝑒−1

3𝑡𝑢(𝑡) (Do 𝑥 nhân quả).→ 𝑥(0) = 0

Xác định giá trị của 𝑥(𝑡) tại 𝑡 = +∞ biết nó nhân quả và có biến đổi Laplace là:𝑋(𝑠) = 3𝑠21+𝑠

Trang 3

Lời giải:

𝑋(𝑠) = 3𝑠21+𝑠= 1𝑠− 3𝑠+13= 1𝑠− 1

𝑠+13

= 4𝑠− 32

𝑠+12

→ 𝑥(𝑡) = 4𝑢(𝑡) − 32𝑒−12𝑡𝑢(𝑡) (Do 𝑥 nhân quả).→ 𝑥(0) = 52

Đáp án: 2,50Câu 9:

Xác định giá trị của 𝑥(𝑡) tại 𝑡 = +∞ biết nó nhân quả và có biến đổi Laplace là:𝑋(𝑠) = 2𝑠5𝑠+42+𝑠

Xác định giá trị của 𝑥(𝑡) tại 𝑡 = 0 biết nó nhân quả và có biến đổi Laplace là:𝑋(𝑠) = 5𝑠+14

4𝑠2+𝑠

Lời giải:

Trang 4

𝑋(𝑠) = 5𝑠+4

4𝑠2+𝑠

= 14

𝑠 + 4𝑠+14= 14

Xác định giá trị của 𝑥(𝑡) tại 𝑡 = +∞ biết nó nhân quả và có biến đổi Laplace là:𝑋(𝑠) = 5𝑠+14

Cho tín hiệu nhân quả 𝑥(𝑡) có biển đổi Laplace 𝑋(𝑠) = 4(𝑠+25)𝑠(𝑠+10).Tính giá trị 𝑥(0)

Lời giải:

𝑋(𝑠) = 4(𝑠+25)𝑠(𝑠+10)= 10𝑠 − 𝑠+106

→ 𝑥(𝑡) = 10𝑢(𝑡) − 6𝑒−10𝑡𝑢(𝑡) (Do 𝑥 nhân quả).→ 𝑥(0) = 4

Cho tín hiệu nhân quả 𝑥(𝑡) có biển đổi Laplace 𝑋(𝑠) = 4(𝑠+25)𝑠(𝑠+10).Tính giá trị 𝑥(+∞)

Lời giải:

Trang 5

𝑋(𝑠) = 4(𝑠+25)𝑠(𝑠+10)= 10𝑠 − 𝑠+106

→ 𝑥(𝑡) = 10𝑢(𝑡) − 6𝑒−10𝑡𝑢(𝑡) (Do 𝑥 nhân quả).→ 𝑥(+∞) = 10

Đáp án: 10Câu 14:

Cho tín hiệu nhân quả 𝑥(𝑡) có biển đổi Laplace là𝑋(𝑠) = (𝑠+1)(𝑠+10)𝑠−10 Tính giá trị 𝑥(0)

Xác định giá trị của 𝑥(𝑡) tại 𝑡 = 0 biết nó nhân quả và có biến đổi Laplace là:𝑋(𝑠) = 4𝑠1−6𝑠2+2𝑠

→ 𝑥(𝑡) = 12𝑢(𝑡) − 2𝑒−1𝑡𝑢(𝑡) (Do 𝑥 nhân quả).→ 𝑥(+∞) = −32

Đáp án: −1,50Câu 17:

Giá trị của tín hiệu 𝑢[𝑛 − 1] + 2𝑢[𝑛 + 1] tại 𝑛 = 2 là:

Xác định giá trị của 𝑥[𝑛] tại 𝑛 = 0 biết nó nhân quả và có biến đổi Z là:

Trang 6

Xác định giá trị của 𝑥[𝑛] tại 𝑛 = +∞ biết nó nhân quả và có biến đổi Z là:𝑋(𝑧) = 1+𝑧−1

Xác định giá trị của 𝑥(𝑡) tại 𝑡 = 0 biết nó nhân quả và có biến đổi Laplace là:𝑋(𝑠) = 0.75𝑠+3𝑠2+3𝑠

Lời giải:

𝑋(𝑠) = 0.75𝑠+3𝑠2+3𝑠= −𝑠+30.25 + 1𝑠

→ 𝑥(𝑡) = −0.25𝑒−3𝑡𝑢(𝑡) + 𝑢(𝑡) (Do 𝑥 nhân quả).→ 𝑥(−) = 0.75

Đáp án: 0.75Câu 22:

Xác định tín hiệu tuần hoàn 𝑥(𝑡) có các hệ số chuỗi Fourier của tín hiệu này và tầnsố cơ sở được cho như sau:

𝑋[𝑘] = −𝑗𝛿[𝑘 − 2] + 𝑗𝛿[𝑘 + 2] + 2𝛿[𝑘 − 3] + 2𝛿[𝑘 + 3] và Ω0 = 𝜋

Trang 7

Câu 24:

Cho 1 tín hiệu𝑥[𝑛] = (𝛿[𝑛] − 2𝛿[𝑛 − 1] + 2𝛿[𝑛 − 2]) ∗ (𝛿[𝑛] − 𝛿[𝑛 − 1] + 𝛿[𝑛 − 2]).Tính giá trị của biến đổi Z của 𝑥[𝑛] khi 𝑧 = 12

Lời giải:

Ta có:• 𝑥1[𝑛] = 𝛿[𝑛] − 2𝛿[𝑛 − 1] + 2𝛿[𝑛 − 2] có biển đổi 𝑍(𝑥1[𝑛]) = 1 − 2𝑧−1+ 2𝑧−2.• 𝑥2[𝑛] = 𝛿[𝑛] − 𝛿[𝑛 − 1] + 𝛿[𝑛 − 2] có biến đổi 𝑍(𝑥2[𝑛]) = 1 − 𝑧−1+ 𝑧−2.→ 𝑍(𝑥[𝑛]) = 𝑍(𝑥1[𝑛])𝑍(𝑥2[𝑛])

= (1 − 2𝑧−1+ 2𝑧−2)(1 − 𝑧−1+ 𝑧−2)Thay 𝑧 = 12, có:

𝑋(12) = 15

Đáp án: 15Câu 25:

Tìm chu kỳ cơ sở của tín hiệu sau: 𝑥(𝑡) = 2 cos(𝜋𝑡2) + sin(5𝜋𝑡3 )

Lời giải:

Trang 8

Ta có:• Chu kì của 2 cos(𝜋𝑡2) là 4.• Chu kì của sin(5𝜋𝑡3 ) là 6.Như vậy, chu kì của 𝑥(𝑡) = 2 cos(𝜋𝑡2) + sin(5𝜋𝑡3 ) là lcm(4, 6) = 12.

Đáp án: 12Câu 26:

Tìm chu kỳ cơ sở của tín hiệu sau: 𝑥(𝑡) = 2 cos(𝜋3𝑡) + sin(5𝜋2 𝑡)

Lời giải:

Ta có:• Chu kì của 2 cos(𝜋3𝑡) là 6.• Chu kì của sin(5𝜋2 𝑡) là 4.Như vậy, chu kì của 𝑥(𝑡) = 2 cos(𝜋3𝑡) + sin(5𝜋2 𝑡) là lcm(6, 4) = 12

Đáp án: 12Câu 27:

Xác định chu kỳ cơ sở của tín hiệu 𝑥(𝑡) = cos(𝜋𝑡) − cos(2𝜋𝑡 + 𝜋3)

Lời giải:

Ta có:• Chu kì của cos(𝜋𝑡) là 2.• Chu kì của cos(2𝜋𝑡 + 𝜋3) là 1.Như vậy, chu kì của 𝑥(𝑡) = cos(𝜋𝑡) − cos(2𝜋𝑡 + 𝜋3) là lcm(1, 2) = 2

Xác định chu kỳ cơ sở của tín hiệu 𝑥(𝑡) = 2 cos(𝑡) − sin(5𝜋𝑡)

Lời giải:

Ta có:• Chu kì của 2 cos(𝑡) là 2𝜋.• Chu kì của sin(5𝜋𝑡) là 2.Như vậy, 𝑥(𝑡) không tuần hoàn do 2𝜋2 = 𝜋 là vô tỉ

Xác định chu kì cơ sở của tín hiệu 𝑥[𝑛] = 2 cos(𝜋𝑛2 ) + cos(5𝜋𝑛4 )

Lời giải:

Ta có:• Chu kì của cos(𝜋𝑛2 ) là 4

Trang 9

• Chu kì của cos(5𝜋𝑛4 ) là 8.Như vậy, 𝑥[𝑛] = 2 cos(𝜋𝑛2 ) + cos(5𝜋𝑛4 ) có chu kỳ là lcm(4, 8) = 8.

Xác định chu kì cơ sở của tín hiệu 𝑥[𝑛] = 2 cos(𝜋3𝑛) + sin(2𝜋𝑛)

Lời giải:

Ta có:• Chu kì của 2 cos(𝜋3𝑛) là 6.• Chu kì của sin(2𝜋𝑛) là 1.Như vậy, 𝑥[𝑛] = 2 cos(𝜋3𝑛) + sin(2𝜋𝑛) có chu kỳ là lcm(6, 1) = 6

Xác định giá trị của 𝑥(𝑡) tại 𝑡 = 0 biết nó nhân quả và có biến đổi Laplace là:𝑋(𝑠) = 4𝑠6𝑠−12+2𝑠

Lời giải:

𝑋(𝑠) = 4𝑠6𝑠−12+2𝑠= −2𝑠1 + 2𝑠+14

= −12

𝑠 + 2

𝑠+12

→ 𝑥(𝑡) = −12𝑢(𝑡) + 2𝑒−1

2𝑡𝑢(𝑡) (Do 𝑥 nhân quả).→ 𝑥(+∞) = 32

Đáp án: 1,50Câu 33:

(1−𝑧−1)(1+12𝑧−1)

Lời giải:

Trang 10

→ 𝑥[𝑛] = 2𝑢[𝑛] + (−12)𝑛𝑢[𝑛] (Do 𝑥 nhân quả).→ 𝑥[0] = 3

Xác định giá trị của 𝑥[𝑛] tại 𝑛 = +∞ biết nó nhân quả và có biến đổi Z là:𝑋(𝑧) = 5−3𝑧−1

Xác định giá trị của 𝑥[𝑛] tại 𝑛 = 0 biết nó nhân quả và có biến đổi Z là:𝑋(𝑧) = 1+𝑧−1

Trang 11

→ 𝑥[𝑛] = 3𝑢[𝑛] − 2(13)𝑛𝑢[𝑛] (Do 𝑥 nhân quả).→ 𝑥[0] = 1

Đáp án: 1Câu 37: Giống câu 36 ra 1.Câu 38:

Xác định giá trị của 𝑥[𝑛] tại 𝑛 = +∞ biết nó nhân quả và có biến đổi Z là:𝑋(𝑧) = (1−𝑧−11+𝑧)(1−−11

→ 𝑥[𝑛] = 3𝑢[𝑛] − 2(13)𝑛𝑢[𝑛] (Do 𝑥 nhân quả).→ 𝑥[+∞] = 3

→ 𝑥[𝑛] = 6𝑢[𝑛] + 2(−13)𝑛𝑢[𝑛] (Do 𝑥 nhân quả).→ 𝑥[0] = 8

→ 𝑥[𝑛] = 6𝑢[𝑛] + 2(−13)𝑛𝑢[𝑛] (Do 𝑥 nhân quả)

Trang 12

→ 𝑥[+∞] = 6

0|𝑥(𝑡)|2d𝑡= ∫1

0 4 d𝑡= 4

Đáp án: Năng lượng 𝐸𝑥 = 4

Câu 44:

Tín hiệu 𝑥(𝑡) = 2 cos(𝜋3𝑡) có:

Trang 13

Lời giải:

Đây là tín hiệu tuần hoàn có chu kì là 6, như vậy:𝑃𝑥 = 16∫6

0|𝑥(𝑡)|2d𝑡= 23∫6

0| cos(𝜋3𝑡)|2d𝑡= 23 × 3

0|𝑥(𝑡)|2d𝑡= 4 ∫3

0| cos(𝜋3𝑡)|2d𝑡= 4 × 32

0| sin(𝜋3𝑡)|2d𝑡= 32 × 3

Trang 14

Đáp án: Tín hiệu công suất 𝑃𝑥 = 1.

Câu 51: Giống câu 50, Tín hiệu công suất 𝑃𝑥 = 1

Trang 15

Đáp án: Tín hiệu năng lượng 𝐸𝑥 = 2.

|ℎ[𝑛]| < +∞• ∑∞𝑛=−∞|𝑛2−𝑛𝑢[𝑛]| < 3 hữu hạn

• ∑∞𝑛=−∞|2−𝑛𝑢[𝑛]| < 2 hữu hạn.• ∑∞𝑛=−∞|2−𝑛cos(𝑛)𝑢[𝑛]| < ∑∞𝑛=−∞|2−𝑛𝑢[𝑛]| hữu hạn.• ∑∞𝑛=−∞| cos(𝑛)𝑢[𝑛]| không bị chặn

Đáp án: ℎ(𝑛) = cos(𝑛)𝑢[𝑛]Câu 54:

Cho tín hiệu 𝑥(𝑡) = 2 cos(𝜋𝑡) − sin(5𝜋𝑡) Nhận xét nào sau đây đúng:

Lời giải:

• Tín hiệu tuần hoàn chu kỳ 𝑇 = 2 nên nó là tín hiệu công suất hay nó có công suấthữu hạn và năng lượng vô hạn

• Tín hiệu không nhân quả vì khi 𝑡 < 0 thì vẫn có 𝑥(𝑡) ≠ 0

Đáp án: Tín hiệu có công suất hữu hạnCâu 55:

Xác định các hệ số chuỗi Fourier của tín hiệu𝑥(𝑡) = sin(𝜋3𝑡 −𝜋2) + 2 cos(𝜋2𝑡)

Lời giải:

Tín hiệu có chu kỳ 𝑇 = 12, 𝑤0 = 2𝜋𝑇 = 𝜋6.𝑥(𝑡) = − cos(𝜋3𝑡) + 2 cos(𝜋2𝑡)

Trang 16

2𝑒𝑗𝜋4với 𝑘=1

32𝑒−𝑗𝜋4với 𝑘=−10 với 𝑘=0

0 𝑥(𝑡)𝑒−𝑗𝑤0𝑘𝑡d𝑡= 12∫1

0 𝑒−𝑗𝑤0𝑘𝑡d𝑡= 12(−𝑗𝑤1

0𝑘)𝑒−𝑗𝑤0𝑘𝑡 |1

0

= 1−𝑒𝑗2𝜋𝑘−𝑗𝜋𝑘

Đáp án: 𝑋[𝑘] = 1−𝑒𝑗2𝜋𝑘−𝑗𝜋𝑘Câu 59:

Xác định mối quan hệ giữa hai tín hiệu 𝑥(𝑡) và 𝑥1(𝑡) biểu diễn trong hình vẽ dưới:

Trang 17

Hình 1: 59

Lời giải:

Nhận xét:• Các đỉnh mốc của 𝑥1(𝑡) có giá trị giống như 𝑥(𝑡) nên hệ số là 1.• Hình dạng của đồ thị không đổi nên khả năng không có phép lật.• Đặt 𝑥1(𝑡) = 𝑥(𝑎𝑡 + 𝑏):

‣ 𝑥(0) = 𝑥1(−32) = 𝑥(𝑎(−32) + 𝑏) → 0 = −32𝑎 + 𝑏‣ 𝑥(−3) = 𝑥1(−3) = 𝑥(𝑎(−3) + 𝑏) → −3 = −3𝑎 + 𝑏→ 𝑎 = 2, 𝑏 = 3 → 𝑥1(𝑡) = 𝑥(2𝑡 + 3)

Đáp án: 𝑥1(𝑡) = 𝑥(2𝑡 + 3)

Câu 60:

Xác định mối quan hệ giữa hai tín hiệu 𝑥(𝑡) và 𝑥1(𝑡) biểu diễn trong hình vẽ dưới:

Hình 2: 60

Trang 18

Lời giải:

Nhận xét:• Các đỉnh mốc của 𝑥1(𝑡) có giá trị giống như 𝑥(𝑡) nên hệ số là 1.• Hình dạng của đồ thị bị đảo ngược nên hệ số của 𝑡 sẽ âm.• Đặt 𝑥1(𝑡) = 𝑥(𝑎𝑡 + 𝑏):

‣ 𝑥(2) = 𝑥1(12) = 𝑥(𝑎(12) + 𝑏) → 2 = 12𝑎 + 𝑏‣ 𝑥(−3) = 𝑥1(3) = 𝑥(𝑎3 + 𝑏) → −3 = 3𝑎 + 𝑏→ 𝑎 = −2, 𝑏 = 3 → 𝑥1(𝑡) = 𝑥(−2𝑡 + 3)

‣ 𝑥(−6) = 𝑥1(32) = 𝑥(𝑎(32) + 𝑏) → −6 = 32𝑎 + 𝑏‣ 𝑥(1) = 𝑥1(−2) = 𝑥(𝑎(−2) + 𝑏) → 1 = −2𝑎 + 𝑏→ 𝑎 = −2, 𝑏 = −3 → 𝑥1(𝑡) = 𝑥(−2𝑡 − 3)

Trang 19

Ta xét biển đổi Laplace:• ℒ(𝑥(𝑡)) = 𝑠+11

• ℒ(𝑦(𝑡)) = ℒ(𝑒−𝑡) − ℒ(𝑡𝑒−𝑡)

= 𝑠+11 + d𝑠d(𝑠+11 )= 𝑠+11 − 1

Đáp án: 𝐻(𝑤) = 𝑗𝑤+1𝑗𝑤Câu 63:

Tìm đáp ứng tần số của hệ thống TTBB rời rạc biết rằng đáp ứng của hệ thống nàyvới tín hiệu 𝑥[𝑛] = 4𝛿[𝑛] + 4𝛿[𝑛 − 1] + 𝛿[𝑛 − 2] và 𝑦[𝑛] = 𝛿[𝑛] − 2𝛿[𝑛 − 1]

Lời giải:

Ta xét biến đổi Z:• 𝒵(𝑥[𝑛]) = 4 + 4𝑧−1+ 𝑧−2• 𝒵(𝑦[𝑛]) = 1 − 2𝑧−1• 𝐻(𝑧) = 4+4𝑧1−2𝑧−1+𝑧−1−2

Lời giải:

Ta xét biến đổi Fourier:• 𝑥(𝑡) có chu kì 𝑁 = 12, 𝑤0 = 2𝜋𝑁 = 𝜋6𝑥(𝑡) = 2𝑗1(𝑒𝑗𝜋4𝑒𝑗𝜋3𝑡− 𝑒−𝑗𝜋4𝑒−𝑗𝜋3𝑡) + 𝑒𝑗𝜋4𝑡𝑒−𝑗𝜋3 + 𝑒−𝑗𝜋4𝑡𝑒𝑗𝜋3

Trang 20

→ 𝑥(𝑡) = −2𝑗𝑒𝑗4𝑒𝑗3𝑡+ 𝑗2𝑒−𝑗4𝑒−𝑗3𝑡 + 𝑒−𝑗3𝑒𝑗4𝑡 + 𝑒𝑗3𝑒−𝑗4𝑡

→ 𝑋(𝜋3) = −2𝑗𝑒𝑗𝜋4 (Hệ số của 𝑒𝑗𝜋3𝑡)• 𝑦(𝑡) có chu kì 𝑁 = 12, 𝑤0 = 2𝜋𝑁 = 𝜋6𝑦(𝑡) = −12𝑒−𝑗𝜋4𝑒𝑗𝜋3𝑡 − 12𝑒𝑗𝜋4𝑒−𝑗𝜋3𝑡 +12𝑒−𝑗2𝜋3 𝑒𝑗𝜋4𝑡+ 12𝑒𝑗2𝜋3 𝑒−𝑗𝜋4𝑡

→ 𝑌 (𝜋3) = −12𝑒−𝑗𝜋4

→ 𝐻(𝜋3) = 𝑌 (𝜋3)

𝑋(𝜋3) = 1𝑗𝑒−𝑗𝜋2 = −1

Đáp án: 𝑦0(𝑡) = 5𝑒−2𝑡𝑢(𝑡) − 4𝑒−3𝑡𝑢(𝑡)

Câu 67:

Tìm đáp ứng tự nhiên của hệ thống được biểu diễn bởi phương trình vi phân 𝑦″(𝑡) +𝑦(𝑡) = 𝑥′(𝑡) + 𝑥(𝑡) với các điều kiện khởi đầu 𝑦(0−) = 1 và 𝑦′(0−) = 1

Trang 21

Lời giải:

𝜆2+ 1 = 0 → 𝜆 = {±𝑗}→ 𝑦(𝑡) = 𝑐1𝑒𝑗𝑡𝑢(𝑡) + 𝑐2𝑒−𝑗𝑡𝑢(𝑡)• 𝑦(0−) = 1 → 𝑐1+ 𝑐2 = 1• 𝑦′(0−) = 1 → 𝑗𝑐1− 𝑗𝑐2 = 1→ 𝑐1 = 𝑗+12 , 𝑐2 = 1−𝑗2 → 𝑦0(𝑡) = 𝑗2(𝑒𝑗𝑡− 𝑒−𝑗𝑡)𝑢(𝑡) + 12(𝑒𝑗𝑡+ 𝑒−𝑗𝑡)𝑢(𝑡)→ 𝑦0(𝑡) = − sin(𝑡)𝑢(𝑡) + cos(𝑡)𝑢(𝑡)

• 𝑦′(0−) = 2 → −2𝑐1 + 𝑐2 = 2→ 𝑐1 = 1, 𝑐2 = 4 → 𝑦0(𝑡) = 𝑒−2𝑡𝑢(𝑡) + 4𝑡𝑒−2𝑡𝑢(𝑡)

3 = 2• 𝑦[−2] = 0 → 𝑐1+ 𝑐2

9 = 0→ 𝑐1 = 12, 𝑐2 = −92 → 𝑦0[𝑛] = 12𝑢[𝑛] − 92(−3)𝑛𝑢[𝑛]

Đáp án: 𝑦0[𝑛] = [12 − 12(−3)𝑛+2]𝑢[𝑛]

Câu 70:

Tìm đáp ứng tự nhiên của một hệ thống được mô tả bởi phương trình sai phân 𝑦[𝑛] + 2𝑦[𝑛 − 1] − 3𝑦[𝑛 − 2] = 𝑥[𝑛 − 1] với các điều kiện đầu y[−1] = −2 và y[−2] =0

Lời giải:

Trang 22

𝜆2+ 2𝜆 − 3 = 0 → 𝜆 ∈ {1, −3}→ 𝑦[𝑛] = 𝑐1𝑢[𝑛] + 𝑐2(−3)𝑛𝑢[𝑛]• 𝑦[−1] = 2 → 𝑐1− 𝑐2

3 = −2• 𝑦[−2] = 0 → 𝑐1+ 𝑐2

9 = 0→ 𝑐1 = −12, 𝑐2 = 92 → 𝑦0[𝑛] = −12𝑢[𝑛] + 92(−3)𝑛𝑢[𝑛]

Đáp án: 𝑦0[𝑛] = [−12 + 12(−3)𝑛+2]𝑢[𝑛]

Câu 71:

Tìm đáp ứng tự nhiên của một hệ thống được mô tả bởi phương trình sai phân 𝑦[𝑛] + 2𝑦[𝑛 − 1] − 3𝑦[𝑛 − 2] = 𝑥[𝑛 − 1] với các điều kiện đầu y[−1] = 1 và y[−2] =−1

Lời giải:

𝜆2+ 2𝜆 − 3 = 0 → 𝜆 ∈ {1, −3}→ 𝑦[𝑛] = 𝑐1𝑢[𝑛] + 𝑐2(−3)𝑛𝑢[𝑛]• 𝑦[−1] = 2 → 𝑐1− 𝑐2

3 = 1• 𝑦[−2] = 0 → 𝑐1+ 𝑐2

9 = −1→ 𝑐1 = −12, 𝑐2 = 92 → 𝑦0[𝑛] = −12𝑢[𝑛] − 92(−3)𝑛𝑢[𝑛]

• 𝑦′(0−) = 2 → 2𝑐1 + 𝑐2 = 2→ 𝑐1 = 1, 𝑐2 = 4 → 𝑦0(𝑡) = 𝑒2𝑡𝑢(𝑡)

Trang 23

• 𝑦[−1] = 0 → 𝑐1− 𝑐2

3 = 0• 𝑦[−2] = 3 → 𝑐1+ 𝑐2

9 = 3→ 𝑐1 = 94, 𝑐2 = 274 → 𝑦0[𝑛] = 94𝑢[𝑛] + 274(−3)𝑛𝑢[𝑛]

Tìm một chu kỳ của tín hiệu tuần hoàn 𝑥[𝑛] với các hệ số chuỗi Fourier tín hiệu nàyđược cho như sau:

𝑋[𝑘] = cos(4𝜋11𝑘) + 2𝑗 sin(6𝜋11𝑘)

Lời giải:

𝑋[𝑘] = 12(𝑒𝑗4𝜋11𝑘+ 𝑒−𝑗4𝜋11𝑘) + (𝑒𝑗6𝜋11𝑘− 𝑒−𝑗6𝜋11𝑘)→ 𝑥[𝑛] = 12𝛿[𝑛 − 2] + 12𝛿[𝑛 + 2] + 𝛿[𝑛 − 3] − 𝛿[𝑛 + 3] với −5 ≤ 𝑛 ≤ 5

−∞𝑒2𝑤𝑒𝑗𝑤𝑡d𝑤 + 2𝜋1 ∫+∞

0 𝑒−2𝑤𝑒𝑗𝑤𝑡d𝑤= 2𝜋1 2+𝑗𝑡1 + 2𝜋1 2−𝑗𝑡1

= 𝜋14+𝑡12= 𝜋(𝑡21+4)

Đáp án: 𝑥[𝑛] = 2𝜋1Câu 78:

Trang 24

Tìm tín hiệu 𝑥[𝑛] có biến đổi Fourier 𝑋(Ω) = sin(2Ω + 𝜋2)

Lời giải:

𝑋(Ω) = 2𝑗1(𝑒𝑗(2Ω+𝜋2)− 𝑒𝑗(−2Ω−𝜋2))= 12𝑒𝑗2Ω + 12𝑒−𝑗2Ω

1−𝑒−𝑗𝜋5 𝑒−𝑗𝑤0𝑡2

Trang 25

−∞ ℎ(𝜏 )𝑥(𝑡 − 𝜏 ) d𝜏= ∫+∞

0 𝑒−2𝑡(1 + cos(2𝑡 − 2𝜏 )) d𝜏= ∫+∞

0 (𝑒−2𝑡+ 12𝑒−2𝑡𝑒2𝑡−2𝜏 +12𝑒−2𝑡𝑒2𝜏−2𝑡) d𝜏= 1 + 14𝑒−4𝑡

Đáp án: ?Câu 83:

Tìm đáp ứng của hệ thống TTBB có đáp ứng xung ℎ(𝑡) = 𝛿(𝑡) − 2𝛿(𝑡 − 1) + 𝛿(𝑡 − 2)với tín hiệu 𝑥(𝑡) = 𝑢(𝑡)

Lời giải:

𝑦(𝑡) = 𝑥(𝑡) ∗ ℎ(𝑡)= 𝛿(𝑡)𝑢(𝑡) − 2𝛿(𝑡 − 1)𝑢(𝑡) + 𝛿(𝑡 − 2)𝑢(𝑡)= 𝑢(𝑡) − 2𝑢(𝑡 − 1) + 𝑢(𝑡 − 2)

𝑦(𝑡) =

⎩⎨{1 với 𝑡∈[0,1)

−1 với 𝑡∈[1,2)0 với còn lại

Đáp án: 𝑦(𝑡) =

⎩⎨{1 với 𝑡∈[0,1)

−1 với 𝑡∈[1,2)0 với còn lại

Câu 85:

Trang 26

Tìm đáp ứng của hệ thống TTBB có đáp ứng xung ℎ(𝑡) = 𝑒−𝑡𝑢(𝑡) với tín hiệu vào 𝑥(𝑡) = 𝑢(𝑡 − 1)

Lời giải:

𝑋(𝑠) = 𝑒−𝑠𝑠𝐻(𝑠) = 𝑠+11→ 𝑌 (𝑠) = 𝑠(𝑠+1)𝑒−𝑠→ 𝑌 (𝑠) = 𝑒−𝑠𝑠 − 𝑠+1𝑒−𝑠→ 𝑦(𝑡) = (1 − 𝑒−𝑡)𝑢(𝑡 − 1)

= − sin(𝜋2𝑡) − cos(𝜋2𝑡) − 2 cos(𝜋2)= − sin(𝜋2𝑡) − 3 cos(𝜋2𝑡)

𝑦𝑠(𝑡) = 𝑐1𝑒−2𝑡𝑢(𝑡) + 𝑐2𝑒−3𝑡𝑢(𝑡) + 𝑢(𝑡)• 𝑐1+ 𝑐2+ 1 = 0

• −2𝑐1− 3𝑐2 = 0→ 𝑐1 = −3, 𝑐2 = 2

Đáp án: 𝑢(𝑡) − 3𝑒−2𝑡𝑢(𝑡) + 2𝑒−3𝑡𝑢(𝑡)

Trang 27

𝑦𝑠[𝑛] = (𝑐1(−2)𝑛+ 252−𝑛)𝑢[𝑛]𝑦𝑠[0] = 0 → 𝑐1 = −25

𝑦𝑠[𝑛] = (𝑐12𝑛− 232−𝑛)𝑢[𝑛]𝑦𝑠[0] = 0 → 𝑐1 = 23

Đáp án: 𝑦𝑠[𝑛] = (232𝑛−232−𝑛)𝑢[𝑛]

Câu 90:

Tìm đáp ứng cưỡng bách của một hệ thống được mô tả bởi phương trình vi phân 𝑦″(𝑡) − 3𝑦′(𝑡) + 2𝑦(𝑡) = 𝑥′(𝑡) với tín hiệu vào 𝑥(𝑡) = sin(2𝑡)𝑢(𝑡) Phát biểu nào sauđây KHÔNG ĐÚNG:

Lời giải:

𝜆2− 3𝜆 + 2𝜆 = 0 → 𝜆 ∈ {1, 2} → 𝑒𝑡𝑢(𝑡), 𝑒2𝑡𝑢(𝑡) là thành phần của đáp ứng cưỡngbách của 𝑦𝑠(𝑡)

𝑥(𝑡) = sin(2𝑡)𝑢(𝑡) → sin(2𝑡)𝑢(𝑡), cos(2𝑡)𝑢(𝑡) là thành phần của đáp ứng cưỡng báchcủa 𝑦𝑠(𝑡)

Đáp án: 𝑒−𝑡𝑢(𝑡) là một thành phần của đáp ứng cưỡng bách 𝑦𝑠(𝑡)

Câu 91:

Tìm đáp ứng cưỡng bách của một hệ thồng được mô tả bởi phương trình vi phân 𝑦″(𝑡) + 3𝑦′(𝑡) + 2𝑦(𝑡) = 𝑥′(𝑡) với tín hiệu đầu vào 𝑥(𝑡) = sin(2𝑡)𝑢(𝑡) Phát biểu nàosau đây KHÔNG ĐÚNG

Trang 28

Lời giải:

• Nghiệm thuần nhất của hệ thống là:𝜆2+ 3𝜆 + 2 = 0 → 𝜆 ∈ {−1, −2}

→ 𝑒−𝑡, 𝑒−2𝑡 là đáp ứng cưỡng bách của hệ thống.• 𝑥(𝑡) = sin(2𝑡)𝑢(𝑡) nên nghiệm riêng của hệ thống là:sin(2𝑡)𝑢(𝑡) và cos(2𝑡)𝑢(𝑡)

Thay 𝑠 = 𝑗𝑤, có:→ 𝐻(𝑤) = 1+𝑤𝑒−𝑗𝑤2→ 𝐻(𝑤) = cos(−𝑤)1+𝑤2 + 𝑗sin(−𝑤)1+𝑤2→ 𝜙𝐻(𝑤) = arctan(Im(𝐻(𝑤))Re(𝐻(𝑤)))

= arctan(cos(−𝑤)sin(−𝑤))= −𝑤

𝑦(𝑡) = −12(𝑒−𝑗𝜋4𝑒𝑗𝜋3𝑡+ 𝑒𝑗𝜋4𝑒−𝑗𝜋3𝑡) + 12(𝑒−𝑗2𝜋3 𝑒𝑗𝜋4𝑡 + 𝑒𝑗2𝜋3 𝑒−𝑗𝜋4𝑡)→ 𝑌 (𝜋3) = −12𝑒−𝑗𝜋

4

Trang 29

→ 𝐻(𝜋3) = −1→ 𝜙𝐻(𝜋3) = 𝜋

Lời giải:

𝑥(𝑡) = −2𝑗(𝑒𝑗𝜋

4𝑒𝑗𝜋3𝑡− 𝑒−𝑗𝜋

4𝑒−𝑗𝜋3𝑡) + (𝑒−𝑗𝜋

3𝑒𝑗𝜋4𝑡+ 𝑒𝑗𝜋

3𝑒−𝑗𝜋4𝑡)→ 𝑋(𝜋4) = 𝑒−𝑗𝜋3

Thay 𝑧 = 𝑒𝑗𝑤

→ 𝐻(𝑤) = 1−3𝑒2−𝑒−𝑗𝑤−𝑗𝑤

→ 𝐻(𝜋2) = 1+3𝑗2+𝑗

= (1 + 3𝑗)2−𝑗5= 5+5𝑗5

= 1 + 𝑗→ 𝜙𝐻(𝑤) = arctan(11) = 𝜋4

Đáp án: 𝜙𝐻(𝑤) = 𝜋4

Câu 96:

Trang 30

Tìm đáp ứng pha tại tần số Ω = 𝜋2 (rad/cycle) của hệ thống được mô tả bằng phươngtrình sai phân

2𝑦[𝑛] + 𝑦[𝑛 − 1] = 𝑥[𝑛] − 13𝑥[𝑛 − 1]

Lời giải:

2𝑌 (𝑧) + 𝑧−1𝑌 (𝑧) = 𝑋(𝑧) − 13𝑧−1𝑋(𝑧)→ 𝑋(𝑧)𝑌 (𝑧) = 1−

13𝑧−1

= (1 + 13𝑗)2+𝑗5

=

53+53𝑗

5

= 13 + 13𝑗

→ 𝜙𝐻(𝑤) = arctan(

11

Thay 𝑧 = 𝑒𝑗𝑤

→ 𝐻(𝑤) = 1+3𝑒2+𝑒−𝑗𝑤−𝑗𝑤

→ 𝐻(𝜋2) = 1−3𝑗2−𝑗

= (1 − 3𝑗)2+𝑗5= 5−5𝑗5

= 1 − 𝑗→ 𝜙𝐻(𝑤) = arctan(−11) = −𝜋4

Đáp án: 𝜙𝐻(𝑤) = −𝜋4

Câu 98:

Trang 31

Tìm đáp ứng pha tại tần số Ω = 𝜋2 (rad/cycle) của hệ thống được mô tả bằng phươngtrình sai phân

2𝑦[𝑛] − 𝑦[𝑛 − 1] = 𝑥[𝑛] + 13𝑥[𝑛 − 1]

Lời giải:

2𝑌 (𝑧) − 𝑧−1𝑌 (𝑧) = 𝑋(𝑧) + 13𝑧−1𝑋(𝑧)→ 𝑋(𝑧)𝑌 (𝑧) = 1+

13𝑧−1

= (1 + 13𝑗)2+𝑗5

=

53+53𝑗

5

= 1 + 𝑗→ 𝜙𝐻(𝑤) = arctan(11) = 𝜋4

0 𝑒𝑡(1−𝑗𝑤)d𝑡= 𝑒2(1−𝑗𝑤)−11−𝑗𝑤

Đáp án: 𝐻(𝑤) = 𝑒2(1−𝑗𝑤)−11−𝑗𝑤Câu 100:

Tìm đáp ứng tần số của hệ thống được mô tả bằng phương trình sai phân 4𝑦[𝑛] +4𝑦[𝑛 − 1] + 𝑦[𝑛 − 2] = 𝑥[𝑛] − 2𝑥[𝑛 − 1]

Lời giải:

4𝑌 (𝑧) + 4𝑧−1𝑌 (𝑧) + 𝑌 (𝑧) = 𝑋(𝑧) − 2𝑧−1𝑋(𝑧)→ 𝑋(𝑧)𝑌 (𝑧) = 1−2𝑧−1

(1+2𝑧−1)2

Thay 𝑧 = 𝑒𝑗Ω, có:𝐻(Ω) = 1−2𝑒−𝑗Ω

(1+2𝑧−𝑗Ω)2

Đáp án: 𝐻(Ω) = 1−2𝑒−𝑗Ω

(1+2𝑧−𝑗Ω)2

Trang 32

Thay 𝑠 = 𝑗𝑤, có:𝐻(𝑤) = −𝑤2𝑗𝑤+12+3𝑗𝑤+2

Đáp án: 𝐻(𝑤) = −𝑤2𝑗𝑤+12+3𝑗𝑤+2Câu 102:

Tìm đáp ứng tần số của hệ thống TTBB nhân quả được mô tả bằng phương trình viphân 𝑦″(𝑡) + 2𝑦′(𝑡) + 𝑦(𝑡) = 𝑥(𝑡 − 2)

Lời giải:

𝑠2𝑌 (𝑠) + 2𝑠𝑌 (𝑠) + 𝑌 (𝑠) = 𝑒−2𝑠𝑋(𝑠)→ 𝑋(𝑠)𝑌 (𝑠) = 𝑒−2𝑠

(𝑠+1)2

Thay 𝑠 = 𝑗𝑤, có:𝐻(𝑤) = 𝑒−2𝑗𝑤

Thay 𝑧 = 𝑒𝑗𝑤→ 𝐻(𝑤) = 1+3𝑒2+𝑒−𝑗𝑤−𝑗𝑤

Trang 33

→ 𝐻(𝜋2) = 1−3𝑗2−𝑗

= (1 − 3𝑗)2+𝑗5= 5−5𝑗5

= 1 − 𝑗→ |𝐻(𝜋2)| =√2

2+𝑧−1

Thay 𝑧 = 𝑒𝑗𝑤→ 𝐻(𝑤) = 1−13𝑒−𝑗𝑤

= 13 + 13𝑗→ |𝐻(𝜋2)| =

√23

Đáp án: |𝐻(𝜋2)| =

√23

= (𝛿[𝑛] + 𝛿[𝑛 − 1]) ∗ 𝑥[𝑛]= 𝑥[𝑛] + 𝑥[𝑛 − 1]

= 𝑢[𝑛] − 𝑢[𝑛 − 10] + 𝑢[𝑛 − 1] − 𝑢[𝑛 − 11]

Trang 34

𝑦[𝑛] =

⎩⎨{1 với n = 0 hoặc n = 10

2 với 1≤𝑛≤90 còn lại

Đáp án: 𝑦[𝑛] =

⎩⎨{1 với n = 0 hoặc n = 10

2 với 1≤𝑛≤90 còn lại

−∞ ℎ(𝜏 )𝑥(𝑡 − 𝜏 ) d𝜏= − ∫+∞

0 𝑒𝜏sin(𝜋2(𝑡 − 𝜏 )) d𝜏= −2𝑗1 ∫+∞

0 𝑒𝜏(𝑒𝑗𝜋2(𝑡−𝜏)− 𝑒−𝑗𝜋2(𝑡−𝜏)) d𝜏= −2𝑗1(−1−𝑗1𝜋

2

𝑒𝑗𝜋2𝑡 + 1+𝑗1𝜋

2

𝑒−𝑗𝜋2𝑡)

= −2𝑗1(− 1

1+𝜋24

)(𝑒𝑗𝜋2𝑡(1 + 𝑗𝜋2) − 𝑒−𝑗𝜋2𝑡(1 − 𝑗𝜋2))

= −2𝑗1(− 1

1+𝜋24

−∞ ℎ(𝜏 )𝑥(𝑡 − 𝜏 ) d𝜏= − ∫+∞

0 𝑒𝜏(cos(2(𝑡 − 𝜏 )) + 1) d𝜏= ∫+∞

0 𝑒𝜏 12(𝑒𝑗2(𝑡−𝜏)+ 𝑒𝑗2(𝜏−𝑡)) d𝜏 − 1= 12(1−2𝑗1 𝑒𝑗2𝑡+ 1+2𝑗1 𝑒−𝑗2𝑡) − 1

= 101((1 + 2𝑗)𝑒𝑗2𝑡+ (1 − 2𝑗)𝑒−𝑗2𝑡) − 1= 15cos(2𝑡) −25sin(2𝑡) − 1

Đáp án: 𝑦(𝑡) = 15[cos(2𝑡) − 2 sin(2𝑡)] − 1

Trang 36

ℎ[𝑛] = 12((𝑗

√22 )𝑛+ (−𝑗

√22 )𝑛)𝑢[𝑛]𝑦[𝑛] = ∑+∞𝑘=−∞ℎ[𝑘]𝑥[𝑛 − 𝑘]

= ∑+∞𝑘=0ℎ[𝑘](sin(𝜋2(𝑛 − 𝑘)) + 1)

= ∑+∞𝑘=0−2𝑗(𝑒𝑗𝜋2(𝑛−𝑘) 1

2((𝑗

√22 )𝑘+ (−𝑗

√22 )𝑘) − 𝑒−𝑗𝜋2(𝑛−𝑘) 1

2((𝑗

√22 )𝑘+ (−𝑗

√22 )𝑘)) +23

= −4𝑗(𝑒𝑗𝜋2𝑛( 1

1−𝑗

√22𝑒𝑗𝜋2

1+ 𝑗

√22𝑒𝑗𝜋2

) − 𝑒−𝑗𝜋2𝑛( 1

1− 𝑗

√22𝑒−𝑗𝜋2

1+ 𝑗

√22𝑒−𝑗𝜋2

)) +23

= −4𝑗(𝑒𝑗𝜋2𝑛 4

3 + 𝑒−𝑗𝜋2𝑛 4

3) + 23= 23sin(𝜋2𝑛) + 23

Đáp án: 𝑦[𝑛] = 43sin(𝜋2𝑛) +23cos(𝜋2𝑛) + 23

Câu 112:

Tìm đáp ứng của hệ thống có đáp ứng tần số 𝐻(Ω) = 1

1+12𝑒−𝑗Ω

với tín hiệu vào 𝑥[𝑛] = 2−𝑛+1𝑢[𝑛]

1+12𝑧−1

√22 )𝑛)𝑢[𝑛]

Trang 37

𝑦[𝑛] = ∑+∞𝑘=−∞ℎ[𝑘]𝑥[𝑛 − 𝑘]= ∑+∞𝑘=0ℎ[𝑘](cos(𝜋4(𝑛 − 𝑘)) + 1)

= ∑+∞𝑘=012(𝑒𝑗𝜋4(𝑛−𝑘) 1

2((𝑗

√22 )𝑘+ (−𝑗

√22 )𝑘) + 𝑒−𝑗𝜋4(𝑛−𝑘) 1

2((𝑗

√22 )𝑘+ (−𝑗

√22 )𝑘)) +23

= 14(𝑒𝑗𝜋

4𝑛( 1

1−𝑗

√22𝑒𝑗𝜋4

1+ 𝑗

√22𝑒𝑗𝜋4

) + 𝑒−𝑗𝜋

4𝑛( 1

1− 𝑗

√22𝑒−𝑗𝜋4

1+ 𝑗

√22𝑒−𝑗𝜋4

)) +23

= 14(𝑒𝑗𝜋4𝑛(𝑗 + 1 + 3−𝑗5 ) + 𝑒−𝑗𝜋4𝑛(3+𝑗5 + 1 − 𝑗)) + 23= 14(85(𝑒𝑗𝜋4𝑛+ 𝑒−𝑗𝜋4𝑛) + 45𝑗(𝑒𝑗𝜋4𝑛− 𝑒−𝑗𝜋4𝑛)) + 23= 45cos(𝜋4𝑛) − 25sin(𝜋4𝑛) + 23

Đáp án: 𝑦[𝑛] = 45cos(𝜋4𝑛) −25sin(𝜋4𝑛) + 23

Câu 114:

Tìm đáp ứng của hệ thống có đáp ứng tần số 𝐻(Ω) = 1

1−12𝑒−𝑗Ω

với tín hiệu vào 𝑥[𝑛] = 𝛿[𝑛] − 2𝛿[𝑛 − 1]

Lời giải:

ℎ[𝑛] = (12)𝑛𝑢[𝑛]𝑦[𝑛] = 𝑥[𝑛] ∗ ℎ[𝑛]

= (𝛿[𝑛] − 2𝛿[𝑛 − 1]) ∗ ℎ[𝑛]= ℎ[𝑛] − 2ℎ[𝑛 − 1]

𝑘=02−𝑘(3 + cos(𝜋(𝑛 − 𝑘) +𝜋3))= ∑+∞𝑘=02−𝑘(3 + 12𝑒𝑗𝜋(𝑛−𝑘)𝑒𝑗𝜋3 + 12𝑒−𝑗𝜋(𝑛−𝑘)𝑒−𝑗𝜋3)= 6 +12𝑒𝑗𝜋3+𝑗𝜋𝑛1

1−12𝑒−𝑗𝜋 + 12𝑒−𝑗𝜋3−𝑗𝜋𝑛1

1−12𝑒𝑗𝜋

= 6 +13(𝑒𝑗(𝜋3+𝜋𝑛)+ 𝑒−𝑗(𝜋3+𝜋𝑛))= 6 +23cos(𝜋𝑛 + 𝜋3)

Đáp án: 𝑦[𝑛] = 6 + 23cos(𝜋𝑛 + 𝜋3)

Trang 38

0 𝑒−𝜏𝑒−𝑡+𝜏d𝜏 𝑢(𝑡 − 1)= (𝑡 − 1)𝑒−𝑡𝑢(𝑡 − 1)

0 𝑒−𝜏cos(2𝑡 − 2𝜏 ) d𝜏= 12∫+∞

0 𝑒−𝜏(𝑒𝑗(2𝑡−2𝜏)+ 𝑒−𝑗(2𝑡−2𝜏)) d𝜏= 12(−1−2𝑗1 𝑒−𝜏𝑒𝑗(2𝑡−2𝜏)+ −1+2𝑗1 𝑒−𝑟𝑒−𝑗(2𝑡−2𝜏)) |+∞0= 101((−1 + 2𝑗)𝑒𝑗2𝑡− (1 + 2𝑗)𝑒−𝑗2𝑡)

= 101(−2 cos(2𝑡) + 2𝑗2𝑗 sin(2𝑡))= 15(− cos(2𝑡) − 2 sin(2𝑡))

Đáp án: 𝑦(𝑡) = 15(cos(2𝑡) + 2 sin(2𝑡))

Câu 118:

Tìm đáp ứng của hệ thống đáp ứng tần số 𝐻(Ω) = 1

1−12𝑒−𝑗Ω với tín hiệu vào 𝑥[𝑛] =2−𝑛𝑢[𝑛 − 1]

Lời giải:

ℎ[𝑛] = 2−𝑛𝑢[𝑛]→ 𝑦[𝑛] = ∑+∞−∞𝑥[𝑘]ℎ[𝑛 − 𝑘]

= ∑𝑛−10 2−𝑘2−𝑛−𝑘𝑢[𝑛 − 1]= 𝑛2−𝑛𝑢[𝑛 − 1]

Đáp án: 𝑦[𝑛] = 𝑛2−𝑛𝑢[𝑛 − 1]

Câu 119:

Tìm đáp ứng của hệ thống TTBB biểu diễn bởi đáp ứng xung

Trang 39

ℎ[𝑛] = 2−𝑛𝑢[𝑛 − 2] với tín hiệu vào 𝑥[𝑛] = 𝑢[𝑛].

Lời giải:

𝑦[𝑛] = ∑+∞𝑘=−∞𝑥[𝑘]ℎ[𝑛 − 𝑘]= ∑𝑛−2

𝑘=02−𝑛+𝑘𝑢[𝑛 − 2]= 2−𝑛(2𝑛−1− 1)𝑢[𝑛 − 2]= (12 − 2−𝑛)𝑢[𝑛 − 2]

= cos(𝑡) − sin(𝑡) − 2 sin(𝑡)= cos(𝑡) − 3 sin(𝑡)

Đáp án: 𝑦(𝑡) = cos(𝑡) − 3 sin(𝑡)Câu 121:

Tìm đáp ứng của hệ thống TTBB biểu diễn bởi đáp ứng xung ℎ[𝑛] = 𝑢[𝑛] với tín hiệuvào 𝑥[𝑛] = 𝑢[𝑛 − 3]

Lời giải:

𝑦[𝑛] = 𝑥[𝑛] ∗ ℎ[𝑛]= ∑+∞

𝑘=−∞𝑥[𝑘]ℎ[𝑛 − 𝑘]= ∑𝑛𝑘=31

= (𝑛 − 2)𝑢[𝑛 − 2]

Đáp án: 𝑦[𝑛] = (𝑛 − 2)𝑢[𝑛 − 2]Câu 122:

Tìm biến đổi Laplace và miền hội tụ (ROC) của biến đổi cho tín hiệu 𝑥(𝑡) = 𝛿(𝑡 + 1)

Lời giải:

𝑋(𝑠) = ∫+∞

−∞ 𝑥(𝑡)𝑒−𝑠𝑡d𝑡= ∫+∞

−∞ 𝛿(𝑡 + 1)𝑒−𝑠𝑡d𝑡= 𝑒𝑠

Trang 40

−∞𝑒5𝑡𝑢(−𝑡 + 3)𝑒−𝑠𝑡d𝑡= ∫3

−∞𝑒(5−𝑠)𝑡d𝑡= 5−𝑠1 (𝑒(5−𝑠)𝑡 |3

−∞)= 5−𝑠1 (𝑒3(5−𝑠)) (ROC: 5 − Re(𝑠) > 0 → Re(𝑠) < 5)

= −d𝑠d 1𝑠= 𝑠12

• ℒ(𝑥(𝑡)) = ℒ(𝑒3𝑡𝑢(𝑡))ℒ(𝑡𝑢(𝑡))

= 𝑠−31 𝑠12= 𝑠2(𝑠−3)1

→ 𝑥(𝑡) = 𝛿(𝑡) − 3𝑒−𝑡𝑢(𝑡) + 𝑒−2𝑡𝑢(𝑡) (Do 𝑥 nhân quả)