1 Định nghĩa dãy số: Một hàm số x xác định trên tập hợp các số tự nhiên được gọi là dãy số.. Dãy số được gọi là bị chặn trên hoặc bị chặn dưới hoặc là bị chặn nghĩa là miền giá trị của
Trang 11) Định nghĩa dãy số:
Một hàm số x xác định trên tập hợp các số tự nhiên được
gọi là dãy số Đối với dãy số, người ta thường viết x n thay cho kiểu
viết thông thường của hàm số là x n( ), với mỗi n Dãy số này
được ký hiệu là x n n hoặc viết gọn là x n
Tập hợp x n n được gọi là miền giá trị của dãy số Dãy
số được gọi là bị chặn trên hoặc bị chặn dưới hoặc là bị chặn nghĩa là
miền giá trị của dãy có tính chất bị chặn trên, bị chặn dưới hoặc là
bị chặn
Cho số và hai dãy x n , y thì ta có thể lập ra nhiều dãy n
số mới như x n ; x n y n ; x n y n ; x y và n n n
n
x
y (nếu
0,
n
y n )
2) Dãy số hội tụ và dãy số phân kỳ:
Dãy số x được gọi là có giới hạn hoặc là hội tụ nghĩa là n
tồn tại một số thực x sao cho
0, p , n p x, n x
Số x được gọi là giới hạn của dãy (x n) và được ký hiệu là lim n
n
x x
hay viết gọn là x limx n, hoặc là x n x khi n
Dãy số không có giới hạn hay không hội tụ được gọi là dãy số
phân kỳ
Hệ quả (i) limx n x lim(x n x) 0
(ii) limx n 0 lim x n 0
3) Dãy số Cauchy:
Dãy số (x n ) được gọi là dãy Cô-si nghĩa là
0, p , n m p x, n x m
4) Sự phân kỳ ra vô cực:
Dãy số ( )x n được gọi là phân kỳ ra dương vô cực hoặc tiến ra
dương vô cực ( x n ) nghĩa là: M 0, p , n p x, n M
Trang 22
Dãy số ( )x n được gọi là phân kỳ ra âm vô cực hoặc tiến ra âm
vô cực ( x n ) nghĩa là: M 0, p , n p x, n M
Bài tập
1 Dùng định nghĩa, hãy chứng minh dãy số (x n) định bởi
a) , ,
2 3
n
n
x n
n hội tụ về 12
b) 22 1 ,
2 1
n
n
x n
n n , hội tụ về ½
2 a) C/m rằng nếu dãy số (x n ) hội tụ (về x) thì dãy số đó bị chặn
b) C/m rằng nếu dãy số (x n) là dãy Cauchy thì nó bị chặn
3 C/m rằng nếu (x n) có giới hạn thì giới hạn là duy nhất
4 C/m rằng nếu (x n ) hội tụ (về x) thì dãy số đó là dãy Cô-si (Chiều
ngược lại sẽ được xét ở bài học sau)
5 C/m rằng dãy số (s n) định bởi 1 12 12 12
2 3
n
s
n là dãy
Cô-si Hdẫn: khi xét s n s , sử dụng m k2 k k( 1), k
6 C/m rằng dãy số (s n) định bởi 1 1 1
2
n
s
n không phải là
dãy Cô-si
7 Cho số thực và limx n x C/m lim( x n) x
8 Cho limx n x và limy n y C/m lim(x n y n) x y
9 Cho limx n x và limy n y C/m lim(x y n n) xy
10 a) Cho (x n) hội tụ và x n 0, n n0 (n0 là số tự nhiên nào đó)
C/m limx n 0
b) Cho hai dãy hội tụ (x n ) và (y n) và x n y n, n n0 C/m
limx n lim y n
c) Cho hai dãy số (x n ) và (y n ) hội tụ về cùng giới hạn là a Giả sử
(z n) là dãy số thỏa x n z n y n, n n0 Khi đó limz n a
§6 CÁC TÍNH CHẤT CỦA DÃY SỐ HỘI TỤ
Trang 33
1) Giới hạn bảo toàn các phép tính của dãy:
Cho hai dãy số hội tụ (x n ) và (y n) và cho số thực Khi đó
(i) lim(x n y n) limx n limy n
(ii) lim( x n) lim và lim(x n x y n n) limx n limy n
(iii) Nếu limy n 0 và y n 0, n n0 (n0 là số tự nhiên nào đó) thì
lim
lim
lim
n n
n n
x x
y y
2) Giới hạn bảo toàn thứ tự các dãy:
Cho hai dãy số hội tụ (x n ) và (y n)
(i) Nếu x n y n, n n0 (với n0 nào đó) thì limx n lim y n
(ii) [tiêu chuẩn “giới hạn kẹp”] Nếu limx n limy n a và có thêm
dãy số (a n) thỏa x n a n y n, n n0 thì lima n a
3) Tính chất bị chặn của dãy hội tụ: dãy số nào hội tụ thì dãy số
đó bị chặn
Như vậy, dãy số nào không bị chặn thì dãy số đó phân kỳ
4) Các giới hạn cơ bản:
(i) Với r > 0, ta có lim 1r 0,
n n
(ii) Với r > 0, ta có limn 1,
n r (iii) limn 1,
n n
(iv) Với r > 0 và , ta có lim 0,
(1 )n
n
n
r
(v) Với x 1, ta có lim n 0
n x
Chứng minh
Trang 44
(i) Với 0 tùy ý, chọn
1/
1 r 1.
p Khi đó
1 1
, r 0 r
n p
n p Như vậy giới hạn được chứng minh theo
định nghĩa
(ii) Xét trường hợp r > 1 và xét dãy (x n) định bởi n 1,
n
x r n
Theo khai triển của nhị thức Newton thì (1 )n
n n
r x nx (do
0
n
x ) nên n ,0 x n r
n Dùng tiêu chuẩn giới hạn kẹp thì
limx n 0, suy ra limn r 1
Trường hợp r = 1 thì hiển nhiên Khi 0 < r < 1 thì s 1 1
r ,
áp dụng trường hợp trước, ta có lim 1 lim 1 1
lim
n
n n
s
r r Vậy
limn r 1
(iii) Vì , n 1 0
n
n x n nên
2 2 ( 1) 2
2, (1 )
2
n
n n n n
n n
n n x C x x (khai triển nhị thức
Newton) Từ đó ta suy ra 2,0 21/2
( 1)
n
n x
n Dùng tiêu chuẩn
giới hạn kẹp và kết quả (i) ta suy ra x n 0 Vậy limn n 1
(iv) Để dễ hình dung, ta xét thì (1 )n 3 3, 3
n
r C r n
(Trường hợp tổng quát, chọn số tự nhiên k [ ] 1 thì ta có
(1 )n k k,
n
r C r n k ) Ta suy ra, với mọi n 3 thì
2,7 2,7 2,7 3
3 3 3 3 3 0,3
3! 6 1
0
( 1)( 2)
(1 )n ( 2)
n
n n n n
n n n
r C r r r n n
Dùng tiêu chuẩn giới hạn kẹp và kết quả câu (i), ta có đpcm
Trang 55
(v) Khi x = 0 thì hiển nhiên Nếu 0 x 1, chọn r 1 x 0
x thì
ta có 1
1
x
p và
1
0 0
(1 )
n
n
n
x x
r khi n .
Bài tập
1 Với tập con A của khác rỗng bị chặn trên, hãy chứng minh
rằng có dãy số ( )x n A sao cho x n supA khi n Phát
biểu kết quả tương tự khi A bị chặn dưới
2 Cho dãy số (x n) bị chặn trên và có tính chất n ,x n x n 1
Chứng minh rằng (x n) là dãy hội tụ
3 Cho dãy số (x n) bị chặn dưới và có tính chất n ,x n x n 1
Chứng minh rằng (x n) là dãy hội tụ
4 Cho dãy số (x n ) hội tụ về 0 và dãy số (y n) bị chặn C/m rằng dãy
số (x n y n) hội tụ về 0 (tích của một dãy hội tụ về 0 với một dãy bị
chặn là một dãy hội tụ về 0)
5 Cho (x n ) là dãy số dương hội tụ về x > 0 Chứng minh rằng
limn 1
n
n x Nếu x = 0 thì kết quả còn đúng không?
6 Tính a) limn 2 2
n n n b) lim 3n 3 7 2
n n n
7 Với số thực x tùy ý, chứng minh rằng có một dãy (q n) gồm các số
hữu tỉ và một dãy (r n) gồm các số vô tỉ sao cho q n x và
n
r x khi n
8 Cho dãy số (e n) định bởi 1 1
n
n
e
n Chứng minh rằng
a) n ,e n 1 e n. Hdẫn: 1
2
2 1 1
1 ( 1)
n
n
n
e n
e n n , dùng bất
đẳng thức Bernouli
b) (e n ) bị chặn trên Hdẫn: khai triển nhị thức Newton sẽ cho
thấy 1 1 1 1 1 1 1 12 11
1! 2! ! 1 2 2 2
n n
x
n