cơ học 2

TUYỂN CÁC BÀI TẬP DÙNG BDHSG Bài 1: Hai đường thẳng IA, IO cắt nhau tại I hình vẽ đồng thời chuyển động theo hai hướng khác nhauvuông góc với hai đường thẳng với vận tốc tương ứng v1, v2

TUYỂN CÁC BÀI TẬP DÙNG BDHSG Bài 1: Hai đường thẳng IA, IO cắt nhau tại I (hình vẽ) đồng thời chuyển động theo hai hướng khác nhau

vuông góc với hai đường thẳng với vận tốc tương ứng v1, v2 để đồng thời đến O, A Cho biết vận tốc v1 =

4 m/s, bán kính đường tròn R và  = 300

a Xác định vận tốc v2 của đường thẳng IO

b Xác định vận tốc của giao điểm I

c Động tử I gặp đường tròn tâm O vào những thời điểm nào? Gọi

giao điểm I với đường tròn là G1,G2 Tính độ dài dây cung G1G2

Gợi ý:

a Gọi t là thời gian chuyển động của IA và IO

Theo giả thiết

Đường thẳng IA đi được quãng đường: S1 = AO = R và S1 = v1.t  t = R / v1

Đường thẳng IO đi được quãng đường: S2 = OH = OA.cos  = R

2 3

* Đường tròn tâm O: (x - 2R)2 + y2 = R2 

52

10 7 t R 52 26

10 7 IG R 10 7 26

3 y

; 26

R ) 10 7

10 7 IG R 10 7 26

3 y

; 26

R ) 10 7

G1 2 



Bài 2: Một con lắc đơn gồm sợi dây mãnh không giãn có chiều dài l = 1m, một đầu treo vào điểm cố định

Q, một đầu nối với một hòn bi nhỏ khối lượng m = 100 (g) Ban đầu kéo hòn bi ra đến vị trí có phươngdây treo tạo phương thẳng đứng 1 góc  0= 600 Buông tay không vận tốc đầu

a Tính vận tốc hòn bi và sức căng sợi dây khi hòn bi qua vị trí cân bằng

b Xác định chu kỳ chuyển động tuần hoàn của hòn bi (lấy g = 10 m/s2)

b Chọn hệ trục toạ độ Oxy: Gốc O tại vị trí cân bằng, Ox nằm ngang, Oy thẳng đứng hướng lên

Phương trình quỹ đạo của hòn bi là: x2 + (y – l)2 = l2 (1)

Mặt khác theo định luật bảo toàn cơ năng: mgy + mv2 /2 = mgh0 (2)

Từ (1)  y = l - l  2 x 2 (3)

 y 2 2 v x

x l

x y

2

2 2

xl

l

] cos l x l )[

x l (

dx

0 2

2 2 2

0 2 g

l

] cos l x l )[

x l (

dx

0 2

2 2 2

x 1 (

dx 20

1t

11t

1(2

11[dt)1t

11(dt1t

1 2

1 2

1

t t

1 x

x x

1 e 4 1

1 e 4 1 ln 2

1 e

a

log

 ; e2ln2e = (eln2e )2 = ( 2e)2 = 4e2 )

 Thời gian chuyển động: Theo ĐLBT cơ năng:

mv2 / 2 + mgy = mgh0  vx + vy = 2g ( h0 – y ) (1)

Mặt khác : y = 2ex – 2e  vy = 2ex vx (2)

Thay (2) vào (1)  vx + 4e2x vx = 2g [ 2e – ( 2ex – 2e ) ] vx = x x

e41

]e2e[20

x a

x

e e 2

a

(m); trong đó a = 3 (m); x tính bằngmét; vận tốc chạy của con kiến không đổi là v = 10 (mm/s) Hỏi sau bao lâu kiến chạy từ A đến B, với toạ

độ của A, B là: (xA = - 2 m; xB = + 4 m)

x a

x 2 a

x a

A

x

x a

x a x x

x

a

x a

x x

x

a

x a

x

eea2

1dx2

ee4

e2e1

2 3

4 3

4

e e e

e 3 2 1

= 1,5 [ ( 3,7936 – 0,2636 ) – ( 0,5134 – 1,9477) ]  7,4465 (m)

Thời gian kiến chạy từ A đến B là: t = S / v = 7,4465 / 0,01 = 744,65 (s)

Bài 5: Một sợi dây kim loại uốn thành 1 đường cong có phương trình trong toạ độ Đescartes x2 = 2py; p làhằng số dương Mặt phẳng Oxy thẳng đứng, một hạt trai trượt không ma sát trên đường cong bắt đầu từđiểm M0 có hoành độ x0, không vận tốc đầu Hãy xác định chu kỳ chuyển động và quãng đường hạt trai đitrong một chu kỳ Áp dụng: p = 1m; x0 = 2m

xmg2

vv

0 2

2 y

2 x

p

g v

x y

2 2

p

g v p

2 2 0 x

2

2 2 0 2

x

p

x 1

x x p

g v p

x 1

x x p

g v

2 2 0

p

x 1

x x p g dt

x 1 dt

4 T

xpgp

14

2 2

x 1 4 dx y

2 0

x

2 x

x

2

0 0

2 2 x

x

2 2

0 0

p x x ln(

p p x x 2

1 p

4 dx x p p

2

0

p x x ln(

p p x x

2 0 0

2 2

2 0

p

2pxx

pln

pp

xx

pln

ppxx

2 0

p

2 p

p x x ln

Bài 6: Một chất điểm chuyển động ở trong mặt phẳng toạ độ 0xy, gia tốc của chất điểm có các hình chiếu

ax = 4 cm/s2, ay = 2t cm/s2 Tìm phương trình chuyển động của chất điểm, biết lúc t = 2 (s) vận tốc của chấtđiểm v = 12 2cm/s và làm với các trục Ox và Oy những góc bằng nhau

Gợi ý:

Dạng vi phân của vận tốc trên các trục: dvx = ax dt (1) d vy = ay dt (2)

Lúc t = 2 (s) thì vx = vy = 12 2 cos 450 = 12 cm/s do đó (1) và (2) chuyển sang tích phân:



dt 2

v 12

x 4dtdv

x

và  

t 2

v 12

y 2tdtdv

y

 vx = 4t + 4 (3)

vy = t2 + 8 (4)

Dạng vi phân toạ độ chuyển động của vật: dx = vx dt (5) dy = vy dt (6)

Ta chuyển (5), (6) sang tích phân:   

t 0

x 0

dt)4t4(

t 0 2 y

0

dt)8t(dy  x= 2(t2 + 2t ) và y = t3 / 3 + 8t

Bài 7: Trên mặt đất nằm ngang có một ngọn đèn chiếu sáng một bức tường thẳng đứng Khoảng cách từ

đèn đến bức tường là L Từ chân tường có một hòn đá nhỏ ném về phía đèn Quỹ đạo của hòn đá nằmtrong mặt phẳng vuông góc với tường và hòn đá rơi sát cạnh đèn

a Tìm vận tốc ban đầu nhỏ nhất của hòn đá

b Tìm vận tốc dịch chuyển của bóng hòn đá trên tường Xem là tường đủ rộng

 suy ra vận tốc ban đầu v0 có giá trị nhỏ nhất khi  = 450 Vậy v0  gL

b Tọa độ của bóng hòn đá trên tường là y1

g.x2.v cos =

L xxL

L(v sin gt) gv cos t / 2L

Bài 8: Trên mặt phẳng thẳng đứng P có vẽ một vòng tròn C bán kính R tiếp xúc với mặt phẳng ngang.

Một chiếc vòng M có bán kính R lăn không trượt trên mặt phẳng ngang

tiến về phía vòng tròn C (hình vẽ) Vận tốc của tâm O1 của vòng M là v

Mặt phẳng của M nằm sát mặt phẳng P Gọi A là một giao điểm của hai

vòng tròn khi khoảng cách giữa tâm của chúng là d < 2R Tìm:

a Giao điểm A dịch chuyển trên đường tròn C với vận tốc vA tiếp tuyến với C, hình chiếu lên phương

d

2 14R

b Trong thời gian rất ngắn quỹ đạo cong của điểm A1 (tại

A) trên vòng có thể coi là một cung tròn Vòng lăn không

trượt nên có thể xem như nó đang quay quanh điểm tiếp

xúc với vận tốc góc  = v/R

Ta có: IA1 = 2R.cos, với  = /2

→ cos =

2 2

tâm của A1 lại là: aht1 = a1.cos =

2 1 1

v

R

Vậy: R1 = 2R

2 2

Bài 9: Một hạt có khối lượng m chuyển động trong mặt phẳng Oxy chỉ dưới tác dụng của một lực phụ

thuộc vào vận tốc theo quy luật: F= a( vyi – vxj ) Trong đó a là hằng số dương, i vàj là cácvectơ đơn vị trên trục Ox, Oy Tại thời điểm ban đầu t = 0 hạt có toạ độ x(0) = 0; y(0) = 0 và có vận tốc vx(0)

= 0; vy (0) = V0 Tìm phương trình chuyển động và phương trình quỹ đạo của nó

v

v1

v

vd

= 

t

dt m

m

a a

Tương tự: y = t

m

a a

Từ (4) và (5) suy ra phương trình quĩ đạo là:

2 0

Bài 10: Một viên đạn khối lượng m, được bắn thẳng đứng lên cao từ mặt đất với vận tốc v0, lực cản của

không khí tác dụng lên đạn trong quá trình chuyển động có độ lớn coi như F = k.v2 ( k>0 )

a Viết phương trình vận tốc theo thời gian

b Viết phương trình vận tốc của viên đạn theo độ cao của nó

c Tính độ cao cực đại , vận tốc của nó khi nó lại rơi xuống đất Hãy xác định 2 thời điểm đó?

Gợi ý:

Chọn trục x/0x có: gốc 0 gắn tại mặt đất; 0 x thẳng đứng hướng lên Chọn gốc thời gian lúc bắn

a Theo định luật II Niutơn: m.dv / dt = - mg - kv2

trong đó:  = + 1 khi v > 0  đi lên  = - 1 khi v < 0  đi xuống

dv m

mgdvk

m

(*)Gọi T là khoảng thời gian đi lên, lúc này  = 1, khi đó:

T =

0

v0

k mg

v arctg k mg

1 k m

mg

k k

v arctg k mg

1 k

k v arctg kg

m v

k mg

dv k

dv k

dvk

m

= T +

v

0k

mgv

k

mgvlnk

mg2

1k

k

mgvlnkg

marctgv

dv dx

dv

dx

dv v dx

dv dt

dx dt

mvv

m dv

kv mg

mdx

x

kvmg

kvmgdv

v

2

kv mg

kv mg ln k 2

m kv

mg ln k 2

m x

ekvmg

kv

0 2

x m k 2

xkv

mg

kvmgdk

mmg

kvmglnk

t   (7) + Khi vật chạm đất: theo (6): x = 0 2

2 0

kvmg

mgmg

kvmg

2 2

kvmg

mgkv

2 2

kvmg

mgkv

2 2

kvmg

mgkv

kvmg

mgkv

2

kv mg

mgkv mg

2

0 0

max

kvmg

mgv

v



0 0

kvmg

mgv

 t2 max=

k

mgkv

mg

mgv

k

mgkv

mg

mgv

lnkg

marctgv

kgm

2 0 0

2 0 0

Bài 11: Một viên đạn khối lượng m được bắn lên với vận tốc v 0 tạo

với phương ngang một góc  từ mặt đất Lực cản của không khí

tác dụng lên viên đạn F kv



 , k là hệ số tỉ lệ ( k > 0)

a Viết phương trình chuyển động của viên đạn

b Tìm độ cao cực đại đạn đạt được và vận tốc ở đó

Gợi ý:

a Chọn hệ trục 0xy với 0x nằm ngang, 0y thẳng đứng hướng lên,

gốc 0 gắn tại mặt đất nơi bắn Chọn gố thời gian t = 0 lúc bắn

* Trên Ox:

m

kvm

Fdt

dvx cx  x



dtkv

dvx

x 

t 0

v

xm

dtv

dvk

1 x x

k 0

t.

m k x

 (1)Mặt khác: dx / dt = vx (2)

Từ (1) và (2) dx v em t.dt

k x

k 0 t

0

t.

m k

* Trên Oy: ta có

m

kv P dt

dvy   y

dt kv

1kv

P ln k

y

v v

y  



 (3)

Vì P + kvy  0 nên (3) viết lại:  

k

mge

sinkvmg

kt 0

sinkvmgt 0

m kt 0

kt

k

mge

k

sinkvmg

=   t

k

mg 1

e k

m k

sin kv

mg e

kv mg k

.1

sin0

gm11k

sinkvmg

2

2 0

max

Bài 12: Một đầu máy xe lửa hoạt động với công suất 1,5 MW có thể làm tăng tốc một đoàn tàu từ 10m/slên 25m/s trong 6 phút trên mặt phẳng nằm ngang (Bỏ qua công của lực ma sát)

a Tìm khối lượng đoàn tàu?

b Viết biểu thức đoàn tàu trong thời gian đó

c Viết biểu thức lực tăng tốc cho đoàn tàu trong khoảng thời gian đó

d Tìm quãng đường tàu đi được trong khoảng thời gian đó

1 2

Bài 13: Tính lực hấp dẫn giữa 1 quả cầu nhỏ khối lượng m1 và một thanh dài L có

khối lượng m2 Biết m1 nằm trên đường trung trực của thanh và cách thanh một

đoạn h

Gợi ý:

* Ta chia nhỏ thanh m2 ra thành vô hạn đoạn nhỏ có chiều dài dl và được coi là

chất điểm; có khối lượng dm

* Lực hấp dẫn giữa phần tử dm trên m2 và quả cầu m1 là:

 2 2

2 1 2

1

lh

dl.L

mGmr

dmGmdF







* Vì thanh có tính chất đối xứng qua IA nên hợp lực hấp dẫn giữa quả cầu m1 và thanh m2 có phương trênAI:

2 L

2 1

lh

h.dl.lhL

mGm2cos.dF

L

1.h

lL

hmGm2lh

dlL

2 2

2 1



Bài 14: Một vỏ bán cầu bán kính R đặt trên mặt phẳng nằm ngang và có khối lượng m Một chất lỏng có

khối lượng riêng  được đổ vào trong vỏ bán cầu dâng lên độ cao h (hình vẽ)

a Hãy tính lực nâng của chất lỏng tác dụng vào vỏ bán cầu

b Tìm điều kiện để chất lỏng không chảy ra khỏi bán cầu

Gợi ý:

a Lực nâng của bán cầu luôn có phương thẳng đứng theo trục Oz Xét phần

tử diện tích kẻ vạch như hình vẽ Thành phần lực nâng của chất lỏng tác dụng vỏ bán cầu là:

dz = - P.(2r).dr (dr < 0 ) (1)

với P =  g(h – z) (2)

Mặt khác: r2 + z2 = R2  (r2 + z2 )/ z = (R 2)/

z hay 2r.dr(z) + 2z.dz = 0 r.dr = - z.dz (3)

Thay (2) , (3) vào (1) ta được:

Bài 15: Một chiếc thuyền có m = 50 kg chuyển động thẳng trên mặt nước với vận tốc đầu v0 = 10m/s, chịu

lực cản của nước Fc    Vvới V là vận tốc của thuyền,  là hằng số dương

a Biết quãng đường vật đi được khi vận tốc giảm từ v0 đến v = 5 m/s là 40 m Xác định  và thời gianvật đi quãng đường đó

b Xác định quãng đường vật đi được đến khi dừng lại và thời gian đi quãng đường đó

Gợi ý:

a Chon trục 0x hướng theo chiều chuyển động của thuyền, áp dụng định luật II Niutơn ta có:

ma = m dt

dv = - v (1)  dv = -

mtdtmv

Ngoài ra: từ (3) suy ra v = v0emt Do đó v = 0 ứng với t = : sau khoảng thời gian rất lớn thuyền dừng

lại (Thực tế thời gian đi là hữu hạn vì quy luật phụ thuộc vào vận tốc của lực cản không còn như trên ).

Bài 16: Trong mặt phẳng đứng hình vẽ dây không dãn, không khối lượng CBM được cuộn vào bánh xe

tâm cố định Bán kính r, sau đó vắt qua ròng rọc cố định B rồi buộc vào vật M khối lượng m Khi bánh xe

C quay, nó kéo vật M lên theo thanh OE trùng với phương thẳng đứng (E ở cùng độ cao với B) BE = l, O

là vị trí đầu của M Bỏ qua các lực ma sát, xác định sức căng của sợi dây dưới dạng hàm của x = EM tronghai trường hợp:

a  = const, - vận tốc góc của bánh xe C

b   const

Gợi ý:

Từ hình vẽ của đầu bài , phương trình của định luật 2 Niutơn: N  P  T  m a

chiếu lên phương OE(trục Ox) ta được: Tcos- P = max (1)

a Khi  = const, dl = v0; mặt khác dl = dx.cos  vx =

cos

v0 và

dt

dcos

sin

v2



 (2)

sinv' 0 2 (3)

lv1x

gx

l t r gx

rs 1 x

Ps

; 2  2

v  

Bài 17: Một hạt cườm khối lượng m được xỏ qua một sợi dây nhẹ, không giãn chiều dài L Một đầu dây

buộc cố định tại điểm A, đầu kia buộc vào một cái vòng rất nhẹ, vòng lại có thể trượt không ma sát trênmột thanh ngang (hình vẽ) Ở thời điểm ban đầu, dây được giữ ở

cạnh vòng và dây thẳng, không căng Thả cho hạt cườm chuyển

động Tìm vận tốc của nó ở thời điểm dây bị đứt biết rằng dây chịu

sức căng lớn nhất là T0 Khoảng cách từ A đến thanh là h Bỏ qua

Phương trình định luật II Newton viết theo phương pháp tuyến:

2v

m 2T.cos mg.cos

còn R là bán kính chính khúc tại N

Để tìm R ta so sánh quỹ đạo hạt cườm với quỹ đạo một vật ném xiên góc Chọn các thông số của quỹ đạo

để nó đối xứng với quỹ đạo hạt cườm Như vậy:

2(L y)

gy

PA

C

X

T   L: dây không bị đứt trong suốt quá trình chuyển động.

Bài 18: Ở trên mặt phẳng ngang một chiếc đĩa nằm ngang bàn kính R = 20cm đặt một đồng xu Đĩa quay

tròn nhanh dần đều với vận tốc gốc bt , trong đó b là gia tốc góc, b = 1 rad/s2 Sau bao lâu đồng xu

văng ra khỏi đĩa Biết hệ số ma sát giữa đồng xu và đĩa là k = 0,2; g = 10 m/s2

Gợi ý:

Xét trong HQC gắn với đĩa quay:

Đồng xu nằm yên trên đĩa không bị văng ra.: F qt F ms kN kmg (1)

Đồng xu chuyển động không đều với gia tốc :

2 2

2 Rb t R

b R

g k b

Điều kiện : t > 0 nn:

g

Rb k b

R

g k

2 2

(4) Theo đề bi 0 , 2

10

1 2 , 0

Sau khỏang thời gian t > t 0 =3,15 s thì đồng xu văng ra khỏi đĩa

Bài 19: Một thanh cứng AB khối lượng không đáng kể, chiều dài l, ở hai đầu

có gắn 2 viên bi giống nhau, mỗi viên có khối lượng m Ban đầu thanh được

giữ đứng yên ở trạng thái thẳng đứng, viên bi 2 ở trên,bi 1 ở dưới tiếp xúc với

mặt phẳng ngang trơn Một viên bi thứ 3 có khối lượng m chuyển động với vận

tốc v0 hướng vuông góc với AB đến va chạm xuyên tâm vào bi 1 Biết va chạm là va chạm mềm Hãytìm điều kiện v0 để hệ 2 quả cầu 1 và 3 không rời mặt phẳng ngang? Vận tốc của quả cầu 2 bằng bao nhiêukhi sắp chạm vào mặt phẳng ngang

Gợi ý:

- Sau khi vừa va chạm hệ quả cầu 1 và 3 có vận tốc : v13 =

22

0

m

v m

 Khối tâm C hệ 3 quả cầu có vận tốc: vc =

30

0 0

v





- Gia tốc hướng tâm vật 1,3 đối với khối tâm C : (a13Q)ht =

l

v l

v

12 3

) 6

0

2 0



- Gia tốc khối tâm C của hệ trên có phương thẳng đứng Qc = - g

- Gia tốc vật 1,3 đối với đất trên phương thẳng đứng là:

Để vật 1 và 3 nâng lên: a13 > 0 suy ra v0 > 12gl Vậy để vật (1,3) không bị nâng lên thì v0  12gl

* Xét trong hệ qui chiếu gắn với sàn:

- Vì vật 1,3 không nâng lên nên trước khi vật 2 va chạm sàn thì vận tốc theo phương ngang 3 vật là:

v1n = v2n = v3n =

30

v

BTCN : mv n m v n m v n v d mv mgl

22

)(

22

2 0

2 2

2 2

2 3

2

3

2 2 0 2

2 2

v v

gl v

23

2

2 0 0 0

2 0 2

Bài 20: Quả cầu M khối lượng m được nối với một trục thẳng đứng tại hai

điểm A, B bằng hai thanh chiều dài l, khối lượng không đáng kể (khoảng cách

AB = 2a) Các chỗ nối đều là các chốt nên hai thanh chỉ bị kéo hoặc nén Cả

hệ quay không ma sát quanh trục thẳng đứng với vận tốc góc  không đổi

(xem hình vẽ) Tính các lực T và T’ mà vật m tác dụng lên các thanh AM và

BM tương ứng Các thanh bị kéo hay bị nén?

' M M

2 '

M M

ml T

a

g 2

ml T

2 '

M

2 M

TM >0, chiều giả thiết là đúng TM là chiều do thanh tác dụng lên M Ngược lại, M tác dụng lên thanhlực trực đối T Vậy thanh AM bị kéo

' M

T

Bài 21: Vệ tinh chuyển động tròn ở độ cao ho = Ro ( bán kính Trái Đất ) Người ta muốn chuyển nó lên

quỹ đạo tròn ở độ cao H = 3Ro bằng quỹ đạo nửa elip AB tiếp xúc với hai quỹ đạo tròn ở A và B, cácđiểm AOB thẳng hàng Cần tăng hoặc giảm bao nhiêu vận tốc ở các điểm A và B

( tăng giảm rất nhanh) Biết vận tốc vũ trụ ở sát mặt đất là v1 = 7.9km/s

Gợi ý:

Gọi : v0Al vận tốc của vệ tinh trên quĩ đạo tròn bán kính OA = 2R0

v0B l vận tốc của vệ tinh trên quĩ đạo tròn bán kính OB = 4R0

Để chuyển sang quĩ đạo elíp phải có vận tốc v A>v0A

Theo định luật Kêple 2 : khi vệ tinh đi tới B theo

quĩ đạo nửa elíp nó có vận tốc l

2

A B

v

v  (1)

do đó nó phải tăng vận tốc lên bằng v0B

Trn quĩ đạo nửa elíp , cơ năng của vệ tinh

được bảo tồn ( do thời gian tăng tốc rất ngắn)

nn:

0

2 0

2

422

GMm mv

Bài 22: Thanh cứng AB quay đều quanh trục thẳng đứng AC với vận tốc góc .

Góc giữa AB và AC là  không đổi (0  90 )0 Lò xo có độ cứng k, khối

lượng không đáng kể, độ dài khi không biến dạng là l 0, được lồng vào thanh

AB Một đầu của lò xo được gắn vào A, đầu kia gắn với hòn bi khối lượng m

Bi có thể trượt trên thanh AB nhờ một lỗ xuyên tâm (hình vẽ)

1 Ma sát giữa hòn bi và thanh không đáng kể

a Xác định vị trí cân bằng của hòn bi Vị trí đó ứng với cân bằng bền hay

không bền?

b Giả sử hòn bi đang nằm cân bằng trên thanh, trong khi thanh vẫn quay đều

quanh trục thẳng đứng với vận tốc góc  thì cả hệ thống chuyển động theo

phương thẳng đứng lên trên với gia tốc a không đổi Hòn bi chuyển động như thế nào ? Mô tả và tìm cácđặc trưng chuyển động của nó

2 Cho biết hệ số ma sát giữa thanh và hòn bi là  Hãy xác định vị trí cân bằng của hòn bi

Bài toán có nghiệm (có tồn tại vị trí cân bằng) khi l > 0, tức là tử và mẫu của

(3) phải cùng dấu Nếu tử và mẫu của (3) khác dấu thì không tồn tại vị trí cân

Fqt

dh qt

F= +N mg F + +F Chiếu theo phương Ox: F x(m2sin2 k l kl)  0 mgcos (4)

x

dF  m  k dl (5)Nếu dFx trái dấu với dl, thì cân bằng là bền ( Khi vật dịch chuyển dọc theo Ox ra xa vị trí cân bằng: dl > 0thì dF <0, hợp lực kéo vật về vị trí cân bằng ) Nếu dFx cùng dấu với dl, thì cân bằng là không bền Nhìn vào (5) ta thấy đồng thời:

b Nếu điều kiện (**) được thoả mãn thì khi vật chịu tác dụng của một ngoại lực nhỏ sẽ lệch ngày càng xa

vị trí cân bằng Phương trình (3) cho thấy nếu thêm vào g một lượng a>0 thì l giảm Vật sẽ chuyển động

về phía A

Nếu điều kiện (*) thoả mãn thì vật sẽ dao động quanh vị trí cân bằng

Khi thanh chưa chuyển động lên trên thì vị trí cân bằng cách A là l1, với

cossin

     , (điều kiện (*) cho

      , bài toán vô nghiệm, không tồn tại vị trí cân bằng ( trừ

điểm A) Nếu l m <0, l M > 0 thì 0  l  lM

x

Fqt

Bài 23: Trên mặt bàn nằm ngang có một bán trụ cố định bán kính R Trong mặt phẳng thẳng đứng vuônggóc với trục O của bán trụ ( mặt phẳng hình vẽ ) có một thanh đồng

chất AB chiều dài bằng R tựa đầu A lên bán trụ, đầu B ở trên mặt

bàn Trọng lượng của thanh là P Không có ma sát giữa bán trụ và

thanh Hệ số ma sát giữa mặt bàn và thanh là k =

3

3

Góc  phảithoả mãn điều kiện gì để thanh ở trạng thái cân bằng?

Gợi ý:

Thanh chịu trọng lượng P, phản lực N của bán trục ở A

vuông góc với mặt trụ (đi qua 0) Phản lực Q của mặt bàn

xiên góc với phương ngang vì có ma sát, trong đó:

Q = Q N + F ; trong đó F là lực ma

sát

Ba lực Q; N; P cân bằng, vậy giao điểm của N;

Q phải ở trên giá củaP

Ta có: P + Q + N = 0

(1)

Tam giác OAB là cân nên góc BAN= 2

Chiếu (1) xuống ox ta có: Ncos = F ; (2)

Chiếu (1) xuống oy : Nsin + QN = P ; (3)

Lấy mo men đối với B : P   NR sin 2 

2

cos R

; (4) Mặt khác : QN

P 2

sin 2

cos P

N Thay vào (2) nhận được:

4

g cot P

F   ; (6) Thay vào (3) thu được: QN = P - Nsin =

4

P 3 (7) Thay (6) và (7) vào (5) có:

P

4

3 tg

0

30   

Bài 24: Một vòng dây cao su có hệ số đàn hồi k, khối

lượng m,bán kính vòng dây là r khi ở trạng thái chưa biến

dạng Tìm bán kính R của vòng dây khi nó quay đều với

vân tốc góc  trong mặt phẳng nằm ngang quanh trục

thẳng đứng đi qua tâm

F đóng vai trò lực hướng tâm : F =  m a =  m 2

 R

 m là khối lượng của cung s :  m =



2

O



A

BR

(1) và (2)  R =

) 4

(

4

2 2

r k



Bài 25: Một vật 5(kg) chuyển động theo một đường thẳng trên mặt phẳng nằm ngang không ma sát , dướitác dụng của một lực biến đổi theo vị trí biểu diễn ở trên hình vẽ Hỏi lực đã thực hiện một công là baonhiêu khi vật chuyển động từ gốc toạ độ đến x = 8 (m) ?

Gợi ý:

Ta có:

A =  

8 0

dx.cosF

A =  

2

0

dx.cos

4 2

dx.cos

6 4

dx.cos

10 + 

4 2

1(x).1.dx

6 4dx

8 6

2(x).( 1).dxF

2

2 2

2

x 5 , 2 0 x 20 2

x 5 x

10        

= 20 + 10 + 0 – 5 = 25 (J)

hoặc A = s đ ( S0ABC - SDEF ) = 25 (J)

Bài 26: Một tên lửa một tầng đứng yên đối với một hệ qui chiếu quán tính nào đó có khối lượng M khiđộng cơ bắt đầu hoạt động Chứng minh rằng khi khối lượng động cơ tên lửa giảm còn 0,368M thì tốc độphụt nhiên liệu bằng không đối với hệ qui chiếu này

Gợi ý:

Theo định luật bảo toàn động lượng: u

dt

dM dt

dV

m

dm u

du



 Lấy tích phân 2 vế :   

M 368 , 0 M

V

dmu

dV

VT =

u

VdVu

1u

Bài 27: Trên mặt phẳng ngang nhẵn có hai khối lập phương

cạnh H, cùng khối lượng M đặt cạnh nhau (giữa chúng có khe

hở nhỏ) Đặt nhẹ nhàng một quả cầu có bán kính R, khối

lượng m = M lên trên vào khe nhỏ Bỏ qua mọi ma sát và vận

tốc ban đầu của quả cầu Tìm vận tốc quả cầu ngay trước khi

v gR cos sin  gR cos 1 cos 

Còn quả cầu cách mặt đất: h H R 1 cos    

Bài 28: Bạn được tặng một cái hộp Khi bạn mở nắp hộp ra, thì thật bất ngờ, một chú hề bật ra Đó là hộp

bất ngờ Bài toán sau xét về mô hình của đồ chơi này.

Cho hai vật nhỏ (có thể coi như những chất điểm) có khối lượng tương ứng là m và M

được gắn với nhau bằng một lò xo có độ cứng k, chiều dài tự nhiên  và khối lượng không

đáng kể Hai vật m và M được lồng vào một trục thẳng đứng có thể trượt không ma sát dọc

theo trục Gắn trục toạ độ Oz dọc theo trục, gốc O ở mặt sàn và có chiều hướng lên trên

(hình bên) ở trạng thái nghỉ, vật m nằm trên sàn và có toạ độ z0 = 0, vật M nằm ở đầu trên

của lò xo và có toạ độ za

1 Ta nén vật M cho đến khi nó có toạ độ zb ( với zb < za) rồi thả nó ra với vận tốc ban đầu

bằng không (coi lúc đó là thời điểm t = 0) Hỏi cần nén vật M ít nhất đến điểm có toạ độ zb

bằng bao nhiêu để khi lò xo dãn ra, vật m bị nâng lên khỏi mặt sàn?

2 Giả sử điều kiện ở ý 1 được thoả mãn, hãy xác định toạ độ zc và vận tốc vc của vật M ở thời điểm tc, lúc

mà vật m bắt đầu bị nâng lên khỏi mặt sàn Biểu thị zc và vc theo k, m, M, , zb

m

Mkz

0

3 Hãy xác định độ cao cực đại zGmax mà khối tâm G của hệ hai vật m, M đạt được khi vật m được nâng lênkhỏi mặt sàn Biểu thị zGmax theo k, m, M, , zb.

Gợi ý:

1 Phương trình động lực học cho vật M khi lò xo bị nén là: Mz” = - Mg - k ( z – )

Khi vật nằm yên, z” = 0, thì z = za với a Mg

Lực căng mà lò xo tác dụng lên các vật M và m: F = k ( z –  ) = k [(za – )+ (zb - za)cost]

Lực F có độ lớn cực đại F max khi cost= -1, vì zb < za

Vật m bị nâng lên khỏi mặt sàn khi Fmax  mg Do đó, phải nén vật M ít nhất đến toạ độ zb mà:

b

(2M m)gz



 Toạ độ của vật M lúc đó là zc với: z = z(t1) = za + (zb - za)cost1= mg

k



Vận tốc của M lúc đó là: vc = z’(t1) = (zb - za)sint1 hay

3 Khi vật m bị nâng lên khỏi mặt sàn, ta gọi zM và zm lần lượt là toạ độ của các vật M và m

Phương trình động lực học cho hai vật là: MzM” = -Mg + k ( zM - zm – )

mzm” = - m g - k ( zM - zm – )Cộng hai phương trình này ta có: MzM” + mzm” = - (M+m) g

Toạ độ khối tâm G của hệ là: M m

Mzz

M m



Khối tâm G đạt độ cao cực đại ở thời điểm t2 khi vận tốc của nó bằng không, hay:

Bài 29: Hai vật nối với nhau bằng một dây mãnh không dãn , dài l Tại thời điểm ban đầu vật m0 được

ném từ mặt phẳng AB với vận tốc đầu V0 hướng thẳng đứng lên

trên ( HV3 ) Hỏi độ cao cực đại mà m0 có thể đạt tới ? Giả sử

rằng dây có khối lượng không đáng kể và không bị đứt

+ Trường hợp 2 :

Nếu V2 > 2gl thì ngay trước lúc dây cáp bị căng , vật m0 đã có

một vận tốc

V1 = V 2 2 gl

0  Khi dây cáp căng đột ngột , hệcó vận tốc v Áp dụng định luật bảo toàn động lượng :

m0v1 = ( m0 + m1 )v suy ra v =

1 0

1 0mm

vm

ml

g

vlh

2 0 2 1 0 0

2

Bài 30: Tìm trọng tâm cung tròn đồng chất trên đường tròn bán kính R , góc tại tâm 2

Gợi ý:

Vì đồng chất nên trọng tâm nằm trên trục 0x Ta chia cung tròn ra vô hạn cung vô

cùng nhỏ , vị trí xác định bởi góc  Cung nguyên tố tương đương góc d  có độ

Tương tự như trên , vì đồng chất nên trọng tâm nằm trên trục 0x

Ta chia quạt tròn thành vô hạn quạt tròn vô cùng nhỏ có vị trí xác định

bởi góc  và có góc mở d 

Vi phân diện tích mỗi quạt tròn nguyên tố là: ds = 2

1( R2 d  )

và trọng tâm của vi phân hình quạt có hoành độ là: