Hệ thống công thức phần lượng giác doc

1 PHẦN LƯỢNG GIÁC Radian 0 6  4  3  2  2 3  3 4  5 6   Độ 0 0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 120 0 135 0 150 0 180 Công Thức Lượng Giác Cơ Bản sin x 0 1 2 2 2 3 2 1 3 2 2 2 1 2 0 2 2 sin cos 1x x  cos x 1 3 2 2 2 1 2 0 1 2  2 2  3 2  1 tan .cot 1x x  tan x 0 3 3 1 3 || 3 1 3 3  0 2 2 1 1 tan cos x x   cot x || 3 1 3 3 0 3 3  1 3 || 2 2 1 1 cot sin x x   Giá Trị Lượng Giác Của Các Góc (Cung) Có Liên Quan Đặc Biệt. Góc đối nhau Góc bù nhau Góc phụ nhau Góc hơn kém / 2   sin sinx x    sin sinx x  sin cos 2 x x               sin cos 2 x x                 cos cosx x    cos cosx x  cos sin 2 x x               cos sin 2 x x                 tan tanx x    tan tanx x  tan cot 2 x x               tan cot 2 x x                 cot cot x x     cot cot x x   cot tan 2 x x               cot tan 2 x x               Công Thức Cộng Nhân Đôi Và Hạ Bậc Đường tròn lượng giác   cos cos .cos sin .sina b a b a b   sin2 2sin .cos x x x    cos cos .cos sin .sina b a b a b   2 2 cos2 cos sinx x x    sin sin .cos cos .sina b a b a b   2 2cos 1x    sin sin .cos cos .sina b a b a b   2 2tan tan2 1 tan x x x     tan tan tan 1 tan .tan a b a b a b       2 1 cos 1 cos2 2 x x    tan tan tan 1 tan .tan a b a b a b       2 1 sin 1 cos2 2 x x  Công Thức biến Đổi Tổng Thành Tích Công Thức biến Đổi Tích Thành Tổng cos cos 2cos .cos 2 2 a b a b a b         1 cos .cos cos cos 2 a b a b a b         cos cos 2sin .sin 2 2 a b a b a b         1 sin .cos sin sin 2 a b a b a b         sin sin 2sin .cos 2 2 a b a b a b         1 sin .sin cos cos 2 a b a b a b         Công thức nhân ba sin sin 2cos .sin 2 2 a b a b a b     3 sin3 3sin 4sinx x x    sin tan tan cos .cos a b a b a b    3 cos3 4cos 3cosx x x  dccthd@gmail.com 2 Một Số Công Thức Chú Ý Khác Với tan 2 x t  ta có : cos sin 2.cos 4 x x x                cos sin 2.cos 4 x x x                2 2 sin 1 t x t   sin cos 2.sin 4 x x x                sin cos 2.sin 4 x x x                2 2 1 cos 1 t x t    Phương trình lượng giác cơ bản Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x : cos sina x b x c  (1)   2 2 0a b    2 cos cos 2 A B k A B k Z A B k                2 sin sin 2 A B k A B k Z A B k                  tan tanA B A B k k Z       cot cotA B A B k k Z     Cách giải : Nếu 2 2 2 a b c  thì phương trình (1) vô nghiệm. Nếu 2 2 2 a b c  thì phương trình (1) có nghiệm. Khi đó : (1) 2 2 2 2 2 2 cos sin a b c x x a b a b a b         cos cosx     Với 2 2 2 2 2 2 cos ; sin ; cos a b c a b a b a b         Phương trình dạng :   cos sin sin cosa x x b x x c   Phương trình bậc hai đối với sin x và cos x : 2 2 sin sin .cos .cosa x b x x c x d   (1)   0abc  Cách giải : Đặt cos sin 2 cos 4 t x x x                2 1 sin .cos , 2 2 2 t x x t       Đưa phương trình đã cho về p/t ẩn t .Giải phương trình này tìm t ,từ đó giải phương trình 2 cos 4 x t              để tìm x . Cách giải 1 :  Xét cos 0x  và tìm những giá trị của x là nghiệm của pt (1).  Xét cos 0x  .Chia hai vế của pt (1) cho 2 cos x đưa phương trình về dạng bậc hai (hoặc bậc nhất) theo tan x đã biết cách giải . Cách giải 2:  Dùng công thức hạ bậc đối với 2 sin x và 2 cos x và công thức nhân đôi đối với sin .cos x x để đưa (1) về dạng bậc nhất đối với cos2 x và sin 2 x . PHẦN GIẢI TÍCH 12 TÍNH CHẤT LŨY THỪA   0, 0 a b LÔGARIT   0,0 1  b a 1a 0 1 a     m m n m n n a a a log   a b b a              f x g x a a f x g x            f x g x a a f x g x 1  n n a a log  a b b a         log log 0     a a f x g x f x g x         log log 0     a a f x g x f x g x 1              n n a a log  a a              f x g x a a f x g x .  a a a      log log a a b b               log log , 0    a a f x g x f x g x g x   a a a       1 2 1 2 log log log .  a a a b b b b PHƯƠNG PHÁP GIẢI PT, BPT MŨ LÔGARIT   . a a     1 1 2 2 log log log  a a a b b b b  Đưa Về Cùng Cơ Số   . .a b a b    1 log .log a a b b    Đặt Ẩn Phụ            bb a a    log .log n a a b n b  Lôgarit Hóa (mũ) 1   n k nk nk a a a log .log log log log  a c c a c c b a b b  Sử Dụng Tính Đơn Điệu Của Hàm Số dccthd@gmail.com 3 ĐẠO HÀM NGUYÊN HÀM   ' ' '  u v u v   . ' . 'k u k u .    a dx ax c 2 2    x xdx c   . ' '. . ' u v u v u v / 2 '. . '             u u v u v v v 1 2   dx x c x 1 1 .2     dx ax b c a ax b   ' 0 ; ' 1 c x   u u x 1 1      x x dx c        1 1 . 1        ax b ax b dx c a      1 ' .  x x      1 ' . . '  u u u    1 ln   dx x c x 1 1 .ln     dx ax b c ax b a / 2 1 1             x x / 2 1 '             u u u    x x e dx e c     1      ax b ax b e dx e c a   / 1 2 x x   / ' 2  u u u ln    x x a a dx c a     1 . ln      mx n mx n a a dx c m a   sin ' cosx x   sin ' '.cosu u u cos sin   xdx x c     1 cos sin     ax b dx ax b c a   cos ' sin x x   cos ' '.sin u u u sin cos    xdx x c     1 sin cos      ax b dx ax b c a   2 1 tan ' cos x x   2 ' tan ' cos  u u u 2 1 tan cos    dx x c x     2 1 1 tan cos      dx ax b c aax b   2 1 cot ' sin x x   2 ' cot ' sin  u u u 2 1 cot sin     dx x c x     2 1 1 cot sin       dx ax b c aax b   /  x x e e   / '. u u e u e Phương Pháp Tìm Nguyên hàm   / .ln x x a a a   / '. .ln u u a u a a  Phương pháp đổi biến :       . '            f u x u x dx F u x C Trong đó : F là một nguyên hàm của f .   / 1 ln x x   0x   / ' ln  u u u   / 1 log .ln  a x x a   / ' log .ln  a u u u a   / 1 1   n n n x n x   / 1 ' .   n n n u u n u  Phương pháp nguyên hàm từng phần :             . ' . . '    u x v x dx u x v x v x u x dx (Hay . . .    u dv u v v du ) Chú ý : Đối với các nguyên hàm dạng :   .  ax P x e dx ,   .cos .  P x ax dx ,   .sin .  P x ax dx với P(x) là đa thức thì ta chọn     u x P x và   'v x là nhân tử còn lại . Đối với các nguyên hàm dạng :   .ln .  P x ax dx thì ta chọn   lnu x ax còn     ' v x P x ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM-KHẢO SÁT HÀM SỐ TÍCH PHÂN  Sự đồng biến nghịch biến Khái niệm : Cho   F x là một nguyên hàm của   f x trên   ;a b Ta có :             b b a a f x dx F x F b F a Tính chất của tích phân         b a a b f x dx f x dx            c b c a a b f x dx f x dx f x dx Định lý . Cho hàm số    y f x có đạo hàm trên K và   ' 0f x chỉ tại một số hữu hạn điểm . Khi đó . ››   ' 0,  f x x K  hàm số    y f x đồng biến trên K . ››   ' 0 ,  f x x K  hàm số    y f x nghịch biến trên K .     . .   b b a a k f x dx k f x dx                   b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx Phương pháp tính tích phân Công thức đổi biến số :           . '        u b b a u a f u x u x dx f u du Phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số.  Tìm tập xác định .  Tính đạo hàm   'f x .Tìm các điểm i x mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định .  Lập bảng biến thiên rồi dựa vào dấu đạo hàm để kết luận về sự đồng biến nghịch biến của hàm số .  Cực trị của hàm số Công thức từng phần :             . ' . . . ' .    b b b a a a u x v x dx u x v x v x u x dx Hoặc . . .    b b b a a a u dv u v v du dccthd@gmail.com 4 Ứng dụng tích phân tính diện tích và thể tích. Điều kiện cần. Hàm số   f x        0 0 C㮹o hµmt¹i x §¹t cùc trÞ t¹i x   0 ' 0 f x Định lý .      0 0 ' 0 '' 0            f x f x 0 x là điểm cực tiểu của   f x .      0 0 ' 0 '' 0            f x f x 0 x là điểm cực đại của   f x . x y a b y = f(x) x y a b y = f(x) y = g(x)  Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số   b a S f x dx     , , y f x Ox x a x b                    b a S f x g x dx        , , y f x x a y g x x b                  Định nghĩa : Cho hàm số   y f x xác định trên tập D       0 0 , max                  x D f x M x D M f x x D sao cho f x M       0 0 , min                  x D mf x x D m f x x D sao cho f x m x y a b y = f(x) x y c d x = g(y)   2 . b a V f x dx     , , y f x Ox x a x b                  2 . d c V g y dy     , , x g y Oy y c y d                SỐ PHỨC Phương pháp tìm GTLN , GTNN cùa hàm số    y f x liên tục trên đoạn ;       a b .  Tìm các điểm 1 2 , , , n x x x trên   ;a b mà tại đó   'f x bằng 0 hoặc không xác định .  Tính           1 2 , , , , , . n f a f b f x f x f x  Kết luận :   ;  x a b max f Max             1 2 , , , ,., n f a f b f x f x f x   ;  x a b min f Min             1 2 , , , ,., n f a f b f x f x f x  Sơ đồ khào sát và vẽ đồ thị hàm số 1. Tập xác định  Dạng đại số : Z a bi    ,a b R  a là phần thực , b là phần ảo, i là đơn vị ảo, 2 1i  .  Z là số thực  Phần ảo của Z bằng 0.  Z là số thuần ảo  Phần thực của Z bằng 0. 2. Sự biến thiên . › Tìm các giới hạn vô cực, tại vô cực và tìm các đường tiệm cận (nếu có). › Lập bảng biến thiên . Tính y’, xét dấu y’, xét chiều biến thiên, tìm cực trị (nếu có) và điền các kết quả vào bảng. Từ bảng biến thiên nêu kết luận về chiều biên thiên và cực trị .  Dạng lượng giác : (cos sin )Z r i   Trong đó :    2 2 0r Z a b r      là số thực sao cho cos , sin a b r r      gọi là một acgumen của Z ,   ,Ox OM  . O r  a b M(z) 3. Vẽ đồ thị . › Vẽ các đường tiệm cận (nếu có) › Xác định một số điểm đặc biệt . Giao với các trục, điểm uốn (nêu có)…  Số phức liên hợp của số phức Z a bi  là số phức Z a bi   Hai số phức bằng nhau : ' ' ' ' a a a bi a b i b b               Các dạng đồ thị của hàm bậ ba a > 0 a < 0 a > 0 a < 0  Các phép toán về số phức .  Phép cộng và trừ hai số phức :         ' ' ' 'a bi a b i a a b b i        Phép nhân hai số phức :         ' ' . ' . ' ' ' .a bi a b i a a b b ab a b i       Phép chia hai số phức : 2 2 . ( . )( ' '. ) ' '. ' ' a b i a b i a b i a b i a b       ' 0y  có 2 nghiệm ' 0, y x D    Phép toán số phức dạng lượng giác: (cos sin )z r i   ; '(cos ' sin ')z r i    Các dạng đồ thị của hàm trùng phương      . ' . ' cos ' .sin 'z z r r i                 cos ' .sin ' ' ' z r i z r              Công thức Moa-vrơ :       (cos sin ) cos .sin n n n z r i r n i n            a > 0 a < 0 a > 0 a < 0 ' 0y  có 3 nghiệm ' 0y  có 1 nghiệm.  Hàm nhất biến Phương /t tiếp tuyến ' 0 , y x   ' 0 , y x   PTTT của đường cong   y f x  tại điểm   0 0 , M x y có dạng :     0 0 0 ' y f x x x y     Giải phương trình bậc hai dạng : 2 0 , ( 0)Az Bz C A    (1)  Cách giải:  Tính 2 4B AC    Nếu 0  thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt : 1 2 , 2 2 B B z z A A        (  là một căn bậc hai của  )  Nếu 0  thì phương trình (1) có nghiệm kép: 1 2 2 B z z A   dccthd@gmail.com . 1 PHẦN LƯỢNG GIÁC Radian 0 6  4  3  2  2 3  3 4  5 6   Độ 0 0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 120 0 135 0 150 0 180 Công Thức Lượng Giác Cơ Bản sin x . Cách giải 2:  Dùng công thức hạ bậc đối với 2 sin x và 2 cos x và công thức nhân đôi đối với sin .cos x x để đưa (1) về dạng bậc nhất đối với cos2 x và sin 2 x . PHẦN GIẢI TÍCH 12.   tan tan tan 1 tan .tan a b a b a b       2 1 sin 1 cos2 2 x x  Công Thức biến Đổi Tổng Thành Tích Công Thức biến Đổi Tích Thành Tổng cos cos 2cos .cos 2 2 a b a b a b     