thuật toán lai ghép giải bài toán chấp nhận tách nhiều tập

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCĐINH THỊ TRANGTHUẬT TOÁN LAI GHÉPGIẢI BÀI TOÁN CHẤP NHẬN TÁCH NHIỀU TẬPLUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌCChuyên ngành: Toán ứng dụng40Wednesday, June 12,

Trang 1

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐINH THỊ TRANG

THUẬT TOÁN LAI GHÉP

GIẢI BÀI TOÁN CHẤP NHẬN TÁCH NHIỀU TẬP

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌCChuyên ngành: Toán ứng dụng

40Wednesday, June 12, 20247:55:13 PM7:55:13 PM40Wednesday, June 12, 20247:55:13 PM7:55:13 PM40Wednesday, June 12, 20247:55:13 PM7:55:13 PM

Thuat toan lai ghep giai bai toan chap nhan tach nhieu tapThuat toan lai ghep giai bai toan chap nhan tach nhieu tapThuat toan lai ghep giai bai toan chap nhan tach nhieu tapThuat toan lai ghep giai bai toan chap nhan tach nhieu tapThuat toan lai ghep giai bai toan chap nhan tach nhieu tapThuat toan lai ghep giai bai toan chap nhan tach nhieu tapThuat toan lai ghep giai bai toan chap nhan tach nhieu tapThuat toan lai ghep giai bai toan chap nhan tach nhieu tapThuat toan lai ghep giai bai toan chap nhan tach nhieu tapThuat toan lai ghep giai bai toan chap nhan tach nhieu tapThuat toan lai ghep giai bai toan chap nhan tach nhieu tapThuat toan lai ghep giai bai toan chap nhan tach nhieu tapThuat toan lai ghep giai bai toan chap nhan tach nhieu tapThuat toan lai ghep giai bai toan chap nhan tach nhieu tapThuat toan lai ghep giai bai toan chap nhan tach nhieu tapThuat toan lai ghep giai bai toan chap nhan tach nhieu tap

Thuat toan lai ghep giai bai toan chap nhan tach nhieu tapThuat toan lai ghep giai bai toan chap nhan tach nhieu tapThuat toan lai ghep giai bai toan chap nhan tach nhieu tapThuat toan lai ghep giai bai toan chap nhan tach nhieu tapThuat toan lai ghep giai bai toan chap nhan tach nhieu tapThuat toan lai ghep giai bai toan chap nhan tach nhieu tapThuat toan lai ghep giai bai toan chap nhan tach nhieu tapThuat toan lai ghep giai bai toan chap nhan tach nhieu tap

40Thuat toan lai ghep giai bai toan chap nhan tach nhieu tapWednesday, June 12, 2024

Trang 2

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS.TS Nguyễn Bường(Viện Công nghệ Thông tin-Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam).Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới thầy hướng dẫnkhoa học của mình, người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướngdẫn và tận tình giải đáp những thắc mắc của tác giả trong suốt quá trình làmluận văn.

Tác giả cũng đã học tập được rất nhiều kiến thức chuyên ngành bổ ích chocông tác và nghiên cứu của bản thân Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tớicác thầy giáo, cô giáo đã tham gia giảng dạy lớp cao học Toán, nhà trường vàcác phòng chức năng của trường, khoa Toán - Tin, trường Đại học Khoa học -Đại học Thái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian họctập tại trường.

Xin chân thành cảm ơn anh chị em trong lớp cao học và bạn bè đồng nghiệpđã trao đổi, động viên và khích lệ tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu vàlàm luận văn.

Trang 3

Mục lục

Một số ký hiệu và viết tắt iv

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 2

1.1 Một số đặc trưng của không gian Hilbert 2

1.2 Bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn 9

1.3 Bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert 12

1.3.1 Một số vấn đề sơ lược về bất đẳng thức biến phân 12

1.3.2 Bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của ánhxạ không giãn 14

1.4 Một số bổ đề bổ trợ 16

Chương 2 Một số thuật toán lai ghép giải bài toán chấp nhận táchnhiều tập 222.1 Phát biểu bài toán và một số cải tiến của phương pháp CQ 22

2.2 Thuật toán và sự hội tụ 26

Trang 4

Một số ký hiệu và viết tắt

H không gian Hilbert

X không gian Banach

h., i tích vô hướng trên Hk.k chuẩn trên H

xn → x0 dãy {xn} hội tụ mạnh về x0xn * x0 dãy {xn} hội tụ yếu về x0

F ix(T ) tập điểm bất động của ánh xạ T

Trang 5

Mở đầu

“Bất đẳng thức biến phân” được nảy sinh trong quá trình nghiên cứu và giảicác bài toán thực tế như bài toán cân bằng trong kinh tế, tài chính, bài toánmạng giao thông, lý thuyết trò chơi, phương trình vật lý toán Bài toán nàyđược giới thiệu lần đầu tiên bởi Hartman và Stampacchia vào năm 1966 trong tàiliệu [5] Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian hữu hạn chiều, cũngnhư vô hạn chiều cùng với các ứng dụng của nó được giới thiệu khá chi tiết trongcuốn sách “An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications”của D Kinderlehrer và G Stampacchia xuất bản năm 1980 [7].

Bất đẳng thức biến phan trên tập nghiệm của một bài toán khác thường đượcgọi là bất đẳng thức biến phân hai cấp Gần đây đã có nhiều người làm toántrong và ngoài nước quan tâm đến bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm củabài toán chấp nhận tách (đa tập), do lớp bài toán này có thể áp dụng để giảimột số lớp bài toán khác, đặc biệt là các bài toán liên quan đến xử lý tín hiệu,xử lý hình ảnh trong Y học.

Mục đích của luận văn là trình bày lại các kết quả của Wang và các cộng sựtrong tài liệu [14] về một phương pháp lặp xoay vòng tìm nghiệm của bất đẳngthức biến phân trên tập nghiệm của bài toán chấp nhận tách đa tập trong khônggian Hilbert.

Nội dung chính của luận văn được cấu trúc thành hai chương, trong đó:Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị về không gian Hilbert, ánh xạkhông giãn và bất đẳng thức biến phân Chương 2 trình bày lại chi tiết các kếtquả của Wang và các cộng sự về phương pháp lặp kiểu đường dốc nhất kết hợpvới phương pháp CQ xấp xỉ nghiệm của bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệmcủa bài toán chấp nhận tách đa tập trong không gian Hilbert.

123docz.net - File bi loi xin lienhe: lethikim34079@hotmail.com

Trang 6

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Chương này bao gồm năm mục chính Mục 1.1 đề cập đến một số đặc trưngcơ bản của không gian Hilbert thực Mục 1.2 giới thiệu sơ lược một số kết quảvề bài toán tìm điển bất động của ánh xạ không giãn Mục 1.4 và 1.4 đề cập đếnbài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển và bài toán bất đẳng thức biến phântrong không gian Hilbert Mục 1.5 giới thiệu một số bổ đề bổ trợ cần sử dụngtrong Chương 2 của luận văn Nội dung của chương này phần lớn được thamkhảo từ các tài liệu [1], [2] và [7].

1.1.Một số đặc trưng của không gian Hilbert

Ta luôn giả thiếtH là không gian Hilbert thực với tích vô hướng được kí hiệulà h., i và chuẩn được kí hiệu là k.k.

Mệnh đề 1.1 Trong không gian Hilbert thực H ta luôn có đẳng thức sau

kx − yk2+ kx − zk2 = ky − zk2+ 2hx − y, x − zi,

với mọi x, y, z ∈ H.

Chứng minh Thật vậy, ta có

ky − zk2+ 2hx − y, x − zi = hy, yi + hz, zi + 2hx, xi − 2hx, zi − 2hx, yi= [hx, xi − 2hx, yi + hy, yi]

+ [hx, xi − 2hx, zi + hz, zi]= kx − yk2+ kx − zk2.

Vậy ta được điều phải chứng minh.

123docz.net - File bi loi xin lienhe: lethikim34079@hotmail.com

Trang 7

Mệnh đề 1.2 Cho H là một không gian Hilbert thực Khi đó, với mọi x, y ∈ H

và mọi λ ∈ [0, 1], ta có

kλx + (1 − λ)yk2 = λkxk2+ (1 − λ)kyk2− λ(1 − λ)kx − yk2 (1.1)Chứng minh Ta có

kλx + (1 − λ)yk2 = λ2kxk2+ 2λ(1 − λ)hx, yi + (1 − λ)2kyk2

= λkxk2+ (1 − λ)kyk2− λ(1 − λ)(kxk2− 2hx, yi + kyk2)= λkxk2+ (1 − λ)kyk2− λ(1 − λ)kx − yk2.

Ta được điều phải chứng minh.

Mệnh đề 1.3 Trong không gian Hilbert thực H, ta luôn có

kx + yk2 ≤ kxk2+ 2hy, x + yi

với mọi x, y ∈ H.

Chứng minh Với mọi x, y ∈ H, ta có

kx + yk2 = kxk2+ 2hx, yi + kyk2≤ kxk2+ 2hx, yi + 2kyk2= kxk2+ 2hy, x + yi.

với mọi y ∈ H Từ tính liên tục của tích vô hướng, suy ra nếu xn → x, thì

xn * x Tuy nhiên, điều ngược lại không đúng Chẳng hạn xét không gian

Trang 8

với mọi n ≥ 1 Khi đó, en * 0, khi n → ∞ Thật vậy, với mỗi y ∈ H, từ bất đẳngthức Bessel, ta có

|hen, yi|2< kyk2 < ∞.

Suy ra limn→∞hen, yi = 0, tức là en * 0 Tuy nhiên, {en} không hội tụ về 0, vì

lim inf

n→∞ kxn− xk < lim inf

Chứng minh Vì xn * x, nên {xn} bị chặn.Ta có

kxn− yk2 = kxn− xk2+ kx − yk2+ 2hxn− x, x − yi> kxn− xk2+ 2hxn− x, x − yi.

Vì x 6= y, nên

lim inf

n→∞ kxn− yk2 > lim inf

n→∞ kxn− xk2+ 2hxn− x, x − yi= lim inf

Trang 9

→ 0, n → ∞.

Suy ra xn → x, khin → ∞ Mệnh đề được chứng minh.

Mệnh đề 1.6 Cho C là một tập con lồi và đóng của không gian Hilbert thực

H Khi đó, tồn tại duy nhất phần tử x∗∈ C sao cho

kx∗k ≤ kxk với mọi x ∈ C.

Chứng minh Thật vậy, đặt d = inf

x∈Ckxk Khi đó, tồn tại {xn} ⊂ C sao cho

Tiếp theo ta chỉ ra tính duy nhất Giả sử tồn tại y∗ ∈ C sao cho ky∗k = d Tacó

kx∗− y∗k2 = 2(kx∗k2+ ky∗k2) − 4kx

∗+ y∗2 k2≤ 2(d2+ d2) − 4d2

= 0.

Suy ra x∗ = y∗ Vậy tồn tại duy nhất một phần tử x∗ ∈ C sao cho kx∗k =infx∈Ckxk.

Từ Mệnh đề 1.6, ta có mệnh đề dưới đây:

Mệnh đề 1.7 Cho C là một tập con lồi và đóng của không gian Hilbert thực

H Khi đó, với mỗi x ∈ H, tồn tại duy nhất phần tử PCx ∈ C sao cho

Trang 10

Định nghĩa 1.1 Phép cho tương ứng mỗi phần tử x ∈ H một phần tử PCx ∈ C

xác định như trên được gọi là phép chiếu mêtric từ H lên C.Ví dụ 1.1 Cho C = {x ∈ H : hx, ui = y}, với u 6= 0 Khi đó

PCx = x + y − hx, uikuk2 u.

Ví dụ 1.2 Cho C = {x ∈ H : kx − ak ≤ R}, trong đó a ∈ H là một phần tử chotrước và R là một số dương Khi đó, ta có:

PCx =

Mệnh đề 1.8 Cho C là tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Hilbert

H Cho PC : H −→ C là một ánh xạ Khi đó, các phát biểu sau là tương đương:a) PC là phép chiếu mêtric từ H lên C;

b) hy − PCx, x − PCxi ≤ 0 với mọi x ∈ H và y ∈ C;

Chứng minh Thật vậy, giả sử PC là phép chiếu mêtric từ H lên C, tức là kx −PCxk = infu∈Ckx − uk Với mọi x ∈ H, y ∈ C và với mọi α ∈ (0, 1), đặt yα =αy + (1 − α)PCx Vì C lồi nên yα ∈ C và do đó

Trang 11

Cho α −→ 0+, ta được hy − PCx, x − PCxi ≤ 0.

Ngược lại, giả sử b) đúng Với mọi x ∈ H và mọi y ∈ C, ta có

kx − PCxk2= kx − y + y − PCxk2

= kx − yk2+ 2hx − y, y − PCxi + ky − PCxk2= kx − yk2+ 2hx − PCx, y − PCxi − ky − PCxk2≤ kx − yk2.

Do đó, kx − PCxk = infu∈Ckx − uk, hay PC là phép chiếu mêtric từ H lên C.Từ mệnh đề trên, ta có hệ quả dưới đây:

Hệ quả 1.1 Cho C là một tập con lồi đóng của không gian Hilbert H và PC làphép chiếu mêtric từ H lên C Khi đó, ta có các khẳng định sau:

Cộng hai bất đẳng thức trên ta nhận được điều phải chứng minh.b) Với mọi x ∈ H và y ∈ C, từ Mệnh đề 1.8, ta có

hx − PCx, y − PCxi ≤ 0.

Từ đó, ta có

kx − yk2 = k(x − PCx) − (y − PCx)k2

= kx − PCxk2+ ky − PCxk2− 2hx − PCx, y − PCxi≥ kx − PCxk2+ ky − PCxk2.

Hệ quả được chứng minh.

Trang 12

Mệnh đề 1.9 Nếu C là một tập con lồi và đóng của không gian Hilbert H, thì

điều này là vô lý Do đó, C là tập đóng yếu.

Chú ý 1.1 Nếu C là tập đóng yếu trong H thì hiển nhiên C là tập đóng.Từ định lý Banach-Alaoglu, ta có mệnh đề dưới đây:

Mệnh đề 1.10 Mọi tập con bị chặn của H đều là tập compact tương đối yếu.

Trang 13

1.2.Bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn

Định nghĩa 1.2 Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gianHilbert thực H Ánh xạ T : C −→ H được gọi là một ánh xạ không giãn, nếuvới mọi x, y ∈ C, ta có

Chứng minh Giả sử F ix(T ) 6= ∅.

Trước hết, ta chỉ ra F ix(T ) là tập đóng Thật vậy, vì T là ánh xạ không giãnnên T liên tục trên C Giả sử {xn} là một dãy bất kỳ trong F ix(T ) thỏa mãn

xn → x, khi n → ∞ Vì {xn} ⊂ F ix(T ), nên

kT xn− xnk = 0,

với mọin ≥ 1 Từ tính liên tục của chuẩn, chon → ∞, ta nhận đượckT x−xk = 0,tức là x ∈ F ix(T ) Do đó, F ix(T ) là tập đóng.

Tiếp theo, ta chỉ ra tính lồi của F ix(T ) Giả sử x, y ∈ F ix(T ), tức là T x = x

và T y = y Với λ ∈ [0, 1], đặt z = λx + (1 − λ)y Khi đó, từ Mệnh đề 1.2 và tínhkhông giãn của T ta có

kT z − zk2= kλ(T z − x) + (1 − λ)(T z − y)k2

= λkT z − xk2+ k(1 − λ)(T z − y)k2− λ(1 − λ)kx − yk2= λkT z − T xk2+ (1 − λ)k(T z − T y)k2− λ(1 − λ)kx − yk2≤ λkz − xk2+ (1 − λ)k(z − y)k2− λ(1 − λ)kx − yk2

Trang 14

Mệnh đề 1.12 (Nguyên lý nửa đóng) Cho C là tập con lồi, đóng và khác rỗngcủa không gian Hilbert thực H và T : C −→ C là một ánh xạ không giãn Khi đó,nếuT có điểm bất động thì T là nửa đóng, tức là với mọi dãy{xn} ⊂ C thỏa mãn

xn * x ∈ C và xn− T xn → y, thì x − T x = y Đặc biệt, nếu y = 0 thì x ∈ F ix(T ).Chứng minh Giả sử x − T x 6= y Vì xn * x, nên xn− y * x − y Do x − y 6= T x,nên từ Mệnh đề 1.4, ta có

lim inf

n→∞ kxn− xk < lim inf

n→∞ kxn− y − T xk≤ lim inf

n→∞ (kxn− T xn− yk + kT xn− T xk)≤ lim inf

Đã có nhiều phương pháp nổi tiếng được đề xuất để giải bài toán trên, nhưphương pháp lặp Mann, phương pháp lặp Ishikawa, phương pháp lặp Halpern,phương pháp xấp xỉ mềm, phương pháp sử dụng siêu phẳng cắt

Chú ý 1.2 Nếu T là ánh xạ co trên C, thì dãy lặp Picard xác định bởi x0 ∈ C

và xn+1= T (xn) hội tụ mạnh về điểm bất động duy nhất của T Tuy nhiên điềunày không còn đúng đối với lớp ánh xạ không giãn.

Phương pháp lặp Mann

Năm 1953, W R Mann [8] đã nghiên cứu và đề xuất phương pháp lặp sau:

x0 ∈ C là một phần tử bất kì,

xn+1 = αnxn + (1 − αn)T xn, n ≥ 0,

(1.3)ở đây {αn}là một dãy số thực thỏa mãnα0= 1,0 < αn < 1, n ≥ 1, P∞

n=0αn = ∞.Dãy lặp (1.3) được gọi là dãy lặp Mann Mann W R đã chứng minh rằng, nếudãy {αn} được chọn thỏa mãn P∞

Trang 15

(1.3) sẽ hội tụ yếu tới một điểm bất động của ánh xạ T Chú ý rằng nếu H làkhông gian Hilbert vô hạn chiều thì dãy lặp (1.3) chỉ cho sự hội tụ yếu.

Phương pháp lặp Halpern

Năm 1967, B Halpern [4] đã đề xuất phương pháp lặp

x0∈ C là một phần tử bất kì,

xn+1 = αnu + (1 − αn)T xn, n ≥ 0

(1.4)ở đây u ∈ C và {αn} ⊂ (0, 1) Dãy lặp (1.4) được gọi là dãy lặp Halpern Ôngđã chứng minh sự hội tụ mạnh của dãy lặp (1.4) về điểm bất động của ánh xạkhông giãn T với điều kiện αn = n−α, α ∈ (0, 1).

Phương pháp lặp xấp xỉ mềm

Năm 2000, Moudafi [9] đã đề xuất phương pháp xấp xỉ mềm, để tìm điểm bấtđộng của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert và đã chứng minh đượccác kết quả sau:

(1) Dãy {xn} ⊂ C xác định bởi:

x0 ∈ C, xn = 1

1 + εnT xn+εn

1 + εnf (xn), ∀n ≥ 0, (1.5)hội tụ mạnh về nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân:

x ∈ F (T ) sao cho h(I − f )(x), x − xi ≤ 0, ∀x ∈ F (T ),

trong đó {εn} là một dãy số dương hội tụ về0.

(2) Với mỗi phần tử ban đầu z0∈ C, xác định dãy {zn} ⊂ C bởi:

zn+1 = 1

1 + εnT zn+εn

1 + εnf (zn), ∀n ≥ 0. (1.6)Nếu limn→∞εn = 0, P∞n=1εn = ∞ và limn→∞

εn+1 − 1εn

= 0, thì {zn} hội tụmạnh về nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân:

x ∈ F (T ) sao cho h(I − f )(x), x − xi ≤ 0, ∀x ∈ F (T ),

ở đây, f : C → C là một ánh xạ co cho trước với hệ số co c ∈ [0, 1) Tức là

Trang 16

1.3.Bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert

1.3.1 Một số vấn đề sơ lược về bất đẳng thức biến phân

Trong mục trên chúng ta vừa trình bày sự tồn tại nghiệm của bất đẳng thứcbiến phân cổ điển trong không gian Rn Các kết quả trên đã được nghiên cứuvà mở rộng trong không gian Hilbert Dưới đây, chúng tôi sẽ trình bày một sốphương pháp tìm nghiệm cho bài toán bất đảng thức biến phân trong không gianHilbert.

Cho C là một tập con lồi và đóng của không gian Hilbert H và A : C −→ H

là một ánh xạ liên tục Bài toán bất đẳng thức biến phân được phát biểu nhưsau:

Tìm x∗ ∈ C sao cho

hAx∗, x − x∗i ≥ 0 với mọi x ∈ C (1.7)Tập hợp những điểmx∗ ∈ C thỏa mãn (1.7) được gọi là tập nghiệm của bài toánvà ký hiệu là V I(A, C).

Trước hết chúng ta nhắc lại một số khái niệm sau.

Cho H là một không gian Hilbert thực, C là một tập lồi đóng khác rỗng của H

và A : C −→ H là một ánh xạ từ C vào H.

a) Ánh xạ A được gọi là đơn điệu trên C nếu, với mọi x, y ∈ C ta có:

hAx − Ay, x − yi ≥ 0.

b) Ánh xạ A được gọi là giả đơn điệu trên C nếu, với mọi x, y ∈ C ta có:

hAy, x − yi ≥ 0 suy ra hAx, x − yi ≥ 0.

c) Ánh xạ A được gọi là α−đơn điệu mạnh trên C, nếu tồn tại một hằng số

α > 0 sao cho với mọi x, y ∈ C ta có:

Trang 17

e) Ánh xạ A được gọi là h-liên tục trên C nếu A(x + ty) * A(x) khi t −→ 0+

sao cho với mọi x, y ∈ C.

f) Ánh xạ A được gọi là L-liên tục Lipschitz trên C, nếu tồn tại một hằng số

L > 0 sao cho với mọi x, y ∈ C ta có:

kAx − Ayk ≥ Lkx − yk.

Nhận xét 1.1 Dễ dàng thấy rằng, nếu ánh xạ A là α-ngược đơn điệu mạnhthì ánh xạ A là một ánh xạ đơn điệu và liên tục Lipschitz với hằng số Lipschitz

L = 1α.

Mệnh đề dưới đây cho ta biết về một trường hợp tồn tại nghiệm của bài toánbất đẳng thức biến phân.

Mệnh đề 1.13 Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng và bị chặn của khônggian Hilbert H và cho A : C −→ H là một toán tử đơn điệu, h-liên tục Khi đó,

Trang 18

tương đương với

T : H −→ H là một ánh xạ không giãn Tìm phần tử x∗ ∈ V I(F ix(T ), A), tức là

x∗ thỏa mãn

hAx∗, v − x∗i ≥ 0, ∀v ∈ F ix(T ).

Năm 2001, Yamada [10] đã đề xuất phương pháp đường dốc nhất để giải Bàitoán 1.1 cho trường hợp A là toán tử Lipschitz và đơn điệu mạnh Kết quả củaYamada được cho bởi định lý dưới đây:

Định lý 1.1 [10] Cho T : H −→ H là một ánh xạ không giãn với F ix(T ) 6= ∅.Giả sử ánh xạ A : H −→ H là L-Lipchitz và η-đơn điệu mạnh trên T (H) Khi đóvới u0 ∈ H, µ ∈ (0, 2η

L2) và dãy {λn} ⊂ (0, 1] thỏa mãn các điều kiện:(L1) limn→∞λn = 0,

Trang 19

(L3) limn→∞ λn− λn+1λ2n+1 = 0,thì dãy {un} xác định bởi

un+1 := T(λn+1)un := T un− λn+1µA(T un) (1.8)hội tụ mạnh về nghiệm duy nhất u∗ của VIP(F ix(T ), A).

Hơn nữa, Yamada cũng đã mở rộng kết quả trên cho trường hợp tập điểmbất động F ix(T ) của ánh xạ không giãn T được thay bằng tập điểm bất độngchung của một họ hữu hạn ánh xạ không giãn Kết quả này được thể hiện trongđịnh lý dưới đây:

Định lý 1.2 [10] Cho Ti : H −→ H (i = 1, , N ) là các ánh xạ không giãn với

(B3) Σ∞n=1 | λn− λn+N |< ∞.Dãy {un} xác định bởi

un+1 := T(λn+1)

[n+1] (un) := T[n+1](un) − λn+1µF (T[n+1](un)), (1.10)hội tụ mạnh về nghiệm duy nhất của VIP(F,F), tức là u∗ ∈ F sao chohv − u∗, F (u∗)i ≥ 0 với mọi v ∈F, trong đó [.] là modulo N xác định bởi

Trang 20

1.4.Một số bổ đề bổ trợ

Bổ đề 1.1 (xem [10]) Cho C là một tập con khác rỗng của không gian HilbertthựcH Giả sử λ ∈ (0, 1) và µ > 0 Cho F : C −→ H là một ánh xạk-Lipschitzianvà η-đơn điệu mạnh trên C và cho T : C −→ C là một ánh xạ không giãn Xácđịnh ánh xạ G : C −→ H bởi

= [1 − µ(2η − µk2)]kx − yk2.

Do đó, từ tính không giãn của T, ta có

k(I − λµF )T x − (I − λµF )T yk

= k(1 − λ)(T x − T y) − λ(I − µF )T x − (I − µF )T y)k≤ (1 − λ)kx − yk + λp1 − µ(2η − µk2)kx − yk= (1 − λτ )kx − yk,

với τ = p1 − µ(2η − µk2).Bổ đề được chứng minh.

Bổ đề 1.2 Cho {an} là một dãy số các số thực không âm thỏa mãn tính chất

an+1 ≤ (1 − sn)an+ sntn+ vn, ∀n ≥ 0 (1.11)trong đó {sn}, {sn} và {vn} thỏa mãn các điều kiện