chương 2 bài toán tối ưu sản xuất và tối ưu tiêu dùng

Ứng dụng cực trị hàm một biến trongphân tích kinhtế• Giả sử một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loạihàng,biết hàm cầu của doanh nghiệp đối với mặt hàng đóQ D = D P• Hàm tổng chi phí:

• 2.2.2 Trường hợp bài toán chỉ có 1 biến lựa chọn• 2.2.3 Trường hợp bài toán có nhiều biến lựa chọn• 2.3 TỐI ƯU HOÁ VỚI RÀNG BUỘC ĐẲNG THỨC

• (CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN)

2.1 Các bài toán

• 2.1.1 Bài toán sản xuất• 2.2.2 Bài toán tiêu dùng

2.1.1 Bài toán sản xuất

Giả sử xét một DN sản xuất ra sản phẩm hàng hoá Để sản xuất ra sảnphẩm đó, DN cần sử dụng n yếu tố đầu vào khác nhau Khi biếtđược chi phí cho mỗi một đơn vị yếu tố đầu vào sản xuất, lúc đóDN có thể gặp các tình huống sau:

Một là, với số kinh phí đầu tư ấn định trước, DN muốn lựa chọn tổ hợpsử dụng các yếu tố sao cho mức sản lượng là cao nhất - tối đahoá sản lượng.

Hai là, với mức sản lượng dự kiến sản xuất, DN phải tiêu tốn một khoảnchi phí để thực hiện, đương nhiên là DN mong muốn lựa chọn tổhợp sử dụng các yếu tố sao cho mức chi phí là thấp nhất - cựctiểu hoá chi phí.

Ba là, Với số kinh phí ban đầu, DN sản xuất sản lượng bao nhiêu để lợinhuận đạt tối đa

Bài toán sản xuất

Trường hợp 1: Tối đa sản lượng

Gọi K là kinh phí doanh nghiệp dự kiến đầu tư mua các yếu tố với mứcX1, …., Xn để sản xuất.

Do biết được giá của mỗi đơn vị yếu tố đầu vào, ta có thể viết được hàmtổng chi phí sau: P1X1 + P2X2 +….+ PnXn = 𝑗=1𝑛 𝑃𝑗𝑋𝑗

Khi đó bài toán trở thành:

Xác định Xj≥ 0 (j = 1,…, n) để hàm số: Q = F (X1, X2, …., Xn) → max (sảnlượng cực đại)

Nhưng với điều kiện ràng buộc về tổng chi phí sản xuất:

𝑃𝑗𝑋𝑗 = 𝐾

Bài toán sản xuất

Trường hợp 2: Cực tiểu chi phí

Ta gọi Q0 là mức sản lượng doanh nghiệp dự kiến sản xuất.Khi đó bài toán trở thành:

Xác định Xj≥0 (j = 1,…,n) để hàm số 𝑗=1𝑛 𝑃𝑗𝑋𝑗 → 𝑚𝑖𝑛 (chi phísản xuất nhỏ nhất)

Nhưng với điều kiện ràng buộc về số đơn vị sản phẩm cầu SX:Q = F(X1, X2, …., Xn) = Q0

Đây là dạng bài toán liên quan đến hiệu quả chi phí Các nhàsản xuất thường lưu ý tới trường hợp 2 làm sao để hạ giáthành sản phẩm mà chất lượng hàng hóa không đổi.

Bài toán sản xuất

Trường hợp 3: Tối đa lợi nhuận

- Tối đa lợi nhuận trong trường hợp doanh nghiệp cạnh tranhhoàn hảo

- Tối đa lợi nhuận trong trường hợp doanh nghiệp độc quyền

2.1.2 Bài toán tiêu dùng

Tác nhân hoạt động trên lĩnh vực tiêu thụ hàng hóa gọi là ngườitiêu dùng Trong trường hợp hàng hóa được tiêu thụ là sản phẩm cuốicùng thì người tiêu dùng được gọi là hộ gia đình Trong phạm vi mônhọc, chúng ta sẽ đề cập tới hành vi của hộ giá đình.

Hành vi của các hộ gia định trên thị trường hàng hóa là cách thứchọ mua sắm, tiêu thụ các loại hàng hóa, từ đó hình thành mức cầu cácloại hàng hóa của hộ gia đình Hộ gia đình quyết định chọn loại hàngnào, mua với khối lượng bao nhiêu phụ thuộc vào:

- Thị hiếu, sở thích

- Thu nhập đem chi tiêu mua hàng hóa (ngân sách của hộ gia đình)- Giá cả của hàng hóa

- Mục đích tiêu dùng

Bài toán tiêu dùng

U (X) → Max

Với điều kiện: 𝑗=1𝑛 𝑃𝑗𝑋𝑗 = 𝑀

Như vậy: Với giá cả các loại hàng hóa và ngân sách tiêu dùng chotrước, hộ gia đình cần quyết định chọn mua loại hàng hóa nào, khốilượng bao nhiêu sao cho số chi tiêu không quá ngân sách tiêu dùngnhưng phải đáp ứng tốt nhất sở thích.

Bài toán tiêu dùng

Trường hợp 2:

Người tiêu dùng cần đạt được mức lợi ích đã địnhtrước U = U0 thì phải tổ chức mua sao cho chi phí tiêu dùnglà thấp nhất.

Hàm mục tiêu: P1X1 + P2X2 + ….+ PnXn →MinRàng buộc: U = U(X1, X2, …., Xn) = U0

2.2 Phương pháp tìm cực trị tựdo của hàm số

• 2.2.1 Khái niệm cực trị

• 2.2.2 Cực trị hàm 1 biến số• 2.2.3 Cực trị hàm 2 biến số• 2.2.4 Cực trị hàm 3 biến số

2.2.1 Khái niệm cực trị

• Cho hàm số f xác định trên D; x0 làđiểm thuộc D

 f đạt cực tiểu (địa phương) tại x0 nếu f(x) > f(x0) với mọi x ∈D vàđủ gần x0 Lúcđó f(x0) cũng được gọi là giá trị cực tiểucủa f

 fđạt cực đại (địa phương) tại x0 nếu f(x) < f(x0) với mọi x ∈ D vàđủ gần x0 Lúcđó f(x0) cũng được gọi là giá trị cực đại

của f

 Khi f đạt cực tiểu hay cực đại tại x0 ta cũng nói f đạt cực trịtại x0 và f(x0) là giátrị cực trị của f

2.2.1 Khái niệm cực trị

• Cách tìm cực trị

• Cho hàm số y Tìm cực trị của y (nếu có) Bước 1: Tính đạo hàm y’ và y” = (y’)’

 Bước 2: Giải phương trình y’ = 0 tìm các nghiệm (nếu có)

• + Nếu y’ vô nghiệm thì kết luận hàm số không có cực trị Thuật toándừng

• + Nếu y’ có nghiệm, chẳng hạn x 1 , x 2 ,… thì đó là những điểmdừng

 Bước 3: Kiểm tra điều kiện có cực trị tại từng điểm dừng• Chẳng hạn, xét điểm dừng x = a nào đó

• Tính y”(a).

 Bước 4: Tóm tắt và kết luận về cực trị của hàm số đã cho

2.2.2 Cực trị hàm một biến

• Cho hàmsố y = f(x) Tìm cực trị của fBước 1: Tính đạo hàm y’ =f’(x).

Bước 2: Giải phương trình y’ = 0 tìm các nghiệm x1, x2,… (nếucó)

Bước 3: Tính y’’ = [f’(x)]’ và các giá trị f’’(x1),f’’(x 2),… của f’’ tạicácđiểm x1 x2 ,… nếu tìm được chúng ở bước 2

Bước 4: Dựa vào dấu của f’’(x1),f’’(x 2),… suy ra tính chất cựctrị của điểm x1, x2,…

Ví dụ

• Tìm cực trị của hàm:• y = x 3 – 6x2 + 9x +10• y = x 4 - 18x 2 + 5

Ứng dụng cực trị hàm một biến trongphân tích kinhtế

• Giả sử một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loạihàng,biết hàm cầu của doanh nghiệp đối với mặt hàng đóQ D = D (P)

• Hàm tổng chi phí: C = C(Q)

• Xác định mức sản lượng mà doanh nghiệp cần sản xuấtđể lợi nhuận cực đại

Ứng dụng cực trị hàm một biếntrong phân tích kinhtế

• Ví dụ: Cho hàm sản xuất: Q = 120L2 - L3 ; L >0• Xác định mức sử dụng lao động để sản lượng tối

đa

Ứng dụng cực trị hàm một biếntrong phân tích kinhtế

• Ví dụ: Cho biết hàm sản xuất ngắn hạn: 𝑄 = 1005 𝐿3;

• L >0 và giá của sản phẩm là 5USD, giá thuê lao động là3USD Tìmmức sử dụng lao động để lợi nhuận tối đa

Ứng dụng cực trị hàm một biếntrong phân tích kinhtế

• Ví dụ: Một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sảnphẩm Biết hàm cầu là Q D = 656 -1/2P và hàmtổng

mức sản lượng Q sao cho xí nghiệp đạt lợi nhuận tốiđa

•

Ứng dụng cực trị hàm một biếntrong phân tích kinhtế

• Ví dụ: Cho biết hàm tổng lợi nhuận 𝜋(Q) = - 1

3Q 3 + 3Q

2 - 15Q + 500 (Q≥ 0) Tìm mức sản lượng Q để lợinhuận cao nhất

•

Ứng dụng cực trị hàm một biếntrong phân tích kinhtế

• Bài toán thuế doanh thu

• Giả sử một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loạisản phẩm Biết hàm cầu là Q D = D(P) (P làđơn giá)và hàmtổng chi phí là TC = TC(Q) (Q là sản lượng).Hãy xácđịnh mức thuế t trên một đơn vị sản phẩm đểcóthể thu được nhiều thuế nhất từ xí nghiệp

•

Ứng dụng cực trị hàm một biếntrong phân tích kinhtế

• Bài toán thuế doanh thu

• Cách giải: Với một mức thuế t trên một đơn vị sản phẩm, DN địnhmức sản lượng Q phụ thuộc vào thuế t sao cho đạt lợi nhuận tối đa.Với mức sản lượng Q, để bán hết sản phẩm thì DN cần phải bántheo một đơn giá P sao cho Q D = Q

• Ta có: D(P) = Q P = P(Q) (P là hàm số theo biến Q)• Doanh thu của DN là: TR(Q) = P×Q = P(Q) × Q

• Trong đó tiền thuế DN phải nộp là: T = Q × t

• Lợi nhuận của DN là: 𝜋 𝑄 = TR(Q) – TC(Q) – T

• Vậy yêu cầu bài toán: tìm Q = Q(t) sao cho 𝜋 𝑄 đạt giá trị lớn nhất.Khi đó tiền thuế mà DN phải nộp là T = Q(t) × t Ta cần tìm giá trị t>0 sao cho T= Q(t) × t đạt cực đại

Ứng dụng cực trị hàm một biếntrong phân tích kinhtế

• Ví dụ: Một Doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại

tổng chi phí TC(Q) = Q 2 + 1000Q + 50 Hãy xácđịnhmức thuế t trên một đơn vị sản phẩm để có thể thuđược nhiều thuế nhất từ doanh nghiệp

•

2.2.3 Cực trị hàm hai biến

• Cho hàm số hai biến: Z = f (x,y)

• + Điểm M tọa độ (x0,y0) là cực tiểu khi f (x0,y0) < f(x,y) • + Điểm M tọa độ (x0,y0) là cực đại khi f (x0,y0) > f(x,y)  Điều kiện cần của cực trị: (x0,y0) là cực trị thì 𝑍𝑥

′ = 0𝑍𝑦′ = 0

∆AKết luận

+(x0, y0) khôngphải là cực trị-+(x0, y0) làcực tiểu

-(x0, y0) làcực đại0Chưa có kết luậnĐiều kiện đủ của cực trị

Đặt A = 𝑍𝑥𝑥′′ (x0,y0)B = 𝑍𝑥𝑦′′ (x0,y0)C = 𝑍𝑦𝑦′′ (x0,y0)

∆ = B 2 - AC

Ví dụ

• Tìm cực trị của hàm hai biến:• Z = x2 + y2 – 5

• Z = 3 + 4xy – x4 – y4

Ứng dụng của cực trị hàm hai biếntrong kinhtế

• Bài toán 1: Tối đa hóa lợi nhuận cho doanh nghiệp sản xuất nhiềumặt hàng trong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo

• Giả sử doanh nghiệp sản xuất n loại hàng hóa trong điều kiệncạnh tranh hoàn hảo với mức giá P1 , P2 ,…., Pn.

• Hàm chi phí: C = C (Q 1, Q 2 , …, Q n) với Qi(i = 1,n) là mức sảnlượng i mà doanh nghiệp sản xuất

• Tìm mức sản lượng Q 1, Q 2 ,…., Q n mà doanh nghiệp cần sảnxuất để lợi nhuận cực đại

Ứng dụng của cực trị hàm hai biếntrong kinhtế

• Bài toán 1: Tối đa hóa lợi nhuận cho doanh nghiệp sản xuất nhiềumặt hàng trong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo

• Cách giải:

• Gọi Q 1, Q 2 , …, Q n là mức sản lượng cần tìm• Doanh thu: TR = P1Q1 + P2Q2 + …+ PnQn = ∑ PiQi• Chi phí: C = C (Q1, Q2 , …, Q n)

• Lợi nhuận: LN = TR – C = ∑PiQi - C (Q1, Q2 , …, Qn)

• Bài toán trở thành: Tìm Q1, Q2 , …, Qn để hàm lợi nhuận đạt cựcđại

Ứng dụng của cực trị hàm hai biếntrong kinhtế

• Ví dụ 1: Một công ty chuyên sản xuất 2 loại sản phẩm với sảnlượng tương ứng là x (đơn vị) và y (đơn vị) Giả sử giá tính theođơn vị là USD của sản phẩm loại 1 và loại 2 cho một đơn vị lần lượtlà P(x) = 50 – x và P(y) = 50 – y.

• Biết rằng tổng chi phí để sản xuất 2 loại sản phẩm trên là:• C (x,y) = x 2 + xy + y 2 (USD)

• Vậy công ty nên sản xuất bao nhiêu đơn vị sản phẩm mỗi loại đểtổng lợi nhuận thu được cực đại

•

Ứng dụng của cực trị hàm hai biếntrong kinhtế

Vídụ 2: Một doanh nghiệp sản xuất 2 mặt hàng trong điều kiệncạnh tranh hoàn hảo với giá P1 = 60; P 2 = 75 Hàm chi phí C =Q12 + Q1Q2 + Q22

Tìm cácmức sản lượng Q1 ,Q2 doanhnghiệp cần sản xuất đểlợi nhuận đạt cực đại

Ứng dụng của cực trị hàm hai biếntrong kinhtế

• Bài toán 2: Tối đa hóa lợi nhuận cho doanh nghiệp sản xuất nhiềumặt hàng trong điều kiện độc quyền

• Cho một doanh nghiệp độc quyền sản xuất và kinh doanh nloại hàng hóa, biết rằng hàm cầu của các hàng hóa trên là QDi = Di(P1, P2 ,…., Pn) với i = 1,n

• Trong đó: QDi : Lượng cầu của hàng hóa thứ I

• P1, P2 ,…., Pn : Giá bán của n loại hàng hóa

• Q1, Q2 , …, Qn : Sản lượng của n loại hàng hóa• Hàm tổng chi phí: C = C (Q1, Q2 , …, Qn)

• Tìm mức sản lượng Q1, Q2 ,…., Qn mà doanh nghiệp cần sảnxuất để lợi nhuận cực đại

Ứng dụng của cực trị hàm hai biến trong kinh tế

• Bài toán 2: Tối đa hóa lợi nhuận cho doanh nghiệp sản xuất nhiềumặt hàng trong điều kiện độc quyền

• Gọi Q 1, Q 2 , …, Q n là mức sản lượng cần tìm• Để doanh nghiệp bán hết hàng thì:

𝑄1 = 𝑄𝐷1𝑄2 = 𝑄𝐷2

𝑄𝑛 = 𝑄𝐷𝑛

𝑄1 = 𝐷1(𝑃1, 𝑃2, … , 𝑃𝑛)𝑄2 = 𝐷2(𝑃1, 𝑃2, … , 𝑃𝑛)

𝑄𝑛 = 𝐷𝒏(𝑃𝟏, 𝑃2, … , 𝑃𝑛)

𝑃1 = 𝑃1(𝑄1, 𝑄2, … , 𝑄𝑛)𝑃2 = 𝑃2(𝑄1, 𝑄2, … , 𝑄𝑛)

𝑃𝑛 = 𝑃𝑛(𝑄1, 𝑄2, … , 𝑄𝑛)• R = P1Q1 + P2Q2 + …+ PnQn = ∑ PiQi = ∑Q iPi(Q1, Q2 , …, Qn)

• C = C (Q1, Q2 , …, Qn)

• LN = R – C = ∑ QiPi(Q1, Q2 , …, Qn) - C (Q 1, Q 2 , …, Q n) • Bài toán trở thnh tìm Q1, Q2 , …, Qn để hàmLN đạt cực đại

Ứng dụng của cực trị hàm hai biếntrong kinhtế

• Ví dụ:

•Chomột doanh nghiệp độc quyền sản xuất và kinh doanh2loại hàng hóa, biết rằng hàm cầu của 2 hàng hóa đó nhưsau: QD1 = 40 - 2P1 + P2

•QD2 = 15 + P1 - P2

• Hàm chi phí: C = Q12 + Q1Q 2 + Q22

•Tìm cácmức sản lượng từng loại hàng mà doanh nghiệpcần sản xuất để lợi nhuận của Doanh nghiệp đạt cực đại

Ứng dụng của cực trị hàm hai biếntrong kinhtế

• Bài toán 3: Tối đa hóa lợi nhuận cho doanh nghiệp sản xuất mộtmặt hàng độc quyền nhưng bán trên nhiều thị trường

• Cho một công ty sản xuất độc quyền một loại sản phẩm và tiêuthụ trên n thị trường tách biệt.

• Giả sử hàm cầu trên n thị trường như sau:

• QD1 = D1(P1); QD2 = D2(P2); … ; QDn = Dn(Pn)• Hàm tổng chi phí: C = C (Q) với Q = Q1 + Q2 + …+ Qn

• Tìm lượng hàng phân phối trên từng thị trường để doanhnghiệp đạt lợi nhuận cực đại

Ứng dụng của cực trị hàm hai biến trong kinh tế

• Bài toán 3: Tối đa hóa lợi nhuận cho doanh nghiệp sản xuất một mặthàng độc quyền nhưng bán trên nhiều thị trường

• Gọi Q 1, Q 2 , …, Q n là lượng hàng phân phối trên TT cần tìm• Để doanh nghiệp bán hết hàng thì:

𝑄1 = 𝑄𝐷1𝑄2 = 𝑄𝐷2

𝑄𝑛 = 𝑄𝐷𝑛

𝑄1 = 𝐷1(𝑃1)𝑄2 = 𝐷2(𝑃2)

𝑄𝑛 = 𝐷𝒏(𝑃𝑛)

𝑃1 = 𝑃1(𝑄1)𝑃2 = 𝑃2(𝑄2)

𝑃𝑛 = 𝑃𝑛(𝑄𝑛)

• R = Q1P1 + Q2P2 + …+ QnPn = ∑ QiPi = ∑Q iPi(Q1, Q2 , …, Qn)• C = C (Q) = C (Q1, Q2 , …, Qn) vì Q = Q1 + Q2 +… + Qn

• LN = R – C = ∑ QiPi(Q1, Q2 , …, Qn) - C (Q1, Q2 , …, Qn) • Bài toán trở thnh tìm Q1, Q2 , …, Qn để hàmLN đạt cực đại

Ứng dụng của cực trị hàm hai biếntrong kinhtế

• Ví dụ:

• Cho một doanh nghiệp độc quyền sản xuất và kinh doanh 1loại hàng hóa trên 2 thị trường tách biệt với hàm cầu: QD1 = 840 -2P1

• QD2 = 1230 - 3P2

• Hàm chi phí: C = 20 + 150Q + Q2 với Q = Q1 + Q2

• Tìm lượng hàng phân phối trên từng thị trường để lợi nhuậncủa doanh nghiệp cực đại

Ứng dụng của cực trị hàm hai biếntrong kinhtế

• BTVN 1:

• Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền 2 loại sản phẩm Biết hàmcầu của loại hàng hóa trên là:

• QD1 = 800 - 2P1 + P2• QD2 = 960 + P1 - P2

• Hàm tổng chi phí: C = 320Q 1 + 480Q 2 +150

• Tìm mức sản lượng của mỗi loại sản phẩm để doanh nghiệp cólợi nhuận tối đa.

Ứng dụng của cực trị hàm hai biếntrong kinhtế

• BTVN 2:

• Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền 1 loại sản phẩm và tiêu thụtrên hai thị trường tách biệt Biết hàm cầu của loại hàng hóa trên 2thị trường là:

• QD1 = 470 – 1/2P1• QD2 = 620 - P2

• Hàm tổng chi phí: C = Q2 + 60Q +20

• Tìm lượng hàng phân phối cho từng thị trường để doanhnghiệp có lợi nhuận tối đa Từ đó suy ra tổng sản lượng của doanhnghiệp

Ứng dụng của cực trị hàm hai biếntrong kinhtế

2.2.4 Cực trị hàm ba biến

• Cho hàm số ba biến: W = f (x,y,z)

Điều kiện cần của cực trị: (x0,y0,z0) làcực trị thì

𝑊𝑥′ = 0𝑊𝑦′ = 0𝑊𝑧′ = 0

𝑥 = x0𝑦 = y0𝑧 = z0

M(x0,y0,z0)

2.2.4 Cực trị hàm ba biến

Điều kiện đủ của cực trị: 𝐻 =

𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33

𝑎11 = 𝑊𝑥𝑥" ; 𝑎12 = 𝑊𝑥𝑦" ;𝑎23 = 𝑊𝑦𝑧" ; 𝑎31= 𝑊𝑧𝑥"𝐷1 = |𝑎11|

𝐷2 = 𝑎𝑎11 𝑎12

21𝑎22𝐷3 = 𝐻

Xéttại điểm M: 𝐷1> 0; 𝐷2> 0; 𝐷3> 0 M làđiểm cực tiểu của W𝐷1 < 0; 𝐷2> 0; 𝐷3 < 0 M là điểm cực đại của W

2.2.4 Cực trị hàm ba biến

• Nhắc lại cách tính D3• 𝐷3 =

𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33

• = 𝑎11𝑎22𝑎33 + 𝑎12𝑎23𝑎31 + 𝑎13𝑎21𝑎32 − (𝑎31𝑎22𝑎13 + 𝑎32𝑎23𝑎11 +

2.2.4 Cực trị hàm ba biến

• Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số• U = 4xy – x 2 – 6y 2 – 3z 2 +12y + 36z +1

2.2.4 Cực trị hàm ba biến

• Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số

• F(x,y,z) = x3 + y 2 + 2z 2 – 3x - 2y - 4z

2.2.4 Cực trị hàm ba biến

• Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số

• W = - x13 + 3x1x3 + 2x2 – x22 – 3x32

Ứng dụng của cực trị hàm ba biếntrong kinhtế

2.3 Tối ưu hóa với ràng buộc đẳng thức(Cực trị có điều kiện)

• Cách tìm cực trị của Z = F (x, y) với điều kiện G (x, y) = b

• Bước 1: Lập hàm Lagrange L(x,y, λ) = 𝑭 𝒙, 𝒚 + λ(𝒃 − 𝑮 𝒙, 𝒚 )• Bước 2: Giải hệ

•

𝑳′𝒙 = 𝟎𝑳′𝒚 = 𝟎𝑳′λ = 𝟎

Điểm dừng MI (xi,yi,λ𝒊)• Bước 3: Tính định thức cấp 3

• H =

𝟎 𝑮′𝒙 𝑮′𝒚𝑮′𝒙 𝑳′′𝒙𝒙 𝑳′′𝒙𝒚𝑮′𝒚 𝑳′′𝒙𝒚 𝑳′′𝒚𝒚

• Bước 4: Tính H khi x = xi ; y = yi ; λ = λ𝒊• Nếu H >0 thì Z đạt cực đại tại (xi,yi)

• Nếu H <0 thì Z đạt cực tiểu tại (xi,yi)

2.3 Tối ưu hóa với ràng buộc đẳng thức(Cực trị có điều kiện)

• Ví dụ: Tìm cực trị của W = 3x2 + 5xyvới điều kiệnx+y = 16

2.3 Tối ưu hóa với ràng buộc đẳng thức(Cực trị có điều kiện)

• Ví dụ: Tìm cực trị của Z = 8x + 15y + 28 với điều kiện 2x2+ 3y2 - 107 = 0

Dạng 1: Ứng dụng xác định cực trị có điềukiện trong bài toán tối đa lợi ích tiêu dùng

• Bài toán: Tối đa hóa lợi ích trong điều kiện ràng buộc về ngânsách dành cho chi tiêu

• Giả sử với ngân quỹ tiêu dùng cho phép M, người tiêu dùngcần mua n mặt hàng với Xi và Pi tương ứng với lượng sảnphẩm và giá của một sản phẩm thứ i, i = 1,n Người tiêu dùngluôn mongmuốn quá trình tiêu dùng của họ đem lại lợi ích tốiđa, như vậy bài toán đặt ra là tìm giá trị lớn nhất của TU = f(Xi)với điều kiện ràng buộc 𝑖=1𝑛 𝑃𝑖𝑋𝑖 = M

Dạng 1: Ứng dụng xác định cực trị có điềukiện trong bài toán tối đa lợi ích tiêu dùng

• Ví dụ: Anh Tiến dự định chi 185$ để mua x lượng sản phẩm Avà ylượng sản phẩm B Biết lợi ích tiêu dùng thỏa mãn TU =(x+3)y,đồng thời biết giá mặt hàng A,B lần lượt là 5$ và 20$.Hãychọn cho anh Tiến túi hàng có lợi ích tối đa