analysis of functions of several variables for undergraduate students in department of mathematics

Introduction to the courseHọc phần Giải tích hàm nhiều biến là một trong những học phần bắtbuộc trong hầu hết các chương trình đào tạo cử nhân Toán, dành cho sinhviên đã học xong các học

Trang 1

HO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF EDUCATIONDEPARTMENT OF MATHEMATICS

ANALYSIS OF FUNCTIONS OFSEVERAL VARIABLES

(For undergraduate students in Department of Mathematics)

Thanh-Nhan Nguyen

Trang 2

2.2 The squeeze theorem 21

2.3 Continuity of multivariable functions 25

3.1.3 Điều kiện cần cho sự khả vi 35

3.1.4 Điều kiện đủ cho sự khả vi 37

3.2 Một số định lý về sự khả vi 38

3.2.1 Đạo hàm của tổng, tích, thương 38

3.2.2 Đạo hàm của hàm hợp 40

3.2.3 Định lý giá trị trung bình 41

3.3 Đạo hàm riêng bậc cao 42

3.3.1 Định nghĩa đạo hàm riêng bậc cao 42

3.3.2 Công thức khai triển Taylor 44

Bài tập Chương 3 47

Trang 3

4 Cực trị của hàm nhiều biến 52

4.1 Cực trị địa phương không điều kiện 52

4.1.1 Định nghĩa và định lý điều kiện cần 52

4.1.2 Ý tưởng xây dựng định lý điều kiện đủ 53

4.1.3 Một số kết quả về dạng toàn phương 56

4.1.4 Định lý điều kiện đủ 58

4.2 Cực trị địa phương có điều kiện 61

4.2.1 Định nghĩa và định lý điều kiện cần 61

4.2.2 Định lý điều kiện đủ 63

4.2.3 Bài toán cực trị toàn cục 64

5 Tích phân bội 695.1 Định nghĩa tích phân bội 69

5.1.1 Tích phân Riemann trên hộp đóng 69

5.1.2 Tích phân trên miền bị chặn 73

5.2 Dùng tích phân lặp để tính tích phân bội 75

5.2.1 Định nghĩa tích phân lặp 75

5.2.2 Phương pháp tính tích phân bội cơ bản 77

5.3 Đổi biến trong tích phân bội 78

5.3.1 Phép đổi biến tổng quát 78

5.3.2 Đổi biến trong tọa độ cực 80

5.3.3 Đổi biến trong tọa độ trụ 81

5.3.4 Đổi biến trong tọa độ cầu 81

6 Tích phân đường 876.1 Đường cong trong Rn 87

6.1.1 Định nghĩa 87

6.1.2 Độ dài đường cong 88

6.2 Tích phân đường loại I 89

Trang 4

Thanh-Nhan Nguyen (nhannt@hcmue.edu.vn)Analysis of functions of several variables

Trang 5

Introduction to the course

Học phần Giải tích hàm nhiều biến là một trong những học phần bắtbuộc trong hầu hết các chương trình đào tạo cử nhân Toán, dành cho sinhviên đã học xong các học phần Đại số tuyến tính và Giải tích hàm mộtbiến Nội dung của học phần là sự nối tiếp các kiến thức sinh viên đã đượchướng dẫn trong học phần Giải tích hàm một biến, với mục tiêu cho sinhviên ngành Toán tiếp cận một số kiến thức nền tảng về phép tính vi phânvà phép tính tích phân cho các hàm nhiều biến.

Trong quá trình xây dựng và chứng minh các kết quả đối với hàm nhiềubiến, một số kết quả quen thuộc trong giải tích hàm một biến sẽ đượckế thừa và áp dụng thường xuyên Do đó, để học tốt học phần này, sinhviên cần nắm vững các kiến thức về giải tích hàm một biến, bao gồm: cácphương pháp tính giới hạn dãy số, giới hạn hàm số một biến, khảo sáttính liên tục và sự khả vi của hàm một biến, các định lý giá trị trung bình(Định lý Lagrange), công thức khai triển Taylor, phương pháp tìm cực trịcủa hàm một biến, định nghĩa tích phân Riemann cho hàm một biến vàcác phương pháp tính tích phân của hàm một biến.

Nội dung bài giảng này được thiết kế dành cho sinh viên Khoa Toán Tin học, bao gồm 7 chương.

- Chương 1 giới thiệu một số định nghĩa cơ bản trong không gian Rn

bao gồm chuẩn, tích vô hướng và một số khái niệm tôpô cơ bản trongRn Bên cạnh đó, chương này còn trình bày định nghĩa về sự hội tụtrong không gian Rn, làm cơ sở cho các kiến thức về giới hạn và sựkhả vi cho hàm nhiều biến ở các chương sau.

Chương 2 định nghĩa về giới hạn và tính liên tục của hàm nhiều biến.Trọng tâm của chương này hướng đến các phương pháp để tính giới

Trang 6

được vận dụng liên tục ở chương tiếp theo trong việc khảo sát sự khảvi của hàm nhiều biến.

Chương 3 đưa ra các kiến thức cơ bản về phép tính vi phân của hàmnhiều biến, bao gồm các khái niệm về đạo hàm riêng, sự khả vi và cácđịnh lý liên quan Trọng tâm của chương này là định nghĩa về sự khảvi và một số kết quả lý thuyết liên quan đến sự khả vi của hàm nhiềubiến Các định lý ở chương này được chứng minh một cách chi tiết,với mục tiêu mang đến cho sinh viên ý tưởng cơ bản trong việc chuyểntừ lý thuyết phép tính vi phân cho hàm một biến sang phép tính viphân cho hàm nhiều biến.

Chương 4 trình bày một ứng dụng của lý thuyết về phép tính vi phâncho hàm nhiều biến trong việc giải các bài toán cực trị Trọng tâm củachương này là phương pháp khảo sát cực trị địa phương không điềukiện và cực trị địa phương có điều kiện cho hàm nhiều biến, từ đó ứngdụng để giải quyết bài toán cực trị toàn cục.

Chương 5 trình bày định nghĩa tích phân Riemann của hàm nhiều biếntrên miền bị chặn, cùng với phương pháp tính tích phân và phép đổibiến trong trường hợp tổng quát Trọng tâm của chương này là cácphương pháp đổi biến thông dụng trong việc tính tích phân bội, đặcbiệt là các phương pháp đổi biến thông dụng trong tọa độ cực, tọa độtrụ và tọa độ cầu.

Hai chương cuối cùng của bài giảng trình bày các khái niệm tích phânmới ứng với hàm nhiều biến, lần lượt là tích phân đường và tích phânmặt Hai khái niệm tích phân này được phân thành hai loại, tươngứng với tích phân của hàm vô hướng (hàm có giá trị thực) và hàmcó hướng (hàm có giá trị vector) Trọng tâm ở hai chương này là cácphương pháp tính tích phân đặc biệt, sử dụng định lý Green, Định lýGauss-Ostrogradski và định lý Stokes.

Bài giảng này là tài liệu tham khảo chính cho các sinh viên tham giahọc phần Giải tích hàm nhiều biến năm học 2022 - 2023 Bên cạnh bàigiảng này, sinh viên có thể lựa chọn tham khảo thêm một hoặc một vàitài liệu [1–6] được giới thiệu trong phần tài liệu tham khảo Bài giảng vàbài tập sẽ được cập nhật ở mục “Teaching/Analysis of functions of severalvariables” trên website:

Trang 7

Then (Rn, +, ) satisfies 8 properties in the definition of a vector space.For this reason, one says that Rn is a vector space and a point Rn willbe called a vector Morover, Rn is a n dimensional vector space with thenormal basis containing n unit vectors:

e1 = (1, 0, 0, , 0), e2 = (0, 1, 0, , 0), , en = (0, 0, , 0, 1).

Without misunderstanding in the scalar multiplication, we write αx insteadof α.x.

Trang 8

Definition 1.1.2 (Inner product and Euclidean norm) Let x, y ∈ Rn,with x = (x1, x2, , xn), y = (y1, y2, , yn) The inner product of twovectors x and y is a real number defined by

⟨x, y⟩ := x1y1 + x2y2 + + xnyn.

Euclidean norm of a vector x = (x1, x2, , xn) ∈ Rn is a non-negativenumber defined by

∥x∥ :=p⟨x, x⟩ = qx21 + x22 + + x2n.

Inner product are also called dot products or scalar products The vectorspace Rn is equipped to a Euclidean norm ∥ · ∥, we say that (Rn,∥ · ∥) is anormed space.

Property 1.1.3 For every x, y, z ∈ Rn and α ∈ R, the following ments hold.

state-i) ⟨x, x⟩ ≥ 0 and ∥x∥ ≥ 0 The equality is valid if and only if x = 0Rn.ii) ⟨αx, y⟩ = ⟨x, αy⟩ = α⟨x, y⟩ and ∥αx∥ = |α|∥x∥.

Chứng minh When x = 0Rn, inequality (1.1) is obvious For every x ̸= 0Rn

and t ∈ R, one has

Trang 9

Thanks to ii) and iii) in Property 1.1.3, one may decompose as follows⟨tx + y, tx + y⟩ = ⟨tx, tx⟩ + ⟨tx, y⟩ + ⟨y, tx⟩ + ⟨y, y⟩

= ∥x∥2t2 + 2t⟨x, y⟩ + ∥y∥2 (1.4)Therefore, inequality (1.3) can be rewritten as

1.2 Open set and closed set

Open set and closed set are two fundamental definitions in Rn Theyare defined by open balls.

Definition 1.2.1 (Open ball) Given x0 ∈ Rn and r > 0 The open ballcentered at x0 and radius r in Rn is the set defined by

B(x0, r) :={x ∈ Rn : ∥x − x0∥ < r}

Trang 10

∀x ∈ X, ∃r > 0 : B(x, r) ⊂ X (1.5)

According to this definition, to prove that a set is open in Rn, we willshow that the set satisfies the statement (1.5).

Theorem 1.2.4 Any open ball is open in Rn.

Chứng minh For every x0 ∈ Rn and δ ∈ R+, we show that B(x0, δ) isopen, that means B(x0, δ) satisfies (1.5) Indeed, for any x ∈ B(x0, δ), onehas ∥x − x0∥ < δ By setting r = δ − ∥x − x0∥ > 0, for all y ∈ B(x, r), wehave:

∥y − x0∥ ≤ ∥y − x∥ + ∥x − x0∥ < r + ∥x − x0∥ = δ,

which implies to y ∈ B(x0, δ) It follows that B(x, r)⊂ B(x0, δ) Therefore,we have the following statement

∀x ∈ B(x0, δ), ∃r = δ − ∥x − x0∥ > 0 : B(x, r) ⊂ B(x0, δ).It allows us to conclude that B(x0, δ) is open.

Theorem 1.2.5 These following statements hold.i) Two sets ∅ and Rn are open in Rn.

ii) The union of two open sets is open in Rn.

iii) The intersection of two open sets is open in Rn.

Trang 11

Chứng minh The statement of i) is obvious Indeed, the set ∅ contains noelements, therefore it does not satisfy the negation of the statement (1.5),which has the form

∃x ∈ X : ∀r > 0, B(x, r) ̸⊂ X (1.6)In the other words, ∅ satisfies (1.5).

Let us prove ii) Assume that X1, X2 are open in Rn We need to provethat X1 ∪ X2 is also open in Rn For every x ∈ X1 ∪ X2, we may assumethat x ∈ X1 Since X1 is open, there exists r0 > 0 such that B(x, r0) ⊂ X1.Moreover, X1 ⊂ X1 ∪ X2 implies that B(x, r0) ⊂ X1 ∪ X2 Hence X1 ∪ X2satisfies (1.5), which allows us to conclude that X1 ∪ X2 is open in Rn.

Finally, we prove iii) Let V1, V2 be two open sets in Rn, it is sufficient toshow that V = V1∩ V2 is open For all x ∈ V , we have x ∈ V1 and x ∈ ∩V2.Since V1, V2 are open in Rn, one can find r1, r2 > 0 such that B(x, r1) ⊂ V1

and B(x, r2) ⊂ V2 Let us define r = min{r1, r2} > 0, there holdsB(x, r) ⊂ B(x, r1)∩ B(x, r2) ⊂ V1 ∩ V2 = V.

This implies that V = V1 ∩ V2 is open in Rn.

Definition 1.2.6 (Closed set) We say that the set Y ⊂ R is closed inRn if its complement is open (that means Rn\ Y is open).

According to this definition, to prove that a set is closed, we will checkthat its complement is open That means proving that the complementsatisfies the statement (1.5).

Theorem 1.2.7 Any closed ball is closed in Rn.Chứng minh The proof is similar to Theorem 1.2.4.Theorem 1.2.8 The following statements hold.

i) Two sets ∅ and Rn are closed in Rn.

ii) The union of two closed sets is closed in Rn.

Trang 12

Chứng minh By using De Morgan’s law as below

Rn\ (V1 ∪ V2) = (Rn \ V1)∩ (Rn \ V2) ,Rn\ (V1 ∩ V2) = (Rn \ V1)∪ (Rn \ V2) ,this theorem can be seen as an corollary of Theorem 1.2.5.

Definition 1.2.9 (Interior, closure, boundary) Given X ⊂ Rn, let uspresent some following concepts.

i) Interior of X is the largest open subset of X, denoted by X◦

ii) Closure of X is the smallest closed set contained X, denoted by X.iii) Boundary of X is the difference between the closure and the interior

Example 1.2.12 Let us consider X = (0, 1] ∪ {2} in R.

All of points in [0, 1] are limit points of X x = 2 is not a limit pointof X.

x = 2 is an isolated of X All of points in (0, 1] are not isolated pointsof X.

Trang 13

1.3 Convergence in Rn

Definition 1.3.1 (Convergent sequence) Let {xk

}k∈N be a sequence ofvectors in Rn We say that {xk

} converges to x ∈ Rn iflim

k→∞∥xk− x∥ = 0.In this case, one writes lim

k→∞xk = x or lim xk = x.Example 1.3.2 In R2, let us consider

(uk, vk) =

1− 1k, 2 +

, k ∈ N∗.Let us define (u, v) = (1, 2) ∈ R2 One has

k→∞∥(uk, vk)− (u, v)∥ = lim

r 1k2 + 1

k4 = 0,which allows us to conclude that

k→∞(uk, vk) = (1, 2).Theorem 1.3.3 The following statements hold.

i) The limit (if it exists) of a sequence in Rn is unique.

ii) Let xk = (xk1, xk2, , xkn) and x = (x1, x2, , xn) ∈ Rn, there holdslim xk = x ⇐⇒ lim xki = xi, ∀i = 1, 2, , n.

Chứng minh Let us prove i) Assume that {xk

}k∈N converges to both limitsx and y in Rn, that means

k→∞∥xk − x∥ = lim

k→∞∥xk− y∥ = 0.Thanks to triangle inequality (1.2), one obtains that

Trang 14

which leads to x = y The statement of ii) will be implied from the followinginequalities

|xki − xi| ≤ ∥xk − x∥ =vuut

Example 1.3.4 In R2, let us consider(uk, vk) =

1− 1

k, 2 +1k2

, k ∈ N∗.One can see that lim

k→∞uk = 1 and lim

k→∞vk = 2 Theorem 1.3.3 allows us toconclude that

} ⊂ Xsatisfying lim

k→∞xk = x We may show that x ∈ X by the contradiction.Conversely, if (1.7) holds, we need to prove X is closed We also use thecontradiction for the proof.

In the previous course “Analysis of functions of one variable”, it is known that any Cauchy sequence converges in R This statement is alsotrue in Rn, and we then say that Rn is complete.

well-Definition 1.3.6 (Cauchy sequence) We say that {xk}k∈N ⊂ Rn is aCauchy sequence if

∀ε > 0, ∃k0 ∈ N : ∥xm− xp∥ < ε, for all m, p ≥ k0 (1.8)

Trang 15

Proposition 1.3.7 Any convergent sequence in Rn is Cauchy.

Chứng minh Assume that {xk

}k∈N converges to x in Rn Then, one haslim

k→∞∥xk − x∥ = 0, that means

∀ε > 0, ∃k0 ∈ N : ∥xk − x∥ < ε

2, for all k ≥ k0.Therefore, for every m, p ≥ k0, there holds

∥xm− x∥ < ε

2, and ∥xp

− x∥ < ε2.It allows us to conclude that

∥xm− xp∥ = ∥(xm − x) − (xp− x)∥ ≤ ∥xm− x∥ + ∥xp− x∥ < ε.Therefore, {xk}k∈N is a Cauchy sequence in Rn.

Theorem 1.3.8 The normed space Rn is complete, that means anyCauchy sequence is convergent sequence in Rn.

Chứng minh Let {xk}k∈N be a Cauchy sequence in Rn, we have to showthat it converges Indeed, {xk} is Cauchy sequence in Rn, so (1.8) holds.For all j = 1, 2, , n, one has

|xmj − xpj| ≤ ∥xm − xp∥, for every m, p ∈ N.Combining with (1.8), one implies that {xk

j} are Cauchy sequences in R.Thanks to the complete property of R, {xk

j} converge to xj in R Let us setx = (x1, x2, , xn), by ii) in Theorem 1.3.3, one may conclude that {xk}converges to x.

Trang 16

EXERCISES OF CHAPTER 1

Basic goals of Chapter 1:

Present basic concepts in Rnsuch as Euclidean norm, inner product,open set, closed set and convergence.

Apply the properties of the Euclidean norm to investigate the vergence of vector sequences in Rn.

con- Prove some results related to the concepts of open and closed setsin Rn.

1 Prove that for every x, y ∈ Rn, one has

∥x∥ − ∥y∥

In particular, show that if ⟨x, y⟩ = 0 then

∥x + y∥2 = ∥x∥2 + ∥y∥2 (Pythagorean formula).2 Let {xk

} and {yk} be two sequences in Rn such that lim xk = x0 andlim yk = y0 Prove that

a) lim(xk + yk) = x0 + y0.b) lim ∥xk − yk∥ = ∥x0 − y0∥.

c) lim⟨xk, yk⟩ = ⟨x0, y0⟩.

3 Show that the arbitrary union of open sets in Rn is open.

4 Give an example to show that the infinite intersection of open sets inRn may be not open.

5 Prove that a set in Rn is open if and only if it is an union of open ballsin Rn.

6 Given an infinite series of concentric circles in the plane with radius2k, k ∈ N Is their union a closed set?

7 Given an infinite series of concentric circles in the plane with radius2−k, k ∈ N Is their union a closed set?

Trang 17

8 Let us consider X = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 1} Determine theinterior, closure and boundary of X in R2.

9 Let {xk} ⊂ Rn such that lim xk = x0 Prove that if {xkj}j∈N is asub-sequence of {xk

} then lim

j→∞xkj = x0.10 We say that the sequence {xk

} ⊂ Rn is bounded if there exists r > 0such that ∥xk

∥ ≤ r for all k ∈ N Prove that any bounded sequence inRn admits a convergent sub-sequence.

11 Let X ⊂ Rn and x0 ∈ Rn Prove that x0 is a limit point of X if andonly if there exists a sequence {xk

} ⊂ X \ {x0} such that lim xk = x0.12 Let X ⊂ Rn be non empty set We say that a ∈ Rn is a cluster point

of X if B(a, r) ∩ X is infinite for all r > 0.

a) Show that the cluster point is exactly the limit point.b) Assume that

inf{∥x − y∥ : x, y ∈ X, x ̸= y} > 0.Show that X has no cluster point.

Trang 18

Chương 2

Limits of multivariable functions

2.1 Definition and the equivalent theorem

Definition 2.1.1 (Functions of several variables) Let D be a non-emptyset in Rn Then, a mapping f : D → R is called function of n variablesand D is called the domain of f.

In the definitions and theorems below, without further explanation, wealways assume that D is a non-empty subset of Rn, function f : D → Rand x0 is a limit point of D.

Definition 2.1.2 (Limit) We say that the limit of f(x) as x approachesx0 is L if

∀ε > 0, ∃δ > 0 : 0 < ∥x − x0∥ < δ, x ∈ D =⇒ |f(x) − L| < ε.Then we write lim

f (x) = L.

Example 2.1.3 Let f is two-variable function defined byf (x, y) = x2 + y2, (x, y) ∈ D = R2.Then, one has

|f(x, y) − 1| = |(x − 1)2 + y2 + 2(x− 1)| < δ2 + 2δ ≤ 3δ ≤ ε.

Trang 19

Theorem 2.1.4 (The equivalent theorem) Two following statementsare equivalent.

i) lim

f (x) = L.

ii) For all {xk}k∈N ⊂ D \ {x0}, if lim xk = x0 then lim f(xk) = L.

Chứng minh The theorem is proven in exactly the same way as in functionsof one variable Let us first show that i) ⇒ ii) Assume that limx

f (x) = Land {xk

}k∈N ⊂ D \ {x0} be a sequence such that lim xk = x0 We need toprove that lim f(xk) = L Indeed, for every ε > 0, since lim

f (x) = L thenthere exists δ > 0 such that:

0 <∥x − x0∥ < δ ⇒ |f(x) − L| < ε.

Moreover, since lim xk = x0 there exists k0 ∈ N such that ∥xk − x0∥ < δfor all k ≥ k0 It follows that |f(xk)− L| < ε, for k ≥ k0 We may concludethat lim f(xk) = L.

The statement ii) ⇒ i) can be proved by contradiction Assume that ii)holds and there exists ε > 0 such that

∀δ > 0, ∃x ∈ D : 0 < ∥x − x0∥ < δ and |f(x) − L| ≥ ε (2.1)For each k ∈ N∗, applying (2.1) for δ = 1

k, one can find {xk}k∈N∗ ⊂ D\{x0}such that

∥xk − x0∥ < 1

k and |f(xk)− L| ≥ ε, for all k ∈ N∗ (2.2)Thanks to ii), combining with the fact that lim xk = x0 it implies thatlim f (xk) = L This contradicts (2.2) The proof is complete.

Example 2.1.5 Evaluate lim

(x,y)→(0,0)f (x, y) in the following casesa) f (x, y) = x3 − sin y b) f (x, y) = x sin y

px2 + y2.

Solution For every (xk, yk) ̸= (0, 0) such that lim(xk, yk) = (0, 0), let usset u

Trang 20

Since lim(xk, yk) = (0, 0) it implies that lim xk = lim yk = 0 It leads tolim uk = 0 Hence, we may conclude that lim

(x,y)→(0,0)f (x, y) = 0.In the last case b), there holds

uk = xksin ykpx2

k + yk2, k ∈ N.Note that |u| ≤ p

u2 + v2 for all u, v ∈ R, one gets that

|uk| ≤ | sin yk|, k ∈ N (2.3)Since lim sin yk = 0 it follows that lim uk = 0 Therefore, we obtain that

f (x) does not exist.

Example 2.1.7 Evaluate lim

(x,y)→(0,0)f (x, y) in the following casesa) f (x, y) = x

2 − y2

x2 + y2 b) f (x, y) = sin 1x2 + y2.Solution In the first case a), let us consider two sequences

(xk, yk) = 1k, 0

and (uk, vk) =

0, 1k

, k ∈ N∗.

One can see that lim(xk, yk) = lim(uk, vk) = (0, 0) However, there holdslim f (xk, yk) = 1 and lim f (uk, vk) =−1.

Trang 21

Thanks to Corollary 2.1.6, we may conclude that the limit lim

(x,y)→(0,0)f (x, y)does not exit.

In the second case b), we consider two following sequences(xk, yk) =

kπ, 0

and (uk, vk) = pπ 1

2 + 2kπ, 0!

, k ∈ N∗.It is easy to see that lim(xk, yk) = lim(uk, vk) = (0, 0) On the other hand,we have

lim f (xk, yk) = lim sin(kπ) = 0 and lim f (uk, vk) = lim sinπ

2 + 2kπ

= 1.It allows us to conclude that the limit lim

(x,y)→(0,0)f (x, y) does not exist □.Using the equivalent theorem, we can easily prove results related to thelimits of the sum, difference, product, and quotient of functions Theseresults are presented through the following proposition.

Proposition 2.1.8 Assume that f, g are defined in D and lim

f (x) = L1,lim

[f (x)g(x)] = L1L2.iv) If L2 ̸= 0 then lim

f (x)g(x) =

.2.2 The squeeze theorem

Through the examples above, we see that using Theorem 2.1.4 to late the limit of a multivariable function helps us move from the problemof calculating the limit of a multivariable function to the problem of cal-culating the limit of a real sequence However, the sequence that needs tocalculate the limit f(xk) is not an explicit expression in terms of k, butstill depends on the sequence xk This can cause certain difficulties whenestimating the limit of this series of numbers Besides, the evaluation of

Trang 22

calcu-Thanh-Nhan Nguyen (nhannt@hcmue.edu.vn)Analysis of functions of several variables

Theorem 2.2.1 (The squeeze principle) Assume that f, g, h are definedin D and there exists r > 0 such that

g(x) ≤ f(x) ≤ h(x), ∀x ∈ D ∩ B(x0, r) (2.4)If lim

} ∈ D \ {x0} satisfying lim xk = x0, there exists k0 ∈ Nsuch that

∥xk − x0∥ < r or xk ∈ D ∩ B(x0, r), ∀k ≥ k0.Assumption (2.4) gives us

g(xk) ≤ f(xk) ≤ h(xk), ∀k ≥ k0.Moreover, thanks to Theorem 2.1.4 it follows that

Trang 23

Solution In the first case a), we consider a function f defined in D =R2 \ {(0, 0)} as follows

f (x, y) = x

x2 + y2, (x, y) ∈ D.We have the following fundamental estimate

|f(x, y)| =

x2x2 + y2

|y| ≤ |y|, ∀(x, y) ∈ D (2.5)Since lim

(x,y)→(0,0)|y| = 0, thanks to Corollary 2.2.2, we may conclude thatlim