1 góc

Bước 3: Tính góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng... Ví dụ: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với mặt phẳng đáy.. Góc giữa cạnh bên và m

Góc giữa hai đường thẳng d và 1 d là góc giữa hai đường thẳng 2 d 1 và d 2

cùng đi qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với d và 1 d 2

lần lượt là vectơ chỉ phương của d và 1 d và 2 u u 1, 2

thì góc giữa hai đường thẳng 1

Dựng tam giác chứa góc

 Đối với tam giác thường, sử dụng định lí hàm số côsin: cos A 2 2 22 .

B A

 Đối với tam giác vuông, sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông: sin AC

 ; cos ABB

 ; tan ACB

AB 0

a'b'O

(Đề minh họa 2022) Cho hình hộp ABCD A B C D     có tất cả các cạnh bằng nhau (tham khảo hình bên) Góc giữa hai đường thẳng A C  và BD bằng

A 90 B 30

C 45 D 60

Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với mặt phẳng BCD Biết tam giác BCD vuông tại C 

AB AC a CD a Gọi E là trung điểm của AD Góc giữa hai đường thẳng AB và CE bằng

A 120 B 30 C 45 D 60

Cho hình chóp tứ giác đều S ABCDcó AB a SA a ,  2 Gọi G là trọng tâm tam giác SCD Góc giữa đường thẳng BG với đường thẳng SA bằng

A arccos 3

3 D

5

Cho đường thẳng d và mặt phẳng  

- Trường hợp đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng   thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng   bằng 900

- Trường hợp đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng   góc giữa d và hình chiếu 'd của nó trên   gọi là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng  

 Nhận xét: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng không vượt quá 900 Bước 1: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

Bước 2: Tìm hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng Bước 3: Tính góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên

mặt phẳng

Từ đó, ta có công thức góc theo thứ tự ĐỈNH – GIAO ĐIỂM – CHÂN ĐƯỜNG CAO

Dựng tam giác chứa góc

 Đối với tam giác thường, sử dụng định lí hàm số côsin:

222 2 cos ; 222 2 cos ; 222 2 cosa b  c bc A b c a  ac B c a b  ab C  Đối với tam giác vuông, sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:

sinB AC

 ; sin ABC

cosB ABBC

 ; cosC ACBC

tanB ACAB

 ; tanC ABAC

Áp dụng cho bài toán tìm góc giữa đường cao và mặt bên hoặc bài toán khó tìm được hình chiếu của điểm còn lại trên mặt phẳng  P

Gọi  là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng  P , ta có công thức sau:  

sin d A PAO

Ví dụ: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với mặt phẳng đáy Góc giữa cạnh bên và mặt đáy Góc giữa cạnh bên và mặt đứng Góc giữa đường cao và mặt bên PHƯƠNG PHÁP

Từ giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng nối vào chân đường cao

  SB ABCD;SBA  SD ABCD;SDA  SC ABCD;SCA  SM ABCD;SMA

PHƯƠNG PHÁP

Từ điểm còn lại (không phải giao điểm) kẻ đường thẳng vuông góc với cạnh đáy của mặt đứng

  SC SAB;CSB  SC SAD;CSD  SM SAB;MSN  SB SAC;BSO

PHƯƠNG PHÁP

Từ chân đường cao kẻ đường thẳng vuông góc với cạnh đáy của mặt bên

  SA SBC; ASB  SA SCD;ASD  SA SBD;ASO

(Mã 101 - 2020) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB a , 2 ,

BC a SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA 15a Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng

A 45 B 30 C 60 D 90

DCS

(Mã 103 - 2022) Cho hình lập phương ABCD A B C D     Giá trị sin của góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng ABCD bằng 

Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA2a, gọi M là trung điểm của SC Tính cosin của góc  là góc giữa đường thẳng

Cho hình chóp S ABCcó đáy là tam giác vuông tại B , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, AB2a, BAC  và 60 SA a 2 Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng SAC bằng 

A 45 B 30 C 60 D 90

Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a ABC, 60 và SB a Hình chiếu vuông góc của điểm S lên mặt phẳng ABCD trùng với trọng tâm tam giác ABC Gọi   là góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng SCD Tính sin 

Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng  P và  Q , ta có: 0  900

Nếu lần lượt trong hai mặt phẳng  P và  Q có hai đường thẳng a và b vuông góc với giao tuyến d tại một điểm I thì góc giữa hai đường mặt phẳng  P và  Q bằng góc giữa hai đường thẳng a và b

Bước 1: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng:    P  Q  (1) dBước 2: Trong mặt phẳng  P , kẻ đường thẳng a vuông góc giao

tuyến d tại điểm I (2)

Bước 3: Chứng minh d  aIb , từ đó suy ra d  (3) bBước 4:  P    ; Q aIb

Ví dụ: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với mặt phẳng đáy Góc giữa mặt bên và mặt đáy Góc giữa mặt bên và mặt đứng Góc giữa hai mặt bên PHƯƠNG PHÁP

B1: Xác định giao tuyến của mặt bên và mặt đáy

B2: Từ chân đường cao kẻ đường thẳng vuông góc với giao tuyến, sau đó nối lên đỉnh S

  SBC ; ABCDSBA  SCD ; ABCDSDA  SBD ; ABCDSOA

PHƯƠNG PHÁP CÁCH 2 (Tổng quát)

 SBC ; SAB900 SCD ; SAD900  SBD ; SABAHO  SBD ; SADAKO

PHƯƠNG PHÁP CÁCH 2 (Tổng quát)

  SBD ; SCDBHDO

aI

(Mã 101 – 2022) Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AC2, AB 3 và AA (tham khảo hình 1bên) Góc giữa hai mặt phẳng ABC và ABC bằng 

A 30 B 45

C 90 D 60

Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh ,a SA vuông góc với mặt phẳng ABC và 

SA Góc giữa mặt phẳng SBC và mặt phẳng ABC bằng 

A 45 B 90 C 30 D 60

Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có cạnh đáy bằng 2a cạnh bên bằng 5a Góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy bằng

Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a , AD SA 2a,

Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , cạnh bên SA a và vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M là trung điểm cạnh SD Tang của góc tạo bởi hai mặt phẳng AMC và SBC bằng 

Cho hình lập phương ABCD A B C D     Góc giữa đường thẳng AB và B D  bằng

Cho hình lập phương ABCD A B C D     (tham khảo hình vẽ)

Góc giữa hai đường thẳng AC và A D bằng