Hệ thống công thức phần lượng giác doc

đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.. hàm để kết luận về sự đồng biến nghịch biến của hàm số... 4 Ứng dụng tớch phõn tớnh diện tớch và thể tớch.. Sự biến thiờn.. › Tỡm cỏc giới hạn vụ

1

PHẦN LƯỢNG GIÁC

6



4



3



2

3

4

6

Công Thức Lượng Giác Cơ Bản

2

2

2

3

3

2

2

2

1

sin xcos x1

2

2

2

1

1 2

2

2

 1 tan cotx x 1

3



cos

x

x

3

3

2

1

1 cot

sin

x

x

Giá Trị Lượng Giác Của Các Góc (Cung) Có Liên Quan Đặc Biệt

 





  

 





  

 





  

 

cot   x cotx cot    x  cot x cot tan





  

Công Thức Cộng Nhân Đôi Và Hạ Bậc Đường tròn lượng giác

2

2tan tan 2

1 tan

x x

x





tan

1 tan tan



 

cos 1 cos 2

2

tan   tan tan

1 tan tan



 

sin 1 cos 2

2

Công Thức biến Đổi Tổng Thành Tích Công Thức biến Đổi Tích Thành Tổng

cos cos 2 cos cos

2

a b  a b ab  cos cos 2sin sin

2

a b  a b ab  sin sin 2sin cos

2

a b   a b ab 

C ông thức nhân ba

sin sin 2cos sin

3

sin 3 x  3sin x  4sin x

sin

cos cos



cos3 x  4cos x  3cos x

dccthd@gmail.com

2

2

x

t ta có :

4

x x x 

4

x x x 

1

t x

t





4

x x x 

4

x x x 

1

t x

t







Phương trình lượng giác cơ bản Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x :

cos sin

0

a b 

2 cos cos

2







   



2 sin sin

2





   



tanAtanB  A B k kZ

cotAcotB  A B k kZ

(1)

2a 2cosx 2b 2sinx 2c 2

Với

Phương trình dạng :

cos sin  sin cos

Phương trình bậc hai đối với sin x và cos x :

sin sin cos cos

Cách giải :

Đặt cos sin 2 cos

4

t x x x 



  

2 1

2

t

Đưa phương trình đã cho về p/t ẩn t Giải

phương trình này tìm t ,từ đó giải phương

trình 2 cos

4

 

Cách giải 1 :

 Xét cos x  và tìm những giá trị của x là nghiệm của pt (1) 0

 Xét cos x  Chia hai vế của pt (1) cho 0 cos x đưa phương trình về 2

dạng bậc hai (hoặc bậc nhất) theo tan x đã biết cách giải

Cách giải 2:

 Dùng công thức hạ bậc đối với 2

sin x và cos x và công thức nhân đôi 2

PHẦN GIẢI TÍCH 12

TÍNH CHẤT

LŨY THỪAa0,b0 LÔGARITb0, 0 a 1

1



 n a mn a m a m n loga b  b a f x  g x     

a a f x g x f x  g x     

1

n

n

   

log log

0



a f x a g x

f x g x

   

log log 0



a f x a g x

f x g x

 

 

 

  

n

n

a

 

a a  a   loga bloga b loga f x loga g x   f x g x , g x 0





a

a

a



 

 loga b1loga b2logab b1 2 PHƯƠNG PHÁP GIẢI PT, BPT MŨ LÔGARIT

2

loga b loga b loga b

 



 

 

 



b

b

a a 

1

 

n k a nk a a nk log log log

log

log 

a

c

a

b

3

uv' u' v'  k u 'k u ' a dx axc

2

2

 

 xdx x c

 u v 'u v' u v '

/

2

' '

  

  

 

 u v u v v u v

1

2

x

.2



a

ax b

 

'0 ; '1

1





 x dx x c





1

1 1







a







' 

'  '

u u u  1dxln xc

x

.ln



/

2

 

   

 

 x x

/ 2

 

   

 

 u u u  x  x

e dx e c  axb 1 axb

a

 / 1

2



x

2

 u

u

a

ln



 mx n a mx n

 sin x  '  cos x  sin u  '  u '.cos u cosxdxsinxc cosaxb dx 1sinax b c

a

cosx' sinx cosu' u'.sinu sinxdx cosxc sinaxb dx  1cosax b c

a

 tan  ' 12

cos



x

x  tan  ' 2'

cos

 u

u

1

tan cos  

tan



a

ax b

 cot  ' 12

sin



x

x  cot  ' 2'

sin

 u

u

1

cot sin   

cot



a

ax b

 /



x x

'



 /

.ln



x x

' .ln



a u a a  Phương pháp đổi biến :  f u x u x dx     ' F u x  C

Trong đó : F là một nguyên hàm của f

 / 1

ln x 

x x0  / '

ln u u

u

 / 1

log

.ln



a x

log

.ln



a

u u

u a

 /

1

1





n

n n

x

1

' 



n

n n

u u

n u

 Phương pháp nguyên hàm từng phần :

    '           '

u x v x dx u x v x v x u x dx (Hayu dv u v v du )

 Sự đồng biến nghịch biến Khái niệm : Cho F x  là một nguyên hàm của f x  trên a b; 

a a

f x dx F x F b F a

Tính chất của tích phân

     

f x dx f x dx f x dx

Định lý

Cho hàm số y f x  có đạo hàm trên K và

 

' 0

f x chỉ tại một số hữu hạn điểm Khi đó

›› f ' x 0 , x K

 hàm số y f x  đồng biến trên K

›› f ' x 0 , x K

 hàm số y f x  nghịch biến trên K       

k f x dx k f x dx           

f x g x dx f x dx g x dx

Phương pháp tính tích phân

Công thức đổi biến số :      

 

 

'

 

u b b

f u x u x dx f u du

Phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số

đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định

hàm để kết luận về sự đồng biến nghịch biến

của hàm số

 Cực trị của hàm số

Công thức từng phần : b     '      b  b     '

a

u x v x dx u x v x v x u x dx

Hoặc    

b a

u dv u v v du

4

Ứng dụng tớch phõn tớnh diện tớch và thể tớch

Điều kiện cần





0 0

Có đạo hàm tại x

Đạt cực trị tại x  f' x0 0

Định lý

 

0

0





 

f x

f x x0 là điểm cực tiểu của f x 

  

 

0

0





 

f x

x y

a

b

y = f(x)

x y

a

b

y = f(x)

y = g(x)

 Giỏ trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

 

b

a

S f x dx  ,

,

a

S f x g x dx y yg x x f x x  ,,  b a



Định nghĩa :

 

, max 





  

x D

f x M x D

x D sao cho f x M

 

, min







 

x D

m

x D sao cho f x m

x y

y = f(x)

x

y

c

d

x = g(y)

 

2

.

b

a

V f x dx  ,

,

.

d

c

Vg y dy  ,

,

SỐ PHỨC

Phương phỏp tỡm GTLN , GTNN cựa hàm số

 



y f x liờn tục trờn đoạn a b; 

Tỡm cỏc điểm x1,x2, ,x n trờn a b;  mà tại

Kết luận :

 ; 

x max f a b Max f a   , f b,f x   1 ,f x2 ,.,f x n

 ; 

x min f a b Min f a   , f b,f x   1,f x2 ,.,f x n 

 Sơ đồ khào sỏt và vẽ đồ thị hàm số

1 Tập xỏc định

 Dạng đại số : Z a bi a b, R

1

i  

2 Sự biến thiờn

› Tỡm cỏc giới hạn vụ cực, tại vụ cực và tỡm

cỏc đường tiệm cận (nếu cú)

› Lập bảng biến thiờn

Tớnh y’, xột dấu y’, xột chiều biến thiờn, tỡm

cực trị (nếu cú) và điền cỏc kết quả vào bảng

Từ bảng biến thiờn nờu kết luận về chiều biờn

thiờn và cực trị

 Dạng lượng giỏc : Zr(cosisin )

0

rZ  a b r

 

r

 a

b M(z)

3 Vẽ đồ thị

› Vẽ cỏc đường tiệm cận (nếu cú)

› Xỏc định một số điểm đặc biệt

Giao với cỏc trục, điểm uốn (nờu cú)…

 Số phức liờn hợp của số phức Z a bi là số phức Z a bi

 Hai số phức bằng nhau : ' ' '

'

 





 Cỏc dạng đồ thị của hàm bậ ba

a > 0

a < 0

a > 0

a < 0

 Cỏc phộp toỏn về số phức

y  cú 2 nghiệm y'    0, x D Phộp toỏn số phức dạng lượng giỏc:zr(cosisin ) ;zr'(cos' isin')

 Cỏc dạng đồ thị của hàm trựng phương  z z 'r r ' cos    'i.sin  '  cos ' .sin '

i

z r       

z  r i  r  n i n

a > 0

a < 0

a > 0

a < 0

y  cú 3 nghiệm y ' 0cú 1 nghiệm

 Hàm nhất biến Phương /t tiếp tuyến

y  x y'  0 , x

PTTT của đường cong

 

 0 , 0

M x y cú dạng :

 0 0 0

'

yf x xx y

 Giải phương trỡnh bậc hai dạng : 2

Az Bz C A (1)

 Cỏch giải:

4

2

B

A