CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Phương pháp số
Toán học bắt đầu từ việc giải quyết những vấn đề cụ thể do con người đặt ra từ xa xưa: chia sản phẩm, tính diện tích của một mảnh ruộng,… Toán học ngày càng phát triển theo yêu cầu của các ngành khác như Vật lí, Thiên văn học, Hóa học,… và cũng phát triển theo yêu cầu của chính toán học Từ cuối thế kỉ 19, người ta chia lượng kiến thức toán học đồ sộ lúc đó thành hai ngành: toán lý thuyết (toán học thuần túy) và toán ứng dụng Toán học thuần túy chỉ quan tâm đến những vấn đề được đặt ra từ yêu cầu nội tại của toán học, mang nhiều tính khái quát và trừu tượng trong khi đó toán ứng dụng lại chú trọng đén việc giải quyết và đưa ra kết quả bằng một con số hoặc bằng hình ảnh trực quan các bài toán cụ thể Ví dụ một bài toán được đặt ra thì toán học lý thuyết chú trọng vào chứng minh sự tồn tại, duy nhất nghiệm, dáng điệu và tính chất nghiệm,… còn toán ứng dụng lại tìm các phương pháp giải bài toán, đề xuất thuật toán giải trên máy tính nhanh, ít tốn bộ nhớ và chính xác
Môn phương pháp tính (phương pháp số) được xem như một bộ phận quan trọng của toán ứng dụng Theo từ điển Bách Khoa toàn thư về KHKT (NXB Mc.Graw Hill 1992) thì phương pháp tính (computational methods) hay toán học tính toán (computational mathematics) hay giải tích số (numerical analysis) hay phương pháp số (numerical methods) là một khoa học nghiên cứu về cách giải tìm nghiệm bằng số gần đúng của các phương trình, các bài toán xấp xỉ hàm số, các bài toán tối ưu…
Trong kỹ thuật người ta thường gặp những bài toán mà việc tìm nghiệm giải tích rất khó khăn hoặc không thể thực hiện được, lúc đó người ta phải giải bài toán đó bằng phương pháp số tức là tìm nghiệm gần đúng của bài toán Bên cạnh đó, người ta cũng thường phải nghiên cứu những hiện tượng vật lý mới hoặc là những hiện tượng phức tạp… vậy thì để nghiên cứu dự đoán hiện tượng đó xảy ra như thế nào trong thực tế, người ta thường kết hợp chặt chẽ giữa thí nghiệm và tính toán số bởi vì tính toán số có một số ưu điểm sau:
- Chi phí thấp hơn làm thí nghiệm thực tế: ở đây ta chỉ cần làm ‘thí nghiệm’ trên máy vi tính Tuy nhiên giá thành nghiên cứu thấp nhất sẽ nhận được khi kết hợp một cách hợp lý thực nghiệm vật lý và thực nghiệm số
- Tốc độ: vì làm trên máy tính nên ta có thể sửa chữa, thêm bớt,… hàng trăm mô hình, hàng trăm thông số chỉ bằng một số thao tác đơn giản
- Thông tin đầy đủ: cho biết toàn bộ các thông tin (vận tốc, áp suất, nhiệt độ,…) tại mọi điểm thuộc miền nghiên cứu Điều này trái ngược hoàn toàn với khi làm thí nghiệm thực tế, ta chỉ biết một số thông số tại một số hữu hạn điểm mà thôi
- Có khả năng mô phỏng hiện tượng thực tế hoặc lý tưởng (bỏ qua tính nhớt,…)
- Tuy nhiên, phương pháp số cũng có một số bất lợi như:
- Kết quả tính toán phụ thuộc nhiều vào sự chính xác của mô hình toán: nếu mô hình toán mô phỏng không đúng hiện tượng vật lý thực tế thì kết quả tính toán sẽ không chính xác
- Nếu hiện tượng quá phức tạp hay hiện tượng mô phỏng có cấu trúc hình học phức tạp thì kết quả có thể thiếu chính xác và tốn kém thời gian để xử lí,…
Với sự phát triển ngày càng mạnh mẽ các công cụ tính toán và phương pháp tính, nghiên cứu bằng phương pháp số luôn ngày càng phát triển
Trong thực tế giải quyết các bài toán trong kỹ thuật, người ta thường dùng 3 phương pháp sau để tính toán, mỗi phương pháp có những ưu, nhược điểm riêng và có phạm vi ứng dụng thích hợp, ngoài ra việc sử dụng phương pháp nào để tính toán còn phụ thuộc vào thói quen, sở thích của từng nhóm nghiên cứu và cũng phụ thuộc vào đặc trưng của bài toán Các phương pháp thông dụng gồm:
- Phương pháp phần tử hữu hạn - Finite Element Methods (FEM): giải các bài toán cơ học,…
- Phương pháp phần tử biên - Boundary Element Methods (BEM): giải các bài toán cơ học, lưu chất,…
- Phương pháp sai phân hữu hạn - Finite diference methods (FDM), phương pháp thể tích hữu hạn (Finite volume methods): giải các bài toán truyền nhiệt, lưu chất,…
Phương pháp số nghiên cứu cách giải của nhiều bài toán khác nhau, trong đó có:
- Giải hệ phương trình đại số tuyến tính: phương pháp Gauss, phân tích LU, phương pháp lặp đơn, Gaus-Seidel,…
- Giải gần đúng phương trình phi tuyến: phương pháp chia đôi khoảng cách, phương pháp cát tuyến, phương pháp lặp, phương pháp Newton,…
- Giải gần đúng phương trình vi phân:
- Phương trình vi phân với các điều kiện đầu (bài toán Cauchy-A4) y’= f(x,y); y = y(x) (2.1) Điều kiện đầu: y(xo) = yo
→ Phương pháp giải: Euler, Runge-Kutta, Adams,…
Pt vi phân có điều kiện biên (bài toán biên với pt vi phân thường):
Xét hàm số y = y(x) liên tục trong (a,b) thỏa mãn pt vi phân sai:
d y x x y x f x dx (a