skkn một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Cơ sở lí luận Trong điều kiện hiện nay , cùng với sự phát triển chung của đất n-ớc,ngành giáo dục đã từng bớc thay đổi chơng trình , sách giáo khoa , phơng pháp giảng dạy để phù hợp với

-*** -SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC”

Môn: Toán Cấp học: THCS

Tác giả: Trần Thị Kim Hoa Đơn vị công tác:Trường THCS Tản Đà Chức vụ: Giáo viên

Năm học :2019 – 2020

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

A ĐẶT VẤN ĐỀ

I Lí DO CHỌN ĐỀ TÀI

1 Cơ sở lí luận

Trong điều kiện hiện nay , cùng với sự phát triển chung của đất n-ớc,ngành giáo dục đã từng bớc thay đổi chơng trình , sách giáo khoa , phơng pháp giảng dạy để phù hợp với thực tế Việc đổi mới phơng pháp dạy học là vấn

đề cần thiết đối với mỗi giáo viên

Ngời thầy đóng vai trò chủ đạo , hớng dẫn học sinh tìm tòi kiến thức Việc phát huy tính chủ động , sáng tạo , t duy lô gic của học sinh trong học tập

và cuộc sống là điều rất cần thiết , đó là điều mà trong dạy học Toán dễ dàng thực hiện đợc

Việc trang bị cho học sinh những kiến thức Toán không chỉ gồm khái niệm, tính chất, định lí , qui tắc mà cả những kĩ năng , phơng pháp giải bài tập

và vận dụng vào thực tế cuộc sống Vì thế trong quá trình giảng dạy ngoài việc hớng dẫn học sinh tìm tòi tri thức còn phải suy luận , đúc rút kinh nghiệm Khi giải bài toán không chỉ đòi hỏi học sinh linh hoạt trong việc áp dụng lí thuyết mà còn khai thác , phát triển bài toán theo chiều hớng thuận lợi nhất cho việc giải nó Mỗi giáo viên trong quá trình giảng dạy đều muốn đem tâm huyết và vốn kiến thức của mình truyền thụ cho học sinh mong các em hiểu bài và yêu thích môn Toán hơn Việc giảng bài và tìm ra phơng pháp giải sao cho phù hợp với đối t-ợng học sinh đã kích thích lòng ham mê ở các em, từ đó tìm ra những học sinh

có năng khiếu và bồi dỡng trở thành học sinh giỏi

Giải bài toán bất đẳng thức, bất phơng trình rèn cho học sinh t duy phân tích, tổng hợp, phát huy đợc tính tích cực chủ động trong t duy

2 Cơ sở thực tiễn

Bài toán về bất đẳng thức có mặt hầu hết trong các đề thi học sinh giỏi các cấp, thi tuyển sinh vào lớp chọn của THCS, THPT

Qua thực tế giảng dạy môn toán tôi nhận thấy giải toán bất đẳng thức là

t-ơng đối khó với học sinh ,chứng minh bất đẳng thức , giải bất pht-ơng trình là mới lạ và khó và thực tế cho thấy :

- Học sinh lúng túng trớc vấn đề cần chứng minh mà không biết bắt đầu từ đâu

và đi theo hớng nào

-Học sinh có suy luận kém , dùng lập luận thiếu căn cứ , không chính xác , lập luận dài dòng , thậm chí có mâu thuẫn , t duy suy luận cha cao

-Học sinh còn mắc lỗi khi dùng kí hiệu , câu chữ lủng củng ; nhân hai vế của bất đẳng thức, bất phơng trình với số âm mà không đổi chiều bất đẳng thức ,bất phơng trình

-Với những bài chỉ sử dụng giả thiết nếu không tìm ra lời giải thì học sinh thờng bế tắc , ít sáng tạo dẫn đến các em ngại khó và bỏ qua

- Tài liệu dùng cho học sinh còn ít dẫn đến việclựa chọn và giải bài tập còn nhiều hạn chế

3 Lý do chọn đề tài

Bất đẳng thức đại số là một chuyên đề cơ bản và tơng đối khó trong chơng trình đại số phổ thông Các bài toán về bất đẳng thức đại số rất phong phú , đa dạng Đòi hỏi cần vận dụng các phơng pháp giải vào từng bài một cách hợp lí ,

để đem lại kết quả bài toán một cách nhanh gọn , dễ hiểu hay nhiều khi khá độc

đáo và bất ngờ

- Chứng minh bất đẳng thức là một dạng toỏn hay và khú, nú thu hỳt, hấp dẫn tất cả cỏc học sinh THCS từ lớp 6, lớp 7, lớp 8, lớp 9

- Chứng minh bất đẳng thức cú mặt hầu hết trong cỏc kỳ thi khảo sỏt chất lượng HSG toỏn cỏc cấp từ cấp Quận, Huyện , Thành Phố cho đến thi vào lớp 10, thi vào cỏc trường chuyờn trong cả nước

- Chứng minh bất đẳng thức rất đa dạng, mỗi bài lại cú cỏch giải riờng phự hợp với nú

Chớnh vỡ những lý do trờn mà tụi chọn đề tài này, được viết ra từ quả trỡnh bản thõn giảng dạy, bồi dưỡng HSG

II.THỜI GIAN, ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIấN CỨU

1 Thời gian nghiờn cứu:

Vỡ dạng toỏn này quỏ rộng, phương phỏp giải lại rất phong phỳ nờn tụi đưa ra cỏc bài toỏn điển hỡnh, sắp xếp từ đơn giản đến phức tạp

Thời gian thực hiện từ tháng 9 đầu năm học đến hết tháng 5 trong năm học Và trong suốt quá trình các em học trờn lớp, trong đợt ôn luyện thi học sinh giỏi và ụn thi vào lớp 10

2 Đối t ợng nghiên cứu :

- Học sinh ở lứa tuổi 14 -15 ở trờng THCS vì đa số các em thích học toán

và bớc đầu thể hiện năng lực tiếp thu một cách ổn định

- Đối tợng khảo sát : học sinh lớp 8 ,9 và trong các giờ luyện tập, ôn tập luyện thi học sinh giỏi cấp huyện, cấp thành phố, ụn thi vào 10 và thi vào cỏc trường

1 Phạm vi nghiờn c ứu :

Phát triển năng lực t duy của học sinh thông qua giải toán bất đẳng thức

đối với học sinh lớp 8 , lớp 9

III KHẢO SÁT THỰC TẾ VÀ SỐ LIỆU TRƯỚC KHI THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

1 Khảo sát thực tế

Qua thăm dò học sinh tôi thấy khi gặp loại toán này học sinh không biết giải bằng phơng pháp nào? mà chỉ mò mẫm không có phơng pháp cụ thể nào áp dụng cho từng bài Vì vậy học sinh mất nhiều thời gian dẫn đến chán nản, ngại khó, không có hứng thú học phần này Đặc biệt khi tham gia cỏc kỳ thi khảo sát chất lượng môn toán ,hầu hết cỏc em rất sợ giải bài toán về chừng minh bất đẳng

Nói tóm lại, tình trạng thực tế của học sinh khi cha thực hiện đề tài thì việc giải các bài toán loại này rất khó khăn, lúng túng và hiệu quả cha cao

2

Số liệu điều tra tr ớc khi thực hiện đề tài

Trước khi thực hiện đề tài tụi đó cho đề khảo sỏt chất lượng 40 em học

sinh lớp 9B, trong đú cú nhiều em cú học lực khỏ, giỏi mụn Toỏn, kết quả thu

được như sau :

Số học sinh

kiểm tra

Điểm từ 0 đến 2

Điểm 3 Điểm 4 Điểm 5 Điểm từ 6

đến 10

Kết quả là rất đỏng lo ngại là nhiều em học sinh hầu như khụng biết làm bài trờn, cỏc em rất sợ và thường bỏ qua bài tập này trong cỏc kỳ thi khảo sỏt chất lượng HSG, ụn thi vào lớp 10

Tụi đó rất băn khoăn , lo lắng , lờn kế hoạch dạy bồi dưỡng HSG, cung cấp cho cỏc em những kiến thức cơ bản về bất đẳng thức và đưa ra cỏc phương phỏp chứng minh bất đẳng thức ngay từ đầu lớp 9

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I.CUNG CẤP CHO HỌC SINH CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC

1 Định nghĩa bất đẳng thức

+ a nhỏ hơn b, kớ hiệu a < b

+ a lớn hơn b, kớ hiệu a > b ,

+ a nhỏ hơn hoặc bằng b, kớ hiệu a  b,

+ a lớn hơn hoặc bằng b, kớ hiệu a  b ,

2 Một số tớnh chất cơ bản của bất đẳng thức :

1, Tớnh chất 1: a > b <=> b < a

2, Tớnh chất 2: Tớnh chất bắc cầu

a > b và b > c => a > c

3, Tớnh chất 3: Tớnh chất đơn điệu của phộp cộng

a > b <=> a + c > b + c

Hệ quả : a > b <=> a - c > b - c

a + c > b <=> a > b - c

4, Tớnh chất 4: Cộng từng vế của hai bất đẳng thức cựng chiều

a > c và b > d => a + b > c + d

5, Tớnh chất 5: Trừ từng vế của hai bất đẳng thức ngược chiều

a > b và c < d => a - c > b - d

6, Tớnh chất 6: Tớnh chất đơn điệu của phộp nhõn

a > b và c > 0 => ac > bc

a > b và c < 0 => ac < bc

7, Tớnh chất 7: Nhõn từng vế hai bất đẳng thức cựng chiều mà hai vế khụng õm

a  b 0 ; c  d  0 => ac  bd

8, Tính chất 8: Nâng lên lũy thừa

a > b > 0 => an > bn

a > b <=> an > bn với n lẻ

>  a > b với n chẵn

9, Tính chất 9: So sánh nghịch đảo

a > b; ab > 0 => <

10, Tính chất 10: So sánh hai lũy thừa

Với m > n >0 thì

a > 1  a > a

a =1  a = a

0 < a < 1  a < a

3.Một số hằng bất đẳng thức thông dụng :

1, Bất đẳng thức A2  0 với mọi A; dấu '' = '' xảy ra khi A = 0

2, Bất đẳng thức Côsi:

- Dạng không chứa dấu căn:

a + b  2ab  (a + b) a + b)  4ab  (a + b) )  ab

Dấu đẳng thức xảy ra khi : a = b

- Dạng chứa dấu căn:

Với 2 số không âm a, b ta có: ab ab

Dấu đẳng thức xảy ra khi : a = b

- Mở rộng: với a, b, c không âm thì  abc

3, Bất đẳng thức Bunhiacôpxki :

Với mọi số a; b; x; y ta có : (a + b) ax + by )2  (a + b) a2 + b2)(a + b) x2 + y2)

Dấu đẳng thức xảy ra <=> a x b y

4, Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối :

+) a b ab

Dấu đẳng thức xảy ra khi: ab  0

+)  -

Dấu đẳng thức xảy ra khi: a  b 0 hoặc a  b  0

II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

1.Phương pháp 1: Dùng định nghĩa

A - B  0

- Ví dụ :

VD 1.1:

Chứng minh rằng: 3(a + b) a + b + c)  (a + b) a + b + c) với mọi số thực a, b, c

Hướng dẫn:

Ta xét hiệu: H = 3(a + b) a + b + c) - (a + b) a + b + c)

= 2a + 2b + 2c - 2ab - 2ac - 2bc = (a + b) a - b) + (a + b) b - c) + (a + b) c - a)

Do (a + b) a -b)  0 với mọi a, b

(a + b) b - c)  0 với mọi b, c

(a + b) c - a)  0 với mọi a, c

 H  0 với mọi a, b, c

Hay 3(a + b) a + b + c)  (a + b) a + b + c) với mọi a, b, c

Dấu “ = “ xảy ra  a = b = c

VD 1.2 :

Cho a, b, c, d, e là các số thực

Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 + d2 + e2

 a(a + b) b + c + d + e)

Hướng dẫn:

Xét hiệu : H = a2 + b2 + c2 + d2 + e2 - a(a + b) b + c + d + e)

= (a + b) a  b

2 )2 + (a + b) a  c

2 )2 + (a + b) a  d

2 )2 + (a + b) a  e

2 )2

Do (a + b) a b

2 )2

 0; (a + b) a  c

2 )2

 0; (a + b) a  d

2 )2

 0; (a + b) a e

2 )2

 0 với mọi a, b, c, d, e => H  0 với mọi a, b, c, d, e

Dấu '' = '' xảy ra <=> b = c = d = e = 2a

VD 1.3 : Chứng minh bất đẳng thức :

22 2 2 2









 



b a b a

Hướng dẫn:









 



b a b a

=

4

) 2

(a + b) ) (a + b)

2 a2 b2  a2  abb2

4

1 ) 2 2

2 (a + b) 4













 b a b ab a b

2







 



b a b a

Dấu '' = '' xảy ra khi a = b

Bài tập tự luyện:

Bài 1: Cho a > b, chứng minh rằng x - y  x y - x y

Bài 2: Chứng minh rằng +  với a; b > 0

Bài 3: Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a, a + b + c + 3  2(a + b + c)

b, (a + b)(a + b)  (a + b)(a + b)

2 Phương pháp 2: Dùng các tính chất của bất đẳng thức:

- Phương pháp: Vận dụng hợp lí các tính chất của bất đẳng thức đã được học (a + b) 10 tính chất) để suy ra các bất đẳng thức cần chứng minh

- Ví dụ :

VD 2.1:

Cho a  2; b 2 Chứng minh rằng ab  a + b

Hướng dẫn:

Do a 2 và b > 0 nên ab  2b (a + b) 1)

Do b  2 và a > 0 nên ab  2a (a + b) 2)

Cộng từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều (a + b) 1) và (a + b) 2), ta được 2ab  2(a + b) a +b) Chia hai vế cho 2 ta được ab  a + b

VD 2.2:

Cho 0 < a, b, c, d < 1 Chứng minh rằng :

(a + b) 1 - a)(a + b) 1 - b)(a + b) 1 - c)(a + b) 1 - d) > 1 - a - b - c - d

Hướng dẫn:

Ta có : (a + b) 1 - a)(a + b) 1 - b) = 1 - a - b + ab

Do a, b > 0 nên ab > 0 => (a + b) 1 - a)(a + b) 1 - b) > 1 - a - b

Do c < 1 nên 1 - c > 0 => (a + b) 1 - a)(a + b) 1 - b)(a + b) 1 - c) > (a + b) 1 - a - b)(a + b) 1 - c)

 (a + b) 1 - a)(a + b) 1 - b)(a + b) 1 - c) > 1 - a - b - c + ac + bc

Do 0 < a, b, c, d < 1 nên 1 - d > 0; ac + bc > 0

=>(a + b) 1 - a)(a + b) 1 - b)(a + b) 1 - c) > 1 - a - b - c

=> (a + b) 1 - a)(a + b) 1 - b)(a + b) 1 - c)(a + b) 1 - d) > (a + b) 1 - a - b - c)(a + b) 1 - d)

=> (a + b) 1 - a)(a + b) 1 - b)(a + b) 1 - c)(a + b) 1 - d) > 1 - a - b - c - d + ad + bd + cd

Do ad + bd + cd > 0

=> (a + b) 1 - a)(a + b) 1 - b)(a + b) 1 - c)(a + b) 1 - d) > 1 - a - b - c - d

VD 2.3 :

Cho 0 < a, b, c < 1 Chứng minh rằng :

2a3 + 2b3 + 2c3 < 3 + a2b + b2c + c2a

Hướng dẫn:

Do 0 < a, b < 1 => a3 < a2 < a < 1; b3 < b2 < b < 1

Ta có: (a + b) 1 - a2) (a + b) 1 - b) > 0 => 1 + a2b > a2 + b

=> 1 + a2b > a3 + b3

hay a3 + b3 < 1 + a2b

Tương tự: b3 + c3 < 1 + b2c

c3 + a3 < 1 + c2a

Cộng từng vế của các bất đẳng thức => 2a3 + 2b3 + 2c3 < 3 + a2b + b2c + c2a

VD 2.4 :

Cho a, b, c là các số dương thoả mãn : a + b + c = 4

Chứng minh rằng : (a + b) a + b)(a + b) b + c)(a + b) c + a)  a3b3c3

Hướng dẫn:

Từ : (a + b) a + b)2

 0  (a + b) a + b)2

 4ab => (a + b) a + b + c)2 = a b c2  4a b c 

=> 16  4(a + b) a + b)c (a + b) vì a + b + c = 4 )

=> 16(a + b) a + b)  4(a + b) a + b)2c  16 abc

=> a + b  abc

Tương tự : b + c  abc

c + a  abc

Vì a, b, c > 0 nên nhân từng vế của ba bất đẳng thức trên

=> (a + b) a + b)(a + b) b + c)(a + b) c + a)  a3b3c3

Bài tập tự luyện:

Bài 1: Cho hai số x và y thỏa mãn x + y = 1 Chứng minh rằng :

x + y 

Bài 2: Cho 3 số x, y, z không âm sao cho x + y + z = a

CMR: (a - x)(a - y)(a - z)  8xyz

3 Phươ ng pháp 3 : Phương pháp biến đổi tương đương

- Phương pháp: Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã được chứng minh là đúng

Giả sử phải chứng minh A > B (a + b) 1), ta biến đổi tương đương A > B  A > B

 A  B  …  C > D Nếu bất đẳng thức cuối đúng thì bất đẳng thức đầu tiên (a + b) 1) là đúng

Chú ý: Nếu chưa chứng tỏ được bất đẳng thức cuối đúng thì chưa thể kết luận bất đẳng thức đầu tiên là đúng

- Ví dụ :

VD 3 1 : Cho a, b > 0 và a + b =1 Chứng minh rằng :

11 1134





 b

Hướng dẫn:

Dùng phép biến đổi tương đương:

(a + b) 1)  3(a + b) a + 1 + b + 1)  4(a + b) a + 1) (a + b) b + 1)

 9  4(a + b) ab + a + b + 1) (a + b) vì a + b = 1)

 9  4ab + 8

 1  4ab

 (a + b) a + b)2  4ab

 (a + b) a - b)  0

Bất đẳng thức cuối đúng Suy ra bất đẳng thức (a + b) 1) đúng

Dấu “ = “ xảy ra  a = b =

VD 3.2 :









 



b a b

Hướng dẫn:

Dùng phép biến đổi tương đương : Với a > 0; b > 0 => a + b > 0

32 3 2 3









 



b a b

a









 

















 

2 ) (a + b)

2

2

b ab a b

a









ab

 a2 - ab + b2 

2

2 







ab

 4a2 - 4ab + 4b2  a2 + 2ab + b2

 3(a + b) a2 - 2ab + b2)  0

 (a + b) a - b)  0









 



b a b a

Dấu “ = “ xảy ra  a = b

VD 3.3:

Cho 2 số a, b thoả mãn a + b = 1 CMR a3 + b3 + ab 

2 1

Hướng dẫn:

Ta có : a3 + b3 + ab  21 <=> a3 + b3 + ab - 12  0

<=> (a + b) a + b)(a + b) a2 - ab + b2) + ab - 21  0 vì a + b = 1

<=> a2 + b2 - 21  0

<=> 2a2 + 2b2 - 1  0

<=> 2a2 + 2(a + b) a -1)2 - 1  0 (a + b) vì b = a -1 )

<=> 4a2 - 4a + 1  0

<=> (a + b) 2a - 1)2

 0 Bất đẳng thức cuối cùng đúng Vậy a3 + b3 + ab  21

Dấu '' = '' xảy ra khi a = b = 21

VD 3.4 :

Với a > 0, b > 0 Chứng minh bất đẳng thức :

a

b

a

a

b

b 

Hướng dẫn:

Dùng phép biến đổi tương đương :

a

b

a

a

b

b 

 (a + b) a ab b)  ab(a + b) a b)  0

 (a + b) a) 3  (a + b) b) 3 ab(a + b) a b)  0

 (a + b) a b)(a + b) a abb)  ab(a + b) a b)  0

 (a + b) a b)(a + b) a 2 abb)  0

 (a + b) a b)(a + b) a b) 2  0

Bất đẳng thức cuối đúng với a, b > 0, suy ra : a

b

a

a

b

b 

Dấu “ = “ xảy ra  a = b

Bài tập tự luyện:

Bài 1: Cho hai số x và y mà x + y = 1 CMR : x 2 + y 2  1

2

Bài 2: Cho hai số a, b thỏa mãn ab  1, CMR: 1 2 1 2 2

1 a 1 b 1 ab

Bài 3: Cho a>b>0 CMR:

2014 2014

2014 2014



 >

2013 2013

2013 2013



Hướng dẫn:

Để chứng minh bất đẳng thức (*) , ta chứng minh bất đẳng thức tổng quát sau: Nếu a > b > 0 và m, n là hai số tự nhiên mà m > n thì



Thật vậy ta dùng phép biến đổi tương đương để chứng minh

(1)  m m 2 m n n 2 n



a b   a b   a b   a b

m n

(a + b) ) (a + b) )

Bất đẳng thức (2) luôn đúng vì a > b > 0 nên a 1

b  và m > n

 bất đẳng thức (1) luôn đúng

 bất đẳng thức phải chứng minh luôn đúng

2014 2014

2014 2014



 >

2013 2013

2013 2013





* Nhận xét: Có thể biến đổi tương đương trực tiếp trên bất đẳng thức cần

chứng minh.

4 Phương pháp 4: Dùng một số hằng bất đẳng thức thông dụng.

- Phương pháp: Dùng một số hằng bất đẳng thức thông dụng như: Côsi, Bunhiacôpxki, bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối để biến đổi và chứng minh bài toán

- Nhắc lại:

* Bất đẳng thức Côsi:

- Dạng không chứa dấu căn:

a + b  2ab  (a + b) a + b)  4ab  (a + b) )  ab

Dấu đẳng thức xảy ra khi : a = b

- Dạng chứa dấu căn:

Với 2 số không âm a, b ta có: ab ab

Dấu đẳng thức xảy ra khi : a = b

- Mở rộng: với a, b, c không âm thì  abc

* Bất đẳng thức Bunhiacôpxki :

Với mọi số a; b; x; y ta có : (a + b) ax + by )2

 (a + b) a2 + b2)(a + b) x2 + y2) Dấu đẳng thức xảy ra <=> a x b y

* Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối :

+) a b ab

Dấu đẳng thức xảy ra khi: ab  0

VD 4.1 : Giả sử a, b, c là các số dương , chứng minh rằng:









c a c

b c b a

Hướng dẫn:

Áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương a và b+c, ta có :

a + (a + b) b + c)  2 a(a + b) bc)  b a c a b a c









2 Dấu “ = “ xảy ra  a = b+c