Đề tài chủ yếu tập trung vào các vấn đề sau: • Tổng quan về bán dẫn thấp chiều và giếng lượng tử. • Giải phương trình Schrödinger để tìm năng lượng và hàm sóng của electron trong giếng lượng tử với thế giam giữ bất kỳ. • Giải phương trình Schrödinger để tìm năng lượng và hàm sóng của electron trong giếng lượng tử thế Pöschl-Teller lượng giác bằng phương pháp Nikiforov-Uvarov. • Tính số và vẽ đồ thị sự phụ thuộc của thế năng vào các thông số của giếng.
CĐu tÔo cừa hằ bĂn dăn thĐp chiãu
Giáng lữủng tỷ
Giáng lữủng tỷ là lớp chất bán dẫn nằm ở giữa hai lớp bán dẫn khác có vùng cấm rộng hơn Sự khác nhau giữa vùng nông của lữủng tỷ và vùng cạn của các chất bán dẫn ở hai bên nó dẫn đến một hố lữủng tỷ ở giữa chúng Các electron nằm trong lớp bán dẫn đệm (cũng là lớp nguyên tử) khó có thể xuyên qua một phần của lớp bán dẫn biên có độ rộng hạn chế và chúng chuyển động theo một hướng nhất định ở trong giới hạn rất mỏng (chỉ khoảng vài nanomet) Vì thế trong giáng lữủng tỷ, các electron có thể di chuyển tự do trong một mặt phẳng (x, y), nhưng không thể di chuyển tự do theo phương z và lữủng tỷ hoạt động theo chiều dọc theo chiều rộng và giới hạn.
Hẳnh 1.1: Giáng lữủng tỷ hẳnh th nh do lợp GaAs kàp giỳa hai lợp AlGaAs [1].
DƠy lữủng tỷ
DƠy lữủng tỷ l mởt cĐu trúc vêt liằu trong õ chuyºn ởng cừa cĂc electron bà giợi hÔn theo hai chiãu, kẵch cù tối a v o khoÊng 100 nm. Trong dƠy lữủng tỷ, cĂc electron ch¿ cõ thº chuyºn ởng tỹ do theo mởt chiãu cỏn lÔi Sỹ giam cƯm electron trong dƠy lữủng tỷ l m phờ nông lữủng trð nản giĂn oÔn v bà lữủng tỷ hõa theo hai chiãu.
Hiằn nay, dƠy lữủng tỷ ữủc chá tÔo bơng nhiãu phữỡng phĂp khĂc nhau, vẵ dử nhữ phữỡng phĂp epitaxy chũm phƠn tỷ (Molecular beam epitaxy-MBE), phữỡng phĂp kát từa hõa hỳu cỡ kim loÔi (metal organic chemical vapor deposition-MOCVD) ho°c sỷ dửng cĂc cờng trản mởt
Transistor hiằu ựng trữớng Vợi cổng nghằ chá tÔo vêt liằu hiằn Ôi, ngữới ta cõ thº tÔo ra cĂc dƠy lữủng tỷ cõ hẳnh dÔng khĂc nhau nhữ dƠy hẳnh trử, dƠy hẳnh chỳ nhêt, dƠy lữủng tỷ hẳnh chỳ T Mội dƠy lữủng tỷ ữủc °t trững bði mởt thá giam giỳ khĂc nhau, viằc khÊo sĂt lỵ thuyát vã dƠy lữủng tỷ chừ yáu dỹa trản h m sõng v phờ nông lữủng cừa iằn tỷ.
Hẳnh 1.2: DƠy lữủng tỷ ữủc chá tÔo tứ giáng lữủng tỷ [1].
Nông lữủng v h m sõng cừa electron trong giáng lữủng tû b§t ký
GiÊi phữỡng trẳnh Schrodinger trong trữớng hủp
Trong hằ tồa ở Descartes 3 chiãu, phữỡng trẳnh Schrodinger cõ dÔng:
(1.1) Vẳ chuyºn ởng trản 3 trửc l ởc lêp nhau nản ta sỷ dửng phữỡng phĂp phƠn ly bián số º giÊi phữỡng trẳnh trản, lúc õ thá nông, nông lữủng v h m sõng cõ thº viát dữợi dÔng:
Thay cĂc biºu thực trản v o phữỡng trẳnh (1.1) rỗi chia 2 vá cho ψ(x, y, z), ta ữủc 3 phữỡng trẳnh cho 3 chuyºn ởng mởt chiãu theo 3 trửc:
GiÊi ba phữỡng trẳnh trản ta ữủc nông lữủng v h m sõng cừa chuyºn ởng theo tứng chiãu riảng l´ sau õ thay v o (1.2), ta ữủc nông lữủng v h m sõng cho hÔt chuyºn ởng ba chiãu.
Nông lữủng v h m sõng cừa electron trong giáng lữủng tỷ thá Poschl-Teller lữủng giĂc
GiÊi phữỡng trẳnh Schrodinger xuyản tƠm vợi thá Poschl-Teller lữủng giĂc
Teller lữủng giĂc º tẳm nông lữủng v h m sõng trong giáng lữủng tỷ thá Poschl-Teller lữủng giĂc vợi thá nông cho bði phữỡng trẳnh (2.1), ta giÊi phữỡng trẳnh Schrodinger trong trữớng xuyản tƠm
−~ 2 2m ∗ ∆ψ(r, θ, ϕ) + (V(r)−E)ψ(r, θ, ϕ) = 0, (2.51) trong õ thá V(r) cõ dÔng nhữ ð (2.1) ∆ l toĂn tỷ Laplace trong hằ tồa ở cƯu cõ dÔng
Thay (2.52) v o (2.51) ta ữủc phữỡng trẳnh:
Do r ởc lêp vợi hai bián θ, φ nản h m sõng ψ(r, θ, ϕ) cõ thº viát dữợi dÔng phƠn ly bián số ψ(r, θ, ϕ) = R(r) r Y lm (θ, ϕ), (2.54) trong õ h m R(r) ch¿ phử thuởc bĂn kẵnh nản ữủc gồi l h m bĂn kẵnh ho°c h m xuyản tƠm, cỏn h m Y lm (θ, ϕ) phử thuởc v o hai gõc θ v φ nản ữủc gồi l h m gõc.
Thay dÔng cừa h m sõng (2.54) v o phữỡng trẳnh (2.53) ta ữủc:
Chia hai vá cừa phữỡng trẳnh trản cho R(r)Y lm (θ, ϕ), ta ữủc:
Tứ õ ta ữủc hai phữỡng trẳnh sau: r 2 ∂ 2 R(r)
Phữỡng trẳnh (2.57) ữủc gồi l phữỡng trẳnh bĂn kẵnh, phữỡng trẳnh (2.58) ữủc gồi l phữỡng trẳnh gõc Ta º ỵ rơng náu nhƠn phữỡng trẳnh (2.58) cho ~ 2 thẳ nõ chẵnh l phữỡng trẳnh trà riảng cừa toĂn tỷ
⇔~ 2 l(l+ 1)Y lm (θ, ϕ) =~ 2 αY lm (θ, ϕ), tứ õ ta suy ra α = l(l+ 1) Thay giĂ trà n y v o phữỡng trẳnh bĂn kẵnh ta ữủc: r 2 ∂ 2 R(r)
Chia cÊ 2 vá phữỡng trẳnh chor 2 Tứ õ, chúng ta cõ ữủc phữỡng trẳnh Schrodinger xuyản tƠm (2.59) ữủc viát lÔi sau Ơy: d 2 dr 2 + 2m ∗
Nông lữủng v h m sõng cừa electron trong giáng lữủng tỷ thá Poschl-Teller lữủng giĂc
lữủng tỷ thá Poschl-Teller lữủng giĂc
Do hạn chế của phương pháp Schrödinger với thế Poschl-Teller lượng giác không có nghiệm giải tích, chúng ta tìm nghiệm của phương trình (2.60) cho các trạng thái ` = 0 (trạng thái s) Do đó, phương trình (2.60) được viết lại như sau: d^2/dr^2 +ε− V_1^0 sin^2 (αr) − V_2^0 cos^2 (αr)
. º tẳm nghiằm ð cổng thực trản bơng phữỡng phĂp Nikiforov-Uvarov, tổi sỷ dửng ph²p bián ờis = sin 2 (αr) v phữỡng trẳnh (2.61) ữủc viát l¤i d 2 R n,0 (s) ds 2 +
So sĂnh cổng thực (2.18) v (2.62), chúng ta cõ thº dạ d ng thu ữủc cĂc hằ số α i (i = 1, 2, 3) v biºu thực ξ j (j = 1, 2, 3) nhữ sau α1 = 1
CĂc giĂ trà °c trững cừa cĂc hằ số αi (i = 1, 2, , 13) v biºu thực ξ j (j = 1, 2, 3) ữủc biºu thà trong bÊng 2.1.
BÊng 2.1: CĂc giĂ trà cử thº cho cĂc tham số cƯn thiát cho cĂc giĂ trà riảng v nông lữủng riảng.
Hơng số GiĂ trà tữỡng ựng α 1 1
Bơng cĂch sỷ dửng phữỡng trẳnh (2.32), ta thay cĂc hằ số α i (i = 1, 2, 3) tứ bÊng 2.1, tứ õ chúng ta cõ thº nhên ữủc cĂc giĂ trà nông lữủng ð trÔng thĂi s thá Poschl-Teller lữủng giĂc n+ 2n+ 1
~ 2 v o phữỡng trẳnh trản ta ữủc nông lữủng sõng trong thá Poschl-Teller lữủng giĂc
Mởt số kát quÊ bơng số ữủc ữa ra trong phƯn 2.3 Nhữ chúng ta thĐy, khi tham số α c ng nhọ, hay n c ng nhọ cĂc giĂ trà nông lữủng gƯn nhữ l mởt hơng số Tứ (2.64), chúng tổi thĐy rơng hơng số n y l
V 1 V 2 , nâi c¡ch kh¡c lim α→0E n,0 = V 1 + V 2 + 2pV 1 V 2 º tẳm cĂc h m sõng tữỡng ựng, ta thay cĂc giĂ trà α tứ bÊng 2.1 v o cĂc phữỡng trẳnh (2.34) v (2.42), chúng ta ữủc cĂc h m ρ(s) = s v u u t
Do õ, tứ phữỡng trẳnh (2.36) ta ữủc y n (s) =P
Bơng cĂch sỷ dửng Rn,0(s) = φ(s)yn(s), chúng ta cõ cĂc h m sõng xuyản tƠm tứ phữỡng trẳnh (2.43) nhữ sau
(2.68) ho°c bơng cĂch thay thá s = sin 2 (αr);
(2.69) trong õ Nn,0 l hơng số chuân hõa.
Trong chữỡng n y, tổi  trẳnh b y ữủc phữỡng phĂp º tẳm h m sõng v nông lữủng cừa electron trong giáng lữủng tỷ thá Poschl-Teller lữủng giĂc bơng cĂch sỷ dửng phữỡng phĂp Nikiforov-Uvarov CĂc giĂ trà nông lữủng v cĂc h m riảng tữỡng ựng thu ữủc bơng phữỡng phĂp n y Mởt số kát quÊ bơng số ữủc ữa ra trong cĂc bÊng ð phƯn 2.3.
Tẵnh số v v³ ỗ thà
Trong mửc n y ta s³ tián h nh tẵnh số v v³ ỗ thà cĂc biºu thực nông lữủng v thá trong giáng lữủng tỷ thá Poschl-Teller CĂc tham số °c trững ữủc sỷ dửng trong tẵnh toĂn n y l :
~ = 1,054.10 −34 Js (Hơng số Planck), m ∗ = 6,097.10 −32 kg (Khối lữủng hiằu dửng cừa iằn tỷ).
Nông lữủng E n cừa electron trong giáng thá Poschl-Teller ữủc biºu diạn ð biºu thực (2.64)
BƠy giớ, bơng cĂch dũng phƯn mãm Mathematica ta s³ tẵnh toĂn cĂc giĂ trà nông lữủng theo cĂc tham số cừa thá nông:
LĐy V1 = 10 meV, V2 = 20 meV v α = 0,002.10 8 m −1 ,ta tẵnh ữủc c¡c gi¡ trà E n , theo n nh÷ sau: n E n (meV)
LĐy V 1 = 10 meV, V 2 = 20 meV v n = 1, ta tẵnh ữủc cĂc giĂ trà E n theo α nh÷ sau: α(10 8 m −1 ) E n (meV)
LĐy V 2 = 20 meV, α = 0,002.10 8 m −1 v n= 1, ta tẵnh ữủc cĂc giĂ trà E n theo V 1 nh÷ sau:
Thá Poschl-Teller lữủng giĂc cõ dÔng:
Trong õ cĂc thổng số V 1 v V 2 mổ tÊ thuởc tẵnh cừa giáng thá,
V 1 > 0, V 2 > 0, hằ số α liản quan án bã rởng cừa giáng.
BƠy giớ, bơng cĂch dũng phƯn mãm Mathematica ta s³ v³ ỗ thà thá Poschl-Teller lữủng giĂc:
* ỗ thà thá Poschl-Teller lữủng giĂc vợi cĂc giĂ trà α khĂc nhau ữủc biºu diạn ð hẳnh 2.1. α = 1.5 10 8 m -1 α = 1.6 10 8 m -1 α = 1.65 10 8 m -1
Th ế n ă ng giam gi ữ ( meV )
Hẳnh 2.1: ỗ thà giáng thá Poschl-Teller lữủng giĂc phử thuởc v o r , vợi V 1 = 10 meV,
Nhẳn v o ỗ thà, ta cõ thº rút ra mởt số kát luên sau:
- ỗ thà cừa thá Poschl-Teller lữủng giĂc l mởt ữớng hypebol tữỡng tỹ nhữ dÔng ỗ thà vợi thá Culong.
- DÔng giáng thá Poschl-Teller lữủng giĂc cừa electron ựng vợi cĂc giĂ trà cừa α khĂc nhau cõ dÔng khổng ời.
- Khi r b² thẳ V hƯu nhữ khổng ời theo α.
- Vợi cĂc giĂ trà khĂc nhau cừa α, khi α c ng tông bã rởng cừa giáng bà hàp phẵa bản phÊi.
* ỗ thà thá Poschl-Tellerlữủng giĂc vợi cĂc giĂ trà V 1 khĂc nhau ữủc biºu diạn ð hẳnh 2.2.
Th ế n ă ng giam gi ữ ( meV )
Hẳnh 2.2: ỗ thà giáng thá Poschl-Teller lữủng giĂc phử thuởc v o r, vợi V 2 = 20 meV v α = 1, 5.10 8 m −1
Nhẳn v o ỗ thà, ta cõ thº rút ra mởt số kát luên sau:
- ỗ thà cừa thá Poschl-Tellerlữủng giĂc l mởt ữớng hypebol tữỡng tỹ nhữ dÔng ỗ thà vợi thá Coulomb.
- DÔng giáng thá Poschl-Tellerlữủng giĂc cừa electron ựng vợi cĂc giĂ trà cừa V 1 khĂc nhau cõ dÔng khổng ời.
- V ch¿ l m thay ời dÔng thá khi r b².
- Vợi cĂc giĂ trà khĂc nhau cừa V 1 , khi V 1 c ng tông bã rởng cừa giáng bà hàp phẵa bản trĂi.
Qua quĂ trẳnh nghiản cựu, tẳm hiºu, tổi  ho n th nh khõa luên theo úng mửc tiảu  ã ra Khõa luên n y  thu ữủc cĂc kát quÊ sau ¥y:
Thự nhĐt, khõa luên  trẳnh b y tờng quan vã bĂn dăn thĐp chiãu v giáng lữủng tỷ.
Thự hai, khõa luên  trẳnh b y cĂch tẳm nông lữủng v h m sõng cừa electron trong giáng lữủng tỷ vợi thá giam giỳ bĐt ký.
Thự ba, khõa luên  giợi thiằu phữỡng phĂp Nikiforov-Uvarov v Ăp dửng º tẳm nông lữủng v h m sõng trong giáng lữủng tỷ thá Poschl- Teller lữủng giĂc.
Cuối cũng, khõa luên  thỹc hiằn tẵnh giĂ trà nông lữủng v v³ ỗ thà thá nông cừa electron trong giáng lữủng tỷ thá Poschl-Teller lữủng giĂc.