TẬP PHỤ THUỘC HÀM TƯƠNG ĐƯƠNG TẬP PHỤ THUỘC HÀM TỐI THIỂU

1 Tập phụ thuộc hàm tương đương Hai tập phụ thuộc hàm F và G là tương đương (kí hiệu F ≡ G) nếu: • Tất cả các phụ thuộc hàm trong F có thể được suy dẫn từ G, và • Tất cả các phụ thuộc hàm trong G có thể suy dẫn từ F. Vì thế, F và G là tương đương nếu F+ = G+ Nếu F và G là tương đương thì ta nói F phủ G và G phủ F. Thuật toán kiểm tra sự tương đương của 2 tập PTH • F phủ G: ∀X → Y∈G, tính X+ F, sau đó kiểm tra xem Y∈X+ F • G phủ F: ∀X → Y∈F, tính X+ G, sau đó kiểm tra xem Y∈X+ G

Tập phụ thuộc hàm tương đương – tập phụ thuộc hàm tối thiểu - Bài 5 Trang 1

BÀI 5: TẬP PHỤ THUỘC HÀM TƯƠNG ĐƯƠNG

TẬP PHỤ THUỘC HÀM TỐI THIỂU

Mục tiêu:

Trong bài này, Anh/Chị cần đạt được những mục tiêu sau:

1 Nắm vững khái niệm tập phụ thuộc hàm tương đương và tập phụ thuộc hàm tối thiểu

2 Nắm rõ các thuật toán kiểm tra 2 tập phụ thuộc hàm có tương đương nhau; thuật toán tìm phủ tối thiểu

3 Áp dụng thuật toán để giải quyết bài toán rút gọn tập phụ thuộc hàm, kiểm tra sự tương đương nhau của các tập phụ thuộc hàm

Nội dung:

1 Tập phụ thuộc hàm tương đương

Hai tập phụ thuộc hàm F và G là tương đương (kí hiệu F ≡ G) nếu:

• Tất cả các phụ thuộc hàm trong F có thể được suy dẫn từ G, và

• Tất cả các phụ thuộc hàm trong G có thể suy dẫn từ F

Vì thế, F và G là tương đương nếu F+ = G+

Nếu F và G là tương đương thì ta nói F phủ G và G phủ F

Thuật toán kiểm tra sự tương đương của 2 tập PTH

• F phủ G: ∀X → Y∈G, tính X+F, sau đó kiểm tra xem Y∈X+F

• G phủ F: ∀X → Y∈F, tính X+G, sau đó kiểm tra xem Y∈X+G

Ví dụ : Xét hai tập phụ thuộc hàm

F = {A →C, AC → D, E→AD, E →H }

G = { A →CD, E → AH }

Ta chứng minh F phủ G:

Tìm bao đóng của các vế trái của các phụ thuộc hàm trong G theo F Áp dụng thuật toán tìm bao đóng của tập thuộc tính, ta có:

Tập phụ thuộc hàm tương đương – tập phụ thuộc hàm tối thiểu - Bài 5 Trang 2

{A}+F = { A, C, D };

{E}+F = {E, A, D, H, C}

ta thấy các bao đóng này chứa các vế phải tương ứng Từ đó suy ra F phủ

G

Ta chứng minh G phủ F:

Tìm bao đóng của các vế trái của các phụ thuộc hàm trong F theo G Ta có:

{A}+G ={A,C,D},

{AC}+G = { A,C,D},

{E}+G = {E,A,H,C,D}, ta thấy các bao đóng này chứa các vế phải tương ứng Từ đó suy ra G phủ F

Tóm lại G tương đương với F

2 Tập phụ thuộc hàm tối thiểu

2.1 Phụ thuộc hàm có vế phải một thuộc tính

Mỗi tập phụ thuộc hàm F đều tương đương với tập phụ thuộc hàm G mà

vế phải của các phụ thuộc hàm trong G chỉ chứa một thuộc tính

Ví dụ: Cho tập phụ thuộc hàm F

F = {A →C, AC → D, E→AD, E →H }

Ta suy ra:

F≡G={ A →C, AC → D, E→A, E→D, E →H }

2.2 Phụ thuộc hàm có vế trái dư thừa

Cho F là tập phụ thuộc hàm của quan hệ R(U) và X, Y ⊆U, X → Y ∈ F Nói rằng phụ thuộc hàm X → Y có vế trái dư thừa (phụ thuộc không đầy đủ) nếu có thuộc tính A ∈ X (X gồm nhiều thuộc tính) sao cho:

Tập phụ thuộc hàm tương đương – tập phụ thuộc hàm tối thiểu - Bài 5 Trang 3

F≡F - { X → Y }∪{ (X-A) → Y }

Nói một cách khác, phụ thuộc hàm X → Y gọi là phụ thuộc hàm có vế trái không dư thừa khi ta không thể thay thế bất kì một phụ thuộc hàm X → Y trong F bằng một phụ thuộc hàm A → Y mà A là tập con của X nhưng vẫn được tập phụ thuộc hàm tương đương với F ban đầu

Ví dụ:

Cho tập phụ thuộc hàm F={ A → BC, B → C, AB → D} ta thấy phụ thuộc hàm AB → D có vế trái dư thừa B vì

F≡ F - { AB → D}∪{ A → D }

≡ { A → BC, B → C, A → D }

Ta nói F là tập phụ thuộc hàm có vế trái không dư thừa nếu F không chứa các phụ thuộc hàm có vế trái dư thừa

Thuật toán loại bỏ dư thừa vế trái của các phụ thuộc hàm trong F

Input: Tập phụ thuộc hàm F

Output: Tập phụ thuộc hàm F không chứa phụ thuộc hàm có vế trái dư thừa

Các bước thực hiện:

o Bước 1: Với mỗi phụ thuộc hàm X → Y (X từ 2 thuộc tính trở lên) của F thì thực hiện bước 2

o Bước 2: Với mỗi A ∈ X, nếu A → Y∈ F+ thì thay X → Y bằng A

→ Y Lặp lại bước 2 đến khi vế trái X không dư thừa

Ví dụ: Cho tập F={ A → BC, B → C, AB → D}

Tập phụ thuộc hàm tương đương – tập phụ thuộc hàm tối thiểu - Bài 5 Trang 4

Xét phụ thuộc hàm AB → D: có A+={ABCD} nên A → D ∈ F+ nên thay

AB → D bằng A → D và

F≡{ A → BC, B → C, A → D }

2.3 Tập phụ thuộc hàm không dư thừa

F là tập PTH không dư thừa nếu không tồn tại F’ ⊂ F sao cho F’ ≡ F

Ví dụ: Cho F = {A →BC, B →D, AB →D} F là dư thừa vì F≡F’={ A

→BC, B →D}

Thuật toán loại khỏi F các phụ thuộc hàm dư thừa

- Input: Tập PTH F

- Output: Tập F không có PTH dư thừa

- Thuật toán:

! Bước 1: Với mỗi PTH X → Y trong F

! Bước 2: Nếu X → Y là thành viên của F – {X → Y} thì loại

X → Y khỏi F

! Bước 3: Lặp lại bước 2 cho đến khi hết các PTH cần xét

Ví dụ:

Cho F = {A →BC, B →D, AB →D} Tìm tập phụ thuộc hàm không dư thừa

Giải:

1 Giả sử A → BC là dư thừa F={B → D, AB → D} Kiểm tra A → BC có là thành viên của F: A+={A} ta thấy BC ∉ A+

Vậy: A → BC không dư thừa

2 Giả sử B->D là dư thừa: F={A → BC; AB → D} Tính: B+ = {B} ta thấy D ∉ B+

Tập phụ thuộc hàm tương đương – tập phụ thuộc hàm tối thiểu - Bài 5 Trang 5

=> B → D không dư thừa

3 Xét AB → D: F={A → BC; B → D}

Tính (AB)+ = {ABCD} ta thấy D ∈ (AB)+

=> Vậy: AB → D là dư thừa

Kết luận: F ≡ { A →BC, B →D } là tập phụ thuộc hàm không dư thừa

2.4 Thuật toán tìm tập phụ thuộc hàm tối thiểu

F được gọi là tập phụ thuộc hàm tối thiểu Ftt (phủ tối thiểu) nếu F thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

1 F là tập phụ thuộc hàm có vế trái không dư thừa

2 F là tập phụ thuộc hàm có vế phải một thuộc tính

3 F là tập phụ thuộc hàm không dư thừa

Thuật toán tìm phủ tối thiểu của một tập phụ thuộc hàm

Input: Tập phụ thuộc hàm F

Output: Phủ tối thiểu của F

Các bước:

Bước 1: Loại khỏi F các phụ thuộc hàm có vế trái dư thừa

Bước 2: Tách các phụ thuộc hàm có vế phải nhiều hơn một thuộc tính thành các phụ thuộc hàm có vế phải một thuộc tính

Bước 3: Loại khỏi F các phụ thuộc hàm dư thừa

Lưu ý:

- Với thuật toán trên ta luôn tìm được ít nhất một phủ tối thiểu Ftt ≡ F

- Nếu ta thay đổi trật tự loại bỏ các phụ thuộc hàm trong F thì ta có thể tìm được các phủ tối thiểu khác nhau

Tập phụ thuộc hàm tương đương – tập phụ thuộc hàm tối thiểu - Bài 5 Trang 6

Ví dụ 1:

Cho tập F={ A → BC, B → C, AB → D} Tìm phủ tối thiểu của F

Giải:

Bước 1: Xét phụ thuộc hàm AB → D có A+={ABCD} nên A → D ∈ F+ thay AB → D bằng A → D và

F≡{ A → BC, B → C, A → D }

Bước 2: Tách phụ thuộc hàm A → BC ta được

F≡{ A → B, A → C, B → C, A → D }

Bước 3: Kiểm tra xem các phụ thuộc hàm có dư thừa hay không

• Giả sử A → B dư thừa khi đó F = { A → C, B → C, A → D }

Tính A+ = {ACD} ta thấy B ∉ A+ nên A → B không dư thừa

• Giả sử A → C dư thừa khi đó F= { A → B, B → C, A → D }

Tính A+={ABCD} ta thấy C ∈ A+ nên A → C dư thừa

F≡{ A → B, B → C, A → D }

• Giả sử B → C dư thừa khi đó F={ A → B, A → D }

Tính B+ ={B} ta thấy C ∉ B+ nên B → C không dư thừa

• Giả sử A → D dư thừa khi đó F= { A → B, B → C }

Tính A+={ABC} ta thấy D ∉ A+ nên A → D không dư thừa

Kết luận: Phủ tối thiểu của tập F đã cho là

Ftt={ A → B, B → C, A → D }

Ví dụ 2: Cho F={AB →CD, B →C, C →D} Tìm tập phụ thuộc hàm tối thiểu

Giải:

Tập phụ thuộc hàm tương đương – tập phụ thuộc hàm tối thiểu - Bài 5 Trang 7

Bước 1: Loại PTH có vế trái dư thừa:

Xét AB → CD, giả sử dư A cần CM B → CD là thành viên của F: B+={BCD} => đúng nên dư A

Khi đó F = {B → CD; B → C; C → D}

Bước 2: Đưa về dạng PTH có vế phải 1 thuộc tính

F = {B → C; B → D; C → D}

Bước 3: Loại khỏi F các PTH dư thừa

Dễ thấy B → D là dư thừa vì B → C và C → D

Vậy phủ tối thiểu của Ftt = {B → C; C → D}

Chúc Anh/Chị học tập tốt!

TÀI LIỆU THAM KHẢO

- Cơ sở dữ liệu, Đỗ Trung Tuấn, NXB Giáo dục, 2004

- Nhập môn Cơ sở dữ liệu, Nguyễn Tuệ, NXB Đại học Quốc gia, 2008

- Nhập môn Cơ sở dữ liệu quan hệ, Lê Tiến Vương, NXB Giáo dục,

2004

- Giáo trình Cơ sở dữ liệu, Học viện Bưu chính viễn thông, NXB Bưu điện, 2004

- Fundamentals of Database Systems, 6th edition, John Wiley & Sons,

Inc, 2011

- Database Systems Concepts, Abram Siberschatz, Henry F.Korth, S.Sudarshan, McGaw-Hill /Irwin, 2002