Luận án tiến sĩ Cơ kỹ thuật: Nghiên cứu ảnh hưởng của vết nứt tới ổn định và dao động của kết cấu tấm FGM

Xuất phát từ các đặc điểm trên, nhận thấy việc nghiên cứu về đặc tính phá huỷ của vật liệu FGM cũng như đảm bảo tính an toàn khi đưa vậtliệu FGM vào thực tế sản xuất, đặc biệt là kết cầu

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ

PHẠM MINH PHÚC

NGHIÊN CỨU ANH HUONG CUA VET NUT

TOI ON DINH VA DAO DONG

CUA KET CAU TAM FGM

HÀ NỘI - 2023

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ

PHẠM MINH PHÚC

NGHIÊN CUU ANH HUONG CUA VET NUT

TOI ON DINH VA DAO DONG

CUA KET CAU TAM FGM

Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật

LỜI CAM ĐOAN

Tên tôi là: Phạm Minh Phúc

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi.

Các số liệu và kết quả được trình bày trong luận án này là trung thực, đáng tincậy và không trùng với bất kỳ một nghiên cứu nào khác đã được tiến hành

Hà Nội ngày thang năm 2023

Người cam đoan

Phạm Minh Phúc

LOI CAM ON

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy hướng dẫn: GS.TSKH Nguyễn

Đình Đức và TS Đoàn Hồng Đức đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ, tạo mọi điều kiện

thuận lợi và thường xuyên động viên để tác giả hoàn thành luận án này

Tôi chân thành cảm ơn tới nhà trường, tập thé các thầy cô giáo Khoa Cơ học

kỹ thuật va Tự động hóa, Trường đại hoc Công Nghệ - DHQGHN, đã luôn quan tâm,

giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi trong suốt thời gian tác giả học tập và nghiên

cứu tại Khoa.

Tôi trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo, các bạn đồng nghiệp tại Bộ môn Cơ lý

thuyết - Khoa Khoa học cơ bản - Trường đại học Giao thông vận tải đã luôn quan

tâm, giúp đỡ và động viên dé tác giả hoàn thành luận án

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn tới gia đình, người thân và bạn bè, những

người đã luôn ở bên cạnh động viên, khích lệ và giúp đỡ tác giả hoàn thành luận án

này.

Tác giả

Phạm Minh Phúc

MO DAU oieececccsssscscssscscscscecsescucecsesucecsvscussssusucessvsucacavssacstavsucacsnsueacavsueasataveneacaees 1

1 Tính cấp thiết của đề taicn.cceccceccccccccsccssesssessssssessessessussseessessusssesssecssecsesseessecasees 1

2 Mục tiêu nghiÊn CỨU - G191 HH tre 1

3 Đối tượng nghiên CUU oo eeececscsssesssesssesssessscssecssecsscssscssecsuessscssecssecsecasecssecssessecsses 2

4 Phương pháp nghiÊn CỨU 6 6 6 E3 E311 1E 1 1 vn nh nh nh nh nh nàn 2

5 Pham vi ghién CUU 8n e 2

6 Ý nghĩa khoa hoc và thực tiễn của nghiên CUU cc.ccecccsssesssesssesstessesssesstesseesseesses 2

7 Cấu trúc của i0 0 (4d 2

CHƯƠNG 1 TONG QUAN VE ON ĐỊNH VÀ DAO ĐỘNG CUA TAM FGM 3

1.1 Tổng quan về vat liệu composite FGM c ccccsscsscesseeseessessessessessesseeseessessesses 3

1.2 Tổng quan về tình hình nghiên cứu 6n định của kết cấu tam FGM có nút 81.3 Tổng quan về tình hình nghiên cứu dao động của kết cấu tam FGM có nứt 11

1.4 Định hướng nghiên CỨU G2 3n 12111 1131115111 11 1 11 TH ng re 15

CHƯƠNG 2 XÂY DUNG CÁC PHƯƠNG TRINH DUA TREN LY THUYET

TAM, LY THUYET PHASE FIELD VÀ PHƯƠNG PHAP PHAN TU HỮU

2.4 Xây dựng phương trình ôn định, dao động của tam có vết nứt bằng phương

phap phan tir httu NA 23

2.4.1 Phan tir nh cố aỤO 23

2.4.2 Phương trình ôn định của tắm có vết nứt - 2 z+s+x+zxezzrszxez 26 2.4.3 Phương trình dao động của tắm có vết nứt 2-2 + s+sezxerxered 30 2.4.4 Điều kiện biên theo phương pháp PTHH - 2-2 5¿2s+25+=+2 32 2.5 Kết luận chương 2 ¿- 2 + +ềEEÉEE9E12E12112111171111121111211 11.11111111 Le 32 CHUONG 3 PHAN TICH ÔN ĐỊNH CUA KET CAU TAM FGM CÓ NỨT 34

Na vẽ À 34

3.2 Ôn định của kết cấu tắm có nỨt ¿©:+s+2+Et+E+E+EEEE+EEEEEE+EEEEEESEtEEtrrrrrree 35 3.2.1 Ôn định của kết cấu tam đồng chất có nứt - 2 z+sz+se+xerxersd 35 3.2.2 On định của kết cau tắm FGM có nứt : 2 sz2x++z++zx+zzxe+zxez 41 a) Hệ số 6n định của tam không nứt với độ dày thay đôi theo hàm luỹ thừa 42

b) Hệ số 6n định của tắm đồng chat có nứt với chiều dày thay đổi tuyến tính 44

c) Hệ số 6n định của tam FGM nứt với chiều dày không đồi .- 48

đ) Hệ số ôn định của tam FGM bị nứt với sự thay đồi chiều dày 50

3.2.3 Ôn định của kết cầu tam FGM có nứt trên nền đàn hồi Paternak 54

a) So sánh hệ số ồn định của tam FGM không nứt trên nền dan hồi 54

b) Ôn định của tim FGM có nứt trên nền đàn hồi -2- 2552552: 56 3.3 Kết luận chương 3 - 2 2SE+2E2EE2EEEEE2112112717121121121111211 21111 xe 59 CHƯƠNG 4 PHAN TÍCH DAO ĐỘNG TỰ DO CUA KET CÂU TAM FGM CO VET NUT vieccsscsssssssssssessecsussssssssscsussusssssecsussusssessessussusssessessessussseesessssuseseesesss 62 4.1 Đặt vấn đề -s-ctc t2 T22121112112112111112112111111 110111 11g 62 4.2 Dao động tự do của kết cấu tắm FGM có vết nứt - 2 +s+s+zszszxzzvzses 62 4.2.1 Dao động tự do của tam đồng chat có chiều dày thay đồi 62

4.2.2 Dao động tự do của tam FGM chiều dày không đổi, có vết nứt 63

4.2.3 Dao động tự do của tam FGM chiều dày thay đổi, có vết nứt 65

4.3 Dao động của kết cau tam FGM có nứt đặt trên nền đàn hồi 68

4.3.1 ào i08 a1 68

4.3.2 Tần số dao động tự do của tắm FGM có nứt đặt trên nền dan hồi 71

4.4 Dao động của kết cau tắm FGM có nứt trong môi trường nhiệt d6 81

4.4.1 Nghiên cứu SO sánh oe eeeeeeneeeseeeeeeeseecetceseeeesaeceeaeceeeceeeseaeeseaeeeeeeeeas 82

4.4.2 Tần số đao động tự do của tắm FGM có nứt trong môi trường nhiệt độ 83

4.5 c(ái 0n nh ắáaAj]jẠẦ 91Kết quả chính của chương này thé hiện trong các bài báo: .: - 92KET LUẬN - -2¿- 52 S+ 2x21 2212212212112212211121121121111111211 11111 errre 93NHUNG VAN DE CÓ THÊ PHÁT TRIEN TỪ LUẬN ÁN - 94DANH MỤC CÔNG TRINH KHOA HỌC CUA TÁC GIA LIÊN QUAN DEN

LUẬN ÁN (S1 c2 12212212212112112112211 1121101111121 111.1 eree 95

DANH MỤC CÁC KÝ HIEU VÀ CHỮ VIET TAT

FGM Fuctionally Graded Material — Vật liệu cơ tính biến thiên

P-FGM Vật liệu cơ tính biến thiên trong đó thành phan vật liệu tuân theo

quy luật Power-law

S-FGM Vật liệu cơ tính biến thiên trong đó thành phần vật liệu tuân theo

quy luật Sigmoi-law

E.FGM Vật liệu cơ tính biến thiên trong đó thành phần vật liệu tuân theo

quy luật hàm e mũ

Buckling Sự mat ồn định (của kết cấu)

Mode Kiểu dáng

PTHH Phần tử hữu hạn

EŒ) Mô đun đàn hồi của vật liệu FGM, là hàm của tọa độ z

E Mô đun đàn hồi của kim loại trong vật liệu FGM

E Mô dun dan hồi của gốm trong vật liệu FGM

V Hệ số Poisson

Vi, Ti phan thé tích của thành phan kim loại trong vật liệu FGM

V, Tỉ phần thể tích của thành phần gốm trong vật liệu FGM

n Chi số ti lệ thé tích (0<1n <0)

k,,, k, Hệ số nền đàn hồi Winkler va Pasternak

k, Hệ số ồn định của tam

LH Cạnh của tâm chữ nhật tương ứng trên trục x, y

h Chiều dày kết cau tam

hy Chiều day tam tai vị tri x = 0

h, Chiều dày tam tai vị trí x = L

huy Chiều dày tam tại vị trí x = L/2

Chiêu rộng vùng nứt Chiêu dài vêt nứt

Nhiệt độ bề mặt gốm, kim loại

DANH MUC CAC BANG

Bang 1.1 Tinh chat của một số vật liệu thành phần của vật liệu FƠM 3Bảng 1.2 Hệ số nhiệt độ của một số loại vật liệu thành phan của vật liệu FGM 7Bảng 3.1a So sánh hệ số 6n định (k,,.) của tam vuông đồng chất (L = H = 0,24m;

00002) 36

Bảng 3.1b Lực tới hạn của tam vuông đồng chất ở các lưới chia phần tử khác nhau

(L=H=0,24m; h = 0,012m; c/H=0,3; œ=0) -.c Sex 36

Bảng 3.2 Hệ số ôn định (k,„) của tam vuông nứt đồng chat với chiều day khác nhau

Bang 3.3 Hệ số ôn định (k,„) của tam vuông nứt đồng chat với chiều dài và góc

nghiêng của vết nứt khác nhau (tắm với 3 vết nứt) -: - 40Bang 3.4 Hệ số 6n định ky của tam nứt với sự thay đổi của độ day (c=0.3L, z=30°)

Bang 3.8 Hệ số ổn định của tam FGM trên nền đàn hồi, dòng trên theo Hamid

Foroughi [82]; dòng dưới của Luận án - 5 5 + ++<<+s+sessrs 56

Bảng 3.9 Hệ số ôn định của tam FGM với sự thay đồi của nền đàn hồi, chiều dài vết

MUt VASO MU PP À 57Bảng 4.1 Tham số tần số dao động tự do của tam chiều dày thay đồi tuyến tinh 63Bảng 4.2 Tham số tan số dao động tự do không thứ nguyên của tam FGM vuông, có

vết nứt ở tâm với góc nghiêng œ =0Ï : -¿©-+c5++c+: 64Bảng 4.3 Tham số tần số dao động tự do của tam FGM chiều dày thay đối có vết nứt

khi tỉ lệ cạnh tam thay đổi với ho/ha=1.5; n=5; œ=09; ŠS$ŠS 66

Bang 4.4 So sánh tham số tần số dao động tự do của tam FGM không nứt trên nền

đàn hồi với điều kiện biên khác nhau - - 2 +5 x+E+E£E+E+EeEzxxee 70

Bảng 4.5 Tham số tan số dao động của tam FGM bị nứt với - H/h=50; ha/ho=0.75;

ơ =00, (Kk, K, )= (100,10); SSSS ccccccccscscsssecscsssesssssssssssesesssessssuesesseesesseecs 72

Bang 4.6 Tham số tần số dao động của tim FGM bị nứt với chiều dày thay đổi, góc

nghiêng vết nứt khác nhau và L/H=1.5; H/ho = 50: n = 1; k,, =50; k =15;

y0 9n 73

Bảng 4.7a Tham số tần số đao động đầu tiên của tắm FGM bị nứt với các điều kiện

biên đối xứng và 1⁄ho = 50; L/H=1.75; ho/ha=1.75; œ =0; k,, 100; k, =15;

(AL; AL2O3) eceeceescescescesseseeeceseesecesceceeseeseeseeaecsecaeesececeaeeseeaeeaecaeeaeeaeeaseneenees 76

Bang 4.7b Tham số tan số dao động đầu tiên của tam FGM bi nứt với các điều kiện

biên không đối xứng và L/ho = 50; L/H=1.75; hư/h„=1.75; =0; k,, 100;

É, =15; (Als AlO3) cesssecsssssssssesssssssessssssuvessssssvesssssusesssssuesssssuessssseveessen 77Bảng 4.8 So sánh tham số tần số dao động của tam FGM có độ dày thay déi và tam

FGM có độ dày không đôi (hcons) với L=H=50cm; họ=1.0cm; n=1; a =0;

S908 757 79

Bảng 4.9 So sánh tham số tần số dao động của tam FGM không nut trong môi trường

Bảng 4.10 Các tham số tần số đao động của tắm FGM nứt với chiều dày thay đôi với

L/H = 1.0; L/ho = 20; h‘mid /h,=0.9; Te = 500K; Tin = 300K; SSSS (NizN⁄;

SUS304) ccccccsscessessssssessessssssessessessssssessessussusssessessssssssessessssusssessessessseeseeses 86

Bang 4.11 Các tham số tan số của tam FGM bị nứt với chiều dày thay đôi va H/o =

20; n = 1; a =0; Te = 400K; Tin = 300K; SSSS (Ni:N¿; SUS304) 88

Bang 4.12 Các tham số tan số của tam FGM bi nứt với chiều dày thay đổi với

L/H=1.0; H/ho = 20; n = 2; a = 0; Te = 400K; Tn = 300K (NisNa; SUS304)

DANH MỤC CÁC HÌNH VE

Hình 2.1a Tam có vết nứt được mô phỏng bởi biến phase-field s 22Hình 2.1b Mô phỏng biến phase-field trong tam có vết nứt sử dụng FreeFem 22Hình 2.2 Phan tử tam tam giác và các chuyên vị nút của nó - s2 s2 23Hình 2.3 Sơ đồ thuật toán tìm lực tới hạn của tắm +- + cxvcxcxersxerxererxee 30Hình 2.4 Sơ đồ thuật toán tìm tần số dao động tự do của TẤN c-cccccctcrererrrei 32Hình 3.1 Dạng hình học của tam với vết nứt ở tâm -¿- ++z+cs++zx+++ 35Hình 3.2 Hệ số 6n định phụ thuộc vào chiều dày tam (L = H = 0.24m; CFCF) 38Hình 3.3 Hệ số ổn định phụ thuộc vào chiều rộng vết nứt và chiều dày tắm

(L=H=0.24m; c/H=U.Š5; ) 2Q HH HS SH TH vn ng vn 39

Hình 3.4 Dạng hình học của tam với ba vết nứt cùng chiều đài - 39Hình 3.5 Năm dang hình học của tam CFCF với ba vết nứt (L = H = 0.24m; h=1.2mm;

2/9) nr// 000 h.aa aA.A:5% 41

Hình 3.6 Dạng hình học của tam FGM với độ dày thay đối theo trục x 42

Hình 3.7 Tam không nứt với chiều day thay đôi theo cấp số nhân dưới tai trọng nén

theo Phuong 011.7 42

Hình 3.8 So sánh hệ số ôn định tới hạn không thứ nguyên của tắm chịu nén dọc theo

Hình 3.9 Mô hình hình học của tắm hình chữ nhật chịu tai trọng nén một trục theo

j0 01115 44

Hình 3.10 Hệ số 6n định của tắm chiều day thay đổi với vết nứt ở tâm 45Hình 3.11 Ảnh hưởng của vết nứt đến hệ số ôn định của tim FGM có chiều dày thay

AOE a Pa 46Hình 3.12 Lưới tam giác cho tam nứt với tông số phan tử là 4076 47

Hình 3.13 Tam có nứt chịu lực nén dọc theo {TỤC +X 5 S22 SSSSSsssses 48

Hình 3.14 Tắm nứt hình chữ nhật có độ dày thay đổi theo hàm luỹ thừa dưới tải trọng

nén theo phƯƠNØ xX - c1 11 131 111 111111111 11 111 11T TH ngư 50

Hình 3.15 Ảnh hưởng của vết nứt đến hệ số ôn định của tim FGM có chiều dày thay

Hình 3.16 Năm dạng mat 6n định đầu tiên của tắm FGM SSSS nứt với sự thay đôi

độ dày (L=0.36m, H=0.24m, ha =2ho, n=2, c/L=0.5, I“H=400) 53

Hình 3.17 Mô hình tam đặt trên nền đàn hồi Pasternak 5c se +2 +2 55Hình 3.18 Mô hình tam có vết nứt đặt trên nền đàn hồi Pasternak -. 56Hình 3.19 Ảnh hưởng của góc nghiêng vết nứt đến hệ số ôn định của tam FGM trên

nền đàn hồi -. : 52222+2E2 H211 2 He 58Hình 3.20 Năm dạng mat ôn định đầu tiên của tam FGM có nứt trên nền đàn hồi

Paternak (L=H; c=0.4H; k„=100; k¿=1Ú) Ăc ST SSSSc Sex, 59

Hình 4.1 Tắm đồng chất chiều dày thay đồi tuyến tính 5c 5 sec s2 63Hình 4.2 Tam FGM chiều dày không đổi và có vết nứt ở tâm - 64Hình 4.3 Tam FGM chiều dày thay đổi tuyến tinh và có vết nứt ở tâm 65Hình 4.4 Tham số tần số dao động tự do của tắm FGM chiều dày thay đôi có vết nứt

phụ thuộc chỉ số mũ n; chiều dài vết nứt và tỉ lệ chiều dày tắm 67

Hình 4.5 Hình anh 5 dang dao động đầu tiên của tam FGM chiều dày thay đổi, có

nứt (L=1.25H; ho/ha=1.5; n=5; c/L=0.8; =0; SSSS) cà ee 68

Hình 4.6 Mô hình tam FGM đặt trên nền đàn hồi Pasternak - 69Hình 4.7 Dạng hình học của tắm FGM nứt với chiều dày thay đổi trên nền đàn

Hình 4.8 Ảnh hưởng của vét nứt đến tham số tần số đầu tiên của tắm FGM có chiều

day thay đôi nằm trên nền đàn hồi; $.Š%S - 2-5252 2scxccxczszce2 75Hình 4.9 Năm dạng dao động đầu của tấm FGM bị nứt với chiều dày thay đổi

(L=0.375m, H=0.5m, họạ=H/50, h/ha=1.25, c/L=0.5, a =0, n=2,

k= 50, Ê, = 10) cccccsscssssesssssssesssssssessssssuscssssssvesssssuesssssusesssssussssssnessssseees 81

Hình 4.10 Dang hình hoc của tam FGM nứt với độ day thay đổi theo hàm

+10 84

Hình 4.11 Ảnh hưởng của vết nứt đến tham số tần số dao động của tấm FGM có

chiều day thay đổi trong môi trường nhiệt_ 84Hình 4.12 Ảnh hưởng của môi trường nhiệt đến tham số tần số dao động của tam

FGM bị nứt có chiều day thay đồi -:- 2-52 22c+Eczxezxerxerxersrree 85

Hình 4.13 Năm dạng dao động đầu của tắm bị nứt với H = 0.5m, L=1.25H, c/L = 0.5,

H/1 = 4OO vecececcscsccscscscssescsscscssesscsescsesussessesessesessesuesssussesseavssesussestsatsneeene 91

MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của đề tài

Vật liệu có cơ tính biến thiên FGM (Functionally Graded Material) đã được pháttriển và đặt tên bởi nhóm các nhà khoa học vật liệu ở viện Sendai của Nhật Bản vàonăm 1984 Ké từ đó, vật liệu FGM đã thu hút được rất nhiều nhà nghiên cứu quan tâm

dé phát triển khả năng chịu tải của vật liệu Vật liệu FGM lần đầu tiên được thiết kếlàm vật liệu chịu nhiệt cao cho kết cấu hàng không vũ trụ và các lò phản ứng nhiệt

hạch Ứng dụng của vật liệu FGM rất đa dạng Hiện nay tình hình nghiên cứu về ứng

xử của kết cau FGM van đang diễn ra sôi động, điều này xuất phát từ nhu cầu sử dụngngày càng nhiều của loại vật liệu này trong các ngành công nghiệp hiện đại Có thê nóirằng sự xuất hiện của loại composite thé hệ mới này, đã đặt ra cho các nhà cơ họcnhững bài toán mới cần giải quyết

Do có sự tồn tại của các vật liệu khác nhau, ở đây ta hiểu là khác nhau cả vềchủng loại vật liệu cũng như các vật liệu cùng loại nhưng khác về pha, về trạng thái,

nên trong vật liệu FGM dễ tồn tại các điểm, các vùng khuyết tật và dé sinh ra các lỗ

rong va vết nứt trong vật liệu Xuất phát từ các đặc điểm trên, nhận thấy việc nghiên

cứu về đặc tính phá huỷ của vật liệu FGM cũng như đảm bảo tính an toàn khi đưa vậtliệu FGM vào thực tế sản xuất, đặc biệt là kết cầu tắm FGM, do đó việc “Nghiên cứu

ảnh hưởng của vết nứt tới ôn định và dao động của kết cầu tắm FGM” là thực sự cầnthiết

2 Mục tiêu nghiên cứu

i) Xây dựng các phương trình chủ dao và phương pháp giải số bài toán 6n định

của tắm (đồng chất, FGM) có vết nứt đặt hoặc không đặt trên nên đàn hồi

ii) Xây dựng các phương trình chủ đạo và phương pháp giải số bài toán dao

động tự do của tắm (đồng chất, FGM) có vết nứt trên nền đàn hồi và trong môi trường

nhiệt độ.

iii) Lập trình khảo sát bang số ảnh hưởng của các tham số vết nứt đến tải tới

hạn (ở mục 1), tân sô dao động tự do (ở mục ii) của tâm.

3 Đối tượng nghiên cứu

Tam làm bang vật liệu FGM (P — FGM) có vết nứt, đồng thời nghiên cứu thêm

về trường hợp tam FGM đặt trong môi trường nhiệt độ và trên nền đàn hôi

4 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng lý thuyết tam Mindlin, lý thuyết tam bậc cao của Shi và lý thuyết

phase-field trong cơ học phá hủy dé thành lập các phương trình cân bằng Sau đó,dùng phương pháp phan tử hữu hạn (PTHH) giải các phương trình dé tìm hệ số 6n

định, tần số dao động tự do của tam FGM bị nứt Các kết quả tính toán trong luận án

được so sánh với các công trình nghiên cứu uy tín (với các phương pháp khác nhau)

dé kiểm tra độ tin cậy của phương pháp hiện tai

5 Phạm vỉ nghiên cứu

Tính tải tới han mat ồn định, các dạng mất ôn định, tần số dao động riêng và

các dạng dao động riêng của tam

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của nghiên cứu

Luận án hoàn thành, nhằm cung cấp thêm cho kho tàng khoa học kỹ thuật mộtbài toán mới sử dụng lý thuyết phase-field, được giải băng phương pháp PTHH truyềnthống nên có tính ôn định cao và hiệu suất làm việc tốt Các kết quả số của luận án

có thê dùng làm tài liệu tham khảo cho việc kiêm tra, đánh giá khả năng làm việc củakết cầu khi xuất hiện vết nứt

7 Cau trúc của luận án

Luan án gồm phần mở đầu, bốn chương, kết luận và tài liệu tham khảo

Mỡ đầu: Tính cấp thiết của dé tài, đối tượng, phạm vi và phương pháp nghiên

cứu của luận án.

Chương 1: Tổng quan về ôn định và đao động của tắm FGM

Chương 2: Xây dựng các phương trình dựa trên lý thuyết tắm, lý thuyết phase

field và phương pháp phần tử hữu hạn

Chương 3: Phân tích ôn định kết cau tam FGM có nứt

Chương 4: Phân tích dao động tự do của tam FGM có vết nứt

Kết luận và kiến nghị: Trình bày các kết quả chính, những đóng góp mới củaluận án và các kiến nghị khác

Tài liệu tham khảo.

CHƯƠNG 1

TONG QUAN VE ON ĐỊNH VA DAO ĐỘNG CUA TÁM FGM

1.1 Téng quan về vật liệu composite FGM

Vat liệu composite FGM là một loại composite thé hệ mới được một nhóm cácnhà khoa học ở viện Sendai (Nhật Bản) nghiên cứu và phát triển lần đầu tiên vào năm

1984, có tên quốc tế: Functionally Graded Material (được viết tắt phd biến là FGM),còn có tên gọi khác như: vật liệu composite có cơ tính biến thiên, vật liệu cơ tính biếnthiên, vật liệu FGM Vật liệu này ra đời được xuất phát từ yêu cầu thực tế của cácngành công nghiệp hiện đại về một loại vật liệu tiên tiến có chức năng thông minh va

có thê chống chịu tốt với các điều kiện khắt khe của nhiều loại tải trọng Vật liệu

FGM thường được tạo thành từ hai loại vật liệu thành phần là gốm và kim loại trong

đó tỷ lệ thé tích của mỗi thành phan biến đổi (graded) một cách trơn và liên tục từmặt này sang mặt kia theo một chiều kết cấu cho phù hợp với thế mạnh đặc trưng của

các vật liệu thành phần Do có mô đun đàn hồi (E) cao cùng với hệ sỐ truyền nhiệt

và hệ số dãn nở nhiệt rất thấp nên thành phần gốm làm cho vật liệu FGM có độ cứng

cao và khả năng kháng nhiệt tốt hơn Trong khi thành phần kim loại làm cho vật liệuFGM trở nên bền hơn, mềm dẻo hơn và hạn chế sự rạn nứt có thé xảy ra do tính giòncủa vật liệu gốm khi chịu nhiệt cao Bảng 1.1 thể hiện tính chất của một số vật liệuthành phần được sử dụng dé chế tạo vật liệu FGM [1, 2, 5]

Bảng 1.1 Tính chất của một số vật liệu thành phần của vật liệu FGM

Vật liệu FGM có đặc tính nỗi bật là độ cứng cao và khả năng chịu nhiệt rat tốt

Vì vậy, vật liệu này là sự lựa chọn lý tưởng trong các ứng dụng của các kêt câu làm

việc trong các điều kiện khắc nghiệt như máy bay, tên lửa, các thiết bị luyện kim, dầu

khí, cũng như các lò phản ứng nhiệt hạch, lò phản ứng hạt nhan,

Vật liệu FGM được cấu tạo từ hai loại vật liệu thành phan theo tỉ lệ thé tích

Đó là tỉ lệ thé tích của mỗi pha (vật liệu) thay đổi theo một chiều hoặc hai chiều hoặc

ba chiều x, y, z Do đó các tinh chất của vật liệu FGM cũng thay đổi theo các hướngnày Trong luận án này, tác giả chỉ xét loại vật liệu biến đổi theo chiều trục z (độ dày

tam), từ mặt hoàn toàn gốm sang mặt hoàn toàn kim loại Có hai cách tiếp cận mô

hình vật liệu FGM Cách thứ nhất, sắp xếp từng lớp theo tỉ phan thé tích của gốm

hoặc kim loại, khi đó vật liệu FGM được cấu thành từ nhiều lớp rất mỏng và trong

mỗi lớp này tỉ phần thể tích của các vật liệu là không thay đổi Cách thứ hai, thay đổi

liên tục tỉ phần thể tích của gốm hoặc kim loại theo bề dày thành kết cầu A theo mộthàm lũy thừa của biến theo chiều dày z, cách sắp xếp này rất phô biến hiện nay [5, 6,

7].

Có 3 loại vật liệu cơ tính biến thiên chủ yếu [2]

Vật liệu P-FGM Là loại vật liệu trong đó tỷ lệ thé tích của các thành phankim loại và gốm biến đổi một cách trơn, liên tục từ bề mặt này sang bề mặt kia theochiều dày của kết cau Đối với P-FGM, một bề mặt giàu kim loại và một bề mặt giàugốm

Trong một đơn vị thể tích kết cau chứa ti phan thê tích gồm V và ti phan thétích kim loại V,, tức là: V.+V, =1, trong đó tỉ phan thé tích gốm được giả thiết biếnđổi theo chiều dày thành kết cấu Z# theo một hàm lũy thừa của biến chiều dày thành

kết cấu z (quy luật hàm lũy thừa — Power law) như sau:

tỷ lệ thé tích của thành phan kim loại trong kết cấu tăng

Hàm đặc trưng P(z) xác định thuộc tính của vật liệu có cơ tính biến thiênđược biểu diễn như sau:

P(z)= P.V.(z)+ P,V„(z) (12)

trong đó: P(z) là ký hiệu một tính chat cụ thé của vật liệu FGM như mô dun đàn hồi

E, hệ số Poison V , hệ số dan nở nhiệt @ hoặc hệ số truyền nhiệt K tại vị trí z

P, P„ là đặc trưng tương ứng của vật liệu thành phần gốm, kim loại

Khi thay (1.1) vào (1.2) ta nhận được biéu thức sau đây của các thuộc tính vật

liệu.

P&@)=(.=?,)|S+‡] +, (13)

Theo quy luật phân bồ lũy thừa nay thì mặt z =/2 của kết cau là gốm thuầntúy và mặt z=—h/2 là kim loại thuần túy và tính chất vật liệu hiệu dụng biến đôimột cách liên tục, trơn từ mặt này sang mặt kia theo chiều dày kết cấu

Cụ thé, biéu thức mô đun đàn hồi E , hệ số dan nở nhiệt @ và hệ số truyền

nhiệt K được biêu diễn như sau

Tỷ lệ thé tích của các thành phan kim loại và gốm, V và V„ được giả thiết

biến đổi theo quy luật hàm lũy thừa của biến chiều dày z theo quy luật ham Sigmoid

(sử dụng quy luật hàm mũ cho 2 miền) như sau:

qua chiều dày và khi ø tăng tỷ lệ gốm trong kết cấu FGM tăng.

Các thuộc tinh vật liệu P(z) của kết cau S-FGM cũng tuân theo quy tắc hỗn

hợp như (1.2).

Khi thay (1.5) vào (1.2) ta nhận được biểu thức sau của tính chất hiệu dụng

E@)] [E,] [E„ “) ,—hl2<z<0

E, là mô-đun đàn hồi của kết cấu ở mặt trên (z = h/2).

E, là mô-đun đàn héi của kết cầu ở mặt dưới (s =—h/ 2).

Trong giới hạn của luận án, tác giả chỉ nghiên cứu về loại vật liệu P-FGM Vậtliệu P-FGM là vật liệu khá thông dụng và được chú ý nhiều hơn, do đó nếu không có

gì đặc biệt (tức là không phải S-FGM hay E-FGM) thi sẽ được gọi chung là vật liệu

FGM.

Tính chat vật liệu phụ thuộc vào nhiệt độThành phan kim loại làm cho vật liệu chức năng có tính dẻo dai, hạn chế sự

rạn nứt nếu có xảy ra do tính giòn của gốm và trong môi trường nhiệt độ cao Trong

khi đó thành phần gốm với mô đun đàn hồi cao và các hệ số dãn nở nhiệt và truyềnnhiệt rất thấp làm cho vật liệu chức năng có độ cứng cao và rất trơ với nhiệt Xuấtphát từ ứng dụng của các vật liệu có cơ tính biến thiên thường được sử dụng cho các

kết cấu làm việc trong những môi trường nhiệt độ rất cao hoặc truyền nhiệt lớn, nơi

mà các tính chất cơ học của các thành phần vật liệu bi thay đôi đáng kế, do đó cần

thiết phải xem xét sự phụ thuộc của cơ tính vật liệu vào nhiệt độ dé dự đoán chính

ở đây P, P,, P, P,, P, là các hệ số nhiệt độ T (đơn vị K ) của từng các vật liệu thành

phần Các tính chất vật liệu thường được tính toán ở điều kiện nhiệt độ phòng 7 =300K

Bang 1.2 ở trên thé hiện các hệ số trong công thức (1.9) của một số loại vậtliệu dùng đề chế tạo vật liệu FGM [2, 5]

Hiện nay tình hình nghiên cứu về ứng xử của kết cấu FGM vẫn đang diễn ra

sôi động, điều này xuất phát từ nhu cầu sử dụng ngày càng nhiều của loại vật liệu này

trong các ngành công nghiệp hiện đại Tuy nhiên, trong quá trình sản xuất hoặc sử

dụng loại vật liệu này có thể xuất hiện những khuyết tật không mong muốn như vết

nứt, điều đó làm ảnh hưởng đến sự làm việc của kết cấu Do đó, việc nghiên cứu ảnh

hưởng của vết nứt trong vật liệu FGM đóng vai trò then chốt trong việc hiểu đặc tính

phá huỷ của vật liệu FGM cũng như đảm bảo tính an toàn khi sử dụng loại vật liệu này.

1.2 Tổng quan về tình hình nghiên cứu 6n định của kết cu tam FGM có nứt

Kết cầu tắm bằng vật liệu FGM đã được phát triển trong một thời gian dài và

được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực bài toán kỹ thuật do những ưu điểm vượt trội của

chúng Tuy nhiên, trong quá trình sử dụng thực tế các ứng xử của chúng ảnh hưởng tới khả năng làm việc vẫn chưa được nghiên cứu một cách toàn diện Do vật liệu

FGM thường được sử dụng trong các điều kiện làm việc khắc nghiệt như chịu tảitrọng lớn hoặc trong môi trường nhiệt độ cao Do đó, kết cầu có thể xuất hiện cáckhuyết tật như vết nứt làm thay đổi hình dang cũng như độ bền của kết cấu

Ngoài ra, khi tắm có vết nứt mà lại chịu tác động của tải trọng thì tốc độ mat

ôn định sẽ nhanh hơn so với tam không bị nứt Xét đến các van đề mất ôn định trongkết cầu tắm, hiện tượng mat 6n định là hiện tượng nghiêm trọng nhất do nó xảy rangoài ý muốn khi kết cau đột ngột đạt qua cường độ ứng suất tới han do tác dụng củatải trọng cơ học hoặc nhiệt độ cao, khi đó kết cấu có thể ở trạng thái bị mất ôn địnhtrước khi đạt đến trạng thái ứng suất chảy dẻo, khả năng chịu tải sẽ giảm đi rất nhiều

Đã có nhiều nghiên cứu về sự mất 6n định của kết cấu tắm Trong một nghiên cứu

của mình, Yang [8] đã sử dụng lý thuyết biến dang cắt bậc nhất dé phân tích 6n địnhcủa tam FGM trên nền đàn hồi Pasternak Trong nghiên cứu của Thai [9], nguyên lýHamilton được áp dung dé thành lập các phương trình ôn định của tam được đặt trênnên đàn hồi Pasternak Sau đó, Thai và Kim [10], cũng với bài toán tắm đặt trên nền

Pasternak, nhóm tác gia sử dung lý thuyết biến dang cắt bậc ba dé phân tích 6n định

của tắm FGM Trong nghiên cứu của Praveen và Reddy [11], dựa trên nền tảng của

lý thuyết tam biến dang cắt bậc nhất (FSDT), các ứng xử cơ học của bài toán 6n định

phi tuyến tĩnh và động lực học của tắm FGM được phân tích bằng phương pháp phần

tử hữu hạn trong điều kiện tam chịu tải trọng ngang và nhiệt độ thay đổi Tác giả

Reddy [12] đã nghiên cứu 6n định của tam FGM với điều kiện biên liên kết tựa đơnbằng cách sử dụng lý thuyết tắm biến dạng cắt bậc cao Nghiên cứu này đã không

phải sử dụng hệ số hiệu chỉnh cắt như lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất của Mindlin

Ghomshei và cộng sự [13] đã sử dụng phương pháp phan tử hữu hạn dé phân tích ồnđịnh của tim FGM vành khuyên chiều day thay đổi dưới tác dụng của tải nhiệt phân

bó bat kỳ Mirzavand và cộng sự [14| đã nghiên cứu én định nhiệt của tắm FGM có

lớp áp điện Trong nghiên cứu của Nemat-Alla [15], vật hiệu FGM cơ tính biến thiênhai chiều đã được phát triển dé giảm ứng suất nhiệt tốt hơn Lời giải dạng khép kin

(closed-form solution) cho bài toán ổn định nhiệt của tắm FGM đã được dé xuất bởi

Shariat và Eslami [16] mà ở đó các tác giả đã sử dụng lý thuyết tắm biến dạng cắt bậc

ba dé khảo sát một tam day Liu và cộng sự [17] đề xuất một phương pháp số mới với

sự kết hợp của phương pháp phan tử hữu han mở rộng (the extended finite elementmethod - XFEM) và phương pháp khoảng cách cắt rời rac (the discrete shear gapmethod) để phân tích ồn định của tam FGM có vết nứt với tải trọng được nén theomột phương và hai phương, nghiên cứu đã phát triển phần tử tam tam giác 3 nút mởrộng dé sử dụng trong XFEM

Các bài toán về ảnh hưởng của vết nứt có một vai trò không thê thiếu trongthiết kế, phân tích và ứng dụng kỹ thuật, vì vậy điều rất quan trọng là phải có mộtcông cụ hữu ích dé hiéu rõ về vết nứt Nhiều bài toán vết nứt đã được mô hình hóabăng phương pháp phần tử hữu hạn dựa trên các kỹ thuật xử lý vết nứt khác nhau.Mặc dù các phương pháp tiếp cận theo phương pháp phần tử hữu hạn đã được sử

dụng rộng rãi, hầu hết các mô hình sử dụng phương pháp phan tử hữu hạn đều rat cơ

bản với kỹ thuật đóng vết nứt ảo (the virtual crack closure technique) [18], hayphương pháp được chú ý trong mô hình hóa vết nứt, phương pháp phần tử hữu hạn

mở rộng được giới thiệu của Moes [19] cũng đã nhận được nhiều sự quan tâm từ cácnhà nghiên cứu Tuy nhiên, các phương pháp này vẫn giải quyết các vấn đề nứt trong

đó các vết nứt được biéu diễn một cách riêng lẻ và không liên tục, và thường yêu cầu

một kỹ thuật nghiêm ngặt dé theo dõi đường đi của vết nứt, hoặc cần phải áp dụngphương pháp lấy trung bình của mô hình để chia lưới lại, nói cách khác, việc mô tả

sự gián đoạn do các khuyết tật nứt vẫn còn một số hạn chế trong các mô hình này Lý

thuyết phase field được đề xuất như một phương pháp thuận lợi dé giải quyết các van

dé đó, nó có thé mô phỏng dé tính toán số và hiệu quả trong cả các bài toán nứt tĩnh

và nứt động do lợi thế của nó trong việc mô hình hóa và phân tích vết nứt trong kết

cấu như vi trí, hình dang và số lượng vết nứt dé dang hơn Bang cách áp dụng phương

pháp phase field, Đức và cộng sự [20, 21] đã khám phá sự lan truyền động của các

vết nứt trên tắm FGM Phương pháp phase field đã được chứng minh rất hữu dụng

trong nhiều nghiên cứu khác, Ulmer và cộng sự [22] đã áp dụng phương pháp phasefield cho một kết cau có vết nứt với liên kết phức tạp ở cả tam và vỏ Amiri và cộng

sự [23] sử dụng phương pháp phase field dé lập mô hình vét nứt cho vỏ mỏng tuyến

tính Kuhn [24] đề xuất mô hình phase field liên tục cho các công thức khác nhau của

bài toán nut giòn, hay Areias và cộng sự [25] đã sử dụng phương pháp phase field

trong nghiên cứu về tắm và vỏ có biến dạng hữu hạn Trong nghiên cứu của Borden[26], tác giả đã chứng minh răng phương pháp phase field có thé làm giảm đáng ké

sự phức tạp của công việc thực hiện trong quá trình tính toán Rõ ràng là phương pháp

phase field đang được cộng đồng nghiên cứu chú trọng nhiều, đặc biệt là trong lĩnh

vực cơ học phá hủy.

Gần đây, với ngành khoa học tính toán phát triển nhanh đã sự xuất hiện nhiềucông cụ tính toán mạnh, các ứng dụng của kết cau tam với hình dạng vật lý phức tạp

hơn đang trở thành một xu hướng mới trong lĩnh vực kỹ thuật Tuy nhiên, cái khó của

loại kết cấu này là hiện tượng hu hỏng do mất ôn định phức tạp hơn so với các kết

cau tâm phẳng, đặc biệt là do ảnh hưởng của vết nứt Với bài toán tam với chiều day

thay đối, hiện tượng mắt 6n định của kết cau tam sẽ trở nên phức tap hon, Wittick vàEllen [27] đã chứng minh ảnh hưởng của sự thay đôi độ day tam đến độ 6n định củatam không liên tục như đối với tam phang Sử dụng phương pháp phương trình tương

tự (The analog equation method - AEM), Nerantzaki & Katsikadelis [28] đã phân tích

én dinh cua tắm chữ nhật có độ dày thay đổi theo trục x Theo sự hiểu biết của tác

giả, gan đây rất hiếm có công bố nghiên cứu về 6n định của tam với độ day thay đôi

và có vết nứt trong đó các đặc tính vật liệu thay déi theo chiều dày Như vậy, việcnghiên cứu và tìm hiểu kỹ bài toán ổn định của tam FGM chiều dày thay đổi có vết

trong các kết cấu kỹ thuật, đồng thời cải thiện và phát triển một mô hình tính toán

mới trong các bài toán kết cau tam

1.3 Tông quan về tình hình nghiên cứu dao động của kết cấu tam FGM có nứt

Hiện nay, việc chế tạo kết cấu FGM có đặc điềm thay đổi liên tục về tính chất

vật liệu theo phương xác định đã dễ dàng hơn nhờ các kỹ thuật mới, nên chúng đang

cần nghiên cứu bổ sung những mặt còn chưa rõ ràng dé ngày càng hoàn thiện choviệc phát triển và ứng dụng loại kết cấu tiên tiến này Trong những thập kỷ qua, việcnghiên cứu dao động của tắm FGM đã được nhiều tác giả đề cập Senthil S Vela [29]

đã sử dụng lời giải chính xác ba chiều (three-dimensional exact solution) để xác định

dao động tự do và cưỡng bức của tắm FGM có liên kết tựa đơn Trên cơ sở tính toán

tần số dao động tự do, chuyên vị và ứng suất trong tam, các tác giả đã nêu ra những

ưu nhược điểm của các lý thuyết tắm cổ điền, lý thuyết biến dang cắt bậc nhất (FSDT)

và lý thuyết biến dạng cắt bậc ba S-Hoseini-Hashemi và cộng sự [30] đã sử dụng lý

thuyết biến dạng cắt bậc nhất đề tính tần số đao động tự do của tắm FGM trên nền

đàn hồi Phân tích dao động tự do của tam FGM với vật liệu không đồng nhất trong

mặt phẳng đã được D Liu [31] nghiên cứu Nhóm tác giả đã đưa ra phương pháp giải

phương trình vi phân bậc hai với hệ số là hàm số Nguyen-Minh và cộng sự [32] đã

sử dụng phương pháp khe hở trượt rời rạc làm mịn dựa trên tế bào (the cell-basedsmoothed discrete shear gap method) dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất đểphân tích dao động tĩnh và dao động tự do của tắm Sử dụng lý thuyết biến dạng cắt

bậc nhất của tắm, Nguyễn Đình Đức và cộng sự [33] đã phân tích động lực học và

dao động phi tuyến của tắm FGM có gân, có gắn lớp áp điện trong môi trường nhiệt

độ Yan va cộng sự [34] đã sử dụng nguyên ly D'Alembert, phương pháp Galerkin va

phương pháp cân băng điều hòa đề khảo sát dao động của tam FGM xốp Yan và Jean[35] đã nghiên cứu dao động của tắm hình chữ nhật FGM có lỗ rỗng đặt trong môi

trường nhiệt độ băng cách sử dụng lý thuyết tắm phi tuyến Von Kármán (Von Kármán

nonlinear plate theory) và phương pháp Galerkin Thang và cộng sự [36] đã sử dụng

nguyên ly Hamilton, lý thuyết tắm cô điền và lời giải Navier dé xác định ảnh hưởng

tích cực của gân gia cường đối với tần số dao động tự do của tam FGM Sử dung phântích đăng hình học, lý thuyết biến dạng cắt bậc cao, Loc va cộng sự [37] đã nghiên

cứu dao động tự do của tam nhiều lớp Nguyen và cộng sự [38] đã sử dụng phương

pháp đồng nhất và phan tử tắm Mindlin dé khảo sát dao động tự do của tam JingZhao [39] đã sử dụng lời giải chính xác ba chiều mới (novel three-dimensional exact

solution) dé xác định dao động tự do của tắm FGM hình chữ nhật có lỗ rỗng với các

điều kiện biên khác nhau Gần đây (năm 2019), Vuong và cộng sự [40] đã giới thiệu

lý thuyết biến dạng cắt bậc cao ba chiều mới (new quasi-3D higher-order sheardeformation theory) và phương pháp phân tích đăng hình học để phân tích đáp ứngdao động tự do của tắm FGM với các mặt cắt phức tạp Adarsh và cộng su [41] đãtrình bày lời giải đàn hồi ba chiều (three-dimensional elasticity solution) dé tính toán

chuyền vị và ứng suất trong tắm FGM chữ nhật có liên kết tựa ở bốn cạnh Sử dụng

phương pháp độ cứng động, Subodh và cộng sự [42] đã xác định tần số dao động tự

do của tắm hình chữ nhật FGM theo quy luật hàm sigmoid và hàm mũ

Khi kết cấu tam được đặt trên nền đàn hồi khác nhau, dao động của nó có sựthay đổi tương ứng Amini và cộng sự [43] đã sử dung đa thức Chebyshev và phươngpháp Ritz dé phân tích dao động tự do của tắm FGM năm trên nền đàn hồi Sử dụng

lý thuyết tắm biến dạng cắt bậc cao mới, Hassen và cộng sự [44] đã nghiên cứu dao

động tự do của tam FGM nam trên nền đàn hồi Winkler-Pasternak Hosseini-Hashemi

va cộng sự [45] đã nghiên cứu dao động tự do của tam hình chữ nhật FGM sử dụng

lý thuyết tắm biến dạng cắt bậc nhất Bằng cách giải các phương trình vi phân chuyênđộng với các điều kiện biên khác nhau, Hasani [46] đã tìm được tần số dao động củatắm FGM nam trên nền đàn hồi Parternak hai tham số Vahid và cộng sự [47] dựa

trên lý thuyết đàn hồi chính xác, biến dạng nhỏ và tuyến tính (the linear, small strainand exact elasticity theory) để nghiên cứu dao động tự do của tam đăng hướng hìnhtròn, hình khuyên có độ dày thay đối và tam FGM trên nền Pasternak Sử dụng lý

thuyết đàn hồi ba chiều (the three-dimensional theory of elasticity) và phương pháp

cầu phương vi phân (the differential quadrature method), Yas và cộng sự [48, 49] đãtính được tần số dao động tự do của tắm FGM hình khuyên có lớp áp điện năm trênnền đàn hồi Sheikholeslami [50] đã sử dụng lý thuyết tam biến dạng cắt bậc cao déphân tích dao động tự do của tam FGM chữ nhật nằm trên nền đàn hồi hai tham số

Sử dụng tắm FGM theo định luật hàm mũ (E), lũy thừa (P) va sigmoid (S),

Won-Hong [51] phân tích dao động tự do của tắm nằm trên nền đàn hồi bằng lý thuyết biến

dạng cắt bậc cao Woo-Young và cộng sự [52] đã phân tích dao động cưỡng bức củatam S-FGM trên nên đàn hồi sử dụng lý thuyết tắm biến dang cắt bậc cao cải tiến

Rabia và cộng sự [53] cũng sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao dé nghiên cứu

dao động tự do của tắm FGM năm trên nền đàn hồi có xét đến ảnh hưởng của sự thayđổi vị trí mặt trung hoà

Do thành phần gốm trong vật liệu FGM chịu được nhiệt độ cao nên vật liệunày còn được dùng làm tường cách nhiệt rất hiệu quả Có nhiều tài liệu nói về daođộng tự do của tắm FGM trong môi trường nhiệt Huang va cộng sự [54] đã sử dụng

lý thuyết tam biến dang cắt bậc cao và phương trình tổng quát kiểu Von-Kármán

(general von Kármán-type equation) dé phân tích đáp ứng động học va dao động phituyến của tam FGM với liên kết tựa don ở các cạnh Li và cộng sự [55] đã phân tíchdao động tự do của tắm FGM chữ nhật với các cạnh được liên kết tựa và liên kếtngàm bằng cách sử dụng lý thuyết đàn hồi tuyến tính ba chiều và phương pháp Ritz.Fiorenzo [56] đã sử dụng lý thuyết tắm một lớp tương đương bậc cao và phương phápMori-Tanaka dé nghiên cứu dao động tự do của tam P-FGM và S-FGM đặt trong môi

trường nhiệt với các thuộc tính của vật liệu phụ thuộc vào nhiệt độ Kiani [57] đã

nghiên cứu dao động tự do của tam nhiều lớp được gia cường bang graphene trongmôi trường nhiệt bằng cách sử dụng công thức NURBS và phương pháp Halpin-Tsaicải tiến Vinyas và cộng sự [58] đã nghiên cứu dao động tự do cua tắm FGM dan hồi

từ-điện-nhiệt bằng phương pháp phần tử hữu hạn Gupta A và Talha M [59] đã tính

tần số dao động tự do của tam FGM xốp dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc cao và

lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất Sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao, Vinyas và

cộng sự [60] đã phân tích các đặc điểm dao động tự do của tắm chữ nhật đàn hồi

từ-điện trong môi trường nhiệt - ầm Năm 2019, Lal và cộng sự [61] đã sử dụng phương

pháp vi phân trực hướng tong quát cho sự phân bố nhiệt độ phi tuyến theo chiều day

dé nghiên cứu dao động của tam tron FGM có chiều day thay đổi trong môi trường

nhiệt độ Lý thuyết biến dạng cắt bậc ba và phương pháp cầu phương vi phân tông

quát (the generalized differential quadrature method) được sử dụng bởi Hong [62] dénghiên cứu dao động trong môi trường nhiệt độ của tam FGM day Kim va cộng su

[63] đã nghiên cứu đáp ứng động phi tuyến và dao động của tắm FGM có gân gia

cường tựa trên nền đàn hồi, trong môi trường nhiệt độ bằng lý thuyết tam cô điển và

phương pháp Galerkin.

Chúng ta thấy rằng các vét nứt là sự khởi đầu của quá trình phá hủy kết cấu

Dé dam bảo kết cấu an toàn và khai thác hiệu qua, cần phân tích anh hưởng của vếtnứt đến dao động và ôn định của kết cấu Vật liệu FGM được sử dụng trong nhiềucông trình đòi hỏi tính năng kỹ thuật khắt khe do có nhiều đặc tính ưu việt, nhưngcũng giống như các vật liệu khác, trong quá trình sử dụng hoặc sản xuất có thé xuấthiện các vết nứt Việc nghiên cứu về các vết nứt được giới khoa học rất quan tâm,

đặc biệt là về ôn định và dao động của tam FGM bi nứt S.Natarajan [64] đã sử dung

phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng với phần tử tắm tứ giác 4 nút có 20 bậc tự do

để nghiên cứu tần số dao động tự do của tam FGM bi nứt C.S.Huang [65, 67, 73] sửdụng lý thuyết đàn hồi ba chiều và phương pháp Ritz mới dé phân tích dao động và

én định của tấm FGM có vết nứt Ahmad và cộng sự [66] nghiên cứu dao động tự docủa tắm FGM bị nứt trong môi trường nhiệt độ với các điều kiện biên khác nhau Ở

đây, nhóm tác giả đã sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất dé khảo sát ảnh hưởng

của kích thước tắm, hình dạng vết nứt, chiều dài vết nứt, sự thay đôi nhiệt độ đến daođộng của tam Loc và cộng sự [68] sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao và phươngpháp dang hình học mở rộng (the eXtended IsoGeometric Approach - XIGA) dé tínhtoán dao động tự do của tam FGM bị nứt Các tác giả sử dụng mô hình tam với các

điêu kiện biên các cạnh tựa đơn va ngàm đê khảo sát ảnh hưởng của chỉ sô hàm mũ,

chiều dài vết nứt, vị trí vết nứt đến tần số dao động tự do của tắm Joshi và cộng sự[69] xác định dao động của tắm hình chữ nhật FGM trực hướng mỏng có chứa mộtvết nứt ở tâm bằng phương pháp của Galerkin và phương pháp nhiễu loạn thang đo(multiple Scales perturbation method) Sử dụng lý thuyết tam cô điển của Kirchhoff

và phương pháp của Galerkin, Ankur và cộng sự [70, 71] đã nghiên cứu ảnh hưởng

của góc lệch và vi trí vết nứt đến đặc điểm dao động của tắm FGM có vết nứt

Shashank và cộng sự [72] đã phân tích ảnh hưởng của môi trường chất lỏng với nhiệt

độ thay đổi lên đáp ứng dao động của tam FGM có vết nứt

Trong lý thuyết Phase field, một vết nứt được mô phỏng bởi một biến phase

field, biến này tạo ra sự chuyên đổi liên tục từ trạng thái nứt sang trạng thái không

nứt của vật liệu Nguồn gốc của phương pháp này được đề cập bởi Francfort và cộng

sự [74] với sự hợp nhất biến thiên cho các mô hình vết nứt kiểu Griffith Ulmer [75]

đã sử dụng lý thuyết Phase field để mô hình hóa các vết nứt trên tắm và vỏ Năm

2012, Borden [76] đã mô phỏng các vết nứt động bởi biến phase field Pranesh vàcộng sự [77] đã cải tiến lại lý thuyết phase field để mô phỏng sự lan truyền vết nứtđộng (bao gồm cả sự phân nhánh) Đức va cộng sự [21] đã mô phỏng sự phát triểncủa các vết nứt bằng lý thuyết Phase field Rodriguez và cộng sự [78] đã sử dụng môphỏng phase field dé nghiên cứu mô hình của vết nứt giòn và dễ uốn

Trong chương 4, tác giả sẽ khảo sát ảnh hưởng của vết nứt tới dao động củatắm FGM với chiều dày không đổi hoặc thay đổi, đặt trên nền đàn hồi, trong môi

trường nhiệt độ.

1.4 Định hướng nghiên cứu

Vật liệu có cơ tính biến thiên FGM (Functionally Graded Material) đã đượcphát triển từ năm 1984 Có thé nói rằng sự xuất hiện của loại Composite thé hệ mớinày, đã đặt ra cho các nhà cơ học những bài toán mới cần giải quyết

Dựa trên các nghiên cứu về tam FGM trong những năm vừa qua, có thé thaynhững kết quả mà các nhà khoa học trong và ngoài nước đạt được bao gồm:

1- Đã khảo sát tương đối toàn diện các van đề về ồn định tĩnh tuyến tính và

ph tuyến các kết cấu tam FGM chịu tải trọng cơ, nhiệt, cơ-nhiệt kết hợp hoặc trên

nền đàn hồi bằng các phương pháp giải khác nhau, dựa trên các lý thuyết tam khác

nhau.

2- Đã tiễn hành phân tích dao động tuyến tính và phi tuyến của các kết cau tam

FGM chịu tác điều kiện tải trọng khác nhau, theo các phương pháp khác nhau

Các lý thuyết về dam, tam và vỏ đã được mở rộng và phát triển khá hoàn chỉnh

dé nghiên cứu các kết cau này làm từ vật liệu FGM

Có thé thay rang, các nghiên cứu đã được công bố chủ yêu nghiên cứu các kết

cau lý tưởng mà chưa kê đến các khuyết tật có thể xuất hiện trong kết cau như vết nứthay sự suy giảm độ cứng cục bộ khác Do đó, việc nghiên cứu ảnh hưởng của vết nứt

trong vật liệu FGM đóng vai trò then chốt trong việc hiểu đặc tính phá huỷ của vật

liệu FGM cũng như đảm bảo tinh an toàn khi đưa vật liệu FGM vào thực tế sản xuất

Tuy đã có một vài nghiên cứu ban đầu về phát triển của vết nứt trong tắm sửdụng lý thuyết Phase field, nhưng chưa có công bố nào sử dụng lý thuyết này đểnghiên cứu ảnh hưởng của vết nứt tới ôn định và dao động tự do của tam, đặc biệt làtắm được làm từ vật liệu FGM Đây là đề tài nghiên cứu có ý nghĩa thực tế lớn và sẽ

được thực hiện qua các bước sau:

(i) — Phát triển và kiểm nghiệm tính chính xác (so sánh với thực nghiệm)của lý thuyết Phase-Field trong cơ học phá hủy trong lý thuyết tắm Mindlin và các lý

thuyết tắm bậc cao

(ii) — Dựa trên cơ sở lý thuyết đã được kiểm nghiệm để tiếp tục đi sâu vào

ứng dụng lý thuyết Phase-Field nghiên cứu 6n định, dao động tự do của tam FGM bi

CHƯƠNG 2

XÂY DỰNG CÁC PHƯƠNG TRÌNH DỰA TREN LÝ THUYET TÁM, LÝ

THUYET PHASE FIELD VÀ PHƯƠNG PHÁP PHAN TU HỮU HAN

2.1 Dat van dé

Trong thực tế kỹ thuật ta thường gặp các kết cấu dang tam, ví dụ như các tamvách ngăn hay các tam mặt đường ô tô, sân bay, mặt cau, Dưới tác dụng của tảitrọng khi khai thác hoặc trong quá trình chế tạo, sản xuất các vết nứt đã xuất hiện vớimức độ khác nhau, điều này dẫn đến giảm khả năng chịu tải và tui thọ của chúng

Do vậy, vết nứt trong tắm trở thành một trong những đối tượng cần được xem xét với

mục đích khuyến cáo kỹ thuật, đảm bảo duy trì sự làm việc của kết cầu và xa hơn nữa

là đề xuất các giải pháp gia cường, khắc phục dé nâng cao hiệu qua làm việc cho kết

cấu

Trong chương này, tác giả xét tắm có các cạnh L, H với chiều dày h không đổihoặc thay đổi theo trục x Vết nứt ở chính giữa tam và xuyên thủng hết chiều day tam

với chiều dài và góc nghiêng có thé thay đôi Áp dụng các lý thuyết tam (bậc ba hoặc

bậc nhất), lý thuyết phase field để thành lập các phương trình động lực học của tắm

FGM có vết nứt, làm cơ sở cho việc xây dựng thuật toán phần tử hữu hạn Trong đó,

lý thuyết biến dang cắt bậc ba của Shi [86] với các phương trình biến dang và chuyên

vị được xây dựng từ lý thuyết đàn hồi, có tính đến biến thiên bậc hai của biến dạngtrượt Do đó nó đã tự động giải quyết được tình trạng nghẽn cắt mà lý thuyết bậc nhất

Mindlin gặp phải.

2.2 Các phương trình cơ bản

Theo lý thuyết biến dạng cắt bậc ba của Shi [86], chuyên vị của một điểm bat

kỳ với toa độ (x, y, z) thuộc tam được xác định theo công thức (2.1):

u(x, y,z,f) = Uy (sin) 49[2-Fe2 |2 01 ~ = : \

4 3h? Ox

5(_ 4 1 5 ;ÌÔn (2.1)6s ẽn nh :) ay

w(x, y,Z.t) = wụ (x, yt)

trong đĩ, U),Vy,W, là các chuyền vị trong mặt trung hồ của tắm tương ứng theo các

phương x, y, z; Ø,, Ø, là các gĩc xoay của mặt cắt ngang quanh trục y, x; và là

chiều day tam

Chúng ta cĩ thé nhận thấy, cơng thức (2.1) sẽ trở thành cơng thức lý thuyết

biến dạng cắt bậc nhất của Mindlin nếu bỏ qua thành phan bậc 3 của biến chiều dày,

bỏ qua thành phần đạo hàm của W, theo các biến x, y và bỏ qua hệ số 5/4 [4, 86]

Khi chiều dày của tắm thay đổi theo trục x tức lúc này h = h(x), ta cĩ trường

biến dạng của tắm tại điểm bất kỳ theo cơng thức (2.2):

trong đĩ: ơ=|ø, Ø, Ø„ | ; r=[y Te |

và #„ =[E„, Em #„„ | =[œŒ.7)AT a(z,T)AT ỌÏlà véc tơ biến dạng

do nhiệt độ với ø(z, 7), A7 - tương ứng là hệ số giãn nở nhiệt của vật liệu và biếnthiên nhiệt độ so với nhiệt độ chuẩn (AT =T()~ Tạ; Tạ = 300K )

Theo lý thuyết đàn hồi, năng lượng biến dang U đối với tam FGM trong môi

trường nhiệt được viết theo công thức (2.10):

=f (TNg +e My, + 6°" Py, )AQ

trong đó, d là véc tơ chuyên vị

Khi tính theo lý thuyết tam bậc nhất Mindlin thi bỏ các ma trận E, F, H, PB,

D trong công thức (2.10) do không có thành phần biến dạng bậc cao

2.3 Sử dung lý thuyết Phase-Field trong bai toán tam có vết nứt

Lý thuyết Phase-Field được phát triển và ứng dụng rộng rãi trong giải các bàitoán dòng chảy nhiều pha phức tạp Gần đây, lý thuyết Phase-Field được phát triển

mạnh và bắt đầu được áp dụng trong lĩnh vực Cơ học phá hủy Trong lý thuyết

Phase-Field, biến s nhận các giá trị liên tục từ 0 đến 1 (hình 2.1a) Trong đó, gia tri 0 củabiến Phase-Field chỉ trạng thái vật liệu bi phá huỷ; giá tri 1 chỉ trạng thái vật liệu bìnhthường Khi biến nhận giá trị giữa 0 va 1 ta nói vật liệu khu vực đó đang trong trạngthái mềm hoá (softening) Trạng thái này được hiểu như quá trình hình thành cácmicro-crack trong vật liệu và làm giảm độ cứng của vật liệu Do đó, trong lý thuyếtPhase-Field, vết nứt được biéu diễn bởi một vùng hẹp có biến đổi trạng thái liên tục

từ “phá huỷ - mềm hoá - bình thường” thông qua sự biến đổi liên tục của biến Field từ 0 đến 1 Chính nhờ sự thể hiện này, trong vật liệu không xuất hiện vùng batliên tục, cho phép ta tính đạo hàm, tích phân một cách dé dàng trong toàn miền giải

Phase-tích.

x, x,

x x.

3 a/ Trước khi sử dung Phase-field 3 b/ Sau khi sir dung Phase-field

Hình 2.1a Tam có vết nứt được mô phỏng bởi biến phase-field s

Hình 2.1a thé hiện trạng thái của vật liệu trước và sau khi sử dụng mô phỏngthong qua biến phase-field (s) Năng lượng vùng nứt được tính gần đúng theo công

thức [26]:

nfo wap fan (2.12)

với Ớ, là tốc độ giải phóng năng lượng tới hạn trong lý thuyết của Griffith (N⁄n?);£

là bề rộng vùng vết nứt và s là biến phase-field; ¡ là chiều day tam

Hình 2.1b mô tả trạng thái của vật liệu trong tắm thông qua biến phase-Field(s) sử dụng ngôn ngữ lập trình mã nguồn mở FreeFem++-cs, trong vùng vết nứt s

biến đổi từ màu đỏ (nứt) đến màu xanh dương (không nut)

1

0.95005 0.90011 0.85016 0.80022 0.75027 0.70033 0.65038

0.60043 0.55049

0.50054 0.4506 0.40065 0.3507 0.30076 0.25081 0.20087 0.15092 0.10098 0.05103 0.0010843

Hình 2.1b Mô phỏng biến phase-field trong tam có vết nứt sử dụng FreeFem

Khi tâm bị nút, tông năng lượng biên dạng của tâm trong môi trường nhiệt độ

do các lực thông thường, mô men uôn, mô men bậc cao và lực cat có thê được viet như sau:

Trong luận án này, tác giả sử dụng phan tử tam giác dang tham số 6 nút, mỗinút có 5 thành phần chuyền vị (Hình 2.2) Do lý thuyết biến dạng cắt của Mindlin chỉ

là trường hợp riêng của lý thuyết Shi [86] nên luận án trình bay cách tính theo lý

thuyết Shi

Hình 2.2 Phan tử đăng tham số 6 nút và phan tử tham chiếu của nóVéc tơ chuyền vị tại nút thứ ¡ của phần tử:

{4}, ={o;.¥oisWois Bus Bal > i=l1—>6 (2.14)

trong đó: q, Vụ,„ Wo; tương ứng là chuyển vi theo các phương x, y, z của nút thứ i;8y ›/Ø, tương ứng là các góc xoay quanh trục x, y tại nút thứ i

Véc tơ chuyên vi nút của phân tử:

T

d,= {uo,, Voi» Wo1> By Bas -++» o6 › Vọs › Wos> Byes Bao} (2.15)

Toa độ của điểm bat kỳ thuộc phần tử được nội suy từ toạ độ nút phần tử và

VỚI [7 I; là ma trận vuông don vi kích thước 5x5.

Biến dạng được biểu diễn theo chuyển vị nút như công thức (2.20)

trong đó [, | [B; | [B; | [B, | [Bs] là các ma tran vi phân hàm dang:

ôi 0 000[B|=| 0 2/%w3 0 0 OJ[N] (2.20a)

Cần chú ý rằng trong lý thuyết Mindlin thi bỏ thành phan vi phân bậc cao trong

các ma trận vi phân hàm dạng ở trên và không có ma trận [:] [B: | Có thé viết

như sau:

Ø/% 0 000[5j]=| 0 2/23 0 0 0|[A| (2.20)

8/Øy ô/ 000

2.4.2 Phương trình 6n định của tam có vết nút

Khi tam đặt trên nền đàn hồi Pasternak và chịu tác dụng của lực nén P° th

tổng năng lượng của tam nứt trong phương trình (2.13) được viết bố sung như sau:

ET AO $$ OT BE + z0? ge?® +

+£1T Be + e°' DeTM + c0TƑge® +

ni s +e£87"ge® + cØTrge® + eÙ*He® + dQ

+r Ay” 4 yO" By® + y?"py® + +77 Dy

1 +5 oS {k,w'w+k, (wiw, + Why )} dQ —

0(45)—| fs? ÉTN, te" My, +6°"P, aos (2.21)