(LUẬN án TIẾN sĩ) tính ổn định của phương trình động lực ẩn trên thang thời gian

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN CHÍ LIÊM TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC ẨN TRÊN THANG THỜI GIAN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2012 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN CHÍ LIÊM TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC ẨN TRÊN THANG THỜI GIAN Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số : 62 46 01 01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TS Nguyễn Hữu Dư PGS TS Vũ Hoàng Linh HÀ NỘI - 2012 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Mơc lơc Lêi cam ®oan i Lêi c¶m ¬n ii Danh s¸ch çc ký hiƯu vii Mở đầu KiÕn thức chuẩn bị 1.1 Định nghĩa ví dụ vÒ thang thêi gian 1.2 TÝnh kh¶ vi 10 1.3 TÝnh kh¶ tÝch 11 1.4 TÝnh håi quy 15 1.5 Hàm mũ thang thời gian 16 1.6 Phơng trình động lực tuyến tính 18 1.7 Tính ổn định mũ phơng trình ®éng lùc th−êng trªn thang thêi gian 19 1.7.1 Khái niệm ổn định mò 20 1.7.2 TÝnh ổn định mũ phơng trình động lực tuyến tính hÖ sè h»ng 22 Bài toán Cauchy cho phơng trình động lực ẩn thang thời gian 26 2.1 Phơng trình động lực ẩn tuyến tính 27 2.1.1 Chỉ số phơng trình động lùc Èn tuyÕn tÝnh 28 2.1.2 Çch giải toán Cauchy 31 iv TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 2.1.3 Cách giải phơng trình động lực ẩn tuyến tính có hệ số số 37 2.2 Phơng trình động lực ẩn tuyến tính víi nhiƠu phi tun tháa m·n ®iỊu kiƯn Lipschitz 39 2.2.1 Çch gi¶i 40 2.2.2 Mô tả kh«ng gian nghiƯm 42 2.3 Phơng trình động lực ẩn tựa tuyến tính 44 2.4 KÕt ln cđa Ch−¬ng 48 Tính ổn định phơng trình động lực ẩn thang thời gian 49 3.1 Xét tính ổn định phơng trình động lực ẩn phơng pháp hàm Lyapunov 49 3.1.1 Các định nghĩa ổn định phơng trình động lực ẩn 50 3.1.2 Çc mƯnh ®Ò 52 3.1.3 Sử dụng phơng pháp hàm Lyapunov xét tính ổn định phơng trình động lùc Èn 54 3.1.4 Phơng pháp hàm Lyapunov áp dụng cho phơng trình động lực ẩn với phần tuyến tÝnh cã hƯ sè h»ng 63 3.2 B¸n kÝnh ổn định phơng trình động lực ẩn tuyến tính hƯ sè h»ng trªn thang thêi gian 68 3.2.1 Phổ phơng trình động lùc Èn tuyÕn tÝnh 71 3.2.2 Khái niệm bán kính ổn định 72 3.2.3 Sự bán kính ổn định thùc vµ phøc 74 3.3 KÕt ln cđa Ch−¬ng 83 Các phép biến đổi Lyapunov định lý Floquet cho phơng trình động lực ẩn tuyến tính 85 4.1 Thang thời gian tuần hoàn 86 v TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 4.2 Çc phÐp biÕn ®æi Lyapunov 88 4.3 Định lý Floquet cho phơng trình động lùc Èn tun tÝnh 92 4.4 KÕt ln cđa Ch−¬ng 102 Kết bàn luận 103 Kết luận nghiên cứu 103 Danh mục công trình khoa học tác giả liên quan đến luận án 105 Tài liệu tham kh¶o 106 vi TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Danh s¸ch çc ký hiƯu C = Tập tất số phức C(X, Y ) = Tập tất hàm liên tục từ X vào Y Crd(T, X) = Tập tất hàm : T X rd-liên tục Crd (T, X) = Tập tất hàm : Tk X khả vi rd-liên tục CrdR(T, X) = Tập tất hàm : T X rd-liên tục hồi quy CN1 (Tk , Rm ) = x(·) ∈ Crd(Tk , Rm ) : P(t) x(t) khả vi t Tk (Tk , Rm×m ) = {L· ∈ Crd(Tk , Rmìm ) : P(t) Lt khả vi rd-liên tục Tk } CN,rd det A = Định thức cđa ma trËn A GL(Rm ) = TËp çc tù đẳng cấu tuyến tính không gian Rm inf = infimum = = Phần ảo số phức im A = Miền giá trị toán tử A K = R hay C Kmìn = Tập tất m ì nma trận có phần tử thuộc K ker A = Hạch toán tử A L(X) = Tập tất toán tử tuyến tính liên tục từ X vào X Ln = Nhánh logarithm phức với miền giá trị [i, i) D() = Miền xác định hàm vii TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com R(Tk , X) = TËp tÊt hàm hồi quy, xác định T nhận giá trị X R+ (Tk , R) = Tập tất hàm hồi quy dơng, xác định T nhận giá trị R R+ = Tập tất số thực không âm S = S(T) = Miền ổn định mũ thang thời gian T N = Tập tất số tự nhiên N0 = Tập tất số tự nhiên khác S = Biên tập S Q = Tập tất số hữu tỷ R = Tập tất số thực rank A = Hạng cđa ma trËn A τ } Z = Tập tất số nguyên viii TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian Mở đầu Lý thuyết thang thời gian (time scale), lần đợc trình bày Stefan Hilger luận án tiến sĩ ông vào năm 1988 (với hớng dẫn Bernd Aulbach, xem [49]) nhằm thống giải tích liên tục rời rạc Việc nghiên cứu lý thuyết thang thời gian đÃ dẫn đến số áp dụng quan trọng, chẳng hạn nghiên cứu mô hình mật độ côn trùng, hệ thần kinh, trình biến đổi nhiệt, học lợng tử mô hình bệnh dịch Việc phát triển lý thuyết "phơng trình động lực" thang thời gian, dẫn đến kết tổng quát áp dụng cho thang thời gian hỗn hợp trờng hợp liên tục rời rạc Ta biết rằng, có nhiều kết phơng trình vi phân đợc thực dễ dàng tự nhiên cho phơng trình sai phân Tuy nhiên, có kết dễ dàng trình bày cho phơng trình vi phân lại không đơn giản cho sai phân ngợc lại Việc nghiên cứu phơng trình động lực thang thời gian cho ta nhìn sáng sủa để khắc phục tính không quán phơng trình vi phân liên tục phơng trình sai phân rời rạc Ngoài ra, điều tránh đợc việc kết đợc chứng minh hai lần, lần cho phơng trình vi phân lần khác cho phơng trình sai phân Ta lấy thang thời gian tập số thực, kết tổng quát thu đợc tơng tự với kết phơng trình vi phân thờng Nếu lấy thang thời gian tập số nguyên, kết tổng quát thu đợc tơng tự với kết phơng trình sai phân Tuy nhiên, thang thời gian có cấu trúc phong phú nên kết thu đợc tổng quát hay h¬n TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian (LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian nhiều kết tập số thực tập số nguyên Do vậy, đặc trng thang thời gian thống mở rộng Cho đến đÃ có hàng chục sách hàng ngàn báo viết thang thời gian Các yếu tố giải tích thang thời gian đÃ đợc tác giả nghiên cứu cách sâu rộng tơng đối đầy đủ Và từ nhiều kết quen thuộc trờng hợp liên tục rời rạc đÃ đợc "chuyển dịch" sang thang thời gian Chẳng hạn, hệ động lực thờng thang thời gian, đÃ có kết sâu sắc ổn định, tính dao động, toán giá trị biên, Mặt khác, năm gần phơng trình vi phân đại số đợc quan tâm cách rộng rÃi phơng diện lý thuyết lẫn thực tế Dạng tổng quát phơng trình vi phân đại số f (t, x0 (t), x(t)) = 0, (1) phơng trình tuyến tính hóa nã cã d¹ng At x0 (t) = Bt x(t) + qt , (2) A and B hàm ma trận cho trớc Các phơng trình (1) (2) xuất nhiều toán thực tế, chẳng hạn nh mạch điện, phản ứng hóa học, hƯ thèng giao th«ng, thiÕt kÕ robot, NÕu ma trận At khả nghịch với t R, ta nhân phía trớc hai vế (2) với A1 t để đợc phơng trình vi phân thờng Tuy nhiên, có t0 để At0 suy biến vài giả thiết cần phải đợc đặt Một cách để giải (2) đa khái niệm số phơng trình Dựa khái niệm này, ta nghiên cứu phơng trình (2) cách phân tích thành phơng trình vi phân thờng quan hệ đại số Về cách giải toán Cauchy phơng trình (2) ta tham khảo [46] Cùng với lý thuyết phơng trình vi phân đại số, có quan tâm khác đến phơng trình sai phân đại số xt hiƯn cđa chóng nhiỊu lÜnh vùc thùc tÕ, nh mô hình động lực Leontiev, mô hình tăng trởng dân số Leslie, toán điều khiển tối u suy biÕn (xem TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian (LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian [26, 32]) Ngoài ra, phơng trình sai phân đại số xuất cách tự nhiên sử dụng kỹ thuật rời rạc hóa để giải phơng trình vi phân đại số phơng trình vi phân đại số phần, Vấn đề đÃ đợc quan tâm lớn nhà nghiên cứu [26, 46, 58] Khái niệm số phơng trình sai phân ẩn tuyến tính có hệ số biến thiªn Anx(n + 1) = Bn x(n) + qn (3) đợc giới thiệu [39, 64] cách giải toán giá trị ban đầu nh toán giá trị biên nhiều điểm đợc nghiên cứu [9, 11] Sau đó, khái niệm số đÃ đợc mở réng cho tr−êng hỵp phi tun [8] f (n, x(n + 1), x(n)) = (4) Cã mèi quan hÖ gần gũi phơng trình sai phân đại số tuyến tính phơng trình vi phân đại số tuyến tính, cụ thể là, phơng pháp Euler áp dụng cho phơng trình vi phân đại số tuyến tính có số dẫn đến phơng trình sai phân đại số tuyến tính có số (xem [9, 11]) vµ nghiƯm nhÊt cđa bµi toán giá trị ban đầu nh toán giá trị biên đợc rời rạc hóa hội tụ nghiệm toán liên tục tơng ứng Sử dụng khái niệm giải tích thang thời gian, ta viết lại phơng trình (2) (3) dới dạng Atx∆ (t) = Bt x(t) + qt , (5) f (t, x∆ (t), x(t)) = 0, (6) hay víi d¹ng tổng quát với t thuộc thang thời gian T toán tử đạo hàm T Một cách tự nhiên, câu hỏi đợc đặt là: Liệu kết đÃ biết phơng trình (2) hay phơng trình (3); phơng trình (1) hay phơng trình (4) đợc mở rộng thống lần lợt cho phơng trình động lực ẩn có dạng (5); (6) hay không? Đây lý để chóng t«i TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian (LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian Suy phơng trình phổ (3.45) đợc thỏa mÃn §Ỉc biƯt, b ρ(A, B + αA + DB ΣEB ) = ρ(A−1 1,Σ(B + αA + DB ΣEB )P ) (3.46) T−¬ng tù, k |Σ| k = kΣk < kG(∞)k−1 nªn b σ(A, B + αA + DB |Σ|EB ) ∪ {0} = σ(A−1 1,|Σ|(B + αA + DB |Σ|EB )P ), (3.47) vµ b ρ(A, B + αA + DB |Σ|EB ) = ρ(A−1 1,|Σ|(B + αA + DB |Σ|EB )P ) (3.48) Tõ (3.44) suy b A−1 1,Σ(B + αA + DB ΣEB )P b b −1 −1 = (I − A−1 DB ΣEB Q) (A1 (B + αA + DB ΣEB )P ) b + αPb + A−1 DB ΣEB Pb ), b −1 (B = (I − A−1 DB ΣEB Q) 1 (3.49) b = A−1 B Pb vµ A−1 A = Pb ta đÃ sử dụng ®¼ng thøc B 1 −1 b F = I, G = A DB , ta nhận đợc áp dụng (2.36) cho E = EB Q, b −1 = I + A−1 DB Σ(I − EB QA b −1 DB Σ)−1 EB Q b (I − A−1 DB ΣEB Q) 1 b = I + A−1 DB (I G())1 EB Q (3.50) 1 b Đặt F (Σ) = A−1 DB Σ(I − G(∞)Σ) G(∞)ΣEB P Khi ®ã, tõ (3.49), (3.50) bB b=Q b Pb = 0, ta cã vµ tÝnh chÊt Q −1 b b b b A−1 1,Σ(B + αA + DB ΣEB )P = B + αP + A1 DB ΣEB P + F (Σ) T−¬ng tù, ta cịng cã −1 b b b b A−1 1,|Σ|(B + αA + DB |Σ|EB )P = B + αP + A1 DB ||EB P + F (||) Mặt khác, từ Giả thiết 3.2.8 bất đẳng thức kG()kkk = kG()kk||k < 1, 80 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian (LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian ta cã −1 b |F (Σ)| = A−1 DB |Σ(I − G(∞)Σ) G(∞)Σ|EB P ∞ X i+1 b Σ = A−1 D (G(∞)Σ) B EB P i=0 X ∞ −1 i+1 EB Pb A1 DB |Σ| (G(∞)|Σ|) i=0 −1 b = A−1 DB |Σ|(I G()||) G()||EB P = F (||), thế, −1 b b b b |A−1 1,Σ(B + αA + DB ΣEB )P | |B + αP | + |A1 DB ΣEB P | + |F (Σ)| b + αPb + A−1 DB |Σ|EB Pb + F (|Σ|) = A−1 (B + αA + DB |Σ|EB )Pb 6B 1,|| (3.51) Từ lý thuyết ma trận không âm, xem chẳng hạn [17], suy b b ρ(A−1 1,Σ(B + αA + DB ΣEB )P ) ρ(A1,|Σ|(B + αA + DB |Σ|EB )P ) := β (3.52) b Do A−1 1,|Σ|(B + αA + DB ||EB )P > 0, theo định lý Perron-Frobenius , ta có giá trị riêng ma trận A−1 (B + αA + DB |Σ|EB )Pb víi module 1,|Σ| lín nhÊt vµ tõ (3.47) suy β ∈ σ(A, B + αA + DB |Σ|EB ) Do ®ã, từ (3.46), (3.43), (3.52), ta nhận đợc β − α ∈ σ(A, B + DB |Σ|EB ) V× thÕ nhiƠu |Σ| ∈ Rl×q , víi k |Σ| k = kk, phá vỡ tính ổn định, từ suy rC (B; DB , EB ) > rR (B; DB , EB ) Ta có điều phải chứng minh Xét trờng hợp phơng trình (2.19) dơng, tức với x0 Rm +, nghiệm x(t) phơng trình (2.19) với điều kiện ban đầu Pb(x(t0 )x0 ) = tháa m·n ®iỊu kiƯn x(t) > 0, víi mäi t ∈ T, t > t0 Ta biÕt r»ng nÕu x(t) b lµ mét nghiƯm cđa (2.19) th× Qx(t) = 0, suy Pb x(t) = x(t) víi mäi t ∈ T, t > t0 V× thÕ, (2.19) cã thĨ viÕt thµnh  x∆ = Bx, b x(t0 ) = Pb x0 , 81 (3.53) TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian (LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian b −1 B DƠ dµng thÊy r»ng (3.53) cã b = (A − B Q) b −1 B Pb = Pb (A − B Q) B nghiệm x(t) = Y t0 6s NÕu B b + αPb > 0, Pb B b giao hoán nên B b = exp{mes [t0 , t)(B b + αPb)} exp{−mes [t0 , t)αPb } exp{mes [t0 , t)B} V× thÕ b Pbx0 exp{mes [t0 , t)B} b + αPb)} exp{−α mes [t0 , t)}Pb x0 > = exp{mes [t0 , t)(B b > b > 0, víi mäi t ∈ T ®iỊu ®ã suy Pb + B Ngoài ra, ta cần Pb + à(t)B Do đó, điều kiện dơng phơng trình (2.19) tơng đơng với b > Tức điều kiện b) Giả thiết 3.2.8 đợc thỏa mÃn Pb + B HƯ qu¶ 3.2.10 Gi¶ sư nghiƯm cđa phơng trình tuyến tính x = Bx dơng phơng trình ứng với nhiễu có dạng x = (B + DB ΣEB )x, víi DB > 0, EB > Khi ®ã, ta cã rC (B; DB , EB ) = rR (B; DB , EB ) (3.54) Ví dụ 3.2.11 Ta tính bán kính ổn định phơng trình có nhiễu Ax (B + DB EB )x = 0, víi T = Z vµ    −1 1/2 0    A = 0 0 , B = 1/2 −1 0 0 (3.55)      1 0       , DB = 0 −1 , EB = 1 0 −1 0 1 1 Ta thÊy r»ng ind{A, B} = vµ σ(A, B) = {−1/2; −3/2} ⊂ S = {λ ∈ C : |1 + λ| < 1} 82 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian (LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian Ngoµi ra,      0 0 0     b  b −1 =  = 0 0 , A−1 Pb = 0 0 , Q 0 1 = (A − B Q) 0 0 0  V× thÕ, víi α = ta cã B1 (−1) = S and  1/2  b + Pb = A−1 B Pb + Pb =  B 1/2 0 > 0  b b −1 DÔ thÊy r»ng A−1 DB > 0, EB P > vµ G(∞) = EB QA1 DB > Theo Định lý 3.2.9, ta có rC (B; DB , EB ) = rR (B; DB , EB ) Ta tính đợc + 1/2 1/2   (λA − B)−1 = λ+1 ,  1/2 λ + (λ + 1) − 1/4 0 (λ + 1)2 − 1/4   λ+1 1/2 λ+1   G(λ) = EB (λA − B)−1 DB = λ + 3/2 λ + 3/2 λ + 3/2  (λ + 1) − 1/4 λ + 3/2 λ + 3/2 (λ + 3/2)2 Gäi k · k3 lµ chn maximum cđa C3 , suy sup kG(λ)k∞ = kG(0)k∞ = λ∈∞∪∂S V× thế, ta nhận đợc rC (B; DB , EB ) = rR (B; DB , EB ) = sup kG(λ)k∞ λ∈∞∪∂S 3.3 −1 = KÕt luËn Chơng Trong chơng đÃ đa khái niệm ổn định phơng trình động lực ẩn thang thời gian; sử dụng phơng pháp hàm Lyapunov đa số điều kiện đủ để phơng trình động lực ẩn tựa tuyến tính At x = f (t, x) ổn định Khi T = Z phơng trình 83 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian (LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian At x∆ = Bt x + f (t, x), ta tìm lại đợc số kết phần [10] Bên cạnh đó, đÃ đa số điều kiện để bán kính ổn định dơng; số điều kiện để bán kính ổn định thực bán kính ổn định phức phơng trình động lực Èn tuyÕn tÝnh cã hÖ sè h»ng Ax∆ = Bx Những kết phần mở rộng thống số kết [40] cho phơng trình vi phân đại số, [44] cho phơng trình sai phân đại số [36] cho phơng trình động lực thờng thang thời gian 84 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian (LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian Ch−¬ng Các phép biến đổi Lyapunov định lý Floquet cho phơng trình động lực ẩn tuyến tính Trong lý thuyết phơng trình vi phân thờng có hệ số tuần hoàn, ta đÃ biết kết tiếng cđa Floquet [45]: NÕu hƯ sè A(·) ∈ C(R, L(Rm )) phơng trình x0 = A(t)x T tuần hoàn X(t) ma trận nghiệm nã, tøc lµ X (t) = A(t)X(t), X(0) = I , X(t) đợc viết dới dạng X(t) = F (t)etB , F (Ã) C (R, L(Cm )) không suy biến T tuần hoàn, B ma trận thuộc L(Cm ) Ngoài ra, phép đổi biến x = F (t)x, gọi phép biến đổi Lyapunov, phơng trình x0 = A(t)x đợc biến đổi thành phơng trình tuyến tính có hệ số số x0 = Bx (xem [65]) Sau đó, phép biến đổi Lyapunov với định lý Floquet đÃ đợc thiết lập cho phơng trình sai phân thờng có hệ số tuần hoàn [6] Tính ổn định phơng trình vi phân hay sai phân tuyến tính tuần hoàn không autonom đợc đặc trng hoàn toàn phơng trình vi phân hay sai phân tuyến tính autonom tơng ứng, thông qua phép đổi biến Lyapunov tuần hoàn [29, 57, 75] Việc nghiên cứu phơng trình tuần hoàn nói chung lý thuyết Floquet nói riêng chủ đề đợc nhà nghiên cứu khai thác thời gian dài Chẳng hạn, cho phơng trình vi phân phần [27, 28]; cho phơng trình vi phân đại số [34, 61]; cho phơng trình sai phân đại số [12]; cho hệ động lùc rêi r¹c [7, 57] 85 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian (LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian Về phơng trình động lực tuyến tính tuần hoàn thang thời gian tuần hoàn x∆ (t) = A(t)x(t), J J DaCunha vµ J M Davis đÃ chứng minh đợc ma trận biểu diễn đợc thành tích ma trận biến đổi Lyapunov tuần hoàn hàm mũ ma trận thang thời gian, tức A (t, t0 ) = L(t)eR(t, t0 ) (xem [31]) Trong [7], tác giả đÃ đề cập đến phép biến đổi Lyapunov lý thuyết Floquet cho phơng trình động lực tuyến tính thang thời gian, nhiên kết khác với kết tơng ứng [31], lý hai nhóm tác giả đÃ sử dụng định nghĩa khác thang thời gian tuần hoàn nh việc sử dụng hàm mũ thông thờng hàm mũ thang thời gian Trong chơng nghiên cứu phép biến đổi Lyapunov lý thuyết Floquet cho phơng trình động lực ẩn tuyến tính A(t)x(t) = B(t)x(t), sử dụng quan niệm thang thời gian tuần hoàn nh cách tiếp cận hàm mũ nh tác giả đÃ làm [31] Kết chơng phần nội dung báo đÃ đợc gửi đăng [42] Ta giữ nguyên giả thiết đợc đa phần 2.1 cho, với t0 Tk x0 Rm , phơng trình (2.2) với điều kiện ban đầu (2.13) có nghiệm xác định Tk Gäi Φ(t, t0 ) = PtcanΦ0 (t, t0 )Pρ(t0 ) toán tử Cauchy (2.2) 4.1 Thang thời gian tuần hoàn Định nghĩa 4.1.1 Cho T > Một thang thời gian T đợc gọi T tuần hoàn điều kiện sau đợc thỏa mÃn: i) NÕu t ∈ T th× t + T ∈ T, ii) µ(t + T ) = µ(t) víi mäi t ∈ T DƠ dµng thÊy r»ng, nÕu T lµ T tuần hoàn với t T ta có σ(t + T ) = σ(t) + T , vµ nÕu t 6= T th× ρ(t + T ) = ρ(t) + T Tuy nhiªn, 86 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian(LUAN.an.TIEN.si).tinh.on.dinh.cua.phuong.trinh.dong.luc.an.tren.thang.thoi.gian