luận văn rèn luyện kĩ năng giải các bài toán cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối trong chương trình giải tích lớp 12

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC TRẦN THỊ THU TRANG RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI TRONG CHƯƠNG TRÌNH GIẢI TÍCH LỚP 12

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

TRẦN THỊ THU TRANG

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

TRONG CHƯƠNG TRÌNH GIẢI TÍCH LỚP 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

TRẦN THỊ THU TRANG

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

TRONG CHƯƠNG TRÌNH GIẢI TÍCH LỚP 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC

CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC

BỘ MÔN TOÁN HỌC Mã số: 8140209.01

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN TIẾN TRUNG

HÀ NỘI – 2023

LỜI CẢM ƠN Trong thời gian thực hiện đề tài nghiên cứu chuyên ngành Lí luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán tại khoa Sư phạm, Trường Đại học Giáo dục, tôi đã nhận được sự dẫn dắt, chỉ bảo, hướng dẫn tận tình của thầy cô, anh chị và bạn bè

Để hoàn thành luận văn thạc sĩ này, tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo, người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Tiến Trung đã luôn tận tình giúp đỡ và hướng dẫn tôi trong suốt quá trình thực hiện và hoàn thành luận văn

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, phòng Sau đại học Trường Đại học Giáo dục, các thầy cô giáo, học sinh các trường thực nghiệm đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu

Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới người thân trong gia đình, bạn bè, những người luôn cổ vũ, động viên tôi trong suốt thời gian qua để tôi có thể hoàn thành tốt luận văn

3 Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu 6

3.1 Mục tiêu nghiên cứu 6

3.2 Nhiệm vụ nghiên cứu 6

4 Khách thể và đối tượng, phạm vi nghiên cứu 7

4.1 Khách thể nghiên cứu 7

4.2 Đối tượng nghiên cứu 7

4.3 Phạm vi nghiên cứu 7

5 Giả thuyết nghiên cứu 7

6 Phương pháp nghiên cứu 7

1.1.5 Các yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành kĩ năng 13

1.2 Kĩ năng giải toán 14

1.2.1 Khái niệm kĩ năng giải toán 14

1.2.2 Vai trò của kĩ năng giải toán 16

1.2.3 Phân loại kĩ năng trong môn Toán 17

1.2.4 Các mức độ kĩ năng giải toán 20

1.3 Một số kỹ năng giải toán thường gặp khi giải bài toán cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối trong chương trình giải tích lớp 12 20

1.3.1 Một số kỹ năng 20

1.3.2 Phân tích chương trình 20

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM NHẰM RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ

TRỊ TUYỆT ĐỐI TRONG CHƯƠNG TRÌNH GIẢI TÍCH LỚP 12 23

2.1 Một số kiến thức cơ bản về vấn đề giải toán cực trị và hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối 23

3.4.3 Phương pháp nghiên cứu trường hợp 89

DANH MỤC BẢNG

Bảng 3.1: Thống kê kết quả kiểm tra của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng 91

Bảng 3.2: Phân loại kết quả học tập 91

Bảng 3.3: Xử lý số liệu thống kê 92

Bảng 3.4: Kiểm tra tính hiệu quả của việc thực nghiệm sư phạm 92

Bảng 3.5: Kiểm định phương sai 92

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Kỹ năng giải toán là khả năng vận dụng các tri thức toán học để giải các bài toán cụ thể Trong các nghiên cứu về kỹ năng giải toán, các tác giả đều thống nhất quan điểm chung: Trong toán học việc hình thành và phát triển kỹ năng giải toán là vấn đề cơ bản và quan trọng Kỹ năng giải bài tập toán học bao hàm một hệ thống các kỹ năng: kỹ năng giải bài tập vận dụng lý thuyết; kỹ năng tính toán; kỹ năng thực hành và các phép biến đổi Các kỹ năng này nằm trong một thể thống nhất, trong cùng một hệ thống Các kỹ năng đều có mối liên hệ chặt chẽ, hỗ trợ lẫn nhau; kỹ năng này là cơ sở hình thành kỹ năng kia và ngược lại; việc hình thành kỹ năng sau lại củng cố rèn luyện kỹ năng trước đó

Vai trò quan trọng của kĩ năng là góp phần củng cố kiến thức, cụ thể hóa, chính xác hóa lại kiến thức Điều này vừa là tính chất, đồng thời vừa là một mục tiêu quan trọng trong dạy học: Chú ý đến rèn luyện và phát triển kĩ năng cho học sinh, từ đó làm cơ sở cho việc kiểm tra, củng cố lại kiến thức, dần từng bước tiếp thu kiến thức và kĩ năng mới phù hợp với sự phát triển trí tuệ và rộng hơn là phù hợp với yêu cầu của cuộc sống

Thực tiễn, trong quá trình giải bài toán cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối trong chương trình giải tích lớp 12 khiến học sinh gặp nhiều khó khăn và hay mắc sai lầm hơn nữa giáo viên vẫn chưa quan tâm đến chủ đề này nhiều một phần vì chủ đề này khá khó và học sinh thường bỏ qua và không muốn tự luyện tập nhiều

Hơn nữa giải bài toán cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối không những giúp học sinh cải thiện kĩ năng nói chung mà còn giúp học sinh giải các bài toán khác ví dụ như giải bài toán liên quan đến hàm số (sự biến thiên, số giao điểm, giá trị lớn nhất – nhỏ nhất, …)

Tóm lại, song song với việc truyền thụ tri thức toán học thì việc rèn luyện kỹ năng đóng một vai trò quan trọng góp phần bồi dưỡng tư duy toán học cho học sinh

Kì thi trung học phổ thông quốc gia những năm gần đây ra đề thi môn Toán theo hình thức trắc nghiệm khách quan Điều đó đã tạo ra một sự chuyển biến đáng kể trong cách dạy và học chương trình THPT Để đạt được kết quả cao học sinh không những cần phải nắm vững các kiến thức cơ bản thuần thục các dạng Toán mà còn cần phải linh hoạt, sáng tạo để chọn được cách giải quyết vấn đề tốt nhất

Các đề thi Trung học Phổ thông Quốc gia những năm gần đây xuất hiện các câu hỏi về khảo sát hàm số và các vấn đề liên quan đến đồ thị hàm số đặc biệt những bài toán ở mức độ vận dụng vận dụng cao thường xuất hiện hàm hợp trong đó có nhiều bài toán liên quan đến cực trị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối Đa số học sinh đại trà thường để mất điểm ở những câu này còn đối với học sinh giỏi các em có thể làm được phần này nhưng cách giải thường mất khá nhiều thời gian

Bài toán cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối thường gây khó khăn cho cả người dạy và người học đặc biệt là bài toán chứa tham số Thực tiễn dạy học cho thấy khi gặp bài toán liên quan đến hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối học sinh thường sợ và ngại làm Nhưng nếu học sinh được học tập đầy đủ lí thuyết và có hệ thống công thức và một số dạng bài tập phù hợp thì các em sẽ có để giải bài tập một cách đơn giản hơn

Trong sách giáo khoa, sách bài tập và các tài liệu khác đa số đưa ra bài tập và giải nhưng ít có phương pháp khiến cho học sinh hiểu không rõ từng bước làm Trong quá trình giảng dạy và ôn thi, rất nhiều bài toán cực trị của hàm số chứa giá trị tuyệt đối và những lỗi sai học sinh thường mắc phải khi giải bài toán

tập trung vào việc tìm kiếm giá trị cực đại hoặc cực tiểu của giá trị tuyệt đối của một hàm số Đây là một lĩnh vực quan trọng trong tối ưu hóa và khoa học máy tính, với nhiều ứng dụng thực tế

Trong bài toán cực trị của hàm số chứa trị tuyệt đối, chúng ta tìm kiếm giá trị cực đại hoặc cực tiểu của giá trị tuyệt đối của hàm số Điều này đòi hỏi xác định các điểm tiềm năng là cực trị và kiểm tra tính chất của chúng

Nghiên cứu trong lĩnh vực này tập trung vào phát triển phương pháp tìm kiếm cực trị hiệu quả Đối với bài toán cực trị chứa trị tuyệt đối, việc tính toán đạo hàm và đạo hàm hai lần trở nên phức tạp hơn

Nghiên cứu trong lĩnh vực này xác định các điều kiện cần và đủ để một điểm là cực trị của hàm số chứa trị tuyệt đối Điều này bao gồm việc nghiên cứu tính chất của đạo hàm, điều kiện uốn cong, và các tiêu chí khác liên quan đến việc xác định cực trị

Nghiên cứu về bài toán cực trị của hàm số chứa trị tuyệt đối có nhiều ứng dụng thực tế, chẳng hạn như trong tối ưu hóa kế hoạch sản xuất, tối ưu hóa quyết định đầu tư tài chính, tối ưu hóa thiết kế, và nhiều lĩnh vực khác

Tối ưu hóa và cực trị là hai khái niệm căn bản trong toán học và khoa học máy tính, đóng vai trò quan trọng trong việc giải quyết các bài toán phức tạp và thực tế Khi nói đến bài toán cực trị của hàm số chứa trị tuyệt đối, chúng ta đang nói đến việc tối ưu hóa một hàm số không âm, nhằm tìm ra giá trị cực đại hoặc cực tiểu của giá trị tuyệt đối của hàm số đó Đây là một lĩnh vực nghiên cứu thú vị, có liên quan mật thiết đến nhiều khía cạnh của toán học, lý thuyết tối ưu, khoa học máy tính và ứng dụng thực tế

Mục tiêu chính của nghiên cứu về bài toán cực trị chứa trị tuyệt đối là tìm hiểu và phát triển các phương pháp, thuật toán và kỹ thuật để tìm kiếm các giá trị cực đại hoặc cực tiểu của giá trị tuyệt đối của hàm số Điều này đòi hỏi kiến thức sâu rộ về tính chất của hàm số, đạo hàm, đạo hàm hai lần, và các kiến thức về tối ưu hóa Một phần quan trọng của nghiên cứu này là phải xác

định được miền xác định của hàm số và điều kiện để một điểm là điểm cực trị

Phương pháp giải quyết bài toán cực trị chứa trị tuyệt đối thường liên quan đến việc tính toán đạo hàm của giá trị tuyệt đối của hàm số, đặt đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm tiềm năng, và sử dụng đạo hàm hai lần để kiểm tra tính chất của các điểm này Trong trường hợp hàm số phức tạp, việc tính toán đạo hàm và đạo hàm hai lần có thể trở nên phức tạp và đòi hỏi sự hỗ trợ của máy tính và phần mềm tính toán

Nghiên cứu về bài toán cực trị chứa trị tuyệt đối không chỉ ảnh hưởng đến lý thuyết toán học mà còn có tầm quan trọng trong thực tế Trong các lĩnh vực như kinh tế, kế hoạch sản xuất, tài chính, khoa học dữ liệu và machine learning, việc tối ưu hóa hàm mất mát dựa trên giá trị tuyệt đối giúp giảm thiểu tác động của các điểm ngoại lai và tạo ra các mô hình dự đoán tốt hơn

Tổng quan nghiên cứu về bài toán cực trị của hàm số chứa trị tuyệt đối chỉ là một phần nhỏ của lĩnh vực rộng lớn này Từ việc phân tích tính chất của các điểm cực trị đến phát triển các thuật toán tối ưu hóa sáng tạo, tất cả đều tạo nên một mô hình kiến thức đa dạng và cần thiết cho sự phát triển của toán học và các lĩnh vực ứng dụng liên quan

Các công trình nghiên cứu về bài toán cực trị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối đã được thực hiện trong nhiều lĩnh vực, bao gồm toán học, tối ưu hóa, khoa học máy tính và các lĩnh vực ứng dụng Dưới đây là một số ví dụ về những công trình nghiên cứu tiêu biểu:

1."A Variable Metric Method for Minimization" - David G Luenberger (1963):

Trong công trình này, David Luenberger giới thiệu phương pháp giải quyết bài toán cực trị tổng quát, bao gồm cả bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối Ông đề xuất một phương pháp thống kê sử dụng ma trận giả nghịch đảo và đạo hàm ẩn Công trình này đã đóng góp quan trọng cho lĩnh vực tối ưu

2 "An Algorithm for Nonlinear Optimization Problems with Equations" - Richard H Byrd, Mary E Hribar, và Jorge Nocedal (1999):

Công trình này tập trung vào việc tối ưu hóa hàm số có các ràng buộc và phương trình Bài toán này có thể bao gồm cả dấu giá trị tuyệt đối Các tác giả đề xuất một phương pháp hybrid kết hợp giữa phương pháp Quasi-Newton và phương pháp ràng buộc để giải quyết các bài toán tối ưu phức tạp

3 "Gradient Projection and Newton's Method" - Roger Fletcher (1987): Công trình này tập trung vào việc tối ưu hóa hàm số có các ràng buộc bằng cách kết hợp phương pháp Gradient Projection và phương pháp Newton Các tác giả đã trình bày cách áp dụng các phương pháp này cho các bài toán có dấu giá trị tuyệt đối, đặc biệt là trong lĩnh vực tối ưu hóa ràng buộc

4 "Convex Optimization" - Stephen Boyd và Lieven Vandenberghe (2004):

Trong cuốn sách này, tác giả giới thiệu một cách cận thị cách tiếp cận tối ưu hóa dựa trên lập trình lồi (convex optimization) Các bài toán cực trị chứa dấu giá trị tuyệt đối thường được xử lý thông qua lý thuyết lồi, và cuốn sách cung cấp những phương pháp hiệu quả để giải quyết chúng

5 "Efficient L1 Regularized Least Squares Algorithms" - Stephen Boyd, Neal Parikh, Eric Chu, Borja Peleato, và Jonathan Eckstein (2011):

Công trình này tập trung vào việc tối ưu hóa hàm mất mát dựa trên giá trị tuyệt đối, đặc biệt là trong trường hợp của L1 regularization trong machine learning Các tác giả trình bày các phương pháp hiệu quả để tìm kiếm các tham số tối ưu trong các mô hình có dấu giá trị tuyệt đối

Từ những lí do nêu trên tôi lựa chọn nghiên cứu đề tài “Rèn luyện kĩ năng giải các bài toán cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối trong chương trình giải tích lớp 12”

Nội dung của đề tài nhằm rèn luyện cho học sinh một số kỹ năng làm bài tập liên quan đến bài toán cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

ngoài ra góp phần hình thành và phát triển các phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và năng lực Toán học cho học sinh Đề tài này cung cấp cho học sinh và giáo viên một phương pháp để giải bài toán cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối góp phần nâng cao chất lượng, kết quả dạy học, điểm số trong các kì thi

Cung cấp tài liệu cho học sinh và giáo viên để nâng cao điểm số và hiệu quả ôn thi trong các kì thi đặc biệt là kì thi trung học phổ thông quốc gia 3 Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu

3.1 Mục tiêu nghiên cứu

Nghiên cứu và đề xuất ra một số biện pháp nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh thông qua dạy học bài toán cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối trong chương trình giải tích lớp 12

3.2 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu cơ sở lý luận về kỹ năng giải toán - Nghiên cứu thực trạng kỹ năng giải toán của học sinh trong khi học bài toán cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối trong chương trình giải tích lớp 12

- Hệ thống hóa các kỹ năng cần rèn luyện cho học sinh và phân tích lý luận khi dạy học bài toán cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối trong chương trình giải tích lớp 12

- Qua thực nghiệm sư phạm, kiểm nghiệm tính khả thi của đề tài để áp

4 Khách thể và đối tượng, phạm vi nghiên cứu 4.1 Khách thể nghiên cứu

Quá trình dạy học toán ở trung học phổ thông, cụ thể là quá trình dạy học giải toán cho học sinh qua bài toán cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối trong chương trình giải tích lớp 12

4.2 Đối tượng nghiên cứu Kiến thức về cực trị của hàm số và quá trình dạy học giải toán cho học sinh qua bài toán cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối trong chương trình giải tích lớp 12

4.3 Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu chương trình toán học lớp 12, tập trung nghiên cứu bài toán cực trị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối để tìm ra các dạng toán giúp học sinh rèn luyện kĩ năng giải các bài toán

Nghiên cứu các bài toán cực trị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối xuất hiện trong sách giáo khoa, sách bài tập, các đề thi trung học phổ thông quốc gia, đề minh họa của bộ, đề thi thử của các trường

5 Giả thuyết nghiên cứu

Nếu rèn luyện được các kỹ năng giải toán cần cho học sinh khi dạy học bài toán cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối trong chương trình giải tích lớp 12 thì sẽ giúp học sinh nâng cao kết quả môn Toán

6 Phương pháp nghiên cứu

- Các phương pháp nghiên cứu lý luận Tìm các tài liệu liên quan đến đề tài

Sử dụng một số phương pháp như phân tích, đánh giá, tổng hợp, hệ thống hóa, khái quát hóa,… các tài liệu tìm được

- Các phương pháp nghiên cứu thực tiễn Quan sát quá trình học tập của học sinh qua các giờ học Điều tra mức độ phát triển kĩ năng giải các bài toán của học sinh thông qua các bài kiểm tra

- Trên cơ sở phân tích kỹ chương trình của Bộ giáo dục và Đào tạo, phân tích kĩ đối tượng học sinh Bước đầu mạnh dạn thay đổi từng tiết học, sau mỗi nội dung đều rút kinh nghiệm về kết quả thu được và đi đến kết luận

- Lựa chọn các bài tập phù hợp từ dễ đến khó, vận dụng hoạt động năng lực tư duy và kỹ năng vận dụng kiến thức của học sinh để từ đó đưa ra lời giải đúng cho bài toán

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN

1.1 Kĩ năng 1.1.1 Khái niệm kĩ năng

Thực tiễn cuộc sống luôn đặt ra cho con người thuộc các lĩnh vực lí luận thực hành hay nhận thức Để giải quyết được các công việc, con người cần vận dụng được vốn hiểu biết và kinh nghiệm xử lí các vấn đề gặp phải Yêu cầu cốt lõi nằm ở chỗ phải vận dụng chung nhất cho từng trường hợp cụ thể Trong quá trình đó, con người dần hình thành cho mình những kĩ năng giải quyết vấn đề mình đặt ra

Từ điển Tiếng Việt khẳng định: “Kỹ năng là khả năng vận dụng những kiến thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế” [29]

Theo giáo trình tâm lý học đại cương thì: “Kỹ năng là năng lực sử dụng các dữ kiện, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộc tính, bản chất của các sự vật và giải quyết thành công những nhiệm vụ lý luận hay thực hành xác định” [7]

Theo giáo trình Tâm lý học lứa tuổi và Tâm lý học Sư phạm thì: “Kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp) để giải quyết một nhiệm vụ mới” [17]

Kỹ năng có thể hiểu là khả năng vận dụng tri thức khoa học, những kiến thức được thu nhận trong một lĩnh vực nào đó vào thực tiễn [5]

Kỹ năng là một nghệ thuật, là khả năng vận dụng hiểu biết có được ở bạn để đạt được mục đích của mình, kỹ năng còn có thể đặc trưng như toàn bộ thói quen nhất định, kỹ năng là khả năng làm việc có phương pháp [14]

Các định nghĩa trên tuy không giống nhau về mặt từ ngữ nhưng đều nói rằng kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp…) để giải quyết một nhiệm vụ mới

- Kỹ năng chia thông tin thành các bộ phận và thiết lập sự phụ thuộc lẫn nhau giữa chúng (kỹ năng phân tích)

- Kỹ năng cải tổ các thông tin từ các nguồn khác nhau, trên cơ sở đó tạo nên mẫu mới (kỹ năng tổng hợp)

- Kỹ năng phán đoán về giá trị của một tư tưởng, phương pháp, tài liệu nào đó (kỹ năng đánh giá)

Trong luận văn này, quan niệm kỹ năng là khả năng vận dụng tri thức đã học để được hình thành khi chúng ta áp dụng kiến thức vào thực tiễn Kỹ năng là khả năng của chủ thể thực hiện thuần thục một hay một chuỗi hành động trên cơ sở hiểu biết (kiến thức hoặc kinh nghiệm) nhằm tạo ra kết quả mong đợi

1.1.3 Đặc điểm của kĩ năng

Trong vận dụng ta thường chú ý đến các đặc điểm của kỹ năng: - Bất kì kỹ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở lý thuyết, đó chính là kiến thức, bởi vì cấu trúc của kỹ năng bao gồm: Hiểu mục đích – biết cách thức đi đến kết quả - hiểu những điều kiện để triển khai những cách thức đó

- Kiến thức là cơ sở của kỹ năng khi kiến thức đó phản ánh đầy đủ các thuộc tính bản chất của đối tượng, được thử nghiệm trong thực tiễn và tồn tại trong ý thức với tư cách của hành động

- Muốn có kỹ năng về hành động nào đó cần phải có: +) Có kiến thức để hiểu được mục đích của hành động, biết được điều

+) Tiến hành hành động đó với yêu cầu của nó +) Đạt được kết quả phù hợp với mục đích đặt ra +) Có thể hành động có hiệu quả trong các điều kiện khác nhau +) Có thể bắt chước, rèn luyện để hình thành kỹ năng nhưng phải trải qua thời gian đủ dài

Tuy nhiên thực tiễn giáo dục cho thấy, học sinh gặp rất nhiều khó khăn trong việc vận dụng những khái niệm và những kiến thức đã lĩnh hội được vào giải quyết các nhiệm vụ cụ thể Cái khó nằm ở chỗ, học sinh không phát hiện những dấu hiệu bản chất của đối tượng, từ đó phát hiện ra những mối liên hệ bản chất giữa tri thức đã có với đối tượng đó Trong trường hợp này, tri thức không biến thành công cụ của hoạt động nhận thức, và như vậy khối kiến thức mà họ có là khối kiến thức khô cứng, không gắn với thực tiễn và không biến thành cơ sở của kỹ năng

Tri thức về các sự vật là rất đa dạng và phong phú, nó phản ánh những thuộc tính khác nhau và những thuộc tính bản chất của sự vật Như vậy để tri thức trở thành cơ sở lựa chọn đúng đắn cho các hành động thì cần phải biết lựa chọn tri thức một cách đúng đắn và hợp lý, nói cách khác, cần lựa chọn tri thức phản ánh thuộc tính bản chất, phù hợp mục tiêu của hành động

Trong thực tiễn giảng dạy tôi nhận thấy có rất nhiều học sinh thuộc lý thuyết nhưng không vận dụng được lý thuyết đó vào bài tập, không biết lựa chọn định nào vào bài toán nào cần giải quyết Nguyên nhân của hiện tượng đó là do kỹ năng chưa được hình thành

1.1.4 Sự hình thành kĩ năng

Để hình thành được kỹ năng trước hết cần có kiến thức làm cơ sở cho việc hiểu biết, luyện tập từng thao tác riêng rẽ cho đến khi thực hiện được hành động theo đúng mục đích yêu cầu…Kỹ năng chỉ được hình thành thông qua quá trình tư duy để giải quyết những nhiệm vụ đặt ra Khi tiến hành tư duy trên các sự vật thì chủ thể thường phải biến đổi phân tích đối tượng để

tách ra các khía cạnh và những thuộc tính mới Quá trình tư duy diễn ra nhờ các thao tác phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa và khái quát hóa cho đến khi hình thành được mô hình về mặt nào của đối tượng mang ý nghĩa bản chất đối với việc giải bài toán đã cho

Có thể dạy cho học sinh kỹ năng bằng các con đường khác nhau: Con đường thứ 1: Truyền thụ cho học sinh những tri thức cần thiết rồi sau đó đề ra các bài toán cần thiết để vận dụng những tri thức đó Từ đó học sinh sẽ phải tìm tòi cách giải bằng những con đường thử nghiệm đúng đắn hoặc sai lầm, qua đó phát hiện ra các mốc định hướng tương ứng, những phương thức cải biến thông tin, những thủ thuật hoạt động Người ta còn gọi con đường dạy học này là dạy học nêu vấn đề

Con đường thứ 2: Dạy cho học sinh nhận biết được các dấu hiệu mà từ đó có thể xác định được đường lối giải cho một dạng và vận dụng đường lối đó vào bài toán cụ thể

Con đường thứ 3: Dạy cho học sinh chủ yếu là các hoạt động tâm lý cần thiết đối với việc vận dụng tri thức Trong trường hợp này giáo viên không những chỉ cho học sinh tìm hiểu các mốc định hướng để chọn lọc các dấu hiệu và thao tác mà còn tổ chức các hoạt động cho học sinh trong việc cải biến sử dụng thông tin thu được để giải bài toán đặt ra

Trong giai đoạn đầu những mốc định hướng của đối tượng được đưa ra trước học sinh dưới dạng có sẵn, được vật chất hóa dưới dạng sơ đồ, ký hiệu về các đối tượng, còn thao tác và các mốc định hướng thì được thực hiện những hình thức, những hành động đối tượng

Ở giai đoạn thứ 2, các mốc định hướng và các thao tác cho đối tượng được thay thế bằng các ký hiệu và các hành động ngôn ngữ

Như vậy người giáo viên đã định hướng cho học sinh: Để chứng minh các bài toán trước hết phải phân dạng bài tập và tìm nội dung đã được học để tìm

các phương pháp giải toán Tuy nhiên để phát triển và khắc sâu các bài toán cho học sinh, giáo viên cần cho học sinh mở rộng bài toán: Tìm cách giải khác nhau, tổng quát hóa bài toán, khái quát hóa, trừu tượng hóa, tương tự hóa…

Như vậy, học sinh được hình thành kỹ năng tư duy suy luận logic Người ta còn gọi phương pháp dạy học nói trên là phương pháp hình thành các hành động trí tuệ qua từng giai đoạn Trên thực tế khi hình thành những tri thức mới ai cũng phải trải qua các giai đoạn này Tuy nhiên trong dạy học thông thường những giai đoạn không được tổ chức một cách có ý thức Vì thế học sinh phải tự phát hiện những dấu hiệu cảm tính hay những dấu hiệu logic mà điều chủ yếu là các em tự lựa chọn những hành động thích hợp để làm điều đó

Thực chất của sự hình thành kỹ năng là tạo cho học sinh khả năng nắm vững một hệ thống phức tạp các thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tạo các thông tin chứa đựng trong bài toán

Khi hình thành kỹ năng cho sinh cần tiến hành: - Giúp học sinh biết cách tìm tòi để nhận ra các yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm và mối quan hệ giữa chúng

- Giúp học sinh hình thành một một mô hình khái quát để giải các bài toán cùng loại

- Xác lập được mối quan hệ giữa các bài toán mô hình khái quát và kiến thức tương ứng

Sự hoạt động để hoạt động các kỹ năng và kỹ xảo bao gồm sự vận dụng bước đầu kiến thức và thực tiễn, công việc luyện tập để hoàn thiện hành động đó Sự hình thành các kỹ năng diễn ra thông minh hơn nếu ngoài hoạt động thực hành quá trình đó còn kèm cả hoạt động trí tuệ tích cực của học sinh nữa

1.1.5 Các yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành kĩ năng

Nội dung của bài toán: Nhiệm vụ đặt ra được trừu tượng hóa hay bị che

phủ bởi những yếu tố phụ làm lệch hướng tư duy có ảnh hưởng đến sự hình thành kĩ năng

Tâm thế và thói quen cũng ảnh hưởng đến sự hình thành kĩ năng Việc tạo ra tâm thế thuận lợi trong học tập sẽ giúp cho học sinh dễ dàng trong việc hình thành kĩ năng

- Kỹ năng khái quát nhìn đối tượng một cách toàn thể ở mức cao hay thấp

1.2 Kĩ năng giải toán 1.2.1 Khái niệm kĩ năng giải toán

- Theo [25] có nói: G.Polia khẳng định rằng: “Trong toán học, kĩ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện các chứng minh cũng như phân tích có phê phán các lời giải và chứng minh nhận được”

Trong các nghiên cứu về kỹ năng giải toán, các tác giả đều thống nhất quan điểm chung: Trong toán học việc hình thành và phát triển kỹ năng giải toán là vấn đề cơ bản và quan trọng Trong cuốn “Sáng tạo toán học” của G.Polya có viết: “Kĩ năng trong toán học quan trọng hơn nhiều so với kiến thức thuần túy, so với thông tin trơn”.[25] Kỹ năng giải bài tập toán học bao hàm một hệ thống các kỹ năng: kỹ năng giải bài tập vận dụng lý thuyết; kỹ năng tính toán; kỹ năng thực hành và các phép biến đổi Các kỹ năng này nằm trong một thể thống nhất, trong cùng một hệ thống Các kỹ năng đều có mối liên hệ chặt chẽ, hỗ trợ lẫn nhau; kỹ năng này là cơ sở hình thành kỹ năng kia và ngược lại; việc hình thành kỹ năng sau lại củng cố rèn luyện kỹ năng trước đó

Giải một bài toán tiến hành một hệ thống hành động có mục đích, do đó chủ thể giải toán còn phải nắm vững các tri thức về hành động, thực hiện hành động theo các yêu cầu cụ thể của tri thức đó, biết hành động có kết quả trong những điều kiện khác nhau Trong giải toán, chúng tôi quan niệm về kỹ năng

tri thức và kinh nghiệm đã có vào giải những bài toán cụ thể, thực hiện có kết quả một hệ thống hành động giải toán để đi đến lời giải của bài toán một cách khoa học”

Để thực hiện nhiệm vụ môn Toán trong trường THPT, một trong những yêu cầu đặc biệt về tri thức và kỹ năng cần chú ý là những tri thức phương pháp, đặc biệt là những phương pháp có tính chất thuật toán và những kỹ năng tương ứng, chẳng hạn tri thức và kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình, tri thức và kỹ năng chứng minh toán học, kỹ năng hoạt động tư duy hàm, ….Tuy nhiên tùy theo nội dung toán học mà có những yêu cầu rèn luyện kỹ năng khác nhau

Có hai phương pháp cơ bản để cung cấp cho học sinh kỹ năng giải Toán + Phương pháp gián tiếp Cung cấp cho học sinh một số các bài toán có cùng cách giải để sau khi giải xong học sinh tự rút ra kỹ năng giải toán Đây là phương pháp có hiệu quả nhất nhưng mất nhiều thời gian, khó đánh giá và không đầy đủ, phụ thuộc nhiều vào năng lực trình độ của học sinh

+ Phương pháp trực tiếp Giáo viên soạn thành những bài giảng về những kỹ năng một cách hệ thống và đầy đủ Phương pháp này hiệu quả hơn và dễ nâng cao độ phức tạp của bài toán cần giải quyết

Theo từ điển Hán Việt của Phan Văn Các, “kĩ năng là khả năng vận dụng tri thức khoa học vào thực tiễn’’ trong đó khả năng được hiểu là sức đã có ( về mặt nào đó ) để có thể làm tốt công việc

Như vậy kĩ năng là khả năng thực hiện có kết quả một hành động nào đó theo một mục đích trong những điều kiện nhất định

+) Vai trò quan trọng của kĩ năng là góp phần củng cố kiến thức, cụ thể hóa, chính xác hóa lại kiến thức Điều này vừa là tính chất, đồng thời vừa là một mục tiêu quan trọng trong dạy học: Chú ý đến rèn luyện và phát triển kĩ năng cho học sinh, từ đó làm cơ sở cho việc kiểm tra, củng cố lại kiến thức, dần từng bước tiếp thu kiến thức và kĩ năng mới phù hợp với sự phát triển trí

tuệ và rộng hơn là phù hợp với yêu cầu của cuộc sống

+) Kĩ năng chỉ có thể hình thành trong hoạt động và bằng hoạt động Kĩ năng và tri thức thống nhất trong hoạt động Tri thức là cần thiết để tiến hành các thao tác, độ thành thạo của các thao tác được hiểu như là kĩ năng, các thao tác này được thực hiện dưới sự kiểm tra của tri thức Con đường đi từ chỗ có tri thức đến chỗ có kĩ năng tương ứng là con đường luyện tập Nói như vậy là để khẳng định vai trò quan trọng của việc tổ chức các hoạt động học tập trong quá trình hình thành và phát triển kĩ năng cho học sinh

+) Nói đến kĩ năng ta cũng cần phân biệt với kĩ xảo Kĩ năng và kĩ xảo có điểm tương đồng, đều là khả năng của con người được hình thành trên cơ sở của tri thức và của chủ thể trong quá trình tiến hành hoạt động và quá trình tập luyện, đều là cách thức của hành động Tuy nhiên kĩ năng và kĩ xảo có những điểm khác biệt như sau: kĩ năng yêu cầu độ linh hoạt, sáng tạo của chủ thể cao trong khi kĩ xảo thiên về khuôn mẫu, máy móc Kĩ xảo có trước và là tiền đề để có kĩ năng

Kĩ năng có tính ổn định nhưng không bền vững như kĩ xảo Trong quá trình hoạt động, qua thời gian, kĩ năng có thể được bổ sung hoặc rút ngắn đi, hoặc thay đổi

+) Như ta đã biết, kiến thức là cơ sở của kĩ năng, do đó tùy theo nội dung kiến thức truyền thụ cho học sinh mà ta có những yêu cầu rèn luyện kĩ năng tương ứng

1.2.2 Vai trò của kĩ năng giải toán

Trong các mục đích của dạy học môn Toán ở trường phổ thông thì việc truyền thụ kiến thức, rèn luyện kỹ năng là cơ sở vì các mục đích khác muốn thực hiện được phải dựa trên mục đích này Việc rèn luyện kỹ năng hoạt động nói chung, kỹ năng toán học nói riêng là một yêu cầu quan trọng đảm bảo mối liên hệ giữa học với hành

niệm, định nghĩa, định lý mà không biết vận dụng hay vận dụng không thành thạo vào việc giải bài tập Có thể nói, bài tập toán chính là “mảnh đất” để rèn luyện kỹ năng giải toán Do đó, để rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh, giáo viên cần tăng cường hoạt động giải toán (đây cũng chính là hoạt động chủ yếu khi dạy toán) Cụ thể hơn thông qua hoạt động giải toán, rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh cần quan tâm chú trọng những vấn đề sau:

- Cần hướng cho học sinh biết cách tìm tòi để nhận xét ra yếu tố đã cho yếu tố phải tìm và mối quan hệ giữa chúng Nói cách khác, hướng cho học sinh biết cách phân tích đặc điểm bài toán

- Hướng cho học sinh hình thành mô hình khái quát để giải quyết các bài tập, các đối tượng cùng loại

- Xác lập được mối liên quan giữa bài tập mô hình khái quát và các kiến thức tương ứng

Ngoài ra, cần tạo nhu cầu hứng thú cho học sinh, khắc phục những ảnh hưởng tiêu cực của thói quen tâm lý bằng cách rèn luyện các mặt sau:

- Nhìn bài toán dưới nhiều khía cạnh khác nhau, từ đó so sánh các cách giải với nhau để hiểu sâu sắc, vận dụng hợp lý kiến thức

- Quan sát tỉ mỉ và chú ý tìm ra đặc điểm của bài toán - Tích cực suy nghĩ, tìm tòi cách giải ngắn gọn trong khi giải toán Tóm lại, song song với việc truyền thụ tri thức toán học thì việc rèn luyện kỹ năng đóng một vai trò quan trọng góp phần bồi dưỡng tư duy toán học cho học sinh

1.2.3 Phân loại kĩ năng trong môn Toán 1.2.3.1 Kĩ năng chung

- Kỹ năng tìm hiểu nội dung bài toán Phân tích bài toán, làm rõ các dữ kiện đặt ra Nếu bài toán có tính chất là một vấn đề thì cần tìm khâu nào còn chưa biết, một quy tắc tổng quát hoặc một phương pháp có yếu tố thuật toán để giải bài toán, xác định đó là trọng

tâm cần tập trung suy nghĩ tìm hướng giải Đây là kỹ năng phát hiện và giải quyết vấn đề, là quan trọng nhất khi giải bài tập toán Cần làm rõ thành phần mối liên hệ (tường minh hoặc không tường minh) qua các yếu tố (có hoặc không có) trong bài toán

- Kỹ năng tìm kiếm, đề ra chiến lược giải, hướng giải cho bài toán Vấn đề khó khăn nhất của học sinh khi đứng trước một bài toán, đặc biệt là bài toán hình học là đường lối giải Nhiều học sinh không biết bắt đầu từ đâu để đi đến kết quả của bài toán Xét về mặt nhận thức thì việc giải một bài toán bao gồm hai quá trình: thứ nhất là tìm hướng giải, thứ hai là tiến hành giải bài toán còn gọi là chiến thuật giải bài toán Hai quá trình này độc lập và hỗ trợ nhau, có khi tiến hành đồng thời hoặc tách thành hai quá trình riêng biệt Yêu cầu xác định hướng giải bài toán phụ thuộc phần lớn vào khâu này Có nhiều cách để học sinh thực hiện biện pháp này: chẳng hạn, giúp học sinh phân loại, phân dạng bài tập để xác định phương pháp chung giải các loại, dạng bài tập đó Phương pháp chung sẽ được vận dụng để tìm đường lối giải cho từng bài toán cụ thể

Huy động tri thức, kinh nghiệm hữu ích có liên quan đến giải bài toán bao gồm hai dạng Dạng 1 là những nội dung học sinh sản sinh ra một cách tích cực bằng các thao tác tư duy, bằng lao động trí tuệ và thực hành Dạng 2 là những ý tưởng chợt lóe sáng tự phát, được hiểu theo nghĩa bừng sáng của quá trình tư duy sáng tạo

- Kỹ năng xây dựng và thực hiện kế hoạch cụ thể giải bài toán - Kỹ năng kiểm tra đánh giá quá trình giải bài toán

- Kỹ năng thu nhận, hợp thức hóa bài toán thành kiến thức mới của người giải toán

1.2.3.2 Kĩ năng cụ thể

Cụ thể giáo viên cần rèn luyện cho học sinh các kỹ năng:

Kỹ năng nhận thức trong môn Toán bao gồm nhiều khía cạnh đó là: khả năng nắm một khái niệm, định lý, kỹ năng áp dụng thành thạo mỗi quy tắc trong đó yêu cầu vận dụng linh hoạt, tránh máy móc, bên cạnh đó còn phải biết dự đoán và suy đoán

b Kỹ năng thực hành Kỹ năng thực hành trong môn Toán bao gồm kỹ năng vận dụng tri thức vào hoạt động giải toán, kỹ năng toán học hóa các tình huống thực tiễn (trong Toán học hoặc trong đời sống), kỹ năng thực hành cần thiết trong đời sống thực tiễn

c Kỹ năng tổ chức hoạt động nhận thức Để có kỹ năng tổ chức hoạt động nhận thức đòi hỏi người học phải có kế hoạch học tập và biết cách học phù hợp với điều kiện năng lực của bản thân nhằm phấn đấu đạt được mục đích

d Kỹ năng tự kiểm tra đánh giá Hoạt động học của học sinh là quá trình tự vận động để chiếm lĩnh tri thức và người học không chỉ tiếp thu thụ động mà có sự điều chỉnh để đạt kết quả như mong muốn Muốn vậy học sinh phải có kỹ năng tự kiểm tra, đánh giá để làm căn cứ cho sự “tự điều chỉnh”

Để rèn luyện được kỹ năng này, trước hết phải biết xác định rõ mục tiêu học tập của từng giai đoạn hay từng phần kiến thức của chương trình đối với bản thân mình

Với mỗi mục tiêu học tập, căn cứ vào mỗi lần kiểm tra của giáo viên và nhất là căn cứ vào việc tự đánh giá khả năng học tập của bản thân thông qua việc học lý thuyết, việc giải từng bài tập Từ đó thấy được chỗ còn yếu, chỗ còn thiếu sót của bản thân về những mặt nào đó mà đề ra phương hướng khắc phục

Một khi học sinh đã có kỹ năng tự kiểm tra,đánh giá và biết tự điều chỉnh thì kết quả học tập được nâng lên dàn

1.2.4 Các mức độ kĩ năng giải toán

Trong toán học có thể chia làm hai nhóm kỹ năng giải toán: - Kỹ năng giải bài tập toán học cơ bản

- Kỹ năng giải bài tập toán tổng hợp Trong mỗi nhóm lại có 3 mức độ khác nhau: - Mức độ biết làm: Nắm được quy trình giải một bài toán cơ bản nào đó tương tự như bài tập mẫu nhưng chưa nhanh

- Mức độ thành thạo: Biết giải nhanh, ngắn gọn, chính xác theo cách giải như bài tập mẫu nhưng chưa có nhiều biến đổi

- Mức độ mềm dẻo, linh hoạt sáng tạo: Đưa ra được cách giải ngắn gọn, độc đáo, khác lời giải mẫu do biết vận dụng vốn kiến thức kỹ năng, kỹ xảo không chỉ với các bài toán cơ bản mà với cả bài toán mới

1.3 Một số kỹ năng giải toán thường gặp khi giải bài toán cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối trong chương trình giải tích lớp 12 1.3.1 Một số kỹ năng

- Kỹ năng 1 : Kỹ năng giải bài tập toán cơ bản ở mức độ biết làm - Kỹ năng 2 : Kỹ năng giải bài tập toán cơ bản ở mức độ thành thạo - Kỹ năng 3 : Kỹ năng giải bài tập toán cơ bản ở mức độ mềm dẻo, linh hoạt - Kỹ năng 4 : Kỹ năng giải bài tập tổng hợp ở mức độ biết làm

- Kỹ năng 5 : Kỹ năng giải bài tập tổng hợp ở mức thành thạo - Kỹ năng 6 : Kỹ năng giải bài tập tổng hợp ở mức độ mềm dẻo, linh hoạt 1.3.2 Phân tích chương trình

Ví dụ 1 : (Ví dụ 2- sgk cơ bản tr14) [16] Kỹ năng 1, kỹ năng 3

Ví dụ 2 : (11d sgk nâng cao tr16) [26] Kỹ năng 2, kỹ năng 4

Ví dụ 3 (3 sgk cơ bản tr20) [16] Kỹ năng 2, kỹ năng 4

Ví dụ 4 (1.17d – sbt tr25) [19] Kỹ năng 3, kỹ năng 6

Kết luận chương 1 Rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh THPT có ý nghĩa hết sức quan trọng, góp phần trang bị cho học sinh những tri thức toán học cơ bản nhất để phát triển các kĩ năng của cuộc sống

Chương 1 đã hệ thống lại và làm sâu sắc thêm các vấn đề lí luận có liên quan khái niệm kĩ năng và kĩ năng giải toán, dạy học giải bài toán cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối trong chương trình giải tích lớp 12

Trong chương này cũng đã trình bày một số vấn đề thực tiễn về việc dạy học và giải bài toán cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối Thực tiễn cho thấy việc rèn luyện và phát triển kĩ năng giải toán cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối trong chương trình giải tích lớp 12 chưa được các giái viên quan tâm đúng mực, cần phải có những biện pháp tích cực nhằm khắc phục tình trạng đó góp phần tháo gỡ những khó khăn trong học tập cho học sinh và nâng cao chất lượng việc học

Dựa trên những căn cứ lí luận trên, giáo viên cần xác định phương hướng cho giải pháp rèn luyện kĩ năng giải toán về giải bài toán cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối trong chương trình giải tích lớp 12 sẽ được trình bày trong chương 2

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM NHẰM RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI

CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI TRONG CHƯƠNG TRÌNH GIẢI TÍCH LỚP 12 2.1 Một số kiến thức cơ bản về vấn đề giải toán cực trị và hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

2.1.1 Cực trị của hàm số

a Định nghĩa Cho hàm số y= f x( ) xác định và liên tục trên khoảng ( ; )a b (có thể alà −; b là +) và điểm x0( ; )a b

+) Nếu tồn tại số h0 sao cho f x( ) f x( )0 với mọi

được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số

+) Các điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số

b Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị * Mệnh đề 1: Giả sử hàm số y= f x( ) đạt cực trị tại điểm x0 Khi đó nếu hàm số y= f x( ) có đạo hàm tại x0 thì f x( ) 00 =

c Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị

* Mệnh đề 2: Giả sử hàm số y= f x( ) liên tục trên K =(x0 −h x; 0+ h)và có đạo hàm trên K hoặc trên K \ { }x0 , với h0

+) Nếu f x'( ) trên kho0 ảng (x0−h x; )0 và f x'( ) 0 trên ( ;x x0 0+ h)thì x0 là một điểm cực đại của hàm số y= f x( )

+) Nếu f x( ) trên kho0 ảng (x0−h x; )0 và ( ) 0f x  trên ( ;x x0 0+ h)thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số y= f x( )

Minh họa bằng bảng biến thiên

* Chú ý +) Giá trị cực đại (cực tiểu) f x( )0 của hàm số y= f x( ) nói chung không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số y= f x( ) trên tập xác định của nó

+) Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại các điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0hoặc hàm số không có đạo hàm Ngược lại, đạo hàm có thể bằng 0tại điểm x0 nhưng hàm số không đạt cực trị tại điểm x0.

2.1.2 Hàm số chẵn, hàm số lẻ

a Định nghĩa: +) Hàm số y= f x( )với tập xác định D gọi là hàm số chẵn nếu  x Dthì − x D và f ( )− =x f x( )

+) Hàm số y= f x( )với tập xác định D gọi là hàm số lẻ nếu  x D thì x D

−  và f ( )− = −x f x( )

b Đồ thị của hàm số chẵn, hàm số lẻ Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng 2.1.3 Một số hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối thường gặp và cách vẽ đồ thị của các hàm số đó

a Hàm số y= f x( )

Ta có: ( )( )( )( )( ) 0

0f x khi f xy f x

f x khi f x



Nhận xét: Hàm số y= f x( ) luôn nhận giá trị không âm Cách vẽ đồ thị:

+> Vẽ đồ thị ( )C của hàm số y= f x( )

+> Gọi ( )C1 là phần đồ thị nằm phía trên trục hoành của ( )C+> Gọi ( )C2 là phần đồ thị đối xứng với phần nằm phía dưới trục hoành của ( )C qua trục Ox

f x khi x



Nhận xét: Hàm số y= f x( ) là hàm số chẵn Cách vẽ đồ thị:

+> Vẽ đồ thị ( )C của hàm số y= f x( )

+> Gọi ( )C1 là phần đồ thị nằm phía bên phải trục tung của ( )C +> Gọi ( )C là 2 phần đồ thị đối xứng với ( )C q1 ua trục Oy

+> Vậy đồ thị hàm số y= f x( ) gồm ( )C1 và ( )C2Nhận xét: Đồ thị hàm số y= f x( ) nhận trục tung làm trục đối xứng c Hàm số y= f x( )

Cách vẽ đồ thị: Cách 1:

+> Vẽ đồ thị ( )C của hàm số y= f x( )

+> Từ đồ thị ( )C của hàm số y= f x( ) ta suy ra đồ thị ( )C1 của hàm số

y= f x =g x+> Từ đồ thị ( )C1 của hàm số y= f x( ) =g x( ) ta suy ra đồ thị ( )C2của hàm số y g x= ( )= f x( )

Cách 2: +> Vẽ đồ thị ( )C của hàm số y= f x( )

+> Từ đồ thị ( )C của hàm số y= f x( ) ta suy ra đồ thị ( )C 1 của hàm số

( )( )

y= f x =h x+> Từ đồ thị ( )C c1 ủa hàm số y= f x( )=h x( ) ta suy ra đồ thị ( )C 2của hàm số y= h x( ) = f x( )

2.1.4 Một số kĩ thuật giải toán về giải toán cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối trong chương trình giải tích lớp 12

a Một số dấu hiệu nhận biết nhanh về số cực trị của hàm số

+> Số điểm cực trị của hàm đa thức y= f x( ) bằng tổng số nghiệm đơn và số nghiệm bội lẻ của phương trình f x( )= 0

+> Số điểm cực trị của hàm số y= f x( ) bằng 2 lần số điểm cực trị dương của hàm số = ( ) cộng với 1

+> Số điểm cực trị của hàm số y= f x( ) bằng tổng số điểm cực trị của hàm số y= f x( ) với số nghiệm đơn và số nghiệm bội lẻ của phương trình

f x = b Phương pháp ghép bảng biến thiên để giải nhanh các bài toán cực trị của hàm số hợp có chứa dấu giá trị tuyệt đối

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số y= f u x(( ))

Bước 2: Lập bảng biến thiên của các hàm số u u x= ( ) và y= f x( )

Bước 3: Lập bảng biến thiên tổng hợp xét sự tương quan giữa x với

( )

u x và u với f u ( )

Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận 2.2 Một số dạng toán thường gặp của bài toán cực trị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối trong chương trình giải tích lớp 12

2.2.1 Dạng 1: Bài toán tìm cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối khi cho hàm số y= f x'( )

a Bài toán sử dụng các tính chất 2.1.4a để giải các bài toán cực trị

+> Giải phương trình f x( )= Xét xem các nghiệm 0 x ii ( =1, 2, ,n)

của phương trình là nghiệm đơn, nghiệm bội lẻ, nghiệm bội chẵn

+> Sử dụng các tính chất ở mục 2.2.1 để kết luận Ví dụ 1 Cho hàm số y= f x( ) có ( ) () (2 )()3

f x = x− x+ x− Số điểm cực trị của hàm số y= f x( ) là

A 4 B 3 C 2 D 5

Lời giải Chọn B

Ta có ( ) 0 11

2x

x= −

 =

Trong đó: +> x=1là nghiệm bội 2 nên f x( ) không đổi dấu khi qua x=1+> x= −1 là nghiệm đơn và x=2 là nghiệm bội 3  f x( ) đổi dấu khi qua 2 điểm x= −1;x=2 nên hàm số y= f x( ) có 2 điểm cực trị trong đó có 1 điểm cực trị dương

Do f x( )= f x( ) khi x0 và hàm y= f x( )là hàm chẵn nên hàm số

( )

y= f x có 3 điểm cực trị Ví dụ 2 Cho hàm số y= f x( ) có ( ) ()() (4 )3

f x =x x− x+ x− Số điểm cực trị của hàm số y= f x( ) là

A 4 B 3 C 2 D 5

Lời giải Chọn D

Ta có ( )

01

33xxf x

xx

= = −

=

=

Trong đó: +> x= −1là nghiệm bội 4 nên f x( ) không đổi dấu khi qua x=1+> 0; 4

3x= x= là nghiệm đơn và x=3là nghiệm bội 3  f x( ) đổi dấu khi qua 3 điểm 0; 4; 3

3x= x= x= nên hàm số y= f x( ) có 3 điểm cực trị trong

Do f x( )= f x( ) khi x0 và hàm y= f x( )là hàm chẵn nên hàm số

( )

y= f x có 5 điểm cực trị Ví dụ 3 Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm ( )()2( 2 )

f x = − x x− x + Số điểm cực trị của hàm số y= f x( ) là:

Lời giải Chọn B

3x

x=

( )( 3 3 )(4 2 1)( 2 1)

f x = x − x x − x + Hàm số y= f x( ) có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị?

Lời giải Chọn D

Ta có: ( )( 3 )( 2 )( 2 )

0

12x

x

=

= 

Bảng biến thiên của hàm số y= f x( )

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm sốy= f x( ) có 5 điểm cực trị và phương trình

f x = có tối đa 6 nghiệm phân biệt Do đó hàm số y= f x( ) có tối đa 5 6 11+ = điểm cực trị Ví dụ 5 Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm

' () (2 ) 2 ()

f x = x− x+ mx − m− x+  với mọi x R Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m15 để hàm số y= f x( ) có 5điểm cực trị?

Lời giải Chọn C

Do tính chất đối xứng qua trục Oy của đồ thị hàm số y= f x( ) nên hàm số

= ệm bội 2 và = − hiệm đơn âm nên hàm số =

có 2 điểm cực trị dương khi phương trình mx2−2(m−1)x+ = có hai 5 0nghiệm dương phân biệt

7 3 5

;2

mm

S

mm

( )

y= f x có 5 điểm cực trị Tổng tất cả các phần tử của S bằng A 30 B 465 C 456 D 466

Lời giải Chọn B

Nên ( ) 1 5 1 4 5 3 3 2

f x = x − x − x − x + m

 =Bảng biến thiên của hàm y= f x( )

Từ bảng biến thiên ta thấy để hàm số y= f x( ) có 5 điểm cực trị thì đồ thị hàm số y= f x( ) cắt trục hoành tại 3điểm phân biệt Khi đó ta có

0

603020m

mm



Vì m nguyên nên m1;2;3;4; ;30 Suy ra S=1;2;3;4; ;30

Vậy tổng các phần tử của S bằng 30 30 1()

2+

b Bài toán sử dụng phương pháp ghép bảng biến thiên kết hợp với các tính chất để giải nhanh các bài toán cực trị

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số y= f u x(( ))

Bước 2: Lập bảng biến thiên của các hàm số u u x= ( ) và y= f x( )

Bước 3: Lập bảng biến thiên tổng hợp xét sự tương quan giữa x với

( )

u x và u với f u ( )

Trong đó: +> a1, a2, …, an−1, an (a1a2   an−1an) là các điểm biên của tập xác định D, là các điểm cực trị của hàm số u u x= ( ) (Nếu u= u x( ) thì còn có thêm nghiệm của phương trình u x( )= , hay 0 u u x= ( )thì còn có thêm số 0)

+> Ở dòng thứ 2 ta điền các giá trị ui =u a( )i ,(i=1,n) Trên mỗi khoảng (u ui; i+1)hoặc (ui+1;ui)điền các số b1, b2, …, bk, trong đó b1, b2, …,

k

b là các điểm mà tại đó f x( ), f x( )không xác định; là các điểm cực trị của hàm số y= f x( ) Có thể dùng mũi tên để thể hiện chiều biến thiên của hàm số u u x= ( )

+> Ở dòng 3 xét chiều biến thiên của hàm số g= f u x(( )) dựa vào bảng biến thiên y= f x( ) bằng cách hoán đổi u đóng vai trò của x và f u( )

đóng vai trò của f x ( )

Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên của hàm số g = f u x(( )) để kết luận (Kết hợp với các tính chất 3.1 để có kết luận thỏa mãn yêu cầu bài toán đặt ra) Ví dụ 7 Cho hàm số y= f x( ) có ( ) 2()()()3

f x =x −x x− x− Số điểm cực tiểu của hàm số y= f x( ) là

A 4 B 3 C 2 D 5