SỰ HỘI TỤ TRONG In Trong ùR* ta xột || - || là một chuẩn nào đú
Một ỏnh me #đ :ẹ * — [ù'' cho tuong tng mdi k € N* với một điểm œ(k) = z* = (zŸ, a *) € E*" được gọi là một dãy trong E”; kí hiệu là
Bõy giờ ta hóy xột trong ” một điểm ứ = (ứĂ, ,; a„) và một dóy (”}: Định nghĩa 1.13 | me (z#)„ được gọi là hội tụ đến a nếu với mọi ô > 0 cho trước tổn tại ứ €ẹ“" sao cho ||x+* — a|| < e với mọi " > nụ Lỳc đú ta ae núi dóy (z*), có giới hạn bang a va ký hiệu là jim œ* = a hay gọn hơn x* —> a
(lim x* = a) => (ve > 0,43n,: Vk > no => ||z* k—cc — all < ) Mệnh đề 1.7 (Nhắc lại khái niệm về dãy con)
(iii) Giới hạn của một dãy trong #" (nếu có) là duy nhất
Thật vậy, giả sử z* — a và z“ — b Do 0 < |lœ—b|| < |l¿—z*||+||x* —b|| mà ||œ — z“|| — 0 và ||z“ — °|| 0 nờn ||œ — b|| = 0, tức là ứ = ũ
(v) Nếu dãy (z#), hội tụ thì mọi dãy con của nó cũng hội tụ
(v) Vì các chuẩn trong "' tương đương nên sự hội tụ của dãy điểm trong #:^ theo chuẩn này tương đương với sự hội tụ theo chuẩn kia
' Dinh ly 1.2 Day (x*), Adi ty về a khi và chỉ khi với mọi ¡ = 1 dãy (z}), hội tụ về ai
Trong ®” ta xét chuẩn Hal) + = max|2, |
Nên |z‡ — a,| — 0, Vi = 1 ,7; như vậy +? — a,,V¿ = 1 ne Dao lai, néu (x*),, + ai, Vi = 1, , 7; ttcla|x*—a,| + 0,Vi=1, ,7
Suy ra ||z* — al] = max|2* — a;| — 0 Vậy (z#), hội tụ về a 0 l (ii): Ti giả thiết (¡) suy ra a € A= Ado A dong
(ii) => (i): Véi a € A, lay cac lan can Bla, 2) NA #@suyracé (x*), c với ||" — œ|| < _ Vậy lim z* = a và do đó a € A Vậy A = A và A đóng.
MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA R"
1.5.1 Nguyên li Cauchy Định nghĩa 1.14
Dãy (z#)¿ trong * là dãy cơ bản (dãy Cauchy) néu: lim l|rz° — z”|=0 kno tức là Ve > 0,5%,,; Vk, m > ky => lla* — al] < e
Dinh ly 1.6 (Nguyén li Cauchy về tính đầy đủ của Bt Dấy (œ*)¿ CR 2" hdi - tụ khi và chỉ khi nó là dãy cơ bản
Chứng minh Điêu kiện cần: hiển nhiên Điêu kiện du: Do |z‡ — #?*| < l|£È — z'“||; Vi = 1; n;Wk,m > 1nén véi moi i = 1,.:.,n; day sé (at) la day cd ban trong if; và bởi tính \ đầy đủ của E nờn tồn tại giới hạn ứ; = jim 2} với mọi Ă = 1, , z ar
Từ định lý 1.2, suy ra dãy (z* ye hội tụ VỀ œ = (œ, ; œa) 0 1.5.2 Nguyén lf Cantor
,:§I,Không gian RE" : 11 Định nghĩa 1.15
Dãy hình cầu đóng (Beak, Tx)), C RB” goi la that dan nếu dãy bán kính (re) hội tụ về:0 và B(@x+t;rx+ì) C Bag, re), VK > 1 Định lý 1.7 (Nguyên li Cantor) Trong A" mọi dãy hình cầu đóng thắt dán đêu có một điểm chung duy nhất
Chứng minh Giả sử (B(aœ¿;r¿))¿ là dãy hình cầu đóng thắt dần Với mọi m > k ta có: ||a„„ — a¿|| € 7 — 0 Do d6 (ay), là dãy cauchy trong #*, Vậy nó hội tụ về a € R" Từ đó suy ra với mọi k > 1, ||œ — a„|| < ry Do đó
—— ẻ ee = a € B(ae,r¿) với mọi k > 1 Vậy a € 1) Bay, rx) k=]
Mặt khác do r, + Onén () B(ax, rx) = {a} | oO k=1
1.5.3 Nguyên li Bolzano - Weierstrass tịnh nghĩa 1.16
Tap A C R" goi la bi chan néu sup{||z||, € 4} < +00
Day (x*), C R^ là bị chặn nếu tập gồm tất cả các số hạng của nó là bị chặn a
Mệnh đề 1.8 Giao của một và hợp của một : các tập bị hă pr ~ ; L ~ sei * chan trong R" la bi chan lo bar Ê*i SŠ Tu lau Định lý 1.8 (Nguyên lí Bolzano - Weierstrass) Moi day bị chdn trong R" đêu chứa một đấy con hội tụ
Phần chứng minh định lý này được thiết lập dựa vào định lí 1.2 và nguyên lí Bolzano - Weiertrass trong %
Tập 4 trong E“ được gọi là tap compact nếu mọi dãy trong 4 đều chứa một day con hdi tuts 4 diem © A
Ta có thể chứng minh được giao của một họ bất kì và hợp của một số hữu hạn các tập compact là tập compact Định lý 1.9 Táp A c E" là tập compact khi và chỉ khi nó đóng va bị chăn
12 Chuong | HAM NHIEU BIEN - GIGI HAN VẢ SỰ LIÊN TỤC
(i) Can: Gia sử 4 là tap compact trong R", ta chứng minh 4 đóng và bị chặn Giả sử (Z*)„¿ C A, jim, a* = x Vi A la mét tap compact nén tén tai day con (z*) của dãy (z*) sao cho ma" =€ A Ta cũng có mz" = 2, —~œ — Từ đó suy ra z = y Vậy z € 4; do đó 4 là tập đóng 7
Ta chứng minh A bi chan bằng phan chứng: Giả sử 4 không bị chặn
Lấy z! € A Khi đó 4A %£ (z!,1) Do đó tổn tại z? € A sao cho d(z?,2*) > 1 Ta cũng có A < B(z,1) U B(z?,1) Do đó tồn tại phần tử z3 € A sao cho d(z*, x!) > 1 và đ(z$, z?) > 1 Bằng qui nạp ta được một dãy (z*)„ các phần tử cla A sao cho d(z!,z*) > 1 véi moi k ¥ 1
Hiển nhiên dãy (z*) không có bất kỳ một dãy con nào hội tụ Điều này mâu thuẩn với giả thiết 4 là một tập compact
Trong trường hợp n = 2, ta giả sử tập A là đóng và bị chặn Khi đó, tồn tại số A7 > 0 sao cho ||z|| < A với mọi z thuộc A.
Giả sử (z*), C A Đặt z* = (£, ?).), ta có: l&ô| < llzl| < #4 và || < M với mọi k
(€„) là một dãy số thực bị chặn Theo nguyên lí Bolzano - Weierstrass, tồn tại một dãy con (€;„) của dãy (£„) sao cho jim €;, = € € RB Tương tự, tồn tại dãy con (;„) của dãy (.) hội tụ: Jim nj, = 7 € B Day (+) là dãy con của dãy (z*) Điểm z = (‡, r¡) là một phần tử của 8? và ta có: lim x's = x Vi (ce) C A va A la mét tập đóng nên z € 4 Vậy 4 là k— ` một tập compact
O Định lý 1.10 Tập hợp con vô hạn 4 của một tập hợp compact h trong R" có ít nhất một điểm tụ
Gọi (z*),„ là một dãy phần tử đôi một khác nhau của 44 Khi đó tồn tại một dãy con (z!*) của dãy đã cho sao cho jim, (x'*) = 2° € K Vay A có điểm tụ là z9, | 0 Định lý 1.11 Táp A Cc E" là tập compact khi và chỉ khi từ mỗi họ các tập mở tùy ý (Ga) ,„¿, mà hợp cua chúng chứa A bao giờ ta cũng rút ra được một số hữu hạn tập mở G„ trong họ (G.),., mà hợp của chúng chứa A
Chứng minh Giả sử mỗi phủ mở của A đều có một phủ con hữu hạn và A không phải là một tập compact Khí đó tồn tai một dãy vô hạn phần tử (a*) của
4 không có một dãy con nào hội tụ đến một phần tử của A Do đó mỗi phần tử z của A có một lân cận #(z) chỉ chứa một số hữu hạn phần tử của xà
(z*) Họ ((z))„ea là mại phủ mở của A Theo gia thiết tồn tại z1, zŸ; ; thuộc A sao cho AC Ỗ () Từ bao hàm thức này suy ra rằng tập hợp A chỉ chứa một số hữu hạn phần tử của dãy (a*)„ C 4 Điều này vô lý Vậy 4 là một tập compact ' Ta chứng minh mệnh đề đảo cho trường hợp z r, = 2 (trường hợp n nguyén dương bất kỳ được chứng minh tương tự) Giả sử A4 là một tập hợp compact bất kỳ trong E? và tồn tại một phủ mở (:);er của 4 không có một phủ con hữu hạn nào 4 là một tập đóng và bị chặn nên A chứa trong một hình vuông
= [a, b| x [e, đị nào đó Chia hình vuông Q thành 4 hình vuông bằng nhau z b d a bởi hai đường thắng z = = ¡1 = ae Trong 4 hinh vuéng dé cé ít nhất một hình vuông Qr = [ai, bị] X [cv dị] sao cho không thể phủ tập hợp
Ai= a Q; bởi một số hữu hạn tập hợp , Độ dài cạnh của hình vuông là Ta lại chia Q¡ thành 4 hình vuông bằng nhau bởi các đường thẳng b d ha bà = y= a - : Trong 4 hình vuông đó có ít nhất một hình vuông -
2 GIGI HAN CUA HAM NHIEU BIEN
HAM NHIEU BIEN (HAM VECTO n BIEN)
Cho A C R® Mét anh xa f:A —+ R™ tr y= f(z)
Xác dinh trén A va lay giá trị trong R” được gọi là một ham vecto n bién (néu m = 1 thi f duge goi la ham sé thuc, gọi tắt là hàm số)
Với mỗi z € A,y = f(x) = (M0 125-05 Mm) € R™ Các hàm số: ir: A —+ R z— ?;; k =1,m được gọi là các hàm thành phần của ƒ có thể viết ƒ dưới dạng: z—+ ƒ(œ) = (ƒi(2), fa(2), fm(e)),= € A
Như vậy việc cho hàm ƒ : A — ” tương đương với việc cho rz hàm
— phần ƒ\, ƒ;, , f„ : A —— E Vì vậy người ta thường viết:
= (fu:fa› saad aa trường hợp Tn = 1 thỡ hàm ƒ được gọi là hàm ứœ biến, chẳng hạn cỏc hàm thành phần của hàm vectơ zứ biến gọi là cỏc hàm ứ biến Định nghĩa 2.2
Pi ; In — ẽ © = (›Ê¿: sÊn) > Pp&(#) = €L¡k =1,n được gọi là các phép chiếu chuẩn tắc không gian #" lên không gian E
Dễ dàng thấy rằng các phép chiếu chuẩn tắc là những dạng tuyến tính trên không gian "
Mệnh đề 2.1 Giả sử A là một tập hợp trong không gian l:", ƒ: 4 — E:” là một hàm; ƒ, ƒ„ là các hàm thành phần của hàm ƒ Khi đó: ƒ = px 9 ƒ¡ k = 1,1m Định nghĩa 2.3.
20 Chương | HAM NHIEU BIEN - GIG] HAN VA SU LIEN TỤC
(thứ k) được gọi là cỏc phộp nhỳng chuẩn tắc khụng gian ùš vào khụng gian đ”", Dễ dàng thấy rằng các phép nhúng chuẩn tắc là HHỮNG đơn ánh tuyến tính từ không gian vào không gian &"
Nhận xét 2.1 Giả sử A là một tập hợp trong không gian E", ƒ: A —+ E” là một hàm; dễ dàng chứng minh được: f=> nomof
Vi du 2.1 a) A = [0,+00) x R C &?, anh xa f : A —> B?, xac định bởi:
(r, 0) > ƒ(r; 8) = (r cos 6, r sin 6) là hàm vectơ hai biến b) 44 = [0,+co) x Re? C 83, ánh xạ ƒ : A máo , xác định bởi:
(r, 9, ) > ƒ(r, 9,) = lệ or 7 sỉn œ sỉn ỉ, r cos œ) là hàm vectơ ba biến c) Ánh xạ ƒ : 3? —— R cho bởi:
0 nêu (z,y) = (0,0) là hàm hai biến
2.2 GiGi HAN CUA HAM NHIEU BIEN Cho 4 C R" va f la ham vecto n bién ti’ A vao BR’, z° là một điểm tụ của 4, l € Ri, Định nghĩa 2.4
Ta nói rằng ƒ có giới hạn là ¡ khi z dần tdi x’, và viết là lim f(z) (hay ƒ(z) — 1 khi z — z”) nếu với mọi ô > 0, tổn tai 5 > 0 sao cho l[ƒ() — !|| < ô với mọi z € 4 mà 0 < ||# — +°”|| < ð s2 Giới hạn của hàm nhiều biến - 21
Như vậy có thể phát biểu định nghĩa trên lại như sau:
(Em ƒ() = ) ôâẦâ (We> 0,8ð > 0;Yz € A: 0 < ||e—#°|| < ụ = lIƒ(œ)~!Í
Và cũng có thể nói cách khác: Jim, f(x) = ! nếu với mọi lân cận của Ì, tồn tại lân cận 4 của z° sao cho Vz € A f11,œ # z° thì ƒ(z) € V Định lý 2.1 Nếu ƒ có giới hạn là L khi z — z° thì giới hạn này là duy nhất
Chứng minh Giả sử lim f(z) =Lva lim f(z) = M Choe > 0 tùy ý
Theo định nghĩa, tổn tại ô¡ và ô¿ sao cho
0 < lle— #*| IIf(@)-MI+ R™ la ham xac định trên A thi: lim, f(a) = L khi va chỉ khi với mọi e > 0, tồn tại số dương 5 sao cho với mọi z = (zạ, ,#„) € 4\{z?}mà: |a¡ — zo] < ồ, , |z„ — #| < ỗ => |ƒ(z) — L| < s
Ngoài ra bằng cách tương tự như phần hàm một biến có thể chứng minh các định lí sau (trong suốt các định lí này giả sử z° là điểm tụ của 4): Định lý 2.2
26 Chương I HẦM NHIỀU BIẾN ‹ GIỚI HAN VA SU LIEN TUC Định lý 2.8 Nếu tại một điểm nào đó tổn tại giới hạn kép của hàm sàn với một trong các giới hạn lặp của nó thì các giới hạn đó bằng nhau
Chứng minh Để đơn giản ta chứng minh cho hàm hai biến, giả sử X,W C 1, a,b € là hai điểm tụ của X và Y, ƒ là hàm số xác định trên X x Y\{(à, ð)}; imf(z,y) = L € Ê (1); với mỗi ụ € Y\{b}, tổn tại giới hạn o(y) = —b lìm ƒ(œ 9) € ® (2) | Từ (1) suy ra rằng với moi e > 0 bat ky, tén tai 6 > 0 sao cho
Cố định € Y\{b} thỏa mãn điều kiện |y — b| < ð và cho z — a, ta được lim f(z, y) = (w) Do đó: le(y) ~ LI < e với mọi y € ¥\{b} ma ly — ð| < ð tức là lime(y) = 1 yb
Nếu ngoài hai diéu kién (1), (2), diéu kiện sau cũng được thỏa mãn:
Với mỗi z € X\{a}, tồn tại giới hạn w(x) = lim f(z, y) € E (3) thì từ điều yo vừa chứng minh suy ra sự tồn tại giới hạn lặp lim (x) = lim lim f(z, y) va lim lim f(z,y) = L z—a —b ủ
Trong trường hợp này hai giới hạn lặp tại điểm (ứ, b) bằng nhau Và như vậy nếu hàm số có các giới hạn lặp nhưng chúng khác nhau thì có thể kết luận không tồn tại giới hạn kép. §2 Giới han của hàm nhiều biến a7
BAI TAP ya Chứng minh rằng đối với hàm f(2.y) = "ơ thỡ: lim (lim f(z, y) = 1; lim (lim f(z,y) =1 trong khi đó không tồn tại giới hạn kép: lim ƒ(z; 9) z—0 y-0 z2y2 | hứng minh rằng đối với hàm ,1/) = , ta có: me g minh rằng ƒ(z,) ay? + (a =p) lim (lim f(z,y)) = lim (lim f(z,y)) =0
Tuy nhiên không tổn tại giới hạn kép: lim f(z, y) z—~0
3X, Chứng minh rằng đối với hàm ƒ(z.1/) = (œ + y) sin alt : cả hai giới i y hạn lặp lim(lim ƒ(œ,)); — Hm(lim ƒ(z,v)) z—0 không tổn tại, nhưng tồn tại giới hạn kép: lim f(z, y) z—0 ằ a} ta có A = X hợp Y và giao của X và Y rỗng Vì A liên thông nên X hoặc Y khác rỗng, hoặc giao của X và Y khác rỗng Nếu X và Y đều khác rỗng thì tồn tại x thuộc X giao Y, khi đó tồn tại dãy (x_n) các phần tử của A sao cho lim x_n = d Khi đó f(x_n) < a với mọi n Vì f liên tục tại d nên f(d) = lim f(x_n) < a Mặt khác vì d thuộc Y nên f(d) > a, mâu thuẫn Vậy f(A) liên tục tại a.
3.22 Liên tục đều Định nghĩa 3.3
Giả sử 4 là một tập con của không gian &" Hàm ƒ : A -— #”* gọi là liên tục đều trên 4 nếu với môi số dương e cho trước bất kì, tền tại một số dương ử sao cho (Va”,z” € 4) mà ||z' — z“|| < ử = |Iƒ(z) — #(z“)|| < s
Dé dang thay rang a) Chuẩn || ||: #* —> E z — ||zÌ| b) Cỏc phộp chiếu chuẩn tắc: || ||: 8 —ơ RB z = (Ệt›-‹- Ên) — Pk(#) = Éx; k = 1,n c) Các phép chuẩn tắc: vyằ.:R — R”
€— (0, ,0, € ,0, ,0);k=L7 this là những hàm liên tục đều
3.2.3 Liên tục trên tập compact Định lý 3.3 Cho hàm liên tục ƒ : A C 8" — ®'"", với 4 la tap compact trong &" Khi đó ƒ(A) là compact trong t" Đặc biệt ƒ bị chặn trên A, nghĩa là: sup || f(x)|| < +00 z€A
() Với dãy (y*)„ bất kì thuộc ƒ(4), chọn dãy (x*), C A véi f(x") = 0"
Bởi vì A compact nén từ dãy (z*),„ có dãy con (a4), hội tụ tới a € 4 Từ tính liên tục của ƒ tại ¿ suy ra lim y* = fim f(a*) = f(a) € ƒ(4)
Sư liên tục của hàm nhiều biến 33
(ii) Tính bị chặn được suy ra từ nguyên lí Bolzano - Weierstrass, ủ Và tương tự như hàm một biến ta có các định lí sau Định lý 3.4 Nếu ƒ : A — E”" là hàm liên tục và A là tập compact thi f lién tuc déu trén A
Chứng minh Giả sử ƒ khụng liờn tục đều trờn A, khi đú tồn tại số dương ô cú tính chất sau:
Với mỗi số nay dương k bat ky, tổn tai hai diểm z* và +⁄* thuộc A sao cho
Vi pl C A compact nén ni có một dãy con (+) hội tụ trong 4: jim rik ° € A Từ bất đẳng thức
Ilv* — z°ll < II" — z*|I + llz* — z°| Tử llz* — z” | 1 suy ra lim ny! = = 2° = jim, a'*, Do f lién tuc tại z9, từ đó suy ra jim n ƒ(z*) = ƒ(z°) và ‘lim n f(y") = "F(29), Do dé: jim n || f(z) — f(y'*)|| = 0 Điểu nay mau than với (1)
D Định lý 3.5 Nều ƒ : A — E liên tục trên tập compact A thì ƒ đạt cận trên đúng và cận dưới đúng trên A.
34 Chuong 1 HAM NHIZU BIẾN - GIỚI HẠN VÀ SỰ LIÊN TỤC
NG Tim các điểm gián đoạn của các hàm sau:
8)tửứ =——— u ‘ hông minh rằng hàm số:
0 nếu z?+ y?=0 liên tục theo mỗi một biến z và + riêng biệt (với giá trị cố định của biến kia) nhưng không liên tục đồng thời theo cả hai biến đó
X a) Khao sat tinh liên tục đều trên R? của các hàm sau: f(z, y) = 2a — 3y+5 tù = #2 + g2 b) Chứng minh rằng hàm số _ƒ(z, y) = sin(?+z?) liên tục nhưng không liên tục đều trên ®? - FC l—#z?—yw Hàm ƒ(z, ) = sin ——— có liên tục đều trên D = {(z.) € 5? : z2? + u? < 1} hay không? i
Trong không gian R2, tập hợp U = {(x, y): x > 0} là một tập hợp mở Hàm số f: U → R xác định bởi f(x, y) = x liên tục trên U Tuy nhiên, tại điểm (0, 0), f không có giới hạn khi x và y tiến đến 0 theo bất kỳ hướng nào.
Cho hàm số ƒ xác định trên #2 bởi: sen sẽ vy né 2 2 f(ey)= jap TE TY FO 0 nếu z? + +? = 0 Chứng minh ƒ(œ,) —+ ƒ(0,0) = 0 khi (z, y) dần đến (0,0) theo một đường thằng bất kỡ z = at; y = ỉ¿, nhưng ƒ khụng liờn tục tại điểm (0, 0)
7, Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm (0.0):
0 ngu (x,y) = (a, 2°) s2 Sự liên tục của hàm nhiều biến 35
Giả sử ƒ,g : E" — RE là hai hàm số liên tục tại điểm a € £" Chứng minh các hàm số sau cũng liên tục tại a: œ—> max{ƒf(z),g(z)}; zt— min{f(z),g9(x)},2 € R”
X Giả sử X là một i con clla khéng gian R”, f : X —+ E là một hàm số liên tục tại điểm z? € X, f(x) > 0 Ching minh rang tén tai mot lan can V của điểm z° sao cho ƒ(z) > 0 với mọi z € X n V
10 Giả sử ƒ : E? —>+ RE" là một ánh xạ liên tuc Goi 93,92: B —+ R" la hai ánh xạ xác định bởi g1(z) = ƒ(z,0); ga(z) = ƒ(0,z),z €R a) Chứng minh ơứ gz là những hàm số liờn tục trờn iz: b) Chứng tỏ rằng từ tớnh liờn tục của ứy, ga tại điểm 0 của ?: khụng suy ra được tính liên tục của ƒ tại điểm (0.0)
KGa sử ƒ, g : E" — E”' là hai ánh xạ liên tục Chứng minh rằng tập hợp
Chứng minh rằng tập hợp các điểm gián đoạn của hàm số ƒ : E? — & xác định bởi:
0 néu y=0 không phải là tập đóng cũng không phải là tập mở trong R2,
PHEP TINH VI PHAN CUA HAM
DAO HAM RIENG - TÍNH KHẢ Vì VÀ Vi PHAN 1 DAO HAM RIENG - TÍNH KHẢ VỊ VÀ VỊ PHAN
Cho D (md) trong R" va ham f : D —> BR, 2° = (27.0005?) € D Với mọi ¿ = 1, ,z›; xét hàm số g;: đị — 0i(2i) = ƒ(đ1: (801v 8u, #iyar sen) ỉĂ xỏc định trong một lõn cận của z? Nếu g, khả vi tại 2° thi gˆ(œ?) được gọi là đạo hàm riêng của ƒ tại +°
Kí hiệu OF (22) = g/(z?) Vậy: Oz;
() Đạo hàm riêng của hàm ƒ theo biến thứ ¡ chính là đạo hàm của hàm một biến (biến thứ z) khi xem các biến còn lại cố định Do đó các qui tắc tính đạo hàm riêng không có gì mới so với đạo hàm hàm một biến
() Ta thường dùng các kí hiệu sau đây: | of
: Ou , hoặc với hàm + = /ƒ(zi ,#„) thì kí hiệu Aa) hay ul (a) hay Dif (x)
38 Chuong 2 PHEP TINH Vi PHAN CUA HÀM NHIỀU BIẾN
Vi du 1.4 a) Với hàm u = f(z, y) = 2a3y? + ery — zsiny+1; (x,y) € R?, ta có:
2z ®9) = 627y'+ ye*Y — sin 1 Ou By” y) = 4uz + xe? — ‘@ cosy 9u b) Với hàm w = ƒ(z\, ,z„) = +2z?+ abe nay *; Vi=1, ,n ne thi: ơ .sđ„) = c) Chứng minh hàm số +(z, ) = sìnz + ƒ(sin — sin z), với ƒ là hàm khả ví thỏa mãn điều kiện:
—— COS Z + Be XH = COS :r COs y
=- = cos Œ f'(siny — sinz) cosz từ đó suy ra đẳng thức cần phải chứng minh
3 ste Ti 1 7 73 3! ou Ou d) Cho hàm u = In |zw + 9z“ + v1 + (xu + z2) Ir Tinh > by Ta có: 5 = Ou
_ —_ oP a Seay Se at ew) |
1.1.2 Ý nghĩa hình học của đạo hàm riêng Cho hàm số z = f(z, 9); (z,y) EDC R?, G; = {(œ,,z) € BỲẦ: z= f(z; y)} la d6 thi cla ham ƒ Trong không gian ba chiều qui về hệ tọa độ vuông góc Ozz, Œ; được biểu diễn bởi mặt cong (z) có hình chiếu lên Ozy là D Với (+¿.u) € D dùng mặt phẳng = yw. s1 Dao ham riêng - tính khả ví và ví phan 39
(song song với mặt ỉzz) cắt (e) theo đường cong (C) , khi ấy (C) là đồ thị của hàm một biến số: z — ƒ(z,1⁄a) Vậy Đa (ai „) là hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong (C) trong mặt phẳng g = „ tại điểm (z„, 1„) tan œ = tm Yo) 8 9z
1.13 Tính khả vi Định nghĩa 1.2
Cho ham sé f(x) = ƒ(i ;Z„) xác định trong lân cận của z° (z?, ,#z?) nhận giá trị trong BR Ta nói ƒ khả ví tại z“ nếu tổn tại a = (0; ; a„) € E” sao cho
1=] với h = (hị, , hạ) và ||h|| = v(hỆ + + hệ
Nếu ƒ khả ví tại z° thì ta kí hiệu: đƒ (z°, h) = La i=l] và gọi là ví phân (toàn phần) của ƒ tại z° với ví lượng + = (hạ, ; hạ) Định lý 1.1 Giả sử ƒ khả vi tại z9, lúc đó các đạo hàm riêng = (2%) a áp 8 tồn tại Với mỌI ¡ = 1, ,T Và a¡ = a= (2%),
Chứng minh Ta có: gi(z? + hi) - gi(z’) = fle” + h) _ f(x”) Với h =
(ụô vị 0 0) Về #” + H) 6e J0 vs cay BP0 th# = 0(2⁄2), vô lí vì — — Re =—-0 (khi t — 0) Định lý 1.2 (Điều kiện đủ) Cho ƒ xác định và tôn tại các đạo ham riêng 5, rong lân cận của z° nếu các đạo hàm riêng này liên tục tại z° +; thì ƒ khả vi tại điển này
Chứng minh Xét hàm z = ƒ(z, g) tỉ (zo, vạ) € D C E2 ƒ(++h,ụ + k) — ƒ(Œ,u) = ƒ(œ + h, + k) — ƒ(œ + h,) + ƒ(œ + h, U) —
= SẺ (œ.v)h + awh + 0(J|(h, )|)), với (h,k) — (0,0) : SỐ B a) Giả sử ƒ khả vi tại z”, khi đó ƒ liên tục tại điểm này b) Cho hàm vectơd ƒ : D ——.#“, D là tập mở trong E", với f(z) =
(/ khả vi tại z° € D) —> (F(a) khả vi tại z® với mọi ¿ = 1, yn).
42 Chuong 2 PHEP TINH Vi PHAN CỦA HÀM NHIỂU BIẾN Giả sử ƒ khả vi tại z € D khi đó "đạo hàm" của ƒ được đặc trưng bởi ma trận m Xn sau: 8 8 "ơ
Ma trận này được gọi là ma tran Jacobi
1.1.4 Dao hàm theo hướng Định nghĩa 1.3
Cho ham f: D—+R, x ED (mở trong E"), ¿ = (#t „) € E* Nếu : #+ te lim m2 — F(Z) ig tồn tại thì f kha vi theo Fướng e tại z và kí hiệu:
8.ƒ(z) _- lim t gọi là đạo hàm theo hướng e của ham f tai diéin z
Chú ý 1.1 a) Ta cú ỉx„ôƒ(z) = Àỉ.ƒf(œ), À > 0 b) Ta thường chọn hướng e với ||e|| = 1 Do đó kFi nói đạo hàm theo hướng ta hiểu là vectơ đơn vị theo hướng đó Định lý 1.3 Giả sử ƒ khả vi tại z D Khi đó J khả vì theo mọi hướng e = (€¡, ;€n) Và `
Chứng minh a f(z+te)—f(z) t : (ha 1 oF = fae ote of lu O({ltell) eel) 2 55, te ƒ + “Teel t
Of (2) =D) a (a)e im1 L s¡ Đạo hàm riêng - tính khả vị và vi phân 43
Chỳ ý 1.2 Trong ? cho vectơ đơn vị e = (eạ; #2) ||e|| = 1 Gọi ỉ là gúc hợp boi Ox và , khi đó ể = (cos 6,sin 6) Do đó nếu ƒ(z, ) khả vi tại (z, ) € R? thi Ôzƒ(œ, ) = aa (as) cos 8 + 2u y) sin 6 8 8 : Vỡ ế hoàn toàn xỏc định bởi ỉ nờn kớ hiệu là:
Mệnh đề 1.1 Cho hàm ƒ : D C #? — R, la hàm hai biến xác định trên tập mở D của B2 và z = z(£), = v(#) là các hàm theo biến ¢ € (a, b) kha vi tai tp € (a,b) Xột ham hop u = ƒ(z(Ê); y(¿)) xỏc định trờn (ứ b) như sau: t— (z(‡),v(t)) €D — f (x(t), y(t))
Giả sử f(x,y) kha vi tai (to, yo) = (w(to) y(to)) Khi d6 u = f(x(¢), y(t)) kha vi tai t, va: du Of dx of dy dt (to) = Đa (Los Yo) đt (to) + ay (Lo Yo) dt (to)
Chứng minh Với mọi h € E:, h đủ nhỏ, gọi:
Az = z(t¿ + h) — z(to); A = (te + h) — (ta) œ(p) = œ ((t¿ + h) — #(to); (te + h) — 9(ta)) -
Ta xét; u(te + h) — t(Œe) _ ƒ(z(fs + h),(#s + h)) — ƒ((4a):v(4e)) h 7 "` h 8
“Och ' Oy th ðuh - vV(Az)?+ (Av) h + QR h
Do x(t), y(t) liên tục tại t = ¿„ nên khi h — 0 thì (A2)? + (Ay)? — 0 và: v (Az)? + (Av)? Az 2 x 2
Cho h — 0 ta nhận được đẳng thức cần phải chứng minh O vi as Cho ham f(x,y) = e*-*¥ véi z, y la ham theo t; 2 = sint;y = ‡Š, = L2
Ta có: du Đƒdr , Ôƒdụ : ee — ~3y z=
48 Chuong 2, PHEP TINH VI PHAN CUA HAM NHIEU BIEN -
Cố định dz = h thi df xem như là hàm theo biến Xác định trong D nếu đƒ khả vi tại z € D thì: | d(đƒ) = d°ƒ = d seis) i=l dz; lúc đó đƒ được gọi là vi phân cấp hai của ƒ
Chú ý'†.7 Cho u = ƒ(z, y) khi đó du = dƒ = —“dxz + ——dụ, nên: 9z Oy
C Ki Dyan! aa (g2 * Oxy? dy) dy
Cho u= f(z, y) c6 cdc dao ham riêng đến cấp n: -Ƒ 1 trong lân cận của điểm (z,y) € D(m) C R? Khi đó với mọi (h, k) € IR? sao cho (t++h,+k) € D, ta có:
Ly BP Đù E v 2é í 8?ƒ Of Ì = aus h—= b—— ca h“— h—— © mami f(a+h, y+k) = f(z,y)+5(ha—+ By) tai Apa t2hk Baby t* By)
Công thức này được gọi là công thức Taylor của hàm hai biến ƒ tại điểm (z, y), lưu ý các đạo hàm riêng được lấy tại điểm (z, y)
AI 2„ Cnh " =0 8z"~r8ự'ˆ được gọi là phần dư dạng Lagrange
Nếu sử dụng kí hiệu hình thức q 1ƒ re a ck vo Ccạh k 8x*“#~r Oy" r=0 = nf 4 pf = (eo the iS s1 Đạo hàm riêng - tinh kha vi va vi phân - | 49- thì công thức Taylor trở thành fizthytk)= pons S02 + eye y)+ oF OF os + (hột + kếc By? ƒ(z + 6h, + 0), 0< 0 0, Vœ € [0, 2z], thi (xo, yo) là điểm cực tiểu
Nếu g(œ) < 0, Yœ € [0, 2z] th (zo, e) là điểm cực đại
Nếu g(œ) đổi dấu khi œ € [0, 27] thi (zo, yo) khong phải là điểm cực trị
Ta có: A.g(a) = (Acosa+ Bsin a)? + +(CA— B’) sin? a a) AC- B?>0 => A.g(a) > 0,Va € (0, 2m]
A>0 = g(a) > 0 => (Zo, yo) là điểm cực tiểu
A g(a) < 0 => (Zo, Yo) Ia điểm cực đại b) AC — ? < 0: g(œ) đổi dấu nên hàm ƒ không đạt cực trị tại (to: Yo): c) AC — B? = 0 chưa có thể kết luận được
Vi dụ 3.1 Tìm cực trị của hàm số: | z = e2“(œ + ? + 29)
Giải hệ phương trình: az |
By 0 UT 0 Yo =-1 lúc đó: A = 2e; B = 0;C = 2e; AC — B? = 4e? suy ra hàm đạt cực tiểu tại
3.2 CUC TRI CO DIEU KIỆN
Cho ham u = ƒ(z\, , z„) với điều kiện ràng buộc:
60 Chuong 2 PHEP TINH Vi PHAN CUA HAM NHIỀU BIẾN Để đơn gian ta xét trung hop n = 4,m = 2 sau day:
Cho hàm u = f(x, y,z,t) (5.1) và hai điều kiện ràng buộc:
Giá sử #1, #; khả vị liên tục trong D C E? và J = Khang = 0 (5.3) Giả sử hàm u = f(z, y,z,t) đạt cực trị tại (z„ to z„; tạ) € D thoả mãn 2,
(5.2) Theo định lý hàm ẩn tồn tại một lân cận V của (z„, „) và một cặp hàm SỐ z = z(œ, )„# = £(, ) xác định trên V sao cho (5.2) được thỏa mãn với mọi (z,+) € V 7
Lúc đó việc khảo sát cực trị hàm (5.1) tương đương với khảo sát cực trị hàm g(x,y); do g(x, y) dat cực trị tại (za, ya) nên ta có:
8 8 9ƒ ô Of I og _ BF OF BF Bt BF (5.4) dy dy Oz Oy Ôt By `
Dùng công thức đạo hàm riêng của hàm ẩn thay vào (5.4) ta có:
Of — 1 D(Œ+,F›) Of —_—_€_'c—" ô =— 10f D(ft\,E;) ee —— ôz J D(tz) Oz J Ot Bia.)
Of 1 D(#, Fr) Of 1 Of DA, fF)
Me Dee) (9h SR} te Ot Ox
(2 SẺ VAN gee 57 ay, oh + 5B _, OF OF, (5.5)
HONE GO aN Hy D(z,t)’ “> oT D(tz
Nhưng lúc đó À^, À¿ là nghiệm của hệ sau:
Sigs Xu ơic ngĩug cổ aft a ee
Cực trị của hàm nhiều biến | 61
Như vậy điều kiện cần để œ(z, ) đạt cực trị tại (zo, ứ) là tương đương với
Xét hàm số: v(z.y,2z,t) = f(x,y, 2, t) FA Pilz, yz, t)+AaFale, y,Z,t)
Ta có: dp _ Of OF sy OF,
8 8 8 8 tương tự: OF ee OF gg SF eg,
Vậy néu (Zo: Yo: Zo: to) là điểm cực trị của aera sé u = ƒ(œ.,z,?) thỏa man rang buéc Fy = #>; = 0 thì (za; wo; Za› to) là nghiệm của hệ phương trình
F, = 0 i ae (5.7) dz By dz Ot nam œ được gọi là ham Lagrange; Aj, Az goi la cac ham tt’ Lagrange, phương pháp tìm cực trị như trên được gọi là phương pháp Lagrange
Các nghiệm của hệ (5.7) cho ta các điểm dừng của hàm ƒ Trong từng bài toán cụ thể, sau khi tìm được các điểm dừng ta tiếp tục xét xem tại những điểm tới hạn 7 có đạt cực trị hay không?
Cụ thể đối với hàm hai biến, sau khi tìm được điểm dừng (+„, +„), có thể tinh tiếp vi phân toàn phần cấp hai d?w(zo.,¿) của v(x, y) tai (zo, yo) Vai gia trị tương ứng của À; nếu d?¿(zo, ứ) > 0 thỡ ƒ đạt cực tiểu và đ?2w(zo a) < 0 thì ƒ đạt cực đại tại (œo¿ o)-
Ví dụ 3.2 Tìm cực trị của hàm z = ƒ(z,) = zụ với điều kiện ràng buộc +? +12 = 2
O day F(z, y) = z? + y? — 2 = 0 va ham Lagrange: p(x, y) = zy + A(z? + y? — 2)
@y=w+2Àz; yp) = 2+ 2drAy po = 2A; Pry = 1; Poy =e 2A
Giải hệ: ol =0 Íy+2Az- =0
Giải ra được các bộ giá trị (z g; À) sau: il a, "“ 1 q1) (=1, -1,/-5); (1, 1, 2)i ( 1,1,2):
62 Chương 2 PHÉP TÍNH VI PHÄN CUA HẢM NHIỀU BIẾN
Mà ƒ(œ.) = z? + y?— 2 =0 =— 2zdz + 2udụ = 0 — zd+z + ydụ 0 (5.8)
Tại Ä:(1, 1); ÄZ¿(—1, —1) ứng với À = " từ (5.3) suy ra dz + dụ =0 tức là: dụ = —dz
Suy ra hàm z đạt cực đại tại My(1, 1); M2(—1, —1) v6i zmax = 1
Tương tự ta suy ra z đạt cực tiểu tại MI;(—1,1); M;(1, —1) Với zmin = —1
Cuc trị của hàm nhiều biến 83
2 Tìm 3; ” và '” khi z = 0, = 1, nếu z? — mụ + 2U? +ứ——1 =0
3, Cho ham z = z(z, y); tìm các đạo hàm riêng cấp một và cấp hai, nếu: a) 2° — 3ayz = a’; b) z= v2? — 0 đ =œ= Ìn=4‹1, z.° Y dz d “ dz dz dz Paw dr d*y 5 Tihm dz’ dz’ dz?’ dz? ; khi z = 1, = —1, z = 2, nếu z + =2?) 1 #+0+z=2
6 Tìm cực trị địa phương của các hàm sau: a)z = zÊ + yf — z? — 2xụ — v? b)z = 2z* + ụ* — z? — 2u? cz=z°y'(6—z—w) © xd)z = zŠ + uŠ — 3zụ v22 2+ +, z>0,y>0 f)z = (x? + y?)e7 (4? +") gu=s+1+=+? 4z U + | a ee say
Khao sát cực trị có điều kiện của các hàm sau
Tìm cực trị của hàm ẩn z theo hai biến z, g
PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN BAI TAP TONG HOP 7
1.- Khao sat su tén tai giới hạn tại (0; 0), và tính giới han đó (nếu có) của, các hàm f Sau đây, với ' biểu thức tiệm +) như sau
cụ 3 2 oi) +ÿ) 2ylin( (( — my + 12),
Ain(x*) + sin(y sin‘ z + (1 — cos y)? sinz—y |
Jat + yA 4z4 + y* z — sin bị ŒÊ= 962 = 2) ~ củ /Jzu] - V22 + v2 ory * 2l al Jul + lyl Ml
- 2“ẮẲ Cho ƒ,g : [0, 1] —ơ X °.i ĐẾN và AMƒ:E? ——ơ xỏc định như sau: `
Wau,) € RẺ M(=,v) = sụp (=ƒ();wứ()): ứ inh rang Xí liên tục trên E2,
3# Khảo sáf tính liên tục của hàm ƒ : E? —— E xác định như sau: z nếu z?+`›€@
2,y) = : ƒ( s1) b nếu zÐỞ+›#@ cos* x 4 Hàm số ƒ : (z, ) >
Nếu có thì giới hạn đó là gì?
5.- Xác định miền liên tục của các ánh xạ ƒ : RB? —+ B sau day:
| (2? + y?)sin— néuzy 40 ` | | at néuy > 2? few =| ty i flz,y) = ao
TT có giới hạn tai { —; không? cos? z + y? sin? x eee ME § 0) ne
6.„ Cho @:E E liờn tục và ƒ:E? —ơ B xỏc định bởi:
Hay chứng minh ƒ thuộc lớp C1 trên 2 và nh ‹ ác đạo hàm riêng cấp một của ƒ s3 Cực trì của hàm nhiều biến 69
7 Giả sử I là một khoảng mở của R, y:I —+ Ela một ánh xạ liên tục, f:I? —> xác định bởi: y
Hãy chứng minh ƒ thuộc lớp Œ trên 7 và tính các đạo hầm riêng cấp một của ƒ |
-8-Choœ:lR —> E là một ánh xạ KH GIỐP C2,và ƒ:E? — E xác định bởi:
(a) - ply) _ ƒœ,)=$_ U~—z NET yo’ (x) néu x = y
Hãy chứng minh ƒ thuộc lớp Œ') trên R?
9 Giả sử ƒ: 8? —— E xác định bởi:
Hãy chứng minh i, thuộc lớp C') trên R?, Và ƒ có những đạo hàm riêng cấp
Sy oF hai theo ai theo hai biến ' Ta hai biế trên R? n E2 và:
40.- Xác định tập các điểm liên tục của các hàm ƒ : E2? — E sau đây:
“ho hai ham f,g:R — R và F:E? — E, như sau:
66 _ Chương 2, PHEP TINH VI PHAN-CUA HAM NHIEU BIEN
Chứng minh #' liên tục trên E2 khi và chỉ khi f va g lién tuc trén R
12 Hãy khảo sát tính liên tục, sự tồn tại và tính liên tục của các đạo hàm riêng cấp một của cac ham f: DCR —+R sau: đây:
+2 +2 In(x2 +2) nếu (z, y) of (0, 0) b) fle, y) = [=o néu (x, y) = (0, 0) sin(w° +3) - ©) T(e, y) = “a xc? + y? neu (x, 1) z (0, & nếu (z, ) = (0,0) d) Fe: y) = Se tee (x,y) # (0.0)
_ nếu (ứ, ) = (0.0) sin(z?) +sin(y?) | e) ƒ(z,) = Jatt yt nều (>, ) # (0,0)
- nếu (x,y) = (0.0) slew) =| Greg MH Cv) # (0,0):
3 Cit số xáo đính BÔUGG0) ĐỀ ye CONE
0 nếu (z, ) = (0,0) a) Chứng minh rằng ƒ liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trên R?\ {(0, 0) } b) Chứng minh ƒ gián doan tai diém (0, 0) c) Tính các đạo hàm riêng của ƒ tại điểm (0.0), xét tính liên tục của các đạo hàm riêng đó tại điểm (0, 0) d) Các đạo hàm riêng hỗn hợp cấp hai tại điểm (0,0) có tồn tại hay không?
44.- Cho hàm số xác định bởi ƒ(z,y) = j s22 MOU (ey) # (0,0)
0 néu (x,y) = (0,0) a) Chứng minh rằng ƒ có các đạo hàm riêng liên tục ` gm b) Chứng minh rằng ƒZ (0, 0) = 7z„(0,0) xy
'15.- Ching minh rang ham số ƒ(z,1) = 4 z8 -_ y? nêu (z, ) # (0;0)
0 - néu (x.y) = (0,0) gián đoạn tại điểm (0, 0) nhưng có các đạo hàm riêng liên tục tại điểm nầv
16.- Chung minh rằng nếu hàm số ƒ có các đạo hàm riêng liên ti chặn trên E? thì ƒ liên tục đều trên: R2, s3 Cực trị của hàm nhiều biến 67
17 Cho 0 < z < Gọi ƒ là hàm số xác định bởi ƒ(z,) = Ị e! In tdt y
Tính các đạo hàm riêng cấp hai của ƒ. ees —_ Chương 2 PHEP TINH VI PHAN CUA HAM NEIEU Bry