Đại học quốc gia Hà nội Trường Đại Học khoa học tự nhiên Đinh Văn Khâm Tóm tắt luận văn thạc sĩ khoa học Đề tài: Hệ động lực ngẫu nhiên thang thời gian Hà Nội - 2012 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Đại học quốc gia Hà nội Trường Đại Học khoa học tự nhiên Đinh Văn Khâm Tóm tắt luận văn: Hệ động lực ngẫu nhiên thang thời gian Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất Thống kê toán học Mà số: 60.46.15 Người hướng dẫn khoa học: GS.TS Nguyễn Hữu Dư Hà nội - 2012 i TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Môc lôc Mục lục i Lời cảm ơn ii Mở đầu 1 Tích phân ngẫu nhiên thang thời gian 1.1 Các khái niệm giải tích thang thêi gian 1.2 Định lý khai triển Doob - Meyer 11 1.3 Tích phân ngẫu nhiên thang thêi gian 18 1.3.1 TÝch ph©n theo martingale bình phương khả tích 18 1.3.2 Tích phân theo martingale địa phương bình phương khả tích 24 Công thức Itô ứng dụng 27 2.1 Biến phân bậc hai 2.2 Công thức Itô ứng dụng 27 31 Ph¬ng trình động lực ngẫu nhiên thang thời gian 3.1 Phương trình động lực ngẫu nhiên thang thời gian 3.2 Tính Markov nghiệm Kết luận kiến nghị 43 43 52 55 i TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Lời cảm ơn Trong trình thực luận văn đà nhận giúp đỡ to lớn thầy giáo, cô giáo, gia đình bạn bè Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học, GS.TS Nguyễn Hữu Dư, Trường Đại học khoa học tự nhiên - ĐHQG Hà Nội Thầy người đà hướng dẫn làm khóa luận tốt nghiệp đại học năm 2000, thầy lại tận tình hướng dẫn, giúp đỡ hoàn thành luận văn Tôi gửi lời cảm ơn tới thầy, cô Khoa Toán - Cơ - Tin học, Phòng sau đại học, Trường Đại học khoa học tự nhiên, ĐHQG Hà Nội đà giảng dạy, giúp đỡ suốt trình học tập, trang bị cho kiến thức tảng đủ để làm việc Đặc biệt, chân thành cảm ơn NCS Nguyễn Thanh Diệu, Khoa Toán - Trường Đại học Vinh, đà có ý kiến đóng góp quý báu để luận văn hoàn chỉnh Tôi không quên gửi lời cảm ơn tới đồng chí lÃnh đạo bạn bè đồng nghiệp Trường THPT Chuyên Lương Văn Tụy - Ninh Bình, nơi công tác, đà tạo điều kiện thuận lợi suốt trình học tập thực luận văn Cuối cùng, xin cảm ơn cha mẹ, anh chị em gia đình nhỏ đà bên ngày đà qua Mặc dù đà cố gắng luận văn tránh khỏi thiếu sót Mọi ý kiến đóng góp xin đón nhận với lòng biết ơn chân thành Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2012 Học viên Đinh Văn Khâm ii TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian Mở đầu Phương trình động lực ngẫu nhiên mô hình toán học cho hệ động lực thực tế có tác động yếu tố ngẫu nhiên Do đó, có nhiều øng dông sinh häc, y häc, vËt lý häc, kinh tế, khoa học xà hội , nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Khi xây dựng mô hình toán học cho hệ thống tiến triển theo thêi gian, ngêi ta thêng gi¶ thiÕt hƯ thèng hoạt động liên tục rời rạc đều, tức thời điểm quan sát cách khoảng cố định Từ đó, phép tính giải tích liên tục (phép tính vi phân) rời rạc (phép tính sai phân) nghiên cứu để mô tả hệ thống tương ứng với giả thiết thời gian lý tưởng đặt Nhưng thực tế, hầu hết hệ thống hoạt động không hoàn toàn liên tục không hoàn toàn cách Đôi quan sát xen lẫn khoảng thời gian liên tục với thời điểm rời rạc Thí dụ loài sâu bƯnh, chóng chØ ph¸t triĨn st mïa hÌ nhng đến mùa đông phát triển chúng bị gián đoạn Vì vậy, nhiều trường hợp phương trình vi phân sai phân không đủ mô tả thông tin cần thiết mô hình Lý thuyết thang thời gian đời nhằm khắc phục nhược điểm giải tích cổ điển Lý thuyết đưa lần năm 1988 nhà Toán học người Đức Stefan Hilger Luận án tiến sỹ ông (xem [5]); nhằm thống mở rộng số vấn đề giải tích rời rạc liên tục Các kết nghiên cứu giải tích thang thời gian cho phép xây dựng mô hình to¸n häc cđa c¸c hƯ thèng tiÕn triĨn theo thêi gian không đều, phản ánh quy luật thực tÕ Do ®ã, chđ ®Ị thang thêi gian thu hót quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học giới đà có nhiều công trình công bố tạp chí toán học có uy tín ([1, 2, ]) Tuy nhiên, phần lớn kết đạt dừng lại việc nghiên cứu hệ động lực tất định thang thời gian Vì kết mô tả mô hình phát triển điều kiện môi (LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian trêng nhiều biến đổi Hiển nhiên, mô hình thực tế không ta phải tính đến yếu tố ngẫu nhiên tác động vào môi trường Do đó, việc chuyển kết giải tích thang thời gian mô hình tất định sang mô hình ngẫu nhiên nhu cầu cấp thiết Trên sở kết nghiên cứu phương trình vi phân sai phân ngẫu nhiên lý thuyết thang thời gian, luận văn đề cập tới "Một số vấn đề hệ ®éng lùc ngÉu nhiªn ngÉu nhiªn trªn thang thêi gian" Luận văn gồm chương Chương Tích phân ngẫu nhiên thang thời gian Nội dung chương gồm có mục Mục 1.1 trình bày vấn đề giải tích tất định thang thời gian Mục 1.2 trình bày định lý khai triển Doob- Meyer submartingale thang thời gian Mục 1.3 trình bày tích phân ngẫu nhiên theo martingale bình phương khả tích, martingale địa phương bình phương khả tích mở rộng semimartingale thang thời gian Chương Công thức Itô ứng dụng Nội dung Chương viết thành mục Mục 2.1 Chúng trình bày định nghĩa biến phân hỗn hợp hai trình ngẫu nhiên thang thời gian Itô Mục 2.2 Trình bày công thức d semimartingale thang thời gian ứng dụng Chương Phương trình động lực ngẫu nhiên thang thời gian Nội dung chương chia thành mục Mục 3.1 đưa định nghĩa nghiệm điều kiện tồn nghiệm phương trình động lực ngẫu nhiên thang thời gian Mục 3.2 trình bày tính Markov nghiệm phương trình động lực ngẫu nhiên thang thời gian (LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian Ch¬ng Tích phân ngẫu nhiên thang thời gian 1.1 Các khái niệm giải tích thang thời gian Các kết trình bày mục tham khảo từ tài liệu [1] thời gian thời gian tập đóng, khác rỗng tập số thực T Ta trang bị cho thang thời gian T mét R Thang , thêng ký hiÖu thang tôpô cảm sinh tôpô thông thường tập hợp số thực Dễ dàng thấy tập hợp R, Z, N, N0 , [0, 1] ∪ [2, 3], [0, 1] N, tập Cantor, thang thời gian Trong tập hợp Q, R \ Q, (0, 1), thang thời gian chúng tập đóng (LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian Định nghĩa 1.1.1 Giả sử T thang thời gian ánh xạ :TT xác định (t) = inf{s T : s > t}, gọi toán tử bước nhảy tiến (forward jump operator) thang thời gian T ánh xạ : T T xác định (t) = sup{s T : s < t}, gọi toán tử bước nhảy lùi (backward jump operator) trªn thang thêi gian T Quy íc inf ∅ = sup T (nghÜa lµ σ(M ) = M lín nhÊt thang thời gian T có phần tử M ) vµ sup ∅ = inf T (nghÜa lµ ρ(m) = m nÕu thang thêi gian T cã phÇn tư nhỏ m) Định nghĩa 1.1.2 Giả sử T thang thời gian Một điểm t T gọi trù mật phải (right-dense) (t) = t, cô lập phải (right-scattered) (t) > t, trù mật trái (left-dense) (t) = t, cô lập trái (left-scattered) (t) < t điểm cô lập (isolated) t vừa cô lập trái vừa cô lập phải Với tương tự, ký a, b T , hiệu tập ký hiệu hợp [a, b] tËp hỵp (a, b]; (a, b); [a, b) {t ∈ T : a t b} , t¬ng øng {t T : a < t b}; {t ∈ T : a < t < b}; {t ∈ T : a t < b} Ta = {t ∈ T : t > a} kT = Tk = tập hợp Ký hiệu T nÕu T = −∞ T \ [m, σ(m)) nÕu T = m, T nÕu max T = +∞ T \ (ρ(M ), M ] nÕu max T = M (LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian Ký hiÖu I1 = {t : t cô lập trái}, I2 = {t : t cô lập phải}, I = I1 I2 Mệnh đề 1.1.3 Tập hợp thang thời gian Định nghĩa 1.1.4 (1.1) gồm tất điểm cô lập trái cô lập phải I T tập không đếm Giả sử T thang thời gian ánh xạ : Tk R+ xác định à(t) = (t) t, gọi hàm hạt tiến (forward graininess function) thang thời gian ánh xạ : T R+ T xác định (t) = t (t), gọi hàm hạt lùi (backward graininess function) trªn thang thêi gian T VÝ dơ 1.1.5 +) NÕu T = R th× ρ(t) = t = σ(t), µ(t) = ρ(t) = 0; +) NÕu T = Z th× ρ(t) = t − 1, σ(t) = t + 1, µ(t) = ν(t) = +) Víi h số thực dương Chúng ta định nghĩa thang thời gian T = hZ xác định sau: hZ = {kh : k ∈ Z} = {· · · − 3h, −2h, −h, 0, h, 2h, 3h, · · · }, ®ã ρ(t) = t − h, σ(t) = t + h, à(t) = (t) = h Định nghĩa 1.1.6 Cho hµm sè f : T → R Hµm số f i) quy (regulated) f gọi có giới hạn trái điểm trù mật trái có giới hạn phải điểm trù mật phải ii) rdliên tục (rdcontinuous) f liên tục điểm trù mật phải có giới hạn trái điểm trù mật trái Tập hợp hàm rd liên tục ký hiệu Crd Crd (T, R) (LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian iii) ldliên tục (ldcontinuous) f liên tục điểm trù mật trái, có giới hạn phải điểm trù mật phải Tập hợp hàm ký hiệu Giả sử f : T R t k T Cld hàm số xác định hàm số xác định lim f (s) bëi σ(s)↑t r»ng nÕu t liªn tơc Cld (T, R) f :T→R Ký hiÖu ld− f ρ = f◦ ρ f (t ) điểm cô lập trái T , nghĩa ft Khi đó, viÕt f ρ (t) = f (ρ(t)) víi mäi nÕu tồn giới hạn trái Ta thấy ft = f (t) Định lý 1.1.7 Giả sử f : T R hàm số xác định T Khi đó, i) Nếu f hàm số liên tục ii) Nếu f hàm số iv) Toán tử bước nhảy lùi f hàm số f gọi có đạo hàm) lân cận U t kT hàm số rd liên tục ld liên tục hàm số quy rd liên tục hàm số ld liên tục ld liên tục f Định nghĩa 1.1.8 Giả sử f Hàm số hàm số rd liên tục f iii) Toán tử bước nhảy tiến v) Nếu f hàm số hàm số xác định ld liên tục T, nhận giá trị R đạo hàm (có đạo hàm Hilger đơn giản nÕu tån t¹i f ∇ (t) ∈ R cho với >0 có tồn t để |f (ρ(t)) − f (s) − f ∇ (t)(ρ(t) − s)| |(t) s| f (t) R gọi đạo hàm hàm số f Nếu hàm sè f cã víi mäi s ∈ U t¹i t đạo hàm điểm t k T f gọi có đạo hàm T Ví dơ 1.1.9 +) NÕu T = R th× f ∇ (t) f (t) đạo hàm thông thêng +) NÕu T = Z th× f ∇ (t) = f (t) − f (t − 1) chÝnh lµ sai ph©n lïi cÊp mét (LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian(LUAN.van.THAC.si).he.dong.luc.ngau.nhien.tren.thang.thoi.gian X X ∂ 2V − (tk , X(tk−1 ))(Xi (tk ) − Xi (tk−1 ))(Xj (tk ) − Xj (tk−1 )) ∂x ∂x i j i,j (1) X + R(X(tk−1 ), X(tk )) (2) Vì C1 hữu hạn, số hạng hàng thứ cđa hƯ thøc trªn héi tơ vỊ d X X ∂V i=1 s∈C1 ∂xi (s, X(s− ))(Xi (s) − Xi (s− )) , (2.10) vµ hµng thø héi tơ vỊ X X ∂ 2V (s, X(s− ))(Xi (s) − Xi (s− ))(Xj (s) − Xj (s− )) ∂x ∂x i j i,j (2.11) sC1 Chúng ta ước lượng số hạng cuối cïng nh sau X R(X(tk−1 ), X(tk )) (2) r( max C1 ∩(tk−1 ,tk ]=∅ kX(tk ) − X(tk−1 )k) X kX(tk ) − X(tk−1 )k2 (2) Do ®ã, X R(X(tk−1 ), X(tk )) lim sup n→∞ (2) r(ε+) lim sup n→∞ Cho X kX(tk ) − X(tk−1 )k r(ε+) d X [Xi ]t i=1 tk ∈π (n) ε ↓ 0, ta cã X lim sup R(X(tk−1 ), X(tk ))