Luận án tiến sĩ Cơ kỹ thuật: Nghiên cứu ứng dụng Phương pháp CFEM trong Cơ học vật rắn biến dạng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ

NGUYEN DINH DƯ

LUẬN ÁN TIEN SĨ CƠ KY THUAT

HÀ NOI - 2023

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ

NGUYEN ĐÌNH DƯ

Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật

Mã số: 9520101.01

LUẬN ÁN TIEN SĨ CƠ KỸ THUAT

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

GS.TSKH NGUYEN ĐÌNH ĐỨCPGS.TS BÙI QUOC TÍNH

HÀ NOI - 2023

LỜI CAM ĐOAN

Tên tôi là: Nguyễn Đình Dư

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi.

Các số liệu và kết quả được trình bày trong luận án này là trung thực, đáng tincậy và không trùng với bất kỳ một nghiên cứu nào khác đã được tiến hành.

Hà Nội ngày thang năm 2023

Người cam đoan

Nguyễn Đình Dư

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, tác giả muốn bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới người hướng dẫn khoahọc luận án của tác giả, PGS.TS Bùi Quốc Tính, vì sự hướng dẫn, hỗ trợ và lòng tốtđặc biệt của thầy PGS.TS Bùi Quốc Tính không chỉ là một nhà nghiên cứu và nhàgiáo lỗi lạc, mà thầy còn là một con người của khoa học và là nguồn cảm hứng khôngngừng cho bao thế hệ học trò, trong đó có tôi.

Tiếp đến, tác giả xin cảm ơn GS.TSKH Nguyễn Đình Đức, cũng là người

hướng dẫn luận án của tác giả Thầy Nguyễn Đình Đức không chỉ là nhà quản lý xuất

sắc, mà còn là nhà khoa học có sự ảnh hưởng mang tầm vóc quốc tế Những hỗ trợ vàđịnh hướng đúng thời điểm của thay cơ sở dé luận án hoàn thành.

Qua đây, tác giả trân trọng cảm ơn sâu sắc tới tập thể thầy cô giáo Khoa Cơ họckỹ thuật và Tự động hóa, Trường đại học Công Nghệ - Đại học Quốc Gia Hà Nội, đãluôn quan tâm, giúp đỡ va tạo moi điều kiện thuận lợi trong suốt thời gian tác giả học

tập và nghiên cứu tại Khoa Tác giả xin cảm ơn tập thê thầy cô giáo, cán bộ Phòng Sau

đại học, Trường Đại học Công Nghệ - Đại học Quốc Gia Hà Nội đã tạo điều kiện thuận

lợi trong quá trình nghiên cứu của tac giả.

Tác giả cũng xin cảm ơn tập thê sư phạm khoa Kỹ Thuật Công Trình, nhữngngười đồng nghiệp nơi tác giả công tác, trường Đại học Lạc Hồng với những giúp đỡ

kịp thời và lời khuyên thân thiện.

Sau cùng, tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè trong nhóm nghiên

cứu, bạn bè thân thiết của tác giả - đặc biệt là TS Nguyễn Ngọc Minh, những người

đã luôn ở bên cạnh động viên và giúp đỡ tác giả hoàn thành luận án này.

Tác giả

Nguyễn Đình Dư

MỤC LỤC

LOI CAM DOAN -: c2 2 tt re iLOT CAM 00 ii

08019059 25¬1 1H

DANH MỤC CÁC KY HIỆU VA CHU VIET TẮTT ::-ccsc+svcvxvereee vi

IM.9)28)10/99 1e: 9c vii

1 Tính cấp thiết của đề tài - - 5-5252 SE E2 121121171121121121111111211211 111111 cye 1

2 Mục tiêu nghiÊn CỨU - - - G2 3211831111911 119111911 9111 911 E1 HH HH ke 1

3 Đối tượng và phạm vi nghiên CứỨu -¿- ¿- + s+SE+EE+EE£EE2EE2E2EEEEEEEEEEEEEEEEEEkrrrrree 2

4 Phuong phap nghién 1n e 2

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của nghiên cứu - 2 2 +s++xe£x+ExzEzEzxezxee 26 Cấu trúc của luận án : :+2©++t222+++2221111272 1127.1127 TT trrrried 39:i8/9) 600 4

TONG QUAN VỀ PHƯƠNG PHAP CFEM 5c tệ EE2EEEEEEEEEEEEEEkrrrrrees 4

1.1 Tổng quan về cơ học vật rắn biến dạng -¿- 2-52 2 z+Ee£EeEEeEEeExerxrrerxee 41.2 Phương pháp Phan tử hữu han và các thuộc tính của nó - 2+: 51.3 Xu thé phát triển của các phương pháp sỐ 2-2 2 2+Ee£EeEEeEEeEzExzxxez 81.4 Lich sử hình thành và phát triển của phương pháp CFEM - 109:1019)601 5 12THỦ TỤC NỘI SUY KEP CHO CÁC BÀI TOÁN 2D VÀ 3D 12

2.1 Thủ tục nội suy kép CIP - - + 221121112111 112 11111181181 1811 811 81 key 12

2.2 Thủ tục CIP cho phan tử tam giác 3 nút (CT3) va tứ giác 4 nút (CQ4) 142.2.1 Phân tử tam giác hữu hạn nội suy kép CT3 2- 2: s+©2++z+zzx+zxrzes 142.2.2 Phân tử tứ giác hữu hạn nội suy kép CQ4 - 5 2c +sssssserseereres 14

2.2.3 Ví dụ sô ¬ Ốố óc 172.2.3.1 Dâm công son chịu lực Cắt - c3 c S23 2 ri rriee 17

2.2.3.2 Thanh kết cấu phức tap FGM chịu kéo ¿2-2 s+cs+£z+c+zxzez 20

2.3 Thủ tục CIP cho phan tử tứ diện 4 nút (CTH4) và lục diện 8 nút (CHH8) 232.3.1 Phần tử CTH4 22:222+t222111222111272 12 re 232.3.2 Phan tit CHHE 1 27

2.3.3 VÍ dụ SỐ ececceccssessssssnesesssnesesssneecessnessessneeessunmseesnneeessnuesesseneesessneeesee 28

2.3.3.1 Dam Công son với tiết điện ngang chữ T 2- z s+cz+zez s2 28

2.3.3.2 Phân tích dao động tự do của hình trụ chữ nhật có khoan hình trụ tròn

"— 33

2.4 Kết luận -¿- + ©2c 212 xEEE21121121127121121121121121121111111121121012 2101 e 36CHƯNG 3 2-2251 2E EE222127127121121127171211211111112112111111121121 11 1E ere 37PHAN TÍCH TĨNH, ĐỘNG VÀ LAN TRUYEN VET NUT VAT LIEU FGM CHOCAC BAI TOÁN HAI CHIEU oes csscsssesssesssessssssesssessssssssssesssecsssssessseesussseseseessees 37

3.1 Giới thiGue.cceccccccccccscsscsssessessessssssessessessuessessessussusssessessussusssessessussusssessessessueeseeses 37

3.2 Mô hình hóa vết nứt -¿ 2 s+SE+EE2E1EE197E25121122171711211721 717121 xe 383.3 Phương trình cơ bản của kết cầu FGM có đường nứt 2- 2 2 z+sz+se¿ 393.4 Xây dựng phan tử XCQ4 trong phương pháp CFEM -2 5¿©5¿ 5522 41

3.4.1 Kỹ thuật lam giàu trường chuyên vi vật liệu FGM bằng phan tir CQ4 423.4.2 Kỹ thuật làm giàu đỉnh nứt bằng hàm dốc (ramp function) - 45

3.5 Giá trị của hệ số cường độ ứng suất bao gồm tĩnh và động . 47

3.6 Mô hình phát triển vết nỨt +- + Ss+S9EE2EE2EE2EE2EEEEE7XE112122121121 1.11 te 503.7 Kết quả số và biện luận -¿- + ++SE+Et2EEEE2EEE1E1181121121121111111 1111111 1x6 51

3.7.1 Phân tích tĩnh kết cầu FGM đàn hồi tuyến tính bị nứt trong mặt phang 513.7.1.1 Tam chữ nhật FGM bị nứt cạnh chịu lực kéo -:-s+c+sszszs+s+z 513.7.1.2 Tam chữ nhật FGM bi nứt cạnh chịu lực Cat ceceeecsseecsseseseeseeeeseeees 543.7.2 Phân tích động kết cầu FGM đàn hồi tuyến tinh bi nứt trong mat phang 573.7.2.1 Tam bị nứt trung tâm chịu lực kéo (CCTT) - 2 s+c++c++czzxecsees 583.7.2.2 Tam FGM hình chữ nhật có lỗ tròn trung tâm và hai vết nứt nghiêng 623.7.2.2.1 Vật liệu đồng nhất - 2:22 52222xc2EE2E22E 221 22EE2E.eEkcrrree 633.7.2.2.2 Vật liệu biến đổi chức năng -¿- 2: +¿22++2xz2zxezxrrrrerxed 64

3.7.2.3 Kết cau phức tap FGM có vết nứt cạnh -2cs s+zxczxszcszes 673.7.3 Bài toán lan truyền vết nứt trong kết cầu FGM - 2 cc+cc+csze 71

3.7.3.1 Dam chịu uốn ba điểm: vết nứt song song với sự biến thiên vật liệu 72

3.7.3.2 Dâm chịu uôn bon điêm: vét nứt vuông góc với độ biên thiên vật liệu

3.8 Kết WAI cccceccccccecccscsececsesececscsucecsesesusscsvsusacsesusecavsvsacacsususatsvesasevsteusaveveaeaeseeees 80CHUONG 4 ỐỒỐ éẽ››::Ẽ 81

PHAN TÍCH PHI TUYẾN HINH HỌC KET CẤU 2D VÀ 3D - 81

4.4 Kết quả phân tich c.cececcecccsccsseessessesssssessessessusssessesscssessessessesssessessesssessesseesess 93

4.4.1 Bài toán phi tuyến hình học 2D - 2 2+5£E£+E£+E££E£EEEEEeEEeExrrxrreree 94

4.4.1.1 Cột chịu nén lệch tâm - - - c2 1223111122111 2521111151111 key 94

4.4.1.2 Dam công son chịu lực 0 974.4.1.3 Vòng tròn nhẫn chịu lực kéo -. -:- + ++s++x+2x+zxerxzrvzrrzxvzrerree 1014.4.1.4 Khung chữ nhật chịu tải đứng phân bồ đều - 252-552: 106

4.4.1.5 Dam Cook chịu uốn với vật liệu gần như không nén được 110

4.4.2 Bài toán phi tuyến 3DD ¿5c tt EEEE12112121 1121111212112 xe 1124.4.2.1 Dam công son chịu uỐn +- + + 2+EE+Et+E£EE£EEEEEEEEEEE2EEzErkerree 1124.4.2.2 Một hình trụ có thành day 3D chịu tai trong phân bồ trên chiều dai.115

4.4.2.3 Kết cấu cao tang chịu lực xô ngang - s-©ce+cs+rxerxcrxrrsees 119

4.4.2.4 Tam 3D Cook với chat liệu gần như không thé nén được 122

4.5 KẾ luận -2ccc tt HH ae 1244000.0000150 126

1 Công thức chung của kỹ thuật nội suy kép CÏP -c +5 <+++2 126

2 Phân tích tĩnh, động và lan truyền vết nứt trong vật liệu tổng hop FGM 126

3 Phân tích phi tuyến hình học kết cau 2D và 3D kết hop mô hình tích phân

thay thỂ 5 52-51 9S 1 1121127121121121127111121111 1111111211111 0111111 127

NHUNG BÀI TOÁN CÓ THE PHÁT TRIÊN TỪ LUẬN ÁN - 128

DANH MỤC CÔNG TRINH KHOA HỌC CUA TÁC GIA LIEN QUAN TRỰC TIẾPĐẾN LUẬN ÁN - 2-22 222221 22112112711271211271121112111111 21121101 re 129

TÀI LIEU THAM KHẢO c5: Sc t2 SE2E9EEE2E2EEE12E2EEE1115EEE121211211121211 E1 cxeE 130

Crack tipAnalytical

DANH MUC CAC KY HIEU VA CHU VIET TAT

Fuctionally Graded Material — Vat liéu co tinh bién thiénPhương pháp phan tử hữu han truyền thống

Thủ tục nội suy kép trong hàm dạng

Phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng truyền thốngPhương pháp phần tử hữu hạn mở rộng nội suy kép

Bậc tự do

Phần tử hữu hạn tuyến tính bốn nút

Phần tử hữu hạn tam giác ba nút thông thường

Phần tử tứ giác bốn nút với thủ tục CIP

Phần tử tam giác ba nút với thủ tục CIP

Phan tử hữu hạn lục điện tám nút thông thườngPhần tử hữu hạn lục diện tám nút nội suy kép

Mô đun đàn hồi của vật liệu

Phần tử hữu hạn tứ diện bốn nút thông thường

Phần tử tứ điện bốn nút với thủ tục CIP trong 3DHệ số Poisson’s

Khối lượng riêng

Mô đun đàn hồi cắt

Lời giải giải tích

Tiêu chuan ứng suat tiêp lớn nhat

Hệ sô cường độ ứng suât được chuân hóa

Tông sô nút của chủ thê khảo sátVận tôc sóng đàn hôi

DANH MUC CAC BANG

Bang 2.1 Thời gian tinh toán va sai số giữa Q4 va CQ4 so với lời giải chính xác 20

Bang 2.2 Sai số kết quả ứng suất oxx khi dùng phan tử Q4, CQ4 so với phan tử Q8 23Bảng 2.3 Năng lượng biến dang thu được từ CHH8 và HH8 với nhiều cấp độ chia lướikhác nhau và thời gian cần thiẾt 2-2 sc+S22EEEEEEE2E121127171.211211 E1 cxe 32Bang 2.4 So sánh bốn mode dao động đầu tiên có tần số khác không giữa HH8 vaCHH8 so với lời giải giải tích tham khảo từ [49] -.- 5 5< £svsseseessee 34Bang 3.1 So sánh kha năng hội tụ giữa XCQ4 và XQ4 Sàn nnseeee 52Bảng 3.2 So sánh giá tri SIF của mode I giữa phan tir XCQ4 va các phương pháp tham00C TA 022008 54

Bảng 3.3 So sánh giá tri SIF của mode I giữa phan tir XCQ4 và các phương pháp thamKhao (a/W D5 54

Bang 3.4 Tính chat vật liệu va vận tốc sóng tai biên trai và phải của tam [83] 64

Bảng 4.1 Trọng số và tọa độ của điểm tích phân trong mô hình tích phan EM 88

Bảng 4.2 Trọng số và tọa độ của điểm tích phân trong mô hình tích phân EE 88

Bang 4.3 Tọa độ điểm tích phân và trọng số tương ứng của tích phân 3D-EM 91

Bang 4.4 Chuyén vị phương ngang của điểm A i.e cecccecccscessseseesesseesessessessesteseeseens 95Bang 4.5 Chuyển vị phương đứng của điểm A - 2 25c S‡EE£EeE2E2Errerrrred 95Bảng 4.6 So sánh tông thời gian tính toán khi dùng tích phân Gauss và hai kỹ thuậttích phân thay thỂ ¿+ s9 E19 E2E12E21E711111211211211111111111111 111 re 106Bảng 4.7 Chuyên vị theo phương đứng tại điểm A được tính toán bởi phan tử CHH8và HH8 dùng nhiều mật độ lưới khác nhau - ¿2+2 SE+E+E2EE2E+EeEEzE+Ess2 117Bang 4.8 Các chuyên vị theo hướng ngang ở đỉnh công trình khi phân tích 540 phầntử CHH8 với 3 phương pháp tích phân kể cả lưới đều và không đều 121

DANH MỤC CÁC HÌNH VE

Hình 1.1 Hình minh họa chia lưới FEM cho bài toán 2D vật liệu đồng nhất (a) và FEM

(b) CÓ VẾT TỨTK - - 5c tt E211 21111E111111112111111 11111111211 2111 11111 111g rreu 6

Hình 1.2 Độ hội tụ năng lượng biến dang theo kích thước lưới phan tử 7

Hình 2.1 Phần tử tứ giác với (a) hệ trục tọa độ vật lý và (b) hệ trục tọa độ tự nhiên 14Hình 2.2 Mô hình kỹ thuật CIP cho phan tử tứ giác 4 nút (CQ4) trong cach chia lưới

m8 in 0220 15

Hình 2.3 Minh họa hàm dạng cho phan tử CQ4 2-2 5++2+£++£x+rxzxzzrxee l6Hình 2.4 Minh họa đạo hàm bậc nhất hàm dang cho phan tử CQ4 16

Hình 2.5 Dạng hình học và điều kiện biên của dam công son chịu uốn 17

Hình 2.6 Lưới tứ giác và lưới tam giác (12 *3) - c2 x2 E2 xEEEEEEErrrkerrkree 18

Hình 2.7 Độ hội tụ của năng lượng biến dạng theo kích thước lưới - 19Hình 2.8 Trường ứng suất oxx được tính bởi bốn kiêu phan tử: CQ4 (a), Q4 (b), CT3

(€), T3 (A) secccesscecsesssessesssecssesssesssecsesssessasssucssvcsesesusssucssvcssvssuessucsaveserssuessvessveseeeaes 19

Hình 2.9 Dang hình hoc của thanh FGM phức tap - - c5 sSsscxssrssrrses 21

Hinh.2.10 Một phan hai mô hình: a) điều kiện biên, b) chia lưới với 1000 phan tử 21

Hình 2.11 Ứng suất oxx cho trường hợp vật liệu đồng nhất: (a) Q4, (b) CQ4, (c)

5 22

Hình 2.12 Ứng suất oxx cho trường hợp vật liệu FGM: (a) Q4, (b) CQ4, (c) Q8 22

Hình 2.13 Phần tử tứ diện với hệ trục tổng thể (trái) và hệ trục tọa độ tự nhiên

0100 23

Hình 2.14 Mô hình phần tử lục diện tam nút trong hệ trục tọa độ tự nhiên 27

Hình 2.15 Dam công son có tiết điện ngang chữ T chịu uốn 2-5 252 29Hình 2.16 Kích thước hình học mặt cắt ngang chữ T (đơn vi mm)) 29Hình 2.17 Lưới phan tử HH8 với 480 phần tử - 2-2 s¿+++2z++zx+zzx+zxez 30

Hình 2.18 Sự hội tụ của năng lượng biến dạng đàn hồi đối với DOFs thu được bởi các

loại phan tử: TH4, CTH4, HH8 và CHH8 “Exact” là giá trị thu được bằng lưới

rat min 10800 phan tử HH20 trong ABAQUS ¿22¿©22+2zz+zxcczzeee 30

Hình 2.19 Ty lệ hội tu của biến dang đàn hồi được trình bày trong dé thi log-log củabốn loại phan tử: TH4, CTH4, HH8, CHH8 2: 2 2522 £+E£Eezxzxez 31

Hình 2.20 Ứng suất ơz; thu được từ phan tử CHH8 (a) va HH8() - 32

Hình 2.21 Kích thước hình học của hình trụ có khoan trụ tròn lệch tâm bên trong 33

Hình 2.22 Mode dao động của bốn mode đầu tiên khác không 5- 35Hình 3.1 Biểu điễn ký hiệu cua một mô hình FGM bị nút s55 s<+<<+2 39Hình 3.3 Hình minh họa bốn hàm làm giàu tại đỉnh nỨt c + sssscssxs 44Hình 3.4 Minh họa các nút thông thường và các nút được làm giàu 44

Hình 3.5 Minh hoa ham Level set, dùng dé xác định nút thuộc miền đường nút và đỉnh§01150 111171757 45

Hình 3.6 Hệ trục tọa độ tự nhiên đỉnh nứt trong phần tử 4 nút (Q4) 46

Hình 3.7 Minh họa miền hỗ trợ của tích phân J trong a) XQ4 và b) XCQA 47

Hình 3.8 Đồ thị của hàm trọng số q(x) trong tích phân tương tác J: (a) Hình chiếubằng, (b) Hình chiếu đứng ¿- 2-52 t+SE+E£EE£EEEEEEEE2E12112111171 11111111 48Hình 3.9 (a) Dạng hình học và (b) lực tác dụng S cS St sirrrerrerree 52Hình 3.10 Biểu thị giá trị SIFs theo tong sỐ nút - 2-5 5222+£+z£xerxzxzzreee 53Hình 3.11 Tam FGM nứt cạnh chịu lực Cat ccecccccccscsssscsseeseseesesessesecsesecsueeesceeseeeeeees 55Hình 3.12 Độ lớn của hệ số SIFs của mode-I theo độ đốc vật liệu - 56

Hình 3.13 Độ lớn của hệ số SIFs của mode-2 theo độ dốc vật liệu - 56

Hình 3.14 Ứng suất oxx thu được bởi phan tử XCQ4 (a) và phan tử XQ4 (b) 57

Hình 3.15 Tải trọng tac dung: (a) Tải theo bước, (b) Tải hình sin 58

Hình 3.16 Kích thước hình học và chia lưới mau thử CCT - s25 zcs+s+s+ 59Hình 3.17 So sánh DSIFs giữa phan tử XCQ4 va hai phương pháp tham khảo 60

Hình 3.18 Thời gian khởi đầu cho 4 bước thời gian khác nhau - 61

Hình 3.19 DSIFs của XCQ4 với mật độ lưới khác nhau và phương pháp tham1 0 61

Hình 3.20 Kết quả DSIFs của phần tử XCQ4 với kỹ thuật làm giàu hàm déc 62

Hình 3.21 Dạng hình học và cách chia lưới tắm chữ nhật có lỗ tròn bị nứt nghiêng 63Hình 3.22 Giá trị DSIFs theo thời gian, so sánh giữa phần tử XCQ4 và hai phươngpháp tham khảo - - - c1 31211231111 1151 151191111151 118111111 11 T11 vn TH ng Hiệp 64Hình 3.23 So sánh giữa các kết quả số giữa giải pháp tham khảo [72] và kết quả nghiêncứu cho sự biến đôi tuyến tính của các đặc tinh vật liệu theo phương x 65

Hình 3.24 Các DSIF của mode-I và mode-II được chuẩn hóa ở cả đỉnh nứt bên trái và

i98 0100008011/04051 9499.1000115 66

Hình 3.25 Sự lan truyền của sóng đàn hồi được biểu thị bằng sự phân bố của thànhphan ứng suất pháp tuyến Ơyy ¿- 2-2222 E2 E2E2E121171211211 2111121 xe 67Hình 3.26 Dạng hình học, điều kiện biên và chia lưới của kết cau phức tạp 68

Hình 3.27 Ảnh hưởng của phân cap vật liệu đối với sự thay đổi đối với DSIFs a=19mmđối với hai trường hợp tải: (a) Tải theo bước và (b) Tải hình sin 69

Hình 3.28 Ảnh hưởng của chiều dài vết nứt ban đầu đến sự thay đối của DSIFs đốivới hai trường hợp tải: (a) Tải theo bước, (b) Tải hình sin - 70

Hình 3.29 Ứng suất von Mises của tam phức tạp với bốn chiều dài khác nhau 71

Hình 3.30 Dạng hình học và điều kiện biên dam chịu uốn ba điểm - 72

Hình 3.31 Tính chat vật liệu thay đôi theo phương đứng 2 25255: 72Hình 3.32 Chia lưới có quy tắc của mẫu TPB 2- 2 +¿2x++z£+£x++zxzzxezxed 73Hình 3.33 Lan truyền vết nứt của mẫu thử TPB: so sánh giữa XCQ4 và kết quả thamkhảo từ XFEM-DET và thí nghiỆm - ¿2222 322132112132 EEEEEExrrrree 73Hình 3.34 Các đường nứt dự đoán của TPB: Sự so sánh giữa các kết quả số hiện tạibăng cách sử dụng các hàm đốc khác nhau và giải pháp tham khảo [84] 74

Hình 3.35 Trường ứng suất oxx của TPB tại các thời điểm khác nhau 75

Hình 3.36 Dạng hình học và kích thước của dầm chịu uốn 4 điểm - 76

Hình 3.37 Giá trị của hệ số Poisson’s và mô dun đàn hồi trong vùng biến đồi 76

Hình 3.38 Chia lưới phan tử hữu han trong thí nghiệm sỐ 2-5: ©5¿ 77Hình 3.39 Đường lan truyền vết nứt tương ứng vết nứt khởi đầu tại vị trí A, B và Cthu được bởi XCQ4, XFEM-DET và thí nghiệm 5 5-55 +5 <++ss2 78Hình 3.40 Đường nut dự đoán cho dầm FGM chịu uốn bốn điểm tại điểm A: So sánhgiữa kết quả số hiện tại và dữ liệu thí nghiệm - 2-5252 E+£xerEezrssred 79Hình 4.1 Điểm tích phân trong miền tứ giác của các mô hình tích phân 88

Hình 4.2 Hệ trục tọa độ tự nhiên (a), các điểm tích phân trong tích phân EF (b) và tích0:85 /0/20 1177 89Hình 4.3 Cột nén lệch tâm, a) Hình học, b) Chia lƯỚI - 5+ +55 +s++<s++s+ 94

Hình 4.4: Ứng suất (oyy) của cột nén lệch tâm bởi a) phần tử T3, b) phần tử Q4, c)phan tử CT3, d) phan tử CQ4 và e) phần tử Q8 - ¿c2 z+cczxcrxerxee 96Hình 4.5 Kích thước hình học của dam Công son ¿2-5 x+++E++E++EzEerxered 97

Hình 4.6 Chia lưới có quy tắc (trên) và bất quy tắc (dưới) của dam Công son 98

Hình 4.7 So sánh hội tu với đường cong chuyền vi với nhiều cách chia lưới 98

Hình 4.8 So sánh hội tu giữa lưới thông thường và lưới bat quy tắc 99

Hình 4.9 So sánh đường cong chuyên vị giữa các phương pháp - 100

Hình 4.10 Dạng hình học và cách chia lưới của vòng nhẫn -. -: 101

Hình 4.11 Chia lưới đều (a) và không đều (BD) ceceececccccesescesesseesessessessesseseseeseeseens 102Hình 4.12 So sánh hội tụ giữa các phương pháp bằng đường cong chuyên vị 103

Hình 4.13 So sánh hội tụ về sai số tương đối trong định mức chuyên vị bằng các phầntử T3, Q4, CT3, CQ4: a) tại thời điểm n=1, b) tại thời điểm n=20 104

Hình 4.14 Đường cong chuyên vị - lực tại điểm A thu được giữa các phương pháp vớiLO1 gidi tham s0 105

Hình 4.15 Kích thước hình học khung chịu tải đứng phân bồ đều 106

Hình 4.16 Đường cong chuyền vị-lực được thực hiện bởi phương pháp giải Raphson va arc-length 0177 a 107

Newton-Hình 4.17 Bốn mức lưới của Khun g oo cccecc ess eeseessessessesssessessessessessessessesseessen 108Hình 4.18 So sánh hiệu qua tính toán về sai số chuyền vi (a) va năng lượng (b) bangnhiều mô hình tích phân 2-2-2222 £+EE+EE+EE+2EE2EE+EEZE+ZEESEEerErrrerrxrrs 109Hình 4.19 Các cau hình bién dạng tương ứng với ba điểm trong đường cong tải trọng-dịch chuyền (xem Hình 4.16): Cấu hình ban đầu, điểm M (ngay trước khi xảy rahiện tượng snap-through) và điểm \ - 2-52 2 se E2 2E 110Hình 4.20 Dạng hình học và cách chia lưới có quy tắc của mang Cook 110

Hình 4.21 So sánh độ hội tụ năng lượng biến dạng giữa các phương pháp 111

Hình 4.22 Dạng hình học 3D của đầm Công SOmL ccececcessesseessessessessessesesseesesees 112Hình 4.23 Chia lưới có quy tắc và bat quy tắc của dam Công son 3D 113

Hình 4.24 So sánh đường cong chuyển vị đứng của điểm A giữa các phươngpháp - Án Q11 H11 HS T1 1H 11H11 HH KH HT Hy 114Hình 4.25 So sánh độ hội tu theo mat độ lưới giữa các phương pháp 115

Hình 4.26 Dang hình học của hình trụ tròn và các điều kiện biên 116

Hình 4.27 Chia lưới 32x16x2 của 1/4 hình trụ tròn 5-5555 <<c+52<ssc<+ss 116

Hình 4.28 So sánh hội tụ của chuyền vị điểm A giữa các phương pháp 117

Hình 4.29 Thời gian tính toán cần thiết khi sử sung phan tử CHH8 và HH20 118

Hình 4.30 Đường cong luc-chuyén vị được đánh giá với lưới các phan tử CHH832x16x2 cho ba sơ đồ tích phân: Tích phân Gauss, 3D-EM và EE 119Hình 4.31 Dạng hình học kết cau nhà cao tang chịu tải trọng xô ngang (đơn vị m)120

Hình 4.32 Chia lưới có quy tắc (a) và bat quy tắc (b) kết cau nhà cao tầng 120Hình 4.33 Sự phân bố của thành phần ứng suất pháp ơz; trong cau hình biến dạng bởi

phan tử CHH8: a) Lưới đều, b) Lưới không đều - 2-52 2+5z+Ez+xc>x2 121Hinh 4.34 Dang hinh hoc 3D tắm Cook và cách chia lưới -:-scx+cezxszees 122Hình 4.35 Chuyên vị đỉnh theo mật độ lưới giữa các phương pháp 123Hình 4.36 So sánh giữa ba phương pháp tích phân số theo hệ số Poisson's 124

MỞ ĐẦU1 Tính cấp thiết của đề tài.

Khi nhắc đến phương pháp số trong phân tích kỹ thuật thì không thé không nhắc

đến phương pháp Phan Tử Hữu Han (FEM) Với sự ra đời rất lâu và mức độ phủ sóng

hầu hết trong các phần mềm thương mai tính toán mô phỏng số thì có thấy thé thayrằng FEM có một vai trò rất quan trọng trọng tiến trình phát triển ngành cơ học tính

toán Phương pháp FEM được bat đầu từ đầu những năm 1940 bởi A.Hrennikoff [1]và R.Courant [2], xuất phát từ sự cần thiết cần thiết phải giải quyết các bài toán phức

tạp về lý thuyết đàn hôi, phân tích kết cấu trong xây dựng và kỹ thuật hàng không.

Mục tiêu chính của FEM là mô ta chỉ tiết về các vị trí uốn và xoăn của một cấu trúc,

chỉ ra ứng suất và sự phân bố chuyền vị Đến đầu những năm 1960, FEM chính thứcphát triển bởi sự mở rộng của JH Argyris với đồng nghiệp tại Đại học Stuttgart, RW

Clough với đồng nghiệp tại UC Berkeley, OC Zienkiewicz với đồng nghiệp Ernest

Hinton, Bruce Irons và những người khác tại Dai hoc Swansea, Philippe G Ciarlet

tai Đại hoc Paris 6 va Richard Gallagher cùng với các đồng nghiệp tại Đại họcCornell Một đóng góp toán học cơ bản khác cho FEM được thê hiện qua cuốn sách“Phân tích phương pháp phần tử hữu hạn” của Gilbert Strang và George Fix, đượcxuất ban lần đầu tiên vào năm 1973 [3] Ké từ đó, FEM đã được khái quát hóa dé môhình hóa số của các hệ thống vật lý trong nhiều ngành kỹ thuật bao gồm điện từ học,

truyền nhiệt và động lực học chất lỏng Dù phát triển vượt bậc nhưng bản thân FEM

vẫn tồn tại những khiếm khuyến có hữu, Nghiên cứu sinh (NCS) sẽ phân tích cácthiếu sót này của FEM trong chương 1 Do đó, việc cải tiễn FEM luôn là động lựcthúc đây các nhà nghiên cứu trong và ngoài nước quan tâm Đó cũng là lý do phươngpháp Phần tử hữu hạn nội suy kép (CFEM) ra đời và được NCS thực hiện trong luận

an nay.

2 Mục tiêu nghiên cứu.

- Phân tích các bài toán đàn hồi tuyén tính cơ bản bao gồm trường ứng suất biến

dạng, dao động riêng cho vật liệu đồng nhất và vật liệu biến thiên theo không gian

(FGM) bằng phương pháp CFEM

- Phân tích cơ học phá hủy các bài toán đàn hồi tuyến tính kết cầu FGM ở dạngphăng chịu tải trọng tĩnh và tải trọng động, bài toán lan truyền vết nứt bằng phương

pháp CFEM mo rộng (X-CFEM).

- Phân tích bài toán phi tuyến hình hoc cho kết cau 2D và 3D với vật liệu đànhồi tuyến tính và vật liệu không nén được (Vật liệu có hệ số Poisson’s gần bằng 0.5)

bằng phương pháp CFEM.

- Xây dựng mô tích phân số mới cho phần tử 3D, thay thế cho tích phân số

Gauss truyền thống với số điểm tích phân ít hơn.

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.

Luận án tập tập trung phân tích ứng xử cơ học của kết cau FGM ở dạng phẳngkhi chưa có vết nứt và khi xuất hiện vết nứt với trạng thái vật liệu là đàn hồi tuyếntính (định luật Hooke’s) và biến dang nhỏ (tuyến tính hình học) Đồng thời phân tíchphi tuyến hình học vật liệu đàn hồi tuyến tính cho bài toán 2D và 3D.

4 Phương pháp nghiên cứu.

Luận án tập trung vào việc phát triển thêm các phương pháp tiếp cận số hiện cónhư Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) và Phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng(XFEM), dựa trên kỹ thuật Thủ tục nội suy liên tiếp (CIP) Nó được chứng minhthông qua các ví dụ số và so sánh với đữ liệu tham khảo có sẵn, rằng các công thứcđược đề xuất có sự thể hiện trơn tru các trường ứng suất biến dạng, độ chính xác cao

hơn và hiệu qua thời gian cao hơn Ngoài ra, khả năng ứng dung của kỹ thuật CIP

được áp dụng cho phi tuyến hình học với sự hỗ trợ của mô hình tích phân mới.

Dựa trên cơ sở lý thuyết như trên, tác giả tiền hành xây dựng mã lệnh bằng phan

mềm Matlab dé phân tích các bai toán liên quan thuộc co học vật ran biến dạng.

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của nghiên cứu.

Luận án đề xuất phương pháp giải cho các bài toán cơ học phá hủy cho kết cầu2D FGM đàn hồi tuyến tính bằng sự kết hợp giữa phần tử hữu hạn tăng cường CIPvà các hàm làm giàu Cách tiếp cận hiện tại là sự cải tiến của phương pháp phần tửhữu han mở rộng (XFEM) [4] bằng cách sử dung CIP, với mục tiêu là độ chính xác

cao hơn và biéu diễn trơn tru các trường ứng suất và biến dạng.

Đồng thời, luận án cũng đề xuất phương pháp giải cho bài toán phi tuyến hình

học với kết câu 2D và 3D bằng sự kết hợp giữa phần tử hữu hạn tăng cường CIP và

mô hình tích phân mới “Element Mid-point” (EM) va “Element Mid-face” (EF) với

số điểm tích phân ít hơn mô hình tích phân Gauss nồi tiếng Cách tiếp cận với thủ tụcCIP không làm tăng số DOF nhưng vẫn đem lại hiệu quả cao trong khi FEM truyềnthông có bậc thấp không mang lại được trừ khi dùng phần tử bậc cao Trong khi mô

hình tích phân mới thì giảm chi phí thời gian tính toán.

6 Cau trúc của luận án.

Luận án gồm phần mở đầu, bốn chương, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục.

Mở đầu: trình bày tính cấp thiết của đề tài, đối tượng, phạm vi và phương

pháp nghiên cứu của luận án.

Chương 1: Cung cấp một cái nhìn tổng quan về phương pháp phần tử hữu hạn(FEM) và các bài toán của nó trong giải phương trình đạo hàm riêng Những thiếusót của FEM là động lực dé phát trién các phương pháp thay thế.

Chương 2: Trình bày cách xây dựng thủ tục CIP cho bài toán 2D và 3D, các

ví dụ số về cơ học vật rắn biến dạng đàn hồi tuyến tính bao gồm phân tích tĩnh, động

tính toán cũng được giới thiệu trong chương này.

Kết luận và kiến nghị: Trình bày các kết quả chính, những đóng góp mới củaluận án và các kiến nghị khác.

Tài liệu tham khảo.

Phụ lục.

Nội dung cụ thé của các chương sẽ được trình bày dưới đây.

CHƯƠNG 1

TONG QUAN VE PHƯƠNG PHÁP CFEM

1.1 Tổng quan về cơ học vật rắn biến dạng.

Cơ học vật rắn biến dạng là một trong những ngành quan trọng của khoa họcvật lý liên quan đến sự biến dang và chuyên động của môi trường rắn liên tục dưới

tác dụng của tải trọng bên ngoài như lực, chuyền vị và gia tốc dẫn đến lực quán tính

trong vật thể, sự thay đôi nhiệt, tương tác hóa học, lực điện từ, và nhiều hơn thế.

Trong bức tranh chung của cơ học vật ran biến dang [5], [6], lý thuyết cơ bản nói

chung được xây dựng dựa trên hai nền tảng: (1) các định luật chuyên động cơ bản môtả trạng thái cân bang của một vật thê liên tục dưới tác dụng của tải trọng bên ngoàivà nội lực bên trong vật thê Chúng có giá tri đối với tất cả các vật thé ran liên tục;

(2) ly thuyét cấu thành mô tả đặc tinh cơ hoc của vật liệu được sử dụng dé chế tạo

một vật thê răn đồng nhất Các phương trình kết quả chứa một số thông số vật liệu có

thé được xác định thông qua thực nghiệm Những thành tựu của ngành Cơ học vậtrắn biến dạng được ứng dụng rộng rãi trong nhiều ngành bao gồm ô tô, tàu thủy, nănglượng, hàng không vũ trụ, xây dựng.v.v Thiết kế và nâng cao chất lượng của sảnphẩm là một bài toán quan trọng mà các ứng dung kỹ thuật như vậy cần hướng đến.

Trong khi đó, cơ học vật rắn biến dạng vật liệu composite ngày càng thu hút

được nhiều sự chú ý trong ngành công nghiệp do khi xét đến tỷ lệ giữa khả năng chịu

lực trên trọng lượng bản thân cao hơn so với các vật liệu đồng nhất Tuy nhiên, các

mặt tiếp xúc giữa các lớp vật liệu là nét đặc trưng trong composite dễ bị hư hại nói

chung hoặc sự phân tách liên kết nói riêng do sự tập trung/ngừng ứng suất cao tại các

giao diện Mặt khác, vật liệu được phân cấp theo chức năng (FGM) có thé được phân

loại như một loại hỗn hợp đặc biệt, trong đó các đặc tính cơ học thay đôi liên tục theo

các tọa độ không gian FGM thực sự là vật liệu nội sinh được tạo thành từ hai hoặc

nhiều thành phần Dưới thiết kế và chế tạo cần thận, phần thé tích của các kết cấu

thay đôi dần dần theo ít nhất một chiều, gây ra sự thay đôi dần dần của các đặc tính

cơ học [7] Quan trọng hơn, sự văng mặt của các bề mặt phân cách vật liệu trong

FGM là có lợi Ngày nay, FGM đã được ap dụng trong các lĩnh vực kỹ thuật khác

nhau, ví dụ: hàng không vũ trụ, năng lượng hạt nhân, vật liệu sinh học, điện tử và

quang học, v.v.[8] Ở Việt Nam, việc nghiên cứu chế tạo và ứng dụng vật liệu FGM

vào các ngành kỹ thuật được phát triển mạnh mẽ bởi các nhóm nghiên cứu mạnh

được dẫn đầu bởi GS.TSKH Nguyễn Đình Đức Bằng công cụ giải tích, nhóm đã đisâu phân tích hầu hết các bài toán liên quan đến tắm vỏ, có thê tìm thấy trong [9, 10].Mô hình hóa và mô phỏng số đã trở thành một công cụ không thê thiếu giúp cáckỹ sư và nhà thiết kế đưa ra quyết định trong quá trình thiết kế kỹ thuật, nhằm nâng caochất lượng và độ bền của sản phẩm Các phân tích tuyến tính thường chi dựa vào cấu

hình không biến dang của kết cấu dé dự đoán cau hình biến dạng, với giả thiết biến

dạng và chuyên vị là nhỏ Tuy nhiên, trong hầu hết các ứng dụng ngành kỹ thuật, sự

thay đôi về mặt hình học của các miền bài toán rat quan trọng va do đó không thé không

kế đến, ví dụ như phân tích độ ồn định của kết câu có độ mảnh lớn [11], 12] hoặc trongquá trình đúc kim loại [13] Với những bài toán có tính chất như vậy, trong quá trìnhtính toán và phân tích, thuộc tính phi tuyến hình học phải được thực hiện khi kết cấu

có biến dạng và chuyên vị lớn [14] R6 ràng, các bài toán hình học phi tuyến liên tục

trở thành một chủ đề nghiên cứu quan trọng trong cộng đồng các nhà khoa học.1.2 Phuong pháp Phần tử hữu hạn và các thuộc tính của nó.

Các bài toán kỹ thuật thường được mô tả băng một hoặc một tập hợp các phươngtrình vi phân riêng, năm bat sự thay đổi của các biến quan tâm cả về không gian và thờigian, chang hạn như cân bằng của phương trình động lượng trong cơ học vật rắn,phương trình Navier-Stokes trong động lực học chất lỏng, bảo toàn năng lượng trong

quá trình truyền nhiệt, phương trình Maxwell trong điện động lực học, v.v Băng cách

giải các phương trình này, các kỹ sư có thê trích xuất thông tin quan trọng Ví dụ, sựphân bồ chuyên vị và trường ứng suất biến dạng có thể nhận được từ phương trình nănglượng biến dang cực tiểu Dựa trên những kiến thức đó, các kỹ sư có thé phân tích vàđưa ra quyết định về những cải tiễn có thé có Tuy nhiên, các giải pháp hiện có vanguồn mở bị giới hạn trong một số trường hợp lý tưởng và đơn giản Trong khi các bàitoán gặp phải trong các ứng dụng kỹ thuật là thách thức hơn, thường liên quan đến hình

học và điều kiện biên phức tạp Do đó, việc tìm lời giải bằng phương pháp giải tích là

rất khó và tốn nhiều thời gian Thay vào đó, các phương pháp số sẽ phù hợp hơn cho

điều kiện thực tế.

Mục tiêu của phương pháp số là không đi tìm lời giải chính xác mà thay vào đó

là lời giải xắp xi gần đúng Lời giải “đúng” được xấp xi từ một tập các giá tri tính toán

có quan hệ tuyến tính Như đã nhắc đến trong mục tính cấp thiết của đề tài, phươngpháp số phô biến nhất hiện này chính là phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) Ý tưởngchính của FEM là chia miền phân tích thành những miền con rời rac không chồng chéovới tên gọi là phần tử Hình 1.1 như là một minh họa cho việc áp dụng phần tử hữu hạntronng cơ học vật rắn biến dạng với vật liệu đồng nhất cũng như FGM có vết nứt trongkết cấu Trong thực tế, một phần tử được xây dựng với các hình dạng hình học đơngiản, ví dụ như một đoạn thăng (các bài toán một chiều), tam giác và tứ giác (các bài

toán hai chiều, 2D), tứ diện và lục diện (các bài toán hai chiều, 3D) Phương trình đạo

hàm riêng được yêu cầu phải thỏa mãn trong mỗi phan tử Các đỉnh của các phan tử

được gọi là các nút Các An số, tức là các giá trị sẽ được sử dụng để ước lượng nghiệm

tổng thể, được liên kết với các nút và được đặt tên theo bậc tự do (DOF) Số DOF trênmỗi nút thay đổi tùy thuộc vào bài toán cần phân tích Đối với bài toán cơ vật ran danhồi tuyến tinh 2D thì mỗi nút sẽ là hai DOF, đó là chuyền vị theo phương đứng vàphương ngang Tương tự, đối với bài toán 3D thì sẽ là ba DOF, tương ứng với chuyển

vị theo phương x, phương y và phương z.

Rõ ràng, các giải pháp số luôn được mong đợi sẽ hội tụ với lời giải chính xác khi

số nút tăng hay nói các khác là số phan tử tăng bằng phép tính xấp xi gần đúng Một vi

dụ đơn giản về sự hội tụ năng lượng biến dạng theo kích thước của lưới phần tử, một

thang đo nghịch đảo với số lượng phần tử, được mô tả trong hình 1.2 Năng lượng biếndạng thu được từ giải pháp số là khớp với lời giải chính xác khi kích thước lưới càng

nhỏ, tương ứng với số lượng phần tử tăng.

0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2

Kích thước lưới

Hình 1.2 Độ hội tụ năng lượng biến dạng theo kích thước lưới phan tử.

Cần nhắc lại rằng, FEM ra đời từ những năm 50 - 60 của thế kỷ 20, thì cho đếnnay đã trở thành công cụ số phổ biến nhất trong các ngành công nghiệp dé giải cácphương trình đạo hàm riêng Phương pháp này được hiện diện trong các phần mềm

thương mại khác nhau như ANSYS, ABAQUS, COMSOL, NASTRAN, DIANA, v.v.

cũng như các phần mềm mã nguồn mở như FEAP, OOFEM, CalculiX, FeniCS, Mã

lệnh Aster, v.v Song song với đó là một lượng lớn các trường Đại hoc va Viện nghiên

cứu trên khắp thé giới cũng phát triển các gói FEM nội bộ của họ dé phục vụ cho việcgiảng day va làm nghiên cứu Sở di FEM trở nên phố biến như vậy mà không có lý do.Bởi vì trên thực tế, FEM sở hữu nhiều ưu điểm: ổn định, don giản, tính toán nhanh và

độ chính xác chấp nhận được Tuy nhiên, phương pháp này vẫn còn những thiếu sót cố

hữu, đã được chỉ ra trong các tài liệu hiện có [1, 15] như sau:

- Lưới phần tử hữu hạn là điều kiện tiên quyết của phương pháp Điều này là khó

khăn cho các bài toán cần được cập nhập lại lưới sau mỗi bước giải của bài toán.Bài toán này thường gặp trong các bài toán mô phỏng lan truyền vết nứt và tươngtác của vật liệu nhiều pha như lỏng — rắn, sự điều chỉnh lưới phải được cập nhập

cho phù hợp.

- Các phần tử phải thỏa mãn các điều kiện hình học nhất định Nếu các phần tử

bị bóp méo, ví dụ: một phần tử tứ giác bốn nút mat đi độ lồi của nó do biến dạnglớn, thì kết quả thu được từ phương pháp số có sai số tăng lên đáng kể, không tin

- Các trường đạo hàm thu được từ FEM, như trường ứng suất và biến dạng trongcơ vật rắn, thì không liên tục về mặt vật lý tại các nút của phần tử.

- Các hiện tượng bị khóa của phan tử, có thê ké đến như khóa thé tích đối với các

vật liệu gần như không nén được (hệ số Poisson’s tiễn đến 0.5), hoặc khóa cắtthường được tim thấy trong các kết cau tắm/vỏ chịu uốn.

1.3 Xu thế phát triển của các phương pháp số.

Những thiếu sót của FEM luôn là động lực thúc đây các nhà nghiên cứu phát triểnra các phương pháp số mới Xu hướng thứ nhất là phát triển một phương pháp số mớihoàn toàn so với FEM Đầu tiên có thê kế đến phương pháp dang hình hoc (IGA) [16]với các hàm cơ sở nổi tiếng trong tính toán hình học là hàm B-spline và hàm NURBS

như là hàm dang đề xấp xỉ các trường biến cần tìm Hơn hết, hàm dạng trong phương

pháp IGA cho phép kiểm soát tốt bậc của hàm dạng cũng như tính liên tục giữa các

phần tử Do đó, IGA đã được nghiên cứu rộng rãi và ứng dụng trong nhiều lĩnh vực

như phân tích tắm/vỏ [15], [17], [18], phân tích dòng chảy không bão hòa [19], [20],phân tích ứng xử đàn — déo của vật liệu [21], [22] và còn nhiều lĩnh vực khác Nhìn

chung, phương pháp này với những yêu cau tính toán phức tạp và gặp khó khăn trongviệc xử lý các điều kiện biên do thiếu thuộc tính Kronecker-delta Do đó, để thực hiệnđược phương pháp IGA thì cần phải thêm các kỹ thuật bổ sung như hệ số Lagrangehoặc phương pháp phạt rất phức tạp Một nhóm phương pháp cũng rất tiềm năng và

dang phát triển đó chính là họ phương pháp không lưới, có thé ké đến như phương pháp

Element Free Galerkin (EFG) [23], [24], phương pháp Reproducing Kernel ParticleMethod (RKPM) [25], [26] và phương pháp nội suy hướng tâm (RPIM) [27], [28].

Một trong những ưu điểm của họ phương pháp không lưới là bên trong miền bài toán

cũng như trên biên được biểu diễn thông qua một tập hợp các nút rời rac Phần tử làkhái niệm không được yêu cầu trong phương pháp không lưới, do đó có thê trách

được những rắc rối do lưới phần tử gây ra Tuy nhiên, việc xây dựng hàm dạng khônglưới thì phụ thuộc vào một vài tham số do người dùng tự lựa chọn Các tham số này

có sự ảnh hưởng đến sự chính xác của kết quả thu được nhưng không có một tiêu chínhất định để căn cứ lựa chọn mà chỉ phụ thuộc vào kinh nghiệm của người dùng.Ngoài ra, các bộ tham số khác nhau phải được chọn cho các dạng bài toán khác nhau,điều nay không thuận lợi trong các ứng dụng thực tế Hơn hết, cũng giống như phươngpháp IGA, một số lượng lớn các phương pháp không lưới hiện tại không đáp ứng

được thuộc tinh Kronecker-delta Tiếp đến, một phương pháp số nỗi tiếng khác là

Phương pháp phần tử biên (BEM) [29], 30], tương đối hiệu quả về thời gian vì chỉcần sự tùy biến trên các biên phần tử Tuy nhiên, việc trích xuất đữ liệu tại các điểmbên trong miền bài toán thường không phải là một nhiệm vu dé dang Quan trọng honhết, BEM yêu cau cho các giải pháp cơ bản, điều này giới hạn ứng dụng của phươngpháp trong các bài toán phức tạp trong thực tế.

Một hướng tiếp cận thứ hai được đề cập trong luận án này là cải tiến từ chínhPhương pháp Phần tử hữu hạn nhằm phát huy tối đa điểm mạnh của FEM và giảm điđiểm yếu của nó Một trong những đóng góp đầu tiên theo hướng này là Phương phápPhần tử hữu hạn được làm mịn [31] Các giải pháp số này được làm mịn bằng cáchchỉnh sửa trường đạo hàm (cũng có thé gọi là trường biến dang) Ý tưởng của phươngpháp Phan tử hữu hạn làm mịn có thé chia thành bốn nhóm chính như sau: cell-based(làm mịn phan tử) [32, 33], node-based (làm mịn trên nút) [34, 35], edge-based (làm

mịn trên cạnh) [36, 37], face-based (làm mịn trên mặt) [38, 39] Tất cả các biến thể

của kỹ thuật làm mịn được sử dụng trong phương pháp FEM được làm trơn đều liênquan đến điểm mở rộng (không phải là trường nút ban đầu).

Một phát triển gần đây, cũng là nội đung chính của luận án, đó là thủ tục nộisuy kép (CIP) đã được giới thiệu cho phần tử tam giác và tứ giác [25][26] Thủ tụcCIP sở hữu nhiều tính năng mong muốn khi cải tiến FEM, chăng hạn như độ chínhxác cao hơn, trường đạo hàm được làm mịn và có thê lồng ghép vào bất kỳ mã FEMnào hiện có Không giống như phương pháp FEM được làm mịn (SFEM), thủ tục CIPcan thiệp trực tiếp vào hàm dạng của phan tử hữu hạn truyền thống bằng các kỹ thuậtliên quan đến đạo hàm trung bình của nút phần tử Kỹ thuật tính toán không yêu cầu

các điểm mở rộng như SFEM Điều nãy dẫn đến bậc tự do không tăng so với FEM

truyền thống khi cùng một mức lưới ban đầu Hơn hết, thuộc tính Kronecker-deltatrong FEM truyền thống van được giữ nguyên trong CIP Với tat cả những tinh chấtcó được như trên, thủ tục CIP đáng để nghiên cứu và nhiều hứa hẹn phát triển trong

tương lai.

1.4 Lịch sử hình thành và phát triển của phương pháp CFEM.

- Những nghiên cứu của phương pháp CFEM khi mới bắt đầu của thủ tục CIPđược giới thiệu trong các tạp chí thì chỉ đành cho các phan tử tám giác 3 nút 2D [25]với các phân tích tĩnh cho bài toán đàn hồi tuyến tính và được phát triển bởi nhóm tác

giả C.Zheng, được công bố vào năm 2010 Phương pháp lúc này có tên gọi là TFEM

— nghĩa là phương pháp phan tử hữu hạn có hàm dang được nội suy hai lần Sau đó,

nhóm tác giả X.Peng [40] cũng với phần tử tam giác 3 nút và áp dụng phân tích nứtbài toán đàn hồi tuyến tính trong miền 2D, kết quả được công bố vào năm 2017.

- Năm 2013, NCS khi đó đang hoàn thành luận văn thạc sĩ, có cơ hội tiếp cận

được phương pháp CFEM, nhận thấy được tiềm năng to lớn của phương pháp nên đã

chủ động nghiên cứu và phát triển đưới sự hướng dẫn của PGS.TS Bùi Quốc Tính.

Sản phẩm đầu tiên là một bài báo được công bố vào năm 2014 [26], phân tích hầu hết

các bài toán cơ bản của bai toán Cơ vật rắn với vật liệu đồng nhất đàn hồi tuyến tính2D Phan tử sử dung và được phát triển boi nhóm là phan tử tứ giác 4 nút nội suy kép(CQ4) Thuật ngữ thủ tục CIP cũng bắt đầu được sử dụng từ bài báo này [26], CIP

được viết tắt từ ngôn ngữ tiếng anh “Consecutive Interpolation Procedure”, nghĩa là

thủ tục nội suy kép Kỹ thuật CIP được sử dụng trong quá trình xây dựng các côngthức toán học của hàm dạng.

- Năm 2014, NCS bắt đầu mở rộng hướng nghiên cứu áp dụng phương pháp

sang các bai toán mới như bài toán dao động tự do, dao động cưỡng bức cho vật liệu

đồng nhất và vật liệu áp điện Tuy gặp rất nhiều khó khăn nhưng cuối cùng kết quảlà một bài báo cũng được công bố vào năm 2016 [27].

- Cũng trong khoảng thời gian năm 2014, bài toán về Cơ học phá hủy cũng đượcNCS quan tâm và nghiên cứu Đó là sự kết hợp giữa NCS và người đồng nghiệp

Zuoyi Kang, là một NCS của PGS.TS Bùi Quốc Tính tại Viện công nghệ Tokyo NhậtBản Các kết quả rất khả quan thu được từ phương pháp CFEM, một bài báo công bố

trên tạp chí Acta Mechanica [28] về phân tích kết cau 2D có vết nứt dưới tác dungcủa tải tĩnh, bai toán đàn hồi tuyến tinh 2D Đó là đầu tiên có sự kết hợp giữa hamdạng CQ4 và các kỹ thuật làm giàu dé mô ta đặc trưng trường biến dạng và ứng suấttrong vùng có vết nứt, bài báo được công bố vào năm 2015 Tiếp đến là một công bốvề bài toán động có vét nứt cho cả vật liệu đồng nhất đăng hướng và tổng hợp di

hướng, kết quả được công bố năm 2017 trên tạp chí Composite Structures [41].

- Trong thời gian luận án này được triển khai, từ năm 2017, tác giả nhận thaythủ tục CIP được triển khai cho các bài toán cơ nhiệt cho phần tử 2D và 3D [40, 41],được phát triển bởi tác giả Nguyễn Ngọc Minh, công tác tại trường Đại học Bách

Khoa Tp.HCM dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Bùi Quốc Tính.

- Đồng thời trong năm 2019, một cách tiếp cận khác với thủ tục CIP cho phần

tử tắm/vỏ sử dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất phân tích ứng xử của tam [44].- Nhìn chung, thủ tục CIP đã được xây dựng hau hết cho các phan tử 2D va 3D

nhưng vẫn còn mang tính riêng rẻ cho từng phần tử, cho tới thời điểm bắt đầu luậnán, đó là một điểm trừ của phương pháp.

- Với sự phát triển bền vững của FEM cùng với tính ưu việc của thủ tục CIP.Phương pháp CFEM hứa hẹn là một phương pháp phô biến trong tương lai Do đó,vào năm 2017, tác giả quyết định đăng ký làm NCS tại trường Đại học Công Nghệ -

Đại học Quốc Gia Hà Nội dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH Nguyễn Đình Đức và

PGS.TS Bùi Quốc Tính Chủ đề hướng đến về vật liệu FGM thông thường và bị nứt,phân tích phi tuyến hình học vật liệu đồng nhất cho cả bài toán 2D và 3D Kết quảnghiên cứu như là một sự hoàn thiện cho sự phổ biến của phương pháp CFEM.

CHƯƠNG 2

THỦ TỤC NỘI SUY KÉP CHO CÁC BÀI TOÁN 2D VÀ 3D

Chương này được viết dựa trên công bố từ 1 đến 4 trong danh mục Các công

trình khoa học có liên quan đên luận án.

2.1 Giới thiệu.

Cho đến nay, Phương pháp Phần tử hữu hạn (FEM) đã phát triển mạnh mẽ vàgiải quyết được hầu hết các bài toán kỹ thuật trong thực tiễn Tuy nhiên, như đượcmô tả trong chương 1, FEM vẫn còn những thiếu sót cần cải tiến để hoàn thiện hơn,

đáp ứng được sự phát triển ngành Cơ kỹ thuật cũng như lĩnh vực Cơ học tính toán.

Phương pháp Phần tử hữu hạn nội suy kép (CFEM) dựa hoàn toàn trên nền

tảng FEM nên thừa hưởng được toàn bộ những đặc tính ưu việt của phương pháp.

Bang thủ tục nôi suy kép (CIP), hàm dang xấp xi trong FEM được xây dung lại nhằm

khắc phục được sự bat liên tục của trường đạo hàm, ở đây là trường ứng suất và biếndạng trong môi trường vật lý Khác với các phương pháp khác cũng cải tiến từ FEM,

CFEM không làm tăng số bậc tự do của bài toán mà vẫn giữ như FEM truyền thống.Trong chương này, tác giả trình bay cách xây dựng phan tử hữu hạn tam giácnội suy kép 3 nút (CT3) và phần tử hữu hạn tứ giác nội suy kép 4 nút (CQ4) cho miềnbài toán 2D Tương tự cho miền 3D, phần tử hữu hạn tứ diện nội suy kép 4 nút (CTH4)và phan tử hữu hạn hình hộp nội suy kép 8 nút (CHH8) cũng được giới thiệu Một

vài ví dụ số trong Cơ học vật rắn biến dạng được thực hiện dé chứng minh hiệu quacủa phương pháp nghiên cứu Tất ca các bài toán được viết mã lệnh bằng chương

trình Matlab.

2.2 Thủ tục nội suy kép CIP.

Xét một miền vật thể Q được bao bọc bởi biên T và được chia thành nhiềumiền con Qe, mỗi miền con thường được gọi là một phan tử Dinh của mỗi phan tửđược gọi là nút Một điểm x thuộc phan tử được nội suy thông qua ham u(x) với thủ

tục CIP như sau [23]-[26], [39, 41]:

u(x) = }37-¡ R(x) 0, = RO, (2.1)

với ø là tông số nut, a, là giá trị ham u(x) tại nút I, và cudi xùng R,(x) là hàm dạngCIP tại nút 7 Một điểm khác biệt của CFEM so với FEM là miễn nội suy luôn lớnhơn Vecto R chứa các hàm dạng được biểu diễn tổng quát như sau:

RO) = Xï-¡(@,GNỈ + $,„@)Ñš + GiyCONS! + @„GÓÑ?), (2.2)

trong đó NỈ! chính là vecto các ham dạng Lagrange của FEM thông thường tai nút I.

NỈ NU NU! lần lượt là các đạo ham trung bình của hàm dang Lagrange tại nút 7

theo các phương x, y, và z tương ứng.

I1 = Sees, (we NU), (2.3)

Nu lel lạ giá trị dao hàm của hàm dạng NỈ! tai nút 7 được tinh theo phần tử thứ e, we

là trọng số và được tính bởi

We = re S; (2.4)

S7 là tập hop các phan tử có chung nut I và A là một đại lượng đặc trưng cho kích

thước phan tử Đối với phan tử 2D thì A được tính là diện tích còn phan tử 3D thì là

thé tích @ là chỉ số phần tử va A; là diện tích của phan tử tương ứng trong tập hợp

các phần tử thuộc Sy.

Thêm nữa, các hàm bồ sung ¢, dx, ¢y, di: trong phương trình (2.2) là cốt lõicủa phương pháp CFEM và được viết tổng quát như sau:

pi(x) = Nị + NˆŒ¡ — Ni) — N,Œ; — Nộ), (2.5)

biel) = XS, jai) — xi) (NÊN + ENN (Br —M— N)) 6)

Ở đây, N là các ham dạng Lagrange Các đại lượng 5) va >› được định nghĩa bởi

>¡(x) = UR, Ni, và 5;(x) = Mi NZ (2.7)

ne là số nút của phan tử e, i là chi số nut (i = 1, 2, 3, n) Cac ham gi, gi: dé dàng

nhận được bằng cách thay thế tọa độ x trong phương trình (6) bởi tọa độ y và tọa độ

z Ngoài ra, dé duy trì thuộc tính Kronecker-delta, các hàm phụ ở; dix, diy và giz trongphương trình (2.2) phải được được xác định cho từng loại phần tử và phải thỏa mãn

các điêu kiện sau.

ú(x,)=ổ, 6,ø,)=0, 6,ø,)=0, đ,(x,)=0,

Px(X)=0, 6,,(x,)=ð,, 6,,(x,)=0, ó,,(x,)=0,0,(x,)=0, ó,,(x,)=0, ó,,(x,)=ở;,, đ,,(x,)=0,0.(x,)=0, 6,,(x,)=0, ó,,(x,)=0, ó,,(,)=ở;,

2.3 Thú tục CIP cho phần tử tam giác 3 nút (CT3) và tứ giác 4 nút (CQ4).2.3.1 Phần tử tam giác hữu hạn nội suy kép CT3.

Hàm hỗ trợ tại nút i của phần tử CT3 được giới thiệu trong [25] và được viết lại

như bên dưới

ó =N,+ NN, + NÊN, — N}ẠN,— NẠN,, (2.9)

4.=(xi—x)[ NỀN, +5 NM, HC) NÊN, HENMAN, | (2.10)

l 1

$y =(9,=w/|[ NÊN, xế INN, |0 =y/)[ NÊN, vệ NN) (2.11)

trong đó i, j, & là các chỉ số lần lượt của nút phan tử Can lưu ý rằng ham gj, có được

đơn giản bằng cách thay thế tọa độ x trong phương trình (2.10) bằng tọa độ y Các hàm

phụ trợ khác liên quan đến các nút cục bộ jvak có thé được tính toán băng một hoánvị tuần hoàn của các chỉ số i, jvak.

2.3.2 Phan tử tứ giác hữu han nội suy kép CQ4.k(&.¥,)

* Điểm cần nội suy x

-@ Nút thuộc miên nội suy điêm x

Hình 2.2 minh họa ứng dụng của CIP trong một lưới đồng nhất chung của cácphan tử tứ giác bốn cạnh Bốn tập Si, 5, 5, Sin lần lượt là tập các phan tử liên kết với

nhau tại nút 7, 7, &, m Quan sat thấy trong Hình 2.2, dé tinh gan đúng gia tri của một

hàm tùy ý u tại điểm quan tâm x, cần có thông tin của tat cả các nút trong bốn tập S;,5, Si, Sm, thay vì chỉ bốn nút i, 7, &, m như trong FEM Nói cách khác, miền hỗ trợ

cho điểm x trong trường hợp tiếp cận CIP nói chung lớn hơn miền hỗ trợ trong FEM

tiêu chuẩn.

Hàm dạng của phần tử CQ4 khi được tính theo phương trình (2.2) với các hàm

hỗ trợ mô tả như trên được minh họa trong Hình 2.3, tương ứng là đạo hàm bậc nhấtcủa nó thì được biểu diễn trong Hình 2.4.

0 L :

2 `2 4

Hình 2.3 Minh họa ham dạng phần tử CQ4.

Hình 2.4 Minh họa đạo hàm bậc nhất hàm dạng phần tử CO4.

2.3.3 Ví dụ số.

2.3.3.1 Dam công son chịu lực cắt.

Đề chứng minh ứng dụng của CIP trong phân tích tĩnh kết cầu 2D, một dam

công son với chiều day là một đơn vi chịu tải trọng lực cắt tiếp tuyến tại đầu tự đo có

dạng đường parabol được khảo sát, xem Hình 2.5 Bai toán này cũng được phân tích

từ các nghiên cứu trước trong [26] Trong ví dụ này, có sự so sánh giữa bốn dạngphần tử được nghiên cứu: phần tử tam giác ba nút (T3), phần tử tứ giác bốn (Q4) vàphần tử hữu hạn nội suy kép bao gồm CT3 và CQ4.

Hình 2.5 Dạng hình học và điều kiện biên của dam công son chịu uốn.

Lời giải chính xác của bài toán nghiên cứu cho trường hợp ứng suất phẳng

được giới thiệu bởi [47]

Trong mô hình SỐ, bốn mức lưới có quy tắc được thực hiện: 12x3 (52 nút — 104

bậc tự do), 24x6 (175 nút ), 48x12 (637 nút), 96x24 (2425 nut), tương ứng với kích

thước của phần tử h=2, 1, 0.5, 0.25 Đối với phần tử tam giác, lưới được chia bằng

cách chia đôi phan tử tứ giác Lưới chia ở dạng thô (12*3) được minh họa trong Hình2.6 Mỗi nút sẽ bao gồm hai bậc tự do tương ứng với chuyền vị theo phương đứng và

theo phương ngang.

Hình 2.6 Lưới tứ giác và lưới tam giác (12 x3).

Nghiên cứu sự hội tụ là một phần để so sánh hiệu quả làm việc của bốn loạiphần tử T3, Q4, CT3 và CQ4 Năng lượng đàn hồi được tính toán trên cả miền bàitoán cho bốn cấp độ lưới và cho cả bốn dạng phần tử Sai số năng lượng đàn hồi giữatính toán số và kết quả chính xác (kết quả tham khảo) được định nghĩa như bên dưới

Error(E) = \J2Íe-5x)»Íø—øu,]do (2.20)

Quan sát thấy trong Hình 2.7 cho thấy răng năng lượng đàn hồi thu được từ tất

cả các loại phần tử càng gần với giá trị tham khảo khi kích thước mắt lưới nhỏ hơn

(tức là mắt lưới mịn hơn) Cả hai phần tử được tăng cường thủ tục CIP, CT3 và CQ4,đều có hiệu quả tốt hơn so với các phần tử FEM truyền thống, T3 và Q4 Hơn nữa,kết quả do CQ4 cung cấp chính xác hơn CT3 Sự phân bố của thành phan ứng suấtpháp tuyến ơxx được thé hiện trong Hình 2.8 cho trường hợp mức lưới (24x6) Dữ liệu

hình ảnh chỉ ra rằng các trường ứng suất được tính toán bởi các phần tử tăng cường

CIP là mượt mà, trong khi các trường bằng phương pháp FEM truyền thống là khôngliên tục về mặt vật lý tại nút.

Log, ,(ErrorE)

0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4Log j9(h)

Hình 2.7 Độ hội tụ của nang lượng biến dạng theo kích thước lưới.

Hình 2.8 Trường ứng suất 6 được tính bởi bốn kiểu phan tử: CO4 (a), O4 (b), CT3

(c), T3 (d).

So sánh thời gian hoàn thành khi chạy mã lệnh phần tử CQ4 và phần tử Q4 với

cùng điều kiện là như nhau và sai số về năng lượng thu được khi so sánh với lời giải

chính xác được trình bay trong Bảng 2.1, bài toán này chưa được đề cập trong [25],[26] Điều hiển nhiên là khi cùng một mức lưới thì thời gian yêu cầu tính toán vớiphần tử CQ4 là cao hơn phần tử Q4 do những yêu cầu xây dựng hàm dạng dựa trênthủ tục CIP Tuy nhiên, do mức độ hội tụ của phần tử CQ4 là cao hơn phần tử Q4,xem Hình 2.7, nên khi yêu cầu cùng mức sai số thì phần tử CQ4 sẽ tiết kiệm thời gian

hon là phan tử Q4 Thật vậy, có thé thay rằng khi yêu cầu sai số 0.3% thì phan tử

CQ4 chì cần 2.68s để hoàn thành với mức lưới 24x6 trong khi phần tử Q4 phải cần

5.58s với mức lưới 96x24.

2.3.3.2 Thanh kết cấu phức tạp FGM chịu kéo

Bài toán nghiên cứu được trình bày như trong Hình 2.9, đây là một ví dụ đã

được thực hiện bởi Kim Jeong-Ho va Paulino GH bởi phan tử Q8 [48] Phan tử Q8là phần tử hửu hạn tứ giác bậc cao với 8 nút cho mỗi phan tử, dé dang tìm thấy trong

[48] Dạng hình học của thanh kết cau phức FGM được thê hiện trên Hình 2.9 với tải

trọng là lực kéo được áp vào đầu bên phải Đồng thời, trạng thái ứng suất phăng được

xét trong ví dụ này Do tính đối xứng, một phần hai mô hình được xem xét và cácđiều kiện biên được minh họa trong Hình 2.10a., Hình 2.10b biểu thị lưới phần tửhữu hạn cho phần đối xứng của thanh liên kết với 1000 phần tử tứ giác của bốn nút(Q4 hoặc CQ4) Thông số tính chất vật liệu bao gồm mô đun đàn hồi Young và hệ sốPoisson’s là các hàm của tọa độ đề các theo phương y như dưới đây

E0) = E,e”

vớ) =v„ef” ee)

Hình 2.9 Dạng hình học của thanh FGM phức tap.

Trong phương trình (2.21) và (2.22), Eo = 375GPa va vo = 0,14 là thuộc tinh

đàn hồi của vật liệu TiB (titan monoboride), tương tự E¡ = 107GPa và vị = 0,34 là

của vật liệu Ti (titan tinh khiết thương mai).

Hình 2.11 Ung suất om cho trường hop vật liệu dong nhất: (a) Q4, (b) CO4, (c) O8.

Hình 2.12 Ứng suất om cho trường hợp vật liệu FGM: (a) Q4, (b) CO4, (c) O8.

Một trong những ưu điểm nổi bậc của phương pháp trong luận án này là khả

năng minh họa được trường ứng suất một cách liên tục mà không cần kỹ thuật phứctạp như FEM truyền thống Thật vậy, Hình 2.11 (a, b, c) cho thay trường ứng suất

Ox cho thanh kết câu phức tap với vật liệu đồng nhất (TiB hoặc Ti) và hình 2.12(a,b,c) thé hiện trường ứng suất oi cho thanh FGM (TiB/Ti) với ca ba dạng phần tử

Q4, CQ4 và phần tử Q8 Theo thứ tự đó, rõ ràng là kết quả phần tử CQ4 trơn mịn như

phần tử Q8 và tất nhiên là hơn kết quả thu được từ phần tử Q4.

Các giá trị ứng suất chính (trung bình nút) được tóm tắt trong Bảng 2.2 Trongtrường hợp vật liệu đồng nhất, ưu thế của phần tử CQ4 so với phần tử Q4 trong các

công trình trước đây của chúng tôi về cơ học đàn hồi tuyến tính [26] và không tự

nhiên khi sai số của CQ4 là nhỏ hơn Q4, hiển thị Bảng 2.2 Và hơn hết, ưu thế củaphần tử CQ4 so với phần tử Q4 càng mạnh mẽ trong trường hợp FGM khi sai số thuđược từ phan tử CQ4 là nhỏ (0.07%) trong khi phan tử Q4 thì vẫn còn lớn (1.73%).Điều đó cho thay mô hình nghiên cứu là phù hợp cho vật liệu FGM Ứng suất lớnnhất trong trường hợp vật liệu FGM có giá trị nhỏ hơn ứng suất lớn nhất trong vật

liệu đồng chất Điều này là do vật liệu FGM có sự phân phối lại ứng suất Mặt khác,

vi tri ứng suất cực dai cũng có sự khác biệt, vật liệu FGM thì tại điểm B’ trong khivật liệu đồng nhất là tại điểm A’ Về mặt kỹ thuật, điều này rất tốt cho việc bảo trìkết cau khi vị trí dé bị phá hoại được dịch chuyền ra bên ngoài.

Bang 2.2 Sai số kết quả ứng suất ox khi dùng phan tử Q4, CO4 so với phan tử O8.VỊ trí Q4 (sai số %) CQ4 (sai số %) Q8 [30]

FGM B' 2.646 (1.73) 2.603 (0.07) 2.601

Đồng nhất A' 2.9842 (2.62) — 2.979 (2.42) 2.9082.4 Tha tục CIP cho phan tứ tứ diện 4 nút (CTH4) và lục diện 8 nút (CHH8).

2.4.1 Phần tử CTHA.

Mô hình phan tử tứ diện bốn nút với hệ trục tổng thé được chuyền đổi tương

ứng trong hệ trục tự nhiên được minh họa như Hình 2.13 Bốn đỉnh của phần tử được

ký hiệu lần lượt i, Js k, m Theo đó, các ham hỗ trợ trong thủ tục nội suy kép (CIP)

được viét như bên dưới :

t0 =y/ | NÊN, +E NNa(N,+N,)]

Phan còn lại của các hàm hỗ trợ liên quan đến nút j, k và m được thu được

một cách tương tự bằng cách hoán vị tuần hoàn các chỉ số Một bang chứng rằng các

hàm phụ thỏa mãn các điều kiện trong Công thức (2.8) được chứng minh cho trườnghợp phan tử CTH4 như bên dưới.

Trong phần này, NCS chứng minh các hàm hỗ trợ cho phần tử CTH4, đại diệncho các phần tử còn lại của phương pháp CFEM là thỏa mản phương trình (2.8) Nólà tiền đề dé các hàm dạng duy trì thuộc tinh Kronecker-delta của FEM truyền thống.

- Đầu tiên, các hàm hình dang Lagrange liên quan đến bốn nút địa phương i, j,&, m của một phần tử tứ diện bốn nút được viết băng tọa độ tự nhiên (€, n, É)

- Các đạo hàm của các hàm hình dạng Lagrange đối với các tọa độ vật lý thu

được bằng quy tắc chuỗi,

aN, ÔN, ôN, ÔN,

°_ 06 OF 06

aN, ON, ON, ON,

ôn ôn ôn ôn

ON, ÔN, ON, ôN,

6€ 6ˆ 6£ 6 |

Trong đó đạo hàm của hàm dạng Lagrange có liên quan đến hệ trục tọa độ tự nhiên

“[®, N, N, N,, |= yt) —¿

ôoznhư bên dưới

aN, ÔN, ôN, ÔN,

0 0

1 0 (2.28)0 1

- Sử dung khái niệm đăng tham số, cùng một lược đồ xấp xỉ được sử dụng cho

các biên hình học và trường biên, tức là

= dip , trong đó x, là tọa độ nút tự nhiên của bat kỳ nút p nào của phan tử, nghĩa là

Pp=), j, k m Thay xp vào phương trình (2.23)

0(x,) =N,(x,)+N7(x,)(2,(x,)-Ni(x,))-(2,%,)- M7 (%,)) — (32)

Do ham co so Lagrange luôn thỏa thuộc tinh Kronecker-delta, nghĩa là N,(x,,) =6,,,

cudi cùng nhận được

ó(x,„)=N,(x„)=1 nếu i= p và (x,)=N,(x,)=0 nếu ¡#p (2.33)

Chứng minh tương tự cho thuộc tính Kronecker-delta các hàm ý, & và đu.

- Tiép theo, các đạo hàm cua ¢ đối với các tọa độ vật lý được chứng minh làbiến mat tại nút, nghĩa là ý (X„)=0, ý ,(x,)=0 và Ø.(x„) =0 với p là chỉ số của

bat kỳ nút cục bộ i, j, k và m Dao hàm của đ liên quan đến phương w_w = (x,y,z)được lay từ phương trình (2.23)

Oy = Noy +2NN (2) ST N,)+ NÌ(N + New + Naw)¡ˆ "i,w