Bài giảng giải tích 2 eg10 2 Đại học mở hà nội

BÀI 1: TÍCH PHÂN HAI LỚP Tích phân hai lớp là sự mở rộng của tích phân xác định khi hàm dưới dấu tích phân phụ thuộc vào 2 biến số. Việc xác định các cận của miền lấy tích phân tỏ ra quan trọng. Ta có thể xét các ứng dụng của tích phân xác định trong các việc: Tính thể tích vật thể trong không gian, tính diện tích hình phẳng. Bài gồm các nội dung: 1.1. Định nghĩa tích phân hai lớp 1.2. Các tính chất của tích phân hai lớp 1.3. Cách tính tích phân hai lớp trong hệ tọa độ Đề–các (vuông góc) 1.4. Tích phân hai lớp trong hệ tọa độ cực 1.5. Ứng dụng của tích phân hai lớp 1.6. Bài tập Mục tiêu: Sau khi học xong bài này, anh/chị sẽ: - Nắm được khái niệm tích phân hai lớp; - Nắm được các tính chất của tích phân hai lớp; - Nắm được cách tính tích phân hai lớp trong hệ tọa độ Đề-các, hệ tọa độ cực và ứng dụng của tích phân kéo trong việc tính thể tích vật thể, tính diện tích hình phẳng; - Làm thành thạo các bài tập Chú ý: Các bài tập cuối chương đều có bài giải và đáp án để anh/chị tự đối chiếu. Tuy nhiên, anh/chị nên tự làm bài trước, rồi so sánh với đáp án.

BÀI 1: TÍCH PHÂN HAI LỚP

Tích phân hai lớp là sự mở rộng của tích phân xác định khi hàm dưới dấu tích phân phụ thuộc vào 2 biến số Việc xác định các cận của miền lấy tích phân tỏ ra quan trọng

Ta có thể xét các ứng dụng của tích phân xác định trong các việc: Tính thể tích vật thể trong không gian, tính diện tích hình phẳng

Bài gồm các nội dung:

1.1 Định nghĩa tích phân hai lớp

1.2 Các tính chất của tích phân hai lớp

1.3 Cách tính tích phân hai lớp trong hệ tọa độ Đề–các (vuông góc)

1.4 Tích phân hai lớp trong hệ tọa độ cực

1.5 Ứng dụng của tích phân hai lớp

1.6 Bài tập

Mục tiêu:

Sau khi học xong bài này, anh/chị sẽ:

- Nắm được khái niệm tích phân hai lớp;

- Nắm được các tính chất của tích phân hai lớp;

- Nắm được cách tính tích phân hai lớp trong hệ tọa độ Đề-các, hệ tọa độ cực và ứng dụng của tích phân kéo trong việc tính thể tích vật thể, tính diện tích hình phẳng;

- Làm thành thạo các bài tập

Chú ý: Các bài tập cuối chương đều có bài giải và đáp án để anh/chị tự đối chiếu Tuy nhiên, anh/chị nên tự làm bài trước, rồi so sánh với đáp án

1.1 ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN 2 LỚP

Giả sử cho z f x y , xác định trong miền D Xét vật thể hình trụ có đáy là miền phẳng D trên mặt phẳng Oxy, có đường sinh song song với Oz mà mặt trên là mặt cong xác định bởi z f x y , , trong đó hàm f x y , 0 và liên tục (xem đồ thị 9.1) Hãy tính thể tích của hình trụ đó

- Chia miền D thành n mảnh nhỏ có diện tích  S1, S2, , S n

- Lấy mỗi mảnh nhỏ làm đáy đựng vật thể hình trụ mà mặt xung quanh có đường sinh song song với Oz và phía trên giới hạn bởi mặt cong z f x y , Như vậy, vật thể hình trụ đã được chia ra thành n vật thể hình trụ nhỏ, i1,n

- Trong những mảnh nhỏ S i i 1,n ta lấy một điểm tùy ý M x y i i, i

Tích f x y i, iS i xấp xỉ bằng thể tích vật thể hình trụ nhỏ thứ :

1 ,

f x y g x y dxdy f x y dxdy g x y dxdy

f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy

D D1, 2 không có điểm chung trong xem đồ thị 9.2 

4 Nếu gọi S là diện tích hình phẳng thì:D

6 Nếu m và M tương ứng là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm f(x,y) trong miền D,S lµ diÖn tÝch cña D thì:   , 

D

mS f x y dxdy MS

7 (Định lý về trung bình) Nếu f x y , liên tục trên miền liên thông D thì trong D

phải có ít nhất 1 điểm   , sao cho:   ,    ,

1 1

0 0

0 1

3 1

1

y x b

Minh họa trên đồ thị 1.5

Rõ ràng nên tính theoy trước:

Rõ ràng nên tính theo x trước:

2

3 1

Cận dưới của tích phân theo y là đoạn đường cong chứa điểm vào P có phương trình yy x1  Cận trên của tích phân theo y là đoạn đường cong chứa điểm ra Q có phương trình yy2 x

Chiếu toàn bộ D xuống trục Ox ta ®­îc 2 ®iÓm , a b a là cận dưới của tích phân theo ,

3 Đổi thứ tự lấy tích phân

 

 

 

2 1

1.4 TÍCH PHÂN HAI LỚP TRONG HỆ TỌA ĐỘ CỰC

Ta đã biết công thức liên hệ giữa tọa độ Đề-các   x y , và tọa độ cực   r ,  của cùng một điểm M là:

Chia D thành các miền nhỏ bởi các vòng tròn đồng tâm (r lấy các giá trị hằng số

khác nhau) và các tia ( lÊy c¸c gi¸ trÞ h»ng sè kh¸c nhau) (Đồ thị 9.11) Xem mỗi mảnh nhỏ như một hình chữ nhật có kích thước là:

2 2 2

0 0

1

24

43

2 20

1.6 Tóm lược

Anh/Chị đã được học về tích phân hai lớp

Anh/Chị cần ghi nhớ các vấn đề sau:

- Nắm được khái niệm tích phân hai lớp;

- Nắm được các tính chất của tích phân hai lớp;

- Nắm được cách tính tích phân hai lớp trong hệ tọa độ Đề-các, hệ tọa độ cực

- Ứng dụng của tích phân hai lớp trong việc tính thể tích vật thể, tính diện tích hình phẳng;

3 2

2 6 5 30

2

0 3

4 3 4

0sin

2 2 2

0 3

6 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường racos , rbcosab

D1 là phần của miền D nằm phía trên trục Ox (Hình 6)

Giải:

Do D đối xứng nên diện tích của miền D bằng:

1

cos 2

 

cos 2

Đáp số: [c] vì chuyển sang tọa độ cực ,miền lấy tích phân là ở phần mặt tròn với

 

1

2

2 0

4

2 4

[c] 7

149

Đáp số: [d] vì chuyển sang tọa độ cực ,miền lấy tích phân là



Đáp số: [a] vì chuyển sang tọa độ cực ,miền lấy tích phân là nửa đường tròn trên ở

bên phải gốc tọa độ

BÀI 2: TÍCH PHÂN BỘI BA

Mục tiêu:

Sau khi học xong bài này, anh/chị sẽ:

- Nắm được khái niệm tích phân ba lớp;

- Nắm được các tính chất của tích phân ba lớp;

- Nắm được cách tính tích phân ba lớp

+ Theo cách đổi biến

+Trong hệ tọa độ trụ

+Trong hệ tọa độ cầu

- Nắm được ứng dụng của tích phân ba lớp trong việc tính thể tích vật thể, tính khối lượng và tọa độ trọng tâm của vật thể;

- Nắm được cách tìm mô men quán tính đối với các trục Õ, Oy, Oz tương ứng

- Làm thành thạo các bài tập

Chú ý: Các bài tập cuối chương đều có bài giải và đáp án để anh/chị tự đối chiếu Tuy nhiên, anh/chị nên tự làm bài trước, rồi so sánh với đáp án

2.1 KHÁI NIỆM

Cho hàm số f(x,y,z) xác định trong một miền đóng, giới nội V của không gian Oxyz Chia miền V một cách tùy í thành n miền nhỏ, gọi tên và thể tích của các miền

nhỏ ấy là  V1, V2, ,V n Trong mỗi miền V i lấy một điểm M x y z i( ,i i, ).i Tổng

1 ( , , )

được gọi là tổng tích phân của hàm số f(x,y,z) trong miền V

Nếu khi n→∞ sao cho max di → 0 (di là đường kính của miền nhỏ V i )

mà In dần tới một giới hạn xác định I, không phụ thuộc vào cách chia miền V và cách chọn điểm Mi trong miền V i, thì giới hạn ấy được gọi là tích phân bội ba của hàm số

f(x,y,z) trong miền V và kí hiệu bởi

 cho ta thể tích của miền V

Tích phân bội ba cũng có các tính chất tương tự như tích phân hai lớp

Chú ý: Vì tích phân bội ba không phụ thuộc cách chia miền V thành các miền nhở, ta có thể chia miền V bởi ba họ mặt phẳng song song với các mặt phẳng tọa độ ,

khi đó dV = dxdydz và có thể viết



2.2 CÁC CÔNG THỨC TÍNH TÍCH PHÂN BA LỚP

1.Trong toạ độ vuông góc:

z (x,y)2I= f(x,y,z)dxdydz= dxdy f(x,y,z)dz

Trong đó chú ý tới cách xác định các cận là: z = z1(x,y) là phương trình mặt vào

z = z2(x,y) là phương trình mặt ra của V ( theo chiề của trục Oz);

D là hình chiếu của miền V xuống mặt toạn độ Oxy Các cận của biến y và biến

x xác định theo miền D giống như đối với tích phân kép

- Cũng có thể tính tích phân ba lớp theo các thứ tự khác nhau; z, y, x như trên, hoặc y, z, x hoặc x, y, z

2 Trong toạ độ trụ:

x=rcosφ,y=rsinφ,z=z.

z (r,f)2

4 Đổi biến tổng quát

Nếu các biến x, y, z, được chuyển sang các biến u, v, w theo các hệ thức

x = x (u, v, w), y = y (u, v, w), z = z(y, v, w), thì ta có công thức đổi biến tổng quát của tích phân ba lớp là:

y 1 x

y 0 2

1 0 0

)2

m x, y, z dxdydzc) Tọa độ trọng tâm:

   

2 2 x

V

2 2 y

V

2 2 z

Bạn đọc tự suy ra trường hợp vật thể đồng nhất (có  hằng số, hoặc  1)

Ví dụ 4 Tính thể tích miền giới hạn bởi mặt trụ x2 + y2 = 2ax, mặt parabôlôit x2+ y2 = 2az và mặt xOy

Giải Miền V có mặt vào là z = 0, mặt ra là 1  2 2

Ví dụ 6: Tính mômen quán tính của hình trụ đứng tròn xoay có chiều cao 2h, bán

kính R đối với đường kính của thiết diện trung bình của nó, biết rằng hình là đồng chất với mật độ không đổi 0

Giải: Chọn hệ toạ độ sao cho trục Oz trùng với trục đối xứng, gốc toạ độ trùng với tâm đối xứng và trúc Ox trùng với đường kính của thiết diện của thiết diện trung bình Khi đó ta có:

Anh/chị đã được học về tích phân bội ba

Anh/chị cần ghi nhớ các vấn đề sau:

- Nắm được khái niệm tích phân bội ba;

- Nắm được các tính chất của tích phân bội ba;

- Nắm được cách tính tích phân bội ba trong hệ tọa độ Đề-các, hệ tọa độ cực,tọa

độ trụ, tọa độ cầu và đổi biến số trong tích phân bội ba;

- Nắm được ứng dụng của tích phân bội ba trong việc tính thể tích vật thể, tìm trọng tâm của vật thể

2

Giải

b) nửa trên của hình cầu x2 + y2 + z2  a2;

c) Nửa trên của khối elíp:

c) Dùng toạ độ trụ hoặc toạ độ cầu suy rộng:

Nếu dùng toạ độ cầu suy rộng: đặt

x   a sin cos , y     a sin sin , z     c cos 

2 a c

.15

I  , trong đó V là miền xác định bởi các mặt:

I  , trong đó V là miền giới hạn bởi mặt trụ:

D 0

I   d dr r dz  

Xác định miền D

3 4

I  , trong đó V là nửa trên của hình vành cầu:

(b a )

C I =

5 5 4

(b a )

D I =

5 5 4

8 2 35

Câu 6 Tính mô men quán tính của hình trụ đứng tròn xoay có chiều cao 2h

bán kính R đối với đường kính của thiết diện trung bình của nó, biết rằng hình trụ đồng chất với mật độ không đổi bằng 0.

Kết quả nào sau đây đúng?

B

2

2 2 0

Đáp số [b] vì dùng hệ tọa độ tương ứng

BÀI 3: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG

Tích phân đường xét tích phân của hàm 2 biến trên một đường cong Người ta chia ra hai loại: Tích phân đường loại một và tích phân đường loại hai

Tích phân đường loại một có những tính chất giống tích phân xác định, và không phụ thuộc cách chọn hướng trên đường cong lấy tích phân

Tích phân đường loại hai xét tích phân của hai hàm 2 biến, một hàm có biến tích phânx và một hàm có biến tích phâny, cũng dọc theo một đường cong Khi đường cong kín thì với một số giả thiết, ta có thể chuyển việc tính tích phân đường sang việc tính tích phân hai lớp

Mục tiêu:

- Nắm được khái niệm tích phân đường loại một và loại hai;

- Nắm được các phương pháp tính tích phân đường;

3.1 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT

Cho hàm f M  f x y , liên tục trên đường cong phẳng AB trơn (có tiếp tuyến với đường cong biến thiên liên tục) hoặc trơn từng khúc Ta có tích phân đường loại một của hàm f x y , theo đường cong AB, ký hiệu là:

f x y ds f x y x y x dx

Nếu AB là đường cong trơn trong không gian cho bởi phương trình tham số

f x y z ds f  t  t  t  t  t  t dt

Nếu gọi f x y z , ,  là mật độ đường cong AB thì tích phân đường loại một của f

trên AB chính là khối lượng M của AB và khi đó tọa độ trọng tâm x y z0, 0, 0 của AB được

Nếu F P Q, là một véc tơ lực thì về mặt vật lý tích phân đường loại hai là

công của lực này sinh ra khi di chuyển một chất điểm từ A đến B theo đường cong AB

Tớch phõn đường loại hai cú tớnh chất như tớch phõn xỏc định Để tớnh tớch phõn đường loại hai, ta đưa về tớch phõn xỏc định Nếu đường cong AB được cho bởi

b Đường parabol AnB có trục đối xứng là trục Ox

Giải: Phương trỡnh đường thẳng đi qua 2 điểm

0

3 2 1

2 0

cho một người đi dọc theo chiều ấy sẽ thấy miền D giới hạn bởi L gần nhất về phía tay trái Trên D D L cho các hàm P x y Q x y   , , , xác định và liên tục cùng với đạo hàm cấp 1, ta có công thức Green liên hệ giữa tích phân đường loại hai và tích phân hai lớp:

I y x dxdy ydxdy xdxdy

Vì miền D đối xứng qua các trục tọa độ và các hàm dưới dấu tích phân là lẻ đối với y hay , nªn tÝch ph©n trªn x I  0.

Để tính trực tiếp tích phân trên, ta đổi phương trình elip sang dạng tham số

Qua ví dụ trên ta thấy áp dụng công thức Green tính tích phân sẽ đơn giản hơn

* Ta có công thức tính diện tích S của một hình phẳng (cầu phương được), bao bởi chu tuyến L trơn từng khúc:

1

2 L

S Ñ xdyydx

3 Tích phân đường không phụ thuộc đường đi

Nếu D là miền đóng đơn liên thỏa mãn hệ thức  

Nên biểu thức dưới dấu tích phân là vi phân toàn phần và do vậy tích phân I

không phụ thuộc đường đi Áp dụng công thức:

2, 1

2, 1

326 2

- Nắm được khái niệm và cách tích phân đường loại một

- Nắm được khái niệm và cách tích phân đường loại hai;

- Nắm được các phương pháp tính tích phân đường;

- Làm thành thạo các bài tập

Chương tiếp theo anh/chị sẽ được học về phương trình vi phân

Chúc anh/chị học tập tốt!

3 2 0

3 cos sin sin cos

12 cos sin sin cos

 2  2  2

x ds y ds z ds

x y , trong đó C là đường tròn 2 2  2

x y a , chạy ngược chiều quay của kim đồng hồ

Giải: Phương trình tham số của đường tròn C là xacos ,t yasin ,t    t 

a b , chạy ngược chiều quay kim đồng hồ

Giải: Phương trình tham số của elip là xacos ,t ybsin ,t    t , ta có:

lấy tích phân và tính chẵn của hàm lấy tích phân, ta có:

a Khi gốc tọa độ nằm ngoài miền D bao bëi C

b Khi C bao lấy gốc tọa độ

c Khi C bao lấy gốc tọa độ n lần

Nên áp dụng công thức Green, ta có I0

b Nếu C bao lấy gốc tọa độ, khi đó, ta không áp dụng công thức Green được vì  0, 0

là điểm gián đoạn của các hàm P Q, Ta chọn đường tròn 2  2  2

1,2,3

I  d xyz xyz 

17 Dùng tích phân đường, tính diện tích của:

a Hình phẳng (hình cacdioit) có phương trình tham số:

Trung tâm Đào tạo E-Learing Cơ hội học tập cho mọi người

BÀI 4: TÍCH PHÂN MẶT

Mục tiêu

Sau khi học xong bài này, anh/chị sẽ:

- Nắm vững các phương pháp và công thức tính tích phân mặt loại I

- Nắm được mối liên hệ giữa tích phân mặt với tích phân đường qua công thức Stock

- Nắm vững mối liên hệ giữa tích phân mặt với tích phân bội ba qua công thức Oxtrogratxki

4.1 TÍCH PHÂN MẶT LOẠI MỘT

1 Khái niệm

Cho một mặt cong S và một hàm số f(M) = f(x, y, z) xác định trên S

Chia mặt S một cách tùy í thành n mảnh nhỏ, gọi tên và diện tích của các mảnh nhỏ ấy

là  S1, S2, ,S n

Trong mỗi mảnh S i lấy một điểm tùy í M x y z i( ,i i, ).i Tổng

được gọi là tổng tích phân của hàm số f(x,y,z) trong mặt S

Nếu khi n→∞ sao cho max di → 0 (di là đường kính của mảnh nhỏ S i )

mà In dần tới một giới hạn xác định I, không phụ thuộc vào cách chia mặt S và cách chọn điểm Mi trong mảnh S i, thì giới hạn ấy được gọi là tích phân mặt loại một của của hàm số f(x,y,z) trên mặt S và kí hiệu bởi

Người ta chứng minh dược rằng nếu mặt S trơn (tức là liên tục và có pháp tuyến

biến thiên liên tục) và nếu hàm số f(M) = f(x, y, z) liên tục trên mặt S thì tồn tại tích

S

f (x, y, z)dS



1 ( , , )

Trung tâm Đào tạo E-Learing Cơ hội học tập cho mọi người

phân S

f (x, y, z)dS



Nếu mặt S có khối lượng riêng tại điểm M(x,y,z) là ( , , )x y z thì khối lượng của

Giả sử hàm giới nội f(M) = f(x, y, z) được xác định tại các điểm của mặt S trơn

từng mảnh với biên L trơn từng khúc Nếu S có phương trình

z = z(x, y) với (x, y) thuộc miền đóng giới nội D, khi đó ta có tích phân mặt loại một của f trên S là

x  y  z là chẵn đối với các biến số x,y,z và miền S đối

xứng qua các mặt phẳng tọa độ, nên ta chỉ cần tính ở góc phần tám thứ nhất

z  a  x  y , khi đó

Trung tâm Đào tạo E-Learing Cơ hội học tập cho mọi người



= {P (x, y, z), Q (x, y, z), R (x, y, z)} Xác định trên mặt S trơn hai phía, có phương trình là z = z(x, y) và có vectơ pháp của S hợp với các trục một góc    , , tại điểm M(x, y, z) Khi đó ta có tích phân mặt loại hai:

Trung tâm Đào tạo E-Learing Cơ hội học tập cho mọi người

P(x, y,z)dydz+Q(x,y,z)dxdz+R(x,y,z)dxdy= (Pcos Qcos Rcos )dS

Người ta chứng minh dược rằng nếu S là mặt định hướng liên tục mà véc tơ pháp

tuyến biến thiên liên tục) và nếu các hàm số P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z), liên tục

trên mặt S thì tồn tại tích phân mặt loại 2

Trung tâm Đào tạo E-Learing Cơ hội học tập cho mọi người

Trung tâm Đào tạo E-Learing Cơ hội học tập cho mọi người

0 0

Trung tâm Đào tạo E-Learing Cơ hội học tập cho mọi người

trong đó L là đường cong kín giao tuyến của mặt nón

4.4 LIÊN HỆ GIỮA TÍCH PHÂN MẶT VÀ TÍCH PHÂN BỘI BA

Được thể hiện qua công thức Ôxtrôgratxki - Gaoxơ: Nếu P, Q, R là các hàm liên tục cùng đạo hàm cấp một của nó trong một miền V biên S lấy theo phía, ngoài thì ta