Luận văn thạc sĩ khoa học: Hệ động lực ngẫu nhiên trên thang thời gian

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TU NHIÊN

ĐINH VĂN KHAM

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

ĐỀ TÀI:

HỆ ĐỘNG LỰC NGẪU NHIÊN

TREN THANG THỜI GIAN

Hà Nội - 2012

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐINH VĂN KHẨM

TÓM TẮT LUẬN VĂN:

HỆ ĐỘNG LỰC NGẪU NHIÊN

TRÊN THANG THỜI GIAN

Chuyên ngành; Lý thuyết xác suất và Thống kê tuán hụcMa số; 60.46.15

NGƯỜI HƯỚNG DAN KHOA HOC: GSTS Nguyễn Hữu Dư

Hà nội - 2012

Mục lục

Mục lục i

Loi cam on ii

Mo dau 1

1 Tích phân ngau nhiên trên thang thời gian 3

1.1 Các khái niệm cơ bản về giải tích trên thang thời gian 3

1.2 Định lý khai triển Doob - Meyer 11

1.3 Tích phân ngẫu nhiên trên thang thời gian 18

1.3.1 Tích phân theo martingale bình phương kha tích 18

1.3.2 Tích phân theo martingale địa phương bình phương khá tích 242 Công thức Ltd và ứng dụng 272.1 Biến phân bậchai,, 2 cv su sở 272,2 Công thức ltô và ứng dung te 313 Phương trình động lực ngẫu nhiên trên thang thời gian 433.1 Phương trình dong lực ngẫu nhiên trên thang thời gian 43

3.2 Tinh Markov củanghiệm., so 52Kết luận và kiến nghị 55

LỜI CẢM ƠN

rong quá trình thực hiện luận van này tôi đã nhận được sự giúp đỡ to lớn

của các thầy giáo, cô giáo, gia đình và bạn bè,

Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới người hướng dẫn khoa

học, GS.1S Nguyễn Hữu Dư, Trudng Dai học khoa học tự nhiên - ĐHQG Hà Nội.

Thay là người đã hướng dẫn tôi làm khóa luận tốt nghiệp đại học nam 2000, giờthầy lại tận tinh hướng dẫn, giúp đỡ tôi hoàn thành bản luận van này,

Toi cũng gửi lời cam ơn tới các thầy, cô của Khoa luán - Cơ - Tin học,

Phòng sau đại học, Irường Dai học khoa học tự nhiên, ĐHQG Hà Nội đã giáng

dạy, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập, trang bi cho tôi những kiến thức nên

tảng đủ để làm việc Đặc biệt, tôi chân thành cảm ơn NCS, Nguyễn Thanh Diệu,

Khoa luán - Trường Dai học Vinh, đã có những ý kiến đóng góp quý báu để bản

luận van hoàn chỉnh hơn,

Toi cũng không quên gửi lời cam ơn tới các đồng chí lãnh đạo cùng bạn

bè đồng nghiệp Irường THPT Chuyên Lương Văn Tuy - Ninh Bình, nơi tôi côngtác, đã hết sức tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình học tập cũng như thực

hiện luận van của tôi,

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn cha mẹ, các anh chị em và gia đình nhỏ cua tôi

đã luôn bên tôi trong những ngày đã qua.

Mặc dù đã hết sức cố gắng nhưng luận van không thé tránh khỏi những

thiếu sót Mọi ý kiến đóng góp tôi xin được đón nhận với lòng biết ơn chân thành.Hà Nội, ngày OL tháng OS năm 2012

Học viên

Dinh Van Kham

il

MỞ ĐẦU

Phương trình động lực ngẫu nhiên là mô hình toán học cho các hệ động lực

trong thực tế có tác động của yếu tố ngâu nhiên Do đó, nó có nhiều ứng dụng

trong sinh học, y học, vật lý học, kinh tế, khoa học xã hội , và được nhiều nhà

toán học quan tâm nghiện cứu.

Khi xây dựng mô hình toán học cho các hệ thống tiến triển theo thời gian,

người ta thường giả thiết hệ thống hoạt động liên tục hoặc rời rạc đều, tức là các

thời điểm quan sát cách nhau một khoảng cố định Từ đó, các phép tính giải tích

liên tục (phép tính vi phân) và rời rạc (phép tính sai phân) được nghiên cứu để mô

tả hệ thống tương ứng với các giả thiết thời gian lý tướng được dat ra Nhưng thực

tế, hầu hết các hệ thống hoạt động không hoàn toàn liên tục cũng không hoàn

toàn cách đều nhau Đôi khi các quan sát còn xen lẫn các khoảng thời gian liên

tục với các thời điểm rời rạc Thí dụ như một loài sâu bệnh, chúng chỉ phát triểntrong suốt mùa hè nhưng đến khi mùa đông thì sự phát triển của chúng bị gián

đoạn Vi vậy, trong nhiều trường hợp phương trình vi phân hoặc sai phân không

đủ mô tả các thông tin cần thiết của mô hình,

Lý thuyết thang thời gian ra đời nhằm khắc phục nhược điểm này của giảitích cổ điển Lý thuyết này được đưa ra lần đầu tiên nam 1988 bởi nhà Todn học

người Đức Stcfan Hilger trong Luận án tiến sỹ của ông (xem |Š|); nhằm thống

nhất và mở rộng một số vấn đề của giải tích rời rạc và liên tục, Các kết quả nghiêncứu về giải tích trên thang thời gian cho phép xây dựng mô hình toán học của

các hệ thống tiến triển theo thời gian không đều, phản ánh đúng quy luật trong

thực tế, Do đó, chủ dé thang thời gian thu hút được sự quan tâm nghiên cứu củanhiều nhà toán học trên thế giới và đã có nhiều công trình được công bố trên các

tạp chí toán học có uy tín (|, 2, |) Tuy nhiên, phần lớn các kết quả đạt được

chi dừng lai ở việc nghiên cứu hệ động lực tất định trên thang thời gian Vi thé:

các kết quả này chỉ mô tả được các mô hình phát triển trong các điều kiện môi

trường không có nhiều biến đối Hiển nhiên, các mô hình thực tế không như vậy

và ta phải tính đến các yếu tố ngẫu nhiên tác động vào môi trường Do đó, việc

chuyển các kết qua của giải tích trên thang thời gian của các mô hình tất định

sang mô hình ngẫu nhiên là một nhu cầu cấp thiết Trén cơ sở các kết quả nghiêncứu của phương trình vi phân và sai phân ngẫu nhiên và lý thuyết thang thời gian,

trong luận van này chúng tôi dé cập tới "Một số vấn đề của hệ động lực ngaunhiên ngẫu nhiên trên thang thời gian”, Luận van gồm 3 chương,

Chương 1 Tích phân ngau nhiên trên thang thời gian Nội dung

chương này gồm có 3 mục Mục 1.1 trình bày những vấn dé cơ bản về giải tích

tất định trên thang thời gian Mục 1.2 trình bày định lý khai triển Doob- Meyer

đối với submartingale trên thang thời gian, Mục 1.3 trình bày tích phân ngẫu

nhiên theo martingale bình phương khả tích, martingale địa phương bình phươngkhả tích và mở rộng đối với semimartingale trên thang thời gian,

Chương 2 Công thức Lto và ứng dụng Nội dung Chương 2 được viết

thành 2 mục Mục 2.1 Chúng tôi trình bày định nghĩa về biến phân hôn hợp của.hai quá trình ngẫu nhiên trên thang thời gian Mục 2.2 Trình bày về công thức

ltô đốt với bộ d—semimartingale trên thang thời gian và các ứng dụng,

Chương 3 Phương trình động lực ngau nhiên trên thang thời gian.

Nội dung của chương này được chia thành 2 mục Mục 3.1 đưa ra định nghĩa

nghiệm và điều kiện về sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình động lựcngẫu nhiên trên thang thời gian Mục 3.2 trình bày về tính Markov nghiệm của

phương trình động lực ngẫu nhiên trên thang thời gian.

Chương |

Tích phân ngâu nhiên trên

thang thời gian

1.1 Các khái niệm cơ bản về giải tích trên thang

thời gian

Các kết quả trình bày trong mục này được tham khảo từ tài liệu |] Uhang,thời gian là một tập con đóng, khác rỗng của tập số thực R, thường ký hiệu thang

thời gian là T Ta trang bi cho thang thời gian T một tôpô cảm sinh của tôpô

thông thường trên tập hợp các số thực,

Dễ dàng thấy rằng các tập hợp

R, Z, N, No, [0,1] U [2,3], [0,1] UN, và tap Cantor,

là các thang thời gian.

Trong khi đó các tập hợp

Q, R\Q (0,1),

không phải là thang thời gian vì chúng không phải là các tập đóng,

3

Định nghĩa 1.1.1 Giả sử T là một thang thời gian Ánh xạ o : T > T xác

Định nghĩa 1.1.2 Giả sử T là một thang thời gian Một điểm ¢ € T được gọi

là trù mat phái (vight-dense) nếu o(t) = t, cô lập phải (vight-scattered) nếu

o(t) > t, trù mật trái (left-dense) nếu p(t) = t, cô lập trái (left-scattered) nếu

p(t) < t và là điểm cô lập (isolated) nếu t vừa cô lập trái vừa cô lập phải.

Với mỗi a,b € TT, ký hiệu [a,b] là tập hợp {t € T: a <t < Dd},

tương tự, ký hiệu các tập hợp (a,b]; (a,b); [a,b) tương ứng là các tập hợp

{tEeT:a<t<b}; {teT:a<t< b};{tCT:a < t< bd} Ký hiệu<

Ký hiệu

I, = {£ : t cô lap trái}, lạ = {¿ : £ cô lập phải}, 1 = 1, U lạ (1.1)

Mệnh đề 1.1.3 áp hợp I gốm tất cả các điểm cô lập trái hoặc cô lập phải

cua thang thoi gian T là tập không quá đếm được.

Định nghĩa 1.1.4 Giá sử T là thang thời gian Ánh xạ pp : TY > R, xác

định bởi

được gọi là hàm hạt tiếu (forward graininess function) trên thang thời gian TT.

Ánh xạ: T > R, xác định bởi

v(t) =t— plt),

được gọi là ham hạt lài (backward graininess function) trên thang thời gian T.

Ví dụ 1.1.5 +) Nếu T = R thi p(t) = t = o(t), w(t) = p(t) = 0;

+) Nếu T = Z thi p(t) =t—1,o0(t) =t4+ 1, p(t) = v(t) = 1.

+) Với h là số thực dương, Chúng ta định nghĩa thang thời gian T = hZ

xác định như sau;

h2 = {kh: ke Z} ={ -—3h,—2h,—h,0,h,2h,3h, - },

khi đó p(t) =t—h,o(t) =t+h, p(t) = v(t) = h.

Định nghĩa 1.1.6 Cho hàm số ƒ : T > R Hàm số ƒ được gọi là

i) chính quy (regulated) nếu ƒ có giới hạn trái tại những điểm trù mật trái vàcó giới hạn phải tại những điểm trù mật phải.

ii) rd—lién tục (rd—continuous) nếu ƒ liên tục tại những điểm trù mật phảivà có giới hạn trái tại những điểm trù mật trái Lập hợp các hàm rd— liên

tục ký hiệu là Œ;„ hoặc Œ„„(T, R).

5

iii) ld—liên tục (ld—continuous) nếu ƒ liên tục tại những điểm trù mật trái, cógiới hạn phải tại những điểm trù mật phải Tap hợp các hàm /d— liên tục

ký hiệu là Œ;„ hoặc Œ;„(T, R).

Gia sử ƒ : T > R là một hàm số xác định trên T Khi đó, chúng ta viết

f?: TT —> Ra hàm số xác định bởi f? = ƒ.ø, nghĩa là ƒ“(£) = f(p(t)) với mọite ¿TT Ký hiệu am, f(s) bởi f(t_) hoặc ƒ,_ nếu tồn tại giới hạn trái Ta thấy

rằng nếu t là điểm cô lập trái thì ƒ, = f?(t).

Định ly 1.1.7 Gia su ƒ : T > R là một hàm šố xác định trên T Khi đó,

i) Nếu ƒ là hàm số liên tục thì ƒ là hàm số.rd— liên tục và ld— liên tục.

ii) Nếu f là hàm yố.rd— liên tục thì f là hàm số chính quy.iii) Loán tứ bước nháy tiến ơ là hàm vố.rd— liên tục.

iv) Loán tứ.bước nháy lùi p là hàm số.ld— liên tục.

v) Nếu f là hàm số.ld— liên tục thì f? cũng là hàm vố.ld— liên tục.

Định nghĩa 1.1.8 Gia sử ƒ là một hàm số xác định trên T, nhận giá tri trên R.Ham số ƒ được gọi là có V— đạo hàm (có đạo ham Hilger hoặc đơn giản có

đạo hàm) tại t € ¿T nếu ton tại ƒY() € R sao cho với mọi e > 0 tồn tại một

lân cận U của t để

If(øứ)) — f(s) — ƒY)(øữ) — s)| < elp(t) — s[ với mọi s € U.

fY (t) ceR được gọi là V—dav hàm của hàm số ƒ tại 1.

Nếu ham số ƒ có V—dao ham tại mọi điểm ¿ € ¿TT thì ƒ được gọi là có

V —dav hàm trên TT.

Vi dụ 1.1.9, +) Nếu T = R thì fY(t) = ƒ() chính là đạo ham thông thường.

+) Nếu T = Z thì fY(t) = f(t) — f(t — 1) chính là sai phân lùi cấp mot.

6

Định ly 1.1.10 Gia swf :T > R là một hàm số xác định trên T vat € ¿T.

Khi đó,

i) Nếu hàm số ƒ có W— đạo hàm tại t thì f là hàm số liên tục tại t.

ii) Nếu hàm số ƒ liên tục tại điểm cô lập trait thì ƒ có W— đạo hàm tại † và

iti) Nếu t là điểm trù mật trái thì ƒ là hàm vố.có V —đạo hàm tại † nếu và chi.

Định ly 1.1.11 Gia sứ fog : T > R là các hàm s6:xdc định trên T và có

V— đạo hàm tại t C „TÌ Khi đó,

i) Hàm tong ƒ + g : TU > Red W— đạo hàm tại † và

(f+) (=f) +ø 0:

ii) Hàm tích fg :T + có V— đạo ham tại † và ta có quy tắc

(7ø)Ÿ(Ð = FY (t)g(t) + ƒ'03ÈŸ(Ð = Fg (t) + FY Oa’).

iti) Nếu g(t)g?(t) # 0, thì hàm sot có V—dao ham tại t vata có quy tắc

AVY ƒY0)g(0)- FOG)

Ũ >_ mm

Định nghĩa 1.1.12 Hàm số p xác định trên thang thời gian T được gọi là hồi

quy (regressive) nếu

Gia sử A là hàm tang, liên tục phải, xác định trên T Ký hiệu 9, =

{(a;b] : a,b € T} là họ tất cả các khoảng mo bên trái và đóng bên phải của TT.

Suy ra St; là nửa vành các tập con của T Lấy m, là hàm tập xác định trên 99,

và được xác định bởi

mi((a, b]) = Ay — Aa (1.2)

Chúng ta thấy rằng m, là ham tap cộng tính đếm được trên 9 Ký hiệu uậ

là mở rộng Carathéodory cua ham tập zm liên kết với họ 9; và nó được gọi là

VW4~độ đo Lebesgue- Stieltjes liên kết với A trên thang thời gian T, Dễ dàng

chứng minh được các kết quả sau.

Với to € ¿T, tập một điểm {to} là V4— đo được và

Chứng minh chi tiết cho các kết quả này có thé xem trong [2].

Lấy EF Cc , Ï là một tập ps —do được và ƒ : T > R là một hàm số

u do được, Ký hiệu ƒ JzVA; là tích phân của ham số ƒ liên kết với độ đoue trên E và được gọi là W4—rích phân Lebesgue - Stieltjes Nếu A(t) = t với

mọi t € T ta có yt là V— độ do Lebesgue trên T và ƒ pJ+V7 là V— tích phân

Lesbesgue, Trong Luận van này, chúng tôi su dụng ký hiệu f f(7)V7 thay cho

Joa ƒ(r)Vï.

Sau đây chúng tôi liệt kê một số tính chất của tích phân,

Định ly 1.1.13 Giá sứ a,b,c € T,a € R và f: TOR, g:T > Rià các

hàm vố.ld— liên tục Khi đó, các đẳng thức sau đây đúng

ii) Nếu T là thang thời gian gồm tất cả các điểm đều là điểm cô lập thì

b te(a,b]

| fovr= 0 néu a=

— So f(t)v(t) nếu a>b

Các bước xây dựng A— tích phan Lebesgue tương tự như xây dựng

V— tịch phân Lebesgue (xem [|I]) Irong trường hợp tổng quát chúng ta khong

có mối quan hệ giữa V— tích phân và A-—tích phân, Trong trường hợp đặc biệt

hàm số dưới dấu tích phân liên tục ta có bổ đề sau:

Bổ dé L.1.15, Giá siz ƒ : T > R là hàm s6.chinh quy trên T, lấy b € TỶ,

aC€ ¿1,ø < b Khi đó đẳng thức sau đúng

b b

[ trove | f(r)Ar (1.3)

Từ Bổ dé 1.1.15 và |J1, Theorem 2.33, pp.59| suy ra nếu p(t) hồi quy và

chính quy thì e,(t, to) là nghiệm của phương trình

y(t) =1+ / p(r)y(r) Ar,

cũng là nghiệm cua bài toán Cauchy sau

Hon nữa, ta có được ước lượng sau

u(t) < ugep(t,a) Vte Tụ.

1.2 Định lý khai triển Doob - Meyer

Định nghĩa 1.2.1 Giá sử A = {4;};cr„ là một quá trình liên tục phải Khi đó,A được gọi là quá trinh tăng nếu thỏa mãn các điều kiện sau:

i) Ag = 0 và A = (4;) là quá trình (7,)—phù hợp;

ii) Quỹ đạo của A là hàm số tang theo £ trên T, hầu chắc chắn.

Quá trình tang A = { A;};er„ được gọi là khá tích nếu EA; < oo, Vt € Ta.

Mệnh dé 1.2.2, Giá siz A là một quá trình tăng, khả tích và M là martingale

bị chặn Khi đó, với moi t € Ty ta có

Vay ta có điều phải chứng minh.

Định nghĩa 1.2.3 Gia sử A = (4;);er,„ là một quá trình tang khả tích Khi đó,

A được gọi là tang tự nhiên nếu với mọi martingale M bi chan thì đẳng thức

sau đây được thỏa mãn

HM, A; = bị M,VA, (1.8)

Mệnh dé 1.2.4, Giá sứ (A;)1er, là một quá trình tăng Khi đó, các khẳng định

l) Nếu A = (Ai) là quá trình liên tục và A, là 7 — đo được với mọi

tEINT, thì A; là quá trình tăng tự nhiên.

12

2) Nếu A = A; là quá trình tăng tự nhiên thì A = (Ai)icr, là quá trình

(F;_)— đo được.

Chứng minh 1) Vì A = {A,} là quá trình liên tục, Ê{f} = 0 với mọi

t € T, \ l¡ Hơn nữa, với mỗi martingale M = {M;}, tập các giá tri £ sao

cho M,_ # AM, không quá đếm được Suy ra

Ta lại có, A, là F,_ - đo được với moi giá trị s € 1, 2 (a, t] Suy ra

E[(M, — M, )(A,— A, )| I E (E(M, — M, )(A;— As_)|Fs_]

bị M,VA,= a | M,VA, = EM,Aj,

nghĩa là (4;) là quá trình tăng tự nhiên,

2) Giả su A = (4,) là quá trình tang tự nhiên ,chúng ta cần chi ra rằng 4,

là 7, — đo được với t € T, Với môi martingale M, xác định trên T, và

13

Do đó, (M/,) là (F,)— martingale, Thay vào (1.9) ta có

E (A; — BỊA, |8 ])” = ECM — My_)(Ar — EỊA, | 8i ]) = 0.

Vậy, At — EA; | | =0 hee,

Ví dụ 1.2.5 Gia su (A;) là một quá trình tăng, kha tích trên thang thời gian T

Khi đó, ta có:

i) Nếu T = N thì A; là quá trình tang tự nhiên khi và chi khi A, là day tang

và #¿_¡—đo được Vt = 1,2,

14

ii) Nếu T = R thì mọi quá trình tang kha tích, liên tục (44;) là quá trình tang

tự nhiên,

Định lý 1.2.6 (Định lý khai triển Doob-Meyer), Giá sứ, X = (Xj)¡cr, là

sub-martingale liên tục phải thuộc lớp (DL) Khi đó, ton tại duy nhất một

martin-gale M và một quá trình tăng tự nhiên A sao cho đẳng thức sau thỏa mãn

Như vậy, E(A; — At)? = E[B,(A; — 4j)] = 0 suy ra A; — Ai =0 h,o,o, với

mọi t € Tụ Lừ đó suy ra A; = Aj h.c.c, với mọi t € Ty.

15

Tiếp theo, chúng ta chứng minh sự tôn tại M va A Từ tính duy nhấtchúng ta thấy rằng chỉ cần chứng minh tồn tại quá trình M và A trên đoạn

[ø; b] với mỗi b € Ty Không mất tính tổng quát, giả sử rằng X„ = 0 Xét

dãy phân hoạch z ; a = #0) < tM < < tp = 6 của [a,b] thỏa mãnmax(p(f”)) — #!) < si và xí") col), Áp dụng định lý khai triển Doob -

Meyer đối với dãy submartingale, XÍ”) = (Xt, )i,eno ba CO

Thay thé: M, và A; bởi các ban sao liên tục phải tương ứng của chúng, Vì

weak — lim Al”) = Ap, suy ra weak — lim M{"") = My.

Lấy IT = Ven tm vaadcs<t<by6is,t € Il cố định Suy ra rang

A, — Ag = Xi: — Xs — IE(M,|Z;) — E(M,|Z.)]

— X, — X, — weak- lim /E(M," |Fi) = B(M\" |F.)|

k- 00

= weak- lim (x —X,- E(M\"”|Fi) + E(M,"")F,))k-0o

= weak- lim (x —X,— MI") + Mi")

k- oo

= weak- lim (4 — AI») > 0h,c,c.L1" $

Vì II đếm được và trù mật trong |a, b| và A liên tục phải, suy ra A; > A, h,o.c,

với mọi t > s Nghia là A là quá trình tăng.

Tiếp theo chúng ta kiểm tra tính tự nhiên của quá trình A Lấy £ là

martingale liên tục phải bị chặn bất kỳ Đặt

E / €, VA, = lim E / CP WAs = lim E[ $0 &, (Ay, — 4o, 2)Ì-a Noo a T,—>©O In

Với mỗi n cố định, chúng ta có thể tìm được dãy m; † oo sao cho

b kn

- r() m m

E / EVA, = im, P|3 &,_,(AlTM — ay).

Từ tính khả đoán của A4) suy ra

ky kn

7 I6 (40 - A9) = Bộ | (alm - ay) =E eal |i=1i=l

17

2 | &, VAs = E [eo Ab],

nghĩa là A = (A;) là quá trình tang tự nhiên.

Lấy M € Mo Vì M? là submartingale, nên tồn tại duy nhất một quá trình

tang tự nhiên (M) = ((M)¿);¿cr, sao cho M? — (M), là một martingale Quá

trình tang tự nhiên (1), được gọi là đặc trung của martingale MV.

1.3 Tích phân ngau nhiên trên thang thời gian

1.3.1 Tích phân theo martingale bình phương khả tích

Ký hiệu £ là tập tất cả các quá trình ngẫu nhiên nhận giá trị thực (ở;);cr,xác định trên T„ x © với quỹ đạo liên tục trái trên T, và (Z„/¿))— phù hợp.

Lấy P là ơ— trường các tập con của T, x © sinh bởi các quá trình

ngẫu nhiên trên © Dễ thấy rằng P được sinh bởi họ các tập {(s,f| x F' :

Định nghĩa 1.3.1 Mỗi phần tứ của z— trường 7 được gọi là mot tập kha đoán.

Một quá trình ngẫu nhiên ¿ được gọi là kha đoán nếu nó đo được đối với ơ—

ii) Nếu T = R thì @; là quá trình kha đoán nếu đo được đối với

o— trường sinh bởi họ các quá trình ngẫu nhiên liên tục trái.

18

Mệnh dé 1.3.3 (/6/) Giá suv là không gian tuyến tính gốm các quá trinh

ngdu nhiên Ó : T„ x Q + R đo được, bi chặn thỏa man:i) ® chứa tất cá các quá trình ¿ bị chặn và € 9;

ii) Mọi day đơn điệu {¢,} C ® sao cho lim ó„ = ó là quá trình bị chặn

thuộc ®.

Khi đó, ® chứa tất cá các quá trinh kha đoán.

Gia sử M € Mo là một martingale bình phương khả tích, Ky hiệu

£L2(M) là không gian tất cả các quá trình ngẫu nhiên nhận giá trị thực, khả đoánó = {dr }rer,, thỏa man

IølŠ = ef J2V(M), <0, VT >a.

Vớimỗi b > a cố định Gọi L2((a, b|; 7) là hạn chế của không gian £2(M) trên

(a, b| Trên không gian Za((ø, b|; MW) xét chuẩn được xác định bởi

oll? =E / ov (M

Hai quá trình ¢, ó € Lo((a, b]; MỸ) được gọi là trang nhau nếu ||@ — Ó|Ìb,x = 0.

Một quá trình ¿ xác định trên |a, b| được gọi là quá trình đơn giản, nếutồn tại một phân hoạch 7 : a = to < ty < - < ty = b của |a, b| và day các biếnngẫu nhiên bị chặn { ƒ;} sao cho ƒ; là 7;, ,— đo được với mọi 7 = 1,n và

= So fil ,¿J(); t € (a0) (1.11)

Chúng ta ky hiệu tap hợp tất cả các quá trình đơn giản là £°.

Bo dé 1.3.4 £° trù mật trong £a((a, b|; M) với metric xác định bởi

d(,¢)? = |e — olay = a [ ló, — ,IPV(M),.19

Chứng minh, Rõ ràng, L° C £2((a,b|; M) Lấy ó € Lo((a, b|; M) Dat

Khi đó, ¿Z € Lo((a,b]; M) và

ta cần chỉ ra với mỗi quá trình ó € Z£2((ø,b]; Mƒ) bị chan thì có thể xác định

được dãy 6 € £°,n = 1,2, -, sao cho ||ó — 6TM|[h a2 —> 0 khi n > ©.

6-6" |I,ar — 0 khi —› +00 Do đó, chúng

T = {6 € Lo((a,b]; M) : ó bị chan và tôn tại 6 £9

sao cho || — 6) |ly.ar 3 0 khi ø — oo}.

T là không gian tuyến tính và nếu ¿0 € TY, ||ó°|| < K với hằng số kK > 0

nào đó và ¿° † ¢ thì ó € Y Với mỗi ¿ € 8, dat

b(t) = ø(ơ(j)), néut € (ti, tina] với = 0,kạ — 1,

trong đó {t;} là một phân hoạch của |a, b| sao cho max(p(ti+1) — f;) < 2”.

Suy ra óứ) € £0 và |lóứ*2 — Olle —> 0 khi n > oo.

Kết hợp với Mệnh đề 1.3.3, suy ra Y chứa tất cả các quá trình khả đoán bichặn Do đó, T = £;((a,b|; M).

Định nghĩa 1.3.5, Giả sử ¢ là một quá trình thuộc Z0, có dang (1.11) Khi đó,

Chúng ta chứng minh được rằng V— tích phân ngẫu nhiên f 0,V M, là

đại lượng ngâu nhiên F,— do được và mệnh đề sau đây được thoa man.

Mệnh dé 1.3.6 Giá siz là một quá trình thuộc L° và a, 8 là các sốthực Khi

20

1) Ef’ o,VM, = 0,

wy E|[2óVM,| =E| fPoev(a.|,

iii) flag, + BE, ]VM, =a f) o,VM, + 0 EVM, hao.

Với mỗi ó € Lo((a, b|; M), từ Bổ dé 1.3.4 suy ra tồn tại day {@} Cc L£°sao cho ||ó — 6 ||5,47 —> 0 khi ø > oo Mat khác,

b b 2

B| / HUM, — / ova] "1 1.

suy ra { [6 (7)VM,} là dãy Cauchy, Do đó, {f? 6 (7)VM,} hội tụ đến

biến ngẫu nhiên € trong Lạ(©, F, P), Tie là

€=Lạ— lim | 6TMVM,.

noo a

Giới han £ không phụ thuộc vào việc chọn day {6'”}.

Định nghĩa 1.3.7 Gia sử @ € Lo((a,b]; MV), V— tích phan ngdu nhiên củaquá trình ó theo martingale bình phương khả tích M € Mo, trên (a, b], ký hiệu

là ƒ'ó;V M, và được xác định bởi

b b

/ ó;VẢM, = Lạ — lim | ó "VÀ, (1.13)7?›—>©O a

trong đó {¿*} là day các quá trình thuộc £° sao cho

Ví dụ 1.3.8 7) Nếu T = Ñ và ¢ € Lo((a, b|; M7) thì (ó„) là day các biến ngau

nhiện (Z„_¡)— đo được và

b b

| VM,= 3) 60M: = Min)

21

ii) Nếu T = R thì £Lo((a, b]; M) chứa tất ca các quá trình khả đoán (quá trình

đo được đối với z— trường sinh bởi các quá trình liên tục trái) Hơn nữa,

b b

[ova | @;dM;,

trong đó f ¢,dM, là tích phân ngau nhiên Lt6 được xác định theo nghĩa thong

thường như trong [6].

Sau đây là một số tính chất cơ bản của V—tích phân ngẫu nhiên,

Mệnh đề 1.3.9, Giá sit, € € Lo((a,b]; M) và a, 8 là hai số thực Khi đó các

khẳng định sau được thỏa mãn.

i) f° b,VM, là Fy— đo được;

ii) Ef’ ¢,VM, = 0;

iii) E ƒ ó,VM,ÌÌ =E f’¢v(M

iv) [’lads + Ø6,]VM, = 0 ['ó,VM, + 6 [PE VM, hc.

vi) Nếu € là biến ngẫu nhiên bị chặn và F,— đo được, thì Eb € Lo((a, b]; M)

b b

/ £o,VM, = € / ó,VM, h.cc (1.14)

Chứng minh, Các tính chất trên luôn đúng với ¢ thuộc Z?, Bằng cách lấy giới

hạn qua dấu tích phân suy ra các tính chất trên đúng với ó € Lo((a, b]; M).

Định lý 1.3.10, Giá vứ M € My và ó € £2((a, b]; M) Khi đó,

ID) lÍ “ee =0 Acc (1.15)

t[LƑ ó;VM,)”Z,, -e[ [ BVM) Fal hoe (1.16)

22

Chứng minh Đẳng thức (1.15) suy ra trực tiếp từ định nghĩa V —tích phân ngẫu

nhiên và tính chất của kỳ vọng có điều kiện Hơn nữa, với mọi A € F, ta có

s[( [ova ir = 3[ [ evanr] hee,

suy ra (1,16) được chứng minh,

Định nghĩa 1.3,11 Gia sử ¿ € Lo((a, b]; M) Với mỗi t € [a, b], định nghĩa

I(a) =0; I(t) = / l„nqdrVM, Va<t<b,

và gọi là V— tich phân ngẫu nhiên dang bất định của quá trình ¢ theo gale bình phương khả tích A, ký hiệu là ƒj ¢,VM,.

martin-Định lý 1.3.12 (3) Giá sit là một phần tứ bất kỳ thuộc Lo((a, b]; M) Khi đó,

V— tích phân ngẫu nhiên dang bất định {I(t)}iciap) là một (71)—martingale

bình phương khả tích Hon nữa, ta có ude lượng sau

tích Tinh chat martingale cua ƒ(£) suy ra từ

E(1()|Z:) = E(I(s)|Fs) + (ƒ ó:VM,|Z,) = I(s).

23

1.3.2 Tích phân theo martingale địa phương bình phương

khả tích

Lấy M € MJ’, tức là tồn tại dãy (Z;)-thời điểm dừng (đ,)„en với

Bn † oo h.c,o, sao cho M\ = (M;,g,) là quá trình martingale bình phương kha

tích với mọi n € Ñ Ký hiệu (M(), là dao trưng của M{") Chúng ta chứng

minh được rằng tồn tại duy nhất một quá trình tang, (F;)—kha đoán (1Mf);, gọi

là đặc trưng của M, sao cho

Ký hiệu £'°°(T,; M) là không gian gồm tất cá quá trình ngẫu nhiên kha

đoán, nhận giá trị thực ó = {ø¿};cr„ thỏa mãn

Với mọi n € Ñ, dat OQ, := {6, > b} Rõ ràng Q, † © khi n > œ và

10")(ó) = I (¢) trên Om, Vin > m Suy ra [0 (¢) sẽ trùng nhau với xác suất

1 bắt đầu từ mo = mo(w) nào đó, Do đó, tồn tại duy nhất một biến ngẫu nhiên

I(@) thỏa mãn

I(¢)(w) = 1° (6)(w) Vn 3> mw € Xm (1.19)

Chúng ta thấy rang 7(ó) không phụ thuộc vào việc chọn dãy {Ø„}.

24

Định nghĩa L.3.13 7 (¿) trong công thức (1.19) được gọi là V— tích phân ngẫu

nhiên trên (a, b] của quá trình ¢ € £4°¢(T,; M) theo martingale địa phương bình

phương khả tích M € 1° Ký hiệu V— tích phân ngẫu nhiên là J Ø;VM;.

Với ó, là quá trình cadlag, M € M' và b > a, Ta chứng minh được

by € ##°(T,; M7) Do đó, tổn tại

c= f ó.VM,

Với m € Ñ, lấy 6") = ó.Tsemy: Dat Am = {w : d = of” Vt € [a, b]}.

Vì @; là quá trình cadlag nên A,, † ©) Xét phân hoạch

trong đó MẸ") = M;as¿„ Hơn nữa, nếu my < na thì

@((0) = 60" (w) = ow) VtE [a,b], w € Am.

b b fn

25,

với moi € Am, A Qm, vàn € Ñ Có nghĩa là €„ = En, trên Am, A OQm,Ym > my Mat khác, Ay AQ † Ô nên

c= [oe vate PS jim S40 = My,,) (1.20)noo

Chú ý 1.3.14 Giá suv MỸ là một semimartingale, nghĩa là M được phân tích

thành tổng

trong đó A là quá trình phù hợp, liên tục phải, có biến phân giới nội và

N€ MI?° Chúng ta biết rằng tích phân theo quá trình A có biếu phân giới

nội trên tập compact, có thé hiểu là W —tích phân Lebesgue-Stieltjes tính theoquỹ đạo Do đó, chúng ta có thế mở rộng định nghĩa tích phan theo martingale

địa phương binh phương khả tích cho tích phân theo semimactingale bằng cách

[ 6,VM, = [ ó-VA, + [ ó,VN,,

với ó¡ là quá trình (F;)—phi hop, sao cho hai tích phan ở vếphải tồn tại.

26