Bài Tập Hình Học Cao Cấp - Văn Như Cương ppt

Mô hình 2 có đúng n vectơ là một số nguyên dương cho trướcBài 2: Hệ tiên đề K gồm :điểm ,đường,thuộc + Khái niệm cơ bản + Các tiên đề : i có ít nhất một điểm ii qua hai điểm phân biệt c

CHƯƠNG I: PHƯƠNG PHÁP TIÊN ĐỀ Bài 1 trang 199:

Nêu ra một vài mô hình của hệ tiên đề H đã nói trong lý thuyết Tìm mô hình của H sao cho mô hình đó có đúng n vectơ, với n là số nguyên dương cho trước.

Phép cộng được định nghĩa như sau:

j + i = k: trong đó k = j + i : j  i , i, j 1 ,n 1 Mô hình trên thoả:

Mô hình 2 có đúng n vectơ là một số nguyên dương cho trước

Bài 2: Hệ tiên đề K gồm :điểm ,đường,thuộc

+ Khái niệm cơ bản

+ Các tiên đề :

i) có ít nhất một điểm ii) qua hai điểm phân biệt có không quá một đường.

iii)mỗi đường có ba điểm phân biệt.

iv)Mỗi điểm nằ trên ba đường phân biệt a.Chứng minh các định lý:

+ Hai đường thẳng biệt có không quá một điểm chung.

+ Có ít nhất là bảy điểm ,có ít nhất là bảy đường.

b.Xây dựng các mô hình của K gồm bảy điểm ,bảy đường hoặc chín

điểm,chín đường.

Giải a.Chứng minh

+ Hai đường phân biệt có không qía một điểm chung

Nếu như hai đường thẳng phân biệt a và b có hai điểm chung là A và B

A Bthì qia hai điểm A,B sẽ có hai đường thẳng phân biệt a và b (trái ii))

+ Có ít nhất là bảy điểm ,bảy đường

Theo tiên đề i) có ít nhất là một điểm ta kí hiệu là A ,theo iv) có bađường phân biệt x,y,z qua A

Theo tiên đè iii) trên x ngoài biến A còn có 2 điểm phân biệt nửa B,CTương tự trên y ngoài A có 2 điểm phân biệt D,E

Trên z ngoài A có 2 điểm phân biệt G,HTheo định lý 1: hai đường thẳng phân biệt sẽ có không quá một điểmchung

 Bảy điểm A,B,C,D,E,G,H đôi một phân biệt và khác nhau

Theo tiên đề iv) mỗi điểm nằm trên ba đường thẳng phân biệt Nên ngoài

x qua B còn có 2 diểm phân biệt khác ta đặt u,v

Tương tự :ngoài x qua C còn có 2 đường : w,

Theo tiên đề ii)qua hai điểm phân biệt có không quá một đường

Bảy đường x,y,z,u,v,w, đôi một phân biệt và khác nhau

b.+ Mô hình K gồm bảy điểm ,bảy đường.

Xét C có 3 đường trung tuyến AD,BE,CF cắt nhau tại G

Ta có: bảy điểm A,B,C,D,E,F,G,H

Ta gọi mỗi đường là bộ đôi ba điểm

A,F,B , B,D,C , A,E,C , A,G,D , C,G,F , B,G,E , F,E,D

+ Mô hình K gồm chín điểm ,chín đường

Ta lấy 9 điểm phân biệt :A1 ,A2 ,A3 ,B1 ,B2 ,B3 ,C1 ,C2 ,C3.Mỗi bộ ba điểm sau đây được xem là một đường:

A1,B1,C1 , A1,B2,C3 , A1,B3,C2 , A2,B2,C2 , A2,B1,C3 , A3,B3,C3 , A3,B1,C2 , A3,B2,C1Bài 3 trang 199:

a) Hãy xây dựng mô hình của P Chứng tỏ rằng hệ tiên đề P phi mâu thuẫn nếu số học phi muân thuẫn.

b) Hãy chứng tỏ rằng tiên đề iii) là độc lập.

c) Chứng minh hệ tiên đề P không đầy đủ.

Giải:

a) Xây dựng một mô hình của hệ tiên đề P :

Ta gọi điểm là bộ ba số(x;y;z)với các số có giá trị 0 hoặc 1 và x2  y2 z2  0.Như vậy ta có 7 điểm: A1(1,0,0); A2(0,1,0); A3(0,0,1); A4(0,1,1); A5(1,0,1);

d1  d2 = A3 ; d3  d4 = A6 ; d1  d7 = A4+ Tiên đề iii) cũng đúng Lấy 4 điểm A1, A2, A3, A7.Ta thấy rằng ba điểm bất kìtrong 4 điểm đó dều không thuộc một đường thẳng

+ Vì mô hình trên xây dựng từ các vật liệu của số

học nên suy ra hệ tiên đề P phi mâu thuẫn nếu số học phi mâu thuẫn

b) Để chứng minh tiên đề iii) độc lập ta xây dựng một mô hình trong đó tiên đềi), ii) đúng nhưng tiên đề iii) không đúng: mô hình dó như sau:

Trên mặt phẳng Ơcit lấy ba điểm không thẳng hàng A, B, C và ta gọi chúng làđiểm, còn đường thẳng là các đường thẳng AB, BC , CA

Khi đó với 4 điểm A, B, C, D thì ba điểm bất kì A, B, D, hoặc A, C, D hoặc B,

a.Có ít nhất ba điểm không thẳng hàng.

b Cho 4 điểm A,B,C,D phân biệt và thẳng hàng.Chứng minh rằng nếu C nằm giữa A và B,còn D nằm giữa B và C thì D nằm giữa A và B còn C nằm giữa

A và D.

c Định lý Pát (tức tiên đề Pát trong hệ tiên đề Hinbe).

Giải Chứng minh:

a.Có ít nhất ba điểm không thẳng hàng.

Theo tiên đề 1,ta có ít nhất là hai đường thẳng a và b nào đó

Cũng theo tiên đề 1,trên a có ít nhất là hai điểm A và B

Đường thẳng b không thể đồng thời đi qua A và B ,vì như vậy sẽ trùng vớiđường thẳng a,theo tiên đề 2

Vậy trên b có ít nhất là một điểm C không nằm trên a.

Vậy ta có ít nhất là ba điểm A,B,C, không thẳng hàng

b.Ta chứng minh C ở giữa A và D.

Ta gọi a là đường thẳng chứa bốn điểm A,B,C,D

Theo tiên đề 4,điểm C chia các điểm còn lại của đường thẳng a thành haitập hợp,ta gọi hai tập hợp đó là X và Y

Vì C ở giữa A và B nên Avà B thuộc hai tập hợp khác nhau

Điểm D chia các điểm của a thành hai tập hợp kí hiệu là X ,'Y'

Theo giả thiết D ở giữa B và C nên B và C thuộc hai tập hợp khác nhau.Giả sử CX'vàBY'

Theo chứng minh trên và theo tiên đề 3,vì C ở giữa A và D nên D không ởgiữa A và C

Vậy A và C cùng thuộc một tập hợp X' hoặc Y'

Như vậy AX' ngoài ra vì BY'

b) Cho mặt phẳng (P) và ba điểm phân biệt A, B, C không nằ m trên (P) Nếu mặt phẳng (P) cắt đoạn thẳng BC hoặc đoạn thẳng CA.

c) Định lí về việc mỗi mặt phẳng chia không gian thành hai nửa không gian (tương tự như mỗi đườn g thẳng trong mặt phẳng chia mặt phẳng đó thành hai nửa mặt phẳng) Hãy phát biểu định lí và chứng minh.

d) Chứng minh các trường hợp bằng nhau của hai tam giác bất kì trong không gian.

Giải:

a) Giả sử cho trước mặt phẳng (P) Theo tiên đề 14 có ít nhất bốn điểmkhông cùng nằm trên một mặt phẳng, nên có ít nhất 1 điểm nào đó không nằmtrên (P) Ta gọi đó là điểm A Lấy điểm B bất kì thuộc (P) thì; ta có đường thẳng

b đi qua A và B (tiên đề 2) Theo tiên đề 4, tồn tại một điểm B’ sao cho A ởgiữa B và B’ Nếu B’  (P) thì theo tiên đề 16) A cũng nằm trên (P) (mâuthuẫn).Vì vậy B  (P)

Theo tiên đề 18) Trên mặt phẳng (P) các kết quả của hình học phẳng đềuđúng, nên (P) còn nhiều điểm khác nữa

b) Ba điểm A, B, C không thẳng hàng theo tiên đề 16) tồn tại mặt phẳng (Q)duy nhất đi qua ba điểm đó Vì mặt phẳng (P) cắt đoạn AB nên (P) và (Q) cóđiểm chung: Theo tiên đề 17, (P), (Q) còn có một điểm chung khác nữa (P) và(Q) cắt nhau theo đường thẳng a : Áp dụng định lí pasch của hình học phẳng trênmặt phẳng (P) , suy ra đường thẳng a hoặc cắt BC hoặc cắt CA tức là mặt phẳng(P) cắt đoạn thẳng BC hoặc cắt đoạn thẳng CA

Ba điểm A, B, C thẳng hàng thì ta lấy mặt phẳng (Q) đi qua ba điểm đó rồi lậpluận tương tự như trên

c) Định lí: Mỗi mặt phẳng (P) chia các điểm còn lại của không gian thành haitập hợp không giao nhau sao cho hai điểm M, M’ thuộc cùng một trong hai tậphợp đó khi và chỉ khi đoạn thẳng MM’ và mặt phẳng (P) không có điểm chung.

Chứng minh: gọi A là một điểm không thuộc (P) Xét hai tập hợp sau:

Tập U: gồm những điểm M không thuộc (P) sao cho đoạn thẳng AM và (P)không có điểm chung

Tập V gồm những điểm N không thuộc (P) sao cho đoạn thẳng AN và mặtphẳng (P) không có điểm chung

Tất nhiên U, V không giao nhau và mỗi điểm không thuộc (P) đều thuộc mộttrong hai tập hợp đó

Giả sử M, M’ thuộc tập U tức là AM, AM’ đều không cắt (P)

Theo câu b) ta suy ra MM’ không cắt (P)

Giả sử N, N’ thuộc tập V, tức là AN và AN’ đều cắt (P) Theo câu b) đoạn thẳngNN’ không cắt (P)

Giả sử M và N thuộc hai tập hợp khác nhau U và V thì chỉ có một trong haiđoạn thẳng AM , AN là cắt (P) theo câu b đoạn thẳng MN phải cắt (P)

e) Chứng minh định lí: Hai tam giác có ba cạnh bằng nhau thì bằng nhau.Giả sử hai tam giác ABC, A’B’C’ có AB = A’B’, AC = A’C’, BC = B’C’

ta phải chứng minh: Aˆ  Aˆ,'Bˆ Bˆ,'Cˆ C .'ˆ

Theo tiên đề 18: Trên mỗi mặt phẳng các tiên đề của hình học phẳng đều đúng.Như vậy trên mặt phẳng (ABC), mặt phẳng (A’B’C’) ta áp dụng định lí cosintrong tam giác

Ta có: BC2 = AB2 + AC2 – 2ABAC cos  (trên mặt phẳng (ABC))

B’C’2= A’B’2 + A’C’2 -2A’B’A’C’ (trên mặt phẳng (A’B’C’))

Vì BC = B’C’, AB = A’B, AC = A’C’, ta suy ra  = Â’

Tương tự ta có Bˆ Bˆ ,'Cˆ C'ˆ

Các định lí còn lại chứng minh tương tự

Bài 6: Hãy dùng 12 tiên đề của hình học phẳng (tức là không dùng tiên đề 13 về hai đường thẳng song song) để chứng minh các định lý sau đây.

a.Góc ngoài tam giác lớn hơn mỗi góc trong không kề với nó.

b Nếu hai đường thẳng tạo với một cát tuyến hai góc so le trong bằng nhau thì hai đường thẳng đó song song.

GIẢI

C

B' A

x B

a) Góc ngoài của tam giác lớn hơn mỗi góc trong không kề với nó.

Ta gọi Cx là tia đối của tia CB ta chứng minh rằng: ACx BAC  và ACx ABC 

Gọi I là trung điểm AC và B’ là điểm đối xứng với B qua I.

Khi đó hai tam giác AIB và CIB’ bằng nhau (c-g-c).Bở vậy ACB BAC'   có thểchứng minh rằng tia CB’nằm trong góc ACx,tức là ACx ACB  '

Có thể chứng minh rằng tia CB’ nằm trong góc

b) Gỉa sử hai đường thẳng a và b cắt đường thẳng c lần lượt tạ i A và B sao cho A B1  1

nếu a và b cắt nhau tại C thì tam giác ABC sẽ có một góc ngoài bằng mộtgóc trong không kề với nó (trái với định lý a)

B A

c) vậy nếu hai đường thẳng tạo với một cát tuyến hai góc so le trong bằng nhau thì hai

đường thẳng đó song song (đpcm)

Bài 7 trang 201:

Hãy nhớ lại cách chứng minh định lí “tổng số đo góc trong mọi tam giác bằng 180 0 ”trong sách giáo khoa phổ thông Cách chứng minh đó phải dựa vào tiên đề về đường song song Sau đây là cách chứng minh không dùng đến tiên đề đó.

Chứng minh: Ta giả thiết tổng số đo góc trong tam giác là S.

Lấy tam giác bất kì ABC ta có:

BAC ABC ACB S  

Gọi D là điểm ở giửa của B và C, ta có hai tam giác ABD và ACD, theo giả thiết:

CAD ACB ADC S  

BAD ABD ADB S  

Suy ra: BAD CAD ABD ACB ADB ADC            2S

hay BAC ABC ACB      180 0  2S

Vì ta không có cơ sở để xác định

ADB ADC 

Theo tiên dề 13: vẽ duy nhất đường thẳng d đi qua A và song song BC

Khi đó: ABD = 1 , ADC = 2

Mà 1 + 2 = 1800  ADB ADC   180 0

Bài 8: Cho V là không gian Ơ-clit n chiều (trên trường số thực) Hãy gọi mỗi vecto u của V là một “điểm”,và với bất kì hai “điểm” u và v của V ta cho tương ứng với vecto vu của V.Hãy chứng minh rằng khi đó V là không gian Ơ -clit n chiều.

Giải

Gọi mỗi vectơ u là một điểm và kí hiệu là U

Vậy các vectơ a b x y   , , , bây giờ được hiểu là các điểm A,B,X,Y…

Theo tiên đề 1: Với bất kỳ hai điểm A và B (là hai vectơ a và b ) ta cho tươngứng với một vectơ hoàn toàn xác định của V ,đó là vectơ ba

Như vậy : AB b a  Theo tiên đề 2: Với mỗi điểm A cho trước (là vectơ a) và mỗi vectơ u cho trướccủa V có một điểm duy nhất B sao cho ABu

Thật vậy ta chỉ cần lấy B là điểm b u a  

Theo tiên đề 3: Với bất kỳ ba điểm A,B,C ta đều có  AB BC AC 

Thật vậy nếu các điểm A,B,C lần lượt là các vectơ a b c  , , thì

Vậy cả ba tiên đề đều nghiệm

Suy ra V là không gian Ơclic n chiều

CHƯƠNG II: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG

Bài 1 trang 202:

Cho song ánh f: PP có tính chất: f biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng.Chứng minh:

a. f biến ba điểm không thẳng hàng thành ba điểm không thẳng hàng.

b. f biến đường thẳng thành đường thẳng.

c. f biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song.

d. f biến bốn đỉnh của một hình bình hành thành bốn đỉnh của một hình bình hành.

e. f không làm thay đổi tỉ số đơn của ba điểm thẳng hàng.

c Cho 2 đường thẳng a b, song song với nhau.Theo b) f a: a,

 k1= k2 bảo toàn tỉ số đơn.

Bài 2: Cho phép afin f và hai điểm A,B phân biệt Chứng minh rằng nếu

IB f IA f

I’ là trung điểm AB

Theo tính chất duy nhất của trung điểm

  '

'

I I

 hay ABCD là hình thang.

Bài 4: Chứng minh rằng nếu phép afin f biến mỗi đường thẳng a thành đường thẳng a’ song song hoặc trùng với a thì f là phép tịnh tiến hoặc là phép vị tự.

Giải

Giả sử f là phép biến đổi tuyến tính liên kết với phép afin f

Ta chứng minh rằng tồn tại một số k sao cho với mọi u bất kỳ có :  f u( ) ku

Thật vậy với vectơ u bất kỳ ta lấy hai điểm M,N sao cho MN u

Nếu gọi M'  f M và N'  f N và M'N' u'

Thì theo định nghĩa của f ta có :  f u( ) u'

Nhưng vì f biến đường thẳng MN thành đường thẳng M’N’ nên theo giả thiết

Từ đó ta suy ra nếu v và u không cộng tuyến thì k k k '', ' k'', vậy k k '

Còn nếu v và u cộng tuyến ta lấy một vectơ z không cộng tuyến với vectơ u thì

Vậy f tịnh tiến theo vectơ MM' v

Nếu k 1(chú ý rằng nếu k 0) thì với cặp điểm M,N và ảnh của chúng ta có

Có bao nhiêu phép biến một tam giác đã cho thành chính nó?

Giải:

Giả sử A1A2A3là tam giác đã cho Ký hiệu (i, j, k) là một hoán vị nào đó của bộ

ba số (1, 2, 3) thì có một phép afin duy nhất biến tam giác A1A2A3 thành tamgiácA i A j A k Vậy có tất cả 3=6 phép afin biến tam giácA1A2A3 thành chính nó

Bài 6: Cho hai tứ giác ABCD và A’B’C’D’.Với điều kiện nào thì có phép afin f biến các đỉnh A,B,C,D lần lượt thành các đỉnh A’,B’,C’,D’?

Giải

Vì ba điểm A,B,C cũng như ba điểm A’,B’,C’ không thẳng hàng cho nên có mộtphép afin f duy nhất biến A,B,C lần lượt thành A’,B’C’

Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD

I’ là giao điểm của hai đường chéo A’C’ và B’D’

Phép afin f biến D thành D’ khi và chỉ khi nó biến I thành I’

Điều đó xảy ra khi và chỉ khi A B I, ,   A B I', ', ' và B,D,I  B,'D,'I'

Bài 7 trang 203:

Mỗi đường chéo của ngũ giác ABCDE song song với một cạnh của nó Chứng minh rằng có phép afin biến các đỉnh A, B, C, D, E lần lượt thành các đỉnh B, C, D, E, A.

AD

BC LD

LB ML

DE BE

CD AD

K

A

D E

C B

Bài 8: Tìm biểu thức tọa độ của phép afin biến các điểm A    ,1 0 ,B 0 , 2 ,C  3 , 0 lần lượt thành các điểm A'  2 , 3 ,B'  ,1 4 ,C'  2 ,  1

'

a dy cx y

a by ax x

Vì nó biến ba điểm A,B,C thành A’,B’,C’ nên :

2 3

4 2

1 2

3 2

3 1

3 2

2 4

2 1 3 2

2 1 2 1 2 1

2 1 2 1 2 1

a c

a a

a d

a b

a c

a a

a c

a a

a d

a b

a c

a a

Ta có : a2 a 1 thay vào phương trình :

1 1

4 4

2 2

3

2 3

1 1

1 1 1

a

a a

a a

Từ phương trình ca2  3 c 3 a2 thay vào phương trình:

1 2

8 4

1 3

3

1 3

2 2

2 2 2

a

a a

a c

1

'

y x y

y x x

7 3 2

,

,

y x y

y x x

8 ' 3 '

5

y x y

y x

8 3 5

'

y x y

y x x

Bài 10: Cho hai phép afin:

c a b a b c

x y

f(g(A))=   x y' 2.4 5 5' 3.4 5 7   f(g(A))=(8,14)=A’’

f(g(B))=   x y' 2.5 4 5' 3.5 4 7   f(g(B))=(9,18)=B’’

f(g(C))=   x y' 2.3 7 5' 3.3 7 7   f(g(C))=(8,9)=C’’

Vậy ta có A(0,0); B(1,0); C(0,1); A’’(8,14); B’’(9,18); C’’(8,9)

Biểu thức tọa độ của f0g là :

c c a a b b

12 4 3

,

,

y x y

y x x

Tìm ảnh và tạo ảnh của đường thẳng (d): 2x + y -1 =0

a Tìm trên đường thẳng (D): 7x -2y -24=0 tại một điểm sao cho ảnh của

nó nằm trên đường thẳng đó.

b Tìm đường thẳng đi qua điểm A(1; 1) sao cho ảnh của đường thẳng đó cũng đi qua A.

4

'

12 4

3

'

0 1 2

y x

y

y x

'

8 5

2x’+ y’ – 13=0

Vậy M’ nằm trên đường thẳng: 2x+y –13= 0 đó chính là ảnh f (d) của (d)

Nếu M’(x,; y,) nằm trên đường thẳng (d): 2x+y –1=0

Gọi M (x,y) là tạo ảnh của M thì:

13

0 24 2

7

0 0

0 0

y x

y x

0

y x

c) Từ biểu thức tọa độ của phép biến đổi afin đã cho ta suy ra:

12 4 3 25

, ,

, ,

y x y

y x

Gọi là đường thẳng đi qua điểm A(1; 1):

a(x-1) + b(y-1) = 0

a(25x - 25)+b(25y - 25) = 0 (4)

Thay (3) vào (4) ta được:

a(3x’+4y’+12) + b(4x’- 3y’+66) = 0

(3a + 4b)x’+ (4a - 3b)y’ - 13a + 41b = 0 (*)

(*) là phương trình của đường thẳng f () Để đường thẳng đó đi qua A(1;1)

Ta có điều kiện: 3a + 4b + 4a - 3b - 13a + 41b = 0

-6a+42b = 0Chọn a = 7 và b=1:

Nếu đường thẳng (d) có ảnh là đường thẳng (d’) và phương trình của (d’) là

Ax By C  thì phương trình của (d) là:

+/Nếu A Bthì từ đẳng thức với dấu bằng thứ hai của (*) ta suy ra :3B C  3C , suy

ra 3B 2C

Vậy ta có thể lấy:C  3,B  2 và A 2 và được đường thẳng bất biến có phươngtrình: 2x 2y  3 0

+/Nếu A  4B thì từ dấu bằng thứ hai của (*) ta suy ra C 6C

vậy C 0 và phương trình đường thẳng bất biến là: 4x y  0

b/Điểm bất động : Giải hệ phương trình:

A x y B x y  CHay: 13A 4B x  4A 7B y  8A 4B 5C 0

+/Nếu A 2B thay vào (*) ta được :C  2B

Vậy lấy B 1thì và được đường thẳng bất biến 2x y   2 0

+/Nếu 2A B thì thay vào (*) ta được 5C 5C,đúng với mọi C

Vậy ta có vô số đường thẳng bất biến song song với nhau:

Giả sử phép afin f có điểm bất động duy nhất O Ta chọn O làm gốc của mụctiêu afin thì biểu thức tọa độ của f có dạng:

A(ax + cy) + B(bx + dy) + C = 0 hay :

(Aa + Bb)x + (Ac + Bd)y +C = 0

Nếu C 0 thì điều kiện để (d) trùng với (d’) là:

là đi qua điểm bất động duy nhất của f

Bài 14:

Viết biểu thức tọa độ của các phép afin trong các trường hợp sau đây:

a Mọi điểm của trục Ox đều là điểm bất động và điểm (2,6) biến thành điếm (-1,-4).

b Mọi điểm của đường thẳng x+2y-1=0 đều là điểm bất động và điểm  1,2

Lấy hai điểm nào đó trên đường thẳng đã cho, chẳng hạn M(1;0), N(-1;1) thì M

và N đều biến thành chính nó, còn B biến thành B’, nên:

b) Các đường thẳng 5x – 6y – 7 = 0 và 3x – 4y = 0 lần lượt biến thành các đường thẳng 2x + y – 4 =0 và x – y +1 = 0, còn điểm (6;4) biến thành điểm (2;1).

Giải:

a) Hai đường thẳng x + y +1 = 0 và x + 2y – 1 = 0 cắt nhau tại điểm I  (  3 , 2 )

Vì hai đường thẳng đó biến thành chính nó nên điểm I biến thành chính nó

Giả sử phép afin đã cho có phương trình:

Theo giả thuyết đường thẳng này trùng với đường thẳng 2x + y – 4 = 0, nhưvậy:

b Trong biểu thức x'  x p y ky q, '   ta cũng phải có k 0.

Nếu k = 1 thì ta có phép tịnh tiến theo vectơ u  ( ; )p q Vậy nếu p = q = 0 thì ta cóphép đồng nhất, nó cũng là một phép thấu xạ Nếu một trong hai số p và q kháckhông, ta được phép tịnh tiến, đó không phải là phép thấu xạ

Nếu k 1 , các điểm bất động có tọa độ thỏa mãn hệ:

Hệ phương trình trên vô nghiệm khi , nên phép afin đã cho không phải là phépthấu xạ

Khi p = 0, các điểm bất động là mọi điểm của đường thẳng d : (k - 1) + q = 0 Vậyphép afin đã cho là một phép thấu xạ với cơ sở là đường thẳng đó

Ta hãy lấy một điểm M không nằm trên d, chẳng hạn M 0;y0 với k 1y q0  0.Khi đó M có ảnh là M' 0;ky q0   Đường thẳng MM’ cắt đường thẳng d tại điểm

1 0

1 0;

1

kq

M M ky

k q

y kx x

y

y kx

1 ( 3

0 1 )

1

(

l y k x

y x k

Điều kiện phép biến đổi đó là phép thấu xạ: phải có vô số điểm bất động hay hệphương trình trên có vô số nghiệm hayk  1k  1 3  0và l(k 1 )  3  0  k 2

y x x

2

2 4 3

y x x

2

2 4

1 ( 2

0 2 4

2

l y k x

y x

Điều kiện phép biến đổi đó là phép thấu xạ: phải có vô số điểm bất động hay hệphương trình trên có vô số nghiệm hayk 1  4và l 2.Vậyk  5 và l  2

Bài 18: Chứng minh rằng mọi phép afin biến tam giác ABC thành chính nó đều có thể phân tích của không quá hai phép thấu xạ.

Phép afin biến ABC thành chính nó sẽ biến tập hợp gồm 3 điểm A, B, C

thành chính nó Bây giờ ta xét các trường hợp sau:

Vậy ta có phép afin f mà f(A)=B, f(B)=C, f(C)=A

Gọi g là phép thấu xạ sao cho g(A)=A, g(B)=C, g(C)=B (TH2) Nếu đặt g0f =hthì theo TH2 ta có h(A)=C, h(B)=B, h(C)=A, do đó theo TH2, h cũng là một phépthấu xạ

Từ g0f =h  g0 g0f = g0h ( vì g là phép thấu xạ có tỉ số -1 nên g0g=e (e là phépđồng nhất )

Vậy f=g0h, tức là f là tích của 2 phép thấu xạ

a) Có Đó là phép thấu xạ với cơ sở là đường thẳng đi qua trung điểm hai cạnh

AB và DC, phương thấu xạ là phương của AB, tỉ số thấu xạ bằng -1

b) Có Đó là phép nói trong trường hợp a).

c) Có Đó là phép thấu xạ với cơ sở là đường thẳng BD, phương AC và tỉ sốbằng -1

Bài 20:

Chứng minh rằng các phép vị tự và các phép tịnh tiến làm thành một nhóm, tập hợp các phép tịnh tiến làm thành một nhóm Xét quan hệ giữa các nhóm đó với nhau và với nhóm các phép afin Af(P).

Giải:

Ta dễ dàng thấy rằng nếu T là phép tịnh tiến theo vectơ v, còn T’ là phép tịnh tiếntheo vectơ v' thì tích T T'  và T T ' đều là phép tịnh tiến theo vectơ v v  ' , ngoài raphép tịnh tiến là phép afin Từ đó suy ra tập hợp các phép tịnh tiến làm thành một

nhóm con giao hoán của nhóm Af(P).

Các phép tịnh tiến và phép vị tự có chung tính chất: “biến mỗi đường thẳng a thànhđường thẳng song song hoặc trùng với a và ngược lại mỗi phép có tính chất đó làmột phép tịnh tiến hoặc vị tự” Từ đó suy ra tập các phép vị tự và phép tịnh tiến làm

thành một nhóm con của nhóm Af(P) và chứa nhóm các phép tịnh tiến.

Bài 21 trang 206 :

Trong mặt phẳng Ơ-clit, hình lục giác gọi là gần đều nếu các cạnh đối diện bằng nhau và song song với đường chéo đi qua hai đỉnh không thuộc hai cạnh đối diện đó Chứng minh rằng các lục giác gần đều là tương đương afin.

Mà ta có:AB//CF//ED; BC//AD//EF;CD//BE//AF Bởi vậy tứ giác OABC,OBCD, OCDE, ODEF, OEFA, OFAB đều là những hình bình hành.

Giả sử cho 2 lục giác gần đều ABCDEF và A’B’C’D’E’F’ với O và O’ tương ứng

là giao điểm các đường chéo của chúng Vì OABC và O’A’B’C’ là những hìnhbình hành nên có phép afin biến O, A, B, C lần lượt thành O’, A’, B’, C’ Vì O làtrung điểm của AD, BE, CF và O’ là trung điểm của A’D’, B’E’, C’F’

Nên f (D) = D’, f (E) = E’, f (F) = F’

Vậy hai lục giác đã cho tương đương afin

B A

B' A'

O

D

C F

Giải

Gọi O và O’ lần lượt là tâm của (E) và (E’) ta có một phép afin duy nhất f biến

A,B,C lần lượt thành A’,B’,C’.Tức là biến tam giác ABC thành tam giác

A’B’C’.Nói chung f không biến O thành O’ nếu hai tứ giác OABC và O’A’B’C’không tương đương afin tức là không biến (E) thành (E’).Vậy nói chung hai hình H

và H’ không tương đương afin

Nếu phép afin f nói trên biến O thành O’ thì nó cũng biến (E) thành (E’).Thật vậynếu gọi A B C1 , , 1 1 lần lượt là các điểm đối xứng với A,B,C qua O thì A B C1 , , 1 1đều nằmtrên (E),tương tự gọi ' ' '

Hãy xét tương tự đối với hypebol.

A'

Elip mà MN // AB thì bị CD chia đôi, tức là trung điểm I của MN nằm trên CD.Thật vậy ta phải có IM= -IN= tu, trong đó

u = (-b;a ) là vectơ chỉ phương của AB

Bởi vậy nếu I x0; y0 thì M x0 bt;y0 at và N x0 bt;y0 at Vì M và Nđều nằm trên Elip nên :(xo – bt )2 + ( yo + at)2 = (xo+ bt )2 + ( yo – at)2 = 1 hay

4 bx0 ay0 t Vì t 0 nên bx0 ay0  0 Như vậy trung điểm I nằm trên CD.Chứng minh tương tự ta cũng có: mọi dây cung song song với đường kính CDcũng bị đường kính AB chia đôi

Cố nhiên khái niệm đường kính liên hợp là khái niệm afin vì khái niệm songsong, trung điểm đọan thẳng đều là những khái niệm afin

Đối với hypebol x2 y2  1, các đường thẳng đi qua O không phải bao giờ cũngcắt hypebol Tuy nhiên ta có thể chứng minh tương tự: nếu (D) và (D ’) là cácđường thẳng (khác với các đường tiệm cận) lần lượt có phương trình: axby 0

và bxay 0thì mọi dây cung của hypebol song song với đường thẳng này đều bịđường thẳng kia chia đôi

Bài 24:Chứng tỏ rằng các khái niệm sau đây là những khái niệm afin: Đường bậc hai; Tâm của đường bậc hai; Đường t iệm cận của đường bậc hai; Tiếp

tuyến của đường bậc hai.

Ta thấy rằng A’,B’,C’ không đồng thời bằng 0 Thật vậy, do biểu thức của A’,B’

và C’ trên đây, ta có thể viết:

b d







A C







C B







' '

a b







' '

c d







Chú ý đến điều kiện (*) ta suy ra hai ma trận C A''



' '

C B

Như vậy phương trình (1’) cũng là phương trình của một đường bậc hai S’

b Giả sử đường bậc hai S có tâm là I Ta chứng minh rằng nếu f là phép biến đổiafin thì f(I) cũng là tâm của đường bậc hai f(S) Theo định nghĩa, vì I là tâmcủa S nên với mục tiêu afin I e e; : 1 2 phương trình của S có dạng:

Ax  Bxy Cy  F

Bây giờ nếu chọn mục tiêu I e e'; : 1 2 trong đó I'  f I e , '1  f e e  1 , ' 2  f e 2 thìhiển nhiên là: nếu M có tọa độ (x ; y) đối với mục tiêu I e e; : 1 2 thì M’ = f(M)cũng có tọa độ (x ; y) đối với mục tiêu I e e'; : 1 2 và vì vậy đối với mục tiêu nàyphương trình của f(S) cũng là:

Ax  Bxy Cy  F

Từ đó suy ra I’ cũng là tâm của f(S)

Vậy khái niệm của tâm đường bậc hai là khái niệm afin

c Cũng lập luận như trên ta thấy rằng nếu ulà phương tiệm cận của đường bậc hai Sthì với mọi phép biến đổi afin f ta có f u  là phương tiệm cận của f(S) và do đó nếuđường thẳng D là tiệm cận của S thì f(D) cũng là tiệm cận của f(S)

Bài 25 trang 206:

Cho tam giác ABC nội tiếp elip (E) Gọi A ,B ,Clần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB và O là tâm của (E) Chứng minh rằng các đường thẳng lần lượt qua A, B, C và lần lượt song song với OA’, OB’, OC’ đồng quy.

Giải:

Dùng phép afin f sao cho ảnh ảnh f (E) là đường tròn, khi đó f biến tam giácABC thành tam giác A1B1C1, tâm O của elip biến thành tâm O1của đường tròn