skkn cấp tỉnh nâng cao chất lượng học sinh khá giỏi toán 7 thông qua việc khai thác một số bài hình có nhiều cách giải

Môn toán 7, đặc biệt làphân môn hình học, các em bắt đầu tiếp cận để làm quen với những phương pháp, kĩ năng chứng minh hình học vì thế việc khai thác nhiều cách giải một bài hìnhnhằm đị

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA *PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THỌ XUÂN**

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

1.4 phương pháp nghiên cứu

2

2

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm

2.2 Thực trạng của vấn đề

2.3 Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

3334-1920

“nâng cao chất lượng học sinh khá, giỏi toán 7” là một phần rất quan trọng của

cấp học THCS Trước sự phát triển ngày càng mạnh mẽ của khoa học, đặc biệt là

sự phát triển của toán học, sự bùng nổ của công nghệ thông tin, tài liệu học tập, đòihỏi ở thầy và trò một khả năng thích ứng ngày càng cao Môn toán 7, đặc biệt làphân môn hình học, các em bắt đầu tiếp cận để làm quen với những phương pháp,

kĩ năng chứng minh hình học vì thế việc khai thác nhiều cách giải một bài hìnhnhằm định hướng phương pháp giải, gắn kết lí thuyết với bài tập, hình thành cáchnhìn đa chiều, logic về một bài toán là vô cùng quan trọng Với trách nhiệm đượcgiao là bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi môn toán lớp 7 nên tôi càng cần phải suynghĩ tìm tòi để có cách làm hiệu quả

Vì vậy tôi đã nghiên cứu chọn lọc và đưa ra một số bài tập làm ví dụ minhhọa, để từ đó hướng dẫn học sinh các cách khai thác một bài toán hình nhằm nângcao khả năng tư duy, giúp các em tích lũy thêm nhiều phương pháp, kĩ năng trongchứng minh hình học

1.2 Mục đích nghiên cứu: Trang bị cho học sinh khá, giỏi lớp 7 một số kĩ năng,phương pháp tư duy, suy luận và giải bài toán hình học bằng nhiều cách khác nhaunhằm giúp cho học sinh có khả năng vận dụng tốt và có kĩ năng, phương pháp sử lícác bài tập hình học, có hứng thú - sáng tạo hơn trong học tập

1.3 Đối tượng nghiên cứu: Một số bài toán khó hình học lớp 7 cả lí thuyết và bài

tập, cả trong sách giáo khoa và các bài tham khảo

1.4 phương pháp nghiên cứu:

1.4.1 Phương pháp nghiên cứu lý thuyết:

- Nghiên cứu các tài liệu, giáo trình về phương pháp dạy học Toán, các tài liệu

có liên quan đến sáng kiến kinh nghiệm

- Nghiên cứu và hệ thống các kiến thức cơ bản trong giải toán hình học ở bậcTHCS Cụ thể là các tài liệu rất thiết thực đối với học sinh phổ thông cơ sở như:

+ Sách giáo khoa và sách giáo viên các lớp 6, 7, 8, 9

+ Sách bồi dưỡng thường xuyên và các tài liệu tham khảo cho giáo viên vàhọc sinh

1.4.2 Phương pháp chuyên gia: Xin ý kiến các đồng nghiệp có chuyên môn cao, cókinh nghiệm trong quá trình xây dựng, hoàn thiện sáng kiến kinh nghiệm

1.4.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệp sư phạm nhằmđánh giá hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm:

Trong quá trình dạy học trên cơ sở các nội dung lí thuyết đã học và các bàitập cụ thể giáo viên cần hướng dẫn học sinh vận dụng được các nội dung của líthuyết vào các dạng bài tập với yêu cầu khác nhau có sử dụng phần lí thuyết đã họcđồng thời suy luận để tìm ra nhiều cách để giải bài toán tùy thuộc vào nội dungkiến thức được sử dụng Trong chương trình chính khóa thì hầu như sách giáokhoa, sách bài tập không đề cập đến việc giải một bài toán bằng nhiều cáchnhưng loại bài tập này lại giúp phát triển rất tốt về tư duy, nâng cao khả năng tổnghợp kiến thức cho học sinh khá giỏi, các em sẽ có cách học sâu hơn, cách nhìn rộnghơn và bao quát hơn Việc hướng dẫn học sinh cách giải bài toán bằng nhiều cáchkhác nhau còn giúp đạt được mục tiêu hình thành và phát triển các phẩm chất, nănglực người học theo chương trình giáo dục phổ thông mới đang triển khai

2.2 Thực trạng của vấn đề

2.2.1 Đối với học sinh:

Hình học là phần kiến thức khó tiếp cận với đa số học sinh nói chung và học sinh khá giỏi nói riêng vì thế các em thấy ngại học khi các thầy cô đề cập tới nhữngbài tập loại này, nhiều học sinh không biết phải bắt đầu từ đâu để tìm lời giải và rất khó nhìn ra nhiều lời giải khác nhau cho bài toán Qua kết quả khảo sát, kiểm tra trước khi áp dụng đề tài với 43 học sinh khá, giỏi lớp 7 của trường THCS Lê ThánhTông, với đề bài kiểm tra: “ Chứng minh rằng: Trong tam giác vuông, đường

trung tuyến ứng với cạnh huyền thì bằng nửa cạnh huyền ’’ Tôi thấy kết quả như sau:

- Có 33/43 (76,7 %) học sinh không tìm ra được lời giải cho bài toán

- Có 9/43 học sinh có cùng một cách giải ( như cách 1 – phần giải quyết vấn đề

được nêu ở trang 5)

- Có duy nhất 1 học sinh giải được theo cách thứ 12 trang 8

Kết quả này đã làm tôi trăn trở rất nhiều Tôi đã tự hỏi, tại sao có tới 76,7 %các em không tìm được lời giải? 9 em giải được theo cùng một cách là do các em

có phương pháp suy nghỉ hay do các em đọc trước được cách giải từ một tài liệunào đó? Một em duy nhất kia tư duy được theo cách 12 là cách khó, vậy sao em chỉgiải được một cách? Tất cả những câu hỏi đó đã bùng lên trong tôi một khao khát:

*Giúp tất cả các em học sinh khá, giỏi toán 7 nâng cao kiến thức, kĩ năng, phương pháp chứng minh một bài toán hình học*

2.2.2 Đối với giáo viên:

Đây là vấn đề gây nhiều khó khăn cho các thầy cô vì các em học sinh lớp 7đang chỉ mới bắt đầu được trang bị cả về kiến thức, kĩ năng, phương pháp chứngminh hình học Nhiều thầy cô cũng chưa chú trọng đến việc hình thành và pháttriển tư duy trừu tượng, tư duy sáng tạo cho học sinh khá giỏi mà chỉ dạy theo thóiquen, theo mô tiếp có sẵn, chưa thực sự đào sâu suy nghĩ về cách làm mà còn dạytheo kiểu lướt qua coi trọng số lượng dạng – bài mà không chú trọng đến việc hìnhthành tư duy sáng tạo, tổng quát, trừu tượng cho các em Một số thầy cô năng lựccòn hạn chế nhưng chưa chịu khó tìm tòi học hỏi, ngại thay đổi bản thân và chưathực sự tâm huyết với nghề, áp lực về thời gian và lượng kiến thức cần dạy cũng làmột nguyên nhân khiến thầy cô không thể thực hiện được.

2.3 Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề.

Trước tình hình thực tế như trên, tôi đã tìm hiểu kĩ và ra đề khảo sát chấtlượng đội tuyển để nắm rõ điểm mạnh - yếu của từng học sinh cũng như lượng kiếnthức và các phương pháp chứng minh hình học mà học sinh nắm được; từ đó tôi đãnghiên cứu tài liệu cùng với kinh nghiệm giảng dạy bồi dưỡng đội tuyển học sinhgiỏi môn toán cấp huyện, cấp tỉnh nhiều năm của mình hệ thống lại một số nộidung lí thuyết và bài tập tiêu biểu làm ví dụ nhằm giúp học sinh có định hướng tốtđồng thời tiếp cận dễ dàng hơn với loại bài tập này Do thời gian chính khóa cóhạn nên tôi đã hướng dẫn học sinh học chuyên đề này vào các buổi học phụ đạo,bồi dưỡng bằng hình thức học trên lớp và học Online qua các phần mềm với cáchthức nêu ra các ví dụ cụ thể, yêu cầu học sinh thảo luận tìm phương pháp giải, gợi

ý, dẫn dắt học sinh khai thác nhiều cách giải, trình bày lời giải và rút ra nhận xétđánh giá cho từng bài tập

Khi hoàn thành xong các nội dung tôi thực hiện việc ra đề kiểm tra đánh giá và

so sánh với kết quả trước khi triển khai dạy chuyên đề này để thấy được hiệu quảcủa chuyên đề đồng thời đánh giá được các kiến thức, kĩ năng, phương pháp cũngnhư một số phẩm chất và năng lực của học sinh đã đạt được Qua đó có rút kinhnghiệm và bổ sung cho chuyên đề càng hoàn thiện và hiệu quả hơn Sau đây là một

số bài tập ví dụ trong chuyên đề và một số nhận xét rút kinh nghiệm về phươngpháp giải thông qua chuyên đề

2.3.1 Bài 1: Chứng minh rằng: Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền thì bằng nửa cạnh huyền

1 Định hướng học sinh chuyển từ bài toán tổng quát sang một bài toán cụ thể.

Trước hết cần gắn yêu cầu vào một tam giác cụ thể chẳng hạn  A BC

vuông tại A, đường trung tuyến AM, cần chứng minh:

12

B A

Chứng minh:

2 Trao đổi, gợi mở để học sinh tìm lời giải cho cách 1.

Để chứng minh hai cạnh bằng nhau, ta thường gắn

hai cạnh cần chứng minh bằng nhau đó vào hai tam giác

rồi chứng minh cho hai tam giác đó bằng nhau

Việc chứng minh

12

AM  BC

cũng giống như chứng minh BC2AM Do đó, ta nghĩ đến việc thay thế 2AM bởi một đoạn thẳng tương ứng mà đoạn thẳng tương ứng đó là một cạnh của một tam giác mà ta chứng minh được tam giác đó bằng tamgiác ABC

Cách 1:

Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MA MD Suy ra:

1

12

AM  AD ( )

Hai tam giác BMAvà CMDcó:

 nên AC DC Suy ra ACD 900.

Hai tam giác ABCvà CDAcó:

AB DC  ; CAB ACD  900; AC cạnh chung.

Vậy ABC =  CDA(cạnh góc vuông - cạnh góc vuông)

Suy ra: BC AD ( )2 (tương ứng)

Từ (1), (2) suy ra:

12

AM  BC

(đpcm)

Nhận xét: việc tạo ra điểm D để có một tam giác vuông bằng tam giác vuông ABC

có thể diễn đạt bởi nhiều cách Mỗi cách diễn đạt là một cách giải khác:

- Qua C, vẽ đường thẳng song song với AB cắt AM tại D ( Cách 2)

- Qua C, vẽ đường thẳng vuông góc với AC cắt AM tại D ( Cách 3)

- Qua B, vẽ đường thẳng song song với AC cắt AM tại D ( Cách 4)

- Qua B, vẽ đường thẳng vuông góc với AB cắt AM tại D ( Cách 5)

3 Trao đổi, gợi mở để học sinh tìm lời giải cho cách 6.

Để chứng minh hai cạnh bằng nhau, ta thường gắn hai cạnh cần chứng minh bằng nhau đó vào một tam giác rồi chứng minh cho tam giác đó cân

Việc chứng minh

12

AM  BC

cũng giống như chứng minh AM MB MC  Do

đó, ta nghĩ đến việc lấy điểm N thuộc cạnh BC sao cho NA = NB rồi chứng minh cho tam giác ANC cân để có NA NB NC  , từ đó suy ra N trùng với M

Cách 6:

Trên cạnh BC lấy điểm N sao cho NA NB (1)

Khi đó: NABcân tại A Suy ra: ABN NAB (2)

Ta lại có: ABN ACN  900.(tổng 2 góc nhọn trong

tam giác vuông)

Mặt khác: NAB NAC BAC   900.(vì tam giác

ABC vuông tại A)

Suy ra: ABN ACN  NAB NAC  (3)

Từ (2) và (3) suy ra ACN NAC Suy ra NACcân

AM  BC

(đpcm)

Nhận xét: việc tạo ra điểm M thuộc cạnh BC sao cho MA MB có thể diễn đạt bởi nhiều cách Mỗi cách diễn đạt là một cách giải khác:

- Kẻ tia Ax nằm giữa hai tia AB, AC sao cho xAB ABC , Ax cắt BC tại M ( Cách 7)

- Kẻ đường trung trực của đoạn thẳng AB cắt BC tại M ( Cách 8)

- Kẻ đường trung trực của đoạn thẳng AC cắt BC tại M ( Cách 9)

4 Trao đổi, gợi mở để học sinh tìm lời giải cho cách 10.

Để chứng minh hai cạnh bằng nhau, trong nhiều trường hợp ta giả sử hai cạnh đó không bằng nhau (cạnh này lớn hơn cạnh kia hoặc ngược lại) rồi từ đó dẫn đến điều vô lí Điều vô lí đó chứng tỏ hai cạnh đó phải bằng nhau Trong hình học,

ta thường gọi phương pháp chứng minh này là phương pháp phản chứng

Cách 10:

Giả sử MA MB Khi đó ABM MAB ( ) 1 (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác)

Ta lại có: ABM ACM 900.(tổng 2 góc nhọn trong tam giác vuông)

Mặt khác: MAB MAC BAC   900.(vì tam giác ABC vuông tại A)

Suy ra: ABM ACM MAB MAC  (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ACM MAC

Suy ra MA MC ( quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác AMC)

Mà MB MC nên MA MB Điều này vô lí ( trái với giả sử MA MB )

Nếu giả sử MA MB thì cũng dẫn đến điều vô lí

Vậy MA MB MC  Mà MB MC BC  nên

12

AM  BC

(đpcm)

5 Trao đổi, gợi mở để học sinh tìm lời giải cho cách 11.

Mỗi bài toán chứng minh hình học là một tính chất Chúng ta có thể diễn đạt tính chất đó theo cách khác tương đương và tìm lời giải cho cách diễn đạt tương đương đó Tính chất: Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền thì bằng nửa cạnh huyền tương đương với tính chất: Nếu một tam giác có đường trung tuyến bằng nửa cạnh tương ứng thì tam giác đó là tam giác vuông Do

đó, ta tạo ra tam giác BHC có đường trung tuyến HM bằng nửa cạnh BC rồi chứng minh cho H trùng với A

Cách 11: Vẽ đường tròn (M; MB) cắt

đường thẳng AB tại hai điểm B và H Khi

đó: MH MB MC  nên các tam giác MHB,

MHC là các tam giác cân tại M Suy ra:

Suy ra CH và CA cùng vuông góc với AB

Do đó CH trùng với CA hay H trùng với A

Vậy

12

AM  BC

H

M C

B A

6 Trao đổi, gợi mở để học sinh tìm lời giải cho cách 12.

Bằng hoạt động thực hành, chúng ta có thể cắt một tấm bìa hình vuông bằng tam giác ABC Trên nửa mặt phẳng bờ AB, chứa điểm C, ta di chuyển tấm bìa hìnhtam giác vuông đó sang vị trí sao cho đỉnh góc vuông trùng với B, một cạnh góc vuông trùng với cạnh AB rồi quan sát vị trí cạnh huyền của tấm bìa Ta thấy, đườngtrung tuyến AM nằm trên cạnh huyền của tấm bìa và bằng nửa cạnh huyền đó Từ

đó ta giải bài toán bằng cách tạo ra tam giác vuông ABD bằng tam giá BAC

Cách 12: Vẽ tam giác ABD vuông tại B sao cho

D và C nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB

và BD AC Gọi N là giao điểm của AD và

BC Khi đó:Hai tam giác ANC và DNB có:

Suy ra M trùng với N và

12

Tam giác ABC

Đường trung tuyến AM cũng là đường phân

giác

KL

Tam giác ABC là tam giác cân

Chứng minh :

1 Trao đổi, gợi mở để học sinh tìm lời giải cho cách 1.

Để chứng minh tam giác ABC cân ta chứng minh

AB = AC Với hình vẽ ban đầu theo giả thiết thì ta chưa

đủ điều kiện để chứng minh hai tam giác AMB và AMC

bằng nhau để suy ra AB = AC

D

C M

B

A

Do đó, ta cần tạo ra một tam giác trung gian (tam giác DMC) bằng tam giác AMB rồi chứng minh tam giác trung gian đó cũng bằng tam giác AMC

Cách 1: Trên tia đối tia MA lấy D sao cho MD = MA

Hai tam giácABM và DCM có:

MA MD ; AMB CMD ( hai góc đối đỉnh ); MB MC (gt)

Vậy ABM = DCM (c.g.c)

Suy ra MAB MDC ,AB CD   (hai góc, hai cạnh tương ứng) (1)

2

AC CD ( )

Từ (1) và (2) suy ra: AB AC Vậy tam giác ABC cân tại A

2

Trao đổi, gợi mở để học sinh tìm lời giải cho cách 2.

Vì có sự xuất hiện của đường phân giác nên ta thường nghỉ đến việc vận dụng tính chất đường phần giác của một góc Điểm M nằm trên đường phân giác

của góc BAC nên M cách đều hai cạnh AB, AC Do đó chúng ta tạo ra hai khoảng cách từ M đến AB, AC là MH và MK Từ đó, ta thấy ngay hai tam giác vuông HBM và KCM bằng nhau.

Cách 2:

Kẻ MH AB,MK AC( H AB,KAC )

vuông) Suy ra B C (hai góc tương ứng)

Vậy ABCcân tại A

K H

A

3

Trao đổi, gợi mở để học sinh tìm lời giải cho cách 3.

Trong tam giác cân, đường phân giác cũng đồng thời là đường trung tuyến, đường cao nên ta nghỉ đến việc tạo ra một tam giác có AM là đường cao rồi chứng minh cho tam giác đó trùng với tam giác ABC

Hai tam giácBMDvà CMEcó:

MB MC ( gt ) ; BMD CME  ( hai góc đối

đỉnh ); MD ME

Vậy BMD = CME(c.g.c)

Suy ra MBD MCE  (hai góc tương ứng) Mà hai

góc này ở vị trí so le trong nên BD // CE Điều

này vô lí

Vậy D B,E C  Từ đó suy ra AB = AC nên

A

B

D

4 Trao đổi, gợi mở để học sinh tìm lời giải cho cách 4.

Gởi mở học sinh chứng minh bằng phương pháp phản chứng ( đã giới thiệu ởcâu 1)

Cách 4: Giả sử AB > AC Trên cạnh AB lấy

điểm D sao cho AD = AC

Hai tam giác ADM và ACM có:

DAM CAM (gt)

VậyADM =  ACM (c.g.c)

Suy ra: ADM ACM ( ), MD MC1  ( hai cạnh

Chứng minh tương tự với AB < AC cũng dẫn

tới vô lí Vậy AB AC hay ABCcân tại A

D

C M

B

A

2.3.3 Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có  ACB  150 Trên tia BA lấy điểm

O sao cho BO = 2AC Chứng minh tam giác OBC cân

Giải:

Tam giác ABC vuông tại A,  ACB  150

Điểm O thuộc tia BA, BO = 2AC

Vì BO = 2AC nên ta nghỉ đến việc chia đoạn BO

thành hai phần, mỗi phần bằng AC Từ đó tạo ra

một tam giác vuông bằng tam giác ABC để đi đến

chứng minh tam giác OBC cân

A

H M O

Vì  ABC vuông tại A nên  ACB ABC    900, mà ACB 150 nên ABC 750.

Lại có OBM MBC ABC   750 Suy ra :

Từ (1) và (2) suy ra tam giác MBC đều Suy ra : BMC 600

Trong  MOBcó MH vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến nên  MOB

cân tại M, suy raBMO1800  2OBM 1500,

mà BMO BMC OMC    3600và BMC 600 nên  0

150

OMC  .

Xét  MBO và  MCOcó:

Do đó: MBO MCO(c.g.c) Suy ra: BO CO ( hai cạnh tương ứng)

Vậy OBCcân tại O (đpcm)