TRAN NAM DUNG (Téng Chủ biên)
TRAN DUC HUYEN — NGUYEN THANH ANH (déng Chu biét
VU NHUTHU HUONG - NGO HOANG LONG PHẠM HOÀNG QUÂN - PHẠM THỊ THU THUỶ TOÁN
Trang 3TRẦN NAM DŨNG (Tổng Chủ biên)
TRAN DUC HUYÊN - NGUYỄN THÀNH ANH (đồng Chủ biên)
VŨ NHƯ THƯ HƯƠNG - NGÔ HOÀNG LONG PHẠM HOÀNG QUÂN - PHAM THI THU THUY
O A
TAP MOT
Trang 4HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
Mỗi bài học trong sách Toán 12 thường có các phần như sau:
Gợi mở, kết nối người học vào chủ để bài học Hoạt động khởi động
Trang 5x
Lời nói dau
Các bạn học sinh, quý thầy, cô giáo thân mén!
Sách Toán 12 thuộc bộ sách giáo khoa Châm trời sáng #gø được biên soạn theo Chương trình giáo dục phổ thông 2018 của Bộ Giáo dục và Đảo tạo
Cấu trúc sách Toán 12 được chia thành hai tập
Tập một bao gồm ba chương:
Chương I: Ung dung đạo hàm đề khảo sát hàm số
Chương II: Vecrơ và hệ toạ độ trong không gian
Chương II: Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mâu số liệu ghép nhóm
Đầu mỗi chương đều có nêu rõ các kiến thức cơ bản sẽ học và các yêu cầu cần đạt của chương Các bài học đều xây dựng theo tỉnh thần định hướng phát triển năng lực và thường được
thống nhất theo các bước: khởi động, khám phá, thực hành, vận dụng Sách sẽ tạo nên
một môi trường học tập và giảng dạy tương tác tích cực nhằm đảm bảo tính dễ dạy, dễ học đồng thời hỗ trợ các phương pháp giảng dạy hiệu quả
Nội dung sách thê hiện tính tích hợp, gắn bó mơn Tốn với các môn học khác Những hoạt động trải nghiệm được tăng cường giúp người học có thêm cơ hội vận dụng Toán học vào thực tiễn, đồng thời ứng dụng công nghệ thông tin vào việc học Toán
Chúng tôi tin tưởng rằng với cách biên soạn này, sách giáo khoa Toán 12 sẽ hỗ trợ quý thầy,
cô giáo một cách tích cực và hiệu quả trong quá trình dạy học, đồng thời giúp các bạn học sinh hứng thú hơn khi học tập bộ mơn Tốn
Rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy, cô giáo và các bạn học sinh đê sách được ngày
cảng hoàn thiện hơn
Trang 6PHẦN MỘT SỐ YẾU TỐ GIẢI TÍCH Chương I (NG DUNG DAO HAM DE KHAO SAT HAM SO 5 Bai 4, Khao sit và vẽ đồ thi một số ham sé co ban 25 Bài tập cuối chương II
PHAN THONG KE VA XAC SUAT
Trang 7Phân | MỘT SỐ YẾU TỐ GIẢI TÍCH
UNG DUNG DAO HAM Chương Í ` ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ t công cụ toán học có rất nhiều ứng dụng trong khoa học, ki thuật và đời sống Trong chương nay, \ dụng đạo hàm để khảo sát một số tính chất quan trọng của hàm số (như tính đơn điệu, cực trị ậ ị của hàm số Đạo hàm l chúng ta sẽ Số lượng thành phẩm cần sản xuất là bao nhiêu để thu được lợi nhuận cao nhất? ~ Nhận biết được tính đồng biến, nghịch biến của một hàm số trên một khoảng dựa vào dấu của đạo hàm cấp một của nó
~ Thể hiện được tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trong bảng biến thiên
~ Nhận biết được tính đơn điệu, điểm cực trị, giá trị cực trị của hàm số thông qua bảng biến thiên hoặc thông qua hình ảnh hình học của đồ thị hàm số
Nhận biết được giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập xác định cho trước
~ Xác định được giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng đạo hàm trong những trường hợp đơn giản
~ Khảo sát được tập xác định, chiều biến thiên, cực trị tiệm cận, bảng biến thiên và vẽ đồ thị 2
CĐ (20 2g— pczg;y~ đỀ +ÐX+c
œ+d mx+n
(a#0,mz0 và đa thức tử không chia hết cho đa thức mẫu)
Trang 8Bài 1 Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Từ khoá: Đồng biến; Nghịch biến; Cực trị; Cực đại; Cực tiểu ©) Trong 8 phút đầu kể từ khi xuất phát, độ cao h (tính bằng mét) của khinh khí cầu vào thời điểm £ phút được cho bởi công thie h(t) = 6È — 81Ẻ + 324t Đồ thị của hàm số h(t) được biểu diễn trong hình bên Trong các khoảng thời gian nào khinh khí cầu tăng dần độ cao, giảm dần độ cao?
Độ cao của khinh khí cầu vào các thời điểm 3 phút và 6 phút sau khi xuất phát có gì đặcbiệt?
1 Tính đơn điệu của hàm số
Nhắc lại về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số
Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng Giả sử hàm số y = /(x) xác định trên K
Trang 9-Ví dụ 1 Tìm các khoảng đơn điệu của hảm số y = f(x) có đồ thị cho ở Hình 2
Hình2
Giải
Hàm số đồng biến trên các khoảng (~2; 1) và (5; 8), nghịch biến trên khoảng (1; 5)
9 “Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = /(x) có đồ thị cho ở Hình 3 Hình 3 Tính đơn điệu của hàm số @ Cho ham sé y= f(x) = a) Từ đỏ thị của hàm số y = f(x) (Hình 4), hãy chỉ ra các
khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số đã cho
b) Tinh dao ham f"(x) va xét dau f'(x)
c) Tir dé, nhan xét vé méi liên hệ giữa các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số với dầu của ƒ"(x)
Hình4
Trong /ÊÌ, ta thấy hàm số y = f(x) déng biến trên khoảng mà ƒ'(x) dương, nghịch biến trên
Trang 10
Tổng quát, ta có kết quả sau đây:
` Cho hàm số y=/(x) có đạo hàm trên K
Nếu ƒ'(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số, én trén K,
Nếu ƒ'() < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số y = ƒ(x) nghịch biến trén K
Ví dụ 2 Chứng minh rằng hàm sé g(x) = TT nghịch biến trên khoảng (1; +) x Giải Ham số xác định trên (1; +s) 1 Ta có #'(x)= x<0 với mọi x © (1; 400) Gœ-Đ
Vậy g(x) nghịch biến trên khoảng (1; +)
Chú ý: Khi xét tính đơn điệu của hàm số mà chưa cho khoảng K, ta hiéu xét tinh đơn điệu của hàm số đó trên tập xác định của nó
Từ kết quả trên, đề xét tính đơn điệu của hàm số y = /(x), ta thực hiện các bước sau:
Bước I Tìm tập xác định D của hàm số
Bước 2 Tỉnh đạo hàm ƒ'(x) của hàm số Tìm các điểm x thuộc Ð mà tại đó đạo hàm ƒ'(x)
Trang 11
®@
b) Xét hàm số g(x) =x + 1 x Tập xác dinh: D= R \ {0} Ta cé g(x) = 1- ro x Vix? > 0 với mọi x € R\ {0} nén g'(x) cing dau véi x Ta có g(%) =0 ©x?~ 1 =0 c>x=—l hoặc x = Ì Bảng biến thiên: x |» -1 0 1 + gi) + 0 - = 0 + se) Vay ham sé g(x) =x + E đồng biến trên các khoảng (—œ; —1) và (1; +), nghịch biến x trên các khoảng (1; 0) và (0; 1) e) Xét hàm số j (x) = x” Tập xác định: D = E Ta có h(x) = 3x7; h(x) = 0 c>x =0 Bang bién thién: 0 +00 —20' a) Nếu hàm số y = ƒ(x) có đạo hàm trên K, f"(x) > 0 với mọi x e K và ƒ'(x) =0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên K b) Néu ham sé y = f(x) c6 dao ham trén K, f"(x) < 0 với mọi x e K và ƒ'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số nghịch biến trên K e) Nếu ƒ'(x) = 0 với mọi x e K thì hàm số không trên K Xét tính đơn điệu của các hàm số sau: a) fe) = 2° — 6x? + 9x; bg@=+ x
Chimg minh ring ham sé f(x) = 3x — sinx dong bién trén R
Hãy trả lời câu hỏi trong ẤP) (trang 6) bằng cách xét dấu đạo hàm của hàm số
Trang 122 Cực trị của hàm số
2 Quan sát đồ thị của hàm sé y = f(x) =° — 3x? + 1 trong Hình 5
a) Tìm khoảng (4; b) chứa điểm x = 0 mà trên đó ƒ(+) < /(0) với mọi x # 0
b) Tìm khoảng (a; b) chứa điểm x = 2 mà trên d6 f(x) > f(2) với mọi x # 2
e) Tôn tại hay không khoảng (ø; b) chứa điểm x = 1 mà trên đó
0) >/) với mọi x# 1 hoặc fx) </(1) với mọi x # 12
` Cho hàm số y = ƒ(x) xác định trên tập hợp D và
xe D
e Nếu tồn tại một khoảng (a; ö) chứa điềm x„
và (4; b) D sao cho ƒ(x) < ƒ(xạ) với mọi
x € (a; b) \ {xạ} thì xạ được gọi là một điểm
cực đại, ƒ(x,) được gọi là giá trị cực đại của
ham s6 y = f(x), ki hiéu yep
e Nếu tồn tại một khoảng (a; 5) chứa điểm x,
va (a; b) < D sao cho f(x) > f(x) voi moi
x e (4; ở) \ {xạ}, thì xạ được gọi là một điểm cực tiểu, ƒ(x,) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số y = ƒ(x), kí hiệu y.y
Chú ý:
a) Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực frị của hàm số Giá trị
cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá tr] cw frị (còn gọi là cực trị) của hàm số
b) Nếu xạ là một điểm cực trị (điểm cực đại, điểm cực tiểu) của hàm số y = f(x) thi ta cũng nói hàm số y = /(x) đạt cực trị (cực đại, cực tiểu) tại xụ
c) Hàm số có thể đạt cực đại và cực tiểu tại nhiều điểm trên 7)
đ) Nếu xạ là điểm cực trị của hàm số y = ƒ(x) thì điểm A⁄(x,; /(x,)) là một điểm cực trị
Trang 13“Tìm các điểm cực trị của hàm số y = ƒ(x) có đồ thị cho ở Hình 8 Tìm cực trị của hàm số R < 2 khix<l @ Đồ thị của hàm số y= 4” 1 Sư cho ở Hình 9 ¢ 2—x khix>l >
a) Tim điểm cực đại và điểm cực tiểu của hầm số
b) Tại x = 1, hàm số có đạo hàm không?
) Thay mỗi dau ? bang ki hiệu (+, —) thích hợp đề hoàn thành bảng biến thiên dưới đây Nhận xét về dấu của y' khi x đi
qua điểm cực đại và điểm cực tiết x_ | 0 1 too Hinh9 20)
Cho ham sé y = f(x) lién tue trén khoang (a; b) chtta diém x, va cé đạo hàm trên
cae khoang (a; x,) va (x,; b) Khi đó:
+ Néu f'(x) < 0 véi moi x € (a; x) va f"(x) > 0 véi moi x € (x); ð) thi ham sé y = f(x)
đạt cực tiểu tại diém x,;
* Nếu ƒ'@) > 0 với mọi x e (4; xạ) và ƒ'() < 0 với mọi x e (xạ; ð) thì hàm số
đạt cực đại tại điểm xụ
Ví dụ 5 Tìm cực trị của hàm số ƒ(x) = 2x` ~ 9x” ~ 24x + 1
Giải Tập xác dinh: D= R Ta có /'(x) = 6x7 ~ 18x ~ 24; Œ)=0€x=~l hoặc x= 4 Bảng biến thiên: x | -1 4 too /#%œ) + 0 - 0 + Se) _—” Tu”
Vay ham số đạt cực đại tại x = —1, giá trị cực đại là f(-1) = 14; ham số đạt cực tiểu
tại x= 4, giá trị cực tiểu là ƒ(4) = —111
Trang 14Nhận xét: Từ kết quả trên, đề tìm cực trị cua him sé y = f(x), ta thực hiện các bước sau:
Bước 1 Tìm tập xác định D của hàm số
Bước 2 Tính đạo hàm ƒ (x) của hàm số Tìm các điểm x thuộc D ma tại đó đạo hàm ƒ'(x)
bằng 0 hoặc đạo hàm không tổn tại
Bước 3 Lập bảng biến thiên của hàm
Bước 4 Từ bảng biến thiên kết luận về cực trị của hàm số Ví dụ 6 Tìm cực trị của hàm số /(x) = xÌ— 3x? + 3x — 4
Giải Tập xác định: D =
Ta c6 f(x) = 3x? — 6x +3; #%Œ)=0©x=l
Bảng biến thiên: —*_—] LR) #œ) Vay hàm số không có cực trị Chú ý: a) Nếu ƒ '(xạ) = 0 và ƒ '(x) không đổi dấu khi x qua điểm xạ thì hàm số không có cực trị tai x, b) Nếu ƒ'(x) không đồi dấu trên khoảng K thì ƒ(x) không có cực trị trên khoảng đó
® Tìm cực trị cia ham sé g(x) = * +244 , ral
® Một phần lát cắt của dãy núi có độ cao tính bằng mét được mô tả bởi hàm số
¬P + + 840 0) 81 <x<2000
IEoi000 A22 x với 0<x<2000,
Trang 151, Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của các hàm số có đồ thị cho ở Hình 11 Hình 11 2 Xét tính đơn điệu và tìm điểm cực trị của các hàm a) y = 4x° + 3x7 — 36x + 6; b)y= 2 3 Tìm cực trị của các him s6 sau: a)y=2x) + 3ˆ — 36y + l; b)y et o)y= Vr +4
4, Chimg minh rang ham sé y = a nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó
5 Kim ngạch xuất khâu rau quả của Việt Nam trong các năm từ 2010 đến 2017 có thể được tính xắp xỉ bằng công thức ƒ(x) = 0,01x` ~ 0,04x? + 0,25x + 0,44 (ti USD) với x là số năm tính
từ 2010 đến 2017 (0 <x < 7)
Trang 16Bài 2 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
Từ khoá: Giá trị lớn nhất của hàm số; Giá trị nhỏ nhất của hàm số
©) Sự phân huỷ của rác thải hữu cơ có trong nước sẽ làm tiêu hao oxygen hoa tan trong nước Nồng độ oxygen (mg/) trong một
hổ nước sau £ gid (t > 0) khi một
lượng rác thải hữu cơ bị xả vào hổ được xấp xỉ bởi hàm số (có đồ thị như đường màu đỏ ở hình bên) 15t 9+1) Vào các thời điểm nào nồng độ oxygen trong nước cao nhất và thấp nhất? (Theoshttps://mwv.researchgate.net/publication/264903978_Microrespirometric_ characterization _of_activated_sludge_inhibition_by_copper_and_zinc) 1 Dinh nghia a Hình 1 cho biết sự thay đồi của nhiệt độ ở một thành phó trong một ngày Su a) Khẳng định nào sau đây đúng? Vì sao? zŒC) ï) Nhiệt độ cao nhất trong ngày là 28 °C 7 25
ii) Nhiệt độ cao nhất trong ngày là 40 °C, iii) Nhiệt độ cao nhất trong ngày là 34 °C
b) Hãy xác định thời điểm có nhiệt độ cao nhất _ Ø| 1D 16 20
trong ngày Hình 1
e) Nhiệt độ thấp nhất trong ngày là bao nhiêu?
24 x (gid)
Cho ham sé y = f(x) xac dinh trén tap hop D
Sé M duge gọi là giá frị lớn nhất của hàm số y = ƒ(x) trên D nếu f(x) < M
với mọi x thuộc D và tổn tại x, thuộc D sao cho /(x,) = A Kí hiệu M = max /(+)
Số m được gọi là giá frị nhỏ nhất của hàm số y = ƒ(x) trên D nếu ƒ(x) > m
Trang 17
Chú ý: Ta quy ước khi chỉ nói giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất f(x)
(ma khéng cho rd tap hop D) thi ta hiểu đó là giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của
ham s6 y = f(x) trén tip xác định của nó
Ví dụ 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hảm số sau:
a) y = f(x) = 2x + 3 trên đoạn [~3; 1]; b)y=g(x)= vi-x Giải
a) Xét ham sé f(x) = 2x + 3 trên đoạn [~3; 1]
Với mọi x © [-3; 1], ta có ƒ(x) = 2x + 3 >~3 Mặt khác f(-3) =
-Do đó min tx) Với mọi x € [-3; 1], ta 66 f(x) = 2v + 3 <5 Mặt khác /(1) = 5 Do đó max /(x)= 5
b) Xét hàm số g(x) = Vi-x*
Tập xác định: D= [-1; 1]
Ta cd 0< g(x) < 1 voi moi x © [-I; 1] Mặt khác g(0) = 1 và g(1) =0 Do đó mịn g6) =0 và max g(x)
Nhận xét: Nếu biết đồ thị của hàm số trên tập hợp Ø, ta có thể xác định được giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên 7 Chang hạn:
* Dựa vào đồ thị hàm số y= f(x) = 2x +3 trén doan [~3; 1] (Hình 2a), ta thấy với mọi
x e[-3; 1]./tx)>/L3) và /œ) </(1) nên min ƒ(x)=ƒ(-3)=-~3 và max ƒ4)=ƒ(1)= 5 * Dựa vào đồ thị của hàm số, =g@)= trên đoạn [—1; 1] (Hình 2b), ta thấy với mọi x € [-1; 1], g(x) >ø(1) và g(x) < ø(0) nên min g(x) = g(1) = Ova mare) =g(0)=1 b) Hình 2
Chú ý: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số thường được tìm bằng cách sử dụng
đạo hàm và bảng biến thiên
Ví dụ 2 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ƒ(x) =x` — 6x? + 9x — 1 trên