chương 2 bài toán tối ưu sản xuất và tối ưu tiêu dùng

Ứng dụng cực trị hàm một biến trongphân tích kinhtế• Giả sử một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loạihàng,biết hàm cầu của doanh nghiệp đối với mặt hàng đóQ D = D P• Hàm tổng chi phí:

Trang 1

CHƯƠNG 2 BÀI TOÁN TỐI ƯU HOÁ SẢN XUẤT

VÀ TIÊU DÙNG

• 2.1 CÁC BÀI TOÁN

• 2.1.1 Bài toán sản xuất

• 2.1.2 Bài toán tiêu dùng

• 2.2 PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ TỰ DO CỦA HÀM SỐ

• 2.2.1 Khái niệm cực trị

• 2.2.2 Trường hợp bài toán chỉ có 1 biến lựa chọn

• 2.2.3 Trường hợp bài toán có nhiều biến lựa chọn

• 2.3 TỐI ƯU HOÁ VỚI RÀNG BUỘC ĐẲNG THỨC

• (CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN)

Trang 2

2.1 Các bài toán

• 2.1.1 Bài toán sản xuất

• 2.2.2 Bài toán tiêu dùng

Trang 3

2.1.1 Bài toán sản xuất

Giả sử xét một DN sản xuất ra sản phẩm hàng hoá Để sản xuất ra sản

phẩm đó, DN cần sử dụng n yếu tố đầu vào khác nhau Khi biếtđược chi phí cho mỗi một đơn vị yếu tố đầu vào sản xuất, lúc đó

DN có thể gặp các tình huống sau:

Một là, với số kinh phí đầu tư ấn định trước, DN muốn lựa chọn tổ hợp

sử dụng các yếu tố sao cho mức sản lượng là cao nhất - tối đahoá sản lượng

Hai là, với mức sản lượng dự kiến sản xuất, DN phải tiêu tốn một khoản

chi phí để thực hiện, đương nhiên là DN mong muốn lựa chọn tổhợp sử dụng các yếu tố sao cho mức chi phí là thấp nhất - cựctiểu hoá chi phí

Ba là, Với số kinh phí ban đầu, DN sản xuất sản lượng bao nhiêu để lợi

nhuận đạt tối đa

Trang 4

Bài toán sản xuất

Trường hợp 1: Tối đa sản lượng

Gọi K là kinh phí doanh nghiệp dự kiến đầu tư mua các yếu tố với mức

Nhưng với điều kiện ràng buộc về tổng chi phí sản xuất:

𝑗=1 𝑛

𝑃𝑗𝑋𝑗 = 𝐾

Trang 5

Trường hợp 2: Cực tiểu chi phí

Ta gọi Q0 là mức sản lượng doanh nghiệp dự kiến sản xuất Khi đó bài toán trở thành:

Xác định Xj≥0 (j = 1,…,n) để hàm số 𝑗=1𝑛 𝑃𝑗𝑋𝑗 → 𝑚𝑖𝑛 (chi phí sản xuất nhỏ nhất)

Nhưng với điều kiện ràng buộc về số đơn vị sản phẩm cầu SX:

Q = F(X1, X2, …., Xn) = Q0Đây là dạng bài toán liên quan đến hiệu quả chi phí Các nhà sản xuất thường lưu ý tới trường hợp 2 làm sao để hạ giá thành sản phẩm mà chất lượng hàng hóa không đổi.

Trang 6

Trường hợp 3: Tối đa lợi nhuận

- Tối đa lợi nhuận trong trường hợp doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo

- Tối đa lợi nhuận trong trường hợp doanh nghiệp độc quyền

Trang 7

2.1.2 Bài toán tiêu dùng

Tác nhân hoạt động trên lĩnh vực tiêu thụ hàng hóa gọi là người tiêu dùng Trong trường hợp hàng hóa được tiêu thụ là sản phẩm cuối cùng thì người tiêu dùng được gọi là hộ gia đình Trong phạm vi môn học, chúng ta sẽ đề cập tới hành vi của hộ giá đình.

Hành vi của các hộ gia định trên thị trường hàng hóa là cách thức

họ mua sắm, tiêu thụ các loại hàng hóa, từ đó hình thành mức cầu các loại hàng hóa của hộ gia đình Hộ gia đình quyết định chọn loại hàng nào, mua với khối lượng bao nhiêu phụ thuộc vào:

- Thị hiếu, sở thích

- Thu nhập đem chi tiêu mua hàng hóa (ngân sách của hộ gia đình)

- Giá cả của hàng hóa

- Mục đích tiêu dùng

Trang 8

Bài toán tiêu dùng

Trường hợp 1:

Ký hiệu: M là ngân sách tiêu dùng; P1, P2, …., Pn là giá các loại hàng

U(X) là hàm thỏa dụng của hộ gia đình.

Khi hộ gia đình dự kiến mua giỏ hàng X = (X1, X2, …., Xn) thì sẽ đạt mức thỏa dụng U(X) = 𝑗=1𝑛 𝑃𝑗𝑋𝑗 và cần chi tiêu một khoản Từ các yêu cầu ở trên ta có mô hình:

U (X) → Max Với điều kiện: 𝑗=1𝑛 𝑃𝑗𝑋𝑗 = 𝑀 Như vậy: Với giá cả các loại hàng hóa và ngân sách tiêu dùng cho trước, hộ gia đình cần quyết định chọn mua loại hàng hóa nào, khối lượng bao nhiêu sao cho số chi tiêu không quá ngân sách tiêu dùng nhưng phải đáp ứng tốt nhất sở thích.

Trang 9

Bài toán tiêu dùng

Trang 11

2.2.1 Khái niệm cực trị

• Cho hàm số f xác định trên D; x0 là điểm thuộc D

 f đạt cực tiểu (địa phương) tại x0 nếu f(x) > f(x0) với mọi x ∈

D và đủ gần x0 Lúc đó f(x0) cũng được gọi là giá trị cực tiểu của f

 f đạt cực đại (địa phương) tại x0 nếu f(x) < f(x0) với mọi x ∈ D

và đủ gần x0 Lúc đó f(x0) cũng được gọi là giá trị cực đại

của f

 Khi f đạt cực tiểu hay cực đại tại x0 ta cũng nói f đạt cực trị tại x0 và f(x0) là giá trị cực trị của f

Trang 12

2.2.1 Khái niệm cực trị

• Cách tìm cực trị

• Cho hàm số y Tìm cực trị của y (nếu có)

 Bước 1: Tính đạo hàm y’ và y” = (y’)’

 Bước 2: Giải phương trình y’ = 0 tìm các nghiệm (nếu có)

• + Nếu y’ vô nghiệm thì kết luận hàm số không có cực trị Thuật toándừng

• + Nếu y’ có nghiệm, chẳng hạn x 1 , x 2 ,… thì đó là những điểmdừng

 Bước 3: Kiểm tra điều kiện có cực trị tại từng điểm dừng

• Chẳng hạn, xét điểm dừng x = a nào đó

• Tính y”(a)

 Bước 4: Tóm tắt và kết luận về cực trị của hàm số đã cho

Trang 13

2.2.2 Cực trị hàm một biến

• Cho hàm số y = f(x) Tìm cực trị của f

 Bước 1: Tính đạo hàm y’ =f’(x).

 Bước 2: Giải phương trình y’ = 0 tìm các nghiệm x1, x2,… (nếu có)

 Bước 3: Tính y’’ = [f’(x)]’ và các giá trị f’’(x1), f’’(x 2),… của f’’ tại các điểm x1 x2 ,… nếu tìm được chúng ở bước 2

 Bước 4: Dựa vào dấu của f’’(x1), f’’(x 2),… suy ra tính chất cực trị của điểm x1, x2,…

Trang 14

Ví dụ

• Tìm cực trị của hàm:

• y = x 3 – 6x2 + 9x +10

• y = x 4 - 18x 2 + 5

Trang 15

• Xác định mức sản lượng mà doanh nghiệp cần sản xuất

để lợi nhuận cực đại

Trang 17

Ứng dụng cực trị hàm một biến

trong phân tích kinh tế

• Ví dụ: Cho biết hàm sản xuất ngắn hạn: 𝑄 = 1005 𝐿3;

• L >0 và giá của sản phẩm là 5USD, giá thuê lao động là 3USD Tìm mức sử dụng lao động để lợi nhuận tối đa

Trang 18

• Ví dụ: Một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm Biết hàm cầu là Q D = 656 -1/2P và hàm tổng

mức sản lượng Q sao cho xí nghiệp đạt lợi nhuận tối đa

•

Trang 19

• Ví dụ: Cho biết hàm tổng lợi nhuận 𝜋(Q) = - 1

3Q 3 + 3Q

2 - 15Q + 500 (Q ≥ 0) Tìm mức sản lượng Q để lợi nhuận cao nhất

•

Trang 20

• Bài toán thuế doanh thu

• Giả sử một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm Biết hàm cầu là Q D = D(P) (P là đơn giá)

và hàm tổng chi phí là TC = TC(Q) (Q là sản lượng) Hãy xác định mức thuế t trên một đơn vị sản phẩm để

có thể thu được nhiều thuế nhất từ xí nghiệp

•

Trang 21

• Bài toán thuế doanh thu

• Cách giải: Với một mức thuế t trên một đơn vị sản phẩm, DN địnhmức sản lượng Q phụ thuộc vào thuế t sao cho đạt lợi nhuận tối đa.Với mức sản lượng Q, để bán hết sản phẩm thì DN cần phải bántheo một đơn giá P sao cho Q D = Q

• Ta có: D(P) = Q P = P(Q) (P là hàm số theo biến Q)

• Doanh thu của DN là: TR(Q) = P×Q = P(Q) × Q

• Trong đó tiền thuế DN phải nộp là: T = Q × t

• Lợi nhuận của DN là: 𝜋 𝑄 = TR(Q) – TC(Q) – T

• Vậy yêu cầu bài toán: tìm Q = Q(t) sao cho 𝜋 𝑄 đạt giá trị lớn nhất.Khi đó tiền thuế mà DN phải nộp là T = Q(t) × t Ta cần tìm giá trị t

>0 sao cho T= Q(t) × t đạt cực đại

Trang 22

• Ví dụ: Một Doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại

tổng chi phí TC(Q) = Q 2 + 1000Q + 50 Hãy xác định mức thuế t trên một đơn vị sản phẩm để có thể thu được nhiều thuế nhất từ doanh nghiệp

•

Trang 23

2.2.3 Cực trị hàm hai biến

• Cho hàm số hai biến: Z = f (x,y)

• + Điểm M tọa độ (x0,y0) là cực tiểu khi f (x0,y0) < f(x,y)

• + Điểm M tọa độ (x0,y0) là cực đại khi f (x0,y0) > f(x,y)

 Điều kiện cần của cực trị: (x0,y0) là cực trị thì 𝑍𝑥

′ = 0

𝑍𝑦′ = 0

Trang 25

Ví dụ

• Tìm cực trị của hàm hai biến:

• Z = x2 + y2 – 5

• Z = 3 + 4xy – x4 – y4

Trang 26

Ứng dụng của cực trị hàm hai biến

• Tìm mức sản lượng Q 1, Q 2 ,…., Q n mà doanh nghiệp cần sảnxuất để lợi nhuận cực đại

Trang 27

Trang 28

trong kinh tế

• Ví dụ 1: Một công ty chuyên sản xuất 2 loại sản phẩm với sảnlượng tương ứng là x (đơn vị) và y (đơn vị) Giả sử giá tính theođơn vị là USD của sản phẩm loại 1 và loại 2 cho một đơn vị lần lượt

Trang 29

Trang 30

• Trong đó: QDi : Lượng cầu của hàng hóa thứ I

• P1, P2 ,…., Pn : Giá bán của n loại hàng hóa

• Q1, Q2 , …, Qn : Sản lượng của n loại hàng hóa

• Hàm tổng chi phí: C = C (Q1, Q2 , …, Qn)

• Tìm mức sản lượng Q1, Q2 ,…., Qn mà doanh nghiệp cần sảnxuất để lợi nhuận cực đại

Trang 31

Ứng dụng của cực trị hàm hai biến trong kinh tế

• Bài toán 2: Tối đa hóa lợi nhuận cho doanh nghiệp sản xuất nhiềumặt hàng trong điều kiện độc quyền

Trang 32

trong kinh tế

• Ví dụ:

• Cho một doanh nghiệp độc quyền sản xuất và kinh doanh

2 loại hàng hóa, biết rằng hàm cầu của 2 hàng hóa đó như sau: QD1 = 40 - 2P1 + P2

• QD2 = 15 + P1 - P2

• Hàm chi phí: C = Q12 + Q1Q 2 + Q22

• Tìm các mức sản lượng từng loại hàng mà doanh nghiệp cần sản xuất để lợi nhuận của Doanh nghiệp đạt cực đại

Trang 33

Trang 34

Ứng dụng của cực trị hàm hai biến trong kinh tế

• Bài toán 3: Tối đa hóa lợi nhuận cho doanh nghiệp sản xuất một mặthàng độc quyền nhưng bán trên nhiều thị trường

• Gọi Q 1, Q 2 , …, Q n là lượng hàng phân phối trên TT cần tìm

Trang 35

trong kinh tế

• Ví dụ:

• Cho một doanh nghiệp độc quyền sản xuất và kinh doanh 1loại hàng hóa trên 2 thị trường tách biệt với hàm cầu: QD1 = 840 -2P1

• QD2 = 1230 - 3P2

• Hàm chi phí: C = 20 + 150Q + Q2 với Q = Q1 + Q2

• Tìm lượng hàng phân phối trên từng thị trường để lợi nhuậncủa doanh nghiệp cực đại

Trang 36

Trang 37

trong kinh tế

• BTVN 2:

• Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền 1 loại sản phẩm và tiêu thụtrên hai thị trường tách biệt Biết hàm cầu của loại hàng hóa trên 2thị trường là:

Trang 38

Trang 39

2.2.4 Cực trị hàm ba biến

• Cho hàm số ba biến: W = f (x,y,z)

 Điều kiện cần của cực trị: (x0,y0,z0) là cực trị thì

Trang 40

𝐷1 < 0; 𝐷2> 0; 𝐷3 < 0 M là điểm cực đại của W

Trang 42

• Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

• U = 4xy – x 2 – 6y 2 – 3z 2 +12y + 36z +1

Trang 43

• Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số

• F(x,y,z) = x3 + y 2 + 2z 2 – 3x - 2y - 4z

Trang 44

• Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số

• W = - x13 + 3x1x3 + 2x2 – x22 – 3x32

Trang 46

2.3 Tối ưu hóa với ràng buộc đẳng thức

(Cực trị có điều kiện)

• Cách tìm cực trị của Z = F (x, y) với điều kiện G (x, y) = b

• Bước 1: Lập hàm Lagrange L(x,y, λ) = 𝑭 𝒙, 𝒚 + λ(𝒃 − 𝑮 𝒙, 𝒚 )

• Nếu H >0 thì Z đạt cực đại tại (xi,yi)

• Nếu H <0 thì Z đạt cực tiểu tại (xi,yi)

Trang 47

• Ví dụ: Tìm cực trị của W = 3x2 + 5xy với điều kiện x+y = 16

Trang 48

• Ví dụ: Tìm cực trị của Z = 8x + 15y + 28 với điều kiện 2x2+ 3y2 - 107 = 0

Trang 49

Dạng 1: Ứng dụng xác định cực trị có điều kiện trong bài toán tối đa lợi ích tiêu dùng

• Bài toán: Tối đa hóa lợi ích trong điều kiện ràng buộc về ngân sách dành cho chi tiêu

• Giả sử với ngân quỹ tiêu dùng cho phép M, người tiêu dùng cần mua n mặt hàng với Xi và Pi tương ứng với lượng sản phẩm và giá của một sản phẩm thứ i, i = 1,n Người tiêu dùng luôn mong muốn quá trình tiêu dùng của họ đem lại lợi ích tối

đa, như vậy bài toán đặt ra là tìm giá trị lớn nhất của TU = f(Xi) với điều kiện ràng buộc 𝑖=1𝑛 𝑃𝑖𝑋𝑖 = M

Trang 50

• Ví dụ: Anh Tiến dự định chi 185$ để mua x lượng sản phẩm A

và y lượng sản phẩm B Biết lợi ích tiêu dùng thỏa mãn TU = (x+3)y, đồng thời biết giá mặt hàng A,B lần lượt là 5$ và 20$ Hãy chọn cho anh Tiến túi hàng có lợi ích tối đa

Trang 51

• Ví dụ: Cho biết hàm lợi ích tiêu dùng U = X 0,4 Y 0,6 Giả sử giá của các mặt hàng tương ứng là 2$, 3$ và thu nhập dành cho tiêu dùng là 130$ Hãy xác định lượng cầu đối với mỗi mặt hàng để người tiêu dùng thu được lợi ích tối đa

Trang 52

Dạng 1: Ứng dụng xác định cực trị có điều

kiện trong bài toán tối đa lợi ích tiêu dùng

• Ví dụ: Hàm thỏa dụng của một hộ gia đình:

• U = 2lnx1 + lnx2 với x1,x2 là số lượng sử dụng hàng hóa 1,2 Với mức giá 2 hàng hóa này lần lượt là 3$ và 2$ Xác định lượng hàng tiêu dùng 2 mặt hàng của hộ

để mức độ thỏa dụng là tối đa với ngân sách 531$

Trang 53

Dạng 2: Ứng dụng xác định cực trị có điều kiện trong bài toán tối thiểu hóa chi phí tiêu dùng

• Bài toán: Muốn mua n mặt hàng với Xi, Pi tương ứng

là lượng sản phẩm và giá của sản phẩm thứ i, i = 1,n , nhưng người tiêu dùng lại có xu hướng lựa chọn là đặt ra một mức lợi ích U0 nhất định và thực hiện lợi ích đó với chi phí nhỏ nhất.

• Như vậy bài toán trở thành tìm cực tiểu của hàm chi phí tiêu dùng (còn gọi là hàm chi tiêu) TC = P1X1+P2X2 +….+ PnXn với điều kiện TU(X1,X2,….,Xn) = U0.

Trang 54

Ví dụ: Cho hàm chi tiêu C = P1X1 + P2X2 và hàm lợi ích

U = X1X2.

a Hãy cực tiểu hàm chi tiêu trong điều kiện giữ mức

lợi ích bằng U0

b Áp dụng với P1 = 8; P2 = 4; U0 = 8

Trang 55

• Ví dụ: Biết lợi ích khi mua 2 mặt hàng của chị Liên thỏa mãn TU(x,y) = 3x(y-7), đồng thời biết giá 2 mặt hàng lần lượt là 300 và 150 Chị Liên mong muốn lợi ích đạt 2400 Chị Liên đạt mức lợi ích này với chi phí nhỏ nhất là bao nhiêu?

Trang 56

kiện trong bài toán sản xuất

• Bài toán 1: Tối đa hóa sản lượng trong điều kiện ràng buộc về ngânsách dành cho sản xuất

• 𝑸 (𝑲, 𝑳) → 𝒎𝒂𝒙

𝑪 = 𝑲 𝑷𝑲 +𝑳 𝑷𝑳 = 𝑴

• Trong đó: Q (K,L) hàm sản xuất; PK ,P L lần lượt là giá thuê một đơn

vị vốn và một đơn vị lao động; M là ngân sách dành cho sản xuất

Trang 57

• Ví dụ: Hàm sản xuất của Doanh nghiệp có dạng

Q = x10,6 x20,25 trong đó Q: sản lượng; x1: vốn, x 2 : lao động.

Cho giá vốn w1 = 8; giá lao động w2 = 5 Tìm mức sản lượng lớn nhất với kinh phí dùng cho sản xuất Q là 680

Trang 58

• Ví dụ: Một doanh nghiệp có hàm sản xuất Q = K 0,4 L 0,3

a Hãy đánh giá hiệu quả của việc tăng quy mô sản xuất

b Giả sử giá thuê một đơn vị vốn là 4$, giá thuê một đơn vị lao động

là 3$ và doanh nghiệp tiến hành sản xuất với ngân sách cố định là1050$ Hãy cho biết doanh nghiệp đó sử dụng bao nhiêu đơn vịvốn và bao nhiêu đơn vị lao động thì thu được sản lượng tối đa

Trang 59

• Bài toán 2: Tối thiểu hóa chi phí trong điều kiện giữ nguyên mức sản lượng

• 𝑪 (𝑲, 𝑳) → 𝒎𝒊𝒏

𝑸(𝑲, 𝑳) = 𝑸𝟎

• Trong đó: C(K,L) là hàm chi phí; Q 0 là mức sản lượng dự kiến

Trang 60

• Ví dụ: Hàm sản xuất của Doanh nghiệp có dạng

• Q = 25x10,5 x20,5 trong đó Q: sản lượng; x1: vốn, x 2 : lao động Chogiá vốn w1 = 12; giá lao động w2 = 3

• Tính mức sử dụng x1, x2 để sản xuất sản lượng Q = Q 0 = 1250 vớichi phí nhỏ nhất

Trang 61

BÀI TẬP VỀ NHÀ

Bài 1: Một DN có hàm sản xuất: 𝑄 = 𝐾0,3 𝐿0,7 (K: vốn, L: lao động)

Giả sử giá thuê một đơn vị vốn là 5 USD, giá thuê một đơn vị lao động

là 4 USD và doanh nghiệp tiến hành sản xuất với ngân sách cố định

là 230 USD Hãy cho biết doanh nghiệp đó sử dụng bao nhiêu đơn vịvốn và bao nhiêu đơn vị lao động thì thu được sản lượng tối đa?

Bài 2: Cho hàm lợi ích tiêu dùng: 𝑈 = 𝑥10,4𝑥20,6 , trong đó x1 là lượnghàng hóa A, x2 là lượng hàng hóa B Biết rằng giá của mỗi đơn vịhàng hóa A, B lần lượt là 30 USD và 20 USD, đồng thời thu nhậpdành cho mua sắm hai mặt hàng đó là 7500 USD Hãy tìm cơ cấumua sắm để tối đa hóa lợi ích của người tiêu dùng

Trang 62

Bài kiểm tra chương 2

•

Bài 1: Cho hàm lợi ích hộ gia đình có dạng: 𝑈 = 𝑥10,5𝑥20,5

Với 𝑥1, 𝑥2 là lượng tiêu dùng hai hàng hóa 1, 2 (đk: x i ≥0)

Giá hai hàng hóa tương ứng là 𝑝1 = 3, 𝑝2 = 2

(a) Thu nhập là M = 600, xác định phương án tiêu dùng tối đa hóa lợi ích

của hộ gia đình.

(b) Nếu giá hàng và ngân sách tiêu dùng cùng tăng 10% thì lựa chọn của

hộ gia đình có thay đổi không? Tại sao?

(c) Nếu muốn lợi ích đạt được là 𝑈0 = 1000 thì mức chi tiêu tối thiểu bằng

bao nhiêu?

Bài 2: Cho hàm sản xuất: 𝑄 = 25𝐾0,5 𝐿0,5

(a) Quá trình sản xuất hiệu quả thế nào với quy mô?

(b) Xác định hệ số thay thế vốn và lao động tại mức K =5, L =10 và giải thích ý nghĩa.

(c) Với ngân sách là 600, giá vốn là 12, giá lao động là 3, xác định lượng vốn và lao động để tối đa hóa sản lượng, và sản lượng tối đa là bao nhiêu?

Bài 3:Hàm thỏa dụng của một hộ gia đình: U = 0,5lnx 1 + 1,5lnx 2 với x 1 ,x 2 là

số lượng sử dụng hàng hóa 1,2 Với mức giá 2 hàng hóa này lần lượt là

thỏa dụng là tối đa với ngân sách là 420

Định dạng
Số trang	62
Dung lượng	1,34 MB